5 GTLN, GTNN TRÊN số PHỨC

Số Phức Nâng Cao

DẠNG 5: GTLN, GTNN TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là:
A. 13 + 2 .

B. 4.

D. 13 + 1

C. 6.

Câu 2: Số phức z ≠ 0 thỏa mãn z ≥ 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

z +i
.
z

A. 1

B. 2

D. 4

C. 3

5i
.
z

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 +
A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu
thức M = z 2 + z + 1 + z 3 + 1 .
A. M max = 5; M min = 1.

B. M max = 5; M min = 2.

C. M max = 4; M min = 1.

D. M max = 4; M min = 2.

Câu 5: Cho số phức z thỏa
A.

3
.
4

z ≥2

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

C. 2 .

B. 1.

D.

z +i
.
z

2
.
3

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 + z + 3 1 − z .
A. 3 15

B. 6 5

C.

20

D. 2 20.

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = z + 1 + z 2 − z + 1 . Tính giá trị của M .m .

A.

13 3
.
4

B.

39
.
4

C. 3 3.

D.

13
.
4

Câu 8: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) là số phức thỏa mãn hai điều kiện z − 2 + z + 2 = 26 và
2

z−

3
2

−

3
2

9
A. xy = .
4

2

i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
B. xy =

13
.
2

C. xy =

16
.
9

9
D. xy = .
2

Câu 9: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P = z1 + z2 .
A. P = 4 6
84

B. P = 2 26

C. P = 5 + 3 5

D. P = 32 + 3 2


Số Phức Nâng Cao
Câu 10: Cho số phức z thỏa z = 1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T = z + 1 + 2 z − 1 .
A. max T = 2 5 .
B. max T = 2 10 .
C. max T = 3 5 .
D. max T = 3 2
2
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) . Tính min | w | , với

w = z − 2 + 2i .
A. min | w |=

3
.
2

B. min | w |= 2 .

C. min | w |= 1 .

D. min | w |=

1

.
2

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của T = z + i + z − 2 − i .
A. max T = 8 2 .

B. max T = 4 .

C. max T = 4 2 .

D. max T = 8 .

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là
A. 13 + 2 .

B. 4 .

D. 13 + 1 .

C. 6 .

Câu 14: Cho số phức thỏa z = 1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P = z +1 + z2 − z +1 .

Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là
A. 13 + 2.

B. 4.

C. 6.

D. 13 + 1.

Câu 16: Cho số phức z thoã mãn điều kiện z + 2i = z − 1 − 2i . Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện

w = (1 + i ) z + 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = w là:
1
A. Pmin = .
5

B. Pmin =

5
.
34

C. Pmin =

5
.
41

D. Pmin =

1
3

Câu 17: Cho số phức z thoã mãn z − 1 − i = 2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z − 2 + i . Giá trị của biểu thức P = 2 A + B 2 gần bằng.

A. 6.
Câu 18: Cho số phức z thoã mãn
A. 2 + 2 .

B. 7.

C. 8.

1+ i
z − 1 + i = 2 . Giá trị lớn nhất của A = z − 2 + i là.
1− i
B.

5 −2.

Câu 19: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
A. z min = 1 .

D. 9

C. 2 + 5 .

(1 + i ) z + 2 = 1
1− i

B. z min = 2 − 2 .

D. 5

hãy tìm số phức z có mođun nhỏ nhất.

C. z min = 0 .

D. z min = 2

Câu 20: Xét số phức z thỏa mãn z + i + 1 = z − 4i + 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z − 2i + 1 .
A.

98
.
5

B.

102
.
5

C.

7 10
.
5

Câu 21: Xét số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1. Tìm giá trị lớn nhất của z + i + 1 .
85

D.

470

.
5


Số Phức Nâng Cao
A. 1 + 13.

B. 2 + 13.

C. 4.

D. 6.

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn: z (1 + i ) − 1 + 2i = 2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của z + 1 + 3i . Khi đó 2 A2 − B 2 có giá gần nhất bằng

A. 20.

B. 18.

C. 64.

D. 32

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

z . Khi đó M + m bằng
A. 4 − 7.

B. 4 + 7.

D. 4 + 5.

C. 7.

Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn: z + 1 − 2i = 2 5 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z + i . Khi đó A.B có giá trị bằng

A. 10.

B. -10.

C. 12.

D. -12

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z − 1 + i = 2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z + 2 . Khi đó A2 + B 2 có giá trị bằng

A. 20.

B. 18.

C. 24.

D. 32

Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i = 4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z + 2 + i . Giá trị của T = M 2 + m 2 là

A. T = 50 .

B. T = 64 .

C. T = 68 .

D. T = 16

Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 10 . Giá trị lớn nhất của z + 1 − 4i bằng
A. 10 .

B. 10 3 .

C. 3 10 .

D. 4 10

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn ( 2 + i ) z + 1 = 1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 1
bằng

A. 3 .

B. 2 2 .

C.

2
.
5

D. 2 3

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − i = 1 . Giá trị lớn nhất của z − 1 là
A.

2 + 1.

B.

2 −1.

C.

D. 1

2.

Câu 30: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện z + 1 − i + z + 2 − 3i = 5 . Gọi M , m
2

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x. z . Tổng M + 2m bằng

A. − 54.

B. 27.

C. 18.

D. − 9.

Câu 31: Cho số phức z = x + 2 yi ( x; y ∈ ℝ ) thỏa z = 1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P = x− y.

A. 0.

86

B.

5.

C. − 5 .

D.

5
2


Số Phức Nâng Cao
Câu 32: Cho số phức z =

i−m
( m ∈ ℝ ) . Gọi k ( k ∈ ℝ ) là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại
1 − m ( m − 2i )

z − 1 ≤ k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây.
1 1
A.  ;  .
3 2

1 2
2 4
4 
B.  ;  .
C.  ;  .
D.  ;1
2 3
3 5
5 
P= z
A = 2017. ( max P ) − 2017. ( min P )
Câu 33: Cho số phức z 2017 − 1 = 1 . Gọi
. Tính
.
B. A = 2017.2017 3 .

A. A = 2017.2016 2 .

C. A = 2017.2017 2 .

D. A = 2017

Câu 34: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 1 + i = z + 2i và P = z − 2 − 3i + z + 1 đạt
giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + 2b :

Câu 35: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 1 + i = z + 2i và P = z − 2 − 3i + z − 1 + 2i
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + 2b :

Câu 36: Cho số phức z = a + bi thỏa z + 1 + i = z + 2i và P = z − 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

A = a + 2b .
Câu 37: Cho số phức z = a + 2bi ( a, b ∈ ℝ ) và đa thức: f ( x ) = ax 2 − bx + 1 . Biết f ( ±1) ≤ 1 . Tính giá
trị lớn nhất của z .

