Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT thường xuân 2 phân loại và giải bài toán lập phương trình mặt phẳng trong không gian oxyz
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (444.31 KB, 28 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRƯỜNG THPT
THƯỜNG XUÂN 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TOÁN LẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Người thực hiện:
Chức vụ:
SKKN thuộc môn:
THANH HÓA NĂM 2020
Trịnh Thị Nhung
Giáo viên
Toán
MỤC LỤC
1. Mở đầu.......................................................................................................2
1.1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu...............................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.............................................................3
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến.......................................4
2.3. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề......................................4
2.3.1. Giải pháp 1: Hệ thống lại kiến thức cơ bản..........................................4
2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loạị bài toán lập PTMP..........5
2.3.3. Giải pháp 3: Hướng dẫn HS tự học......................................................16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.......................................................19
3. Kết luận và kiến nghị................................................................................19
3.1. Kết luận....................................................................................................19
3.2. Kiến nghị.................................................................................................20
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................21
2
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát
triển phẩm chất, năng lực của học sinh; vừa là môn học đặc thù
vừa là môn học công cụ để học tốt các môn học khác như Lý,
Hóa, Sinh,…. Trong thời đại công nghiệp 4.0 môn Toán là môn
học nền tảng tác động lớn đến các phát minh công nghệ làm
thay đổi cuộc sống của nhân loại. Luật giáo dục do Quốc hội khóa X
thông qua đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến
thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Tuy nhiên, môn Toán là môn học đòi hỏi sự tích lũy. Học sinh
phải hiểu và nắm được một vấn đề trước khi chuyển sang vấn
đề khác cao hơn, phức tạp hơn. Đây chính là khó khăn trong
việc học môn Toán của học sinh đặc biệt là học sinh trung bình,
yếu. Để khắc phục tình trạng này, khi dạy học giáo viên cần có
biện pháp phân hóa nội tại thích hợp, có sự giúp đỡ tách riêng
đối với học sinh yếu kém.
Trường THPT Thường Xuân là trường đóng trên địa bàn
huyện đặc biệt khó khăn, học sinh đa số là người dân tộc thiểu
số, nhiều HS không thích các hoạt động tư duy, tiếp thu chậm,
học yếu các môn tự nhiên đặc biệt là môn Toán. Các em thường
“sợ” môn Toán nhất là phần Hình học. HS thường không biết
phân dạng bài tập, thấy bài tập hình là bỏ. Vì vậy, giáo viên
luôn tìm mọi cách giảng dạy sao cho các em hứng thú học, hình
thành được sơ đồ tư duy giải toán, từ đó các em không còn ngại
học hình, góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
Trong chương trình hình học lớp 12, bài toán lập phương
trình mặt phẳng là bài toán thường xuyên gặp trong các đề thi
THPT Quốc gia. Khi học phần này học sinh trung bình, yếu
thường không biết phân loại bài tập, thấy “rối tinh rối mù” khi
nhìn vào đề bài. Từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN
“Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường
Xuân 2 phân loại và giải bài toán lập phương trình mặt
phẳng trong không gian Oxyz”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
3
Hướng dẫn học sinh phân loại và giải bài toán lập phương
trình mặt phẳng để học sinh hình thành sơ đồ tư duy khi gặp
dạng toán này. Từ đó lấp lỗ hổng kiến thức, tăng hứng thú với
bài học, từng bước nâng cao kĩ năng giải bài tập toán; phát triển
năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, làm việc độc lập
của HS.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài được tôi tiến hành đối với học sinh lớp 12A4 (38 HS)
trường THPT Thường Xuân 2, nghiên cứu cách tổ chức dạy học
các dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng, góp phần củng cố
lý thuyết, rèn luyện kĩ năng giải bài tập theo hướng phát triển
năng lực tự học của HS.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách tham
khảo về các vấn đề liên quan đến đề tài.
1.4.2. Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều tra
theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ.
1.4.3. Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình
giảng dạy, kiểm tra đánh giá nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng
các giải
pháp.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Học sinh trung bình, yếu về môn toán là những là học sinh
có kết quả học tập môn toán thường xuyên đạt điểm trung bình
hoặc dưới điểm trung bình. Đối với các lớp học sinh có lực học
trung bình, yếu giáo viên cần bỏ ra nhiều thời gian, công sức và
sự tỉ mỉ cả trong bài giảng trên lớp lẫn tài liệu để học sinh tự
học ở nhà.
