CHƯƠNG 2 GT DẠNG 6 các bài TOÁN LIÊN QUAN đến CÔNG THỨC BIẾN đổi

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LŨY THỪA –
MŨ - LOGARIT.
Câu 1.

Cho 0 < a , b , c ≠ 1 . Công thức nào dưới đây sai?
A. loga c =

logb c
logb a

.

B. loga c = logb c.loga b .
D. logb c = loga c.logb a .

C. loga c = logb a.logc b .

Lời giải
Chọn
Câu 2.

C.

Cho các số dương a , b khác 1 sao cho log16 3 a = loga 2 9 b = logb 2 . Tính giá trị của
A. 16 .

B. 8 .

C. 2 .

b

.
a2

D. 4 .

Lời giải
Chọn

D.

Ta có log16 3 a = logb 2 ⇔

1
1
⇔ log2 a. log2 b = 12
log2 a =
4.3
log2 b

(1) .

Mặt khác ta có
2

(log2 b )
1
1
= 18 (2) .
⇔ loga b. log2 b = 18 ⇔
loga 2 9 b = logb 2 ⇔

loga b =
log2 a
2⋅9
log2 b
3

b = 64
log b = 6
b
(log2 b ) = 216

Từ (1) và (2) ta có : 
⇔ 
⇔  2
⇒ 2 =4.
a = 4
log2 a = 2
log b ⋅ log a = 12
a
2


 2

Câu 3.

Cho x > 1 và các số dương a , b , c khác 1 thỏa mãn điều kiện loga x > 0 > logb x > logc x .
Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. b > c > a .

B. b > a > c .

C. a > c > b .

D. a > b > c .

Lời giải
Chọn

C.

Ta

có:

loga x > 0 > logb x > logc x ⇒

1
1
1
>0>
>
logx a
logx b
logx c

⇒ logx a > 0 > logx c > logx b ⇒ a > c > b
Câu 4.

Cho a , b là các số thực thỏa mãn 0 < a < b < 1 . Trong các khẳng định sau, chọn khẳng định

sai?
A. 0 < loga b < 1 < logb a .

B. 0 < logb a < 1 < loga b .

C. 0 < logb a < loga b < 1 .

D. 0 < loga b < logb a < 1 .
Lời giải

Chọn

A.

Ta có: 0 < a < b < 1 ⇒ loga 1 < loga b < loga a ⇒ 0 < loga b < 1 .
Ta có: 0 < a < b < 1 ⇒ logb 1 < logb b < logb a ⇒ 0 < 1 < logb a .

Trang 1


Vậy 0 < loga b < 1 < logb a .
Câu 5.

Cho a , b là các số thực dương, khác 1 . Đặt loga b = α . Tính theo α giá trị của biểu thức

P = loga 2 b − log b a 3 .
A. P =

α 2 − 12
.

α

B. P =

α 2 − 12
.
2α

C. P =

4α 2 − 1
.
2α

α2 − 2
.
2α

D. P =

Lời giải
Chọn

A.

Ta có: P = loga 2 b − log b a 3 =

Câu 6.

α 2 − 12

1
1
6
.
loga b − 6 logb a = α − =
2
2
α
2α

Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và P = log 3 a a a a a a . Chọn mệnh đề đúng?
A. P = 3 .

B. P = 15 .

C. P =

93
.
32

45
.
16

D. P =

Lời giải
Chọn

C.
31

Ta có: P = log 3 a a a a a a = log 1 a 32 =
a3

Câu 7.

31
93
⋅3 =
.
32
32

Cho a > 0 , a ≠ 1 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. loga x n = n loga x (x > 0, n ≠ 0) .

B. loga x có nghĩa với ∀x ∈ ℝ .

C. loga 1 = a , loga a = 0 .

D. loga x ⋅ y = loga x ⋅ loga y (x > 0, y > 0) .
Lời giải

Chọn

A.

Áp dụng tính chất logarit của một lũy thừa.

Câu 8.

Nếu a = log15 3 thì
A. log25 15 =

3
5
. B. log25 15 =
.
5(1 − a )
3(1 − a )

C. log25 15 =

1
1
. D. log25 15 =
.
2(1 − a )
5(1 − a )
Lời giải

Chọn

C.

a = log15 3 =

1−a
1

1
1
=
=
⇒ log 3 5 =
log 3 15 log 3 3 ⋅ 5 1 + log 3 5
a

1
1
1
a
a
log25 15 =
=
.
=
=
log3 25 2 log 3 5
2(1 − a )
2(1 − a )
a

log3 15

Trang 2


−0,75

Câu 9.

1
Giá trị của K =  
16 
A. K = 16 .

−

1
+  
 8 

4
3

bằng

B. K = 24 .

C. K = 18 .

D. K = 12 .

Lời giải
Chọn

B.
−0,75

1
Ta có K =  
16 

−

1
+  
 8 

4
3

−0,75

( )

= 2−4

−

( )

+ 2−3

4
3

= 23 + 24 = 24 .

Câu 10. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
1,4

A. 4

− 3

>4

− 2

.

B. 3

3

1
C.  
 3 

<3 .
1,7

e

π

2

2
2
D.   <   .
 3 
 3 

1
<   .
 3 

Lời giải
Chọn

D.

Áp dụng tính chất:
Nếu cơ số a > 1 thì α > β ⇔ a α > a β .
Nếu cơ số 0 < a < 1 thì α > β ⇔ a α < a β .
Các đáp án A, B, C bị sai tính chất trên.
e

π

2
2
2
Ta có cơ số < 1 thì π > e ⇔   <   . Ta chọn đáp án D.
3
 3 
 3 

Câu 11. Cho a, b, c, d là các số dương và a ≠ 1 , khẳng định nào sau đây sai?
A. loga b.loga c = loga (b + c ) .

B. loga b + loga c = loga (b ⋅ c ) .

b 
C. loga b − loga c = loga   .
c 

D. − loga b = loga   .
b 

1

Lời giải
Chọn

A.

Đáp án B, C, D là những công thức của logarit.
Câu 12. Biết log 2 = a , khi đó log 16 tính theo a là
A. 4a .

B. 2a .

C. 8a .

D. 16a .

Lời giải

Chọn

A.

Ta có log 16 = log 24 = 4 log 2 = 4a .
Câu 13. Cho a, b là các số thực dương, khác 1 và loga b = 2. Tính giá trị biểu thức P = logb
A. P =

4
.
5

B. P =

1
.
4

C. P =

1
.
5

D. P =

a

5
.

4

Lời giải
Chọn

A.

Trang 3

(a b ).


( ) = log a + log
Ta có P =
log (b a ) log b + log
loga a b
a

a

a

a

a

1
1
loga b
1 + .2

2
2 = 4.
=
=
5
1
1
a
loga b +
2+
2
2

b

1+

9x
. Tính tổng
9x + 3
 1 
 2 
 3 
 2016 
 + f 
 + f 
 + ... + f 

S = f 
 2017 

 2017 
 2017  + f (1).
 2017 

Câu 14. Cho hàm số f (x ) =

A. S =

4035
.
4

B. S =

8067
.
4

C. S = 1008.

D. S =

8071
.
4

Lời giải
Chọn

A.

9x
91−x
9x
9
9x
3
9x + 3
+
=
+
=
+
=
= 1.
9x + 3 91−x + 3 9x + 3 9 + 3.9x
9x + 3 9x + 3 9x + 3
  1 
 

 + f  2016  +  f  2  + f  2015  + ...
Khi đó S =  f 


 2017    2017 

 2017 
  2017 
 

Xét f (x ) + f (1 − x ) =

  1008 
 1009 
3 4035
9
 + f 
 + f (1) = 1 + 1 + ... + 1 + f (1) = 1008 +
.
= 1008 + =
+  f 



9+3
4
4
 2017 
1008 soá
  2017 
Câu 15. Với số dương a và các số nguyên dương m , n bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a

mn

= (a ) .
m n

B.

m

n
m

a =a .
n

C.

m n

a =

m
n

D. a m .a n = a m .n .

a.

Lời giải
Chọn

B.

Câu 16. Đặt a = log 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.

1

log81 100

=

a
.
8

B.

1
log 81 100

= 2a .

C.

1
log 81 100

= 16a .

D.

1
log 81 100

= a4 .

Lời giải

Chọn
Ta có

B.

1
log81 100

= log100 81 =

log 81
4 log 3
log 34
=
=
= 2 log 3 = 2a .
2
log100 log 10
2

Câu 17. Với số thực a thỏa mãn 0 < a ≠ 1 . Cho các biểu thức:
1

 1 
A = loga   ; B = loga 1 ;C = loga log2 2a  ; D = log2 log 4 a a .
 4 a 



(

)

Gọi m là số biểu thức có giá trị dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
B. m = 0 .

A. m = 2 .

C. m = 3 .

D. m = 1 .

Lời giải
Chọn

A.

1
 1 
−
1
Ta có A = loga   = loga a 4 = −
 4 a 
4

B = loga 1 = 0
Trang 4


1


1

C = loga log2 2a  = loga   = loga a −1 = −1

a 




D = log2 log 4 a a = log2 log 1 a  = log2 (4) = log2 22 = 2
 a 4 

(

)

Câu 18. Cho a, b, x , y ∈ R, 0 < a ≠ 1, b > 0, xy > 0 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
A. loga (xy ) = loga x + loga y .
C. log 3

a

B. a

log

a3

b

= 6a .

b 3 = 18 loga b . D. loga x 2018 = 2018.loga x .
Lời giải
C.

Chọn
Ta có log 3

b 3 = log 1 b 3 = 18 loga b .

a

a6

Câu 19. Cho a > 0 và a ≠ 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. loga x có nghĩa với ∀x .
B. loga (xy ) = loga x .loga y với mọi x > 0 , y > 0 .
C. loga 1 = a và loga a = 0 .
D. loga x n = n loga x

(x > 0, n ≠ 0) .
Lời giải

D.

Chọn

Câu 20. Cho log2 5 = a và log3 5 = b . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. log6 5 =

ab
.
a +b

B. log6 5 =

1
.
a +b

C. log6 5 =

1
.
ab

D. log6 5 =

a +b
.
ab

Lời giải
A.

Chọn

Ta có log2 5 = a ⇒ log5 2 =

1
1
, log 3 5 = b ⇒ log5 3 = .
a
b

1
1
1
ab
=
.
=
=
1 1 a +b
log5 6 log5 2 + log5 3
+
a b
Câu 21. Cho a > 0 , b > 0 và a ≠ 1 , b ≠ 1 ; x và y là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh
Vậy log 6 5 =

đề sau?
A. loga

loga x
x
=
.
y

loga y

B. loga

1
1
=
.
x
loga x

C. loga (x + y ) = loga x + loga y .

D. logb x = logb a.loga x .
Lời giải

Chọn

D.

Do loga x =
Ta có loga

logb x
logb a.

⇔ logb x = logb a.loga x .

x
1

= loga x − loga y , loga = loga x −1 = − loga x , loga (xy ) = loga x + loga y
y
x

Nên đáp án A, B, C là các đáp án sai.

Trang 5


Câu 22. Cho a > 0 và b > 0 thỏa mãn a 2 + b 2 = 7ab . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. 3 log(a + b) =

1
(log a + log b) .
2

B. log

a +b 1
= (log a + log b) .
3
2

D. log(a + b) =

C. 2(loga + logb ) = log(7ab) .

3
(log a + log b ) .
2

Lời giải
Chọn

B.
2

2

Ta có: a + b = 7ab ⇔ (a + b )
2

⇔ 2 log

2

2

a + b 
a + b 
 = ab ⇔ log 

= 9ab ⇔ 
 3  = log ab
 3 

a +b
a +b 1
= log a + log b ⇔ log
= (log a + log b ) (do a > 0 , b > 0 ).

3
3
2

Câu 23. Biểu thức Q = x . 3 x . 6 x 5 với (x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là
2

5

A. Q = x 3 .

5

B. Q = x 3 .

C. Q = x 2 .

7

D. Q = x 3 .

Lời giải
Chọn

B.
6

1
3

1
2

5
6

Do x > 0 nên Q = x . x . x = x .x .x = x
3

Câu 24. Giá trị của biểu thức E = 3
A. 1.

5

2 −1

.9 2.271−

2

1 1 5
+ +
2 3 6

5
3

=x .

bằng

B. 27.

C. 9.

D. 3.

Lời giải
Chọn

E =3

C.
2 −1

.9 2.271− 2 = 3

2 −1

.32 2.33−3

2

= 32 = 9 .

Câu 25. Đặt a = log3 15 và b = log3 10 . Hãy biểu diễn log
A. log
C. log

3

3

3

50 theo a và b .

50 = 3(a + b − 1) .

B. log

50 = 2(a + b − 1) .

D. log

3

3

50 = (a + b − 1) .
50 = 4(a + b − 1) .

Lời giải
Chọn

C.

log 3 50 = 2 (log3 5 + log3 10) = 2 (log 3 15 + log 3 10 − 1) = 2 (a + b − 1) .
Câu 26. Đặt a = log3 5; b = log4 5 . Hãy biểu diễn log15 20 theo a và b .
A. log15 20 =

a (1 + a )
b (a + b )

. B. log15 20 =

D. log15 20 =

b (1 + a )
a (1 + b )
a (1 + b )
b (1 + a )

.

C.

log15 20 =

.

Lời giải
Chọn

D.

Trang 6

b (1 + b )
a (1 + a )

.


1
b = a (b + 1) .
Ta có: log15 20 =
=
=
log5 15 1 + log5 3
1 b (a + 1)
1+
a
1 + log5 4

log5 20

Câu 27. Cho số thực dương a . Biểu thức

3

1+

a 2 . a được viết lại dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

gì?
1

2

B. a 3 .

A. a 9 .
5
6

7
6

C. a .

D. a .
Lời giải

Chọn

C.
1

1

5
1 3

 5 3
3

Ta có a 2 . a = a 2 .a 2  = a 2  = a 6 .

 



Câu 28. Đặt log5 20 = a , biểu diễn log2 5 theo a là
A.

2
.
a +1

B.

2
.
a −1

C. 2 (a − 1) .

D.

a −1
.
2

Lời giải
Chọn

B.

( )

Ta có log5 20 = a ⇔ log5 22.5 = a ⇔ 2 log5 2 + 1 = a ⇔ log5 2 =
Câu 29. Cho log2 x = 4 ; logx y = 4 ; logy z =
A. 65808 .

a −1
2
⇔ log2 5 =
.
2
a −1

1
. Giá trị của biểu thức x + y + z là
2

B. 65880 .

C. 65088 .

D. 65080 .

Lời giải
Chọn

A.

Ta có: log2 x = 4 ⇔ x = 16

logx y = 4 ⇒ log16 y = 4 ⇔ y = 65536
1

1
⇒ log65536 z = ⇔ z = 256
2
2
Vậy x + y + z = 16 + 65536 + 256 = 65808 .
logy z =

Câu 30. Cho 2x =
A.

6 5 4 3

1
.
6!

Chọn

2 . Khi đó giá trị của x là
B.

1
.
5!

1
.
4!
Lời giải
C.

D.

1
.
3!

A.
111 11
. . . .

1

1
6! .
Câu 31. Cho a, b là các số thực dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Ta có: 2x =

6 5 4 3

2 ⇔ 2x = 2 2 3 4 5 6 ⇔ 2x = 2 6! ⇔ x =

A. ln(ab ) = ln a + ln b B. ln(a + b) = ln a + ln b

Trang 7


C. ln

a

ln a
=
b
ln b

D. ln

a
= ln b − ln a.
b
Lời giải

Chọn A:
Câu 32. Cho log7 12 = x , log12 24 = y và log54 168 =

axy + 1
, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính
bxy + cx

giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c.
A. S = 4 .

B. S = 19.

C. S = 10.

D. S = 15.

Lời giải
Chọn

D.

Ta có: log54 168 =

=

log7 (24.7)
log7 54

log7 12 log12 24 + 1
log7 12 log12 54

=

=

log7 24 + 1
log7 54

=

log7 12 log12 24 + 1
log7 54

xy + 1
x . log12 54

Tính log12 54 = log12 (27.2) = 3 log12 3 + log12 2 = 3 log12

= 3 log12

3.2.12.24
24
.
+ log12
2.12.24
12

123
24
+ log12
= 3 (3 − 2 log12 24) + (log12 24 − 1) = 8 − 5 log12 24 = 8 − 5y .
2
12
24

Do đó: log54 168 =

xy + 1
xy + 1
=
.
x (8 − 5y ) −5xy + 8x

a = 1

b = −5 ⇒ S = a + 2b + 3c = 15
Vậy 


c = 8

Câu 33. Nếu a = log2 3 , b = log2 5 thì
A. log2 6 360 =

1 1
1
+ a + b.
3 4
6

B. log2 6 360 =

1 1
1
+ a+ b.
2 6
3

C. log2 6 360 =

1 1
1
+ a+ b.
2 3
6

D. log2 6 360 =

1 1

1
+ a+ b.
6 2
3

Lời giải
Chọn

C.

log2 6 360 =

1
1
1
1 1
1
log2 360 = log2 (23.32.5) = (3 + 2a + b) = + a + b .
6
6
6
2 3
6

a 4 3 b 

Câu 34. Cho loga b = 3, loga c = −2 . Giá trị của loga  3  bằng
 c 
2
B. − .

3

A. −2 .
Chọn

5
C. − .
6
Lời giải

D. 11.

D.

Trang 8


1
1
a 4 3 b 
1

loga  3  = loga a 4b 3 − loga c 3 = loga a 4 + loga b 3 − loga c 3 = 4 + loga b − 3 loga c
3
 c 

1
= 4 + .3 − 3(−2) =11.
3
Câu 35. Giả sử p, q là các số thực dương sao cho log9 p = log12 q = log16 (p + q ). Tìm giá trị của

A.

1
−1 + 5 .
2

(

)

Chọn

B.

1
1+ 5 .
2

(

)

4
.
3
Lời giải
C.

D.

p
.
q

8
.
5

B.

u

p = 9
u
Đặt log9 p = log12 q = log16 (p + q ) = u ⇒ 
q = 12

p + q = 16u

u

u

u

16 
 p + q 
12u  4 
q

1± 5
 = 1 + x ⇒ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =
Đặt x = = u =   ⇒ x 2 =   = 
2
p
9
 3 
 9 
 p 
Câu 36. Cho a > 0 . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.

B.

a3a = 4a .

a3
3

a2

5

= a6 .

4

( )

C. a 2

7

= a6 .

D.

7

a5 = a 5 .

Lời giải
Chọn

a3
3

a2

B.
3 2
−
3

= a2

5

= a6 .

( )

( )

Câu 37. Biết log xy 3 = 1 và log x 2y = 1 , tìm log (xy ) ?
A. log (xy ) =

5
.
3

B. log (xy ) =

1
.
2

C. log (xy ) =

3
.
5

D. log (xy ) = 1 .

Lời giải
Chọn A

( )

Ta có log xy 3 = 1 ⇔ log (xy ) + 2 log y = 1

( )

log x 2y = 1 ⇔ log (xy ) + log x = 1
Vậy log x = 2 log y ⇔ x = y 2

( )

(

1

)

Xét log xy 3 = 1 ⇔ log y 2y 3 = 1 ⇔ 5 log y = 1 ⇔ y = 10 5

 3  3
Vậy log (xy ) = log y 3 = log 10 5  =
  5

( )

Câu 38. Cho a là một số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. loga 3 a = 3 .

B. loga 3 a =

1
.

3

C. loga 3 a = −3 .

1
D. loga 3 a = − .
3

Trang 9


Lời giải
Chọn

B.

Ta có loga 3 a =

1
1
loga a = .
3
3

Câu 39. Với các số thực dương x , y bất kì. mệnh đề nào sau đây đúng?

 x  log2 x
A. log2   =
.
 y  log2 y

B. log2 (x + y ) = log2 x + log2 y .

x 2 
D. log2   = 2 log2 x − log2 y .
 y 

C. log2 (xy ) = log2 x .log2 y .

Lời giải
Chọn

D.

x 
Ta có log2   = log2 x − log2 y nên A sai.
 y 
log2 (xy ) = log2 x + log2 y nên B,C sai.
x 2 
log2   = log2 x 2 − log2 y = 2 log2 x − log2 y .
 y 
5

3

Câu 40. Cho biểu thức P = x . x x x , x>0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

3

A. P = x 3 .

13

B. P = x 10 .

1

C. P = x 10 .

D. P = x 2 .

Lời giải
5

5

3

3

P = x . x x x = x . x x .x

1
2

5

3

= x. x x

3
2

5

7

C. log 3

7

5

3
2

= x . x .x = x . x .x = x .x

Câu 41. Đặt a = log7 11, b = log2 7. Hãy biểu diễn log 3
A. log 3

1
2

7

3
10

13
10

=x .

