Chủ đề 05 một số dạng toán khác về thời gian 25 trang

CHỦ ĐỀ 5: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC VỀ THỜI GIAN
Dạng 1: Cho khoảng thời gian Δt , tìm trạng thái trước hoặc sau đó

(
▪ Xét bài toán: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=Acosωt+φ

) . Tính từ thời điểm t1, sau

(hoặc trước) một khoảng thời gian Δt vật có trạng thái như thế nào?
▪ Phương pháp giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đường tròn lượng giác.
+) Tại thời điểm t1, trạng thái của vật là ( x1 ; v1 ) ⇒ pha dao động là ϕ1 ( ϕ1 ∈ [ −π ; π ] ) .
(Vận tốc dương ta lấy −π < ϕ1 < 0 ; vận tốc âm ta lấy 0 < ϕ1 < π ).
+) Trong khoảng thời gian Δt vật quét được một góc là ∆ϕ = ω.∆t .
Khi đó suy ra pha dao động ở thời điểm trước hoặc sau một khoảng thời gian Δt là ϕ 2 = ϕ1 m∆ϕ . (trước
là dấu trừ, sau là dấu cộng).
+) Từ đó suy ra trạng thái trước hoặc sau đó của vật.
Chú ý: Ta có thể thêm bớt một lượng k 2π để tính toán dễ dàng hơn: ϕ 2 = ϕ1 m∆ ± k 2π . (không thêm bớt
vẫn được).
Cách 2: Sử dụng trục thời gian.
Tại thời điểm t1, trạng thái của vật là ( x1 ; v1 ) .
Tách ∆T = nT + Δt ′ với n ∈ N , ∆t ′ < T.
Sau n chu kì, vật trở về trạng thái như cũ. Dựa vào Δt ′ để tìm trạng thái cần tìm của vật.

π

Ví dụ 1: Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình x = 10 cos  4π t − ÷cm. Tại thời
3

điểm t1, vật có li độ 5 2 cm và đang giảm. Li độ của vật sau thời điểm đó
A. x = −5 2 cm

B. x = −5 cm

C. x = −5 3 cm
Lời giải

7
s là
48
D. x = 5 2 cm

5cos ϕ1 = 5 2
π
⇒ ϕ1 = .
Tại thời điểm t1, ta có: 
4
 x ↓
Lại có: ∆ϕ = ω∆t = 4π .

7
5π
5π
⇒ x2 = 10 cos
= −5 3 . Chọn C.
suy ra ϕ 2 = ∆ϕ + ϕ1 =
48
6
6

2π 


Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 2 cos  4π t −
÷ (cm). Tại một thời điểm nào
3 

đó vật đang có li độ x = −4 cm và đang tăng, sau đó khoảng thời gian là ∆t = 0, 229 s gia tốc của vật là:
A. 7,74 m/s2

B. –7,74 m/s2

C. 4,47 m/s2

D. –4,47 m/s2


Lời giải
 x = −4 cm
Tại thời điểm t ta có: 
suy ra
x ↑

ϕ0 =

−3π
. Sau ∆t = 0, 223 s vật quét được một góc là
4

∆ϕ = 0, 223.4π = 2,8777 rad.
Do đó ϕ1 = ϕ0 + ∆ϕ = 0,5215 rad.
⇒ a = −ω 2 x = −16π 2 .4 2 cos 0,5215 = −7, 74 m/s2.

Chọn B.

π

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos  4π t − ÷(cm). Tại thời điểm nào đó vật
4

đang có li độ x = 4 cm và đang ra xa vị trí cân bằng. Trước đó 3,25s vật đang:
A. có li độ x = −4 cm và chuyển động theo chiều âm
B. có li độ x = −4 cm và chuyển động theo chiều dương
C. có li độ x = 4 cm và chuyển động theo chiều âm
D. có li độ x = 4 cm và chuyển động theo chiều dương
Lời giải
10 cos ϕ1 = 4
⇒ ϕ1 = −arccos0, 4 = −1,159 (rad) .
Tại thời điểm t ta có: 
 x ↑⇒ ϕ < 0
Trong thời gian ∆t = 3, 25s vật quét được một góc là ∆ϕ = ω.∆t = 3, 25.4π = 13π (rad) .
 x = 10 cos ϕ0 = −4
Do đó ϕ0 = ϕ1 − ∆ϕ = −arccos0, 4 − 13π ⇒ 
.
v = −ω A sin ϕ0 <0
Vật có li độ x = −4 cm và chuyển động theo chiều âm. Chọn A.

π
 4π
t + ÷(cm). Tại một thời điểm nào đó
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 8cos 
6
 3

vật đang có li độ x = 4 3 và đang tăng. Sau khoảng thời gian là ∆t = 5,125 s li độ và vận tốc của vật lần
lượt là:
A. x = −4 2 cm; v =

8π 2
cm / s
3

C. x = −4 cm; v = 8π 3 cm / s

B. x = −4 2 cm; v = −
D. x = −4 cm; v = −
Lời giải

8π 2
cm / s
3

8π 3
cm / s
3



 x = 4 3 cosϕ = 3
π
⇒
Tại thời điểm 
2 ⇒ϕ = − .
6

 v > 0
v > 0

Sau khoảng thời gian ∆t = 5,125s vật quét được góc ∆ϕ = ω.∆t =

4π
41
.5,125 = π (rad)
3
6

20π

x = 8cos
= −4

3
20π

. Khi đó 
Khi đó ϕ 2 = ϕ1 + ∆ϕ =
. Chọn D.
3
v = − 16π sin 20π = −8π 3 cm/s

3
3
3

π


Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2 cos  2π t − ÷(cm). Tại một thời điểm nào đó
6

vật đang có li độ x = 1 cm và đang chuyển động theo chiều âm. Li độ và vận tốc của vật sau đó khoảng thời
gian ∆t =

17
s
12

A. x = −3 cm; v = 2π cm / s
C. x = −1 cm; v = 2π 3 cm / s

B. x = − 3 cm; v = − 2π cm / s
D. x = −1 cm; v = − 2π 3 cm / s
Lời giải

x = 1
π
⇒ ϕ1 = .
Tại thời điểm 
3
v < 0
Sau khoảng thời gian ∆t =

17
5
s vật quét được một góc là ∆ϕ = ω.∆t = 2π + π .
12

6

Suy ra ϕ 2 = ϕ1 + ∆ϕ = 4π −

5π
.
6


 5π 
 x = 2 cos  − 6 ÷ = − 3 cm



Do đó 
. Chọn A.
v = −4π sin  − 5π  = 2π cm/s

÷

 6 
 4π t π 
− ÷ (cm). Tại một thời điểm t1 vật
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos 
4
 3
đang có li độ x = 6 cm và đang chuyển động ra xa vị trí cân bằng. Sau đó khoảng thời gian 4,125s vật đang
A. Có li độ x = 8 cm và chuyển động theo chiều dương
B. Có li độ x = 8 cm và chuyển động theo chiều âm
C. Có li độ x = −8 cm và chuyển động theo chiều dương

D. Có li độ x = −8 cm và chuyển động theo chiều âm
Lời giải


 x = 6 cm
6
⇒ ϕ1 = −arccos = −0,927 rad .
Tại thời điểm t1 ta có 
10
v > 0
Sau khoảng thời gian 4,125s vật quét được góc ∆ϕ = ω.∆t =
Suy ra ϕ 2 = ϕ1 + ∆ϕ =

11π
2

11π
6
− arccos .
2
10

 x = 10 cos ϕ 2 = −8

Do đó 
. Chọn C.
40π
v = − 3 sin ϕ 2 = 8π cm/s

Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ là T. Tại một thời điểm t 1 tỉ số vận tốc và li độ là

Tại thời điểm t2 = t1 + ∆t thì tỉ số đó là
A.

T
6

B.

v1 ω
=
.
x1
3

v2
= −ω 3 . Giá trị nhỏ nhất của ∆t là
x2

T
3

C.

T
12

D.

T

4

Lời giải
 v2 ω 2
ω 2 ( A2 − x12 ) ω 2
4
A 3
1
 2 =
⇔
=
⇔ A2 = x12 ⇒ x1 = ±
v1 ω
2
=
⇒  x1
3
x1
3
3
2 ứng với M1, M2.
x1
3

 x1v1 > 0 ( do ω > 0 )
A

v2
 x2 = ±
2

Tương tự = −ω 3 ⇒ 
ứng với N1, N2.
x2
 x2 v2 < 0 ( do ω < 0 )


· N = π ⇒ ∆t = T . Chọn D.
Khoảng thời gian nhỏ nhất đi từ trạng thái 1 đến trạng thái 2: M
1 1
2
4
Dạng 2: Xác định số lần vật qua một vị trí nào đó
(Xác định thời điểm vật đi qua vị trí x đã biết (hoặc v, a, Wt, Wđ, F lần thứ n).
Trong một chu kỳ T ( 2π ) vật đi qua li độ x = x0 hai lần nếu không kể đến chiều chuyển động, nếu kể đến
chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương, hoặc vật chuyển động theo chiều âm thì sẽ đi qua
một lần).


▪ Xét bài toán: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình x = A cos ( ωt + ϕ ) . Tính từ thời
điểm ban đầu, vật có ...... lần thứ n vào thời điểm nào.
▪ Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm trạng thái tại thời điểm ban đầu t = t0 dựa vào pha ban đầu ta suy ra trạng thái của vật
 x0 = ?

 v0 > 0 .
 v < 0
 0
Bước 2: Phân tích trong một chu kỳ số lần N thỏa mãn điều kiện bài toán là bao nhiêu, sau đó ta lấy n
chia cho N, khi đó ta có: n = a.N + b .
Bước 3: Thời điểm cần tìm sẽ là tn = aT + t2 .

Thông thường khoảng thời gian t 2 là những khoảng thời gian đẹp nên ta cần ghi nhớ sơ đồ các khoảng
thời gian đặc biệt để làm bài toán một cách nhanh nhất.
Ta cần ghi nhớ sơ đồ cá khoảng thời gian đặc biệt trong dao động điều hòa:

π
 4π
t + ÷ cm. Kể từ t = 0 , vật qua vị trí
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10 cos 
6
 3
x = −5 2 cm
a) Lần thứ 2017 vào thời điểm là bao nhiêu
b) Lần thứ 2018 vào thời điểm là bao nhiêu
Lời giải
a) Ta có: T =

2π
= 1,5 (s) .
ω

Trong một chu kì vật qua vị trí x = −5 2 cm hai lần.

A 3
x = 5 3 =
Tại t0 = 0 ta có 
2 (vật đang chuyển động theo chiều âm).
v < 0


Lại có

2017
= 1008 dư 1 nên t2017 = 1008T + t1 , ở đây t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = −5 2
2

kể từ khi dao động. (Dư một nên t1 là thời điểm lần 1).

Dựa vào trục thời gian ta có:
t1 = t A

3
−A
÷
 2 → 0 → 2 ÷



=

T T
7T
+ ⇒ t2017 = 1008T +
= 1512, 4375s
6 8
24

b) Ở ý b ta thấy rằng
Ta sẽ hiểu rằng

2018
= 1009 nhiều bạn sẽ suy ra t2018 = 1009T đây là cách làm sai.
2

2018
= 1008 dư 2 nên t2018 = 1008T + t1, ở đây t1 là thời điểm lần thứ 2 vật đi qua tọa độ
2

x = −5 2 kể từ khi dao động. (Dư 2 nên t1 là thời điểm lần thứ 2).

Dựa vào trục thời gian ta có: t1 = t A

A 
 2 →0 →− 2 ÷
÷



Suy ra t2018 = 1008T +

3

=

T T T 13T
+ + =
6 4 8 24 .

