Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về thể tích khối đa diện

MỤC LỤC
Nội dung
1- PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2- PHẦN NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Hệ thống kiến thức trọng tâm cơ bản
2.3.2 Phân loại một số dạng bài tập tính thể tích khối đa diện
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3- PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN được xếp loại cấp tỉnh

1.

Trang
2
2
2
2
2
3
3

3
3
3
9
17
17
17
18
18
18

PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi nhận thấy học
sinh lớp 11,12 rất e ngại học phần hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu
tượng, thiếu tính thực tế. Do vậy mà có rất nhiều học sinh học yếu phần này. Trên
thực tế, hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng vì nó không
chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian mà còn
rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận,
chính xác, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh….Thêm vào đó

1

1


hình học không gian còn là một phần rất quan trọng trong nội dung thi THPTQG
của Bộ giáo dục, nếu học sinh không nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng,
khó khăn khi làm bài về phần này trong đề thi.

Qua quá trình công tác, giảng dạy nhiều năm tôi đã đúc kết được một số kinh
nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng
giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội
dung kiến thức khó nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng
của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền
đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh đó cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó
khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy
nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các
phương pháp thành một chuyên đề: “Phân loại và phương pháp giải một số bài
toán về thể tích khối đa diện ” .
1.2 Mục đích nghiên cứu
Qua chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 12 thêm
một số kỹ năng cơ bản, phương pháp tính của một số dạng bài toán liên quan đến
thể tích khối đa diện. Học sinh thông hiểu, vận dụng và trình bày bài toán đúng
trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi giải toán.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 12 qua các năm giảng dạy
từ trước đến nay và hiện nay của tôi tại trường THPT yên định 2.
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài, nghiên cứu cấu trúc nội
dung chương trình SGK Hình học 12, sách bài tập, sách tham khảo,…. Nghiên cứu
khả năng tiếp thu của học sinh để có cách trình bày thật dễ hiểu, phù hợp với từng
đối tượng học sinh.

2.

PHẦN NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Khi giải một bài toán về tính thể tích khối đa diện ngoài yêu cầu đọc kỹ đề
bài, phân tích giả thiết, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như:
Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? Hình vẽ thể hiện
hết các yêu cầu của đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ
đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như

2

2


thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết
được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững
hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: Các bài toán
về quan hệ song song, quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc, cách tính thể tích....
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Tôi yêu cầu học sinh thực hiện bài tập:
SA = 2a, AB = a
Bài toán: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên cạnh SC.
a, Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH).
b, Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12A2 ( sĩ số 41)
Làm đúng
Làm sai
Câu 1
18
17

Câu 2
11
15

Số h/s không có lời lời giải
6
15

Như vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả đạt được là rất thấp; sau
khi nêu lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra
hứng thú.
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
2.3.1 Hệ thống kiến thức trọng tâm cơ bản

đề.

A. Kiến thức hình học phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
∆ΑΒC
Cho
vuông ở A ta có:

3

3


BC2 = AB2 + AC2

1.1. Định lý Pitago:

BA 2 = BH.BC; CA 2 = CH.CB
1.2.
AB.AC = BC.AH
1.3.
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB AC2
1.4.
BC = 2AM
1.5.
b
c
b
c
sinB = ,cosB = ,tanB = ,cotB =
a
a
c
b
1.6.
b = a.sinB = a.cosC, c = a.sinC = a.sinB,
1.7.
b
b

a=
=
sinB cosC b = c.tanB = c.cotC
;
.
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA
2.1. Định lí hàm số côsin:
a
b
c
=
=
= 2R
sinA sinB sinC
2.2. Định lí hàm số sin:
3. Các công thức tính diện tích
3.1. Công thức tính diện tích tam giác
1
1
abc
S = a.ha = a.b.sinC =
= p.r = p( p − a) ( p − b) ( p − c)
2
2
4r

3.2. Diện tích hình vuông:

S = a2

3.3. Diện tích hình chữ nhật:
3.4. Diện tích hình thoi:

S=

A

b

c

B

H

a

M

C

, p là nửa chu vi

(a chiều dài một cạnh
a.b (a, b là chiều dài, chiều rộng)