A. 2 .

B. 2 2 .

C.

5.

D.

7

Câu 38: Cho hàm số phức f ( z ) = ( 4 + i ) z 2 + az + b với a , b là số phức. Biết f (1) , f ( i ) là số thực.
Tính giá trị nhỏ nhất của P = a + b .

Câu 39: Cho số phức z thỏa z + 1 − 2i = 2 2 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z − 1 + 2017 z + 3 + 4i .

Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z − ( 3 + 4i ) = 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
2

2

nhỏ nhất của P = z + 2 − z − i . Tính giá trị A = M 2 + m 2 .

Câu 41: Cho số phức z ≠ 0 thoả z ≥ 2 . Họi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

P=

z +i
. Tính A = M 2 + m 2 :
z

Câu 42: Cho số phức z thỏa z = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 + 4i
.
z −5

Câu 43: Cho số phức z thỏa z = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

z + 4i
.
z −5

z2 − z1
là số thực. Gọi M , m lần
1+ i
lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 . Tính A = M 2 + m 2 .

Câu 44: Cho z1 là số phức, z2 là số thực thoả mãn z1 − 2i = 1 và

87

Số Phức Nâng Cao
8
. Gọi
5

Câu 45: Cho z1 , z2 là nghiệm của phương trình 6 − 3i + iz = 2 z − 6 − 9i thõa mãn z1 − z2 =
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 + z2 . Tính P = M + m .

z1 − z2
là số thực. Gọi M , m
2−i
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 . Tính P = M + m .

Câu 46: Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1 − 3 − 4i = 1, z2 + 1 = z2 − i và

Câu 47: Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và w =

z
là thực. Giá trị lớn nhất của
2 + z2

P = z + 1 − i là:
Câu 48: Cho số phức z thỏa z − 3 − 4i = 2 và P = z + 2 − i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của P . Tính A = M + m .

Câu 49: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz1 + 2 =

1
và z2 = iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

z1 − z2 .
A. 2 −

1
2

B. 2 +

1
2

C.

2−

1
2

D.

2+

1
2

Câu 50: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M ′ . Số phức w = z (4 + 3i )
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N ′ . Biết rằng M , M ′, N , N ′ là
bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i − 5 .

A.

5
.
34

B.

2
.
5

C.

Câu 51: Cho số phức z1 thỏa z1 + 1 − i = z1 , số phức z2 thỏa

1
.
2

D.

4
13

5 − 35i
là số thực và số phức w
5 z2 − 23 − 4i

thỏa điều kiện 2 w − 1 + i + 3 w − 2 + i ≤ 2 . Cho P = w − z1 + w − z2 + z1 − z2 , gọi a là giá

trị nhỏ nhất của biểu thức P (nếu có). Đáp án nào sau đây là đúng:

16 10
8 10
6+4 5
3+ 4 5
.
B. a =
.
C. a =
.
D. a =
5
5
2
2
Câu 52: Cho số phức z1 , z2 thỏa z + 1 − i = z và z1 − z2 = 6 2 , số phức w1 , w2 thỏa điều kiện
A. a =

1+ i
là số thực và w1 − w2 = 3 2 , số phức u thỏa 2 u + 2 − i + 3 u − 1 + 2i ≤ 6 2 . Gọi
w − 4 + 2i
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có) là P = u − z1 + u − z2 + u − w1 + u − w2 . Đáp án
nào sau đây là đúng:

A. 3 + 26 .

B. 9 2 + 6 .

C. 6 + 2 26 .

D. 3 − 26

Câu 53: Cho số phức z 2017 − 1 = 1 . Gọi P = z . Tính A = 2017. ( max P ) − 2017. ( min P ) .
A. A = 2017.2016 2

88

B. A = 2017.2017 3

C. A = 2017.2017 2

D. A = 2017


Số Phức Nâng Cao
Câu 54: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) . Tìm giá trị nhỏ nhất
của module z − 2 + 2i .

A. 1.

B.

5.

C.

5
.
2

D.

3
.
2

Câu 55: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 − 2i = 2 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a z − 1 + b z + 3 + 4i với a, b là số thực dương.
A.

a 2 + b2 .

B.

2a 2 + 2b 2 .

Câu 56: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn
lớn nhất. Tính giá trị biểu thức P = a + b .
A. P = 0
B. P = 4

C. 4 2a 2 + 2b 2 .

D. a 2 + b 2 .

z − 2i
là số thuần ảo. Khi số phức z có môđun
z−2

C. P = 2 2 + 1

D. P = 1 + 3 2

( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 2 + 3i = 2 . Tính P = a + b khi
Câu 57: Xét các số phức z = a + bi
z + 2 − 5i + z − 6 + 3i
đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 3
B. P = −3
C. P = 7
D. P = −7
z 2 − z1
là số thực. Gọi M , m lần lượt
1+ i
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z1 − z2 . Tính giá trị của biểu thức T = M + m ?

Câu 58: Cho số thực z1 và số phức z2 thỏa mãn z2 − 2i = 1 và

B. T = 4 2

A. T = 4

C. T = 3 2 + 1

D. T = 2 + 3

Câu 59: Tìm giá trị lớn nhất của P = z 2 − z + z 2 + z + 1 với z là số phức thỏa mãn z = 1 .
A. max P =

13
4

B. max P =

9
4

C. max P =

13
3

D. max P =

11
3

Câu 60: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P = z1 + z2 .
A. P = 4 6.

B. P = 2 26.

C. P = 5 + 3 5.

D. P = 32 + 3 2.

Câu 61: Cho số phức z thỏa mãn z − 8 + z + 8 = 20 . Gọi m , n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của z . Tính P = m + n .

A. P = 16.

B. P = 10 2.

C. P = 17.

D. P = 5 10.

Câu 62: Cho số phức z có z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 1008 1 + z + 1 + z 2 + 1 + z 3 + ... + 1 + z 2017

A. Pmin = 1007

89

B. Pmin = 2018

C. Pmin = 1008

D. Pmin = 2016


Số Phức Nâng Cao
z − 2i
là số thuần ảo và các giá trị thực m, n thỏa
z−2
mãn chỉ có duy nhất một số phức z ∈ ( A) thỏa mãn z − m − ni = 2 . Đặt M = max ( m + n )

Câu 63: Xét tập ( A ) gồm các số phức z thỏa mãn
và N = min ( m + n ) . Tính P = M + N ?

A. P = −2 .

B. P = −4 .

C. P = 4 .

D. P = 2 .

Câu 64: Xét các số phức z thỏa z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của z − 1 + i . Tính P = m + M .

A. P = 13 + 73 .

5 2 + 2 73
.
2

B. P =

C. P = 5 2 + 73 .

D. P =

5 2 + 73
.
2

Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i + z − 2 + 3i = 2 . Mệnh để nào sau đây đúng?
A.

