COI CHỪNG MẮC BẨY

MI CC BN N VI CU LC B TON TIU HC
(violet.vn/toantieuhoc)
NI GIAO LU TRAO I V CHUYấN MễN TON TIU HC
NI CUNG CP CC TI LU V TON TIU HC T A N Z
Bẩy trong toán
Phan Duy Nghĩa
(Trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Trong các đề thi môn toán, đặc biệt là đề thi chọn học sinh giỏi toán ngời ra đề thi th-
ờng đa ra các bài toán có tính bẩy để đánh lừa học sinh. Nếu học sinh không tỉnh táo và
nắm chắc kiến thức cơ bản thì rất dễ bị sa vào các bẩy mà bài toán đã giăng ra.
Bài viết này nhằm giúp các em học sinh biết cách né tránh những bẩy khi giải toán
để các em học tập môn toán có hiệu quả cao thể hiện cụ thể trong việc giải bài tập, bài
kiểm tra và bài thi đạt kết quả tốt.
1. Bẩy trong các bài toán về số và chữ số[ơ
Ví dụ 1. Hiệu của hai số bằng 15. Tìm hai số đó, biết rằng nếu gấp một số lên 2 lần và
gấp số kia lên 5 lần thì đợc hai số mới có hiệu bằng 51.
*Lời bàn : Khi giải bài toán này học sinh thờng chỉ xét đến hai trờng hợp sau :
- Trờng hợp 2 lần số bị trừ lớn hơn 5 lần số trừ.
- Trờng hợp 5 lần số bị trừ lớn hơn 2 lần số trừ.
Trong lúc đó bài toán này phải xét đến 4 trờng hợp, ngoài 2 trờng hợp đã nêu trên chúng ta
còn phải xét thêm 2 trờng hợp sau :
- Trờng hợp 5 lần số bị trừ bé hơn 2 lần số trừ.
- Trờng hợp 2 lần số bị trừ bé hơn 5 lần số trừ.
Trong 4 trờng hợp trên chỉ có trờng hợp 2 lần số bị trừ bé hơn 5 lần số trừ có đáp số là 42
và 27. Còn lại 3 trờng hợp kia không có đáp số.
Nh vậy nếu học sinh chỉ xét hai trờng hợp nh đã chỉ ra thì sẽ không tìm đợc đáp số của
bài toán và nh thế là các em đã bị sa vào bẩy của bài toán.
* Lời khuyên : Các em cần lu ý xét hết các trờng hợp của bài toán.
Ví dụ 2. Viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 20 để đợc một số tự nhiên.
Hãy xoá đi 10 chữ số của số tự nhiên đó mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để đ-

ợc số lẻ bé nhất.
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải nh sau :
Số tự nhiên gồm các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 20 là : 2468101214161820, có 16 chữ
số. Ta cần phải xoá đi 10 chữ số để tạo nên số lẻ bé nhất có 6 chữ số.
Lần lợt phải xoá các chữ số 2; 4; 6; 8; 1 ở các vị trí đầu tiên và xoá các chữ số 0; 2; 8 ở các
vị trí cuối cùng. Sau khi xoá 8 chữ số đó thì còn lại 8 chữ số tạo thành số 01214161. Cuối
cùng xoá các chữ số 2; 4 thì ta đợc số lẻ bé nhất là 011161.
Rõ ràng đáp số trên là sai vì trong một số tự nhiên, chữ số ở vị trí đầu tiên (hàng cao
nhất) phải khác 0. Đáp số đúng của bài toán là số 101111.
Do các em không nắm vững cấu tạo của một số tự nhiên là chữ số ở vị trí đầu tiên
(hàng cao nhất) phải khác 0) nên đã mắc phải bẩy của bài toán.
1
* Lời khuyên : Các em cần ghi nhớ : Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng cao nhất khi
đếm, đọc, viết số tự nhiên.
Ví dụ 3. Hãy viết tất cả các phân số bằng phân số
27
15
mà tử số và mẫu số là số có hai
chữ số ?
*Lời bàn : Sau đây là bài làm của phần lớn học sinh khi làm bài toán trên :
Nhân cả tử số và mẫu số của phân số
27
15
lần lợt với 2, 3, 4 ta đợc :
27
15
=
227
215
ì