121
theo a và b .
8

121
9
121 2
9
= 6a − . B. log 3
= a− .
7 8
8
b
3
b

121
9
121
= 6a + . D. log 3
= 6a − 9b .
7
8
b

8
Lời giải

Ta có: log 3

7

121
= 3 log7 121 − 3 log7 8 = 6 log7 11 − 9 log7 3 = 6a − 9b.
8

Câu 42. Giả sử ta có hệ thức a 2 + 4b 2 = 5ab (a, b > 0) . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?
A. 2 log2 (a + 2b ) = log2 a + log2 b
C. 2 log2

a +b
= log2 a + log2 b
3

B. 2 log2 (a + 2b ) = log2 a + log2 (9b )
D. 2 log2

a + 2b
= log2 a − log2 b
3

Lời giải
Chọn B
2

Ta có: 2 log2 (a + 2b ) = log2 a + log2 (9b) ⇔ log2 (a + 2b ) = log2 9ab

Trang 10


2

⇔ (a + 2b ) = 9ab ⇔ a 2 + 4b 2 = 5ab
Câu 43. Cho hàm số f (x ) =

 1 
 2 
 3 
 2017 
16x
 + f 
 + f 
 + ... + f 
 .
. Tính tổng S = f 
x
 2017 
16 + 4
 2017 
 2017 
 2017 
Lời giải

Nhận xét: Cho x + y = 1
Ta có f (x ) + f (y ) =

16x
16y
16 + 4.16x + 16 + 4.16y
+
=
=1
16x + 4 16y + 4 16 + 4.16x + 4.16y + 16

 1 
 2016 
 2 
 2015 
 1008 
 1009 
 2017 
 + f 
 + f 
 + f 
 + ... + f 
 + f 
 + f 

S = f 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 

 2017 
= 1 + 1 + ... + 1 +
1008 so hang

16
4 5044
= 1008 + =
16 + 4
5
5

Câu 44. Cho hai số thực a, b thỏa mãn đồng thời đẳng thức 3−a.2b = 1152 và log 5 (a + b ) = 2. Tính

P = a − b.
A. P = −9.

B. P = −3.

C. P = 8.

D. P = −6.

Lời giải
Chọn

A.

Theo đề ta có:
 log

5

(a + b ) = 2 ⇒ a + b = 5

 3−a.2b = 1152 ⇔ 3−a.2−a.2a.2b = 1152

⇔ 6−a.2a +b = 1152
⇔ 6−a.25 = 1152
⇔ 6−a = 36
⇔ −a = 2 ⇔ a = −2 ⇔ b = 7
Vậy P = a − b = −9 .
Câu 45. Cho hàm số f (x ) =

A. S =

 1 
 2 
 3 
 2017 
16x







 .
S
=

f
+
f
+
f
+
...
+
f
.
Tính
tổng







x






16 + 4
 2017 
 2017 
 2017 

 2017 

5044
.
5

B. S =

10084
.
5

C. S = 1008.

D. S =

10089
.
5

Lời giải
Chọn

A.

Nhận xét: Cho x + y = 1

16x
16y
16 + 4.16x + 16 + 4.16y

+
=
=1
16x + 4 16y + 4 16 + 4.16x + 4.16y + 16
 1 
 2016 
 2 
 2015 
 1008 
 1009 
 2017 
 + f 
 + f 
 + f 
 + ... + f 
 + f 
 + f 

S = f 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 

Ta có f (x ) + f (y ) =

= 1 + 1 + ... + 1 +

1008 so hang

16
4 5044
= 1008 + =
.
16 + 4
5
5

Trang 11


Câu 46. Cho các số thực a, b > 0 với a ≠ 1 , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. loga 2 (ab ) =

1 1
+ loga b.
2 2

B. loga 2 (ab ) =

C. loga 2 (ab ) = 2 + 2 loga b.

1
log b.
2 a

D. loga 2 (ab ) = loga 2 a .loga 2 b.
Lời giải

Chọn

A.

Ta có : loga 2 (ab ) =

1
1
1 1
loga (ab ) = (loga a + loga b ) = + loga b .
2
2
2 2

Câu 47. Nếu log12 18 = a thì log2 3 bằng bao nhiêu?
A.

1 − 2a
.
a −2

Chọn

B.

2a − 1
.
a −2

a −1
.
2a − 2
Lời giải
C.

D.

1−a
.
a −2

A.

ln18
ln 32.2 2 ln 3 + ln 2
Ta có: log12 18 =
=
=
=
ln 12
ln 22.3 2 ln 2 + ln 3

⇔ 2 log2 3 + 1 = 2a + a log2 3 ⇔ log2 3 =
5

Câu 48. Rút gọn biểu thức thức P =

x
.

y

A. P =

2a − 1 1 − 2a
=
.
2 −a
a −2

5

x 4 y + xy 4
4

ln 3
+ 1 2 log 3 + 1
2
ln 2
=
=a
ln 3
2 + log2 3
2+
ln 2

2

x +4y

(x, y > 0).

B. P = xy.

C. P = 4 xy .

D. P =

4

x
.
y

Lời giải
Chọn

B.
5

P=

5

x 4 y + xy 4
4

x + 4y

xy

=

(
4

4

x +4y

x +4y

) = xy .

Câu 49. Đặt a = log2 5, b = log 3 2 . Hãy biểu diễn log10 15 theo a và b
A. log10 15 =

1 + ab
.
1+a

B. log10 15 =

1 + ab
a +b
b +a
. C. log10 15 =
. D. log10 15 =
.
b + ab
b + ab

1+a
Lời giải

Chọn

B.

log10 15 = log10 3 + log10 5 =

=

log2 3 + log2 5
log2 5 + 1

log2 3
log2 10

+

log2 5
log2 10

1
+a
1 + ab
.
=b
=
a + 1 b + ab

Câu 50. Đặt a = ln 2 , b = ln 5 , hãy biểu diễn I = ln

1
2
3
98
99
+ ln + ln + ... + ln
+ ln
theo a và b
2
3
4
99
100
Trang 12


A. −2 (a − b ) .

B. −2 (a + b ) .

C. 2 (a − b ) .

D. 2 (a + b ) .

Lời giải
Chọn

B.

