8 GIẢI và BIỆN LUẬN PT, BPT BẰNG PP hàm số

Hàm Số Nâng Cao

GẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ.
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Đối với phương trình chứa tham số
Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)
B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng
d: y = g(m).
B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)
B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min f ( x, m ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x, m ) .
x∈D

x∈D

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.
* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .
2. Đối với bất phương trình chứa tham số

f ( x ) ≤ g ( m ) với mọi x ∈ D ⇔ g ( m ) ≥ max f ( x )
x∈D

f ( x ) ≤ g ( m ) có nghiệm khi và chỉ khi g ( m ) ≥ min f ( x )
x∈D

f ( x ) ≥ g ( m ) với mọi x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ min f ( x )
x∈D

f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm khi và chỉ khi g ( m ) ≤ max f ( x )
x∈D

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có bao nhiêu nghiệm thực trong [ −5π ; 2017π ] ?
A. vô nghiệm.

Câu 2:

2
.
2

C. − 2 ≤ m ≤ 2 .

D. −1 < m < 1 .

B. m <

2
.
2

C. m ≤

2
.
2

D. m >

2
.
2

B. m ≤ 2 .

C. m ≥ 3 .

D. m ≤ 3 .

Phương trình x3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) có nghiệm thực khi và chỉ khi:
2

3
A. −6 ≤ m ≤ − .
2

229

B. −1 < m < 1 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x + 1 = x + m có nghiệm
thực?
A. m ≥ 2 .

Câu 5:

D. 2023 .

2

Giá trị của m để phương trình x + 2 x + 1 = m có nghiệm là:

A. m ≥
Câu 4:

C. 2022 .

2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 + tan x = m + tan x có ít
nhất một nghiệm thực.

A. − 2 < m < 2 .
Câu 3:

B. 2017 .

B. −1 ≤ m ≤ 3 .

C. m ≥ 3 .

D. −

1
3
≤m≤ .
4
4


Hàm Số Nâng Cao

Câu 6:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 − x + 1 − x = m + x − x 2 có hai
nghiệm phân biệt.
 23 
A. m ∈ 5;  .
 4
 23 
m ∈ 5;  ∪ {6} .
 4 

Câu 7:

2
.
3

B. m ≤ −1 .

C. m ≥

2
.
3

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
có đúng 2 nghiệm dương?

A. 1 ≤ m ≤ 3 .
Câu 9:

 23 
C. m ∈  5;  ∪ {6} . D.
 4 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:
m x 2 − 2 x + 2 + m + 2 x − x 2 ≤ 0 có nghiệm x ∈ 0;1 + 3  .

A. m ≤
Câu 8:

B. m ∈ [5; 6] .

B. −3 < m < 5 .

C. − 5 < m < 3 .

D. m ≤ 0 .

x2 − 4 x + 5 = m + 4 x − x2
D. −3 ≤ m < 3 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

(

m

)

1 + x 2 − 1 − x 2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 có nghiệm.

A. m ≤ 2 − 1 .

2 −1 ≤ m ≤ 1.

B.

C. m ≥ 1 .

D. m ≤ 1 .

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (1) có nghiệm.
A. m ≤ 2 − 1 .

2 −1 ≤ m ≤ 1.

B.

1
C. −1 < m ≤ .
3

D. m ≤ −1 .

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có 2 nghiệm thực phân biệt.

A. m ≤ 9 .

B. m ≥

9
.
2

C. −1 < m .

D. m ≤ 7 .

Câu 12: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
4
2 x + 2 x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m, ( m ∈ ℝ )
A. 2 6 + 2 4 6 ≤ m ≤ 3 2 + 6
C.

6 + 24 6 ≤ m ≤ 3 2 + 6

B. 2 6 + 3 4 6 ≤ m ≤ 3 2 + 8
D.

6 + 24 6 ≤ m ≤ 3 2 + 6

 π π
Câu 13: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 
 4 4
sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4x = m.

A. m ≤

230

47 3
; ≤m
64 2

B.

49
3
64
2

C.

47
3
64
2

D.

47
3
≤m≤
64

2


Hàm Số Nâng Cao
Câu 14: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

(

m

thuộc

[10;10]

để phương trình

)

1 − x 2 − m 2 1 + x + 2 1 − x − 3 + 1 = 0 có nghiệm?

B. 13

A. 12

C. 8

D. 9

Câu 15: Tìm m để phương trình x 4 – ( 2m + 3) x 2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thoả mãn:
−2 < x1 < −1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3

B. m = 1

A. Không có m

C. m = 4

D. m = 3

Câu 16: Cho phương trình 2m2 x3 + 8 x + x3 + x + 2 = 2m2 + 10 ( m là tham số). Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Phương trình đã cho vô nghiệm.
B. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực.
C. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.
D. Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Câu 18: Bất phương trình

2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 − 4 − x ≥ 2 3 có tập nghiệm là [ a; b] . Hỏi tổng

a + b có giá trị là bao nhiêu?
A. −2 .

B. 4.

Câu 19: Bất phương trình

C. 5.

D. 3.

x 2 − 2 x + 3 − x 2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1 có tập nghiệm ( a; b ] . Hỏi

hiệu b − a có giá trị là bao nhiêu?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. −1 .

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:
x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx 2 + ( m + 1) x + m + 1 ≥ 0 ?
A. m ≤ −1 .

4
B. m ≤ − .
7

4
C. m ≥ − .
7

D. m ≥ −1 .

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: − x 3 + 3mx − 2 < −
nghiệm đúng ∀x ≥ 1 ?

A. m <

2
.
3

B. m ≥

2
.
3

Câu 22: Tìm tham số thực m để bất phương trình:

C. m ≥

3
.
2

1
3
D. − ≤ m ≤ .
3
2

x 2 − 4 x + 5 ≥ x 2 − 4 x + m (1) có nghiệm thực

trong đoạn [ 2;3] .

A. m < −1

B. m ≤ −1

C. m ≤ −

1
2

D. m < −

1
2

2
Câu 23: Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là ( −∞; +∞ ) : ( x + 1)( x + 3) + m > 5 x + 4 x + 29

A. m < 26 .
231

B. m ≥ 26 .

1
x3

C. m ≥ −

129
.
4

D. m ≤ −

129
.
4


Hàm Số Nâng Cao

232


Hàm Số Nâng Cao

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có bao nhiêu nghiệm thực trong [ −5π ; 2017π ] ?
B. 2017 .

A. vô nghiệm.

C. 2022 .

D. 2023 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số y = 2017 sin x − sin x − 2 − cos 2 x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π .
Xét hàm số y = 2017sin x − sin x − 2 − cos 2 x trên [ 0; 2π ] .

Ta có

y′ = cos x.2017sin x.ln 2017 − cos x −


sin x 
= cos x.  2017sin x.ln 2017 − 1 −

2 2 − cos x
1 + sin 2 x 

2sin x.cos x
2

Do vậy trên [ 0; 2π ] , y′ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
2

∨x=

3π
.
2

1
π 
 3π 
−1− 2 < 0
y   = 2017 − 1 − 2 > 0 ; y 

=
2
 2  2017
Bảng biến thiên

x

π

0

y′

2

+

0
π 
y 
2

y

3π
2

0

−

0

2π

+
0

 3π 
y 
 2

Vậy trên [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos2 x có đúng ba nghiệm phân biệt.
Ta có y (π ) = 0 , nên trên [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có ba nghiệm
phân biệt là 0, π , 2π .
Suy ra trên [ −5π ; 2017π ] phương trình có đúng 2017 − ( −5 ) + 1 = 2023 nghiệm.

Câu 2:

2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 + tan x = m + tan x có ít
nhất một nghiệm thực.

A. − 2 < m < 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

233

B. −1 < m < 1 .

C. − 2 ≤ m ≤ 2 .

D. −1 < m < 1 .


Hàm Số Nâng Cao
pt ⇔ m =

tan x
2 + tan 2 x − 1

Đặt tan x = t ⇒ m =
Xét hàm số f ( t ) =

t
2 + t2 −1
t
2 + t 2 −1

⇒ f ' (t ) =

2 − 2 + t2
2+t .

(

(

)

2

)

2

2 + t −1

Lập BBT với lim f ( t ) = 1, lim f ( t ) = −1, f − 2 = 2, f
t →+∞

Câu 3:

t →−∞

2

=0⇔t=± 2

( 2) =

2 ⇒ m ∈  − 2; 2  .