13T
= 1512,8125 .

24

 5π t π 
+ ÷ cm. Xác định thời điểm:
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos 
6
 3
a) Thứ 2017 vật cách vị trí cân bằng một khoảng 2 cm.
b) Thứ 2018 vật cách vị trí cân bằng một khoảng 2 cm.
c) Thứ 2019 vật cách vị trí cân bằng một khoảng 2 cm.
d) Thứ 2020 vật cách vị trí cân bằng một khoảng 2 cm.
Lời giải

A 3
2π
x = 2 3 =
t
=
0
⇒
T
=
=
1,
2
s
a) Ta có
( ) . Tại

2

ω
v < 0

Trong một chu kỳ vật cách VTCB một khoảng 2cm là 4 lần


Mặt khác:

2017
= 504 dư 1 suy ra t 2017 = 504T + t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = 2 kể từ khi
4

dao động. (Dư một nên t1 là thời điểm lần 1)

Vẽ trục ta dễ dàng có được t1 = t  A

A

 2 →2 



⇒ t 2017 = 504T +
b) Ta có:

3

T T  T
= − =
 6 12  12

T
= 604,9 s
12

2018
= 504 dư 2 suy ra t 2018 = 504T + t1 với t1 là thời điểm lần thứ hai vật qua tọa độ x = 2 kể
4

từ khi dao động.(Dư hai nên t2 là thời điểm lần thứ 2).

Vẽ trục ta có được t1 = t  A



⇒ t 2018 = 504T +
c) Ta có: Ta có:

A
→ 0 → 
2
2
3

=

T T T
+
=
6 12 4

T
= 605,1s
4

2019
= 504 dư 3 suy ra t 2018 = 504T + t1 với t1 là thời điểm lần thứ ba vật qua tọa độ
4

x = 2 kể từ khi dao động.(Dư ba nên t2 là thời điểm lần thứ 3).

Vẽ trục ta có được t1 = t  A



⇒ t 2018 = 504T +
d) Ta có: Ta có:

3
−A

→0→
2
2 

=

T T T 7T
+ + =
6 4 6 12

7T
= 605,5s
12

2020
= 504 dư 4 suy ra t 2018 = 504T + t1 với t1 là thời điểm lần thứ tư vật qua tọa độ
4

x = 2 kể từ khi dao động.(Dư bốn nên t2 là thời điểm lần thứ 4).


T T T 3T
=
Vẽ trục ta có được t1 = = + +
6 2 12 4
⇒ t 2018 = 504T +

3T
= 605,7 s
4

π

Ví dụ 3: Một vật dao động với phương trình x = 4 cos 2πt + cm
4

a) Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều âm lần thứ 2017 vào thời điểm nào?
b) Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương lần thứ 2017 vào thời điểm nào?
Lời giải

a) Ta có: T =

2π
= 1s
ω

Trong một chu kì vật đi qua vị trí x = 2cm =

A
theo chiều âm một lần
2

x = 2 2
Tại thời điểm ban đầu t = 0 ⇒ 
v < 0
Ta có: 2017 = 2016 + 1 suy ra t2017 = 2016 T + t1 với t1 là thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí
x = 2 cm theo chiều âm

Vẽ trục ta có được t1 = t  A



Do đó: t 2017 = 2016T +

2 A
→ 
2
2

=

T T
T
+
=
8 12 24

T 48385
=
s
24
24

b) Ta có: 2017 = 2016 + 1 suy ra t2017 = 2016 T + t1 với t1 là thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí
x = 2 cm theo chiều dương
Vẽ trục thời gian ta có t1 = t  A



A
→ A→ 
2
2
2

=

Vậy thời gian cần tìm là t = t1 + 2016T =

T T T 17T

+ +
=
8 2 12 24
17T
48401
+ 2016T =
s
24
21


π

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6 cos 4πt − cm . Thời điểm thứ 2017 vật đi
3

qua vị trí x = −3 2cm là
A.

24205
s
48

B.

24199
s
48

C.

24172
s
12

D.

24205
s
24

Lời giải
Ta có T =

2π
= 0,5( s) Trong một chu kì vật đi qua vị trí x = −3 2cm hai lần
ω

A

x = 3 =
2 .(vật đang chuyển động theo chiều dương)
Tại: t 0 = 0 ⇒ 
v > 0
Lại có:

2017
= 1008 dư 1 suy ra t7 = 1008T + t1 với t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = −3 2cm
2

kể từ khi dao động.(Dư một nên t1 là thời điểm lần thứ 1).

T T T
13T 24205
Dựa vào trục thời gian ta có: t1 = t  A →0→ − A  = 6 + 4 + 8 ⇒ t 2017 = 1008T + 24 = 48 s Chọn A
2 
2

π

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos πt − cm . Thời điểm thứ 2018 vật đi
4

qua vị trí có tốc độ bằng 5π m/s là

A.

12107
s
12

B.

12101
s
12

C.

12099

s
12

D.

12113
s
12


A 2
x =
v
A 3
Tại: t 0 = 0 ⇒ 
2 . Ta có v = 5π = max ⇒ x =
2
2
v > 0

Trong một chu kì vật đi qua vị trí có x =
Mặt khác Ta có:

x =

A 3
bốn lần
2

2018

= 504 dư 2 suy ra t 2018 = 504T + t1 với t1 là thời điểm lần thứ hai vật qua tọa độ
4

A 3
kể từ khi dao động.(Dư hai nên t1 là thời điểm lần thứ 2).
2


Vẽ trục ta có được t1 = t  A



⇒ t 2018 = 504T +

A 2

→ A→
2
2 
2

=

T T 5T
+
=
8 12 24

5T 12101 . Chọn B
=

s
24
24

Ví dụ 6: [ Trích đề thi THPT QG năm 2017] Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình

π

x = 5 cos 5πt − cm (t tính bằng s). Kể từ khi t =0 , thời điểm đi qua vị trí có li độ x = -2,5 cm lần thứ
3

2017 là
A. 401,6
Ta có T =

B. 403,4

C. 401,3
Lời giải

D. 403,5

2π
= 0,4( s ) Trong một chu kì vật đi qua vị trí x = −2,5cm 2 lần
ω

A

 x = 2,5cm =
2.