1
2

≤ z ≤ 13 .

B.

1
2

≤ z ≤ 5.

C. 1 ≤ z ≤ 13 .

D. 13 ≤ z ≤ 5 .

Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i + z + 4 + 5i = 10 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z − 1 + i . Tính P = M .m .

A. P =

8 41
.
5

B. P = 697 .

C. P = 5 41 .

D. P =

8 41
.
3

Câu 67: Xét số phức z thỏa mãn z2 − 6 z + 25 = 2 z − 3 + 4i . Hỏi giá trị lớn nhất của z là:
A. 7 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 10 .

( )

Câu 68: Cho số phức z thỏa mãn ( z + 2 ) i + 1 + z − 2 i − 1 = 6 . Tính tổng T = max z + min z ?
A. T =

5 5−2
.
2

B. T = 0 .
2

C. T = 6 .

D. T =

3 5−2
.
2

2

Câu 69: Cho số phức z1 thỏa mãn z1 − 2 − z1 + i = 1 và số phức z2 thỏa mãn z2 − 4 − i = 5 .Hỏi
giá trị nhỏ nhất z1 − z2 là?

A.

2 5
.
5

B.

5.

C. 2 5 .

D.

3 5
.
5

Câu 70: Cho số phức z1 = 1 + 3i , z2 = −5 − 3i . Tìm điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z3 , biết rằng M
nằm trên đường thẳng x − 2 y + 1 = 0 và số phức w = 3z3 − z2 − 2z1 có giá trị nhỏ nhất?

 3 1
A. M  − ;  .
 5 5

3 1
B. M  ;  .
5 5

3 1
C. M  ; −  .
5 5

 3 1
D. M  − ; −  .
 5 5

Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + 2i − z + 1 − 3i = 34 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của z + 1 + i là?
90


Số Phức Nâng Cao
A.

9
34

C. 13 .

B. 4 .

.

D. 3 .

Câu 72: Cho các số phức z,w thỏa mãn z2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) và w = z − 2 + 2i . Hỏi giá
trị nhỏ nhất của w là:

A.

3
.
2

B. 1.

C.

1
.
2

D. 2 .

Câu 73: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z − 1 − i = 5 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z − 7 − 9i + 2 (1 + i ) z + 8 − 8i là?

A. 3 5 .

B. 5 5 .

C. 2 5 .

D. 4 5 .

Câu 74: Cho số phức z thỏa mãn z − i = 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của z + 2 + z + 2 − 2i . Tính P = M + m

A. P = 2 + 17 .

B. P = 2 + 2 17 .

C. P = 2 + 2 17 .

D. P = 2 + 17 .

Câu 75: Cho số phức z thỏa mãn z 2 + 4 = z . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z . Tính P = M + m .

A. P =

2 17 + 1
.
2

B. P = 17 .

Câu 76: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn
biểu thức

P = z + z − z1 + z − z2

A. 6 2 + 2 .

z1 = z2 = 6

C. P =
và

17 + 1
.
2

z1 − z2 = 6 2

D. P =

2 17 − 1
.
2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

B. 3 2 + 3 .

C. 6 2 + 3 .

D. 3 2 + 2 .

Câu 77: Cho số phức z = a + bi ( a ≥ 0, b ≥ 0 ) thỏa mãn a − b − 2 ≤ 0 , a + 4b − 12 ≤ 0 . Hỏi giá trị lớn
nhất của z là

A. 2 5 .

B. 3 2 .

C. 5 .

D. 2 6 .

Câu 78: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 − z 2 = 3 + 4i và z1 + z2 = 5 . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu
thức z1 + z2 là?

A. 5 .

B. 5 3 .

C. 12 5 .

D. 5 2 .

Câu 79: Cho số phức z . Kí hiệu A, B, C , D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, z , z ( 4 + 3i )
và z ( 4 + 3i ) . Biết A, B, C , D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị nhỏ nhất của
biểu thức z + 4i − 5 là?

A.
91

5
.
34

B.

2
.
5

C.

1
.
2

D.

4
.
13


Số Phức Nâng Cao
Câu 80: Cho số phức z =

i−m

, trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá
1 − m ( m − 2i )
1
. Hỏi trong S có tất cả bao nhiêu phần tử
2

trị thực của tham số m sao cho z − i ≤
nguyên?

C. 2 .

B. 3 .

A. 1.

D. 5 .

Câu 81: Gọi z là số phức thỏa mãn P = z − 1 − i + z − 1 − 4i + z − 2 + i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z .
A.

B. 1 .

2.

C. 2 .

D.

2
.

2

z1 = 3 z2 = 4 z1 − z2 = 37
,
,
. Gọi M , m lần lượt là
z
phần thực và phần ảo của số phức w = 1 . Tính P = M 2 − m 2 .
z2

Câu 82: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn

A. P = −

9
.
32

B. P =

9
.
32

3
C. P = − .
8

D. P = −

9
.
64

Câu 83: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z , tính M − m .
A.

5 13 − 4 5
.
5

B. 13 − 5 .

C. 13 − 2 .

D. 2 15 − 2 .

Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính giá trị M .m .

A.

65
5

65

B.

C. 2 26

D.

4 65
5

Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun của z , tính M 2017 + m 2017 .

(5 13 )
A.
C.

( 13 )

2017

2017

5

(

+ 4 5

)

2017

2017

(

+ 2 5

)

2017

B.

.

(

.D. 2 13

)

2017

+

( 5)

2017

( 13 )

2017

+

( 5)

2017

.

.

Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun z + 1 − 2i , tính M + m .
A.

2 5 + 5 10
.
5

B.

5 + 5 10
.
5

C.

2 + 10 .

D.

2 + 2 10 .

Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z + 1 − 2i , tính M − m .
92


Số Phức Nâng Cao
A.

5 10 − 5
.
5

B. 10 − 2 .

C. 2 10 − 2 .

D. 2 10 − 3 2 .

Câu 88: Cho số phức z thỏa điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z + 1 − 2i . Tính M .m
A.

B. 2 5 .

2.

C. 4 2 .

D.

4 5
.
5

Câu 89: Cho số phức z thỏa điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z + 1 − 2i , tính M 2017 + m 2017 .

(5 10 )
A.
C.

Câu 90:

( 10 )

2017

+

( 5)

2017

52017

2017

(

+ 2 5

)

2017

B.

.

(

. D. 2 10

Cho số phức z thỏa mãn z ≠ z ,

)

2017

+

( 5)

2017

( 10 )

2017

+

( 2)

2017

.

.

4 + z + z2
là số thực. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất,
4 − z + z2

giá trị nhỏ nhất của z + 1 − i . Tính P = M + m.

