Vận Dụng Tính Chất Số Phức Vào Giải Một Số Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán (Phần Hình Học)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THANH NGÀ

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT SỐ PHỨC
VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI TOÁN
(PHẦN HÌNH HỌC)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THANH NGÀ

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT SỐ PHỨC
VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI TOÁN
(PHẦN HÌNH HỌC)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành:
Mã số:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục

Danh sách hình vẽ
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

iii

3

Sơ lược về số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Sơ lược về các phép biến hình phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4

Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.5

Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.6

Tích của các phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học . . . . . . . . . . 14
1.3.1

Phương trình tổng quát của đường tròn . . . . . . . . . . . 14

1.3.2

Hai đoạn thẳng vuông góc và hai đoạn thẳng song song . . 16

1.3.3

Chân đường vuông góc ở dây cung . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4

Tọa độ phức của những điểm đặc biệt trong tam giác . . . 17

1.3.5

Điều kiện các tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . 18


ii

1.3.6

Khoảng cách giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.7

Công thức tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Vận dụng tính chất của số phức vào giải một số bài tập hình
học
21
2.1

Dạng bài toán liên quan đến quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Dạng bài toán liên quan đến đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Dạng bài toán liên quan đến đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4

Dạng bài toán tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5

Dạng bài toán xác định khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

47

iii

Danh sách hình vẽ
1.1

Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi. . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Điểm M biểu diễn số phức z = z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ). . . . . .

6

1.3

Dạng lượng giác của số phức z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Phép tịnh tiến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Phép quay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Phép vị tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7

Phép đối xứng trục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8

Phép nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9

Tích của hai phép tịnh tiến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10 Tích của hai phép quay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.11 Phương trình tổng quát của đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.12 Chân đường vuông góc ở dây cung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.13 Tọa độ phức của trực tâm tam giác ABC . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1

Bài toán 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Bài toán 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3

Bài toán 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4

Bài toán 2.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5

Bài toán 2.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6

Bài toán 2.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7

Bài toán 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8

Bài toán 2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


iv

2.9

Bài toán 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10 Bài toán 2.3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11 Bài toán 2.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.12 Bài toán 2.3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.13 Bài toán 2.3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.14 Bài toán 2.3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.15 Bài toán 2.3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.16 Bài toán 2.3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.17 Bài toán 2.3.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.18 Bài toán 2.3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.19 Bài toán 2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.20 Bài toán 2.4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.21 Bài toán 2.4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.22 Bài toán 2.4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.23 Bài toán 2.4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.24 Bài toán 2.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.25 Bài toán 2.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.26 Bài toán 2.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


1

Mở đầu
Từ các thế kỷ trước do nhu cầu phát triển của toán học về giải phương trình
đại số mà số phức đã xuất hiện. Đã có nhiều nhà nghiên cứu về số phức và tìm
cách biểu diễn hình học cho số phức, điển hình là Gauss, Hamilton,... Số phức
được ứng dụng rộng rãi trong hình học, vật lý và nhiều ngành kĩ thuật khác.

Nhiều vấn đề của Hình học được đơn giản hóa một cách kì diệu khi nhìn
dưới góc độ của số phức và việc ứng dụng số phức vào nghiên cứu Toán học nói
chung và Hình học nói riêng đã được tiến hành từ lâu và đã thu được nhiều kết
quả quan trọng. Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn
mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức
rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế,
đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Hình
học phẳng là một vấn đề khó, chỉ xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Tuy
nhiên dạy cho học sinh khá giỏi biết ứng dụng số phức vào việc giải các bài toán
Hình học phẳng có tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh, đồng thời giúp học sinh khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa được kiến
thức cơ bản, dạng toán quen thuộc, giải quyết được một số bài toán khó, phức
tạp chưa có thuật toán. Để đáp ứng được điều đó cũng đòi hỏi giáo viên phải
có hiểu biết cần thiết, có cách nhìn sâu sắc hơn về các ứng dụng của Số phức.
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trịnh Thanh Hải cùng với mong muốn
nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về ứng dụng của số phức trong hình học,
tôi đã chọn đề tài “Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi
học sinh giỏi toán (phần hình học)” làm luận văn thạc sĩ.
Mục đích nghiên cứu: Vận dụng các tính chất của số phức vào giải quyết một
số bài toán học sinh giỏi thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi phổ thông.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tìm hiểu những tính chất của số phức có thể vận dụng vào các bài tập hình
học.


2

- Sưu tầm các đề thi học sinh giỏi, bài toán dành cho học sinh khá giỏi và
đưa ra lời giải theo hướng ứng dụng các tính chất của số phức.