Tại: t = 0 ⇒ 
v > 0
Lại có:

2017
= 1008 dư 1 suy ra t 2017 = 1008T + t1 với t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = −2,5 kể
2

từ khi dao động.(Dư một nên t1 là thời điểm lần thứ 1).

Dựa vào trục thời gian ta có:
t1 = t  A

−A
 → A→

2 
2

=

T T T
T
+ + ⇒ t 2017 = 1008T + = 403,4 s Chọn B
6 4 12
2

 2π 
t
Ví dụ 7:[Trích đề thi đại học năm 2011]. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos

 3 
(x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ khi t = 0 , chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại
thời điểm
A. 3016 s.

B. 3015 s.

C. 6030 s.
Lời giải

D. 6031 s.


Tại thời điểm ban đầu x = 4 = A , T =
Lại có:

2π
= 3( s)
ω

2011
= 1005 dư 1 suy ra t2011 = 1005T + t1 với t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = −2 kể từ
2

khi dao động.(Dư một nên t1 là thời điểm lần thứ 1).

Dựa vào trục thời gian ta có:
t1 = t

−A

 A→

2 


=

T T
T
+
⇒ t2011 = 1005T + = 3016 s Chọn A
4 12
3

π

Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos 5πt − cm ( x tính bằng cm ; t
6

tính bằng s). Thời điểm thứ 2018 vật đi qua vị trí có tốc độ bằng v = 10π cm/s là
A. 401,6

Ta có T =

B. 403,4.

C. 401,3.
Lời giải

D. 403,5.

x = 2 3
2π
= 0,4( s ) . Tại thời điểm t = 0 ⇒ 
ω
v > 0

 x = 2 3cm

v = −10πcm / s
Tại: v = −10πcm / s ⇒ 
.
 x = −2 3cm

v = −10πcm / s
Lại có:

2018
= 1008 dư 2 suy ra t2018 = 1008T + t1 với t1 là thời điểm lần thứ 2 vật qua điểm có vận tốc
4

v = −10π cm / s .(Dư 2 nên t1 là thời điểm lần thứ 2).

Dựa vào trục thời gian ta có:
t1 = t A




−A 3 


→ A→
2
2 
3

=

T
T
⇒ t2018 = 1008T + = 403,4 s Chọn B.
2
2


 5πt π 
+  ( x tính bằng cm ; t tính
Ví dụ 9: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 8 cos
6
 3
bằng s). Thời điểm vật đi qua vị trí có tốc độ bằng v = 4cm lần thứ 2017 là
A. 3024,375s

Ta có T =
Lại có:

B. 3024,75s

C. 3024,5s
Lời giải

2π
= 3( s ) . Tại thời điểm ban đầu
ω

x = 4 3

v < 0

D. 3024,25s

2017
= 1008 dư 1 suy ra t2017 = 1008T + t1 , ở đây t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ
2

x = 4 cm  kể từ khi dao động. (Dư một nên t1 là thời điểm lần thứ 1).

Dựa vào trục thời gian ta có t1 = t A

A
 2 →2÷
÷


3

=

T T
T

− ⇒ t2017 = 1008T + = 3024, 25s Chọn D
6 12
12

π

Ví dụ 10: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 5 cos 5πt +  ( x tính bằng cm ; t tính
6

bằng s). Thời điểm vật đi qua vị trí có tốc độ bằng x = −2,5cm   lần thứ 2017 là
A. 806,8 s.

Ta có T =

B. 806,7.

C. 403,43.
Lời giải

2π
= 0,4( s ) . Tại thời điểm ban đầu
ω

D. 806,633.

 x = 2,5 3

v < 0

Lại có 2017 = 2016 + 1 nên t2017 = 2016T + t1 , ở đây t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ

x = − 2,5 cm  theo chiều dương kể từ khi dao động.

Dựa vào trục thời gian ta có:
t1 = t A




A
→ A → 
2
2
3

=

T T T
7T
+ + ⇒ t2017 = 2016T +
= 806,633s Chọn D
6 4 6
12


Ví dụ 11: [ Trích đề thi thử CHuyên ĐH Vinh 2017] Một vật dao động điều hòa với phương trình

π

x = A cos 2πt − cm ( t tính bằng s). Tính từ thời điểm ban đầu t = 0, khoảng thời gian vật đi qua vị trí
6


cân bằng lần thứ 2017. Theo chiều âm là
A.

6049
s
3

B.

6052
s
3

C. 2016 s

D. 2017 s

Lời giải

A 3
2π
x =
= 1( s ) . Tại thời điểm ban đầu 
Ta có T =
2
ω
v > 0

Lại có 2017 = 2016 + 1 nên t2017 = 2016T + t1 , ở đây t1 là thời điểm đầu tiên vật qua vị trí cân bằng

theo chiều âm.
Dựa vào trục thời gian ta có t1 =
Suy ra T = 2016T +

T T
+
12 4

T T 6049
+ =
s Chọn A
12 4
3

 Dạng 3: Xác định số lần vật qua một li độ x trong một khoảng thời gian cho trước
▪ Xét bài toán: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos( ωt + ϕ ) . Tính từ thời điểm t1, số
lần vật đi qua vịt rí x trong khoảng thời gian ∆t là
▪ Phương pháp giải: TRong một chu kì T vật đi qua vị trí có li độ − A <  x < A (ngoài hai vị trí biên)
hai lần nếu không kể chiều của chuyển động. Nếu tính đến chiều của chuyển động thì sẽ đi qua một lần
duy nhất.
- Bước 1: Tìm trạng thái tại thời điểm ban đầu t = t1 dựa vào pha ban đầu ta suy ra trạng thái của vật:
 x1 = ?

v1 > 0
 v < 0
 1
- Bước 2: Lấy

∆t
, tách ∆t = nT + ∆t '

T

- Bước 3: Xác định trạng thái ( x 2 ; v 2 ) (cũng chính là trạng thái của vật sau thời gian ∆t ' ), biểu diễn trên
trục Ox (hoặc trên vòng tròn lượng giác) và tìm xem trong khoảng thời gian ∆t ' vật có đi qua vị trí có li
độ x lần nào nữa hay không.