2
Giá trị của m để phương trình x + 2 x + 1 = m có nghiệm là:

A. m ≥

2

.
2

B. m <

2
.
2

C. m ≤

2
.
2

D. m >

2
.
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt f ( x) = x + 2 x 2 + 1 ⇒ f ′ ( x ) = 1 +

2x
2 x2 + 1

x ≤ 0
2


Ta có: f ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x + 1 = −2 x ⇔ 
2 ⇔ x=− 2
x = ±
2

2

Bảng biến thiên
−∞

x
f ′( x)

−

−

2
2

+∞
+

0

+∞

+∞
f ( x)

Vậy, m ≥

Câu 4:

2
2

2
.
2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x + 1 = x + m có nghiệm
thực?

A. m ≥ 2 .

B. m ≤ 2 .

C. m ≥ 3 .

D. m ≤ 3 .

Chọn A.
Chọn B.
Đặt t = x + 1, t ≥ 0 . Phương trình thành: 2t = t 2 − 1 + m ⇔ m = −t 2 + 2t + 1
234


Hàm Số Nâng Cao

Xét hàm số f (t ) = −t 2 + 2t + 1, t ≥ 0; f ′(t ) = −2t + 2
Bảng biến thiên của f ( t ) :

0

1
0
2

Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m ≤ 2 .

Câu 5:

Phương trình x3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) có nghiệm thực khi và chỉ khi:
2

3
A. −6 ≤ m ≤ − .
2

B. −1 ≤ m ≤ 3 .

C. m ≥ 3 .

D. −

1
3
≤m≤ .
4

4

Hướng dẫn giải:
Sử dụng máy tính bỏ túi.
x3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) ⇔ mx 4 − x 3 + ( 2m − 1) x 2 − x + m = 0
2

Chọn m = 3 phương trình trở thành 3 x 4 − x 3 + 5 x 2 − x + 3 = 0 (không có nghiệm thực) nên
loại đáp án B,
C.
Chọn m = −6 phương trình trở thành −6 x 4 − x 3 − 13 x 2 − x − 6 = 0 (không có nghiệm thực)
A.
nên loại đáp án
Kiểm tra với m = 0 phương trình trở thành − x 3 − x 2 − x = 0 ⇔ x = 0 nên chọn đáp án D.
Tự luận
Ta có x3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) ⇔ m =
2

Xét hàm số y =

(x
y′ =
( 3x
=
=

2

3

x3 + x 2 + x
xác định trên ℝ .
x4 + 2 x2 + 1

+ x 2 + x )′ ( x 4 + 2 x 2 + 1) − ( x 3 + x 2 + x )( x 4 + 2 x 2 + 1)′

(x

4

+ 2 x 2 + 1)

2

+ 2 x + 1)( x 4 + 2 x 2 + 1) − ( x 3 + x 2 + x )( 4 x 3 + 4 x )

(x

4

+ 2 x 2 + 1)

− x6 − 2 x5 − x 4 + x2 + 2 x + 1

( x + 2 x + 1)
( − x + 1)( x + 2 x + 1)
=
( x + 2 x + 1)
4

4

2

2

2

4

235

x3 + x 2 + x
(1)
x4 + 2 x2 + 1

2

2

2


Hàm Số Nâng Cao
x = 1
y′ = 0 ⇔ ( − x 4 + 1)( x 2 + 2 x + 1) = 0 ⇔ 
 x = −1
Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y =

⇔

x3 + x 2 + x
x4 + 2 x2 + 1

−1
3
≤m≤ .
4
4

Chọn D.
Câu 6:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 − x + 1 − x = m + x − x 2 có hai
nghiệm phân biệt.
 23 
A. m ∈ 5;  .
 4
 23 
m ∈ 5;  ∪ {6} .
 4 

B. m ∈ [5; 6] .

 23 
C. m ∈  5;  ∪ {6} . D.
 4 

Hướng dẫn giải:

+) 2 − x + 1 − x = m + x − x 2 ( 1)
Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 2
+) (1) ⇔ 3 + 2 − x 2 + x + 2 = − x 2 + x + m
Đặt: − x 2 + x = t ; f ( x ) = − x 2 + x; f ′ ( x ) = −2 x + 1
1
1 1

f ( −1) = 2, f ( 2 ) = −2, f   = ⇒ t ∈  −2; 
4
2 4


(1) ⇔ 3 + 2

t + 2 = t + m ⇔ 2 t + 2 = t + m −3 ⇔ m = 2 t + 2 +3−t

Đặt f ( t ) = 2 t + 2 + 3 − t
f ′ (t ) =

1
1− t − 2
−1 =
. f ′ ( t ) = 0 ⇒ 1 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1
t+2
t−2

