SKKN: Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10

Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học
tự chọn môn toán lớp 10

1


PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Bất đẳng thức và các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
các vấn đề đã được đề cập trong chương trình sách giáo khoa môn toán ở bậc Trung học
phổ thông. Thời gian giảng dạy chủ đề này không nhiều, mức độ bài tập trình bày trong
sách giáo khoa và sách bài tập đều ở dạng cơ bản. Tuy nhiên trong các kỳ thi Đại học và
các kỳ thi học sinh giỏi thì các bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất lại là một đỉnh cao mà rất ít học sinh có thể vượt qua. Rất nhiều học sinh còn
lúng túng trước các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đặc biệt là
học sinh lớp 10.
Trong những năm gần đây thực hiện chương trình giảm tải của Bộ giáo dục, môn
toán chương trình ban cơ bản của lớp 10 còn 3 tiết trên tuần. Trường THPT Nguyễn
Trung Ngạn xây dựng kế hoạch giảng dạy thêm một tiết tự chọn dành cho môn toán dạy
theo chủ đề bám sát. Căn cứ vào kế hoạch của nhà trường, của Ban chuyên môn, Tổ toán
đã xây dựng kế hoạch dạy tự chọn môn toán lớp 10 theo từng chủ đề, bám sát với phân
phối chương trình của Sở giáo dục trong đó có chủ đề : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biếu thức, chủ đề này được thực hiện sau khi học sinh học xong bài Bất đẳng
thức.
Năm học 2012-2013 tôi được nhà trường phân công giảng dạy lớp 10A1.Thực tế
trong những năm học trước bản thân tôi cũng đã có những băn khoăn trăn trở về cách
hướng dẫn học sinh học giờ tự chọn như thế nào cho hiệu quả và làm thế nào để học sinh
có hứng thú học trong các giờ tự chọn? Trong khi tài liệu chung để học sinh và giáo viên
tham khảo không có. Khóa học 2008 - 2011 tôi đã mạnh dạn đưa một số dạng bài tập tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào giảng dạy ở giờ tự chọn và học sinh đã có hứng thú
trong việc giải các dạng bài tập đó.Tuy nhiên kết quả thi học sinh giỏi cấp tỉnh học sinh

chỉ đạt giải ba, còn thi đại học mới có một số em đạt điểm 9 khối A và khối B. Trong
năm học này tôi mạnh dạn giới thiệu cho học sinh lớp 10 một số dạng bài toán tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức để giúp bồi dưỡng tư duy cho học sinh, nâng cao năng
lực, rèn luyện kỹ năng giải toán và đặc biệt tạo cho học sinh hứng thú học trong giờ tự
chọn và lòng đam mê chinh phục đỉnh cao trong các kỳ thi sắp tới.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trong các
kỳ thi và nó có sức hấp dẫn đối với học sinh khá giỏi và cả những người say mê toán.Đối
với đối tượng học sinh lớp 10 các em chưa học đạo hàm nên chỉ dừng lại ở một số
phương pháp cơ bản để giải các bài toán đó.Tuy nhiên thời gian dạy chủ đề này không
nhiều nên tôi chỉ dừng lại ở việc giới thiệu các bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ
nhất bằng bất đẳng thức giúp cho các giờ học tự chọn đạt hiệu quả và học sinh thích học
giờ tự chọn hơn. Chính vì lý do đó tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến
“ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10”. Xin trao đổi cùng
các đồng nghiệp.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh lớp 10 nâng cao khả năng tư duy toán học, có những suy nghĩ tích
cực trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Học sinh thích học các giờ tự
chọn hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh say mê nghiên cứu toán học, ham học hỏi. Tạo
cho học sinh có niềm tin, mơ ước chinh phục được đỉnh cao của trí tuệ.
2


III PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 10A1 của Trường THPT Nguyễn Trung Ngạn trong giờ học tự chọn môn
toán.
2. Phạm vi nghiên cứu:
“ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10” bằng các bài toán
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât.

IV. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường ĐHSP,
các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo
khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học phổ thông …
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu sách tham khảo, đề thi học sinh
giỏi, mạng Internet, các tài liệu liên quan khác…
– Phương pháp khảo sát thực tiễn: Khảo sát học sinh lớp 10A1 của Trường
THPT Nguyễn Trung Ngạn.
– Phương pháp quan sát : Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT
Nguyễn Trung Ngạn
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm, cho đề kiểm tra
khảo sát kết quả sau khi thực hiện chuyên đề.
– Phương pháp thống kê toán học.
VI. THỜI GIAN THỰC HIỆN
- Đề tài được thực hiện từ ngày 20 - 03 -2013 đến ngày 10 - 04 - 2013
VII. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài được sử dụng trong giờ học tự chọn môn toán của lớp 10A1 và dùng để bồi
dường học sinh thi Đại học , bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh.

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
I. Khảo sát tình hình thực tế
Năm học 2012 – 2013, tôi được BGH nhà trường phân công giảng dạy môn toán
lớp 10A1. Đây là một cơ hội rất tốt để tôi thực hiện đề tài này.Bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những dạng bài toán khó. Trong quá trình giải toán học
sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh đã đạt giải học sinh giỏi cấp tỉnh ở cấp
THCS. Sau khi học sinh học xong bài bất đẳng thức và một số ứng dụng tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Tôi tiến hành khảo sát trên 46 học sinh ở lớp 10A1 và
kết quả đạt như sau:

11/46 HS đạt điểm trên trung bình
35/46 HS đạt điểm dưới trung bình

3


II. Nội dung đề tài:
A Kiến thức cơ bản:
* Một số bất đẳng thức cần nhớ:
- Bất đẳng thức Côsi

a1  a 2  a3  ....  a n n
 a1 a 2 a 3 ....a n Với ai  0
n
Dấu bằng xảy ra khi a1  a2
- Các bất đẳng thức khác :
1. x 2  y 2  2 xy

 ...  an

2. x 2  y 2  xy
2

3,  x  y   4 xy
4.

a b
 2
b a

5.

1 1
4
 
( Khi b , c  0)
b c bc

6.

1 1
8
với a ,b > 0
 2
2
a b
( a  b) 2

 
 
 
u

v

u
 v , Với mọi u,v
7.

B Giới thiệu các bài toán

- Bài tập học sinh thực hiện trên lớp: Từ bài 1 đến bài 20
- Bài tập học sinh thực hiện ở nhà : Từ bài 21 đến hết.
I.1 Giới thiệu các bài toán thực hiện trên lớp:
Bài 1: Cho x,y,z là các số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x
y
z


x 1 y 1 z 1
 1
1
1
1
1
1 
Lời giải: Ta có P = 1 
1
1
3


 ( 1)
x 1
y 1
z 1
 x 1 y 1 z 1
P=

Theo bất đẳng thức Cô si ta có :

 1
1
1 


  9 .(2)
 x 1 y 1 z 1
9
1
1
1
Mặt khác theo giả thiết x+ y+ z = 1 nên từ(2) ta có
 (3)


4
x 1 y 1 z 1

( x  1)  ( y  1)  ( z  1)

4


3
1
. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = .
4
3

3
1
Vậy Max P =
khi và chỉ khi x = y = z = .
4
3
Từ (3) và (1) Ta có P 

Bài 2: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy2z2 + x2z +y = 3 z2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

z4
1  z 4 (x4  y4 )

1
1
  x4  y 4   4
P
z
2
x
y
Từ giả thiết suy ra xy2 +
 2  3 . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :
z z
1
x8
x2
4
4

4
1  4  x  x  4 4  4 (1)
z
z
z
Lời giải: Ta xét

1+

1 1
y4
y
4
4


y

4
 4 2 (2)
4
4
8
z
z
z
z
4

8

1+ x4 + y4 +y4  4 4 x y = 4xy2 (3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được
3 +3(

 x2 y
1
1
1
4
4
2

x

y
)

4
 3  P  . Dấu
  2  xy   12 
4
z
P
3
 z z


bằng xảy ra khi x =y = z = 1.
Vậy Max P =

1
khi và chỉ khi x =y = z = 1.
3

Bài 3 Cho a, b, c là các số thục dương thỏa điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

1
1
1
 2
 2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a 2  3
Lời giải : Do a2+b2  2ab, b2 + 1  2b khi đó :
1
1
1


a 2  2b 2  3 a 2  b 2  b 2  1  2 2(ab  b  1)
1
1
1
1
Tương tự 2
và 2


2

2
b  2c  3 2(bc  c  1)
c  2a  3 2(ac  c  1)
1
1
1
1

Khi đó P  



2  ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1 
1
1
1
ab
b
 1



.
(
Do
c

và ac =
P  


ab
2  ab  b  1 ab  b  1 ab  b  1  2
1
)
b
biểu thức P =

2

Dấu bằng trong BĐT trên xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy Max P =

1
khi và chỉ khi a = b = c = 1
2

Bài 4 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên)
5


Cho a, b, c là các số dương tùy ý và thỏa điề kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P =

ab
bc
ac


2c  ab
2a  bc

2b  ac

Lời giải: Ta có 2c + ab = c( a+b+c) + ab = c2 + c( a+b) + ab = ( c+a)( c+b)

Xét

ab
ab
1

 ab
(c  a )(c  b )
2c  ab
(c  a )(c  b )

1
1  1  ab
ab 
 1
(ab ) 


 