A. P = 4 .
Câu 91:

B. P = 2

C. P = 4 + 2

D. P = 4 + 2 2

Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 ( m + 1) z + m 2 + 1 = 0 , với m là tham số
thực. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P =

1
1
+
là M 0 đạt tại m = m0 . Tính
z1 z2

T = M 0 + m0 .
A. T = 2 2 .

B. T = 2

C. T = 2 2 + 2

D. T = 2 2 − 2

4i
= 1. . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
z
nhỏ nhất của z − 1 + i . Tính P = M .m.

Câu 92: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z +

A. P = 4 .

B. P = 2 − 2 .

C. P = 34 .

D. P = 2 − 2 .

Câu 93: Trong các số phức z thoả mãn 2 z − i = 2 + iz có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 3 .
Tính P = z1 − z2 .

A. P = 1 .

B. P = 2 .

C. P =

3
.
2

D. P = 2 .

Câu 94: Trong các số phức z thoả mãn iz + 6 − 3i = 2 z − 6 − 9i có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
z1 − z2 =

A.
93

56
.
5

8
. Hỏi giá trị lớn nhất của z1 + z2 là?
5

B. 10 .

C.

44
.
5

D.

76
.
5


Số Phức Nâng Cao
Câu 95: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 5 = 5 , z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i . Hỏi giá trị nhỏ nhất của

z1 − z2 là?
A. 3 .

B.

5
.
2

C.

3

.
2

D. 5 .

Câu 96: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1 , z12 + 4 z22 = 34 . Tính P = z1 + z2 .
A. P = 2 .

C. P = 7 .

B. P = 2 .

D. P =

3 2
.
2

Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Gọi a , b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = z 2 + 1 − 1 + z . Tính T = a + b .

A. T = 2 − 2 .

B. T = 2 + 2 .

C. T = 2 − 2 .

D. T = − 2 .

Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Gọi a , b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = z + 1 + z 2 − z + 1 . Tính T =

A. T =

5
.
4

B. T =

5
.
26

a
.
b +1
2

C. T =

3
.
4

D. T =

13
.
16

Câu 99: Cho hai số phức z thõa mãn: z = 1 . Gọi a , b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = z 3 + 1 + z 2 − z + 1 . Tính T = a + b .

A. T =

T=

(

4 13 + 5 10
27

(

4 14 + 5 10
27

Câu 100: Cho biết z +

).

B. T = 5 .

C. T =

(

4 15 + 5 10

).

27

).

D.

4
2
= 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + z + 1?
z

A. 8 − 3 5

B. 6 + 5

C. 6 − 5

D. 8 + 3 5

Câu 101: Cho 2 z + 1 − 3i = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P = z − 1 + 3. z + 1 − 2i ?
A. 4 2

B. 4 3

C. 2 2

D. 4

Câu 102: Cho z − 4 − 3i = 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z + 1 − 3i + z − 1 + i .
2
2
Tính P = M + m ?

A. P = 240

B. P = 250

C. P = 270

D. P = 320

Câu 103: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 + z + 3 1 − z .
94


Số Phức Nâng Cao
A. 3 15

B.

20

C. 2 10

D. 6 5

Câu 104: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + 3i + z + 2 + i = 4 5 . Tìm giá trị lớn nhất của z − 6 + 5i ?
A. 4 5

B. 5 5

Câu 105: Cho hai số phức z và w biết chúng thỏa mãn

C. 6 5

(1 + i ) z + 2 = 1
1− i

D. 7 5
và w = iz . Tìm giá trị lớn

nhất của M = z − w .

A. 3 3

95

B. 3

C. 3 2

D. 2 3


Số Phức Nâng Cao

HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 5: GTLN, GTNN TRÊN SỐ PHỨC

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là:
A. 13 + 2 .

B. 4.

C. 6.

D. 13 + 1

Hướng dẫn giải:
Ta có:
z − 2 − 3i = 1 ⇔ z − 2 − 3i = 1 ⇔ z − 2 + 3i = 1 ⇔ z − (2 − 3i ) = 1

Đặt w = z + 1 + i
Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I, tâm I là điểm biểu diễn của số phức
2 − 3i + 1 + i = 3 − 2i , tức là I (3; −2) , bán kính r = 1
Vậy w max = OI + r = 32 + ( −2) 2 + 1 = 13 + 1

Chọn D
Câu 2: Số phức z ≠ 0 thỏa mãn z ≥ 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

z +i
.
z

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải
Ta có 1 −

i
i
i
1
i
1
≤ 1+ ≤ 1+ ⇔ 1− ≤ 1+ ≤ 1+ .
z
z
z
z
z
z

Mặt khác z ≥ 2 ⇔

1 1
1
3
≤ suy ra ≤ P ≤ .
z 2
2

2

Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là

3 1
, . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
2 2

nhất của biểu thức P là 2.

Chọn B.
Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 +
A. 5.

B. 4.

C. 6.

Hướng dẫn giải:
Ta có: A = 1 +

Chọn C.
96

5i
5i
5
≤1+
= 1 + = 6. Khi z = i ⇒ A = 6.
z

z
z

5i
.
z
D. 8.


Số Phức Nâng Cao
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu
thức M = z 2 + z + 1 + z 3 + 1 .

A. M max = 5; M min = 1.

B. M max = 5; M min = 2.

C. M max = 4; M min = 1.

D. M max = 4; M min = 2.

Hướng dẫn giải:
2

3

Ta có: M ≤ z + z + 1 + z + 1 = 5 , khi z = 1 ⇒ M = 5 ⇒ M max = 5.
Mặt khác: M =

1− z3

1− z

3

+ 1+ z ≥

1− z3
2

+

1 + z3
2

≥

1 − z3 + 1 + z3
2

= 1, khi

z = −1 ⇒ M = 1 ⇒ M min = 1.
Chọn A.
Câu 5: Cho số phức z thỏa
A.

3
.
4

z ≥2

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

C. 2 .

B. 1.

D.

z +i
.
z

2
.
3

Hướng dẫn giải:
Ta có P = 1 +

i
1 3
i
1 1
≤ 1+
≤ . Mặt khác: 1 + ≥ 1 −
≥ .
|z| 2
|z| 2

z
z

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là
khi z = 2i.

1
3
, xảy ra khi z = −2i; giá trị lớn nhất của P bằng
xảy ra
2
2

Chọn A.
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 + z + 3 1 − z .
A. 3 15

B. 6 5

20

C.