1
S = a.b ( trong ®
ã a,b lµ ®é dµi 2 ®êng chÐo)

2
S = a.h (h lµ chiÒu cao øng ví i c¹nh a)

3.5. Diện tích hình bình hành:
S = π.R2
3.6. Diện tích hình tròn:

4

4


Chú ý:
Cần nắm chắc tính chất của tam giác vuông, cân, đều, 4 điểm đặc biệt trong
tam giác ( trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác). Trong tam
giác đều thì 4 điểm đó trùng nhau.
Tính chất của hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình
thang…
B. Quan hệ song song
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng
a// ( P) ⇔ a ∩ ( P) = ∅
1.1. Định nghĩa:
d ⊄ ( P)

d//a ⇒ d// ( P)
a ⊂ P
( )

1.2. Cách chứng minh đt song song mp:
1.3. Tính chất: (Ứng dụng vào bài toán xác định giao tuyến hoặc chứng minh

hai đường thẳng song song trong không gian)
a// ( P)
( P) //a


⇒ d//a
⇒ d//a
a ⊂ ( Q )
( Q) //a


P
∩
Q
=
d
(
)
(
)

( P) ∩ ( Q) = d
Định lí 1:
; Định lí 2:
2. Hai mặt phẳng song song
( P) // ( Q) ⇔ ( P) ∩ ( Q) = ∅
2.1. Định nghĩa:
a,b ⊂ ( P)

⇒ ( P) // ( Q)

a ∩ b = I
a// Q ,b// Q
( )
 ( )
2.2. Cách chứng minh hai mp song song:
2.3. Tính chất
( P) // ( Q)

( P ) // ( Q)
( R ) ∩ ( P) = a ⇒ a//b
⇒
a//
Q
(
)


a ⊂ ( P)
( R ) ∩ ( Q) = b
T/c 1:
; T/c 2:
C. Quan hệ vuông góc
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

5

5


1.1. Định nghĩa:

a ⊥ ( P) ⇔ a ⊥ c,∀c ⊂ ( P)

d ⊥ a,d ⊥ b

a,b ⊂ ( P )  ⇒ d ⊥ ( P )

a ∩ b = { I} 

1.2. Cách chứng minh đt vuông góc với mp:
1.3. Định lí 3 đường vuông góc:
a ⊥ ( P) ,b ⊂ ( P ) a'
Cho
, là hình chiếu của a trên (P)
b ⊥ a ⇔ b ⊥ a'
Khi đó:
2. Hai mặt phẳng vuông góc
( P) ⊥ ( Q) ⇔ (·( P) ,( Q) ) = 900
2.1. Định nghĩa:

a ⊥ ( P)
⇒ ( Q) ⊥ ( P )

a
⊂
Q
( )


2.2. Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

2.3. Tính chất
( P) ⊥ ( Q) 
( P ) ⊥ ( Q) 


A ∈ ( P)
( P) ∩ ( Q) = d ⇒ a ⊥ ( Q)
 ⇒ a ⊂ ( P)


a ⊂ ( P) ,a ⊥ d
A ∈ a ⊥ ( Q) 
T/c 1:
; T/c 2:
( P) ∩ ( Q) = a

( P) ⊥ ( R )  ⇒ a ⊥ ( R )
( Q) ⊥ ( R ) 
T/c 3:
3. Khoảng cách
3.1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
d( O;( P ) ) = OH, OH ⊥ ( P ) t¹i H
•
•

Nếu

( P) // ( Q) ⇒ d( ( P) ;( Q) ) = d( A;( Q) )

6

(với

A ∈ ( P)

)

6


a// ( P) ⇒ d( a;( P) ) = d( A;( P) )

A ∈a
Nếu
(với
)
3.2. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
d( O;∆ ) = OH;OH ⊥ a
•
tại H.
∆1 // ∆ 2 ⇒ d( ∆1;∆ 2 ) = d( O;∆ 2 )
O∈ ∆1
• Nếu
(với
)
3.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a⊥ b
Trường hợp 1: Nếu
b