1 2 3 98 99
Ta có: I = ln . . .... .
2 3 4 99 100
I = ln

1
= ln 22.52
100

(

−1

)

= −2 ln 2 − 2 ln 5 = −2 (a + b ).
2 log 3 a

Câu 51. Rút gọn biểu thức P = 3
A. P = a 2 − 4 .

− log5 a 2 .loga 25 , ta được:

B. P = a 2 − 2 .

C. P = a 2 + 4 .

D. P = a 2 + 2 .

Lời giải
Chọn

A.

Ta có:
2 log 3 a

P=3

− log5 a 2 .loga 25 = 3

log3 a 2

− 2. log5 a.2 loga 5 = a 2 − 4.

Câu 52. Cho biểu thức với giả thiết biểu thức có nghĩa.

D=

a −n + b −n a −n − b −n
,(ab ≠ 0; a ≠ ±b; n ∈ N ) . Chọn đáp án đúng
−
a −n − b −n a −n + b −n

A. D =

4anb n
b 2n − a 2n

B. D =

2a nb n
b 2n − a 2n

C. D =

3anb n
b 2n − a 2n

D. D =

anb n
b 2n − a 2n

Lời giải
Chọn

A.

(
(

)

4 a 2nb 2n
a −n + b −n a −n − b −n
4a −nb −n
4a nb n
D = −n

−
=
=
=
a − b −n a −n + b −n
a − 2 n − b − 2n
b 2 n − a 2n
a nb n b 2n − a 2n

)

Câu 53. Cho các số thực a < b < 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. ln

( ab ) = 21 (ln a + ln b) .
2

a 
C. ln   = ln(a 2 ) − ln(b 2 ) .
 b 

B. ln(ab )2 = ln(a 2 ) + ln(b 2 ) .

a 
D. ln   = ln a − ln b .
 b 

Lời giải
Chọn

C.

Câu 54. Biết log 5 = a và log 3 = b . Tính log30 8 theo a và b được kết quả là:
A. log 30 8 =

3(1 − a )
1+b

B. log 30 8 =

3(1 − a )
3(1 + a )
3(a − 1)
C. log 30 8 =
D. log 30 8 =
1−b
1+b
1+b

Lời giải
Chọn

A.

a = log 5 = log10 5 =

1
1
1−a
=

⇒ log5 2 =
log5 10 1 + log5 2
a

Trang 13


log2 3

b = log 3 =
log 30 8 =

=

log2 10

log2 8
log2 30

=

log2 3
1 + log2 5

⇒ log2 3 = b (1 + log2 5)

3
=
1 + log2 5 + log2 3

3

a
a 

1+
+ b 1 +

1−a
1 − a 

=

3(1 − a )
1 +b

Câu 55. Rút gọn biểu thức A = (loga b + logb a + 2)(loga b − logab b ) logb a − 1 ta được kết quả là:
A.

1
logb a

B. − logb a

C. logb a

D.

logb a
3

Lời giải
Chọn

A.

A = (loga b + logb a + 2)(loga b − logab b ) logb a − 1

= (loga b + logb a + 2)(loga b − logab b ) logb a − 1
= (loga b + logb a + 2)(1 − logab b logb a ) − 1

= (loga b + logb a + 2)(1 − logab a ) − 1

1
1


= loga b +
+ 2 1 −
−1

loga b
1 + loga b 

2

(loga b + 1)  loga b 
=
−1


 loga b 1 + loga b 



= 1 + loga b − 1
= loga b
3

Câu 56. Cho x là số thực dương, viết biểu thức Q = x x 2 . 6 x dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
5

2

A. Q = x 36 .

B. Q = x 3 .

C. Q = x .

D. Q = x 2 .

Lời giải
Chọn

C.
1

2

1

1 2 1
+ +
6 6

3

Ta có: Q = x x 2 . 6 x = x 2 .x 6 .x 6 = x 2

=x.

Câu 57. Cho a, b là các số thực dương và khác 1. Chọn đẳng thức đúng.

1
(1 + loga b ).
6


1
ab 3 = 2 1 + loga b .


3

A. loga ab 3 =

B. loga ab 3 = 6 (1 + loga b ).

C. loga

D. loga ab 3 =

1
(1 + 3 loga b ).
2

Lời giải

loga ab 3 =

1
1
1
loga ab 3 = loga a + loga b 3 = (1 + 3 loga b ) .
2
2
2

( )

(

)

Câu 58. Cho các số thực a, b > 0, a ≠ 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Trang 14


A. loga 3 a b =

1
1 1
loga b . B. loga 3 a b = + loga b .
6
3 6

C. loga 3 a b =

1
+ loga b .
3

D. loga 3 a b =

1 1
+ log b .
3 2 a

Lời giải

loga 3 a b =

1
1
1 1
loga a b = loga a + loga b = + loga b
3
3
3 6

(

)

4

Câu 59. Cho biểu thức P = x 5 , với x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
5

4

A. P = x 4 .

B. P = x 5 .

C. P = x 20 .

D. P = x 9 .

Lời giải
Chọn

A.
5

Ta có: P = 4 x 5 = x 4 .
Câu 60. Cho a là số thực dương và b là số thực khác 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

 3a 3 
1

A. log 3  2  = 1 + log 3 a − 2 log 3 b .

3
 b 

 3a 3 
B. log 3  2  = 1 + 3 log 3 a − 2 log 3 b .
 b 

 3a 3 
C. log 3  2  = 1 + 3 log 3 a + 2 log 3 b .
 b 

 3a 3 
D. log 3  2  = 1 + 3 log3 a − 2 log 3 b .
 b 
Lời giải

Chọn

D.

 3a 3 
Ta có: log 3  2  = log 3 3 + log 3 a 3 − log3 b 2 = 1 + 3 log 3 a − 2 log 3 b .
 b 
Câu 61. Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và abc ≠ 1 . Biết loga 3 = 2 , logb 3 =

logabc 3 =

2

. Khi đó, giá trị của logc 3 bằng bao nhiêu?
15

A. logc 3 =

1
.
2

B. logc 3 = 3 .

C. logc 3 = 2 .

D. logc 3 =

1
.
3

Lời giải
Chọn

D.

Ta co: logabc 3 =

⇔

2
1

2
15
15
⇔
=
⇔ log 3 abc =
⇔ log 3 a + log 3 b + log 3 c =
15
log 3 abc 15
2
2

1
1
1
15
1
1
15
1
1
+
+
=
⇔ +4+
=
⇔
= 3 ⇔ logc 3 = .
loga 3 logb 3 logc 3
2

2
logc 3
2
logc 3
3

Câu 62. Cho log2 5 = x , log 3 5 = y Tính log3 60 theo x và y
A. log 3 60 = 2 +

1 2
+ .
x y

B. log 3 60 = 1 +

2 1
+ .
x y
Trang 15

1
và
4


C. log 3 60 = 1 +

1 2
+ .
x y

D. log 3 60 = 2 +

2 1
+ .
x y

Lời giải
Chọn

C.