D. 2 20.

Hướng dẫn giải:
Gọi z = x + yi; ( x ∈ ℝ; y ∈ ℝ ) . Ta có: z = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 ⇒ y 2 = 1 − x 2 ⇒ x ∈ [ −1;1].
Ta có: P = 1 + z + 3 1 − z =

(1 + x )

2

+ y 2 + 3 (1 − x ) + y 2 = 2 (1 + x ) + 3 2 (1 − x ) .
2

Xét hàm số f ( x ) = 2 (1 + x ) + 3 2 (1 − x ) ; x ∈ [ −1;1] . Hàm số liên tục trên [ −1;1] và với

x ∈ ( −1;1) ta có: f ′ ( x ) =

1
2 (1 + x )

−

3

4
= 0 ⇔ x = − ∈ ( −1;1) .
5
2 (1 − x )

 4
Ta có: f (1) = 2; f ( −1) = 6; f  −  = 2 20 ⇒ Pmax = 2 20.
 5
Chọn D.

97

Số Phức Nâng Cao
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = z + 1 + z 2 − z + 1 . Tính giá trị của M .m .

A.

13 3
.
4

B.

39
.
4

C. 3 3.

D.

13
.
4

Hướng dẫn giải:
Gọi z = x + yi; ( x ∈ ℝ; y ∈ ℝ ) . Ta có: z = 1 ⇔ z.z = 1
Đặt t = z + 1 , ta có 0 = z − 1 ≤ z + 1 ≤ z + 1 = 2 ⇒ t ∈ [ 0; 2] .
Ta có t 2 = (1 + z )(1 + z ) = 1 + z.z + z + z = 2 + 2 x ⇒ x =
Suy ra z 2 − z + 1 = z 2 − z + z.z = z z − 1 + z =

t2 − 2
.
2

( 2 x − 1)

2

= 2x −1 = t 2 − 3 .

Xét hàm số f ( t ) = t + t 2 − 3 , t ∈ [ 0; 2] . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

max f ( t ) =

13
13 3
; min f ( t ) = 3 ⇒ M .n =
.
4
4

Chọn A.
Câu 8: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) là số phức thỏa mãn hai điều kiện z − 2 + z + 2 = 26 và
2

z−

2

3

3
−
i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
2
2

9
A. xy = .
4

B. xy =

13
.
2

C. xy =

16
.
9

9
D. xy = .
2

Hướng dẫn giải:
Đặt z = x + iy ( x, y ∈ R ) . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2 + y 2 = 36.
Đặt x = 3cos t , y = 3sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
P= z−

3
3
 π
−
i = 18 − 18sin  t +  ≤ 6.
4
2
2


3π
3 2 3 2
 π
Dấu bằng xảy ra khi sin  t +  = −1 ⇒ t = −
⇒z=−
−
i.
4
2
2
 4

Chọn D.
Câu 9: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P = z1 + z2 .
A. P = 4 6
Hướng dẫn giải:

98

B. P = 2 26

C. P = 5 + 3 5

D. P = 32 + 3 2


Số Phức Nâng Cao
2
2
 z1 = a + bi
 a + c + ( b + d ) i = 8 + 6i
( a + c ) + ( b + d ) = 100
.
Gọi: 
⇔
( a , b, c , d ∈ ℝ ) ⇒ 
2
2
2
2
−
+
−
=
a
c
b

d
4
(
)
(
)
 z2 = c + di
−
+
−
=
4
a
c
b
d
) (
)
(


⇒ ( a + c ) + ( b + d ) + ( a − c ) + ( b − d ) = 104 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 52 .
2

2

2

2

B .C . S

Mặc khác: P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤

(1

2

+ 12 )( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = 2 26 .

Cách 2:
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư
của hình bình hành AOBD ⇒ D là điểm biểu diễn số phức ( z1 + z2 ) ⇒ OD = z1 + z2 = 10 .

z1 − z2 chính là độ dài đoạn AB .
∆OAB có
 AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA.OB.cos AOB = 4
2
⇒ 104 = 2 ( OA2 + OB 2 ) ≥ ( OA + OB )
 2
2
2
OD = OA + OB + 2OA.OB.cos AOB = 100
⇒ ( OA + OB ) max = 104 = 2 26 ⇔ ( z1 + z2

)

max

= 2 26 .

Câu 10: Cho số phức z thỏa z = 1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T = z + 1 + 2 z − 1 .
A. max T = 2 5 .
Hướng dẫn giải:

B. max T = 2 10 .

C. max T = 3 5 .

D. max T = 3 2

Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ a 2 + b 2 = 1 .
Ta có: T = z + 1 + 2 z − 1 =

( a + 1)

2

+ b2 + 2

( a − 1)

2

+ b2
B .C .S

= a 2 + b 2 + 2 a + 1 + 2 a 2 + b 2 − 2a + 1 = 2 a + 2 + 2 2 − 2a ≤

(1

2

+ 22 ) ( 4 ) = 2 5 .

Vậy max T = 2 5 .

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) . Tính min | w | , với

w = z − 2 + 2i .
A. min | w |=

3
.
2

B. min | w |= 2 .

C. min | w |= 1 .

D. min | w |=

1
.
2

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) ⇔ ( z − 1 + 2i )( z − 1 − 2i ) = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1)

 z − 1 + 2i = 0
⇔
.
 ( z − 1 − 2i ) = ( z + 3i − 1)
Trường hợp 1: z − 1 + 2i = 0 ⇒ w = −1 ⇒ w = 1 (1) .
Trường hợp 2: z − 1 − 2i = z + 3i − 1

99


Số Phức Nâng Cao
Gọi z = a + bi (với a, b ∈ ℝ ) khi đó ta được
1
2
2
a − 1 + ( b − 2 ) i = ( a − 1) + ( b + 3) i ⇔ ( b − 2 ) = ( b + 3) ⇔ b = − .
2

3
Suy ra w = z − 2 + 2i = a − 2 + i ⇒ w =
2

( a − 2)

2

+

9 3
≥

4 2

( 2) .

Từ (1) , ( 2 ) suy ra min | w |= 1 .

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của T = z + i + z − 2 − i .
B. max T = 4 .

A. max T = 8 2 .

D. max T = 8 .

C. max T = 4 2 .

Hướng dẫn giải:
T = z + i + z − 2 − i = ( z − 1) + (1 + i ) + ( z − 1) − (1 + i ) .

Đặt w = z − 1 . Ta có w = 1 và T = w + (1 + i ) + w − (1 + i ) .
2

Đặt w = x + y.i . Khi đó w = 2 = x 2 + y 2 .

T = ( x + 1) + ( y + 1) i + ( x − 1) + ( y − 1) i
= 1.
≤

( x + 1) + ( y + 1)
2

(1

2

(

2

+ 1.

( x − 1) + ( y − 1)
2

2

+ 12 ) ( x + 1) + ( y + 1) + ( x − 1) + ( y − 1)
2

2

2

2

)

= 2 ( 2 x2 + 2 y 2 + 4) = 4
Vậy max T = 4 .