Học sinh yếu về môn Toán có nhiều biểu hiện khác nhau
nhưng nhìn chung có 5 đặc điểm:
- Nhiều lỗ hổng kiến thức, kĩ năng.
- Tiếp thu kiến thức, hình thành kĩ năng chậm.
- Năng lực tư duy yếu.
- Phương pháp học tập chưa tốt.
4
- Thờ ơ với việc học trên lớp, không làm bài tập ở nhà.
Do vây, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh có kiến thức
cơ bản nhất của vấn đề, rồi mới tạo cho học sinh khả năng tự
học và độc lập trong suy nghĩ.
Trong những năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia đã có cấu
trúc chung, trong đó luôn có bài toán lập phương trình mặt
phẳng. Đây là bài toán tương đối vừa sức với HS trung bình,
yếu. Tuy phần kiến thức này là kiến thức cơ bản nhưng nếu
không nắm vững thì cũng dễ nhầm lẫn dẫn đến sai lầm.
Để tiếp cận bài toán lập phương trình mặt phẳng ta nên định hướng cho
học sinh vận dụng quy trình giải toán của G. Polia.
•
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
•
Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán.
•
Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2.
•
Bước 4: Nghiên cứu sâu về lời giải.
Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể học sinh xây
dựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó. Từ đó giúp học sinh
chủ động trong quá trình học, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy bài
toán viết phương trình mặt phẳng là bài toán dễ nhầm lẫn với
học sinh trung bình, yếu. Chẳng hạn như học sinh không phân
biệt được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến; không tìm được
vectơ pháp tuyến và điểm thuộc mặt phẳng khi có các yếu tố
khác. Học sinh thấy lúng túng trước các dữ kiện của đề bài, thấy
rối ren, không phân biệt được sẽ dùng yếu tố nào để tìm vectơ
pháp tuyến, yếu tố nào là điểm thuộc mặt phẳng.
Bài toán lập phương trình mặt phẳng được cho dưới nhiều
dạng khác nhau, ít có thời gian luyện tập lại nhiều lần do giới
hạn thời lượng chương trình cho phép (2 tiết). Mà học sinh trung
bình, yếu là đối tượng cần luyện tập nhiều và thường xuyên.
Bài toán lập phương trình mặt phẳng liên quan trực tiếp
đến hình học không gian lớp 11, học sinh có thể không biết biểu
diễn các yếu tố đã cho (ví dụ đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng,…) do đó không
hình thành được cách giải.
5
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Giải pháp 1: Hệ thống lại kiến thức cơ bản có liên
quan
* Tọa độ của điểm, tọa độ vectơ
Trong không gian Oxyz, cho điểm hai điểm
B ( b1; b2 ; b3 )
:
uuu
r uuur
AB AB = ( b1 − a1; b2 − a2 ; b3 − a3 )
+ Tọa độ của vectơ
:
.
+
Tọa độ trung
a +b a +b a +b
I 1 1; 2 2; 3 3 ÷
2
2
2
.
điểm
I
của
đoạn
A ( a1; a2 ; a3 )
thẳng
và
AB
:
* Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r r
( P)
n≠0
+ Vectơ
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
khi và chỉ
r
( P)
n
khi giá của vuông góc với
.
r
r
k
n
, ( k ≠ 0)
P
(
)
n
+
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
thì
cũng
( P)
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
* Tích có hướng của hai vectơ
r
r
r r r
a ( a1; a2 ; a3 )
b ( b1; b2 ; b3 )
c = a ∧b
Cho 2 vectơ
và
. Kí hiệu vectơ
r r
r a2 a3 a3 a1 a1 a2
c ⊥ a
c=
;
;
r r
÷
b
b
b
b
b
b
c ⊥ b
2
3
3
1
1
2
Khi đó:
và
r
c = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )
* Phương trình tổng quát của mặt phẳng
6
( P)
Mặt phẳng
đi qua điểm
r
n ( a; b; c )
( P) :
. Phương trình
M ( x0 ; y0 ; z0 )
và có vectơ pháp tuyến
a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0
⇔ ax + by + cz + d = 0, ( d = − ax0 − by0 − cz0 )
.