Câu 63. Cho loga x = logb y = N ,
A. N = loga +b (xy )

.

(0 < a,b, x, y ) và (a,b ≠ 1) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. N = logab

x
y.

C. N = loga +b

x
.
y

D. N = logab (xy ) .

Lời giải
Chọn

D.

x = a N
loga x = N
N

⇒
⇒ xy = (ab ) ⇒ N = logab (xy ) .
Ta có: 
N
logb y = N
y = b


 1 
 2 
 3 
 2017 
4x
 + f 
 + f 
 + ... + f 
.
. Tính tổng S = f 
Câu 64. Cho hàm số f (x ) = x

 2018 
 2018 
 2018 
 2018 
4 +2
A. S =

2017
.
2

B. S = 2018.

C. S =

2019
.
2

D. S = 2017.

Lời giải
Chọn A

41−x
4
2
=
=
⇒ f (1) + f (1 − x ) = 1

x
1−x
4 + 2 4 + 2.4
2 + 4x
 1 
 2017 
 2 
 2016 
 1008 
 1010 
 + f 
 = 1, f 
 + f 
 = 1,..., f 
 + f 
 = 1
Do đó: f 





 2018 
 2018 
 2018 
 2018 
 2018 
 2018 
Ta có: f (1 − x ) =

⇒ S = 1008 +

1009 2017
=
.
2018
2

Câu 65. Cho a, b là các số thực dương và c là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. logc (a + b ) = (logc a ).logc b.

B. logc

a
= logc a − logc b.
b

C. logc (ab) = logc a + logc b.

D. logc

1
= − logc a.
a

Lời giải
Chọn A

9x − 2
.

Tính
9x + 3
 1 
 2 
 2016 
 2017 
 + f 
 + ... + f 
 + f 
.
P = f 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 

Câu 66. Cho

hàm

A. 336 .

Chọn

số

f (x ) =

B. 1008 .

4039
.
12
Lời giải
C.

giá

trị

của

D.

biểu

8071
.
12

C.

Trang 16

thức


Xét: f (x ) + f (1 − x ) =

9x − 2 91−x − 2

1
+ 1−x
= .
x
9 +3 9 +3 3

Vậy ta có:

 1 
 2 
 2016 
 2017  1008   k 

 2017 
k 
 + f 
 + ... + f 
 + f 
 = ∑  f 
 + f 1 −
 + f 
.
P = f 
 

 2017 
 2017 
 2017 
 2017 


 2017 
2017 
1   2017 
1008

1
7
4039
+ f (1) = 336 +
=
.
3
12
12

⇔P =∑
1

Câu 67. Cho các số thực a, b > 0 và α ∈ R . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ln (a + b ) = ln a + ln b .

B. ln (a .b ) = ln a .ln b .

a 
D. ln   = ln a − ln b .
 b 

C. ln a α = α ln a .

Lời giải

Chọn

C.

 a 3 
 . Tính T theo m, n .
Câu 68. : Cho a, b, c > 0, c ≠ 1 và đặt logc a = m , logc b = n , T = log c 
 4 b 3 
A. T =

3
3
m− n.
2
8

3
B. T = 6n − m .
2

C. T =

3
3
m + n.
2
8

3
D. T = 6m − n .

2

Lời giải
Chọn

D.


 a 3 
 = log c
T = log c 

 4 b 3 


 
a 3 
 
1  3 
 
2 b 4 





3




3
3
= 2  logc a 3 − logc b 4  = 2  3 logc a − logc b  ⇔ T = 6m − n


4
2





Câu 69. Tính giá trị của biểu thức A = loga

1
, với a > 0 và a ≠ 1.
a2

1
B. A = − ⋅
2

A. A = −2.

C. A = 2.

D. A =

1
⋅

2

Lời giải.
Chọn A

1
= loga a −2 = −2 .
a2
Câu 70. Cho a là số thực dương, a ≠ 1 . Khẳng định nào sau đây SAI?

A = loga

A. loga

1

1
=− .
3
3
a

B. 9

log3 a

C. loga

= 2a .

1
= −1 .
a

log0,5 1

D. (0,125)

= 1.

Lời giải
Chọn

B.

9

log3 a

2 log3 a

=3

= a 2 nên 9

Câu 71. Giá trị của biểu thức P =

A. 9.

log3 a

= 2a sai.

23.2−1 + 5−3.54
0

10−3 : 10−2 − (0,1)

B. −9 .

là:

C. −10 .

D. 10.

Trang 17


Lời giải
Chọn

C.

P=

23.2−1 + 5−3.54

=

0

10−3 : 10−2 − (0,1)

22 + 5
9
=
= −10 .
−1
1
10 − 1
−1
10

Câu 72. Cho a = log2 m với 0 < m ≠ 1 . Đẳng thức nào dưới đây đúng?

3 +a
.
a

A. logm 8m =

B. logm 8m = (3 − a )a .

C. logm 8m =

3 −a
. D.
a

logm 8m = (3 + a )a .
Lời giải
Chọn

A.

logm 8m =

log2 8m
log2 m

=

3 + log2 m
log2 m

=

3 +a
.
a

Câu 73. Đặt a = log2 3, b = log2 7 . Hãy biểu diễn log18 42 theo a và b
A. log18 42 =

a +b
.
2b + 1

B. log18 42 =

1+a +b
.
2a + 1

C. log18 42 =

1 +a +b
.
2a − 1

D. log18 42 =

a +b
.
2b − 1

Lời giải
Chọn

B.

log18 42 =

log2 42
log2 18

=

1 + log2 3 + log2 7

1 + 2 log2 3

=

1+a +b
.
1 + 2a

Câu 74. Cho a là số thực dương và a ≠ 1 . Tính giá trị của biểu thức a
A. 125 5 .

B. 514 .

C. 7 5 .

28 log

a2

5

.
D. 57 .

Lời giải
Chọn

D.
14

a

28 log

a2

5

=a

14 loga 5

=a

loga

( 5)

= 57 .

 4 27. 3 9 


Câu 75. Tính giá trị của biểu thức T = log 3 
 .


3

A. T =

11
4

B. T =

11
24

C. T =

11
6

D. T =

11
12

Lời giải

4
3

 27. 9 


T = log 3 
= log




3



3

(

4

3

)

27. 9 − log

3

 3 2 
 17 
17
11


4
3

3 = 2 log 3 3 .3  − 1 = 2 log 3 3 12  − 1 = 2. − 1 =



 
12
6



Đáp án C

Trang 18


Câu 76. Cho a , b, x là các số thực dương. Biết log 3 x = 2 log 3 a + log 1 b . Tính x theo a và b :
3

A. x = 4a − b

B. x =

a4
b

C. x = a 4 − b

D. x =

a
b

Lời giải

log 3 x = 2 log 3 a + log 1 b ⇔ log 3 x = 2 log 1 a + log 3−1 b
32

3

⇔ log 3 x = 4 log 3 a − log 3 b
⇔ log 3 x = log 3 a 4 − log 3 b = log 3
⇔x =

a4
b

a4
b

Đáp án D
Câu 77. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log16 a = log20 b = log25
A. T =

5
4

B. T =

2
3

C. T =

2a − b
a
. Tính tỉ số T = .
3
b

3
2

D. T =

4
5

Lời giải

log16 a = log20 b = log25

2a − b
2a − b
= t ⇒ a = 16t , b = 20t ;
= 25t
3
3

thay a = 16t , b = 20t vào
Ta có:

2a − b

= 25t
3

2.16t − 20t
= 25t ↔ 2.16t − 20t = 3.25t
3
2t

t

4
4
2   −   − 3 = 0
 5 
 5 
t
 
Chia 2 vế cho 25t ta có:  4  = 2
3
 5 
↔ t
 4 
  = −1(L)
 5 

t

4
a
16t

2
Ta lại có: = t =   =
 5 
b
3
20
Vậy đáp án C
Câu 78. Cho 1 < x < 64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = log24 x + 12 log22 x .log2
A. 64 .

B. 96 .

C. 82 .

8
.
x

D. 81 .

Lời giải

P = log24 x + 12 log22 x .log2

8
= log24 x + 12 log22 x (log2 8 − log2 x )
x

Vì 1 < x < 64 nên log2 1 < log2 x < log2 64 ⇔ 0 < log2 x < 6
Đặt t = log2 x với 0 < t < 6 .

Trang 19


Ta có P = t 4 + 12t 2 (3 − t ) = t 4 − 12t 3 + 36t 2

t = 0(L)

3
2
P ' = 4t − 36t + 72t = 0 ↔ t = 6(L)

t = 3(TM )
Lập bảng biến thiên ta: Pmax = 81 khi x = 3
Đáp án D

9x
f
x
=
, x ∈ ℝ và hai số a , b thỏa mãn a + b = 1 . Tính f (a ) + f (b ) .
Cho
hàm
số
(
)
Câu 79.
9x + 3
A. 1 .

B. 2 .

C. − 1 .

D.

1
.
2

Lời giải

f (a ) + f (b ) =

1−b

9

91−b + 3

b

+

9
9b

9
9b
9

9b
=
+
=
+
=1
9
9b + 3
9b + 3 9 + 3.9b
9b + 3
+3
9b

Đáp án A
Câu 80. Với các số thực dương a , b bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. lg

a
lg a
=
.
b
lg b

B. lg (ab ) = lg a + lg b .

C. lg

a
= lg b − lg a .

b

D. lg (ab ) = lg a ⋅ lg b .
Lời giải

Theo công thức sgk đáp án B
Câu 81. Cho a = log25 7 ; b = log2 5 . Tính log5
A.

5ab − 3
.
b

B.

4ab + 3
.
b

49
theo a , b .
8
C.

4ab − 3
.
b

D.

4ab − 5
.
b

Lời giải
Ta có:

a = log25 7 =

1
log5 7 → log5 7 = 2a
2

b = log2 5 →

1
= log5 2
b

49
1 4ab − 3
= 2 log5 7 − 3 log5 2 = 2.2a − 3. =
8
b
b
Đáp án C
log5

Câu 82. Cho x , y là các số thực dương; u , v là các số thực. Khẳng định nào sau đây không phải luôn
luôn đúng?

Trang 20


v

( )

A. y u

B. x u .x v = x u .v .

= y uv .

xu
= x u −v .
v
x

C.

u

D. x u .y u = (x .y ) .

Lời giải
đáp án B
Câu 83. Biết log6 a = 3 , tính giá trị của loga

1

.
3
Giải
Đáp án
A.

B.

6.

1
.
12

C. 3 .

D.

4
.
3

B.

a > 0

⇔ a = 66
Ta có: log6 a = 3 ⇔ 
 a = 63


Do đó: log66

6=

1
1
1
log6 6 2 =
6
12

Câu 84. Với các số thực dương a, b, c bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. ln

a
= ln a − ln bc . B. ln (abc ) = ln a + ln bc .
bc

C. ln

1
= ln a − ln bc .
abc

D. ln

ab
b
= ln a + ln .
c

c

Giải
Đáp án

C.

1
= − ln (abc ) = − ln a − ln bc ≠ ln a − ln bc
abc
Câu 85. Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
ln

a 3 
ln b
A. log27   = log 3 a −
.

 b 
3 ln 3

a 3 
3 ln 3
B. log27   = log 3 a −
.

ln b
 b 

a 3 

ln b
.
C. log27   = log 3 a +

3 ln 3
 b 

a 3 
3 ln 3
D. log27   = log 3 a +
.

 b 
ln b
Giải

Chọn A

a 3  1
1
ln b 
ln b
 = log 3 a −
log27   = log 3 a 3 − log 3 b = 3 log 3 a −


3
ln 3 
3 ln 3
 b  3

(

)

6

4

Câu 86. Cho biểu thức P = x . x 5 . x 3 , với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
47

15

A. P = x 48 .

7

B. P = x 16 .

C. P = x 16 .

5

D. P = x 42 .

Giải
Chọn C
6

4

6

4

P = x. x 5. x 3 = x. x

5+

3
2

6

13

6

21

7

= x .x 8 = x 8 = x 16

(

)

Câu 87. Cho loga b = 3, loga c = −2 . Khi đó loga a 3b 2 c bằng

Trang 21


A. 13 .

B. 8 .

C. 10 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn

B.

Ta có
 loga b = 3 ⇔ b = a 3 .
 loga c = −2 ⇔ c = a −2 .

(

)

(

)

Khi đó, loga a 3b 2 c = loga a 3a 6a −1 = 8 .

Câu 88. Cho biểu thức P =

a

7 +1

.a 2−

(a )
2 −2

A. P = a 5 .

7

2 +2

với a > 0 . Rút gọn biểu thức P được kết quả

B. P = a 3 .

C. P = a 4 .

D. P = a .

Lời giải
Chọn

A.

Ta có P =

a

7 +1

.a 2−

(a )
2 −2

7

2 +2

=

7 +1+2− 7

a

= a5 .

2−4

a

3

Câu 89. Biết loga b = 3 . Tính giá trị của biểu thức P = log

A. P = − 3 .

3
.
2

B. P = −

b
a

C. P = −

b

.

a

3
.
3

1
D. P = − .
3

Lời giải
Chọn

C.
3

Ta có loga b = 3 ⇒ b = a
3

Do đó P = log

b
a

b

.
3

= log
a
a

a

a

3

3

= log

a

a

3
−1
2

a

3 1
−
3 2

3 1
−
2 =− 3 .
= 3
3
3
−1
2

Câu 90. Đặt log12 6 = a , log12 7 = b . Tính log2 7 theo a, b
A.

b
.
1−a

Chọn

B.

a
.
b −1
Lời giải

a
.
b +1

C.