ì
=
54
30
;
27
15
=
327
315
ì
ì
=
81
45
;
27
15
=
427
415
ì
ì
=
108
60
. Vì 108 là số có 3 chữ số
nên chỉ có 2 phân số
54
30

;
81
45
thoả mãn đầu bài.
Lời giải trên đã mắc phải bẩy của bài toán đó là không rút gọn phân số
27
15
nên dẫn
đến không tìm đủ các phân số bằng
27
15
mà tử số và mẫu số đều là số có hai chữ số. Lời
giải đúng nh sau : Rút gọn phân số
27
15
ta có :
27
15
=
3:27
3:15
=
9
5
. Lần lợt nhân cả tử và
mẫu của phân số
9
5
với 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ta đợc các phân số thoả mãn bài toán là :
18

10
;
36
20
;
45
25
;
54
30
;
63
35
;
72
40
;
81
45
;
90
50
;
99
55
.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý rút gọn phân số.
2. Bẩy trong các bài toán về thực hiện phép tính
Ví dụ 4. Tính giá trị biểu thức sau :
A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 +...+ 0,19. (19 số hạng)

(Đề thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000)
*Lời bàn : Sau đây là lời giải của một số em học sinh :
A = (0,19 + 0,1) x 19 : 2 = 2,755.
Sở dĩ các em cho lời giải sai nh vậy là do các em đã nghĩ dãy số đó là dãy số cách đều.
Và đó cũng là cái bẩy mà bài toán giăng ra.
Lời giải đúng : Ta có : M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = (0,1 + 0,9)
+ (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5.
N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 = (0,10 + 0,19) +
(0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15) = 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 +
0,29 = 5 x 0,29 = 1,45.
Vậy A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đọc kĩ đầu bài.
Ví dụ 5. Tính giá trị biểu thức :
251552012415931062531
151051284963642321
ìì+ìì+ìì+ìì+ìì
ìì+ìì+ìì+ìì+ìì
(Đề thi toán quốc tế Tiểu học ở Hồng Kông)
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải nh sau :
Ta có : A = 1x2x3 + 2x4x6 + 3x6x9 + 4x8x12 + 5x10x15 = 1x(1x2x3) + 2x(1x2x3) +
3x(1x2x3) + 4x(1x2x3) + 5x(1x2x3) = 1x2x3x(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1x2x3x15.
B = 1x3x5 + 2x6x10 + 3x9x15 + 4x12x20 + 5x15x25 = 1x(1x3x5) + 2x(1x3x5) +
3x(1x3x5) + 4x(1x3x5) + 5x(1x3x5) = 1x3x5x(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1x3x5x15.
Vậy ta có :
B
A
=
15531
15321
ììì

ììì
=
5
2
.
2
Sở dĩ các em giải sai là do các em đã hiểu nhân một số với một tích thành nhân một số
với một tổng. Và đó cũng chính là cái bẩy của bài toán này.
Lời giải đúng : Ta có : A = 1x2x3 + 2x4x6 + 3x6x9 + 4x8x12 + 5x10x15 = 1x(1x2x3) +
2x2x2x(1x2x3) + 3x3x3x(1x2x3) + 4x4x4x(1x2x3) + 5x5x5x(1x2x3) = 1x2x3x(1 + 2x2x2
+ 3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5).
B = 1x3x5 + 2x6x10 + 3x9x15 + 4x12x20 + 5x15x25 = 1x(1x3x5) + 2x2x2x(1x3x5) +
3x3x3x(1x3x5) + 4x4x4x(1x3x5) + 5x5x5x(1x3x5) = 1x3x5x(1 + 2x2x2 + 3x3x3 + 4x4x4
+ 5x5x5).
Vậy :
B
A
=
)5554443332221(531
)5554443332221(321
ìì+ìì+ìì+ìì+ììì
ìì+ìì+ìì+ìì+ììì
=
5
2
.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý phân biệt sự khác nhau giữa nhân một
số với một tích với nhân một số với một tổng.
Ví dụ 6. Sau khi thực hiện phép chia :
- Bạn Xuân nói : phép chia này có số d là 1.

