De thi casio Ha Tinh nam hoc 2009 - 2010

Đề thi học sinh Giỏi Tỉnh Casio Hà Tĩnh năm 2009 - 2010
Bài 1: Tính giá tr ca biu thc(chỉ ghi kết quả với 4 chữ số thập phân):
2 3 4
4
2 3
1,25 15,37 :3,75
A
1 3 2 5 2
4 7 5 7 3
ì
=


+

ữ ữ



;
3+ 5 - 3- 5 + 2009- 13,3
B=
3+2 2+3 7 - 2-3 5 4 7+

Sơ lợc cách giải Đáp số
Tính riêng từng biểu thức
516,9043; 5,5464A B
Bài 2: Cho đa thức P(x) =
6 5 4 3 2
x ax bx cx dx ex f+ + + + + +
có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x nhận

các giá trị tơng ứng 1; 2; 3; 4; 5; 6.
a) Tìm a, b, c, d, e, f
b) Tìm giá trị của P(x) khi x nhận các giá trị 11; 12; 13; 14
Sơ lợc cách giải Đáp số
a) Xét đa thức Q(x) =P(x)
( )
2
3 12 12x x +
. Rõ ràng Q(x) là đa thức bậc 6 với hệ số cao nhất
là 1 và Q(1) =Q(2) =Q(3) =Q(4 ) = Q(5) =Q(6) =0. Vậy Q(x) =(x -1)(x-2)(x- 3)(x -4)(x-5)(x -6)
Do đó P(x) = Q(x) +
2
3 12 12x x +
=(x -1)(x-2)(x- 3)(x -4)(x-5)(x -6) +
2
3 12 12x x +
Nhân ra và khi triển ta đợc P(x) = x
6
21x
5
+175x
4
-735x
3
+1627x
2
-1776x +732
Vậy a =-21; b=175; c =-735; d =1627; e =-1776; f =732
b) Viết ra biểu thức dùng phím CALC máy 570 MS ta đợc
P(11) =151 443; P(12) =332 940; P(13) =665 643; P(14) =1235 952

Bài 3: a) Tìm các chữ số a, b sao cho P=
17712 81ab
là số chính phơng và a+b =13
b) Tìm các chữ số c, d sao cho
1 399025E cd=
là số chính phơng và chia hết cho 9
c) Tìm các chữ số m, n, p sao cho K =
2009mnp
đồng thời chia hết cho các số 5;7 và 9
Sơ lợc cách giải Đáp số
a) Đặt P = x
2
với x là số nguyên dơng: Ta có:
177120081 177129981 177120081 177129981
13308,64685 13309,0187
P x
x


Do x là số nguyên dơng nên x = 13 309 thử lại ta thấy x
2
=177129481 khi đó a =9; b=4 và a+b =
13 thoả mãn điều kiện bài toán.
b) Vì E chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của E chia hết cho 9
suy ra c+ d + 29
M
9 => c+ d + 2
M
9 suy ra c+ d = 7; 16
+ Nếu c+d = 7 do c, d là các chữ số nên ta có các trờng hợp sau:

c 0 7 1 6 2 5 3 4
d 7 0 6 1 5 2 4 3
Thử trên máy ta đợc số thoả mãn là: 152399025;
+ Nếu c+d = 16 vì c, d là các chữ số ta có các trờng hợp sau: (c; d) =(7; 9); (9; 7); (8; 8);
Thử trên máy không có số nào thoả mãn.
Vậy c=5; d = 2
c) Ta có K=2009000+
mnp
=315.6377+ 245 +
mnp
. Ta thấy các số 5;7; 9 là ba số đôi một
nguyên tố cùng nhau nên K chia hết cho 5.7.9=315. từ đó suy ra 245 +
mnp

M
315
=> 245 +
mnp
=315.t (với t là số tự nhiên)
Ta có
245 245 245 999 1244mnp + + =
=>
245 315. 1244 1 3t t

Thử với t=1 suy ra
mnp
=70 tức là m=0; n=7; p = 0;
Với t = 2;
mnp
=385 tức là m=3; n=8; p = 5;

Với t =3 ;
mnp
=700 tức là m=7; n=0; p = 0;
Bài 4: Tìm đa thức bậc 3 f(x) biết rằng f(x) chia cho x -10; x- 20; x- 30 đều đợc số d là 6 và
f(-11) = -133449
Sơ lợc cách giải Đáp số
Đặt g(x) = f(x) 6 suy ra g(x) là đa thức bậc 3 theo bài ra ta có g(10) =g(20)=g(30)= 0
Nên g(x) = a(x-10)(x-20)(x-30) với a là hệ số của x
3
khác 0
Mà f(-11) = -133449 nên g(-11) =f(-11) 6 =-133449 - 6
a.(-11-10)(-11-20)(-11-30) = -133455 => a =5.
Vậy f(x) = g(x) + 6= 5(x-10)(x-20)(x-30) + 6 =5x
3
-300x
2
+5500x - 29994
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD có
à
à
0
A D 90= =
, góc nhọn
à
C

=
BC =m, CD = n
a) Tính diện tích và chu vi và đờng chéo của ABCD theo m, n,

b) Tính diện tích và chu vi và đờng chéo của ABCD biết m= 4,25 cm; n= 7,56 cm;
0
54 30'