Bảng biến thiên

236

Hàm Số Nâng Cao

1
t

-∞

-2

-1

+∞

4

f'(t)
6
f(t)
23
5

4

+) − x 2 + x = t ⇔ − x 2 + x − t = 0
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 1 − 4t > 0 ⇔ t ≤

1
4

1

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình ( ∗) có nghiệm t ∈  −2; 
4

Từ bảng biến thiên ⇒ m ∈ [5;6] .

Chọn B.
Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:
m x 2 − 2 x + 2 + m + 2 x − x 2 ≤ 0 có nghiệm x ∈ 0;1 + 3  .

A. m ≤

2
.
3

B. m ≤ −1 .

C. m ≥

2
.
3

D. m ≤ 0 .

Hướng dẫn giải:

Bpt ⇔

(

)

x2 − 2 x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) ≤ 0 ⇔ m ≤

x2 − 2 x
x2 − 2x + 2 + 1

, (1)

Đặt t = x 2 − 2 x + 2 ⇒ x 2 − 2 x = t 2 − 2 .
Ta xác đinhk ĐK của t:
Xét hàm số t = x 2 − 2 x + 2 với x ∈ 0;1 + 3  , ta đi tìm ĐK ràng buộc của t.
Ta có: t ' =

x −1
2

x − 2x + 2

,t ' = 0 ⇔ x = 1.

Vậy với x ∈ 0;1 + 3  thì 1 ≤ t ≤ 2 .
Khi đó: (1) ⇔ m ≤

t2 − 2
với t ∈ [1; 2] .

t +1

Xét hàm số f ( t ) =

t2 − 2
t 2 + 2t + 2
với t ∈ [1; 2] . Ta có: f ' ( t ) =
> 0, ∀x ∈ [1; 2] . Vậy hàm
2
t +1
(t + 2)

số f tăng trên [1;2].
Do đó, yêu cầu của bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm t ∈ [1; 2]
237


Hàm Số Nâng Cao
⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( 2 ) =
t∈[1;2]

Vậy m ≤

2
.
3

2
thì pt có nghiệm.
3

Chọn A.
Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
có đúng 2 nghiệm dương?

A. 1 ≤ m ≤ 3 .

B. −3 < m < 5 .

C. − 5 < m < 3 .

x2 − 4 x + 5 = m + 4 x − x2
D. −3 ≤ m < 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đặt t = f ( x) = x 2 − 4 x + 5 . Ta có f ′( x) =

x−2
2

x − 4x + 5

. f ′( x ) = 0 ⇔ x = 2

Xét x > 0 ta có bảng biến thiên

0

2
0
1

Khi đó phương trình đã cho trở thành m = t 2 + t − 5 ⇔ t 2 + t − 5 − m = 0 (1).
Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 thì t1 + t2 = −1 . (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t ≥ 1 .
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1

( )
nghiệm t ∈ (1; 5 ) . Ta có g ′(t ) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈ (1; 5 ) .

nghiệm t ∈ 1; 5 . Đặt g (t ) = t 2 + t − 5 . Ta đi tìm m để phương trình g (t ) = m có đúng 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra −3 < m < 5 là các giá trị cần tìm.

Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:
m

(

A. m ≤ 2 − 1 .
238

)

1 + x 2 − 1 − x 2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 có nghiệm.

B.

2 −1 ≤ m ≤ 1.

C. m ≥ 1 .

D. m ≤ 1 .


Hàm Số Nâng Cao
Hướng dẫn giải:
ĐK: x ∈ [ −1;1] .
Đặt t = 1 + x 2 − 1 − x 2 . Với x ∈ [ −1;1] , ta xác định ĐK của t như sau:
Xét hàm số t = 1 + x 2 − 1 − x 2 với x ∈ [ −1;1] .
Ta có:

t'=

x
1 + x2

+

x
1 − x2

=

x

(

1 − x2 + 1 + x2
1 − x4

) , cho t ' = 0 ⇔ x = 0

Ta có t ( −1) = 2, t ( 0 ) = 0, t (1) = 2
Vậy với x ∈ [ −1;1] thì t ∈ 0; 2 
Từ t = 1 + x 2 − 1 − x 2 ⇒ 2 1 − x 4 = 2 − t 2 .