2
 c  a c  b  2 c  a c  b 
ab
1  ab
ab 
 


 (1). Tương tự ta có :
2c  ab 2  c  a c  b 
bc
1  bc
bc 
 

 (2)
2a  bc 2  a  b a  c 
ac
1  ac
ac 
 

 (3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta
2b  ac 2  a  b b  c 


Vậy

được

1  ab
bc
ab
ac
bc
ac  1







 = (a  b  c )  1.
2 c  a c  a b  c b  c a b a b  2
2
P = 1 khi a = b = c = .
3
2
Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi a = b = c = .
3
3
Bài 5 Cho a,b,c là ba số dương thỏa điều kiện a+ b+ c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
4
1
1
1
thức P =
.
3
3
3
a  3b
b  3c
c  3a
1 1 1
Lời giải: Áp dụng BĐT (x+y+z)      9 ta có
x y z

1
1
1

 3
3
3


3
 a  3b  b  3c  c  3a  9
3
3
b  3c
c  3a 
 a  3b
9
Khi đó P 
. Mặt khác theo BĐT Cô si ta có :
3
a  3b  3 b  3c  3 c  3a
a  3b  1  1 a  3b  2
3
a  3b  3 (a  3b).1.1 
=
3
3
a  3b  2
b  3c  2
Hay 3 a  3b 

, tương tự 3 b  3c 
và
3
3
c  3a  2
3
c  3a 
3
4(a  b  c )  6
Suy ra 3 a  3b + 3 b  3c + 3 c  3a 
=3
3
P



6




Vậy P  3 . Dầu bằng xảy ra khi a = b =c =

1
.
4

1
.
4

Kết luận : Min P = 3 khi a = b = c =

Bài 6 Cho các số không âm x , y, z thỏa mãn x2 + y2 +z2

 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của

1
4
8


2
2
( x  1) ( y  2) ( z  3) 2
Lời giải : Ta có 2x + 4y + 2z  ( x2 + 1) + ( y2 + 4) + (z2 + 1)  3y + 6
y
Suy ra x + y + 2z  6 Dấu bằng xảy ra khi x = = z = 1.
2
1 1
8
Với a và b là các số dương ta có : 2  2 
( 1)
a b
( a  b) 2
biểu thức P =

Áp dụng BĐT (1) ta được :

1

1
8
8
8




2
2
2
2
2
( x  1)  y  ( z  3)
y  ( z  3)

  1
 x  1   1
2 
2 

64
64.4
64.4



1
2
(2 x  y  2 z  10)2 (6  10)2

y


 x   2  z  3
2


Vậy Min P = 1 khi x = 1, y = 2 , z = 1
Bài 7 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 3x2 + 3y2 + z2
Lời giải: Ta có 2P = ( 4x2 + z2) + (4y2+ z2) +(2x2+ 2y2)
Áp dụng BĐT Cô si ta có 4x2 + z2  4xz , 4y2 + z2  4yz, 2x2 + 2y2  4xy
Khi đó 2P  4( xy + yz + zx) = 20 hay P  10 .
P =10 khi x = y = 1 , z =2
Kết luận Min P = 10 khi và chỉ khi x = y =1 , z= 2
Bài 8 Cho x  0 , y  0 và x  y  1 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

x2
y2
P=
+
.
y +1 x +1
Lời giải : Ta có: P =
=

 x + y   x 2 - xy + y 2  + x 2 + y 2
x + y + xy +1
2

=

x2
y2
x 3 + y3 + x 2 + y2
+
=
y +1 x +1
x + y + xy +1

2  x + y  - 5xy
2 + xy

=





2 x 2 + y 2 - xy
=

2 + xy

(vì x+y =1)

2 - 5xy
2 + xy

 x  y

0  xy 

2

1
1
hay 0  t 
4
4
4
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
12
2  5t
1
thức f (t ) 
với 0  t  . Ta có f(t) = -5 +
.
2t
4
t2
Đặt t = xy . Khi đó



7


Để f(t) lớn nhất thì tổng t +2 nhỏ nhất hay t = 0 vì
Để f(t) nhỏ nhất thì tổng t +2 lớn nhất hay t =

0t 

1
vì
4

1
.
4
0t 

1
4

Vậy MaxP = 1 khi x= 1, y =0 hoặc x= 0 ,y= 1
1
1
MinP =
khi x = y=
3
2
Bài 9 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 2 x 2  2 y 2  xy  1 . Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 7( x 4  y 4 )  4 x 2 y 2
1
Lời giải: Ta có: 1  2 x 2  2 y 2  xy  2( x  y ) 2  5 xy  5 xy  xy  
5
1
1
1
1  2 x 2  2 y 2  xy  2( x  y ) 2  3xy  3xy  xy     xy 

3
5
3

P  7[( x 2  y 2 )2  2 x 2 y 2 ]  4 x 2 y 2  7( x 2  y 2 )2  10 x 2 y 2
1  xy 2
33
7
7
 7(
)  10 x 2 y 2   x 2 y 2  xy 
2
4
2
4
1 1
33 2 7
7
Đặt t = xy, t  [- ; ]  P = - t  t 
5 3
4
2
4
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
33 2 7
7
1 1
P=t  t  trên đoạn [- ; ]
4
2 4

