Kinh nghiệm sử dụng véc tơ tính góc trong không gian

MỤC LỤC
Trang
1. PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………….2
1.1. Lý do chọn đề tài…………………….…………………………………...……2
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………..2
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………...…………..2
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………….…………….……………………..3
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………………………3
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm………………………………...…....3
2.2. Thực trạng của vấn đề………………………………………..………………...3
2.2.1. Thực trạng chung………………………………………………………….....3
2.2.2. Thực trạng đối với giáo viên……………………………….………………..3
2.2.3. Thực trạng đối với học sinh……………………………………………….....4
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề………….……....4
2.3.1. Các kiến thức cần nắm vững………………………………………………...4
2.3.2. Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau………………………..................4
2.3.3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.........…………………………….8
2.3.4. Tính góc giữa hai mặt phẳng………………………………………………12
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệm và nhà trường……………………………………………………….16
3. KẾT LUẬN…………………………………………………...……………….17
3.1. Kết luận………………………………………………………………………17
3.2. Kiến nghị đề xuất…………………………………………………………….18

-1-


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Chủ đề xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong chương trình THPT là chủ đề đã có từ

lâu, nhưng để sử dụng véc tơ tính các góc trong không gian là một phần mà
chương trình sách giáo khoa, cũng như các tài liệu tham khảo chưa đề cập tới
nhiều. Vì vậy việc dạy học phần tính góc trong không gian thường có những khó
khăn nhất định. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán liên quan đến tính góc
trong không gian luôn là một dạng toán không dễ. Chẳng hạn các em thường lúng
túng trong việc cách xác định góc tạo bởi hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Khi dùng phương pháp xác định và tính góc
thường các em không xác định được góc và có xác định được cũng lúng túng trong
việc tính toán các yếu tố có liên quan …
Là một giáo viên Toán, tôi thiết nghĩ mình cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết và
kĩ năng về sử dụng véc tơ để tính góc trong không gian và giúp học sinh tránh
những sai lầm khi giải bài toán liên quan.
Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là:
“Kinh nghiệm sử dụng véc tơ tính góc trong không gian”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là xây dựng một hệ thống bài tập về tính góc giữa hai
đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong
Chương III - Hình học lớp 11 nhằm định hướng hình thành và phát triển cho học
sinh những năng lực, kỹ năng sau đây:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán.
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về véc tơ trong Hình học lớp 10 và Hình
học lớp 11 vào giải các bài toán về góc trong không gian.
- Phát triển trí tưởng tượng không gian, kỹ năng biểu thị 1 véc tơ qua 3 véc
tơ không đồng phẳng.
- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
-2-

- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ thống bài tập về tính các góc trong
không gian trong Chương III – Hình học lớp 11 được thiết kế theo định hướng phát
triển các năng lực Toán học của học sinh, qua đó khẳng định sự cần thiết phải xây
dựng hệ thống bài tập này trong giảng dạy phần tính góc trong không gian Hình
học lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
sát thực tế dạy học toán nói chung và dạy học phân môn Hình học không gian ở
trường THPT Nông Cống 4 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc xây dựng
hệ thống bài tập về góc trong không gian sử dụng phương pháp véc tơ trong
Chương III - Hình học không gian lớp 11 trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Trên cơ sở tài liệu phân
phối chương trình môn học, chuẩn kiến thức – kỹ năng, sách giáo khoa Hình học
11 – Nâng cao và tài liệu về Dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh
để xây dựng hệ thống bài tập theo mục đích đã đặt ra.

2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Một trong những phương pháp sử dụng có hiệu quả là phương pháp véc tơ.
Phương pháp này xuyên suốt chương trình THPT, vì phương pháp này đơn giản và
phù hợp với tư duy của học sinh. Trên thực tế đa số học sinh rất ngại giải các bài
toán có liên quan đến tính góc trong không gian.
2.2. Thực trạng của vấn đề.
2.2.1. Thực trạng chung.
Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là: Coi trọng
thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trình tinh giảm,
giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản và thiết thực, tích
hợp được nhiều mặt giáo dục. Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứng cần
truyền thụ cho học sinh trong chương trình phổ thông là hoàn toàn mới.