( α)
a
- Dựng mặt phẳng
chứa a vuông góc với b
B
A
BA ⊥ a
α
tại B. Dựng
tại A
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
a⊥ b
Trường hợp 2: Nếu
; a và b chéo nhau
Cách 1:
M b
B
MM ' ⊥ ( α )
( α)
- Dựng
chứa a và // b. Chọn M trên b kẻ
a
b'
b' // b
AB// M 'M
A
M'
α
tại M’. Từ M’ dựng
cắt a tại A. Từ A kẻ

cắt b tại B. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2:
( α) ⊥ a
( α)
- Dựng
tại O,
cắt b tại I. Dựng hình chiếu
( α)
( α ) OH ⊥ b'
b'
vuông góc của b trên
. Trong
kẻ
c//a,c ∩ b = { B}
d//OH,d ∩ a = { A}
Từ H, kẻ
. Từ B kẻ
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
•

A

b

B

b'

O

I

n

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa mặt phẳng chứa một trong hai
đường thẳng đó và song song với đường thẳng còn lại.

a

b

H

A

A'

α

7

7


Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.

a

A

α
b

A'

β

Cách 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
là khoảng cách bé nhất so với các khoảng cách giữa hai
điểm bất kì lần lượt thuộc hai đường thẳng ấy (độ dài
đoạn vuông góc chung).

a

A

b

B
N

4. Góc
1. Góc giữa hai đt a và b

a'

b'

là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm
và lần lượt cùng phương với a và b.
2. Góc giữa đt a không vuông góc với mp (P)
a'
là góc giữa a và hình chiếu của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói
900
rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là
.
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng đó.
a
Hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai P
mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một
điểm.

M

a

a'

b

b'

a

a'

P

a

b
Q

P

b
Q

Trên đây là cơ sở lý thuyết cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản để tập
trung vào bài toán chính là thể tích.
D. Thể tích khối chóp, lăng trụ
1. Công thức tính
1
VK .chãp = B.h
3
+)
(B là dt đáy khối chóp; h là chiều cao)
VK .L −trô = B.h
+)
(B là diện tích đáy khối lăng trụ; h là chiều cao)
2. Các dạng toán thường gặp với khối chóp, khối lăng trụ.
2.1. Khối chóp:
a. Khối chóp đều.

8

8


b. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy (hoặc hình chóp có hai mặt bên
cùng vuông góc với đáy).
c. Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy.
2.2. Khối lăng trụ:
a. Khối lăng trụ đều.
b. Khối lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
c. Khối lăng trụ có chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh trùng vào tâm đáy hoặc
trùng vào trung điểm của cạnh đáy.
Chú ý:
Cần phân biệt khối chóp đều với khồi chóp có đáy là đa giác đều; khối lăng
trụ đều và khối lăng trụ có đáy là đa giác đều.
Nắm chắc các tính chất của khối chóp đều và khối lăng trụ đều.
3. Kiến thức liên quan
3.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông, t/c các hình vuông, hình thoi,…
3.2. Tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SB lần lượt lấy các
VS.MNP SM SN SP
=
. .
VS.ABC SA SB SC
điểm M, N, P . Khi đó
3.3. Quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách.
4. Ứng dụng của thể tích
Từ việc biết thể tích ta có thể giải quyết nhiều bài toán khác trong không gian đặc
biệt là tính khoảng cách.

E. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp 1: Tính thể tích trực tiếp sử dụng công thức
Bước 1: Xác định và tính chiều cao.
Bước 2: Xác định và tính diện tích đáy.
Phương pháp 2: Tính thể tích bằng phương pháp phân chia thành tổng, hiệu các
khối cơ bản (đễ tính) hoặc so sánh với thể tích của một khối đã có.
Cụ thể: Ta thường làm như sau:
Phân chia khối cần tính thểt tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản
( khối chóp hoặc khối lăng trụ ) mà các khối này dễ tính hơn.
Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một khối đa diện khác đã biết thể tích).
Chú ý: đối với dạng này thường sử dụng khi:
- Khó xác định hoặc tính chiều cao
- Tính được diện tích đáy nhưng không dễ dàng
- Đối với loại này thường dùng đến tỉ số thể tích
Với mục đích để giúp các em học sinh có khả năng phản xạ tốt trong vệc lựa
chọn phương pháp giải bài toán tính thể tích khối đa diện, sau đay tôi đưa ra các bài
toán lồng ghép cả hai phương pháp trên để các em so sánh và có sự lựa chọn phù
hợp khi giải toán.

9

9


2.3.2 Phân loại một số dạng bài tập tính thể tích khối đa diện.
Dạng 1. Khối chóp đều
Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối B – 2012). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
SA = 2a, AB = a
với
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC.

a, Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH).
b, Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Nhận xét: khi giải bài toán hình không gian thì việc vẽ hình trực quan là rất quan
trọng, để vẽ hình trực quan thì học sinh phải xác định được chân đường cao. Đối
với hình chóp đều thì chân đường cao chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy. Ở bài toán này chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Giải:
a, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
S
O = CM ∩ AN ⇒
AB, BC và
O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (vì
H
⇒ SO ⊥ ( ABC )
2a
ABC là tam giác đều)
(vì SABC là hình chóp đều),
AB ⊂ ( ABC) ⇒ AB ⊥ SO
C
(1)
A
AB ⊥ CM
O
Ta có
(2). Từ (1) và (2)
N
M
a

⇒ AB ⊥ ( SMC ) SC ⊂ ( SMC )
,
B
⇒ SC ⊥ AB
.
AH ⊥ SC ( gt) ⇒ SC ⊥ ( ABH )
Mà
2
a 3
a 33
OA = OC = AN =
SO = SA 2 − OA 2 =
3
3
3
b, Ta có
;
.
7a
SO.MC a 11
a 15
SH = SA 2 − AH2 =
MH =
=
AH = AM 2 + MH2 =
SC
4
4
4
;

;
Cách 1. Tính trực tiếp bằng công thức

10

10


1
11
1 a 11 7a 7a3 11
VS.ABH = .SABH .SH = . MH.AB.SH = .
.a. =
3
32
6 4
4
96

Cách 2. Sử dụng tỉ số thể tích
3
VSABH SH 7
=
= ⇒ VSABH = 7 VS.ABC = 7. 1.SO.SABC = 7a 11
VS.ABC SC 8
8
83
96

.

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
SA = a 2
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, CD.
MN ⊥ SP
a, Chứng minh
.
b, Tìm thể tích tứ diện AMNP
Giải:
a, Vì S.ABCD là hình chóp đều nên
S
CD ⊥ ( SOP )
mà MN//CD nên
MN ⊥ ( SOP ) ⇒ MN ⊥ SP
N
b, Ta có:
MS = MA ⇒ d( A,( MNP) ) = d( S,( MNP) )

M

⇒ VA.MNP = VS.MNP

H

(1)
Theo bài toán cơ bản, ta có:
VS.MNP SM SN 1
=
.
=

VS.ABP SA SB 4

AB = a

, cạnh bên

B

A

C

O

P
D

11
111
⇒ VS.MNP = . .SABP .SO = . . AB.HP.SO
43
432
(O và H tương ứng là tâm của đáy ABCD
và trung điểm của AB)
1
a2 a3 6
2
⇒ VS.MNP = .a.a. a −
=
24

2
48

(2)

11

11


a3 6
V
=
⇒ A.MNP
48

Từ (1) và (2)
(đvtt).
Dạng 2. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy hoặc có hai mặt bên
cùng vuông góc với mặt đáy
·
BAC
= 300
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B,
. Hai
( SAB) ,( SAC)
SA = 2a 3
mặt bên
cùng vuông góc với (ABC).
,