3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về số phức, các phép
biến hình,... Những kiến thức này được sử dụng để giải các bài tập hình học
phẳng. Các nội dung này ta có thể tìm thấy trong [1-5].

1.1

Sơ lược về số phức

Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa ra định nghĩa đầu tiên
về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình
Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các
số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc
hai của −1.
Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng
quát "a + bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của
một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra
ký hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của −1 và đến năm 1801 Gauss đã dùng lại ký
hiệu này. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu
tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức C
mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
1.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 (Xem [1], tr. 19). Một cặp số thực có thứ tự (a, b) với a, b ∈ R
được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp số đó có quan hệ bằng nhau,
phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây.
i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a; b) = (c; d) khi và chỉ khi a = c và


4

b = d.

ii) Phép cộng trong tập số phức: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d) và cặp số (a + c; b + d)
được gọi là tổng của các cặp số (a; b) và (c; d).
iii) Phép nhân trong tập số phức: (a; b)(c; d) := (ac − bd; ad + bc) và cặp (ac −
bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d).
iv) Số thực trong tập số phức: Cặp số (a; 0) được đồng nhất với số thực a, nghĩa
là
(a; 0) := a hay là (a; 0) ≡ a.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là C và quy ước C∗ = C\(0, 0).
Như vậy, mọi phần của định nghĩa số phức đều được phát biểu bằng ngôn
ngữ số thực và các phép toán trên chúng.
1.1.2

Biểu diễn đại số của số phức

Một số phức viết dưới dạng z = a + bi với a, b ∈ R gọi là dạng đại số của số
phức. Số thực a được gọi là phần thực của z , kí hiệu là Re(z), số thực b được
gọi là phần ảo của z , kí hiệu là Im(z) và thành phần i được gọi là đơn vị ảo với
quy ước i2 = −1.
Các phép cộng, trừ, nhân, chia những số phức viết dưới dạng biểu diễn đại
số được định nghĩa như sau.

i) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
ii) (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d),
iii) (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,
iv)

(a + bi)
ac + bd ad − bc
= 2
+ 2
i.
(c + di)
c + d2
c + d2

Để thuận tiện thực hiện các phép tính và biến đổi số phức người ta đưa vào
kí hiệu z = a − ib và gọi là liên hợp của z = a + ib. Những tính chất sau đây
thường dùng đối với số phức liên hợp.
i) z + z = 2a,
ii) z.z = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 ,

z1
,
z2
iv) Một số phức là số thực khi và chỉ khi z = z ,

iii) z1 z2 = z1 z2 , z1 + z2 = z1 + z2 ,

v) Nếu z = −z thì z là số thuần ảo.

z1

z2

=


5

1.1.3

Biểu diễn hình học của số phức

Ta biết rằng giữa tập hợp mọi cặp số thực có thứ tự và tập hợp mọi điểm của
mặt phẳng Euclide với các tọa độ Descartes vuông góc R2 có thể xác lập phép
tương ứng đơn trị một-một. Bởi vì mỗi số phức được định nghĩa như là một cặp
số thực có thứ tự nên mỗi số phức (a; b) = a + bi có thể đặt tương ứng với điểm
M(a; b) và ngược lại, mỗi điểm M(a; b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức
(a; b) = a + bi (xem Hình 1.1). Ta cũng gọi z = (a, b) là tọa độ phức của điểm M .
Định nghĩa 1.1.2 (Xem [1], tr. 23). Mặt phẳng tọa độ với phép tương ứng đơn
trị một-một
(a; b) → a + bi

được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss và cũng được kí hiệu là C và
z = a + bi là một điểm của mặt phẳng đó.
Trục hoành của mặt phẳng tọa độ được gọi là trục thực (do các điểm của nó
tương ứng với các số ((a; 0) ≡ a ∈ R), trục tung được gọi là trục ảo (do các điểm
của nó tương ứng với các số thuần ảo ((0; b) = bi). Số phức z = a + bi cũng có thể
biểu diễn được bởi một vectơ đi từ gốc tọa độ với các hình chiếu a và b trên các
trục tọa độ. Như vậy, vectơ z = a + bi bằng bán kính vectơ của điểm z .

y

M (a, b)

O

x

Hình 1.1: Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi.

Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép cộng
và trừ các số phức được thực hiện theo các quy tắc cộng và trừ các vectơ. Cụ
thể như sau:
Cho hai số phức dạng đại số là z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i được biểu diễn bởi
hai điểm M1 , M2 trong hệ tọa độ vuông góc. Ta nối điểm M1 , M2 với gốc tọa
−−−→ −−−→
độ O và xác định vectơ OM1 , OM2 . Gọi M là đỉnh thứ tư của hình bình hành


6

−−−→ −−−→ −−→
M1 OM2 M , khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có OM1 + OM2 = OM . Như

vậy, điểm M biểu diễn cho số phức z = z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (xem Hình 1.2).

y
M (a1 + a2, b1 + b2)
M1(a1, b1)

M2(a2, b2)

O

x

Hình 1.2: Điểm M biểu diễn số phức z = z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ).

Tương tự như vậy, phép trừ các số phức cũng được thực hiện theo các quy
tắc trừ các vectơ. Tuy nhiên phép nhân và phép chia vẫn cần thực hiện theo
quy tắc trong đại số vì vectơ không có các quy tắc tương tự trực tiếp như vậy.
1.1.4

Dạng lượng giác của số phức

Như đã biết ở trên, một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng,
một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định với hệ tọa độ cực trên mặt
−−→
phẳng phức C. Thật vậy cho z = a + ib = 0 thì số phức này ứng với vectơ OM , ta
kí hiệu r là độ dài bán kính vectơ này, còn ϕ là độ lớn của góc định hướng giữa
−−→
trục hoành và vectơ OM . Nếu điểm z nằm trên trục hoành thì r chính là môđun
của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức z ta cũng định nghĩa r là môđun của
√
z và kí hiệu là |z|. Do đó r = |z| = a2 + b2 hay r2 = a2 + b2 = z.z . Góc ϕ được
gọi là một argument của số phức z , kí hiệu là arg z . Khi đó ta có dạng lượng
giác của số phức là
z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ),

trong đó,
Re(z) = a = r cos ϕ, Im(z) = b = r sin ϕ

và
cos ϕ =

a
a
b
b
=√
, sin ϕ = = √
.
r
r
a2 + b 2
a2 + b 2

(1.1)


7

y
M (a, b)

ϕ
O

x

Hình 1.3: Dạng lượng giác của số phức z.

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác
z1 = r1 cos ϕ1 + i sin ϕ1 , z2 = r2 cos ϕ2 + i sin ϕ2 .

Ta có tính chất sau:
i) Nếu z1 = z2 thì môđun của chúng bằng nhau và argument của chúng khác
nhau một số nguyên lần 2π ,
ii) Tích của hai số phức
z1 .z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )],

iii) Thương của hai số phức
z1
r1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )].
z2
r2

Mở rộng theo công thức nhân ở trên cho một số phức bất kì dưới dạng lượng
giác z = r(cosϕ + i sin ϕ), ta có công thức Moivre như sau.
z n = rn (cosnϕ + i sin nϕ),

trong đó, n là một số nguyên bất kì.
Để đơn giản cách viết các số phức ta có thể đặt
cos ϕ ± i sin ϕ = e±iϕ .

Khi đó dạng lượng giác (1.1) của số phức z có thể được viết gọn về dạng mũ
như sau.
z = reiϕ .

Với dạng số mũ ta cũng có các phép toán nhân chia tương ứng cho hai số phức

bất kỳ z1 = reiϕ1 , z2 = reiϕ2 như sau.


8

i) z1 z2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) ,
z
r
ii) 1 = 1 e(ϕ1 −ϕ2 ) , r2 = 0.
z2

r2

Phép nâng số phức z = reiϕ lên lũy thừa bậc n theo công thức Moivre được
cho bởi công thức
z n = reinϕ .

Hệ thức ba điểm
Cho ba điểm A, B, C với các tọa độ phức lần lượt là a, b, c. Khi đó tọa độ phức
−→ −→
của các vectơ AB, AC lần lượt là b − a và c − a. Gọi α là góc định hướng giữa hai
−→ −→
AC, AB , ta có
c − a = (b − a)eiα

1.2

AC
.
AB

(1.2)

Sơ lược về các phép biến hình phức

Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M cho duy nhất một điểm M trong mặt
phẳng được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w.
Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó
1. Với mỗi điểm M có tương ứng một điểm duy nhất M ;
2. Mỗi điểm M là sự tương ứng của một điểm M .
Như vậy phép biến hình w là tương ứng một − một; điểm M là tương ứng
của điểm M . Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M được gọi là phép
biến hình ngược của w, kí hiệu w−1 . Phương trình của một phép biến hình phức
w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điểm M tùy ý trong mặt phẳng và tọa độ
phức z của điểm M tương ứng với M .
1.2.1

Phép tịnh tiến

Đặt A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phