Giải và biện luận pt bậc 2-new
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.5 KB, 7 trang )
Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai :
2
ax bx c 0(2)+ + =
Tóm tắt lý thuyết
A/ Giải và biện luận: Phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
-
a 0
=
: phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0.
-
a 0≠
: Đặt
2
b 4ac∆ = −
+
0 :
∆ <
pt(2) vô nghiệm.
+
0∆ =
: pt(2) có nghiệm kép
b
x
2a
= −
.
+
0∆ >
: pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
b
x
2a
− + ∆
=
;
b
x
2a
− − ∆
=
Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình.
B/ Hệ thức Vi-et
Hai số
1 2
x ;x
là hai nghiệm của phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
khi và chỉ khi
chúng thỏa các hệ thức:
1 2 1 2
b c
x x va` x .x
a a
+ = − =
.
Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai
số đó là hai nghiệm của phương trình:
2
X SX P 0− + =
( Điều kiện tồn tại hai số trên là
2
S 4P 0− ≥
)
- Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức
2
f(x) ax bx c= + +
có hai
nghiệm
1 2
x ;x
thì nó có thể phân tích thành nhân tử
1 2
f(x) a(x x )(x x )= − −
- Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai:
+
1 2 1 2
b c
S x x ;P x .x .
a a
= + = − = =
+
2 2 2
1 2
x x S 2P+ = −
+
3 3 3
1 2
x x S 3SP+ = −
C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình:
Cho phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
. Đặt
1 2 1 2
b c
S x x ;P x .x
a a
= + = − = =
trong đó
1 2
x ;x
là 2
nghiệm của phương trình (2)
1/ Pt(2) vô nghiệm
a 0
b 0
c 0
a 0
0
=
=
≠
⇔
≠
∆ <
2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm
a 0
b 0
a 0
0
=
≠
⇔
≠
∆ =
3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
2
a 0
b 4ac 0
≠
⇔
∆ = − >
4/Pt(2) có VSN
a 0
b 0
c 0
=
⇔ =
=
5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu
1 2
x .x 0 P 0⇔ < ⇔ <
6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương
1 2
0
0 x x P 0
S 0
∆ ≥
⇔ < ≤ ⇔ >
>
7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm
1 2
0
x x 0 P 0
S 0
∆ ≥
⇔ ≤ < ⇔ >
<
8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x>0
a 0
0
x 0 x
c
S 0
x 0
x x 0
b
P 0
P 0
x 0 x 0
S 0
≠
=
=
∆ =
< <
>
⇔ ⇔ ∨
= − >
= >
=
<
= ∧ >
>
9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x<0
a 0
0
x 0 x
c
S 0
x 0
x x 0
b
P 0
P 0
x 0 x 0
S 0
≠
=
=
∆ =
< <
<
⇔ ⇔ ∨
= − <
= <
=
<
= ∧ <
<
10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương
1 2
1 2
a 0
a 0
a 0; x>0
c
x 0
0
x 0 x
b
S 0
P 0
x x 0
P 0
S 0
=
≠
=
= − >
∆ ≥
⇔ ≤ < ⇔ ∨
>
≤
≥ >
>
>
11/Pt(2) có nghiệm kép
a 0
b
x
2a
0
≠
⇔ ∧ = −
∆ =
12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm
1 2
1 2
a 0
a 0
a 0; x>0
c
x 0
0
x 0 x
b
S 0
P 0
x x 0
P 0
S 0
=
≠
=
= − >
∆ ≥
⇔ ≤ < ⇔ ∨
>
≤
≥ >
>
>
Các dạng bài tập áp dụng:
I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2:
Phương pháp:
- Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình).
- Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai.
- Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x 5 3x 2
5
x 3 x
+ −
+ =
+
Giải
Điều kiện:
x 3 x 0≠ − ∧ ≠
2
Pt (2x 5)x (3x 2)(x 3) 4x(x 3)
x 6(nhan)
x 6
x 6(nhan)
⇔ + + − + = +
=
⇔ − ⇔
= −
Nghiệm phương trình
x 6= ±
Bài tập: Giải các phương trình
1/
2
2x 1 x 1 3x 7
x 2 x 3
x 5x 6
+ + −
− =
− −
− +
2/
2
2x 1 x 1 5x 1
x 4 x 1
x 5x 4
+ + +
− =
− −
− +
II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình:
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình
2
(m 2)x 2(m 1)x m 5 0− − + + − =
Giải
*
1
m 2 0 m 2 : Pt 6x 3 0 x
2
− = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = −
*
2
m 2 0 m 2 : ' (m 1) (m 2)(m 5) 9m 9 9(m 1)− ≠ ⇔ ≠ ∆ = + − − − = − = −
+
' 0 9(m 1) 0 m 1∆ < ⇔ − < ⇔ <
: Phương trình vô nghiệm.
+
' 0 9(m 1) 0 m 1∆ = ⇔ − = ⇔ =
: Phương trình có nghiệm kép
m 1
x 2
m 2
+
= = −
−
.
+
' 0 9(m 1) 0 m 1∆ > ⇔ − > ⇔ >
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
m 1 3 m 1
x
m 2
m 1 3 m 1
x
m 2
+ + −
=
−
⇔
+ − −
=
−
Kết luận:
+ m < 1: Phương trình vô nghiệm
+ m = 1: phương trình có nghiệm x = -2
+ m = 2: phương trình có nghiệm
1
x
2
= −
+
1 m 2 :
< ≠
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
m 1 3 m 1
x
m 2
m 1 3 m 1
x
m 2
+ + −
=
−
+ − −
=
−
Bài tập áp dụng:
1/
2
(m 1)x (2m 3)x m 2 0− + − + + =
2/
2
(m 1)x 2(m 2)x m 4 0+ − + + + =
3/
2
(m 1)x 2(m 1)x 3m 1 0− − + − − =
4/
2
(m 1)x (2 m)x 1 0− + − − =
III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình
2
. 0a x bx c+ + =
có hai nghiệm phân
biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm:
Phương pháp: tính
2
4b ac∆ = −
nếu
0
∆ ≥
thì phương trình luôn có hai nghiệm
phân biệt
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x
2
+ 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
Giải
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
( )
25 4 4 0
41 4 0
41
4
m
m
m
∆ = − − >
⇔ − >
⇔ <
Ví dụ 2: cho phương trình x
2
-2( m + 1 )x +4m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
và
x
2
thoả mãn điều kiện
1 2
2 1
5
2
x x
x x
+ =
Giải
a) Ta có
( )
( )
2
2
2
1 4 2 1
1 0
m m m m
m
∆ = + − = − +
= − ≥
b) Theo vi ét ta có
1 2 1 2
x .x 2( 1);x x 4m m= + + =
( )
2
1 2 1 2
1 2
2 1 1 2
2
2
2
2
5 5
2 2
4 2.2( 1) 5
2( 1) 2
4 2.2( 1) 5( 1); 1
4 9 9 0; 81 144 225, 15
x x x x
x x
x x x x
m m
m
m m m m
m m
+ −
+ = ⇔ =
− +
⇔ =
+
⇔ − + = + ≠ −
⇔ − − = ∆ = + = ∆ =
1
9 15 24
3;
8 8
m
+
⇒ = = =
2
9 15 3
8 4
m
− −
= =
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình x
2
+ ( 2m – 1 )x – m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 2:Cho phương trình bậc hai x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 3 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn
2 2
1 2
x +x 8=
Bài tập 3: Tìm các giá trò của m để các nghiệm của phương trình
a)
( )
2
2 5 0+ − + + =x m x m
Thoả mãn
2 2
1 2
10x x+ =
b)
2
( 1) 0x mx m− + − =
Thoả mãn
( )
1 2 1 2
2 19 0x x x x+ + − =
Bài tập 4: Cho phương trình
( )
2
3 2( 2) 0x m x m− + + + =
a) Với giá trò nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn
1 2
2x x=
c) Chứng tỏ rằng A =
( )
1 2 1 2
2 x x x x
+ −
độc lập với m
Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x
2
– 2( m – 2)x + m – 1 = 0
a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để
1 2
1 1
5
x x
+ =
c) Tìm hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m