Chú ý: Để viết được phương trình mặt phẳng ta cần 2
yếu tố: 1 vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc mặt phẳng.
* Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng
( P)
A ( a;0;0 )
đi qua 3 điểm
,
x y z
+ + =1
a b c
b ≠ 0 c ≠ 0)
,
có phương trình:
.
B ( 0; b;0 )
,
C ( 0;0; c )
(
a≠0
,
2.3.2. Giải pháp 2: Phân dạng bài toán lập phương trình
mặt phẳng
Khi dạy học bài toán lập phương trình mặt phẳng, tôi hướng dẫn
học sinh phân loại dạng bài cụ thể, tìm phương pháp giải chung
và có ví dụ minh họa cụ thể, đánh giá sai lầm có thể gặp sau
các ví dụ minh họa .
Dạng 1: Lập phương trình mặt phẳng biết 1 vectơ pháp
tuyến và 1 điểm thuộc mặt phẳng
Phương pháp:
đi qua điểm
Mặt phẳng
M ( x0 ; y0 ; z0 )
( P)
7
vectơ pháp tuyến
Phương trình
r
n ( a; b; c )
( P ) : a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0
.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng
r
n ( 1; − 2;3)
và có vectơ pháp tuyến
.
( P)
đi qua điểm
M ( 2;1; − 1)
Lời giải :
Phương trình mặt phẳng
( P)
:
1( x − 2 ) − 2 ( y − 1) + 3 ( z + 1) = 0
⇔ x − 2 y + 3z + 3 = 0
.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và
vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
Phương pháp:
- Xác định tọa độ điểm thuộc mặt phẳng.
- Xác định vectơ pháp tuyến.
- Viết phương trình mặt phẳng.
Ở dạng này tôi đưa ra 3 ví dụ đặc trưng thể hiện qua 3
bài tập sau
Bài 2:
Trong không gian với hệ toạ độ
A ( 1;2;3)
B ( 2;0;5 ) .
,
Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng
AB
và vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn giải:
, cho hai điểm
( P)
qua điểm
A
8
B1: Mặt phẳng
( P)
đi qua điểm
A
.
r uuur
( P ) n = AB
B2: Vectơ pháp tuyến của
:
B3. Viết phương trình mặt phẳng
( P)
.
.
Lời giải:
Mặt phẳng
( P)
đi qua điểm
Vectơ pháp tuyến của
A ( 1;2;3)
r
uuu
r
.
( P ) n = AB = ( 1; − 2;2 )
Phương trình mặt phẳng
:
.
( P)
1( x − 1) − 2 ( y − 2 ) + 2 ( z − 3 ) = 0
:
⇔ x − 2 y + 2z − 3 = 0
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng
của đoạn
MN
biết
M ( 1;0; − 2 )
và
( P)
N ( −1;2;4 )
.
là mặt phẳng trung trực
.
Hướng dẫn giải:
9
B1. Xác định tọa độ điểm thuộc mặt phẳng
của đoạn
MN
thuộc
( P)
.
B2. Xác định vectơ pháp tuyến:
r uuuu
r
n = MN
B3. Viết phương trình mặt phẳng
( P)
( P)
: Trung điểm
I
.
.
Lời giải:
I ( 0;1;1) ∈ ( P )
MN
là trung điểm của
. Khi đó
.
r uuuu
r
n = MN = ( −2;2;6 )
Vectơ pháp tuyến:
.
Gọi
I
Phương trình mặt phẳng
( P)
:
−2 ( x − 0 ) + 2 ( y − 1) + 6 ( z − 1) = 0
⇔ −2 x + 2 y + 6 z − 8 = 0 ⇔ x − y − 3 z − 4 = 0
.
Sai lầm thường gặp:
- Không nhớ khái niệm mặt phẳng trung trực nên không
xác định được điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng.
- Không nhớ cách xác định tọa độ trung điểm của đoạn
thẳng.
- Nhầm lẫn tọa độ trung điểm và tọa độ của vectơ pháp
tuyến.
Cách khắc phục sai lầm:
- Dùng hình ảnh trực quan để nhắc lại khái niệm mặt
phẳng trung trực.
- Nhấn mạnh cách xác định tọa độ trung điểm của đoạn
thẳng bằng đặc điểm của trung điểm (trung điểm của
đoạn thẳng là điểm chính giữa của đoạn thẳng).
- Để không nhầm lẫn tọa độ điểm và tọa độ vectơ thì khi
viết ta luôn kí hiệu tọa độ điểm viết liền (ví dụ M(x; y;
z)), tọa độ vectơ có dấu “=” (ví dụ
r
n = ( a; b; c )
).
10
( P)
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng
( P)
biết
đi qua điểm
x −1 y +1 z − 2
d:
=
=
M ( 1; − 2;3)
2
−1
1
và vuông góc với đường thẳng
.
Hướng dẫn giải:
- Xác định điểm thuộc mặt phẳng
( P)
.
r
n
( P)
- Tìm mối liên hệ giữa vectơ pháp tuyến
của
và vectơ chỉ
r
r
u
d
n
phương của đường thẳng . Từ đó suy ra tọa độ của .
Lời giải:
Ta có:
uuur
uu
r
ud = ( 2; − 1;1) ⇒ n( P ) = ( 2; − 1;1)
Phương trình mặt phẳng
( P)
.
đi qua
M ( 1; − 2;3)
2 ( x − 1) − 1( y + 2 ) + 1( z − 3) = 0 ⇔ 2 x − y + z − 7 = 0
:
.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng
M
và
song
song
với
( Q ) : Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 > 0 )
( P)
đi qua điểm
mặt
phẳng
.
Phương pháp:
- Tìm mối liên hệ giữa 2 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( Q)
( P)
và
.
11
- Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của
- Viết phương trình
( P)
( P)
.
Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng
song với mặt
* Cách 1: Do
( Q) : x + 3y − 2z −1 = 0
( P ) // ( Q )
.
nên
Phương trình mặt phẳng
( P)
( P ) // ( Q )
A ( −2;4;3)
và song
.
Lời giải:
uuur uuur
n( P ) = n( Q ) = ( 1;3; − 2 )
.
( P ) ( x + 2 ) + 3( y − 4 ) − 2 ( z − 3) = 0
:
⇔ x + 3y − 2z − 4 = 0
* Cách 2: Do
đi qua
.
nên phương trình mặt phẳng
( P)
có dạng
x + 3 y − 2 z + D = 0 ( D ≠ −1)
Do
( P)
đi qua điểm
A ( −2;4;3 )
nên ta có:
−2 + 3.4 − 2.3 + D = 0 ⇔ D = −4
Vậy phương trình
( P)
:
x + 3y − 2z − 4 = 0
.
.
12
Dạng 4: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
A, B, C
không thẳng hàng
.
Phương pháp:
B ( 0; b;0 ) C ( 0;0; c ) a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0
( P)
,
,
(
,
,
) thì
có
x y z
+ + =1
a b c
phương trình:
.
r
r uuu
r uuur
( P)
n
n = AB ∧ AC
* Trường hợp còn lại, vectơ pháp tuyến của
là
.
* Nếu
A ( a;0;0 )
Từ đó lập phương trình mặt phẳng
).
( P)
A
đi qua
(hoặc
B
hoặc
C
( P)
Oxyz
Bài 6: Trong hệ tọa độ
, viết phương trình mặt phẳng
Oy
Ox
Oz
cắt
ba
trục
,
,
lần
lượt
tại
ba
điểm
A ( −3;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) , C ( 0;0; −2 )
.
Hướng dẫn giải:
Đây là bài viết pt mặt phẳng theo đoạn chắn.
Phương trình mặt phẳng
( P)
là:
x
y z
+ −
=1
− 3 4 −2
.
A ( 1; 6; 2 ) , B ( 5; 1; 3) , C ( 4; 0; 6 )
Bài 7: Cho 3 điểm
( ABC )
trình mặt phẳng
.
. Viết phương
Hướng dẫn giải:
13
- Vectơ pháp tuyến của
- Viết pt mặt phẳng
( ABC )
( ABC )
:
r uuu
r uuur
n = AB ∧ AC
.
.