5 3
Sử dụng bảng biến thiên của hàm số bâc hai học sinh tìm được:

70
7
18
1
 xy  , MinP 
 xy  
33
33
25
5
2
2
2
Bài 10 Cho x, y, z  0 và x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
MaxP 

P=

x3
1  y2



y3
1  z2



Lời giải: Ta có: P + 3 = (

1  x2
x3

1  y2

y3

2

 y )(

1  z2

y3

x3

y3

1  z2
(


)
2 1  z2 2 1  z2 4 2

z3

z3

1  x2
(


)
2 1  x2 2 1  x2 4 2

8

2

 z )(

1  y2
 P
(


)
4 2
2 1  y2 2 1  y 2 4 2
6

x3

z3
z3

1  x2

 x2 )


x6
y6
z6
3
3
P
3
3
3
4 2
16 2
16 2
16 2
6

hay P 

3

3
2 2

Suy ra P 

3



(x2  y2  z2 ) 

23 2 2

9
2 6 23



3
2 2



9
2 2



9
26 8

3
2 2



3
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy MinP =

3
2

Bài 11 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện:
xy + yz + zx  2xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
1 1 1
Lời giải: Ta có xy  yz  xz  2 xyz     2 nên
x y z
1
1
1 y  1 z 1
( y  1)( z  1)
 1   1 

2
(1)
x
y
z
y
z
yz

Tương tự ta có

1
1
1 x 1 z 1
( x  1)( z  1)
 1   1 

2
(2)
y
x
z
x
z
xz

1
1
1 x 1 y  1
( x  1)( y  1)
 1 1 

2
(3)
y
x
y
x
y
xy

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( x  1)( y  1)( z  1) 

1
1
. Suy ra A 
8
8

1
3
x yz
8
2
Bài 12 Với mọi số thực dương x; y; z thỏa điều kiện x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất

Vậy MaxA =

1 1 1
P  x  y  z  2    .
x y z
2
1
Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si : 18 x   12 (1). Dấu bằng xảy ra khi x  .
x
3
2
2
Tương tự: 18 y   12 (2) và 18 z   12 (3).
y
z

Mà: 17  x  y  z   17 (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P  19 .
1
1
P  19  x  y  z  . Vậy MinP = 19  x = y = z =
3
3
1 1 1
Bài 13 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn    4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
x y z
1
1
1


thức: P 
2x  y  z x  2y  z x  y  2z
1
11 1
    . Dấu bằng xảy ra khi a = b .
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức:
ab 4a b
của biểu thức:

Ta có :

1
1 1
1
1
1 1 1

 .( 
)
   
2x  y  z 4 2x y  z 8x 16  y z 
9


Hay

1
1
1  1 1

    (1).
2x  y  z 8x 16  y z 
1
1
1 1 1

    (2)
x  2y  z 8y 16  x z 

Tương tự

1
1 1 1 1
     (3)
x  y  2z 8z 16  x y 
Cộng vế với vế của (1),(2),(3) và áp dụng giả thiết ta được P  1
3

3
Mà P =1 Khi x = y = z = . Vậy Max P = 1  x = y = z = .
4
4
Bài 14 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ
a  b2 b  c2 c  a2


nhất của biểu thức: P =
bc
ca
ab
2
a
b
c
b
c2
a2
(


)

(


)  A B
Lời giải: .Ta có: P =
bc ca a b

bc c a ab

A3

1
1
1 
 1
(a  b)  (b  c)  (c  a )  



2
 a  b b  c c  a 

1
1
1
1
9
 3 3 (a  b)(b  c )(c  a )3 3

2
ab bc ca 2

 A

3
2

Và

a2
b2
c2
1
1  (a  b  c)  (


)(a  b  b  c  c  a )  1  B.2  B 
ab bc ca
2
3 1
1
Từ đó P    2 . Để P = 2 thì a = b = c = .
2 2
3
1
Vậy Min P = 2  a = b = c = .
3
Bài15 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x  y  5 .
4x  y 2x  y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

xy
4
2

2

4x  y 2 x  y 4 1 x y 4 y 1 x y

        
xy
4
y x 2 4 y 4 x 2 2
Thay y  5  x ở tỉ số cuối được:
Lời giải: P 

4 y 1 x 5 x 4 y 1
5
4 y
1
5 3
   
    x   2 .  2 .x  
y 4 x 2
2
y 4 x
2
y 4
x
2 2
P = 3 khi x  1; y  4 Vậy Min P = 3
2
2

P

Bài 16 Cho x, y, z > 0 thỏa điều kiện xyz = 1.

