Trường hữu hạn

Đề Cương Một Số Tính Chất Trường Hữu Hạn
Phần mở đầu...............................................................................................................
Phần nội dung.............................................................................................................
Chương I.
Kiến thức chuẩn bị.....................................................................................................
Chương II.
Một Số Tính Chất Của Trường Hữu Hạn...............................................................
1.Định Nghĩa
Định nghĩa trường hữu hạn: Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử.
Tính chất: Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F khác 0...............................
2.Nhóm nhân của trường hữu hạn...........................................................................
Định lí 2.2.1: Cho
q
F
là trường hữu hạn thì với mọi
q
a F
∈
ta đều có
q
a a
=
Định lí 2.2.2: Cho trường hữu hạn
q
F
. Khi đó, F
q
là trường phân rã của đa thức
q
x x−
trên trường con nguyên tố của F

q
Định lí 2.2.3: Nhóm nhân của trường hữu hạn là nhóm cyclic
Định nghĩa: Cho trường hữu hạn
q
F
, với mỗi số nguyên dương r , ta định nghĩa:

{ }
* *r r
q q
F x x F= ∈
Định lí 2.2.4: Cho trường hữu hạn
q
F
. Khi đó,
*r
q
F
là nhóm con của
*
q
F
và
*r
q
F
có
cấp là
( 1) / gcd( , 1)q r q− −
Định lí 2.2.5: Cho trường hữu hạn

q
F
và r là một số nguyên dương. Khi đó,
* *r d
q q
F F=
và
* * * 2 * 1 *
...
d d d d d
q q q q q
F F F F F
ξ ξ ξ
−
= ∪ ∪ ∪ ∪
, trong đó
gcd( 1, )d q r= −
,
ξ
là phần tử nguyên thủy của
q
F
và
* *
, ,0 , 1
i d j d
q q
F F i j i j d
ξ ξ
∩ = ∅ ∀ ≠ ≤ ≤ −

3.Số phần tử của trường hữu hạn.
Định lí 2.3.1: F là trường hữu hạn có đặc số là p thì số phần tử của F là một lũy
thừa của p
Định lí 2.3.2 : Nếu F
q
là trường hữu hạn có q phần tử và p(x) là đa thức có bậc n
bất khả quy trên F
q
[x] thì F
q
[x]/(p(x)) là trường hữu hạn có p
n
phần tử.
1
Định lí 2.3.3:( sự tồn tại và duy nhất của trường hữu hạn p
n
phần tử)Cho p là số
nguyên tố và n là số nguyên dương thì tồn tại trường hữu hạn chứa đúng p
n
phần
tử. Hơn nữa, hai trường hữu hạn có cùng số phần tử thì đẳng cấu với nhau.
4 Trường con của trường hữu hạn
Định lí 2.4.1: Cho trường hữu hạn
n
q
F
thì mọi trường con của
n
q
F

có p
m
phần tử,
trong đó m là ước của n. Ngược lại, nếu m là ước của n thì
n
q
F
có duy nhất trường
con chứa p
m
phần tử.
Chương III.
1. Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn
Định lí 3.1.1: Mọi trường hữu hạn F
q
và với mọi số nguyên dương luôn tồn tại đa
thức f(x) bất khả quy trong F
q
[x] có bậc n.
Định lí 3.1.2: Cho
[ ]
( )
q
f x F x∈
là đa thức bất khả quy bậc m trên
q
F
và n là một
số nguyên dương. Khi đó,
( )f x

chia hết
n
q
x x−
nếu và chỉ nếu m chia hết n
Định lí 3.1.3: Cho
[ ]
( )
q
f x F x∈
là đa thức bất khả quy bậc m trên
q
F
. Khi đó .
( )f x
phân rã trên
m
q
F
và tách được trên
q
F
. Hơn nữa nếu
α
là nghiệm của f(x) thì .......
2 1
, , ,...,
m
q q q
α α α α