Lời giải:
uuu
r
AB = ( 4; − 5;1)
Ta có:
uuur
AC = ( 3; − 6;4 )
−5 1 1 4 4 − 5
=
;
;
÷ = ( −14; − 13; − 9 )
r uuu
r uuur
−
6
4
4
3
3
−
6
n = AB ∧ AC
Phương trình mặt phẳng
( ABC )
đi qua
A ( 1; 6; 2 )
.
là:
−14 ( x − 1) − 13 ( y − 6 ) − 9 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 14 x + 13 y + 9 z − 110 = 0
.
Lưu ý: Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến của
uuu
r uuur
AB ∧ AC
vectơ cùng phương với vectơ
.
Dạng 5: Lập phương trình mặt phẳng
d1
d2
hai đường thẳng
và
cắt nhau.
( P)
( ABC )
biết
( P)
là 1
chứa
14
Phương pháp:
ur
u1
uu
r
d1 u2
d2
- Tìm vectơ chỉ phương
của ,
của .
r ur uu
r
( P ) n = u1 ∧ u2
- Vectơ pháp tuyến của
:
.
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1
- Chọn điểm
- Viết pt mặt phẳng
r
n
tuyến .
( P)
đi qua
Bài 8: Trong không gian
x =1+ t
d1 : y = 2 + 3t
z = 3 − t
chứa
d1
và
và
d2
hoặc
Oxyz
x = 2 − 2t ′
d 2 : y = −2 + t ′
z = 1 + 3t ′
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
.
và có vectơ pháp
, cho hai đường thẳng cắt nhau
. Lập phương trình mặt phẳng
( P)
.
Hướng dẫn giải:
- Vectơ chỉ phương của
d1
- Vec tơ pháp tuyến của
là
( P)
:
ur
u1 = ( 1;3; − 1)
r ur uu
r
n = u1 ∧ u2
r 3 − 1 −1
1 1 3
n=
;
;
÷ = ( 10; − 1;7 )
1 3 3 − 2 −2 1
- Chọn điểm
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d 2
M 0 ( 1;2;3) ∈ d1
, của
d2
là
uu
r
u2 = ( −2;1;3)
.
.
.
15
- Phương trình mặt phẳng
( P)
là :
10 ( x − 1) − 1( y − 2 ) + 7 ( z − 3) = 0
⇔ 10 x − y + 7 z − 29 = 0
.
( P)
Dạng 6: Lập phương trình mặt phẳng
chứa đường
d1
d2
thẳng
và song song với đường thẳng
.
Phương pháp (tương tự dạng 7):
ur
uu
r
u1
d1 u2
d2
- Tìm vectơ chỉ phương
của ,
của .
r ur uu
r
( P ) n = u1 ∧ u2
- Vectơ pháp tuyến của
:
.
- Chọn điểm
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1
- Viết pt mặt phẳng
r
n
tuyến .
Bài
d1 :
9:
Trong
( P)
không
x −1 y + 2 z −1
=
=
1
3
2
.
đi qua
gian
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Oxyz
x = −1 + t
d2 : y =
2t
z = 3 − 2t
,
cho
và có vectơ pháp
hai
đường
thẳng
( t ∈¡ )
và
. Lập phương trình
d1
d2
( P)
mặt phẳng
chứa
và song song với .
Hướng dẫn giải:
16
d1
- Vectơ chỉ phương của
- Vec tơ pháp tuyến của
r 3
2
2 1 1
n=
;
;
2 − 2 −2 1 1
- Chọn điểm
ur
u1 = ( 1;3;2 )
là
( P)
r ur uu
r
n = u1 ∧ u2
:
3
÷ = ( −10;4; − 1)
2
M 0 ( 1; − 2;1) ∈ d1
- Phương trình mặt phẳng
, của
( P)
là :
Oxyz
( P)
−10 ( x − 1) + 4 ( y + 2 ) − 1( z − 1) = 0
r 4
n=
0
− 1 −1 − 2 −2
;
;
0 0
1 1
MN
( P)
, cho
chứa
Hướng dẫn giải :
- Vec tơ pháp tuyến của
:
là
MN
( P)
.
M ( 7,2, − 3) , N ( 5,6, − 4 )
. Lập
và song song với trục
uuuu
r
MN = ( −2;4; − 1)
Ox
.
, vectơ chỉ phương
r uuuu
r r
n = MN ∧ i
4
÷ = ( 0; − 1; − 4 )
0
- Phương trình mặt phẳng
.