1  x3  y3
1  y3  z3
1  z 3  x3


.
xy
yz
zx
Lời giải: Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:
Tìm GTNN của S 

10


1  x3  y 3  3 3 1.x3 . y 3  3xy 

Tương tự:

1  y3  z 3
3

;
yz
yz

1  x3  y 3

xy

3
xy

1  z 3  x3
3

zx
zx

3
3
3
1  x3  y 3
1  y3  z 3
1  z 3  x3





Suyra: S 
xy yz zx
xy
yz
zx
3

3
3

3
.
.
 3 3 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.
xy yz zx

Vậy MinS = 3 3 khi x = y = z = 1.
Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2  3. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P 

1
1
1


1  xy 1  yz 1  zx



1
1
1 


9
 1  xy 1  yz 1  zx 

Lời giải: Ta có:  (1  xy )  (1  yz )  (1  zx )  

P

9
9

2
3  xy  yz  zx 3  x  y 2  z 2

3
khi x = y = z= 1
2
3
Vậy Min P =
 x = y = z= 1
2
Mà P =

Bài 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
Lời giải: Ta có : P 

x 2 (y  z) y2 (z  x) z 2 (x  y)


yz
zx
xz

x 2 x 2 y2 y 2 z 2 z 2




 
y
z
z
x
x
y

(*)

Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y 

x 2 y2

 x  y x, y > 0
Do đó : x + y  xy(x + y) x, y > 0 hay
y
x
3

3

2
2
y2 z 2
  y  z y, z > 0 và z  x  z  x x, z > 0
Tương tự, ta có :
z
y

x
z

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z =

1
. Vì vậy Min P = 2.
3

Bài 19 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  xyz . Hãy
x
y
z
 2
 2
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2
.
x  yz y  zx z  xy
Lời giải: Vì x; y; z  0 , Áp dụng BĐT Côsi ta có:
11


P



x
2 x 2 yz



y
2 y 2 zx



z
2 z 2 xy



1  2
2
2 


4  yz
zx
xy 

1  1 1 1 1 1 1  1  yz  zx  xy  1  x 2  y 2  z 2
       
  
4  y z z x x y  2 
xyz
xyz
 2

Dấu bằng xảy ra  x  y  z  3 . Vậy MaxP =

1
2

 1  xyz  1
  
 
 2  xyz  2

 x y z3

x
Bài 20 Cho x,y  R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

3

 y3    x2  y2 
( x  1)( y  1)

Lời giải: Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy 

P

t2
4

t2
t 3  t 2  xy (3t  2)
. Do 3t - 2 > 0 và  xy  

nên ta có
xy  t  1
4

t 2 (3t  2)
t2
4
P

t2
t2
 t 1
4
t2
4
 t 2
 4  8 . f(t) = 8 khi t = 4
Xét biểu thức f(t) =
t 2
t 2
t3  t2 

Do đó min P =

min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi  x  y  4   x  2
(2;  )

 xy  4
I.2 Các bài toán giao về nhà cho học sinh thực hiện

y  2

Bài 21 Cho x  0, y  0, x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

x
y

1 x
1 y

x 1 1 y 1 1
1
1



 ( 1  x  1  y ) . Có
1 x
1 y
1 x
1 y
1
1
2
2




= 2 2 (1)
1 x
1  y 4 (1  x )(1  y )
1 x 1 y
2
Mặt khác: 1  x  1  y  2. 1  x  1  y = 2
(2)
1
Từ (1) và (2)  P  2 . Dấu “ = “  1 – x = 1 – y  x = y =
2
1
Vậy Min P = 2 khi x = y =
2
Bài 22 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
Lời giải:

Lời giải:

P=

S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2 y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
= 16x2 y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2 y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
12


= 16x2 y2 – 2xy + 12
Đặt t = x.y, vì x, y  0 và x + y = 1 nên 0  t 

1

.
4

Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 = f(t). Hàm số f(t) xét trên đoạn 0  t 
trị lớn nhất tại t =

1
1
, đạt giá trị nhỏ nhất tại t =
4
16

25
1
khi x = y =
2
2


2 3
2 3
 x 
 x 
191
4
4
Min S =
khi 
hay 
2


3
2

3
16
y 
y 



4
4

Max S =

Bài 23 Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x
y
z 
P  3 4(x3  y3 )  3 4(x 3  z3 )  3 4(z3  x3 )  2 
 

 y 2 z2 x 2 


Lời giải: Với x, y > 0 ta chứng minh :
4(x3 + y3)  (x + y)3 () Dấu = xảy ra  x = y
Thật vậy ()

 4(x + y)(x2 – xy + y2)  (x + y)3
 4(x2 – xy + y2)  (x + y)2 do x, y > 0
 3(x2 + y2 – 2xy)  0  (x – y)2  0 (đúng)
4(y3 + z3)  (y + z)3 Dấu = xảy ra  y = z

