Toán 11 (CT 1) tuấn nguyễn ngọc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán – Khối 11
Thời gian làm bài: 90 phút (không tính thời gian phát đề).

Họ và tên học sinh: …………………………………………Mã số HS – Số báo danh: ……………………

Câu 1 (1,5 điểm). Tìm các giới hạn sau:
6 x3 − 2 x 2 − 4
1) lim 2
.
x →1 4 x − 3 x − 1

2) lim

x→−∞

4x2 + 9x − 4x .
2x + 4

 3x 2 + 4 − 4

khi x < 2
Câu 2 (1.25 điểm). Tìm m để hàm số f ( x) = 
liên tục tại x = 2.
x−2
mx − 2

khi x ≥ 2

Câu 3 (0.5 điểm). Chứng minh rằng phương trình x 4 + 4 x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm trái dấu.
Câu 4 (1.75 điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =

2x −1
.
5x + 3

b) y = sin 4 3 x .

c) y = 2 + 5 x − x 2 .

Câu 5 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y = f ( x) =

1 − 2x
biết tiếp tuyến
x+1

4
3

vuông góc với đường thẳng d có phương trình y = x + 3
Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh bằng a. Cạnh bên SA
vuông góc mặt phẳng ( ABC ) và SA = 2a . Gọi I, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, BC và H
là hình chiếu vuông góc của A lên SI. Gọi K là giao điểm của BI và AM.
a) Chứng minh BI ⊥ ( SAC )
b) Chứng minh AH ⊥ SB
c) Tính tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

d) Chứng minh ( SCK ) ⊥ ( SAB )
e) Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SBC).

-----Hết-----


ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM THI HỌC KỲ II - MÔN TOÁN 11
NĂM HỌC 2018-2019
Câu
1a)
0.75

Đáp án

( x − 1) ( 6x2 + 4x + 4)
lim 4x2 − 3x − 1 = lim ( x − 1) ( 4x + 1)
x→1
x→1
6x3 − 2x2 − 4

6x2 + 4x + 4 14
= lim
=
4x + 1
5
x→1

1b)
0.75

0.25

9
− 4+ − 4
9
− x 4 + − 4x =
4x + 9x − 4x =
x
=-3
lim
x
lim
4
x→−∞
2x + 4
2+
x→−∞
2x + 4
x

lim

lim− f ( x ) = lim−

x →2

x→2

3x 2 + 4 − 4
3 x 2 − 12

=
lim
3 x 2 − 14 x + 16 x →2− ( x − 2)( 3 x 2 + 4 + 4)

3( x + 2)

= lim−

=

3
2

3x 2 + 4 + 4
lim+ f ( x ) = lim+ ( mx − 2 ) = 2m − 2 ;
x →2

x →2

0.25

x4 + 4x − 3 = 0
Đặt f(x) = VT.
TXĐ: D = R nên hs liên tục trên R
f ( −2 ) = 5; f ( 0 ) = −3; f ( 1) = 2
f ( −2 ) . f ( 0 ) < 0 và f ( 0 ) . f ( 1) < 0 Vậy pt có 2 nghiệm thuộc ( −2, 0 ) ; ( 0,1)

4a)
0.75

0.25x2

0.25
0.25

7
Lập luận có m =
8

4)

0.25x3

x→2

f (2) = 2m − 2

3)
0.5

0.25x2

2

x→−∞

2)
1.25

Điểm

2x −1
5x + 3
11
( 2 x − 1) ' ( 5 x + 3) − ( 2 x − 1) ( 5 x + 3) ' = 2 ( 5 x + 3) − ( 2 x − 1) 5
y'=
2
=
2
2
( 5 x + 3)
( 5 x + 3)
( 5 x + 3)

a) y =

4b)
0.5

b) y = sin 4 3 x

4c)
0.5

c) y = 2 + 5 x − x 2

y ' = 2sin 3 3 x. ( sin 3 x ) ' = 6sin 3 3 x.cos3 x

( 2 + 5x − x ) ' =
y' =

2

2 2 + 5x − x

2

5 − 2x
2 2 + 5x − x2

0.25x2

0.25x3

0.25x2

0.25x2

Ghi chú


5)
1.0

f '( x) =

−3

( x + 1)

f '( x0 ) = −

2

0.25

3
4

0.25

1

y0 = −

 x0 = 1
2
⇒
Tìm 
x
=
−
3
7
 0
y = −
 0
2

0.25

3
4

Vậy có hai tiếp tuyến y = − x +

1
3
23
và y = − x −
4
4
4

0.25

5)

a) Chứng minh BI ⊥ ( SAC )
0.75

BI ⊥ SA ( vì SA ⊥ ( ABC ) )
BI ⊥ AC (....)
⇒ BI ⊥ ( SAC )

0.25x3

b) Chứng minh AH ⊥ SB
0.75

AH ⊥ SI

AH ⊥ BI (...)

0.25x3

⇒ AH ⊥ ( SBI ) ⇒ AH ⊥ SB

c) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng (ABC).
+ ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC
1.0

+ Chứng minh BC ⊥ ( SAM ) ( hoặc tìm 2 đường vuông góc BC)
·
+ Suy ra góc SMB

0.25x4

4
·
=
+ Tính tan SMA
3

d) Chứng minh ( SCK ) ⊥ ( SAB )
0.75

CK ⊥ AB ( Vì K là trọng tâm ABC)
CK ⊥ SA
⇒ CK ⊥ ( SAB ) , CK ⊂ ( SCK ) ⇒ ( SCK ) ⊥ ( SAB )

0.25x3

e) Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SBC).
Kẻ AE ⊥ SM
0.75

Ta có AE ⊥ BC ⇒ AE ⊥ ( SBC ) ⇒ d  A, ( SBC )  = AE
Tính AE = a

2 57
19

d  K , ( SBC ) 
d  A, ( SBC ) 

=

KM 2
4 57
= ⇒ d  K , ( SBC )  =
AM 3
57

0.25
0.25
0.25