.
Bài 10: Trong không gian
- Vectơ chỉ phương của
r
i = ( 1;0;0 )
Ox
của
là
.
là
uu
r
u2 = ( 1;2; − 2 )
.
⇔ 10 x − 4 y + z − 19 = 0
phương trình mặt phẳng
d2
đi qua
.
M ( 7, 2, − 3 )
0 ( x − 7 ) − 1( y − 2 ) − 4 ( z + 3) = 0 ⇔ y + 4 z + 10 = 0
là:
.
Sai lầm thường gặp: Với bài toán này học sinh yếu kém
Ox
thường không nhớ vectơ chỉ phương của trục
.
17
Cách khắc phục sai lầm : Nhắc lại hệ trục tọa độ bằng
hình ảnh trực quan trên đó có các vectơ đơn vị của các
trục Ox, Oy, Oz.
Bài 11 : Trong không gian
Oxyz
, lập phương trình mặt phẳng
r
a ( 3,1, − 1)
M ( 3,4, − 5 )
( P)
đi qua
, chứa
và song song với phương
r
b ( 1, − 2,1)
.
Hướng dẫn giải :
- Vectơ pháp tuyến của
r 1 − 1 −1
n=
;
−
2
1
1
3 3
;
1 1
( P)
:
r r r
n=a∧b
1
÷ = ( −1; − 4; − 7 )
−2
- Phương trình mặt phẳng
( P)
đi qua
.
M ( 3,4, − 5 )
−1( x − 3) − 4 ( y − 4 ) − 7 ( z + 5 ) = 0 ⇔ x + 4 y + 7 z + 22 = 0
Lưu ý: Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến
:
.
r
n = ( 1;4;7 )
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng
(α)
(β)
vuông góc với 2 mặt phẳng
và
.
( P)
.
đi qua
M
và
18
Phương pháp giải:
ur
n1
uu
r
( α ) n2
- Xác định tọa độ các vectơ pháp tuyến
của
,
r ur uu
r
r
P
n
=
n
∧
n
( )
n
1
2
- Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của
:
.
( P)
- Viết phương trình mặt phẳng
của
(β)
.
.
( P)
Oxyz
Bài 12: Trong không gian
, lập phương trình mặt phẳng
N ( 2, − 1,1)
(α ) : 2 x − z + 1 = 0
đi qua
và vuông góc 2 mặt phẳng
và
( β ) :y = 0
.
Hướng dẫn giải:
- Vectơ pháp tuyến của
(α)
ur
n1 = ( 2;0; − 1)
là
r ur uu
r
( P ) n = n1 ∧ n2
- Vectơ pháp tuyến của
:
r 0
n=
1
− 1 −1
;
0 0
2 2
;
0 0
0
÷ = ( 1;0;2 )
1
- Phương trình mặt phẳng
( P)
, của
( β)
là
uu
r
n2 = ( 0;1;0 )
.
.
đi qua
N ( 2, − 1,1)
1( x − 2 ) + 0 ( y + 1) + 2 ( z − 1) = 0 ⇔ x + 2 z − 4 = 0
:
.
19
Chú ý: Đối với các dạng bài cần tìm tọa độ vec tơ pháp
tuyến bằng cách tính tích có hướng của 2 vectơ ta cần
hướng dẫn cho học sinh cách viết định thức và tính toán
từ định thức. Nếu áp dụng máy móc công thức sgk thì
học sinh sẽ rối, khó nhớ công thức và dễ nhầm khi thay
số vào công thức.
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng
mặt cầu
( S)
tại điểm
( P)
tiếp xúc với
H
Phương pháp:
I
- Xác định tọa độ tâm
- Vectơ pháp tuyến của
- Viết pt
( P)
H
đi qua
của
( P)
là
trình
( P)
( x − 1)
.
r uuu
r
n = IH
.
.
Bài 13: Trong không gian
2
( S)
Oxyz
+ ( y − 3) + ( z + 2 ) = 14
2
, cho mặt cầu
( S)
có phương
2
tiếp xúc với mặt cầu
( S)
.
Lập phương trình mặt phẳng
tại điểm
H ( 2;1;1)
.