Tương tự ta có

4(z3 + x3)  (z + x)3 Dấu = xảy ra  z = x
Do đó

3







 x
y
z 
Ta lại có 2 2  2  2  
z
x 
y

Suy ra







6
xyz

Dấu = xảy ra  x = y = z

4 x 3  y3  3 4 y3  z3  3 4 z3  x 3  2  x  y  z   6 3 xyz

3


1 
P  6 3 xyz 
 12
3
xyz 


xyz  1
Dấu = xảy ra  
x=y=z=1
x  y  z
Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1
Bài 24 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  4.
3x 2  4 2  y3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A 


.
4x
y2

Lời giải: Ta có

A =

3x 2  4 2  y3 3x 1 2


 
y
4x
4 x y2
y2

13

1
đạt giá
4


 A

Với x = y = 2 thì A =

 1 y y xy
x 1

3
9
 1  2  .
  2 2    
4 x
8 8
2
2
2
y

9
.
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

9
2

 xy  0

. Tìm GTLN của biểu thức A 

Bài 25 Cho 

1 1

x3 y 3

2
2
( x  y ) xy  x  y  xy
 xy  0
1 1 1
1
1
   2 2
Lời giải: Ta có: 
(1)
2
2
x y x
y
xy
 xy  x  y   x  y  xy
2

1 1 1 1  3 2
   
  y  0 . Ta đặt a = 1/x, b = 1/y
x y  x 2y  4

a  b  0

2
2
 a  b  a  b  ab
Mà A 

1 1
2
 3  a 3  b3   a  b   a 2  b 2  ab    a  b  (*).
3
x
y

Cách 1:
Ta có: A = ( a + b)2 

A  a b
3

a 3  b3  a  b 

Ta biết :
 ( vì a + b > 0 )
2
 2 
“ = “ xảy ra  a = b.
3

A  A

Từ đó suy ra :
  A  16
2  2 
“ = “ xảy ra  a = b = 2.
Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2.
Cách 2 :

Ta có: A= a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2 ) = (a + b)2.
Từ (1) suy ra : a + b = (a + b)2 -3ab
Mà:

ab  (

ab 2
3
2
)  a  b   a  b   ( a  b) 2
2
4
2

  a  b   4(a  b)  0  a  b  4  vi : a  b  0 
 A  (a  b) 2  16
Vậy MaxA = 16. khi x = y = ½.
Cách 3:
Đặt S = x + y , P = xy với S2 - 4P  0 .

S , P  0
S2
S 2  SP
P
(hayP 
) . Ta có
Từ gt suy ra: 
2
S


3
3
SP

S

3
P

14


1 1 x3  y3 (x  y)(x2  y2  xy) (x  y)2 xy (x  y)2 S2
A 3  3  3 3 
 3 3  2 2  2
x y
xy
x3 y3
xy
xy
P
Khi đó

P
1
2
2
S

SP

S  0  P  1  S  4  S  16
S 2  4P  0  S 2  4
 0  1 4
3
3
S 4
P
P2
Vậy MaxA = 16 ( khi x = y =

1
).
2

Bài 26 Cho z  1, x  2, y  3.
Tìm GTLN của M 

xy z  1  zy x  2  zx y  3
xyz

Lời giải: Đk : z  1, x  2, y  3. Ta có :

y2
1.( x  1) 1
2.( y  2)
3.( z  3)
x 1
z 3
1



 1.

.

.
x
y
z
x
y
z
2
3
1 x 1 1 2  y  2 1 3  z  3 1
1
1



 

2x
2y
2 2 2 2 3
2
3 2z
M 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6.

1
1
1

).
Vậy Max M = (1 
2
2
3
1 1 1
Bài 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =  x  y  z      với x , y , z là các
x y z
số thực thuộc đoạn 1;3 .

3
 4.
t
1 1 1
3
3
3
Suy ra: x   4 ; y   4 ; z   4 và Q   x  y  z   3      12
x
y
z
x y z

2
Lời giải: Ta có:1  t  3   t  1 t  3  0  t  4t  3  0  t 

1 1 1 Q
1 1 1
3  x  y  z        6   x  y  z       12
x y z 2
x y z
Bài 28 Cho

x  y  xy  3. Tìm GTLN của S = x  1  y  1 .

Lời giải: Ta có:

x  y  xy  3.  x  y  3  xy .

 x, y  0 

x y
 xy 
2

Mà:

xy 

x y
(1).
2

x  y  xy  3  x  y  3  xy (2).

