Một Số Liên Hệ Của Số Cân Bằng Và Số Đối Cân Bằng Với Số Pell Và Số Pell Liên Kết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ
ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL
LIÊN KẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ
ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL
LIÊN KẾT

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2016


Mục lục

Danh sách kí hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1 . Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất . . . . . . . . . .

4

1.2

Số Pell và số Pell liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Số cân bằng và số đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 2 . Một số liên hệ quan trọng

11

2.1

Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Một số mối liên hệ liên quan đến các số Lucas-cân bằng và các số
Lucas-đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Một số mối liên hệ liên quan đến các hàm số học . . . . . . . . . . . 21

Chương 3 . Nghiệm của một số phương trình Diophant

26

3.1

Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) . . . . . . . . 26

3.2

Phương trình 1 + 2 + · · · + x = y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3

Phương trình 1 + 2 + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y 2 . . . . 33

3.4

Một số phương trình Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40
i

Danh sách kí hiệu
Bn

số cân bằng thứ n

Rn

hệ số cân bằng thứ n

bn

số đối cân bằng thứ n

rn

hệ số đối cân bằng thứ n

Cn

số Lucas-cân bằng thứ n

cn

số Lucas-đối cân bằng thứ n

Pn

số Pell thứ n

Qn

số Pell liên kết thứ n
√
số vô tỷ 1 + 2
√
số vô tỷ 1 − 2

α1
α2

ii


Lời mở đầu
Từ xa xưa, nghiên cứu về các con số luôn là nguồn cảm hứng bất tận đối với các
nhà toán học. Đã có rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu các số tam giác, tức
là các số tự nhiên có dạng
1 + 2 + · · · + n,
với n là một số tự nhiên nào đó. Khi nghiên cứu về phương trình Diophant
1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r),
Behera và Panda [2] đã phát hiện ra mối liên hệ giữa số n trong nghiệm (n, r) với
những số tam giác chính phương. Họ đã gọi n là số cân bằng và r là hệ số cân bằng
tương ứng. Đồng thời, họ cũng tìm ra được rất nhiều tính chất đẹp và thú vị của số cân
bằng. Một trong số các tính chất đó là nếu B là một số cân bằng thì 8B 2 + 1 là một
√
số chính phương và ngược lại. Số C = 8B 2 + 1, với B là số cân bằng, được gọi là
số Lucas-cân bằng.
Panda và Ray [4] đã nghiên cứu một phương trình Diophant khác
1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r).

Với nghiệm (n, r) của phương trình này, họ gọi n là số đối cân bằng và r là hệ số đối
cân bằng tương ứng. Trong nghiên cứu này, Panda và Ray đã tìm ra nhiều mối liên hệ
chặt chẽ giữa các số cân bằng với các số đối cân bằng, giữa các số đối cân bằng với
các số chính phương. Đặc biệt, nếu b là một số đối cân bằng thì 8b2 + 8b + 1 là một số
√
chính phương và ngược lại. Số c = 8b2 + 8b + 1, với b là một số đối cân bằng, được
gọi là số Lucas-đối cân bằng. Một số tính chất thú vị nói trên về các số cân bằng và
các số đối cân bằng đã được Hoàng Thị Hường [1] trình bày lại bằng tiếng Việt.
1


Mục đích của luận văn này là trình bày lại kết quả rất gần đây của Panda và Ray
[5] về một số mối liên hệ giữa các số cân bằng, các số đối cân bằng với các số Pell
và các số Pell liên kết. Đặc biệt, sự liên hệ của các loại số này còn được thể hiện qua
nghiệm của một số phương trình Diophant thú vị. Các mối liên hệ này được tìm ra
dựa trên công thức Binet đối với các loại số này.

Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày thành ba chương
• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình
bày sơ lược về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất; về khái niệm
các số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell, số Pell liên kết, số Lucas-cân bằng và số
Lucas-đối cân bằng.
• Chương 2: Một số liên hệ quan trọng. Trong chương này, chúng tôi trình bày các
tính chất thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa các loại số nói trên. Chúng tôi đã phân
loại các tính chất này và trình bày thành ba mục khác nhau: một số mối liên hệ liên
quan đến các tổng riêng và phân tích thành tích; một số mối liên hệ có liên quan đến
các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng; một số mối liên hệ liên quan
đến các hàm số học như trung bình cộng, ước chung lớn nhất, hàm phần nguyên.
• Chương 3: Nghiệm của một số phương trình Diophant. Chương cuối cùng này

chúng tôi trình bày các kết quả của Panda và Ray về nghiệm của bốn loại phương trình
Diophant đặc biệt được biểu diễn hoàn toàn thông qua các loại số đã trình bày ở các
chương trước.
Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và
nhiệt tình của thầy hướng dẫn TS. Ngô Văn Định trong suốt quá trình tác giả thực
hiện luận văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư, tiến sĩ đang
công tác tại Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến
thức để nâng cao trình độ của mình. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn
2


sâu sắc tới tất cả các thầy, cô.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả
trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ,
động viên tác giả hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, 2016

Nguyễn Thị Huệ

3


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương đầu tiên này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức được sử dụng trong
nội dung chính của luận văn. Cụ thể, chúng tôi nhắc lại sơ lược về phương trình sai

phân tuyến tính cấp hai thuần nhất; nhắc lại về khái niệm các số Pell, số Pell liên kết,
số cân bằng và số đối cân bằng. Ngoài ra, chúng tôi nhắc lại một vài tính chất của số
cân bằng và số đối cân bằng. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [1], [2] và
[4].

1.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phương
trình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt. Đây là những
kiến thức cần thiết cho các nội dung sau.
Định nghĩa 1.1.1. Phương trình có dạng
un+2 = Aun+1 + Bun , n = 1, 2, ...,

(1.1)

trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
thuần nhất.
Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phương trình bậc hai
α2 − Aα − B = 0.

(1.2)
4


Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai
phân (1.1). Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân
(1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt.

Định lý 1.1.2 ([3, Theorem 10.1]). Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm
phân biệt α1 và α2 . Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là
un = C1 α1n + C2 α2n , n = 1, 2, ...,

(1.3)

trong đó C1 và C2 là những số bất kì.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì các hằng số
C1 và C2 hoàn toàn được xác định. Khi đó, dãy số {un }∞
n=1 được xác định bởi
un =

aα1n−1 − bα2n−1
α1 − α2

(1.4)

trong đó α1 , α2 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.2) và a = u2 − u1 α2 , b =
u2 − u1 α1 .
Ví dụ 1.1.3. Ta sẽ xét ở đây một ví dụ rất quen thuộc về dãy số Fibonacci {Fn } được
xác định bởi phương trình sai phân
(1.5)

Fn+2 = Fn+1 + Fn
với điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = 1.
Phương trình đặc trưng của phương trình (1.5) là
λ2 − λ − 1 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là
√
√

1+ 5
1− 5
λ1 =
và λ2 =
.
2
2
Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) là
Fn = C1

√
1+ 5
2

n

+ C2

√
1− 5
2

n

, n = 1, ...
5


Từ điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = 1 ta có hệ phương trình


√
√

1+ 5
1− 5


+ C2
= 1,

C1
2
2
√ 2
√ 2

1
−
1
+
5
5



+ C2
= 1.
C1
2
2

1
Giải hệ phương trình này ta được C1 = −C2 = √ . Từ đó suy ra số hạng tổng quát
5
của dãy số Fibonacci là
1
Fn = √
5

1.2

√
1+ 5
2

√
1− 5
2

n

−

n

, n = 1, 2, ...

Số Pell và số Pell liên kết

Với n = 1, 2, . . . , số Pell Pn và số Pell liên kết Qn lần lượt được xác định bởi
P1 = 1,

P2 = 2,

Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , n = 2, 3, ...

(1.6)

Q1 = 1,

Q2 = 3,

Qn+1 = 2Qn + Qn−1 , n = 2, 3, ...