D.

a
.
a −1

A.

Ta có log2 7 =

log12 7
log12 2

=

log12 7
log12 12 − log12 6

=

b
.
1 −a

Câu 91. Giả thuyết các biểu thức có nghĩa. Tìm mệnh đề SAI
A. logab c = loga c(1 + loga b) .

B. logax (bx ) =

loga b + loga x
1 + loga x

.

Trang 22


C. loga c + logb c =

loga c. logb c
logab c

D. b

.

logc a

=a

logc b

.

Lời giải
Chọn.
Ta có

loga c

 logab c =

loga (ab )

 logax (bx ) =


loga c. logb c
logab c

=

loga (bx )
loga (ax )

loga c
1 + loga b
=

, do đó mệnh đề sai.

loga b + loga x
1 + loga x

, do đó mệnh đề đúng.

= loga c.logb c.logc (ab ) = loga c.logb (ab ) = loga c (1 + logb a ) = loga c + logb c do đó

mệnh đề đúng.
b

logc a

=b

logc b .logb a

Câu 92. Cho 0 < x <

(

= b

logb a

logc b

)

=a

logc b

, do đó mệnh đề đúng.

π
3
. Tính P = lg sin x + lg cos x + lg tan x
, cos x =
2
10

A. −1 .

B.

3
.
10

C. −

3
10

D.

.

1
10

.

Lời giải
Chọn

A.

Ta có

(

)

(

P = lg sin x + lg cos x + lg tan x = lg (sin x .cos x . tan x ) = lg sin2 x = lg 1 − cos2 x

9
= lg 1 −  = −1
10 


)

1
Câu 93. Cho a > 0, a ≠ 1 . Tính giá trị của biểu thức P = log 3 a  3 
a 
A. −9 .

B. P = −1 .

C. 9 .

D. P = 1 .

Lời giải
Chọn

A.

1
−3
Ta có P = log 3 a  3  = log 1 a −3 =
loga a = −9 .
a 
1
a3
3
Câu 94. Cho hai số thực dương a, b bất kì thì thỏa mãn: 4 ln2 a + 9 ln2 b = 12 ln a.ln b . Mệnh đề nào
dưới đây ĐÚNG?
A. 3a = 2b .

B. 2a = 3b .

C. a 2 = b 3 .

D. a 3 = b 2 .

Lời giải
Chọn

C.

Ta có

Trang 23


4 ln2 a + 9 ln2 b = 12 ln a. ln b ⇔ 4 ln2 a − 12 ln a ln b + 9 ln2 b = 0
2

⇔ (2 ln a − 3 ln b ) = 0
⇔ 2 ln a = 3 ln b
⇔ a2 = b3
Câu 95. Cho biểu thức P = 3 x 5 4 x (x > 0) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
20
9

21
12

A. P = x .

25
12

B. P = x .

23
12

C. P = x .

D. P = x .

Lời giải
Chọn

B.
3

Ta có: P = x

54

5
3

1 1
.
4 3

x = x .x

=x

5 1
+
3 12

21
12

=x .

Câu 96. Với các số thực dương a , b bất kì, a ≠ 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3

A. loga

b
3

C. loga

a

b

2

a

2

=

1
− 2 loga b .
3

B. loga

=

1 1
− loga b .
3 2

D. loga

3

a

b

2

3

a

b2

1
= 3 − loga b .
2
= 3 − 2 loga b .

Lời giải
Chọn

A.

Ta có loga

3

a

b

2

= loga 3 a − loga b 2 =

1
− 2 loga b .
3

Câu 97. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho

loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 logn a 2019 = 10082 × 20172 loga 2019
A. 2017 .

B. 2019 .

C. 2016 .

D. 2018 .
Lời giải

Chọn

C.

loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 logn a 2019 = 10082 × 20172 loga 2019 (*)
Ta có n 2 logn a 2019 = n 2 .n.loga 2019 = n 3 loga 2019 . Suy ra
2

 n(n + 1) 
 . log 2019
VT (*) = 1 + 2 + ... + n . loga 2019 = 
a


2



(

3

3

3

)

VP (*) = 10082 × 2017 2 loga 2019 . Khi đó (*) được:

n 2 (n + 1)2 = 22.10082.2017 2 = 20162.2017 2 ⇒ n = 2016 .
Câu 98. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

3

1
3

−1 = (−1) .

0

B. (−0,1) = 1 .

1

C. (−π ) = −π .

−1

D. (−0, 5)

= −2 .

Lời giải
Chọn

A.

Trang 24


1

m

Ta có lũy thừa với số mũ hữu tỉ (a ) n thì cơ số a > 0 nên khẳng định sai là

3

−1 = (−1)3 .

Câu 99. Khẳng định nào sau đây là đúng?
−1

A. log (0,1)
C. log

B. log (xy ) = log x + log y (xy > 0) .

= −1 .

1
log 3
= log v −1 (v ≠ 0) .D. −2 2 = −3 .
v
Lời giải

Chọn

D.
−1

+ log (0,1)

−1

= −1 : SAI, vì log (0,1)

−1

= −1.log(0,1) = 1 hay log (0,1) = log10 = 1 .

+ log (xy ) = log x + log y , (xy > 0) : SAI điều kiện. Chỉ đúng với điều kiện x > 0, y > 0 .
+ log
+ −2

1
= log v −1 (v ≠ 0) : SAI điều kiện. Chỉ đúng với điều kiện v > 0 .

v

log2 3

= −3 : ĐÚNG theo tính chất của Lôgarit.

 1
 3
Câu 100. Cho biểu thức P = 
a




a b



1
1
− −
2
3

2
2 2 3



(a b ) 



−

1
2

6


 với., b là các số dương. Khẳng định nào sau đây là



đúng?
A. P =

a
.
ab 3

B. P = b 3 a .

C. P =

a
b3

D. P =

.

b3 a
.
a

Lời giải
Chọn

A.
6

Ta có P =

 1 
a 3 
 
 

3

 −1 −1 4 4 
a 2 .b 3 .a 3 .b 3 





=

a2
−3
2

a .a 4 .b 3

1

=
a

−3
+2
2

=
.b 3

1
1
2

=

a .b 3

a
.
a.b 3

Câu 101. Cho log6 9 = a . Tính log3 2 theo a .
A.

a
.
2 −a

Chọn

B.

a +2
.
a

D.

2 −a
.
a

D.

Ta có log6 9 = a = log6 32 = 2 log6 3 =

⇒ log 3 2 =

a −2
.

a
Lời giải
C.

2
2
2
=
=
log 3 6 log 3 (3.2) 1 + log 3 2

2
2 −a
−1 =
.
a
a

Câu 102. Biểu diễn log2 5 theo α = log10 20 ta được log2 5 nhận giá trị
A.

α −2
.
α −1

B.

2+α
.
α +1

C.

2−α
.
α −1

D.

1
.
α −1
Trang 25