- Bạn Hạ nói : phép chia này có số d là 0,1.
- Bạn Thu nói : phép chia này có số d là 0,01.
Biết rằng chỉ một bạn nói đúng. Hỏi bạn đó là ai ? Vì sao ?
(Đề thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2002)
*Lời bàn: Khi giải bài toán này một số em đã nhầm lẫn với cách tìm số d trong phép chia
có d học ở lớp 3 và lớp 4 nên đã vội vàng cho rằng bạn Xuân nói đúng. Do vậy các em đã bị
sa vào bẩy của bài toán.
Lời giải đúng : Có nhiều cách suy luận để tìm đúng số d của phép chia trên. Chẳng hạn: từ
dấu phẩy ta gióng thẳng xuống thì thấy chữ số 1 nằm ở hàng phần trăm có nghĩa số d của
phép chia là 0,01. Vậy bạn Thu nói đúng.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý về số d trong phép chia số thập phân cho
số tự nhiên.
3. Bẩy trong các bài toán về tỉ số phần trăm
Ví dụ 7. Cuối năm 1996 dân số nớc ta có 78 triệu ngời. Hỏi cuối năm 1999 dân số nớc
ta là bao nhiêu nếu tốc độ tăng dân số mỗi năm là 2%.
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải nh sau :
Từ năm 1996 đến năm 1999 cách nhau số năm là : 1999 1996 = 3 (năm).
Ba năm đó dân số nớc ta tăng số phần trăm là : 3 x 2 = 6(%).
Ba năm đó nớc ta tăng đợc số dân là : 78 000 000 : 100 x 6 = 4680000 (ngời).
Cuối năm 1999 dân số nớc ta là : 78 000 000 + 4 680 000 = 82 680 000 (ngời).
Lời giải trên đã mắc bẩy bài toán. Sở dĩ mắc bẩy là do các em đã hiểu sai về tốc
độ tăng dân số mỗi năm. Tốc độ tăng dân số mỗi năm là 2% nghĩa là năm sau dân số tăng
2% so với năm liền trớc chứ không phải so với cùng một thời điểm là cuối năm 1996.
Lời giải đúng nh sau :
Vì 100% + 2% = 102% nên số dân năm sau bằng 102% số dân năm liền trớc đó.
Số dân năm 1997 là : 78 000 000 : 100 x 102 = 79 560 000 (ngời).
Số dân năm 1998 là : 79 560 000 : 100 x 102 = 81 151 200 (ngời).
Số dân năm 1999 là : 81 151 200 : 100 x 102 = 82 774 224 (ngời).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý Tốc độ tăng dân số mỗi năm là a%
nghĩa là năm sau dân số tăng a% so với năm liền trớc đó .