=
(lấy chính xác 4 chữ số phân sau dấu phẩy)
Sơ lợc cách giải Đáp số
a) Hạ BH vuông góc với DC. Tính đợcAD = BH =BC.sin

=m.sin

;
CH = m.cos

=> AB = DH =n CH =n - m.cos

Vậy

( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. .cos . .sin 2 .cos . .sin
2 2 2
cos sin 2 (1 sin cos )
sin ; ( cos ) sin
ABCD
ABCD
AB CD BH n m n m n m m
S
C AB BC CD DA n m m n m n m
AC CD DA n m BD AB AD n m m

+ +
= = =
= + + + = + + + = + +
= + = + = + = +
2 2
2 cosm n mn

= +
b) Thay số ta đợc: S =21,8879 cm
2
; P = 20,3620 cm; AC =8, 6727 cm; BD =6,1563 cm
Bài 6 Tam giác ABC có BC = a; CA = b và
ã
0
90BAC

= >
.
a) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC theo a, b và

b) Tính diện tích, chu vi và đờng cao AH của tam giác ABC khi a = 2010 cm; b= 2009 cm và
0
123 30'

=
(lấy chính xác 4 chữ số phân sau dấu phẩy)
C

A
B
D
H
m
n

Sơ lợc cách giải Đáp số
a)
Vẽ CK vuông góc với AB; AK =b.cos(180
0
-

); CK =b.sin(180
0
-

);
BK =
2 2 2 2 2 0
sin (180 )BC CK a b

=
;
AB=BK AK =
2 2 2 0
sin (180 )a b


-b.cos(180

0
-

);
Vậy:
(
)
2 2 2 0 0 0
2 2 2 0 0
1
sin (180 ) b.cos(180 ) . sin(180 )
2
sin (180 ) b.cos(180 )
ABC
ABC
S a b b
C a b a b


=
= + +
b)
(
)
2 2 2 0 0 0
sin (180 ) b.cos(180 ) . sin(180 )
2
a b b
S
AH

BC a


= =
Bài 7:a) Cho số A =
9999
3
. Tìm 2 chữ số cuối của A
b) Phân tích số
2010
2009
thành tổng các số nguyên dơng. Tìm d củaphép chia của tổng các lập ph-
ơng của các số đó cho 6:
Sơ lợc cách giải Đáp số
a) Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
495 4 495
4 495
9999 99 20 20 19 20
3 3 . 3 3 .3 . 3 01 .67. 01 67= =
(mod 100)
Vậy 2 chữ số tận cùng của A là 67.
b) Ta có
( ) ( )
3
1 1 6x x x x x = + M
với mọi số nguyên x.
Giả sử
1 2 3

; ; ; ;
n
a a a aL
là các số nguyên dơng có tổng bằng
2010
2009
. Suy ra d của phép
chia
3 3 3 3
1 2 3 n
a a a a+ + + +L
cho 6 cũng là d của
1 2 3 n
a a a a+ + + +L
cho 6 mà
2010
1 2 3
2009
n
a a a a+ + + + =L
( ) ( )
2010 2010
2010 2010
2009 2010 1 335.6 1 ( 1) 1= = = (mod 6)
Vậy
3 3 3 3
1 2 3 n
a a a a+ + + +L
chia 6 d 1
Bài 8: Tìm cặp số nguyên dơng (x; y) vỡi nhỏ nhất thoả mãn phơng trình

: a)
3 2 2 2
156 807 144 20 52 59x x y x+ + = + +

: b) Cho 2 dãy số
2 2
1 2 1 2 1 1
1; 1; 2 ;
n n n n n n n n
a a a a a b a a a a
+ +
= = = = + +
1) Tính
n
a
theo n
2) Tính
33
a
Sơ lợc cách giải:
Từ giả thiết suy ra:
3 2 2
156 807 144 52 59
20
x x x
y
+ +
=
Nhập 0 SHIFT STO A 1 + ALPHA A SHIFT STO A
Đáp số

A
B
C
K
H
0
180


b
a
( ( SHIFT
3
( 156 ALPHA A X
2
+ 807 ) + 144 ALPHA A X
2
- 52 ALPHA A
- 59 )
ab
c
20 ) =

SHIFT COPY = =
Quan sát màn hình cho đến khi giá trị y nguyên ta đợc (x; y) = (11; 29)
Sơ lợc cách giải:
b) 1 : Ta có
2 2
1 1 1 2 2
2 2

1 1
k k k k k
k k n k k
b a a a a
b a a a a
+ + + + +
+ +
+ +
=
+ +
(*) Thay
2 1
2
k k k
a a a
+ +
=
vào tử số ta đợc:
2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2( )
2
k k k k k k k k k
k k n k k k k k k
b a a a a a a a a
b a a a a a a a a
+ + + + + + +
+ + + +

+ + + +
= = =
+ + + +
Tơng tự ta có
1
2
1 2 1
2
k k
k k
b b
b
b b b


= = =L
. Vậy
1 1
2 .
k
k
a b
+
=
. Mà từ giả thiết suy ra b
1
= 2
Suy ra
1
1

2
k
k
a
+
+
=
. Vậy
2
n
n
a =
với mọi số nguyên dơng n.
2: Thay số ta đợc
33
33
2 8 589 934 592a = =
Đáp số

Lời giải đáp án: Lê Bá Hoàng CV Phòng GD - ĐT Hồng Lĩnh