(·SC;( ABC) ) = 600
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC
Chứng minh rằng:
AH ⊥ ( SBC)
VS.ABC
a,
.
b, Tính
.
VABCHK
VH.ABC
c, Tính
d, Tính
.
d( B;( SAC) )
e, Tính
Nhận xét: Đối với bài toán này chân đường cao là điểm A bởi hai mặt phẳng
(SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC) và chúng cắt nhau theo giao tuyến SA do
vậy SA là chiều cao của khối chóp SABC.
Giải:
S

( SAB) ⊥ ( ABC)

K
( SAC) ⊥ ( ABC)
 ⇒ SA ⊥ ( ABC )
( SAB) ∩ ( SAC) = SA 
a, Ta có
H

·
M
·
A
⇒ ( SC,( ABC) ) = SCA
= 600
SA ⊥ ( ABC) ⇒ BC ⊥ SA
C

Có

BC ⊥ AB ∆ABC
(
vuông tại B)
BC ⊥ AH 
⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒
 ⇒ AH ⊥ ( SBC)
mµ SB ⊥ AH 

mà

b,

B

.

1
VS.ABC = SA.S∆ABC
3

12

12


AC = SA.cot600 = 2a 3.
Trong tam giác SAC:

AB = AC.cos300 = 2a
Trong tam giác ABC:

1
= 2a
3

3
=a 3
2

1
1
1
a2 3
BC = AC.sin30 = 2a. = a ⇒ SABC = AB.BC = .a 3.a =
2
2
2
2
0

1
a2 3 3
⇒ VS.ABC = .2a 3.
=a
3
2
VABCKH = VSABC − VSAHK

c, Ta có
.
VS.AHK
Tính
Cách 1. Sử dụng tỉ số thể tích
SH SA
SK SA
∆SAH : ∆SBA ⇒
=
∆SAK : ∆SCA ⇒
=
SA SB
SA SC
Ta có
;
4
VSAHK SH SK
SA
3
3 3
2 3

=
= 2 2 = ⇒V
=
a
⇒
V
=
a
SAHK
ABCKH
VSABC SB SC SB .SC 5
5
5
Vậy:
Cách 2. Tính trực tiếp bằng công thức
1
VSAKH = SK.S∆AHK
SK.SC = SA 2 ⇒ SK = 3a ⇒ AK = a 3
3
∆
Trong SAC:
1
1
1
1
1
5 ⇒ AH = 2a 3
=
+
=

+
=
5
AH2 SA 2 AB2 12a2 3a2 12a2
Trong tam giác AHB:
AH ⊥ ( SBC) ⇒ ∆AHK
Ta có
vuông tại H
a 3
2
3a2
3a3
⇒ HK = AK 2 − AH2 =
⇒ VABCHK = a3
⇒ S∆AHK =
⇒ VSAHK =
5
5
5
5
Với 2 cách ở trên ta đã tính thể tích

VABCHK

13

thông qua thể tích

VSAHK

.

.

13


VABCHK = VCABH + VCKAH

1
1
= CB.SAHB + CK.SAHK
3
3

Nếu tính trực tiếp thì
Việc tính diện tích tam giác AHK giống như cách 2
Trên đây là các cách giải quyết bài toán này. Các em có thể tham khảo để lựa chọn
cách giải phù hợp.
VHABC
d, Tính
BC ⊥ ( SAB) ⇒
Cách 1:
BC là đường cao của hình chóp CAHB

Ta có:

1 1 2a 3
12a2
2

1
1 1
. 3a −
VHABC = BC.SAHB = a. AH.HB = a. .
3 2
5
5
3
3 2
1 1 2a 3 a 3 a3
= a. .
.
=
3 2
5
5 5

Cách 2:

.
1 1 2a 3 a 3 a3
1
.
=
VHABC = AH.SHBC = = a. .
3 2
5
5 5
3
VH.ABC

VS.ABC

a 3
BH
1
1
1 3
=
= 5 = ⇒V
=
.V
=
a
H.ABC
SABC
BS a 15 5
5
5

Cách 3:
d( B;( SAC) )
e, Tính

Cách 1: ta có
Cách 2: kẻ

.