π

Ví dụ 1: Một vật dao động điểu hòa dọc theo trục Ox với phương trình x = 5 cos 4πt + (cm) . Số lần
6

vật đi qua vị trí có li độ x = −2,5 cm trong 6,13s đầu tiên là.
A. 21

B. 14

C. 25

D. 27


Lời giải
Ta có T =

2π
∆t
= −,5s ⇒
= 12,26 ⇒ ∆T = 12T + 0,13s
ω
T

 x = 2,5 3
Tại t = 0 vật có trạng thái: 
v < 0
 x = −2,767
Tại thời điểm t = 6,13 vật có trạng thái 
v < 0
Biểu diễn trên trục Ox

Do đó vật qua vị trí có li độ x = − 2,5 cm tổng cộng là 12.2 + 1 = 25 lần. Chọn C.

π

Ví dụ 2: Một vật dao động điểu hòa dọc theo trục Ox với phương trình x = 5 cos 4πt + (cm) ( t tính
6

bằng s). Trong 7,75s đầu tiên vật qua vịt rí có li độ x = 1 cm bao nhiêu lần.
A. 31 lần

B. 30 lần

C. 28 lần
Lời giải

D. 14 lần

 x = 2cm
Tại thời điểm ban đầu vật có 
v > 0
Lại có :

∆t
T
= 15,5 ⇒ ∆t = 15T +
T
2

Trong thời gian

T
cuối vật đến vị trí
2

 x = −2cm

v < 0

Do đó vật qua vị trí có li độ x = 1 cm tổng cộng là 15.2 + 1 = 31 lần. Chọn A
Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với gia tốc cực đại bằng 8π 2 cm/s2 và chu kì bằng 2s. Thời
điểm ban đầu, t = 0 chất điểm có vận tốc 4 3π cm/s và đang tăng. Trong quãng thời gian 5,5s tính từ
thời điểm ban đầu, chất điểm đi qua vị trí cách VTCB một khoảng bằng 8cm bao nhiêu lần?
A. 4

B. 5

C. 6
Lời giải

D. 7

Viết phương trình vận tốc ⇒ pt ly độ kết hợp vịt rí và thời điểm đi qua ⇒ số lần N
T = 2 s ⇒ ω = πrad / s; a max = ω.v max ⇒ v max = 8πcm / s


v(t = 0) = 4 3 , đang tăng ( M ) ⇒ ϕ = −π / 6
⇒ v = 8π . cos(πt − π / 6) ⇒ A = 8π / π = 8cm
⇒ x = 8π . cos(πt − π / 6 − π / 2) = 8 cos(πt − 2π / 3)cm
Vị trí cần xét có x = 8 ⇒ x = ±8cm : 2 vịt rí biên ⇒ 1 T đi qua 2 lần
Tách t = 5,5s = 2.2 + 1,5 = 2T + 1,5s ⇒ α = 2.2π +

3π
2

⇒ Số lần đi qua N = 2.2 + 1 = 5 lần. Chọn B
Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa với gia tốc cực đại bằng 4π 2 cm/s2 và chu kì bằng T = 2 s . Tại
thời điểm ban đầu, chất điểm có vận tốc v = 2π 3 cm/s và đang tăng. Trong quãng thời gian 41,5s chất
điểm có tốc độ bằng một nữa tốc độ cực đại bao nhiêu lần
A. 43 lần
Lời

B. 44 lần

C. 82 lần

giải

Ta

ω=

D. 81 lần
có:

2π
a
= π (rad / s ) ⇒ A = max
= 4(cm)
T
ω2

Do đó vmax = 4πcm / s . Khi v = 2π 3cm / s và đang tăng thì
−A

= −2cm
x =
2
.

v > 0
Khi đó ϕ1 =
Lại có v =
Mặt khác

− 2π
3
vmax
A 3
⇔ x =
=2 3
2

2

∆t
3
3
3
= 20,75 ⇒ ∆t = 20T + T ⇒ góc quét sau T là π
4
T
4
2

Suy ra ϕ 2 = ϕ1 + 1,5π =

5π
suy ra
6

 x2 = −2 3

v2 < 0

Do đó số lần mà x = 2 3 là 20.4+2=82 lần. Chọn C
Ví dụ 5: Một vật dao động điểu hòa dọc theo trục Ox với biên độ A = 4cm và chu kì T =0,4s. Tại thời
điểm ban đầu vật có vận tốc v = 20π 3 cm/s và gia tốc dương. Hỏi sau khoảng thời gian là 1,9s vật đi
qua vị trí có li độ x = -3,5 cm bao nhiêu lần
A. 4 lần

B. 8 lần

C. 10 lần
Lời giải

D. 6 lần


Ta có: ω =

2π
= 5π (rad / s )
T

Tại thời điểm ban đầu

v=

vmax 3
2

và gia tốc dương nên

A

2π
 x = = −2
⇒ ϕ1 = −
2

3
v > 0

Lại có :