2.2.2. Thục trạng đối với giáo viên.

-3-


Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này, bởi vì
để tính được góc giữa hai đường thẳng chéo nhau, góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng, góc giữa hai mặt phẳng thường phải thực hiện theo hai bước: Dựng góc cần
tính và tính số đo góc vừa dựng được. Tuy nhiên, có một số bài toán sẽ gặp khó
khăn trong bước dựng hoặc dựng được nhưng tính góc đó lại phức tạp.
2.2.3. Thực trạng đối với học sinh.
Hình học không gian và đặc biệt là chủ đề Góc trong không gian là một nội
dung kiến thức hay, qua việc giải các bài tập có thể hình thành và phát triển ở
người học năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề … Tuy nhiên với rất nhiều
các em học sinh thì đây lại là chủ đề mà các em thấy khó khăn, kém hứng thú khi
học tập, giải quyết các vấn đề của bài toán. Nhưng khi sử dụng phương pháp véc tơ
các em có sự hứng thú khi gặp dạng toán này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các kiến thức cần nắm vững.

r
r
Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ: Cho hai vectơ a và b khác
r
r
r
rr
vectơ 0 . Tích vô hướng của a và b là một số được ký hiệu là a.b , được xác định
rr r r
r r

bởi công thức sau: a.b = a . b cos a, b

( )

r
r
Hai véc tơ vuông góc với nhau: Cho véc tơ a và b vuông góc với nhau thì

rr
a.b = 0 .

r
Bình phương vô hướng của véc tơ: a

( )

2

r2
=a .

r r
Biểu diễn véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng: Nếu ba véc tơ a, b và
r
r
không
đồng
phẳng
thì
với

mỗi
véc
tơ
c
u , ta luôn tìm được các số x, y, z sao cho
r
r
r r
u = xa + yb + zc . Hơn nữa, các số x, y, z là duy nhất.
2.3.2. Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

uuu
r uuur
AB.CD
r uuur
- Nếu α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD thì cos α = uuu
AB . CD

Ví dụ 1.1. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên
-4-


bằng a 2 . Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và SC .
Lời giải
Phân tích: - Đối với phương pháp này quan trọng

S

nhất chúng ta cần chọn ra được hệ 3 véc tơ cơ sở
không đồng phẳng sao cho tích vô hướng của các

B

C

cặp véc tơ đó, cũng như độ dài các véc tơ đơn giản
nhất. Thông thường ta chọn bộ 3 véc tơ cơ sở đôi
một vuông góc với nhau.

uuu
r uuu
r uuur
- Trong bài này ta nhận thấy các véc tơ SO, AB, AD
đôi một vuông góc với nhau. Vì vậy ta chọn 3 véc tơ
này làm 3 véc tơ cơ sở.
- Sau khi đã chọn được hệ véc tơ cơ sở ta biểu diễn
uuu
r uur
các véc tơ AB, SC qua 3 véc tơ đó.
uuu
r uur
- Tính độ dài các véc tơ AB, SC bằng cách bình
uuu
r uur
phương vô hướng các véc tơ AB, SC .
uuu
r uur
- Tính tích vô hướng AB.SC sau đó sử dụng công
uuu
r uur

AB.SC
uuu
r uur
r uur
thức cos ( AB, SC ) = cos AB, SC = uuu
AB . SC

(

)

Lời giải chi tiết
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO =

a 3
2

Chọn hệ véc tơ cơ sở
uuu
r r uuu
r u
r uuur r
Đặt SO = x, AB = y, AD = z
uur uuu
r 1 uuu
r 1 uuur r 1 u
r 1r
Ta có SC = SO + BC + DC = x + y + z
2
2

2
2
uur 2  r 1 u
r 1 r  2 5a
uur a 5
⇒ SC =  x + y + z ÷ =
⇔ SC =
2
2 
4
2

uuu
r uur u
rr 1 u
r 1 r 1 u
r 2 a2
⇒ AB.SC = y  x + y + z ÷ = y =
2
2  2
2


( )