3VS.ABC
3a3

a 3
d( B;( SAC) ) =
=
=
1
S∆SAC
2
.2a 3.2a
2

BM ⊥ AC ⇒ BM ⊥ SA ⇒ BM ⊥ ( SAC )

⇒ d( B;( SAC) ) = BM =

AB.BC a 3
=
AC
2

.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,

14

14


AD = a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt đáy bằng 45 0.
1
3

Trên cạnh SA lấy điểm I sao cho SI = SA.
a, Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
b, Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC).
V
S.IJCD
V
S.ABCD
c, Gọi J là giao điểm của (ICD) và SB. Tính tỉ số thể tích
.
Giải:
a, Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
·
= 450 ⇒
(·SD;(ABCD) ) = SDA
Ta có
SA = AD. tan450 = a
2
VS.ABCD = a 3
⇒
3
2
Mà SABCD =2a.a = 2a
(đvtt).
b, Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC).
IH ⊥ SB (H ∈ SB)
Cách 1: Trong mặt phẳng(SAB), kẻ
BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ IH

BC

⊥
SA

S

H

I

J

D

A

B

Do đó:

C

IH ⊥ (SBC) ⇒ IH = d(I;(SBC))

∆SIH : ∆SBA ⇒

IH SI
=
SA SB

1

a
2a 5
SI = SA = ;SB = SA 2 + AB2 = a 5 ⇒ IH =
3
3
15
⇒d=

3VS.IBC
S∆SBC

Cách 2: Đặt d = d(I; (SBC))
VS.IBC
SI 1
1
1
a3
=
= ; VS.ABC = V ⇒ VS.IBC = V =
VS.ABC SA 3
2
6
9

15

.

15

S∆SBC

1
a2 5
= SB.BC =
2
2

d=

. Vậy

2a 5
15

.

c, Kẻ đường thẳng đi qua I và song song với AB, cắt SB tại J
VS.IJCD = VS.IJC + VS.IDC

⇒ J = SB ∩ (IDC)

VS.IJC
SI SJ 1
1
1
=
.
= ; VS.ABC = V ⇒ VS.IJC = V

VS.ABC SA SB 9
2
18
VS.IDC
SI 1
1
1
=
= ; VS.ADC = V ⇒ VS.IDC = V
VS.ADC SA 3
2
6

VS.IJCD 2
= ;
VS.ABCD 9

. Vậy
Dạng 3. Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, biết SAD là tam giác
( SAD) ⊥ ( ABCD) ,
300
cân tại S và SA = SD = a và
góc giữa SB và mặt đáy bằng
a, Tính thể tích khối chóp S.ABCD
DE ⊥ SC
b, Gọi E là trung điểm của AB. Chứng minh
, tính góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD)
c, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SE

d, Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Giải:
∆
a, Gọi I là trung điểm của AD. Vì SAD cân tại S
⇒ SI ⊥ AD mµ ( SAD) ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ ( ABCD)
S

Đặt

x 3
AB = x ⇒ IB =
2

D
I

K

A

.

SI = a2 −

Trong tam giác SAI có

E

Trong tam giác SIB có

B

x2
( 1)
4

SI = IB.tan300 =

Từ (1) và (2) ta tìm được

C
H

x
( 2)
2

x= a 2

16

16


Vậy

a 2
a3 2
2
SI =

; SABCD = 2a ⇒ VS.ABCD =
2
3
DE ⊥ SI
DE ⊥ IC( tÝnh chÊt h×
nh vu«ng)
⇒ DE ⊥ ( SIC) ⇒ DE ⊥ SC

b, Ta có
( SAB) ∩ ( ABCD) = AB

DA ⊥ AB
SA ⊥ AB ( V×AB ⊥ AD;AB ⊥ SI ⇒ AB ⊥ SAD )
(
)