3
Ví dụ 8. Một cửa hàng điện tử định giá bán một chiếc Tivi là 4 500 000 đồng. Tuy
nhiên để thu hút khách hàng cửa hàng quyết định giảm giá hai lần liên tiếp, mỗi lần giảm
10%. Hỏi sau hai lần giảm giá thì giá bán chiếc Tivi đó là bao nhiêu ?
*Lời bàn : Lời giải của đa số học sinh khi giải bài toán này nh sau :
Hai lần giảm số phần trăm là : 10% + 10% = 20%.
Số tiền bị giảm đi là : 4 500 000 : 100 x 20 = 900 000 (đồng).
Giá chiếc Tivi sau hai lần giảm giá là : 4 500 000 900 000 = 3 600 000 (đồng).
Bài giải trên sai ngay từ phép tính đầu tiên : 10% + 10% = 20%. Đây chính là bẩy
của bài toán. Sở dĩ các em mắc bẩy là do các em đã hiểu 10% giá lần đầu cũng bằng 10%
giá lần sau.
Lời giải đúng nh sau : Sau khi giảm giá 10% lần đầu thì giá bán chiếc Tivi là :
4 500 000 4 500 000 : 100 x 10 = 4 050 000 (đồng).
Sau khi giảm giá 10% lần thứ hai thì giá bán chiếc Tivi là :
4 050 000 4 050 000 : 100 x 10 = 3 645 000 (đồng).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý giảm a% lần thứ nhất khác với giảm a
% lần thứ hai .
Ví dụ 9. Một ngời bỏ ra 2 500 000 đồng để đi buôn. Chuyến thứ nhất ngời đó lãi đợc
40%. Sau đó ngời đó gộp cả vốn lẫn lãi để đi buôn chuyến thứ hai thì bị lỗ 40%. Hỏi sau
hai chuyến đi buôn ngời đó còn lại bao nhiêu tiền ?
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em đều cho đáp số là : ngời đó còn lại 2
500 000 đồng). Sở dĩ có đáp số sai đó là do các em nghĩ rằng tăng 40% rồi lại giảm 40% thì
vẫn trở về nh cũ. Và nh thế là các em đã mắc bẩy của bài toán.
Lời giải đúng nh sau :
Số tiền ngời đó đem đi buôn chuyến thứ hai là :
2 500 000 + 2 500 000 : 100 x 40 = 3 500 000 (đồng).
Sau hai chuyến đi buôn ngời đó còn lại số tiền là :
3 500 000 3 500 000 : 100 x 40 = 2 100 000 (đồng).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý tăng a% lại giảm a% thì không trở về
con số cũ đợc .

4. Bẩy trong các bài toán về hình học
Ví dụ 10. Có 11 mẫu que thẳng, trong đó có : 1 mẫu que dài 2cm, 3 mẫu que mỗi mẫu
que dài 3cm, 4 mẫu que mỗi mẫu dài 4cm, 3 mẫu que mỗi mẫu dài 5cm.
Dùng một số mẫu que đó ghép thành một hình vuông thì cạnh hình vuông lớn nhất có thể
ghép đợc có độ dài là bao nhiêu ?
*Lời bàn : Sau đây là lời giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này :
Tổng độ dài của 11 mẫu que đó là : 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 = 42 (cm).
Chu vi hình vuông là một số chia hết cho 4. Vì tổng độ dài của 11 que trên là 42 cm nên số
đo chu vi hình vuông cần ghép không vợt quá 42. Số lớn nhất không vợt quá 42 và chia hết
cho 4 là số 40. Bỏ một mẫu que dài 2 cm thì với các mẫu que còn lại ta ghép đợc hình
vuông có độ dài mỗi cạnh là : 40 : 4 = 10 (cm).
Rõ ràng bài giải trên là sai vì từ 10 mẫu que còn lại (3 mẫu que mỗi mẫu que dài 3cm,
4 mẫu que mỗi mẫu dài 4cm, 3 mẫu que mỗi mẫu dài 5cm) không thể ghép thành 1 hình
vuông có độ dài mỗi cạnh 10 cm đợc. Sở dĩ các em mắc bẩy là do các em không kiểm tra
lại lời giải bài toán.
Lời giải đúng nh sau : Xét chu vi hình vuông bằng 36 cm; khi đó độ dài cạnh hình vuông
là : 36 : 4 = 9 (cm). Ta có 2 cách xếp sau:
Cách 1. 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 3 + 3 + 3 (bỏ 1 mẫu que 2cm và 1 mẫu que 4cm).
4
Cách 2. 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 4 + 3 + 2 (bỏ 2 mẫu que 3 cm).
Do đó độ dài cạnh hình vuông có thể ghép đợc lớn nhất là 9 cm.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý kiểm tra lại kết quả bài toán với giả thiết
bài toán xem có thoả mãn không.
Ví dụ 11. Nền một gian nhà hình chữ nhật có chiều dài là 6,1m, chiều rộng 4,5m. Hỏi
nền nhà đó lát đợc bao nhiêu viên gạch hoa hình vuông nguyên vẹn có cạnh là 30cm. Cho
rằng mạch giữa các viên gạch không đáng kể.
*Lời bàn : Một số em cho lời giải nh sau :
Diện tích của nền nhà đó là : 6,1 x 4,5 = 27,45 (m
2
). Đổi : 27,45 m