(1.7)

và

Như vậy số Pell và số Pell liên kết được xác định bởi cùng một phương trình sai phân
nhưng với các điều kiện ban đầu khác nhau. Phương trình đặc trưng của phương trình
sai phân xác định hai dãy số này là
α2 − 2α − 1 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là
α1 = 1 +

√

2 và α2 = 1 −

√

2.

Áp dụng công thức nghiệm (1.4) ta thu được
Pn =

α1n − α2n
√ ,
2 2

Qn =

α1n + α2n
.
2

(1.8)

Các công thức này được gọi là công thức Binet cho dãy số Pell và dãy số Pell liên kết.
6


1.3

Số cân bằng và số đối cân bằng

Khái niệm về số cân bằng được Behera và Panda [2] đưa ra. Khái niệm về số đối
cân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra. Các tác giả này cũng tìm ra được rất nhiều
tính chất thú vị của các số này. Các kết quả đó đã được trình bày lại bằng tiếng Việt
trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường. Ở đây, chúng tôi chỉ nêu ra định
nghĩa và một số ít các tính chất của hai số này.

Định nghĩa 1.3.1. Số nguyên m được gọi là số cân bằng nếu
1 + 2 + · · · + (m − 1) = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r)
với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số cân bằng của m.
Ta coi 1 là số cân bằng đầu tiên với hệ số cân bằng là 0. Kí hiệu Bn là số cân
bằng thứ n. Behera và Panda [2] đã chứng minh được dãy {Bn }∞
n=0 được xác định bởi
phương trình sai phân
Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n = 1, 2, ...,

(1.9)

với điều kiện ban đầu B0 = 1, B1 = 6. Như vậy, ta có
{Bn }∞
n=0 = B(6, −1, 1, 6).
Phương trình đặc trưng của phương trình (1.9) là
λ2 − 6λ + 1 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt
√
√
λ1 = 3 + 2 2 và λ2 = 3 − 2 2.
Áp dụng công thức (1.4) ta được công thức Binet
Bn =

λn+1
− λn+1
1
2
, n = 0, 1, 2, ...
λ1 − λ2

(1.10)

7


Chú ý rằng
√
√
√
√
3 + 2 2 = (1 + 2)2 và 3 − 2 2 = (1 − 2)2 .
Do đó, công thức Binet (1.10) có thể viết dưới dạng
α12n − α22n
√
Bn =
.
4 2

(1.11)

Định nghĩa 1.3.2. Số nguyên m được gọi là số đối cân bằng nếu
1 + 2 + · · · + m = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r)
với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số đối cân bằng của m.
Khái niệm về số đối cân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra. Coi 0 là số đối cân
bằng đầu tiên và kí hiệu bn là số đối cân bằng thứ n. Khi đó ta có quan hệ truy hồi
tuyến tính
b1 = 1,

b2 = 2,

bn+1 = 6bn − bn−1 + 2.

(1.12)

Từ đây ta có được công thức Binet cho các số đối cân bằng
α12n−1 − α22n−1 1
√
bn =
− .
2
4 2

(1.13)

Ngoài các mối quan hệ truy hồi tuyến tính nói trên, các số cân bằng và các số đối
cân bằng còn có một số quan hệ truy hồi phi tuyến sau Các công thức truy hồi phi
tuyến là [1, 3]
B1 = 1,
b1 = 1,

Bn+1 = 3Bn +

bn+1 = 3bn +

8Bn2 + 1,

(1.14)

8b2n + 8bn + 1 + 1.

(1.15)

8Bn2 + 1,

(1.16)

Và
Bn−1 = 3Bn −
bn−1 = 3bn −

8b2n + 8bn + 1 + 1.