-5-

O

A

D


Mặt khác ta lại có

uuu
r uur
AB.SC
uuu
r uur
cos ( AB, SC ) = cos AB, SC = uuu
r uur
AB . SC

(

)

a2
1
= 2 =
a 5
5
.a
2
Nhận xét:
Khi sử dụng công cụ véc tơ tính góc giữa hai đường thẳng tôi nhận thấy
một số hiệu quả rõ rệt như sau:
Thứ nhất, các tiết dạy HHKG phong phú và đa dạng hơn nhiều, học sinh có

hứng thú hơn trong quá trình học tập bộ môn HHKG.
Thứ hai, học sinh có cơ hội phát triển một số năng lực cần thiết trong môn
Toán ở cấp THPT như: Năng lực tính toán, Kỹ năng vận dụng linh hoạt các tính
chất của véc tơ trong không gian cũng như việc biểu thị một véc tơ qua 3 véc tơ
không đồng phẳng.
Ví dụ 1.2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB = a , Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a . Gọi M là trung điểm của
BC và G là trọng tâm tam giác SAC . Gọi α là góc giữa AM và BG , khẳng định
nào sau đây đúng ?
2 30
30
.
C. cos α =
.
10
15
Lời giải
Phân tích: - Cần chọn ra hệ 3 véc tơ cơ sở. Ta thấy S
uur uuu
r uuu
r
bộ 3 véc tơ BA, BC , AS đôi một vuông góc với
A. cos α =

30
.
10

B. cos α =

D. cos α =

2 30
.
15

G

nhau, độ dài các véc tơ này bài toán đã cho.
uuuu
r uuur
- Biểu diễn AM , BG qua hệ 3 véc tơ cơ sở vừa

D

C

A

M

chọn.

uuuu
r uuur
- Tính độ dài các véc tơ AM , BG và tính tích vô
uuuu
r uuur
hướng AM .BG . Sau đó sử dụng công thức
-6-

B


uuuu
r uuur
AM .BG
uuuu
r uuur
⇒ cos ( AM , BG ) = cos AM , BG = uuuu
r uuur
AM . BG

(

)

Lời giải chi tiết

uur r uuur u
r uuu
r r
Chọn hệ véc tơ cơ sở: BA = x, BC = y , AS = z
Ta có:
uuuu
r
r 1u
r
uuuu
r 2 uuuu

r 2  r 1u
r 2
AM = − x + y ⇒ AM = AM =  − x + y ÷
2
2 


(

)

uuuu
r a 5
5a 2
⇒ AM =
4
2
uuur 2 uur 1 uuu
r 1 uuu
r 2r 1u
r 1r
BG = BA + AS + BC = x + y + z
3
3
3
3
3
3

=

uuur 2  2 r 1 u
r 1 r  2 6a 2
uuur a 6
⇒ BG =  x + y + z ÷ =
⇒ BG =
3
3 
9
3
3
Ta có:
uuuu
r uuur  r 1 u
r  2 r 1u
r 1r
1
AM .BG =  − x + y ÷. x + y + z ÷ = − a 2
2  3
3
3 
2

uuuu
r uuur
⇒ cos ( AM , BG ) = cos AM , BG

(

)

uuuu
r uuur
AM .BG
30
= uuuu
r uuur =
10
AM . BG
Vậy: cos α =

30
10

Một số bài tập tương tự
Bài 1.1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B 'C ' có tất cả các cạnh đều
bằng a . Tính Côsin góc giữa hai đường thẳng AB ' và BC ' .
Bài 1.2. Cho hình lăng trụ ABC. A' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của
đỉnh A' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của BC . Tính côsin của góc giữa
hai đường thẳng AA' và B 'C ' .
-7-


Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
SA = a , SB = a 3 và ( SAB ) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC. Tính côsin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN.
2.3.3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là góc giữa hai đường thẳng d
và d ' ( d ' là hình chiếu của d lên mặt phẳng ( P ) ).

Tuy nhiên một số bài toán gặp khó khăn trong việc dựng d ' . Nếu gặp tình
rr
a.b
huống này ta sử dụng phương pháp véc tơ hoàn toàn đơn giản, ta tính cos α = r r
ab
r
r
với a là véc tơ có giá song song hoặc trùng với d , b có giá vuông góc với ( P ) .
Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là góc β = 900 − α .
Ví dụ 2.1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a, SA = a và SA vuông góc với đáy ( ABCD ) . Tính góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng ( SBD) .
Lời giải
Phân tích: - Cần chọn ra hệ véc tơ cơ sở. Ta thấy
uur uuu
r uuur
bộ 3 véc tơ SA, AB, AD đôi một vuông góc với
nhau và độ dài các véc tơ này đầu bài đã cho.
uur
- Biểu diễn véc tơ SC qua 3 véc tơ cơ sở vừa chọn,
uur
tính độ dài véc tơ SC
r
- Gọi n véc tơ bất kỳ có phương vuông góc với mặt
r
phẳng ( SBD) , giả sử n biểu diễn được qua các véc
tơ cơ sở, sau đó sử dụng tích vô hướng của véc tơ
r
n với 2 véc tơ có thể biểu diễn qua các véc tơ cơ sở
r

để chọn ra véc tơ n cụ thể.