−t 2 + t + 2
Khi đó pt đã cho tương đương với: m ( t + 2 ) = −t + t + 2 ⇔
t+2
2

Bài toán trở thành tìm m để phương trình
Xét hàm số f ( t ) =
Ta có: f ' ( t ) =

−t 2 + t + 2
= m có nghiệm t ∈  0; 2  .
t+2

−t 2 + t + 2
với t ∈  0; 2  .
t+2

−t 2 − 4t

(t + 2)

2

< 0, ∀t ∈ 0; 2 

Suy ra: max f ( t ) = f ( 0 ) = 1, min f ( t ) = f
t∈0; 2 

t∈0; 2 

( 2) =

2 − 1.

Bây giờ yêu cầu bài toán xảy ra khi: min f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ 2 − 1 ≤ m ≤ 1
t∈0; 2 

Vậy với

t∈0; 2 

2 − 1 ≤ m ≤ 1 thảo yêu cầu bài toán.

Chọn B.
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (1) có nghiệm.

A. m ≤ 2 − 1 .

B.

2 −1 ≤ m ≤ 1.

Hướng dẫn giải:
ĐK xác định của phương trình: x ≥ 1.
Khi đó:

239

1
C. −1 < m ≤ .
3

D. m ≤ −1 .


Hàm Số Nâng Cao

x −1
x2 −1
x −1
x −1
+ m = 24
⇔3
+ m = 24
2
x +1

x +1
x +1
( x + 1)

(1) ⇔ 3

x −1
, ( t ≥ 0 ) . Vì
x +1

Đặt t = 2 4

4

( 2)

x −1 4
2
= 1−
< 1 nên t<1.
x +1
x +1

Vậy với x ≥ 1 thì 0 ≤ t < 1
Khi đó, ( 2 ) ⇔ 3t 2 + m = 2t ⇔ −3t 2 + 2t = m, ( 3) .
Bây giờ bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm t ∈ [ 0;1) .
Xét hàm số f ( t ) = −3t 2 + 2t trên khoảng [ 0;1) . Ta có:
1
f ' ( t ) = −6t + 2, f ' ( t ) = 0 ⇔ −6t + 2 = 0 ⇔ t = .
3

BBT
0

t

f '(t )

f (t )

+

0

−

1
3

0

Vậy với −1 < m ≤

1

1
3

−1

1
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
3

Chọn C.
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có 2 nghiệm thực phân biệt.
A. m ≤ 9 .

B. m ≥

9
.
2

C. −1 < m .

Hướng dẫn giải:
Ta có:

1

x≥−

2
x + mx + 2 = 2 x + 1 (1) ⇔
 2
3 x + 4 x − 1 = mx

Nhận xét:

240

2

( 2)

( *)

D. m ≤ 7 .


Hàm Số Nâng Cao

x=0

không phải là nghiệm
1

 x ≥ − 2
( *) ⇔  2
 3 x + 4 x − 1 = m ( 3)

x

của

(2).

Do

vậy,

ta

tiếp

tục

biến

đổi:

Bài toán trở thành tìm m để (3) có 2 nghiệm thực phân biệt:
 1

x ∈  − ; +∞  \ {0} .
 2


Xét hàm số f ( x ) =

3x 2 + 4 x − 1
 1

với x ∈  − ; +∞  \ {0} . Ta có:
x
2




3x 2 + 1
 1

> 0, ∀x ∈  − ; +∞  \ {0}
2
x
 2


f '( x) =
BBT

X

−

0

1
2

f '( x)

+∞

+

+

+∞
f ( x)

9
2

Vậy với m ≥

+∞
−∞

9
thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt.
2

Chọn B.
Câu 12: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
4
2 x + 2 x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m, ( m ∈ ℝ )
A. 2 6 + 2 4 6 ≤ m ≤ 3 2 + 6
C.