(1.17)

Hai khái niệm số cân bằng và số đối cân bằng có mối quan hệ rất chặt chẽ với
nhau. Mối quan hệ này được thể hiện bởi định lý dưới đây
Định lý 1.3.3. Mọi số cân bằng là một hệ số đối cân bằng và mọi số đối cân bằng là
một hệ số cân bằng. Cụ thể ta có Bn = rn+1 và Rn = bn với n = 1, 2, . . ., trong đó
Rn là hệ số cân bằng thứ n và rn là hệ số đối cân bằng thứ n.
8


1.4

Số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng

Một trong những đặc trưng quan trọng của số cân bằng và số đối cân bằng là
8Bn2 + 1 và 8b2n + 8bn + 1 là số chính phương. Với n = 1, 2, ..., ta gọi
Cn =

8Bn2 + 1

là số Lucas-cân bằng thứ n và
cn =

8b2n + 8bn + 1,

là Lucas-số đối cân bằng thứ n.
Các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng có nhiều tính chất thú vị và có mối
quan hệ chặt chẽ với các số cân bằng và đối cân bằng (xem trong [1]). Ở đây, chúng
tôi chỉ trình bày một vài tính chất của các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng.
Định lý 1.4.1. Các dãy số Lucas-cân bằng và dãy số Lucas-đối cân bằng thỏa mãn
các công thức truy hồi tương tự như dãy các số cân bằng. Cụ thể, ta có C1 = 3, C2 =
17, Cn+1 = 6Cn − Cn−1 và c1 = 1, c2 = 7, cn+1 = 6cn − cn−1 với n = 2, 3, . . . .
Chứng minh. Từ (1.14) ta có
2
2
+1
= 8Bn+1
Cn+1

= 8 3Bn +
= 3

8Bn2 + 1

8Bn2 + 1 + 8Bn

2

+1
2

= (3Cn + 8Bn )2 .
Do đó
Cn+1 = 3Cn + 8Bn .

(1.18)

Cn−1 = 3Cn − 8Bn .

(1.19)

Tương tự, từ (1.16) ta có

Kết hợp (1.18) và (1.19) ta thu được
Cn+1 = 6Cn − Cn−1 .
9


Một cách tương tự ta có
cn+1 = 3cn + 8bn + 4,

(1.20)

cn−1 = 3cn − 8bn − 4.

(1.21)

và

Kết hợp (1.20) và (1.21) ta thu được
cn+1 = 6cn − cn−1 .

(1.22)

Nhận xét 1.4.2. Từ định lý 1.4.1 và công thức nghiệm tổng quát (1.4) của phương
trình sai phân tuyến tính ta thu được công thức Binet cho các số Lucas-cân bằng và
Lucas-đối cân bằng:
α12n + α22n
,
Cn =
2

α12n−1 + α22n−1
cn =
, n = 1, 2, . . . .
2

(1.23)

10


Chương 2

Một số liên hệ quan trọng
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số mối liên hệ quan trọng và thú vị
giữa các số cân bằng và các số đối cân bằng với các số Pell và số Pell liên kết.
Tương tự chương trước, trong chương này chúng tôi tiếp tục sử dụng kí hiệu α1 =

√
√
1 + 2, α2 = 1 − 2. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng kí hiệu (m, n) cho ước chung lớn
nhất của hai số nguyên dương m và n. Ta cũng chú ý ngay rằng α1 α2 = −1 và tích
này sẽ được sử dụng ở các chứng minh tiếp theo mà không có chú thích gì thêm.

2.1

Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích

Định lý sau đây cho chúng ta thấy rằng số cân bằng chính là tích của số Pell và số
Pell liên kết cùng cấp (tức là cùng số thứ tự).
Định lý 2.1.1. Với n = 1, 2, . . ., số cân bằng thứ n là tích của số Pell thứ n và số Pell
liên kết thứ n.
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn và Qn từ (1.8) và của Bn từ (1.11)
ta thu được
α12n − α22n
√
Bn =
4 2
αn − αn αn + α22
= 1√ 2 · 1
= Pn Qn .
2
2 2

Định lý sau cho ta thấy rằng mỗi số đối cân bằng được phân tích thành tích của
một số Pell và một số Pell liên kết.
11