-8-

S

A

B

D

C


r uur
n.SC
- Sử dụng công thức cos α = r uur
n SC
- Gọi β là góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng ( SBD)
⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α

Lời giải chi tiết

uur r uuu
r r uuur r
Chọn hệ véc tơ cơ sở: SA = a, AB = b, AD = c
uur uur uuu
r uuur r r r

Ta có SC = SA + AB + AD = a + b + c
uur 2 uur 2 r r r 2
uur
2
⇒ SC = SC = a + b + c = 3a ⇔ SC = a 3

( ) (

)

r
Gọi n là véc tơ có phương vuông góc với mặt
r
r
r r
(
SBD
)
phẳng
. Đặt n = xa + yb + zc
r
r r r r
r uuu
r
 xa + yb + zc a + b = 0
n.SB = 0

⇔ r
Ta có  r uuur
r r r r

n.SD = 0  xa + yb + zc a + c = 0


(
(

)(
)(

)
)

 y = −x
⇔
z = −x

r
r r r
Chọn x = −1 ⇒ y = z = 1 ⇒ n = − a + b + c
r2 r
⇒n = n

r r r
= −a + b + c

r
= 3a 2 ⇔ n = a 3

( ) (
)

r uur
r r r r r r
Ta có: n.SC = ( −a + b + c ) ( a + b + c ) = a
2

2

2

r uur
n.SC
a2
1
=
Do đó cos α = r uur =
n SC a 3.a 3 3
Gọi β là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
( SBD)
⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α =

1
3

Ví dụ 2.2. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
-9-


bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, BC . Góc giữa đường thẳng
MN và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 . Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt
phẳng ( SBD )

Lời giải
Phân tích: - Cần chọn ra hệ véc tơ cơ sở. Ta thấy
uuu
r uuu
r uuur
bộ 3 véc tơ OS , AB, AD đôi một vuông góc với

S

M

nhau và độ dài các véc tơ này đầu bài đã cho.
uuur
- Biểu diễn véc tơ MN qua 3 véc tơ cơ sở vừa
uuur
chọn, tính độ dài véc tơ MN .
r
- Gọi n véc tơ bất kỳ có phương vuông góc với mặt
r
phẳng ( SBD) , giả sử n biểu diễn được qua các véc
tơ cơ sở, sau đó sử dụng tích vô hướng của véc tơ
r
n với 2 véc tơ có thể biểu diễn qua các véc tơ cơ sở
r
r
để chọn ra véc tơ n cụ thể. Tính độ dài véc tơ n
r uuur
n.MN
- Sử dụng công thức cos α = r uuur
n MN

- Gọi β là góc giữa đường thẳng MN và mặt
phẳng ( SBD)
⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α
Lời giải chi tiết
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
Giã sử SO = m

uuu
r r uuu
r r uuur r
Chọn hệ véc tơ cơ sở OS = a, AB = b, AD = c
Ta có
uuur uuur uuur uuur 1 uur uuu
r uuur 1 uuur
MN = MA + AC + CM = SA + AB + AD − AD
2
2
r uuur uuu
r uuur 1 uuur
1 uuu
= SO − AO + AB + AD − AD
2
2

(

)

- 10 -

A
B

O

N

D
C


r 1 uuu
r uuur uuu
r uuur 1 uuur
1 uuu
= − OS − AB + AD + AB + AD − AD
2
4
2

(

)

r 3 uuu
r 1 uuur
1 uuu
1r 3r 1r
= − OS + AB + AD = − a + b + c
2

4
4
2
4
4
uuur
1 2 9 2 1 2
1 2 5 2
MN =
m + a + a =
m + a
4
16
16
4
8
uuur uuu
r
MN .OS
3
cos ϕ = uuur uuu
⇔
r =
2
MN . OS