6 + 24 6 ≤ m ≤ 3 2 + 6

Chọn A.
ĐK: 0 ≤ x ≤ 6
Đặt vế trái của phương trình là f ( x ) , x ∈ [ 0;6] .
Ta có:

241

B. 2 6 + 3 4 6 ≤ m ≤ 3 2 + 8
D.

6 + 24 6 ≤ m ≤ 3 2 + 6


Hàm Số Nâng Cao

1

f '( x) =

1
= 
2


2 4 ( 2x)
1

4

( 2x )

3

1
1

1
−
−
3
2x 2 4 (6 − x)
6− x

+

3

1

−
4

(6 − x)

3


 +  1 − − 1  , x ∈ ( 0; 6 )

  2 x
6− x 


Đăt:



1
−
u ( x) = 
 4 2x 3
 ( )

1
4

(6 − x)

3


 , v( x) =  1 − − 1  , x ∈ ( 0;6 )



6− x 
 2x


Ta thấy u ( 2 ) = v ( 2 ) = 0, x ∈ ( 0;6 ) ⇒ f ' ( 2 ) = 0 . Hơn nữa u ( x ) , v ( x ) cùng dương trên
khoảng (0;2) và cùng âm trên khoảng (2;6).
BBT
X

0

2

f '( x)

||

f ( x)

2 6+2 6

+

6

0

−

||

3 2 +6
4

4

12 + 2 3

Vậy với 2 6 + 2 4 6 ≤ m ≤ 3 2 + 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.
 π π

Câu 13: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 
 4 4
sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4x = m.

A. m ≤

47 3
; ≤m
64 2

B.

49
3
64
2

C.

47
3
64
2

D.

47
3

≤m≤
64
2

Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho tương đương
3 + cos 4 x
+ cos 2 4 x = m
4
⇔ 4cos 2 4 x + cos 4 x = 4m − 3 (1)
Đặt t = cos4x. Phương trình trở thành: 4t 2 + t = 4m − 3 , (2)
 π π
Với x ∈  − ;  thì t ∈ [ −1;1] .
 4 4
 π π
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x ∈  − ;  khi và chỉ khi phương trình (2) có 2
 4 4
nghiệm phân biệt t∈[-1; 1), (3)
242


Hàm Số Nâng Cao
Xét hàm số g(t) = 4t 2 + t với t ∈ [ −1;1) , g’(t) = 8t+1.
g’(t) = 0 ⇔ t = −

1
8

Lập bảng biến thiên

t

1

g’(t)

0

+
5

g(t)
3

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra ⇔ −
Vậy giá trị của m phải tìm là:

1
47
3
< 4m − 3 ≤ 3 ⇔
16
64
2

47
3
64

2

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

(

thuộc

m

[10;10]

để phương trình

)

1 − x 2 − m 2 1 + x + 2 1 − x − 3 + 1 = 0 có nghiệm?

B. 13

A. 12

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải:
ĐK: −1 ≤ x ≤ 1 . Đặt u = 1 − x + 1 + x
1
1

⇒u'=
−
;u ' = 0 ⇔ x = 0
2 1+ x 2 1− x
Từ BBT ⇒

−1

u'

0
+

2 ≤t ≤2

PT có dạng:
t2
− m ( 2t − 3) = 0 ⇔ t 2 = 2m ( 2t − 3)(*)
2
Do t =

x

0

1

−

2

u

2

t2
2
không là nghiệm nên (*) ⇔ 2m =
= f (t )
2t − 3
3

PT đã cho có nghiệm ⇔ Đồ thị h/s y = f ( t ) và đt y = 2m có điểm chung có hoành độ

2 ≤t ≤2
Xét hàm số f ( t ) =
BBT:

243

2t ( t − 3)
t2
trên  2; 2  : f ' ( t ) =
< 0 ∀t ∈  2; 2 
2
2t − 3
( 2t − 3)

2

Hàm Số Nâng Cao
t

2

3
2

2

f '(t )

−

−

−2 ( 2 2 + 3 )

+∞

f (t )

4

−∞

(

)

(

)

 2m ≤ −2 2 2 + 3
m ≤ − 2 2 + 3
⇔
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 
. Đáp án
 2m ≥ 4
 m ≥ 2

A.

Câu 15: Tìm m để phương trình x 4 – ( 2m + 3) x 2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thoả mãn:
−2 < x1 < −1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3

A. Không có m

B. m = 1

C. m = 4

D. m = 3

Hướng dẫn giải:
Đặt x 2 = X , ta có phương trình: f ( X ) = X 2 – ( 2m + 3) . X + m + 5 = 0(*)
để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < x4 thì phương trình (*) có hai
nghiệm thoả mãn: 0 < X 1 < X 2 . Khi đó x1 = − X 2 ; x2 = − X 1 ; x3 = X 1 ; x4 = X 2

Do đó: −2 < −

⇔2>

X 2 >1 >

X 2 < −1 < −

X1 < 0 <

X1 < 1 <

X2 < 3

X1 > 0 ⇔ 4 > X 2 > 1 > X1 > 0


 m>3
 af (1) < 0
 −m + 3 < 0



⇔  af (0) > 0 ⇔  m + 5 > 0 ⇔ m > −5
af (4) > 0
−7 m + 9 > 0

9



m<
7

⇒ không tồn tại m thoả mãn bài toán.

Chọn A.
Câu 16: Cho phương trình 2m2 x3 + 8 x + x3 + x + 2 = 2m2 + 10 ( m là tham số). Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Phương trình đã cho vô nghiệm.
B. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực.
C. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.
D. Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x3 + x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x + 1) ( x 2 − x + 2 ) ≥ 0 ⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1.
244


Hàm Số Nâng Cao
Xét hàm số f ( x ) = 2m2 x3 + 8 x + x3 + x + 2 liên tục trên [ −1; +∞ ) .
Ta có f ′ ( x ) = 6m 2 x 2 + 8 +

3x 2 + 1
2 x3 + x + 2

> 0 với ∀x ∈ ( −1; +∞ ) .

Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên [ −1; +∞ ) .
Do đó, phương trình f ( x ) = 2m 2 x3 + 8 x + x3 + x + 2 = 2m 2 + 10 có tối đa một nghiệm.
Mà f (1) = 2m 2 .13 + 8.1 + 13 + 1 + 2 = 2m 2 + 10 
→ x = 1 là nghiệm duy nhất.

Chọn B.
Câu 17: Hình vẽ bên là đường biểu diễn của đồ thị hàm số
y = x 3 + 3 x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m

3 x 2 − 3 = − x3 + m
để phương trình
nghiệm thực âm phân biệt.
A. −1 ≤ m ≤ 1.

m = 1
B. 
.
 m = −3

m > 1
C. 
.
 m < −1

D. m = −4.

có hai

Hướng dẫn giải:
x ≥ 1
Điều kiện: 
 x ≤ −1
Phương trình

(1) và

x≤ 3 m

( 2).

3 x 2 − 3 = − x3 + m

←
→ 3 x 2 − 3 = − x 3 + m ←
→ x3 + 3x 2 = m + 3 .

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y = x 3 + 3 x 2 (chỉ xét trong phần x thỏa điều kiện (1) &

( 2) ) và đường thẳng

y = m + 3 (cùng phương với trục

hoành).
x ≥ 1
, đồ thị hàm số y = x 3 + 3 x 2 có dạng như hình vẽ. Dựa vào đồ thị, ta thấy để
Xét với 
x
≤
−
1

phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi 2 ≤ m + 3 ≤ 4 ←
→ −1 ≤ m ≤ 1 .

Với −1 ≤ m ≤ 1 thì (1) thỏa mãn ( 2 ) .

Chọn A.

2 x3 + 3x 2 + 6 x + 16 − 4 − x ≥ 2 3 có tập nghiệm là [ a; b] . Hỏi tổng
a + b có giá trị là bao nhiêu?

Câu 18: Bất phương trình
A. −2 .
245

B. 4.

C. 5.

D. 3.


Hàm Số Nâng Cao
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 4 . Xét f ( x) = 2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x trên đoạn [ −2; 4] .
Có f ′( x) =

3 ( x 2 + x + 1)
3

2

2 x + 3 x + 6 x + 16

+

1
> 0, ∀x ∈ ( −2; 4 ) .
2 4− x

Do đó hàm số đồng biến trên [ −2;4] , bpt ⇔ f ( x ) ≥ f (1) = 2 3 ⇔ x ≥ 1 .
So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S = [1; 4] ⇒ a + b = 5.

x 2 − 2 x + 3 − x 2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1 có tập nghiệm ( a; b ] . Hỏi
hiệu b − a có giá trị là bao nhiêu?

Câu 19: Bất phương trình
A. 1.