Định lý 2.1.2. Với n = 1, 2, . . . hệ số cân bằng thứ 2n bằng với tích của số Pell thứ
2n và số Pell liên kết thứ (2n − 1); hệ số cân bằng thứ (2n + 1) bằng với tích của số
Pell thứ 2n và số Pell liên kết thứ (2n + 1).
Chứng minh. Áp dụng Định lí 1.3.3 và các công thức Binet của Pn và Qn trong (1.8)
và của bn trong (1.11), ta thu được
P2n Q2n−1

α12n − α22n α12n−1 − α22n−1
√
·
=
2
2 2
4n−1
4n−1
α
− α2
− α1 − α2
√
= 1
4 2
4n−1
4n−1
1
α
−α
√ 2
− = R2n ,
= 1

2
4 2

và
P2n Q2n+1

α12n − α22n α12n+1 − α22n+1
√
=
·
2
2 2
4n+1
4n+1
α
− α2
− α1 + α2
√
= 1
4 2
2(2n+1)−1
2(2n+1)−1
α1
− α2
1
√
=
− = R2n+1 .
2
4 2

Định lí được chứng minh.
Behera và Panda [2] đã chứng minh được rằng nếu n là số cân bằng với hệ số cân
bằng r thì số tam giác thứ n + r là n2 . Định lý sau đây se cho chúng ta sự tương ứng
giữa tổng n + r với tổng riêng bậc lẻ của dãy các số Pell.
Định lý 2.1.3. Tổng riêng thứ 2n − 1 của dãy các số Pell bằng tổng của số cân bằng
thứ n và hệ số làm cân bằng của số đó.
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và của Bn và bn
trong (1.11), ta có

P1 + P2 + · · · + P2n−1

α1 − α2 α12 − α22
α12n−1 − α22n−1
√
√
√
=
+
+ ··· +
2 2
2 2
2 2
12


=
=
=
=

=

α12n−1 −1
α1 −1 )

α2n−1 −1

− α2 ( 2α2 −1 )
√
2 2
α1 (α12n−1 − 1) − α2 (α22n−1 − 1)
4
2n
2n
α1 + α2
1
−
4
2
2n
α1 (1 − α2 ) − α22n (1 − α1 ) 1
√
−
2
4 2
α12n − α22n α12n−1 − α22n−1 1
√
√
+
−

2
4 2
4 2
α1 (

= Bn + bn .
Theo Định lí 1.3.3 ta có bn = Rn và do đó ta có điều phải chứng minh.
Panda và Ray [4] cũng đã chứng minh rằng nếu n là một số đối cân bằng với hệ
số đối cân bằng r thì số tam giác thứ (n + r) là số pronic thứ n. Định lí sau chứng tỏ
mối liên quan của số n + r này với các tổng riêng bậc chẵn của dãy các số Pell.
Định lý 2.1.4. Tổng của 2n số Pell đầu tiên bằng với tổng của số đối cân bằng thứ
(n + 1) và hệ số đối cân bằng của số đó.
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11),
ta có
P1 + P2 + · · · + P2n =

α1 − α2 α12 − α22
α2n − α2n
√
√
+
+ ··· + 1 √ 2
2 2
2 2
2 2
2n

=
=
=

=
=

2n

−1
−1
α1 ( αα11 −1
) − α2 ( αα22 −1
)
√
2 2
2n
α1 (α1 − 1) − α2 (α22n − 1)
4
2n+1
2n+1
α1
+ α2
1
−
4
2
2n+1
α1 (1 − α2 ) − α22n+1 (1 − α1 ) 1
√
−
2
4 2
α12n+1 − α22n+1 1 α12n − α22n

√
√
− +
2
4 2
4 2

= bn+1 + Bn .
Theo Định lí 1.3.3 ta có Bn = rn+1 và do đó ta có điều phải chứng minh.
13


Hai định lý trên cho chúng ta các mối liên quan giữa các tổng riêng của dãy các
số Pell với các số cân bằng và đối cân bằng. Hai định lý tiếp theo cho ta mối liên quan
giữa các tổng riêng của dãy các số Pell có bậc lẻ và dãy các số Pell bậc chẵn với các
số cân bằng và các số đối cân bằng.
Định lý 2.1.5. Tổng của n số Pell có bậc lẻ đầu tiên bằng số cân bằng thứ n (và do
đó bằng hệ số đối cân bằng thứ (n + 1)).
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11),
ta có
P1 + P3 + · · · + P2n−1