15

Từ (1) và (2)  x  y  3 
S= x  1 

x y
 x  y  6  0  x  y  6 (a).Ta có
2

y  1  2( x  1  y  1)  2( x  y  2) (b)

Từ (a) và (b) S = x  1  y  1  16  4 .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  3 .
Vậy MaxS = 4 khi x = y = 3.
Bài 29 Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1.
Tìm GTNN của biểu thức :P =
Lời giải: Ta có x
P

2

x2  y  z 
y y  2z z

+

y2  z  x 
z z  2x x

+

z2  x  y 
x yx  2y y

x ; y2  z  x   2y y ; z 2  x  y   2z z 

 y  z   2x

2y y
2x x
2z z
+
+
y y  2z z z z  2x x x x  2y y

Đặt a= x x  2y y ; b= y y  2z z ;c= z z  2x x
x x
Vậy P 

4c  a  2b
4a  b  2c
4b  c  2a
;y y 
;z z 
9
9
9

2  4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a 



=
9 
b
c
a


2  c b a a b c  2
4           6   4.3  3  6   2
9   b a c   b c a   9
Dấu “=” xảy ra  x  y  z  1 . Vậy Min P = 2 .
Bài 30 Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z  1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z +

1 1 1
 
x y z

Lời giải: Theo BĐT Cơsi: 1  x + y + z  3 3 xyz > 0 
x+

1 2
 ,
9x 3

y+

1 2
 ,
9y 3

z+

1
3

xyz

3

1 2

9z 3

1 
1 
1  8  1 1 1
8 3
 10
  z 
  y 
     2 + 3
9x  
9y  
9z  9  x y z 
9 xyz
1
1
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy MinA = 10 đạt được khi x = y = z =
3

3



Từ đó: A=  x 

Bài 31 Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1.

x2 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =

 
 
 
Lời giải:Với mọi u,v ta có: u  v  u  v




1 

1 



1
1
1
 y2  2  z 2  2

2
x
y
z
(*)

1



Đặt a   x;  ; b   y;  ; c   z; 
 x
 z
 y
  
  
  
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a  b  c  a  b  c  a  b  c
2

Vậy P = x 

1
x2

2

 y 

1

y2

2

 z 

1
z2



 1 1 1
(x  y  z)2     
x y z

16

2

.


1

1

1

2

1

1

1

2

Khi đó: (x + y + z)2 +     = 81(x + y + z)2 +     – 80(x + y + z)2
 x y z
 x y z
1

1

1

 18(x + y + z).     – 80(x + y + z)2  162 – 80 = 82
x y z




Suy ra P  82 . Dấu "=" xảy ra  x = y = z =
Vậy Min P =

82 khi và chỉ khi x = y = z =

1
.

3

1
.
3

Bài 32 Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z – x – y) = x + y + 1. Tìm giá trị

x4 y 4
lớn nhất của biểu thức T 
.
( x  yz )( y  xz )( z  xy )3
Lời giải: Từ giả thiết z(z – x – y) = x + y + 1 suy ra ( z+1)( x+y) = z2 – 1 và do z > 0 nên
ta có x + y + 1 = z . Khi đó biểu thức đã cho có thể viết dạng

T

x4 y 4
3

( x  y )(1  y )( x  y )(1  x)  ( x  1)( y  1)



x4 y 4
4

( x  y ) 2 ( x  1)( y  1) 

Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x , y ta có :

4

4
3
4 3
4
 x x x   4 x  4 .x
,
 
 x  1      1   4
27
 3 3 3   27 
4

4

3
4 3
4
 y y y   4 y  4 .y
, và x + y  4xy
 
 y  1      1   4
27
 3 3 3   27 
(4 xy )48 ( x 3 y 3 ) 49 4 4
36
4
2
Do đó ( x  y )  ( x  1)( y  1)  

 6 ( x y ) , suy ra T  9 ( *)
36
3
4
6
3
Mà T = 9 khi và chỉ khi x = 3, y = 3, x= 7 .
4
36
Vậy Max T = 9 khi x = 3, y = 3, x= 7 .
4

Bài 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thúc: A  x 



2
2
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức : a  b

7  
7

Ta có :  9  7   1  2    3  
x
 x  
 A x

 c

2

11

2x

 d 2    ac  bd 

2

11 1 
7 
9 3
3 15
 3    x     6  
2x 2 
x 
x 2
2 2

Khi x = 3 thì A =

15
15
Vậy Min A =
.
2
2

17

7 

4  1  2  , với x  0 .
 x 
2


Bài 34 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P =

a
a2  1



b
b2  1



2c
c2  1

.

Lời giải: Xét 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b)( a + c)
1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = ( b+a)(b +c)
1 +c2 = ab + bc +ca +c2 = (c+a)(c+b)
Khi đó P =

=

a
b
2c


(a  b)(a  c)
(b  a )(b  c)
(c  a )(c  b)
2a
2b
4c


4(a  b)(a  c)
4(b  a )(b  c)
4(c  a)(c  b)