Ta có:
·
·
⇒ ( ( SAB) ;( ABCD) ) = SAI
a 2
SI
2
·
sinSAI
=
= 2 =
· = 450
SA
a

2 ⇒ SAI

Trong tam giác SAI có:
AC ∩ IE = { K }
c, Gọi
AC ⊥ IE 
 ⇒ AC ⊥ ( SIE ) ⇒ AC ⊥ SE
AC ⊥ SI 
Có
KH ⊥ SE ⇒
Kẻ
KH là đoạn vuông góc chung của AC và SE
⇒ d( AC;SE ) = KH

a 2 1
. .a 2 2
SI.KE
a
2
4
⇒ KH =
=
=
2
2
SE
2 3
 a 2  1

SI

SE

÷ +  a 2 2÷
∆SIE : ∆KHE ⇒
=
2  2


KH KE
d, Theo 2) ta có tam giác SAD vuông cân tại S
⇒
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD
⇒
⇒ R = OA = a
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
.

17

17


Khối chóp không thuộc dạng 1, 2, 3 và khối lăng trụ
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và góc
a 3
SA
=
SB
=
SD

=
·
2
BAD
= 600
, biết
a, Tính thể tích khối chóp S.ABCD
SB ⊥ BC
b, Chứng minh
( α)
c, Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng
chứa AG và song song với DB
cắt SB, SC, SD tại M, N, K. Tính thể tích khối S.AMNK.
S

N
M
G

B
H

A

∆ABD

a,
Gọi

O

đều,

K

C
D

SA = SB = SD

{ O} = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ BD

, kẻ

SH ⊥ ( ABCD) ⇒ H

⇒ SO = SB2 − BD2 =

là trọng tâm tam giác

a 2
2

.

∆

SHO
a 15
a 3

1
a 5
⇒ SH = SO2 − HO2 =
SABCD =
⇒ V = .SH.SABCD =
6
2
3
12
;
.
a 7
SC = SH2 + HC2 =
2
∆
b, Trong SHC :
. Ta cã
2
2
3a
7a
SB2 + BC2 =
+ a2 =
= SC2
⇒ BC ⊥ SB
4
4
.
VS.ABCD = V
c, Từ giả thiết ta có N là trung điểm của SC. Đặt

2

18

. Trong

ABD

3

18


VS.AMK =
Ta có

VSMNK

SM SK
11
1
. .V = . .V = V
SB SD
33
9

1
1
1
a3 5

SM SN SK 1 1 1
=
. .
= . . V ⇒ VSAMNK = V + V = V =
9
18
6
72
SB SC SD 3 3 2

.
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác nhọn biết AB=AC=a.
600
Góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và (ACC’A’) bằng
, góc giữa AB’ và (BCC’B’)
0
30
bằng
.
a, Chứng minh: ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều
b, Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
c, Tính thể tích khối A.BCC’B’
d, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’.
Giải:
a, Ta có ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng
B'
A'
'

AC ⊥ AA

30

'
⇒ BA ⊥ AA

a 2
K
C'
' '
' '
'
J
( ABBA ) ∩ ( ACC A ) = AA  ⇒
0

((

· ' '
ABBA ; ACC'A '

)(

))

·
= BAC
= 600

A

600

a

⇒ ∆ABC

đều
Vậy ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều.
VABC.A 'B'C'
b, Tính
⇒ BB' ⊥ AI
AI ⊥ CB
Kẻ
, mà ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng
·
= 300
⇒ AI ⊥ ( BCC'B')
(·AB';( BCC'B') ) =AB'I

Có

a

B
I

C

. Vậy
3a

B'I = AI.cot300 =
2
2
2 ⇒ BB' = B'I − BI = a 2

VABC.A 'B'C' = BB'.SABC
Vậy

a2 3 a3 6
= a 2.
=
4
4

19

19


c, Tính thể tích khối A.BCC’B’
2
2 a3 6 a3 6
VA.BCC'B' = VABC.A 'B'C' =
=
3
3 4
6
Cách 1:
1
1a 3

a3 6
VABCC'B' = AI.SBCC'B' =
a.a 2 =
3
3 2
6
Cách 2:
d, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’

Cách 1.