Chọn B.

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là
A. 13 + 2 .

B. 4 .

D. 13 + 1 .

C. 6 .

Hướng dẫn giải:
Gọi z = x + yi ta có z − 2 − 3i = x + yi − 2 − 3i = x − 2 + ( y − 3) i .
Theo giả thiết ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1 nên điểm M biểu diễn cho số
2

2

phức z nằm trên đường tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = 1 .

M2

Ta có

M1

z + 1 + i = x − yi + 1 + i = x + 1 + (1 − y ) i =
Gọi M ( x; y ) và H ( −1;1) thì HM =

( x + 1) + ( y − 1)
2

( x + 1) + ( y − 1)
2

2

2

.

I

H

.

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với
đường tròn.

100


Số Phức Nâng Cao
 x = 2 + 3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:
 y = 3 + 2t
1
3
2 
3

2 


nên M  2 +
9t 2 + 4t 2 = 1 ⇔ t = ±
;3 +
;3 −
, M 2 −
.
13
13
13 
13
13 


Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM = 13 + 1 .

Chọn D.
Câu 14: Cho số phức thỏa z = 1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P = z +1 + z2 − z +1 .

Hướng dẫn giải:
Đặt z = a + bi ( a; b ∈ ℝ ) ⇒ a 2 + b 2 = 1 .

( a + 1)

 z +1 =

2

+ b 2 = 2 ( a + 1)

 z 2 − z + 1 = ( a 2 + 2abi − b 2 ) − ( a + bi ) + a 2 + b 2 = ( 2a 2 − a ) + ( 2a − 1) bi
=

( 2a

2

− a ) + ( 2a − 1) b 2 =
2

2

( 2a − 1)

2

(a

2

+ b 2 ) = 2a − 1 .

Vậy P = 2 ( a + 1) + 2a − 1 .

 −7  13
max P = P (1) = 3
 max P = P  8  = 4

 
1  
 1 
Xét a ∈  ;1 ⇒ 
. Xét a ∈  −1;  ⇒ 
.
1

 2  min P = P   = 3
 2 
1
min P = P   = 3
2


2


13
7
15
i
 max P = ⇒ z = − ±
4
8
8
 z =1
.
Kết luận 
1

3

 min P = 3 ⇒ z = 2 ± 2 i
 z =1

Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là
B. 4.

A. 13 + 2.

C. 6.

D. 13 + 1.

Hướng dẫn giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = 1 .
Gọi z = x + yi ⇒ z + 1 + i = x + 1 − yi + i = ( x + 1) − ( y − 1) i . Gọi K ( −1;1)
Do đó z + 1 + i

max

= IK + R = 1 + 13 .

Chọn D.
Câu 16: Cho số phức z thoã mãn điều kiện z + 2i = z − 1 − 2i . Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện

w = (1 + i ) z + 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = w là:
101

Số Phức Nâng Cao
A. Pmin =

1
.
5

B. Pmin =

5
.
34

C. Pmin =

5
.
41

D. Pmin =

1
3

Hướng dẫn giải:
Ta có: z + 2i = z − 1 − 2i ⇔ (1 + i ) z − 2 + 2i = (1 + i ) z + 1 − 3i

⇔ w − 4 + 2i = w − 1 − 3i . Gọi A ( 4; −2 ) ; B (1;3) và M ( w ) suy ra MA = MB nên tập hợp
điểm M là trung trực của AB có PT là: 3 x − 5 y − 5 = 0 ( d )
Ta có: w = OM ⇒ OM min = d ( O; d ) =

5
.
34

Chọn B.
Câu 17: Cho số phức z thoã mãn z − 1 − i = 2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z − 2 + i . Giá trị của biểu thức P = 2 A + B 2 gần bằng.

A. 6.

B. 7.

C. 8.

D. 9

Hướng dẫn giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (1;1) bán kính R = 2
Gọi K ( 2; −1) khi đó A = z − 2 + i max = IK + R = 5 + 2 ; B = 5 − 2
Do đó P = 2 A + B 2 ≃ 8 .

Chọn C.
Câu 18: Cho số phức z thoã mãn
A. 2 + 2 .

1+ i
z − 1 + i = 2 . Giá trị lớn nhất của A = z − 2 + i là.
1− i
B.

5 −2.

C. 2 + 5 .

D. 5

Hướng dẫn giải:
Ta có:

1+ i
z − 1 + i = 2 ⇔ iz − 1 + i = 2 ⇔ i . z + 1 + i = 2 ⇔ z + 1 + i = 2
1− i

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( −1; −1) bán kính R = 2
Gọi K ( 2; −1) suy ra Amax = IK + R = 5 .

Chọn D.
Câu 19: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
A. z min = 1 .

(1 + i ) z + 2 = 1
1− i

B. z min = 2 − 2 .

hãy tìm số phức z có mođun nhỏ nhất.

C. z min = 0 .

Hướng dẫn giải:

(1 + i ) z + 2 = 1 ⇔
1− i

102

2 (1 − i )
1+ i
z+
= 1 ⇔ z − 2i = 1
1− i
1+ i

D. z min = 2


Số Phức Nâng Cao
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( 0; 2 ) bán kính R = 1
Ta có: z min = OI − R = 1 .

Chọn A.
Câu 20: Xét số phức z thỏa mãn z + i + 1 = z − 4i + 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z − 2i + 1 .
A.

98
.
5

B.

102
.
5

C.

7 10
.
5

470
.
5

D.

Hướng dẫn giải:
Ta có a + bi + i + 1 = a − bi − 4i + 2 ⇒ ( a + 1) + ( b + 1) = ( a + 2 ) + ( b + 4 )
2

2

2

2

⇔ 2 + 2a + 2b = 20 + 4a + 8b ⇔ 2a + 6b + 18 = 0 ⇔ a = −3b − 9.
Khi đó z − 2i + 1 = a + bi − 2i + 1 = ( a + 1) + ( b − 2 ) = ( −3b − 8 ) + ( b − 2 )
2

2

2

2

2

2

2

22  98 98
7 10

= 10b + 44b + 68 =  b 10 +
 + 5 ≥ 5 ⇒ z − 2i + 1 ≥ 5 .
10 

2

Chọn C.
Câu 21: Xét số phức z thỏa mãn
A. 1 + 13.

z − 2 − 3i = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của

B. 2 + 13.

z + i +1 .

C. 4.

D. 6.

Hướng dẫn giải:
 a = 2 + sin x
2
2
Giả sử a + bi − 2 − 3i = 1 ⇒ ( a − 2 ) + ( b − 3) = 1 ⇒ 
b = 3 + cos x
Ta có z + i + 1 = a − bi + i + 1 = ( a + 1) + ( b − 1) = ( 3 + sin x ) + ( 2 + cos x )
2

2

2

= 14 + 2 ( 3sin x + 2 cos x ) ≤ 14 + 2

(3

2

2

2

2

+ 22 )( sin 2 x + cos 2 x ) = 14 + 2 13 ⇒ z + i + 1 ≤ 1 + 13.