Hướng dẫn giải:
- Tọa độ tâm của
( S)
là
- Vectơ pháp tuyến của
- Viết pt
( P)
đi qua
I ( 1;3; − 2 )
( P)
H ( 2;1;1)
là
.
r uuu
r
n = IH = ( 1; − 2;3)
.
:
20
1( x − 2 ) − 2 ( y − 1) + 3 ( z − 1) = 0 ⇔ x − 2 y + 3 z − 3 = 0
.
2.3.3. Giải pháp 3: Hình thành sơ đồ tư duy, hướng dẫn
học sinh tự học ở nhà
Đây là khâu rất quan trọng sau mỗi bài học trên lớp đặc
biệt là lớp có đa số học sinh trung bình, yếu. Sau bài học trên
lớp, tôi hướng dẫn học sinh hình thành sơ đồ tư duy và ra bài
tập tương tự cho học sinh và có hướng dẫn định hướng giải
nhưng chưa có hướng dẫn chi tiết. Học sinh về nhà chỉ cần đọc
lại lí thuyết đã học trên lớp và căn cứ vào định hướng giải để
hoàn thành nhiệm vụ ở nhà. Đối với học sinh trung bình, yếu chỉ
cần các em hoàn thành tốt nhiệm vụ được thầy cô giáo giao về
nhà là thành công lớn của thầy cô.
* Sau bài học giáo viên hướng dẫn HS hình thành sơ đồ
tư duy các dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng.
21
* Ra bài tập tương tự để HS tự học ở nhà:
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
( P ) : x − 2 y + 3z + 2019 = 0
nào dưới đây thuộc
Q ( 1; − 3; − 2 )
A.
.
N ( 2;1; − 3)
C.
.
( P)
Oxyz
( P)
tuyến
A.
C.
2x − y = 0
D.
r
n = ( −2;3;2019 )
r
n = ( 1; −2;3)
.
.
( P ) : x − 3 y + 2 z − 14 = 0
?
D.
M ( 3; − 1;4 )
P ( 2;3; − 3)
A ( 2; − 1; 0 )
. Điểm
.
.
và có vectơ pháp
là:
.
B.
.
Câu 4: Trong không gian
D.
Oxyz ,
x + 3 y − 3 z − 6 = 0.
x + 2 y + 3z + 4 = 0
MN
B.
D.
.
x − 2 y + 3z − 4 = 0
tại điểm
.
M ( −3;1;2 )
Cho hai điểm
mặt phẳng vuông góc với
trình là
4 x + 2 y − 5 z + 20 = 0.
A.
C.
B.
B.
x + 2 y + 3z = 0
N ( 1;3; −3) ,
?
, cho mặt phẳng
Câu 3: Phương trình mặt phẳng qua
r
n = (1;2;3)
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào dưới đây không phải là một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
n = ( −1;2; −3)
A.
.
r
n = ( −2;4; −6 )
C.
.
Câu 2 : Trong không gian
Oxyz
M
và
có phương
4 x + 2 y − 5 z − 20 = 0.
x + 3 y − 3 z + 6 = 0.
22
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
,
B ( 1,3,6 )
thẳng
A.
C.
C.
cho hai điểm
. Tìm phương trình mặt phẳng trung trực
AB
( P)
A(3,5, −2)
của đoạn
?
2x − 2 y + 8z + 4 = 0
.
−2 x − 2 y + 8 z − 4 = 0.
4 x − 2 y + 3 z + 11 = 0
D.
.
−4 x + 2 y − 3z + 11 = 0
2x − 2 y + 8z − 4 = 0
B.
Câu 6: Trong không gian
M ( −2;3;1)
đi qua điểm
( Q ) : 4 x − 2 y + 3z − 5 = 0
là
A.
Oxyz
Oxyz
và
−2 x − 2 y + 8 z + 4 = 0.
, phương trình của mặt phẳng
song
B.
.
.
D.
song
với
mặt
4 x − 2 y − 3 z − 11 = 0
4 x + 2 y + 3 z + 11 = 0
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxy
( P)
phẳng
.
.
, cho ba điểm
M ( 1;0;0 ) N ( 0; − 2;0 ) P ( 0;0;3)
( MNP )
,
,
. Phương trình mặt phẳng
là:
x y z
x y z
− + =1
+ − =1
1 2 3
1 2 3
A.
.
B.