⇔ SO = m =

1 2
m

2
1 2 5 2
m + a
4
8

=

3
2

a 30
a 10
, MN =
2
2

r
Gọi n có phương vuông góc với mặt phẳng ( SBD )
r
r
r r
Đặt n = xa + yb + zc
uur
r 1 r 1 r uuur
r r
Ta có SB = − a + b − c, BD = −b + c
2
2


r uur
n.SB = 0

⇒  r uuu
⇔
r
n.BD = 0 


(
(

r
r r  r 1 r 1 r
xa + yb + zc  −a + b − c ÷ = 0
2
2 

r
r r r r
xa + yb + zc −b + c = 0

)
)(

)

r r r
x = 0
⇔

Chọn y = z = 1 ⇒ n = b + c
y = z
uuur r
MN .n
a2
1
cos β = uuur r =
=
5
MN . n a 10
a 2
2
Suy ra góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng

( SBD )

là γ = 900 − β

sin γ = sin ( 900 − β ) = cos β =

1
5
- 11 -


Bài tập tương tự.
Bài 2.1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có
AB = BC = a ; SA ⊥ ( ABC ) . Biết mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy một góc 60° . Tính
côsin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) .
Bài 2.2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B

có AB = a 3 , BC = a . Biết A ' C = 3a . Tính côsin góc tạo bởi đường thẳng A'B và
mặt đáy ( ABC ) .
Bài 2.3. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có
AB = AC = 4a, góc BAC = 120° Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm
của AB, ∆SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết
SA = a 2 . Tính góc giữa SN và mặt phẳng ( ABC ) .
2.3.4. Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ ,
thông thường ta dựng mặt phẳng thứ ba (R) ⊥ ∆ . Nếu việc dựng (R) khó khăn,
chúng ta dùng trực tiếp định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng:
- Dựng hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ( P )
và (Q) .
- Dùng véc tơ tính góc giữa hai đường thẳng a và b . Đó cũng chính là góc
giữa hai mặt phẳng ( P ) và (Q) .
Ví dụ 3.1. Cho hình chóp S . ABC đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 3 . Mặt phẳng ( α ) song song với các đường thẳng
SB và AC , mặt phẳng ( β ) song song với các đường thẳng SC và AB . Tính góc
giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Lời giải

- 12 -


Phân tích: - Cần chọn ra hệ véc tơ cơ sở. Ta thấy bộ
uuu
r uuu
r uuur
3 véc tơ AS , AB, AC đôi một vuông góc với nhau và
độ dài các véc tơ này đầu bài đã cho.
r ur

- Gọi n, m bất kỳ có phương lần lượt vuông góc với
r ur
mặt phẳng (α ) và ( β ) , giả sử n, m biểu diễn được
qua các véc tơ cơ sở, sau đó sử dụng tích vô hướng
r ur
của véc tơ n, m với 2 véc tơ tương ứng thuộc mặt
phẳng ( α ) và ( β ) có thể biểu diễn qua các véc tơ
r ur
cơ sở để chọn ra véc tơ n, m cụ thể. Tính độ dài véc
r ur
tơ n, m
ur r
m.n
- Sử dụng công thức cos ϕ = ur r
m.n
Lời giải chi tiết

uuu
r r uuu
r r uuur r
Chọn hệ véc tơ cơ sở AS = a, AB = b, AC = c
ur r
r
Gọi m, n là các véc tơ bất kỳ khác 0 , tương ứng có
phương vuông góc với hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) , ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) . Khi đó ta có
ur r
m.n
cos ϕ = ur r .
m.n

ur
r
r r
Đặt m = xa + yb + zc .
ur
Ta có m có phương vuông góc với ( α )
r r r
r r
uur ur
 b − c xa + yb + zc = 0
 SB.m = 0

⇔  uuur ur
⇔ r r
r r
 AC.m = 0 c xa + yb + zc = 0


(

(

)(

)

)

- 13 -

S

C

A

B


 y = −2 z
6 x − 2 y − z = 0 
⇔
⇔
1
y
+
2
z
=
0

 x = − 2 z
ur r
r r
Chọn z = −1 ⇒ x = 1, y = 4 ⇒ m = a + 4b − 2c
r r
r r
Tương tự ta có n = ta + ub + vc có phương vuông
góc với ( β )
uur r