∆t
3T
3π
3T
= 4,75 ⇒ ∆t = 4T +
⇒ Góc quét sau
cuối là
4
T
4
2

Do đó ϕ 2 =
Suy ra

 x = −2 3 = −3,464
5π
⇒ 2
6
v2 < 0

3T
cuối vật không qua vị trí có li độ x = -3,5 cm. Vậy n = 4.2 = 8 lần. Chọn B
4

Ví dụ 6: Một vật dao động điểu hòa dọc theo trục Ox với biên độ A = 45cm và chu kì T = 0,5s. Tại thời
điểm ban đầu vật có gia tốc a = −40π 2 cm/s2 và đang ra xa vị trí cân bằng. Hỏi sau khoảng thời gian là
7

s vật đi qua vị trí có li độ thõa mãn v = ω x bao nhiêu lần?
3
A. 9lần

B. 8 lần

C. 17 lần
Lời giải

D. 18 lần

Ta có: ω = 4ω (rad / s )
−a

−π
 x = 2 = 2,5cm
⇔ ϕ1 =
ω
Tại thời điểm ban đầu 
3
v > 0
Mặt khác ta có: ∆t = 4T +

2T
3

suy ra góc quét sau

cuối

4π
⇒ ϕ2 = π
3
2
2
2
2
Mặt khác v = ω x = ω A − x ⇔ 2 x = A ⇔ x =

Do đó trong

A
2

A
2T
cuối vật qua vị trí x =
hai lần
2
3

Suy ra số lần vật có li độ x =

A
trong thời gian trên là n = 4.4+2 = 18 lần. Chọn D
2


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình li độ x = 8 cos(7πt ) + π / 6) cm. Khoảng thời gian tới

thiểu để vật đi từ li độ 4 cm đến vị trí có li độ − 4 3 cm là
A. 1/21s

B. 5/12s

C. 1/14s

D. 1/12s

Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng. Thời gian
ngắn nhất vật đi từ li độ x = A / 2 đến li độ x =A/2 là
A. T/24

B. T/16

C. T/6

D. T/12

Câu 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, chu kì T. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x =
-0,5A đến vị trí có x = ±0,5 A là
A. T/2

B. T/12

C. T/4

D. T/6

Câu 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình li độ x = A sin ωt (cm ). (t tính bằng s). Sauk hi dao

động được 1/8 chu kì dao động vật có li độ 2 2 . Biên độ dao động là
A. 4 2 cm

B. 2 cm

C. .2 2 cm

D. 4 cm

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với chu kì T trên đoạn thẳng PQ. Gọi O, E là lần lượt trung điểm của
PQ và E thuộc OQ sao cho OE = OQ . Thời gian để vật đi từ O đến Q rồi đến E là
A. 5T/6

B. 5T/12

C. T/12

D. 7T/12

Câu 6: Một vật dao động điều hòa với chu kì T trên đoạn thẳng PQ. Gọi O là trung điểm của PQ và E là
điểm thuộc OQ sao cho OE = OQ . Thời gian để vật đi từ O đến P rồi đến E là
A. 3T/8

B. 5T/8

C.T/12

D. 7T/12

Câu 7: Một vật dao động điều hòa với chu kì T trên đoạn thẳng PQ. Gọi O, E là lần lượt trung điểm của

PQ và OQ. Thời gian để vật đi từ O đến P rồi đến E là
A. 5T/6

B. 5T/8

C. T/12

D. 7T/12

Câu 8: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8 cos 2πt (cm), t đo bằng giây. Vật phải mất thời
gian tối thiểu bao nhiêu giây để đi từ vịt rí x = ±8cm về vị trí x =4 cm mà vector vận tốc cùng hướng với
hướng của trục tọa độ:
A. 1/3s

B. 5/6s

C. 1/2s

D. 1/6s

Câu 9: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên một đoạn thẳng xung quanh vị trí cân bằng O. Gọi M,
N là hai điểm trên đường thẳng cùng cách đều O. Biết cứ 0,005 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M, O,
N và tốc độ tại M và N khác O. Chu kì bằng
A. 0,3s

B. 0,4s

C. 0,2s

D. 0,1s

Câu 10: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên một đoạn thẳng, trên đoạn thẳng đó có năm điểm
theo đúng thứ tự M, N, O, P và Q với O là vị trí cân bằng. Biết cứ 0,05s thì chất điểm lại di qua M, N, O,
P và Q. Chu kì bằng:
A. 0,3s

B. 0,4s

C. 0,2s

D. 0,1s

 2πt 
 . Tính từ thời điểm t = 0s thì
Câu 11: Một chất điểm đang dao động điều hòa với li độ x = A cos
 T 
thời điềm lần thứ 203 mà x = 0,5 A là:
A.

301T
6

B.

302T
6

C.

304T
6

D.

305T
6

Câu 12: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có bảy điểm
theo đúng thứ tự M1, M2, M3, M4, M5, M6, và M7 với M4 là là vị trí cân bằng. Biết cứ 0,05s thì chất điểm
lại di qua M1, M2, M3, M4, M5, M6, và M7. Chu kì bằng:
A. 0,3s

B. 0,4s

C. 0,2s

D. 0,6s

Câu 13: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có độ
lớn gia tốc lớn hơn ½ gia tốc cực đại là:
A. T/3

B. 2T/3

C. T/6

D.T/12

Câu 14: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có độ

lớn gia tốc lớn hơn 1 / 2 gia tốc cực đại là:
A. T/3

B. 2T/3

C. T/6

D.T/12

Câu 15: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có độ
lớn gia tốc lớn hơn 0,5 3 gia tốc cực đại là:
A. T/3

B. 2T/3

C. T/6

D.T/2

Câu 16: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có độ
lớn gia tốc lớn hơn 1 / 2 gia tốc cực đại là:
A. T/3

B. 2T/3

C. T/6

D.T/2

Câu 17: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có độ

lớn gia tốc lớn hơn 0,5 3 gia tốc cực đại là:
A. T/3

B. 2T/3

C. T/6

D.T/2

Câu 18: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có bảy điểm
theo đúng thứ tự M1, M2, M3, M4, M5, M6, và M7 với M4 là là vị trí cân bằng. Biết cứ 0,05s thì chất điểm
lại di qua M1, M2, M3, M4, M5, M6, và M7. Tốc độ của nó lúc đi qua điểm M4 là 20πcm / s . Biên độ A
bằng:
A. 4 cm