α1 − α2 α13 − α23
α12n−1 − α22n−1
√
√
√
+
+ ··· +
=

2 2
2 2
2 2
2n

2n

−1
−1
) − α2 ( αα22 −1
)
α1 ( αα12 −1
1
2
√
=
2 2
2n
(α − 1) − (α22n − 1)
√
= 1
4 2
α2n − α2n
= 1 √ 2 = Bn .
4 2

Chứng minh được hoàn thành.
Định lý 2.1.6. Tổng của n số Pell có bậc chẵn đầu tiên bằng với số đối cân bằng thứ
(n + 1) (và do đó bằng hệ số cân bằng thứ n + 1).
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11),

ta có
P2 + P4 + · · · + P2n

α12 − α22 α14 − α24
α12n − α22n
√
√
√
=
+
+ ··· +
2 2
2 2
2 2
2n

2n

−1
−1
α12 ( αα12 −1
) − α22 ( αα22 −1
)
1
2
√
=
2 2
2n
α1 (α1 − 1) − α2 (α22n − 1)

√
=
4 2
α2n+1 − α22n+1 1
√
= 1
− = bn+1 .
2
4 2

Theo Định lí 1.3.3 ta có bn+1 = Rn+1 và do đó chứng minh được hoàn thành.
14


Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa các tổng riêng của các số Pell liên kết có bậc
lẻ với tổng của các số cân bằng và hệ số cân bằng tương ứng.
Định lý 2.1.7. Tổng của n số Pell liên kết có bậc lẻ đầu tiên bằng với tổng của số cân
bằng thứ n và hệ số cân bằng của số đó.
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11),
ta có
Q1 + Q3 + · · · + Q2n−1 =
=

α2n−1 − α22n−1
α1 + α2 α13 + α23
+
+ ··· + 1
2
2
2

α12n −1
α22n −1
α1 ( α2 −1 ) − α2 ( α2 −1 )
1

2

2
2n
(α − 1) + (α22n − 1)
= 1
4
α12n + α22n 1
− .
=
4
2
Theo chứng minh trong Định lí 2.1.3 đã chỉ ra rằng
α12n + α22n 1
− = Bn + Rn .
4
2
Do đó chứng minh được hoàn thành.
Tương tự, định lí sau cho ta mối liên quan giữa các tổng riêng của các số Pell liên
kết bậc chẵn với tổng của các số đối cân bằng và các hệ số đối cân bằng của nó.
Định lý 2.1.8. Tổng của n số Pell liên kết có bậc chẵn đầu tiên bằng với tổng của số
đối cân bằng thứ (n + 1) và hệ số đối cân bằng của số đó.
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8), ta có
Q2 + Q4 + · · · + Q2n

α12n − α22n
α12 + α22 α14 + α24
=
+
+ ··· +
2
2
2
2n
2n
2 α1 −1
2 α2 −1
α1 ( α2 −1 ) + α2 ( α2 −1 )
1
2
=
2
(α12n − 1) + (α22n − 1)
=
4
α12n+1 + α22n+1 1
=
− .
4
2
15


Theo chứng minh trong Định lí 2.1.4, ta có
α12n+1 + α22n+1 1

− = bn+1 + rn+1 .
4
2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Hai định lý tiếp theo cho chúng ta mối liên hệ giữa các tổng riêng bậc chẵn và bậc
lẻ của dãy các số Pell liên kết với các số cân bằng và các số đối cân bằng.
Định lý 2.1.9. Tổng của 2n − 1 số Pell liên kết đầu tiên bằng hai lần số cân bằng thứ
n trừ đi 1.
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và Bn trong (1.11), ta
có
Q1 + Q2 + · · · + Q2n−1 =
=

α2n−1 + α22n−1
α1 + α2 α12 + α22
+
+ ··· + 1
2
2
2
α22n−1 −1
α12n−1 −1
α1 ( α2 −1 ) − α2 ( α2 −1 )
1

2

2
α1 (α12n−1 − 1) − α2 (α22n−1 − 1)
=

4
α12n − α22n
=
−1
4
= 2Bn − 1.