−
là tập hợp tất cả các nghiệm của f(x).
2.Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn
Định lí 3.2.1: Giả sử
[ ]
( )
q
f x F x∈
là đa thức có bậc n thì f(x) là đa thức bất khả
quy trên
q
F
nếu và chỉ nếu :
( ) ( 1)
n
q
f x x −
và
gcd( ( ), ) 1
i
q
f x x x− =
với
1,2,3....[ / 2]i n=

Định lí 3.2.2: Cho
[ ]
( )
q
f x F x∈

là đa thức bậc
1n
>
. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
i)
( )f x
bất khả quy trên
q
F
ii)
d g f ( )
ax
( )
e x
b
cx d f
cx d
+
 
+
 ÷
+
 
bất khả quy, trong đó
, , ,
q
a b c d F∈
sao cho ........
0ad bc− ≠

2
Định lí 3.2.3: Cho
[ ]
( )
q
f x F x∈
là đa thức bậc
1n >
. Nếu
( )f x
bất khả quy trên
q
F
thì:
a) Tổng các hệ số của
( )f x
khác 0
b)
gcd( ( ), '( )) 1f x f x =
Định nghĩa :Hàm
( )d
µ
Bổ Đề:.......
Định lí: Gọi
( )
q
N n
là số các đa thức bất khả quy có bậc n thì:
1
( ) ( ).

n
d
q
d n
N n d q
n
µ
=
∑
3. Phân tích đa thức trên trường hữu hạn
Bổ đề:..................
Định lí: Cho f(x) là đa thức có hệ số của bậc cao nhất là 1 của
[ ]
q
F x
và g(x) là đa
thức của
[ ]
q
F x
sao cho
( ) ( )(mod ( ))
q
g x g x f x≡
thì
( ) gcd( ( ), ( ) )
q
s F
f x f x g x s
∈

= −
∏
Định lí: Cho f(x) là đa thức có hệ số của bậc cao nhất là 1 và deg(f(x))
≥
1 trên
[ ]
q
F x
thì số nghiệm của phương trình
q
x x−
trên vành F
q
[x]/(f(x)) là lũy thừa p
r
nếu và
chỉ nếu f(x) phân tích thành
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )
r
e e e
r
f x P x P x P x=

trong đó:
1 2
( ), ( ),..., ( )
r
P x P x P x

là r đa thức phân biệt có hệ số của bậc cao nhất bằng
1 của
[ ]
q
F x
và
1, 2
,....
r
e e e
là r số nguyên dương.
Định lí: Cho f(x)
∈
[ ]
q
F x
, trong đó q là lũy thừa của số nguyên tố p và f'(x)=0 thì:
( ) ( )
p
f x h x=
với
[ ]
( )
q
h x F x∈
Định lí: Cho f(x) là lũy thừa của đa thức có hệ số của bậc cao nhất bằng 1 bất khả
quy trên F
q
và
'( ) 0f x ≠

. Nếu
gcd( ( ), '( )) 1f x f x =
thì f(x) bất khả quy. Nếu .............
gcd( ( ), '( )) 1f x f x ≠
thì
( ) / gcd( ( ), '( ))f x f x f x
bất khả quy.
Kí hiệu:
( ) ( ) / gcd( ( ), '( ))p x f x f x f x=
thì
( ) ( )
e
f x p x=
Trong đó:
d gf( ) / deg ( )e e x p x=
4. Ứng dụng sự phân tích đa thức để tìm nghiệm trên trường hữu hạn
Nêu lên thuật toán tìm nghiệm của một đa thức f(x) trên trường hữu hạn
3
Ví dụ minh họa : Tìm nghiệm của đa thức:
6 5 4 3 2
7 3 7 4 2x x x x x x− + − + − −
trên
17
( ) [ ]g x F x∈
Chương III. Bài tập
Giải một số bài tập dể làm rõ phần lí thuyết (chọn 20 bài)
Phần kết luận....................................................................................................................
Tài liệu tham khảo......................................................................................................
4