1

 SC.n = 0
t = − u
⇔  uuu
⇔
rr
2
AB
.
n
=
0

v = −2u

r r
r
r
Chọn u = −2 ⇒ v = 4, t = 1 ⇒ n = a − 2b + 4c
ur r
m.n 1
Khi đó cos ϕ = ur r =
m.n 5
Ví dụ 3.2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với
BA = BC = a, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và

( SAC ) .
Lời giải
Phân tích: - Cần chọn ra hệ véc tơ cơ sở. Ta thấy bộ

uuu
r uur uuu
r
3 véc tơ AS , BA, BC đôi một vuông góc với nhau và
độ dài các véc tơ này đầu bài đã cho.
r ur
- Gọi n, m bất kỳ có phương lần lượt vuông góc với
r ur
SBC
SAC
(
)
(
)
mặt phẳng
và
, giả sử n, m biểu diễn

S

C

A

B

được qua các véc tơ cơ sở, sau đó sử dụng tích vô
r ur
hướng của véc tơ n, m với 2 véc tơ tương ứng thuộc
mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC ) có thể biểu diễn qua

r ur
các véc tơ cơ sở để chọn ra véc tơ n, m cụ thể. Tính
r ur
độ dài véc tơ n, m

- 14 -


ur r
m.n
- Sử dụng công thức cos ϕ = ur r
m.n
Lời giải chi tiết

uuu
r r uur r uuu
r r
Chọn hệ véc tơ cơ sở AS = a, BA = b, BC = c
ur r
Gọi m, n lần lượt là hai véc tơ có phương vuông góc
với mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC )
ur
r
r r
Đặt m = xa + yb + zc khi đó ta có
r r r
r r
uur ur

−

a
−
b
xa
+
yb
+ zc = 0
 SB.m = 0

⇔  uuu
⇔ r r
r ur
r r
 BC.m = 0 c xa + yb + zc = 0


(

)(

(

)

)

− xa 2 − ya 2 = 0  y = − x
⇔ 2
⇔
 za = 0

z = 0
ur r r
ur
x
=
1
⇒
y
=
−
1
⇒
m
=
a
−
b
⇒
m
Chọn

r r
= a −b

( ) (
2

)

2

ur 2
ur
⇔ m = 2a 2 ⇒ m = a 2
r
r
r r
Tương tự n = ua + vb + tc
r r
r r
uur r

−
a
xa
+
yb
+ zc = 0
 SA.n = 0

⇔  uuur r
⇔ r r r
r r
 AC.n = 0  −b + c xa + yb + zc = 0


(

(

)(

)

)

− xa 2 = 0
x = 0
⇔
⇔

2
2
− ya + za = 0  y = z
r r r
r
Chọn y = 1 ⇒ z = 1 ⇒ n = b + c ⇒ n

r r
= b+c

( ) (
2

)

2

r2
r

⇔ n = 2a 2 ⇒ n = a 2
ur r
m.n
1
cos ϕ = ur r = ⇒ ϕ = 600
m.n 2
Nhận xét: - Qua thực tế nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy rằng, nếu chỉ dừng lại
ở việc giải quyết các câu hỏi và bài tập trong SGK theo phương pháp truyền thông
- 15 -


mà không mở rộng thêm bài tập cũng như các phương pháp giải quyết các câu hỏi
và bài tập thì tiết học sẽ rất tẻ nhạt và không gây được hứng thú học tập cho học
sinh, nhất là học sinh các lớp thuộc Ban KHTN.
- Thực tế cho thấy, với việc giải quyết các bài tập tính góc bằng công cụ véc tơ,
các tiết học HHKG đã diễn ra sôi nổi ngay từ các tiết học đầu tiên; học sinh không
những có cơ hội phát triển năng lực tính toán của bản thân mà còn có cơ hội ôn
tập lại các kiến thức về véc tơ; những học sinh khá giỏi có cơ hội đề xuất nhiều
phương án giải quyết khác nhau cho 1 bài toán.
Bài tập tương tự
Bài 3.1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và D, SA = a 2 và SA ⊥ ( ABCD ) , AB = 2a, AD = DC = a . Tính góc giữa các cặp
mặt phẳng sau ( SAB ) và ( SBC ) ; ( SCD ) và ( SBC ) .
Bài 3.2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và
7
A ' A = A ' B = A 'C = a
. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ( ABB ' A ') và
12
( ABC )
Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 . Tính côsin của góc giữa 2 mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Việc thiết kế các bài tập giải bằng phương pháp véc tơ như trên trong quá
trình dạy học đã được tôi thực hiện trong nhiều năm giảng dạy môn Toán ở các lớp
học theo Chương trình Nâng cao tại trường THPT Nông Cống 4. Qua thực tế giảng
dạy tôi thấy rằng sử dụng công cụ véc tơ vào giải các bài toán tính Góc trong
không gian đã góp phần nâng cao đáng kể chất lượng giảng dạy môn Toán nói
chung cũng như phân môn Hình học không gian của bản thân, góp phần chung vào
việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường, đặc biết là đã rèn
luyện cho học sinh lớp 11 kỹ năng sử dụng công cụ véc tơ vào tính toán các đại
lượng hình học, kỹ năng biểu thị một véc qua 3 véc tơ không đồng phẳng, kỹ năng
biểu diễn hình học không gian ngay từ khi mới tiếp cận bộ môn này.