Định lý 2.1.10. Tổng của 2n số Pell liên kết đầu tiên bằng với hai lần số đối cân bằng
thứ (n + 1).
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và bn trong (1.11), ta
có

=

α1 + α2 α12 + α22
α2n + α22n
+
+ ··· + 1
2
2
2
α12n −1
α22n −1
α1 ( α1 −1 ) − α2 ( α2 −1 )

=

α1 (α12n

Q1 + Q2 + · · · + Q2n =

2
− 1) − α2 (α22n − 1)
√
2 2
16


α12n+1 − α22n+1
√
−1
=
2 2
= 2bn+1 .

2.2

Một số mối liên hệ liên quan đến các số Lucas-cân
bằng và các số Lucas-đối cân bằng

Định lý sau đây sẽ cho chúng ta thấy rằng dãy các số Pell liên kết chính là hợp của
dãy các số Lucas-cân bằng và dãy các số Lucas-đối cân bằng.
Định lý 2.2.1. Mọi số Pell liên kết hoặc là một số cân bằng Lucas hoặc là số đối cân
bằng Lucas. Chính xác hơn, Q2n = Cn và Q2n−1 = cn , n = 1, 2, . . . .
Chứng minh. Chứng minh của phần thứ nhất của định lí được suy trực tiếp từ công
thức Binet của Qn và Cn trong (1.8) và (1.23) và chứng minh của phần thứ hai của
định lí được suy từ các công thức Binet của Qn và cn trong (1.8) và (1.23).
Định lý sau thể hiện mối liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu của
các số đối cân bằng.
Định lý 2.2.2. Hiệu của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-cân bằng thứ (n − 1)

bằng với hiệu của số đối cân bằng thứ (n + 1) và số đối cân bằng thứ (n − 1).
Chứng minh. Từ (1.18), ta có
Cn = 8Bn−1 + 3Cn−1 .
Áp dụng công thức truy hồi trong (1.14) ta thu được Chứng minh

Cn − Cn−1 = 8Bn−1 + 2Cn−1
= 2[Bn−1 + (Cn−1 + 3Bn−1 )]
= 2(Bn−1 + Bn ).
17


Mặt khác vì [4, Theorem 4.1]
2(B1 + B2 + · · · + Bn−1 ) = bn
nên ta có
bn+1 − bn−1 = 2(Bn−1 + Bn ).
Điều này chứng minh kết luận của định lí.
Từ chứng minh của định lý trên ta có hệ quả trực tiếp sau:
Hệ quả 2.2.3. Hiệu của các số cân bằng Lucas thứ n và (n − 1) bằng hai lần tổng
của các số cân bằng thứ n và (n − 1).
Định lý 2.2.2 là một liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu của các
số đối cân bằng. Định lý tiếp theo đây thiết lập liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-đối
cân bằng và hiệu giữa các số cân bằng.
Định lý 2.2.4. Hiệu của số Lucas-đối cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ
(n − 1) bằng với hiệu của số cân bằng thứ n và số cân bằng thứ (n − 2).
Chứng minh. Từ (1.20) ta có
cn = 8bn−1 + 3cn−1 + 4.
Áp dụng công thức truy hồi (1.15) và Định lý 1.3.3 ta thu được
cn − cn−1 = 8bn−1 + 2cn−1 + 4
= 2[bn−1 + (3bn−1 + cn−1 + 1) + 1]
= 2(bn−1 + bn + 1)

= 2(Rn−1 + Rn + 1)
= (2Rn−1 + 1) + (2Rn + 1).
Vì [2, trang 98]
−(2Bn + 1) +
Rn =
2

8Bn2 + 1

,
18


nên ta có
2Rn + 1 = −2Bn +

8Bn2 + 1

= −2Bn + Cn .
Do đó,
cn − cn−1 = Cn + Cn−1 − 2(Bn + Bn−1 ).