B. 6 cm

C. .4 2 cm

D .4 3 cm


Câu 19: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ 10(cm) và tần số góc 10 (rad/s). Khoảng thời gian
ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ x = ±3,5cm đến vị trí có li độ + 10cm là
A. 0,036s

B. 0,121s

C. 2,049s

D. 6,951s

Câu 20: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ 4(cm) và tần số góc 0,9 (s). Khoảng thời gian ngắn
nhất để nó đi từ vị trí có li độ x = ±3cm đến vị trí cân bằng
A. 0,1035s

B. 0,1215s

C. 6,9601s

D. 5,9315s

π
 10π
t +  cm. Xác định thời điểm
Câu 21: Một chất điểm đang dao động điều hòa với li độ x = 6 cos
6
 3
thứ 2013 vật cách vị trí cân bằng 3cm
A. 302,15s

B. 301,85s

C. 302,25s

D. 301,95s

π
 10π
t +  cm. Xác định thời điểm

Câu 22: Một chất điểm đang dao động điều hòa với li độ x = 6 cos
6
 3
thứ 2014 vật cách vị trí cân bằng 3cm
A. 302,15s

B. 301,85s

C. 302,25s

D. 301,95s

π
 50π
t + ÷ cm. Xác định thời điểm
Câu 23: Một chất điểm đang dao động điều hòa với li độ x = 4 cos 
6
 3
thứ 2011 vật có động năng bằng thế năng
A. 60,265s

B. 60,355s

C. 60,325s

D. 60,295s

π
 10π
t +  cm. Xác định thời điểm

Câu 24: Một chất điểm đang dao động điều hòa với li độ x = 6 cos
6
 3
thứ 2016 vật cách vị trí cân bằng 3cm
A. 302,15s

B. 301,85s

C. 302,25s

D. 301,95s

π

Câu 25: Một chất điểm đang dao động điều hòa với li độ x = 6 cos10πt +  cm. Xác định thời điểm
6

thứ 300 vật cách vị trí cân bằng 3cm
A. 30,02s

B. 28,95s

C. 14,85s

D. 14,95s

 2πt 
 Tính từ thời điểm t = 0s thì thời điểm lần
Câu 26: Một vật dao động điều hòa với li độ x = A cos
 T 

thứ 3 mà x = 0,5 A là:
A.

6031T
6

B.

12055T
6

C.

7T
6

D.

4T
6

 2πt 
 Tính từ thời điểm t = 0s thì thời điểm lần
Câu 27: Một vật dao động điều hòa với li độ x = A cos
 T 
thứ 5 mà x = 0,5 A là:
A.

6031T
6

B.

12055T
6

C.

7T
6

D.

4T
6


 2πt 
 Tính từ thời điểm t = 0 thì thời điểm lần thứ
Câu 28: Một vật dao động điều hòa với li độ x = A cos
 T 
201 mà x = 0,5 A là:
A.

301T
6

B.

302T

6

C.

302T
6

D.

305T
6

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có
li độ x = 4 =

A
đến điểm có li độ
2

x = −4 3 = −

A 3
là
2

t=

T T T 2π
1

+ = =
= ( s ) . Chọn C
12 6 4 4ω 14

T T  T
Câu 2: Thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ x = A / 2 đến li độ x = A/2 là t min =  −  =
.
 8 12  24
Chọn A.
Câu 3: Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm

có li độ x =
t=

−A
A
đến điểm có li độ x = là
2
2

T
T T
+
= . Chọn D.
12 12 6

Câu 4: Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x = 0 và đi theo chiều dương.
Sau

T

A 2
chu kỳ vật sẽ có li độ x =
= 2 2 ⇒ A = 4(cm) . Chọn D.
8
2

Câu 5: Chọn P, Q lần lượt là biên âm và biên
dương
Ta có tOQ + tQE =

T T 5T
+ =
Chọn B.
4 6 12

Câu 6: Chọn P, Q lần lượt là biên âm và biên
dương
t OP + t PE =

T T T 5T
+ + =
Chọn B
4 4 8
8


Câu 7: Chọn P, Q lần lượt là biên âm và biên dương
t OP + t PE =

T T T 7T

+ +
=
Chọn D
4 4 12 12

Câu 8: Ta có
T=

2π
A
= 1( s); x = 8 = A; x = 4 =
ω
2

ĐK bài toán ⇔ vật đi từ vị trí biên dương về biên
âm sau đó đến vị trí x =4. Như vậy thời gian di
chuyển của vật là
t =T −

T 5T 5
=
= ( s ) . Chọn B
6
6 6

π
∆ϕ
20π
2π
2π

= 3 =
rad / s ⇒ T =
=
= 0,3s (s) Chọn A
Câu 9: Ta có ω =
∆t 0,05
3
ω 20π
3
π
Câu 10: ω = ∆ϕ = 4 = 5πrad / s ⇒ T = 2π = 2π = 0,4 s Chọn B
∆t 0,05
ω 5π
Câu 11: Ta có t = 0 ⇒ x = A vật ở biên dương
Ta có

203
= 50 dư 2 suy ra t203 = 50T + t1 với t1 là thời điểm thứ 3 vật đi qua tọa độ x = 0,5 A kể từ khi
4

dao động.
Vẽ trục ta dễ dàng có được t1 =

T T
4T 304
+ ⇒ t 201 = 50T +
=
T . Chọn C
2 6
6

6

Chọn 12: M1, M7 nằm ở hai vị trí biên nên ω =

π
10π
=
rad / s ⇒ T = 0,6 s . Chọn D
6.0,05
3

Chọn 13: Dựa vào trục thời gian, ta thấy gia tốc của vật
được biểu diễn bằng nét đậm màu đỏ , khi đó trong một
chu kỳ để vật có độ gia tốc lớn hơn
 T T  2T
t = 2. +  =
Chọn B
6 6 3