- 16 -


Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, tôi chỉ trình bày cách làm cho nội
dung tính góc trong không gian của Chương III – Hình học lớp 11. Trong thực tế
giảng dạy môn Toán, tôi còn thực hiện cách làm như trên trong nhiều chuyên đề
khác nhau của môn Toán (như các dạng Toán về chứng minh quan hệ song song,
quan hệ vuông góc, tính khoảng cách, kể cả trong Đại số, Giải tích) Với việc thiết
kế các bài tập luôn tập trung vào phát triển năng lực tư duy toán học và hình thành
các kỹ năng cơ bản trong giải toán cho học sinh.
Để đánh giá sự tiến bộ về chuyên đề mà tôi đã nghiên cứu của học sinh các
lớp tôi đã dạy của trường THPT Nông Cống 4, tôi xin đưa ra bảng thống kê dựa
trên các tiêu chí là kết quả kiểm tra tại lớp, kết quả thi HSG Toán cấp tỉnh và thi
ĐH môn Toán giai đoạn 2012 đến 2019.
Lớp
11B6

11B1
11B1

Năm học
2012-2013
2015-2016
2018-2019

Chưa hướng dẫn
20/45 (36,4%)
22/44 (91%)
19/43 (53,1%)

Đã hướng dẫn
40/45 (76,4%)
43/44 (64,4%)
40/43 (83%)

3. KẾT LUẬN.
3.1. Kết luận.
Dạy học là một nghệ thuật mà ở đó người thầy vừa đóng vai trò là đạo diễn,
vừa đóng vai trò là diễn viên. Trong điều kiện hiện nay, khi nền giáo dục nước nhà
đang dần chuyển mình cho những thay đổi, những cải cách nhằm bắt với các nền
giáo dục tiên tiến trên thế giới và đáp ứng được yêu cầu của hội nhập, thì vai trò
của người thầy trở nên quan trọng hơn bao giờ hết. Muốn thay đổi giáo dục thì
trước hết phải thay đổi từ tư duy dạy học của người thầy; phải thoát khỏi tính
khuôn mẫu, hình thức trong tư duy dạy học vốn đã cố hữu lâu nay. Phải linh hoạt
và sáng tạo trong việc thiết kế giáo án dạy học, cũng như phải tìm tòi, nghiên cứu
ra các phương án giải quyết một bài toán sao cho đơn giãn và phù hợp yêu cầu
thực tế. Người thầy phải là người tổ chức, điều khiển các hoạt động để học sinh

phát hiện ra tri thức và nắm bắt được tri thức trên cơ sở đó phát triển năng lực tư
duy, khả năng phân tích, nhìn nhận vấn đề; kích thích sự đam mê và sáng tạo trong

- 17 -


học tập của học sinh. Làm được như vậy mới hoàn thành nhiệm vụ của người thầy
và đó cũng là một hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay.
3.2. Kiến nghị đề xuất.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã thực hiện với học sinh lớp 11
trường THPT Nông Cống 4 trong những năm học vừa qua. Rất mong được xem
xét, mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có
thêm nhiều công cụ giải quyết một vấn đề, qua đó các em tự tin và hứng thú hơn
khi học môn toán nói chung và môn Hình học không gian nói riêng./.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 06 tháng 7 năm 2020

ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Đình Dũng

- 18 -