Chọn A.
Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn: z (1 + i ) − 1 + 2i = 2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của z + 1 + 3i . Khi đó 2 A2 − B 2 có giá gần nhất bằng

A. 20.

B. 18.

C. 64.

D. 32

Hướng dẫn giải:
Ta có z (1 + i ) − 1 + 2i = 2 ⇔ z −

1 − 2i
 1 3i 
= z − +  = 2
1+ i
2 2 

1 3
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F ( −1; −3) và E  ;  ⇒ EM = 2
2 2
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn ( C ) tâm E bán kính R = 2

Ta có: FE − EM ≤ MF ≤ FE + EM ⇔
103

3 10
3 10
− 2 ≤ MF ≤
+ 2 ⇒ 2 A2 − B 2 ≈ 64 .
2
2


Số Phức Nâng Cao
Chọn C.
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

z . Khi đó M + m bằng
A. 4 − 7.

B. 4 + 7.

D. 4 + 5.

C. 7.

Hướng dẫn giải:
Gọi z = x + yi với x; y ∈ ℝ .
Ta có 8 = z − 3 + z + 3 ≥ z − 3 + z + 3 = 2 z ⇔ z ≤ 4 .
Do đó M = max z = 4 .
Mà z − 3 + z + 3 = 8 ⇔ x − 3 + yi + x + 3 + yi = 8 ⇔

( x − 3)

2

+ y2 +

( x + 3)

2

+ y2 = 8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 = 1.

( x − 3)

2

+ y 2 + 1.

( x + 3)

2

+ y2 ≤

(1

2

+ 12 ) ( x − 3) + y 2 + ( x + 3) + y 2 


2

2

⇔ 8 ≤ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18) ⇔ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18) ≥ 64
⇔ x2 + y 2 ≥ 7 ⇔

x2 + y2 ≥ 7 ⇔ z ≥ 7 .

Do đó M = min z = 7 .
Vậy M + m = 4 + 7 .

Chọn B.
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn: z + 1 − 2i = 2 5 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z + i . Khi đó A.B có giá trị bằng

A. 10.

B. -10.

C. 12.

D. -12

Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F ( 0; −1) và E ( −1; 2 ) ⇒ EM = 2 5

Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn ( C ) tâm E bán kính R = 2 5
Ta có: FE − EM ≤ MF ≤ FE + EM ⇔ 2 5 − 10 ≤ MF ≤ 2 5 + 10 ⇒ AB = 10 .

Chọn A.
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z − 1 + i = 2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z + 2 . Khi đó A2 + B 2 có giá trị bằng

A. 20.

B. 18.

C. 24.

D. 32

Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F ( −2;0 ) và E (1; −1) ⇒ EM = 2
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn ( C ) tâm E bán kính R = 2
104


Số Phức Nâng Cao
Ta có: FE − EM ≤ MF ≤ FE + EM ⇔ 10 − 2 ≤ MF ≤ 10 + 2 ⇒ A2 + B 2 = 24 .

Chọn C.
Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i = 4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z + 2 + i . Giá trị của T = M 2 + m 2 là

A. T = 50 .

B. T = 64 .

C. T = 68 .

D. T = 16

Hướng dẫn giải:
Đặt w = z + 2 + i ⇔ z = w − 2 − i , khi đó z − 1 − 2i = w − 2 − i − 1 − 2i = w − 3 − 3i = 4.
M = w
= 32 + 32 + 4 = 3 2 + 4

max
Suy ra 
→ M 2 + m 2 = 68.
2
2
 m = w min = 3 + 3 − 4 = 3 2 − 4

Chọn C.
Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 10 . Giá trị lớn nhất của z + 1 − 4i bằng
A. 10 .

B. 10 3 .

C. 3 10 .

D. 4 10

Hướng dẫn giải:

(

2

)

Ta có z − 1 + 2i = 10 ⇔ z − 1 + 2i = 10 ⇔ z − 1 + 2i .z − 1 + 2i = 10 .

(

)

⇔ z − 1 + 2i . ( z − 1 + 2i ) = 10 ⇔ z − 1 + 2i . z − 1 + 2i = 10 ⇒ z − 1 + 2i = 10. .
Đặt w = z + 1 − 4i ⇔ z = w − 1 + 4i , khi đó z − 1 + 2i = w − 2 + 6i = 10.
Vậy giá trị lớn nhất là w max = 10 + 2 2 + 6 2 = 3 10 ⇒ z + 1 − 4i max = 3 10.

Chọn C.
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn ( 2 + i ) z + 1 = 1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 1
bằng

A. 3 .

B. 2 2 .

C.

2
.
5

D. 2 3

Hướng dẫn giải:
Ta có ( 2 + i ) z + 1 = 1 ⇔

(2 + i ) z +1
2+i

=

1
1
2 i
1
.
⇔ z+
= z+ − =
2+i
2+i
5 5
5

Đặt w = z − 1 ⇔ z = w + 1 , khi đó
2

2

2 i
7 i
1

1
1
7 1
.
z + − = w+ − =
⇒ w max =   +   +
= 2+
5 5
5 5
5
5
5
5 5
2

2

1
1
7 1
= 2−
. Vậy w min + w max = 2 2.
Và w max =   +   −
5
5
5 5
Chọn B.
105

Số Phức Nâng Cao
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − i = 1 . Giá trị lớn nhất của z − 1 là
A.

B.

2 + 1.

C.

2 −1.

D. 1

2.

Đặt w = z − 1 ⇔ z = w + 1 , khi đó z − 2 − i = w − 1 − i = 1 ⇒ w max = 12 + 12 + 1 = 1 + 2.

Chọn A.
Câu 30: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện z + 1 − i + z + 2 − 3i = 5 . Gọi M , m
2

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x. z . Tổng M + 2m bằng

B. 27.

A. − 54.

C. 18.

D. − 9.

Hướng dẫn giải:
Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ M ( z ) = ( x; y ) và A ( −1;1) , B ( − 2;3) suy ra AB = 5.
Từ giả thiết ta có

z + 1 − i + z + 2 − 3i =

( x + 1) + ( y − 1)
2

2

+

( x + 2 ) + ( y − 3)
2

2

= MA + MB = AB.

⇒ M thuộc đường thẳng ( AB ) : 2 x + y + 1 = 0 ⇒ y = − 2 x − 1 với x ∈ [ − 2; −1] .
2
2
Khi đó P = x. z = x.  x 2 + ( 2 x + 1)  = 5 x3 + 4 x 2 + x . Đặt f ( x ) = 5 x3 + 4 x 2 + x .