1
1  
1
1   1
1 

 b


 c




 4(a  b) a  c   4(a  b) b  c   a  c b  c 

P  a
P

ab
ac bc 9



4(a  b ) a  c b  c 4

 4(a  b)  a  c
1

a

b

 4(a  b)  b  c

15

Dấu bằng xảy ra khi và chí khi 


a  b
c  7
 ab  bc  ca  1 
15
Vậy giá trị lớn nhất của P là

9
.
4

III Kết quả :
-Kết quả khảo sát học sinh lớp 10A1 : ( sĩ số 46 học sinh )
28/ 46 HS đạt điểm trên 5
18/ 46 HS đạt điểm dưới 5
-Học sinh giỏi cấp tỉnh : 01 em đạt giải ba trong kỳ thi giải toán trên mạngIternet
VI. Bài học kinh nghiệm
Qua việc thực hiện chuyên đề “ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn
môn toán lớp 10 ” và thực tế giảng dạy.Bản thân tôi đã rút ra được một số bài học kinh
nghiệm như sau:
1. Về công tác chỉ đạo
Đây là một công tác quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn
và bồi dưỡng năng lực, tư duy cho học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi. Trong năm học
vừa qua, chúng tôi luôn nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thường xuyên từ phía
Ban giám hiệu Nhà trường và của các cấp lãnh đạo. Kết quả thi Đại học và thi học sinh
giỏi cấp tỉnh ngày một nâng lên, nhà trường đã và đang gặt hái được những thành công
lớn.Cũng nhờ có kết quả đó, mà ngành giáo dục Tỉnh Hưng yên đã có những bước đột
phá trong kết quả thi ĐH-CĐ những năm gần đây .
2. Về phía học sinh
18

Để gặt hái được những thành tích cao trong công tác mũi nhọn. Học sinh là nhân
vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự
thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng. Vì chính
các em mới là người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó.Làm thế
nào để ngay từ khi bước vào ngôi trường cấp ba học sinh đã có những niềm mơ ước được
chinh phục đỉnh cao của trí tuệ.
Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi
các em phải có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập trên 100% khả năng của
bản thân mình. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 10 mới bước vào năm đầu tiên của
chương trình học phổ thông. Nhưng kiến thức của năm lớp 10 này lại có vai trò quyết
định tương lai của các em sau này. Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làm công tác bồi
dưỡng cần phải dành một sự quan tâm sát xao đến các em, thường xuyên động viên, uốn
nắn kịp thời để giúp cho các em có một sự đam mê trong công việc học tập của mình.
Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán vì đây là một môn học khó
và mất nhiều thời gian để nghiên cứu.
3. Về phía giáo viên tham gia trực tiếp giảng dạy
Đặc thù của các tiết học tự chọn là giảng dạy theo chủ đề bám sát, như vậy căn cứ
vào kế hoạch của nhà trường, của tổ chuyên môn giáo viên phải tự tìm tòi, đọc sách tham
khảo để lựa chọn bài tập phù hợp với đối tượng học sinh trên lớp mà mình giảng dạy.Đối
với các lớp có nhiều học sinh khá giỏi thì giờ học tự chọn thường rất sôi nổi, các em được
củng cố bổ sung kiến thức và được tiếp cận với các đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học vì
vậy việc định hướng để học sinh biết tìm tòi khám phá tìm ra các lời giải hay là trách
nhiệm của mỗi giáo viên chúng ta.
Để thực hiện được điều đó về phía giáo viên cần :
Một là, kiến thức của thầy cô phải có chiều sâu, giáo viên giảng dạy toán phải là người
có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán
thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu
quả. Kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người đam mê toán học.
Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực. Cặp nhật

thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là
phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất
tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao
V. Kiến nghị : Bộ giáo dục và Sở giáo dục cần có hướng dẫn cụ thể, và có những tài liệu
tham khảo chung định hướng để giáo viên thực hiện các giờ dạy tự chọn đạt hiệu quả cao
hơn.

19


PHẦN THỨ BA : KẾT LUẬN
Trên đây là nội dung đề tài” Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn
môn toán lớp 10”, ban đầu học sinh có cảm giác ngại tiếp cận và gặp khó khăn khi giải
các dạng bài toán trên. Tuy nhiên khi giáo viên hướng dẫn thì học sinh say sưa làm bài
tập. Nhiều em đã có động lực và quyết tâm chinh phục đỉnh cao, cố gắng phấn đấu dành
điểm tuyệt đối trong ký thi Đại học. Bài viết trên đây nhằm mục đích kích thích tính tò
mò của học sinh và tạo động lực để các em phấn đấu dành điểm cao trong các kỳ thi Đại
học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh, do thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tôi
không thể không còn những sơ xuất. Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đóng góp, bổ sung
của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.

Người thực hiện

Vũ Thị Hương Lan

20


-

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Sách giáo khoa đại số lơp 10
Sách tham khảo của thư viện
Mạng Internet
Báo toán học tuổi trẻ
Đề thi Đại học của các năm học trước.
Tài liệu tập huấn bồi dưỡng giáo viên dạy học sinh giỏi của Đại học Khoa học
tự nhiên.

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
21


………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………

……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………

……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
22


………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..
………………………………………………………………………………………………
……………………………………..

23

24