2
= 274500 cm
2
.
Diện tích một viên gạch hoa là : 30 x 30 = 900 (cm
2
).
Số viên gạch hoa nguyên vẹn lát đợc là : 274500 : 900 = 305 (viên).
Vấn đề đợc đặt ra là : nền nhà đó có phải lát đợc 305 viên gạch nguyên vẹn không ? Để
trả lời câu hỏi này, có thể trình bày lại cách giải nh sau :
Diện tích của nền nhà đó là : 6,1 x 4,5 = 27,45 (m
2
). Đổi : 30 cm = 0,3 m.
Vì 6,1 : 0,3 = 20 (d 0,1) nên mỗi hàng lát theo chiều dài nền nhà có 20 viên gạch nguyên
(và còn 0,1 m cha lát gạch).
Vì 4,5 : 0,3 = 15 nên mỗi hàng lát theo chiều rộng nền nhà có 15 viên gạch nguyên.
Số viên gạch hoa nguyên vẹn đợc lát là : 20 x 15 = 300 (viên).
Nh vậy lời giải bài toán trên của các em là sai. Sở dĩ sai nh vậy là do các em cha lu ý
đến yếu tố thực tế của bài toán. Và đây cũng là cái bẩy của bài toán.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến yếu tố thực tế của bài toán.
Ví dụ 12. Một sân trờng hình chữ nhật trên bản vẽ đợc vẽ theo tỉ lệ xích
100
1
, biết chu
vi là 40 cm và chiều dài hơn chiều rộng 4 cm. Tính diện tích sân trờng trên thực tế.
*Lời bàn : Bài giải của đa số học sinh khi giải bài toán này nh sau :
Nửa chu vi sân trờng trên bản vẽ là : 40 : 2 = 20 (cm).
Chiều dài sân trờng trên bản vẽ là : (20 + 4) : 2 = 12 (cm).
Chiều rộng sân trờng trên bản vẽ là : 12 4 = 8 (cm).
Diện tích sân trờng trên bản vẽ là : 12 x 8 = 96 (cm

2
).
Diện tích sân trờng trên thực tế là : 96 x 100 = 9600 (cm
2
).
Bài giải trên đã hiểu sai về tỉ lệ xích nên tính diện tích thực tế sai và đây cũng là cái
bẩy của bài toán. Nếu hiểu đúng về tỉ lệ xích thì kích thớc thực của sân trờng phải có
chiều dài gấp 100 lần và chiều rộng cũng gấp 100 lần.
Do đó diện tích phải gấp lên là : 100 x 100 = 10000 (lần).
Vậy diện tích sân trờng là : 96 x 10000 = 960000 (cm
2
).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến tỉ lệ xích.
5. Bẩy trong các bài toán về chuyển động đều
Ví dụ 13. Hồng và Hà khởi hành cùng một lúc từ hai làng A và B cách nhau 40 km và
đi ngợc chiều nhau. Hồng đi từ A đến B với vận tốc 5 km/giờ, Hà đi từ B đến A. Sau 4 giờ
hai bạn cách nhau 4 km. Tính vận tốc của Hà.
*Lời bàn : Sau đây là bài giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này :
Sau 4 giờ Hồng đi đợc là : 5 x 4 = 20 (km).
Quãng đờng Hà đã đi là : 40 20 4 = 16 (km),
Vận tốc của Hà là : 16 : 4 = 4 (km/giờ).
Bài giải trên mới chỉ nêu đợc một trờng hợp là sau 4 giờ hai bạn cha gặp nhau và còn
cách nhau 4 km. Còn một trờng hợp cha xét đến là sau 4 giờ hai bạn đã gặp nhau và đi tiếp
nên cách xa nhau 4 km. Vì vậy mà các em đã mắc phải bẩy của bài toán.
5