Xét hàm số f ( x ) trên đoạn [ − 2; −1] , có f ' ( x ) = 15 x 2 + 8 x + 1 > 0; ∀x ∈ [ − 2; −1] .

 M = f ( −1) = − 2
⇒ M + 2m = − 54.
Suy ra f ( x ) là hàm số đồng biến trên [ − 2; −1] ⇒ 
 m = f ( − 2 ) = − 26

Chọn A.
Câu 31: Cho số phức z = x + 2 yi ( x; y ∈ ℝ ) thỏa z = 1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P = x− y.

A. 0.

B.

C. − 5 .

5.

5
2

D.

Hướng dẫn giải:
Theo

giả

thiết

ta

có:

 x + 4 y = 1 ( P + y ) + 4 y − 1 = 0
 z = 1
5 y + 2 Py + P − 1 = 0 (*)
⇒
⇔
⇔
⇔
.
 x = P + y
 x = P + y
x = P + y
 P = x − y
2

2

2

2

2

Để hệ có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm với mọi y ∈ ℝ .
⇒ ∆ '(*) = P 2 − 5 ( P 2 − 1) ≥ 0
⇒ P2 ≤

5

5
5
⇔−
≤P≤
4
2
2

⇒ max P + min P = 0 .

106

2


Số Phức Nâng Cao
Câu 32: Cho số phức z =

i−m
( m ∈ ℝ ) . Gọi k ( k ∈ ℝ ) là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại
1 − m ( m − 2i )

z − 1 ≤ k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây.
1 1
A.  ;  .
3 2
Hướng dẫn giải:
z=

1 2

B.  ;  .
2 3

2 4
C.  ;  .
3 5

4 
D.  ;1
5 

(1 − m ) + i
i−m
i−m
−1
= 2
=
⇒ z −1 =
2
i−m
m−i
1 − m ( m − 2i ) −i + 2mi − m

Ta có:

(1 − m ) + i
a
m 2 − 2m + 1
a
=

=
( b ≠ 0 ) . Áp dụng z − 1 =
b
b
m−i
m2 + 1

k > 0
m 2 − 2m + 2

.
Xét
f
m
=
⇒ z − 1 ≤ k ⇔  m 2 − 2m + 2
(
)
m2 + 1
≤ k2

2
 m +1
Theo yêu cầu bài toán, tồn tại kmin để z − 1 ≤ k ⇒ min f ( m ) ≤ k 2
 1+ 5  3 − 5
Ta có min f ( m ) = f 
 2  = 2 =


Vậy k =

(

)

5 −1

2

4

5 −1
( k > 0) .
2

⇒k≥

5 −1
là giá trị k cần tìm ⇒ B .
2

Cách biến đổi khác, bình thường hơn:

z=

i−m
i−m
−1
m
i

= 2
=
= 2
+ 2
2
1 − m ( m − 2i ) −i + 2mi − m
i − m m +1 m +1
2

 m − m2 − 1   1 
m − m2 − 1
i
1
⇒ z −1 =
+
⇒
−
=
z

 + 2 
2
m2 + 1
m2 + 1
 m +1   m +1
 m − ( m 2 + 1)   1  2
 + 2
⇒ z −1 = 
 =
2

 m + 1   m + 1 
.

2

m 2 − 2m ( m 2 + 1) + ( m 2 + 1) + 1

2

2

(m

2

+ 1)

2

=

m 2 − 2m + 2
m2 + 1

Câu 33: Cho số phức z 2017 − 1 = 1 . Gọi P = z . Tính A = 2017. ( max P ) − 2017. ( min P ) .
A. A = 2017.2016 2 .

B. A = 2017.2017 3 .

C. A = 2017.2017 2 .

Hướng dẫn giải:
Ta có: max P = z > 0 ⇔ max P 2017 = z
min P = z > 0 ⇔ min P 2017 = z

Gọi z 2017 = a + bi ( a, b ∈ ℝ )

107

2017

2017

= z 2017 .

= z 2017 .

D. A = 2017


Số Phức Nâng Cao
⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2017 là đường tròn tâm I ( 0;1) có bán kính R = 1 .
2017
= 2 max P = 2017.2017 2
max P
⇒
⇔
⇒ A = 2017.2017 2 .
2017
=

min
0
P
=0

min P

Câu 34: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 1 + i = z + 2i và P = z − 2 − 3i + z + 1 đạt
giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + 2b :

Hướng dẫn giải:
Ta có: z + 1 + i = z + 2i ⇔ a − b = 1.

P = P = z − 2 − 3i + z + 1 =

( a − 2 ) + ( b − 3)
2

2

( a + 1)

+

2

+ b2 .

Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M ( a; b ) , A ( 2;3) , B ( −1;0 ) với M điểm biểu
diễn số phức z ⇒ M ∈ ( d ) : a − b − 1 = 0 .

Ta có: MA + MB =

( a − 2 ) + ( b − 3)
2

2

+

( a + 1)

2

+ b2 . Vậy ta tìm M ∈ d

sao cho

( MA + MB )min .
Do ( xA − y A − 1)( xB − yB − 1) > 0 ⇒ A, B cùng thuộc một phía so với đường thẳng d .
⇒ Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua d .

MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B .
5
3 1
M = A ' B ∩ d ⇒ M  ;  ⇒ P = a + 2b = .
2
2 2

Ta

"="

Dấu

có:

xảy

ra

khi

Câu 35: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 1 + i = z + 2i và P = z − 2 − 3i + z − 1 + 2i
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + 2b :

Hướng dẫn giải:
Ta có: z + 1 + i = z + 2i ⇔ a − b = 1.

P = P = z − 2 − 3i + z + 1 =

( a − 2 ) + ( b − 3)
2

2

( a − 1) + ( b + 2 )
2

+

2

.

Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M ( a; b ) , A ( 2;3) , B (1; −2 ) với M điểm biểu
diễn số phức z ⇒ M ∈ ( d ) : a − b − 1 = 0 .
Ta có: MA + MB =

( a − 2 ) + ( b − 3)
2

2

+

( a − 1) + ( b + 2 )
2

2

. Vậy ta tìm M ∈ d sao cho

( MA + MB )min .
Do ( xA − y A − 1)( xB − yB − 1) < 0 ⇒ A, B khác phía so với đường thẳng d .

5
3 1
Ta có: MA + MB ≥ AB . Dấu " = " xảy ra khi M = AB ∩ d ⇒ M  ;  ⇒ P = a + 2b = .
2
2 2

Câu 36: Cho số phức z = a + bi thỏa z + 1 + i = z + 2i và P = z − 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

A = a + 2b .
108