.
x y z
x y z
− − =1
+ + =1
1 2 3
1 2 3
C.
.
D.
.
A ( 1; − 1;5 )
B ( 0;0;1)
Oxyz
Câu 8: Trong không gian
, cho 2 điểm
và
.
A, B
( P)
Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và song song với
Oy
trục
?
A.
2x + z − 5 = 0
.
B.
4x + y − z + 1 = 0
.
23
C.
4x − z + 1 = 0
.
D.
y + 4z −1 = 0
.
Oxyz
Câu 9: Trong không gian
, viết phương trình mặt phẳng đi
A ( −4;1; −2 )
qua điểm
và vuông góc với hai mặt phẳng
(α ) : 2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 ( β ) : x + 4 y − 2 z + 3 = 0
,
.
A.
C.
14 x + 9 y − 11z + 43 = 0
14 x − 9 y − 11z + 43 = 0
.
B.
.
D.
14 x − 9 y − 11z − 43 = 0
14 x + 9 y − 11z + 43 = 0
Câu 10 : Trong không gian với hệ tọa độ
( x − 1)
có phương trình
xúc với mặt cầu
A.
( S)
2
tại điểm
.
3 x − 4 y − 11 = 0
C.
.
Bài tập tự luận:
Oxyz
Câu 11: Trong không gian
( P)
trong các trường hợp sau:
a)
đi qua 3 điểm
. Mặt phẳng
( P)
( S)
tiếp
có phương trình là
3 x + 4 y + 3z − 29 = 0
B.
.
3x + 4 y − 20 = 0
D.
.
, lập phương trình mặt phẳng
A ( 1,2, −5 ) , B ( −3,4,6 ) , C ( 2,1,5 )
.
M ( 2, −3,4 ) , N ( −1,5,6 )
đi qua 2 điểm
và song song với
r
a = ( 3, −2,4 )
phương vectơ
.
( P)
O
c)
đi qua gốc tọa độ
và vuông góc 2 mặt phẳng
(α ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0
(β ) : x + 2 y + z = 0
và
.
b)
( P)
.
, cho mặt cầu
2
H ( 4;2;3)
z −3=0
( P)
Oxyz
+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25
2
.
24
( P)
x = −3 + 2t
d1 : y = −2 + 3t
z = 6 + 4t
x = 5 + t′
d 2 : y = −1 − 4t ′
z = 20 + t ′
d)
chứa hai đường thẳng
và
.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong quá trình dạy học bài toán lập phương trình mặt phẳng, tôi thực hiện
theo cách phân dạng và định hướng cách giải cho từng dạng từ dễ đến khó thông
qua các bài toán được chọn lọc. Khi tiến hành các giải pháp này tại lớp 12A4 tôi
nhận thấy:
- Học sinh tỏ ra hứng thú hơn khi giải toán, không còn thấy lúng túng khi
gặp bài toán này .
- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mòn.
- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư duy
giải toán. Các em đã tự giác, tích cực tự học và làm bài ở nhà.
- Đa số các em hiểu bài, nhận dạng dạng toán nhanh, biết
vận dụng giải các bài tập tương tự.
Kết quả đó được thể hiện rõ rệt qua bài kiểm tra đánh giá
sau giờ dạy ở 2 lớp 12 A4 (lớp thực nghiệm) và 12A7 (lớp đối
chứng) (phần phụ lục).
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận
Với sự phát triển của xã hội trong thời đại công nghiệp 4.0,
con người ngày càng phải có nền tảng tri thức về khoa học công
nghệ. Trong đó toán học đóng vai trò vô cùng quan trọng. Học
toán không chỉ là học tri thức mà còn rèn luyện tư duy sáng tạo,
hình thành phẩm chất và năng lực của con người trong thời đại
mới.
Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz là phần kiến
thức luôn xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia trong các
năm gần đây. Việc phân loại bài toán giúp cho học sinh nhìn
nhận vấn đề rõ ràng hơn, học sinh có định hướng nhanh và
đúng đắn hơn khi gặp dạng toán này. Tuy nhiên, trong khuôn
khổ đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến các dạng toán cơ bản về
phương trình mặt phẳng. Các bài tập đưa ra chủ yếu ở mức độ
nhận biết và thông hiểu dành cho học sinh trung bình, yếu kém.
25