(2.1)

Sử dụng các công thức Binet của Bn và Cn trong (1.11) và (1.23) ta có
√

Cn +
và
Cn −

√

Do đó, với n = 1 ta có
3+

8Bn = α12n

8Bn = α22n .

√
8 = α12 ,

và thay n bởi n − 1 ta có
Cn−1 −

√

2(n−1)

8Bn−1 = α2

(2.2)

.

Mặt khác,
(3 +

√

8)(Cn −

√

√
8Bn ) = (3Cn − 8Bn ) + 8(Cn − 3Bn )
√
= α12 (Cn − 8Bn )
2(n−1)

= α12 α22n = α2

.

(2.3)

Từ (2.1) và (2.2), ta có
Cn−1 −

√

8Bn−1 = (3Cn − 8Bn ) +

√

8(Cn − 3Bn ).

(2.4)

So sánh phần hữu tỉ và phần vô tỉ ở hai vế của (2.4) ta có
Cn−1 = 3Cn − 8Bn

(2.5)

Bn−1 = 3Bn − 8Cn .

(2.6)

và

19


Từ (2.5) và (2.6), ta tìm được
Bn−1 = 3Bn−1 − Cn−1
= 3(3Bn − Cn ) − (3Cn − 8Bn )
(2.7)

= 17Bn − 6Cn .
Thay (2.5) và (2.6) vào (2.1) và sử dụng (2.7) ta có
cn − cn−1 = 6Cn − 16Bn
= Bn − (17Bn − 6Cn )
= Bn − Bn−2 .

Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa tổng của các số Lucas-cân bằng và các số
Lucas-đối cân bằng có cùng bậc và hiệu của bình phương hai số Pell.
Định lý 2.2.5. Tổng của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ n
bằng với hiệu của bình phương của các số Pell thứ (n + 1) và (n − 1).
Chứng minh. Áp dụng công thức Binet của Pn trong (1.8), ta có

2

2
Pn+1

−

2
Pn−1

α1n+1 − α2n+1
α1n−1 − α2n−1
√
√
=
−
2 2
2 2
α2n+2 + α22n+2 − α12n−2 + α22n−2
= 1
8
2n
2n
2
(α − α2 )(α1 − α22 )
= 1
.
8

Hơn nữa, do

1 − α2 = −(1 − α1 ) =

√

2

2,

áp dụng công thức Binet của Cn và cn trong (1.23), ta có
α12n − α22n
α12n (1 − α2 ) + α22n (1 − α1 )
√
=
2
2
2n
2n
α1 + α2 + α12n−1 + α22n−1
=
2
20


α12n + α22n α12n−1 + α22n−1
=
+
2
2
= C n + cn .
Định lí được chứng minh.

Định lý sau thiết lập mối liên hệ giữa các số Lucas-đối cân bằng với tổng của hai
số cân bằng liên tiếp.
Định lý 2.2.6. Số Lucas-đối cân bằng thứ n bằng với tổng của các số cân bằng thứ
(n − 1) và n.
Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Bn trong (1.11) và của cn trong (1.23)
ta tìm được
2(n−1)

Bn−1 + Bn =
=
=
=

2(n−1)

− α2
α12n − α22n
√
√
+
4 2
4 2
α12n (1 + α22 ) − α22n (1 + α12 )
√
4 2
√
√
α12n (−2 2α2 ) − α22n (2 2α1 )
√
4 2

α2n−1 + α22n−1
.
2
α1

Nhận xét 2.2.7. Sử dụng (1.16) ta có
Bn−1 = 3Bn − Cn ,
và vì P2n = 2Bn và Q2n = Cn theo các Định lí 2.3.1 và Định lí 2.3.1, nên
cn = 4Bn − Cn = 2P2n − Q2n .

2.3

Một số mối liên hệ liên quan đến các hàm số học

Định lý dưới đây một lần nữa cho thấy sự liên quan chặt chẽ giữa các số cân bằng
và các số đối cân bằng và các số Pell.
21