B. 2.

D. −1 .

C. 3.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 3 ; bpt ⇔

( x − 1)

2

+ 2 + x −1 >

Xét f (t ) = t 2 + 2 + t với t ≥ 0 . Có f '(t ) =

(3 − x )

t
2

2 t +2

+

2

1
2 t

+ 2 + 3− x
> 0, ∀t > 0 .

Do đó hàm số đồng biến trên [0; +∞ ) . (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x ) ⇔ x − 1 > 3 ⇔ x > 2
So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S = (2;3]

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:
x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx 2 + ( m + 1) x + m + 1 ≥ 0 ?
4
B. m ≤ − .
7

A. m ≤ −1 .

4
C. m ≥ − .
7

D. m ≥ −1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Bất phương trình x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 .
Bất phương trình mx 2 + ( m + 1) x + m + 1 ≥ 0 ⇔ m( x 2 + x + 1) ≥ − x − 2 ⇔ m ≥
Xét hàm số f ( x) =

−x − 2
x2 + x + 1

x 2 + 4x + 1
−x − 2
′
1
≤
x
≤
2
=
> 0, ∀x ∈ [1;2]
f
x
với

.
Có
(
)
x2 + x + 1
( x 2 + x + 1)2

Yêu cầu bài toán ⇔ m ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ −
[1;2]

4
7

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: − x 3 + 3mx − 2 < −
nghiệm đúng ∀x ≥ 1 ?

246

1
x3


Hàm Số Nâng Cao
A. m <

2
.
3

B. m ≥

2
.
3

C. m ≥

3
.
2

1
3
D. − ≤ m ≤ .
3
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Bpt ⇔ 3mx < x 3 − 13 + 2, ∀x ≥ 1 ⇔ 3m < x 2 − 14 + 2 = f ( x ) , ∀x ≥ 1 .
x
x
x

( )

Ta có f ′ ( x ) = 2 x + 45 − 22 ≥ 2 2 x 45 − 22 = 4 22− 2 > 0 suy ra f ( x ) tăng.
x
x
x

x
x
Ycbt ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ 1 ⇔ min f ( x ) = f (1) = 2 > 3m ⇔ 2 > m
x ≥1
3

x 2 − 4 x + 5 ≥ x 2 − 4 x + m (1) có nghiệm thực

Câu 22: Tìm tham số thực m để bất phương trình:
trong đoạn [ 2;3] .

A. m < −1

B. m ≤ −1

C. m ≤ −

1
2

D. m < −

1
2

Hướng dẫn giải:
Tập xác định: D = ℝ .
Đặt t = x 2 − 4 x + 5 ≥ 1 ⇒ x 2 − 4 x = t 2 − 5 .
Khi đó: (1) ⇔ t ≥ t 2 − 5 + m ⇔ m ≤ −t 2 + t + 5 = g ( t ) , t ∈ [1; +∞ ) .
Ta có: g ' ( t ) = −2t + 1. Cho g ' ( t ) = 0 ⇔ t =

1
.
2

Bảng biến thiên:

−∞

t

1
2

+∞

g ' (t )

−
+ 0

−

−
3

g (t )

−1

Dựa vào bảng biến thiên, m ≤ −1 thỏa yêu cầu bài toán.
2
Câu 23: Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là ( −∞; +∞ ) : ( x + 1)( x + 3) + m > 5 x + 4 x + 29

A. m < 26 .
Hướng dẫn giải:
247

B. m ≥ 26 .

C. m ≥ −

129
.
4

D. m ≤ −

129
.
4


Hàm Số Nâng Cao

( x + 1)( x + 3) + m > 5 x 2 + 4 x + 29 ⇔ m > − x 2 − 4 x − 3 + 5 x 2 + 4 x + 29 ⇔ m > −t 2 + 5t + 26
Với t = x 2 + 4 x + 29, t =

( x + 2)

2

+ 25 ≥ 5

BPT ( x + 1)( x + 3) + m > 5 x 2 + 4 x + 29 có nghiệm là ( −∞; +∞ ) ⇔ m ≥ max f (t ) với
[5; +∞ )

2

f (t ) = −t + 5t + 26
Do f (t ) = −t 2 + 5t + 26 = t ( 5 − t ) + 26 ≤ 26 với t ≥ 5 nên max f (t ) = 26
[5; +∞ )

Chọn B.

248