1
amax là
2


Câu 14: Dựa vào trục thời gian, ta thấy gia tốc của vật được
biểu diễn bằng nét đậm màu đỏ , khi đó trong một chu kỳ để
1
T T  T
amax là t = 2. +  =
2

8 8 2

vật có độ gia tốc lớn hơn
Chọn D

Câu 15: Dựa vào trục thời gian, ta thấy gia tốc của vật
được biểu diễn bằng nét đậm màu đỏ , khi đó trong một
chu kỳ để vật có độ gia tốc lớn hơn

amax 3
là
2

T T  T
t = 2. +  = Chọn A
 12 12  3
Câu 16: Dựa vào trục thời gian, ta thấy gia tốc của vật được
biểu diễn bằng nét đậm màu đỏ , khi đó trong một chu kỳ để
vật có độ gia tốc lớn hơn

amax
T T  T
là t = 2. +  = Chọn
2
8 8 2

D
Câu 17: Dựa vào trục thời gian, ta thấy gia tốc của vật
được biểu diễn bằng nét đậm màu đỏ , khi đó trong một
chu kỳ để vật có độ gia tốc lớn hơn

 T T  2T
amax 3
là t = 2. +  =
Chọn B
6 6 3
2

Câu 18: Hai điểmM1, M7 nằm ở hai vị trí biên nên ω =

π
10π
=
rad / s . Tốc độ của vật tại vị trí M4
6.0,05
3

(vị trí cân bằng) là 20π ⇒ vmax = ωA = 20π ⇒ A = 6cm . Chọn B
Câu 19: Thời gian ngắn nhất thời gian vật chuyển động từ M đến A
trên đường tròn lượng giác
Ta có A cos ωtmin = OM '
⇒ cos10t min =

7
⇒ t min = 0,121s Chọn B
20


Câu 20: Ta có A sin ωtminOM ' = 4
⇔ sin

2π
3
.t min = ⇔ t min = 0,2115 s. Chọn B
T
4

Câu 21: Ta có T =

x = 3 3
2π
= 0,6( s ) Tại t = 0 ⇒ 
Trong một chu kì vật cách VTCB 1 khoảng 3cm
ω
v < 0

4 lần
Mặt khác:

2013
= 503 dư 1 suy ra t2013 = 503T + t1 với t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = 3 kể từ
4

khi dao động
T
T T  T
Vẽ trục ta có được t1 =  −  = t 2013 = 503T + = 301,95( s ) . Chọn B
4
 6 12  12
Câu 22: Ta có T =

x = 3 3
2π
= 0,6( s ) Tại t = 0 ⇒ 
Trong một chu kì vật cách VTCB 1 khoảng 3cm 4
ω
v < 0

lần
Mặt khác:

2014
= 503 dư 2 suy ra t4 = 503T + t1 với t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = 3 kể từ
4

khi dao động
T
T T  T
Vẽ trục ta có được t1 =  +  = ⇒ t2014 = 503T + = 301,95( s ) . Chọn D
4
 6 12  4
Câu 23: Ta có T =

x = 2
2π
= 0,6( s ) Tại t = 0 ⇒ 
Trong một chu kì vật cách có động năng bằng thế
ω
v < 0

năng 4 lần tại điểm có li độ x =
Mặt khác:

x =

±A
2

2011
= 502 dư 3 suy ra t2013 = 502T + t1 với t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ
4

A
= 2 2 kể từ khi dao động
2

Vẽ trục ta có được t1 =
Câu 24: Ta có T =

T T T 11T
11T
− + =
⇒ t2013 = 502T +
= 60,325( s) . Chọn C
12 2 8
24
4

x = 3 3
2π

= 0,6( s ) Tại t = 0 ⇒ 
. Trong một chu kì vật cách VTCB 1 khoảng 3cm
ω
v < 0

4 lần
Mặt khác:

2016
4
= 503 + suy ra t2016 = 503T + t1 với t1 là thời điểm thứ 4 vật qua tọa độ x = 3(cm) kể
4
4

từ khi dao động.


Vẽ trục ta có được t1 =

Câu 25: Ta có T =

T T T 3T
3T
− +
=
⇒ t2016 = 503T +
= 302,25( s ) .Chọn C
6 2 12
4
4

x = 3 3
2π
= 0,2( s) Tại t = 0 ⇒ 
. Trong một chu kì vật cách VTCB 1 khoảng 3cm
ω
v < 0

4 lần
Mặt khác:

300
4
= 74 + suy ra t300 = 74T + t1 với t1 là thời điểm thứ tư vật qua tọa độ x = 3(cm) kể từ
4
4

khi dao động
Vẽ trục ta có được t1 =

T T T 3T
3T
− +
=
⇒ t300 = 74T +
= 14,95( s ) . Chọn D
6 2 12
4
4

Câu 26: Ta có t = 0 ⇒ x = A vặt ở biên dương
Vẽ trục suy ra thời điểm lần thứ 3 mà x = 0,5 A là t = T =

T T 4T
+ =
Chọn D
2 6
6

Câu 27: Ta có t = 0 ⇒ x = A vặt ở biên dương
Vẽ trục suy ra thời điểm lần thứ 5 mà x = 0,5 A là t = T = T +

T 7T
=
Chọn C
6
6

Câu 28 Ta có t = 0 ⇒ x = A vặt ở biên dương
Ta có:

201
= 50 dư 1 suy ra t201 = 50T + t1 với t1 là thời điểm đầu tiên vật qua tọa độ x = 0,5 A kể từ khi
4

dao động
Vẽ trục ta dễ dàng có được t1 =

T
T 301T

⇒ t201 = 50T + =
Chọn A
6
6
6