3a
AA'// ( BCC'B') ⇒ d( AA ';BC') = d( A;( BCC'B') ) = AI = 2

Cách 2. Kẻ

IJ // BB';

IJ cắt C’B tại J. Kẻ JK//AI, cắt AA’ tại K
3a
⇒ d( AA';BC') = KJ = AI =
2

Trên đây là một số bài toán nhằm minh hoạ cho các cách khác nhau để tính
thể tích của khối đa diện và một số ứng dụng của thể tích trong các kiến thức liên
quan. Tôi đã cố gắng đưa ra nhiều cách giải khác nhau cho cùng một câu hỏi để
giúp các em linh hoạt trong quá trình tìm cách giải cho mỗi bài toán.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Là dạng toán hay- các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là

một thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em
học sinh lớp 12A2 làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán về tính
thể tích khối đa diện thuộc dạng có trong đề tài . Đồng thời lấy lớp 12A4 để làm
lớp đối chứng cũng với đề kiểm tra đó. Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Lớp 12A2( Thực nghiệm)
15%
50%
30%
5%
Lớp 12A4 ( Đối chứng)
13%
40%
37%
10%
Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa hai đối tượng học sinh. Như vậy chắc chắn
phương pháp mà tôi đưa ra trong sáng kiến đã góp phần giúp các em phân loại
được bài tập và nắm khá vững phương pháp làm và trình bày bài giúp các em tự tin
hơn trong học tập cũng như khi đi thi.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 kết luận
Qua đề tài này, một lần nữa chúng ta có thể khẳng định về tầm quan trọng

20

20

của hình học không gian đối với Toán học nói chung và Toán học phổ thông nói
riêng. Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và
có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được
một số kết quả nhất định sau :
Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết
vận dụng vào giải các bài tập cơ bản, bài tập vận dụng trong sách giáo
khoa...
2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương
pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán.
3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo
4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về
tính thể tích khối đa diện.
Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mà
tôi nghiên cứu có thể vẫn còn hạn chế rất mong được độc giả góp ý kiến để đề tài
được hoàn thiện hơn .
3.2 Kiến nghị
1)

Để chất lượng ngành GD và ĐT được nâng lên một cách rõ rệt thì phải đổi
mới toàn diện, trong đó chất lượng đội ngũ giáo viên là một vấn đề cấp thiết.
Chương trình đào tạo có chất lượng cho giáo viên là một hình thức nên được quan
tâm và tổ chức thường xuyên một cách có hiệu quả. Hình thức thi viết sáng kiến
kinh nghiệm ít nhiều cũng đã giúp đội ngũ giáo viên tăng khả năng tự học, tự sáng
tạo. Bất kể một công việc nào muốn đạt được kết quả cao cũng đòi hỏi phải có sự
tâm huyết và quyết tâm cao. Rất mong Nghành GD duy trì thường xuyên và liên
tục những chương trình giúp đội ngũ giáo viên được rèn luyện nâng cao trình độ
chuyên môn nghiệp vụ.
Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa Giải Tích 12 – chương trình chuẩn của nhà xuất bản Giáo Dục
[2]. Đề tham khảo- Đề chính thức Kì Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia các năm

của Bộ Giáo Dục và Đào tạo.
[3]. Các đề thi kiểm tra kiến thức lớp 12 của các trường THPT được gửi trên mạng
internet.
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại C cấp tỉnh
- Sáng kiến kinh nghiệm: “Cách ra đề bài tập có đáp số giống nhau” được Hội đồng
khoa học Nghành đánh giá xếp loại Ccấp tỉnh năm học 2009 - 2010

21

21


- Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số giải pháp khắc phục tình trạng học sinh học yếu
môn toán lớp 11 ở THPT” được Hội đồng khoa học Nghành đánh giá xếp loại C
cấp tỉnh năm học 2011 – 2012.
- Sáng kiến kinh nghiệm: “ Cách ra đề bài tập trắc nghiệm toán tích phân chống
mẹo dùng máy tính cầm tay” được Hội đồng khoa học Nghành đánh giá xếp loại C
cấp tỉnh năm học 2016 – 2017
- Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm”
được Hội đồng khoa học Nghành đánh giá xếp loại C cấp tỉnh năm học 2017 –
2018

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 11 tháng 07 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Bé

22

22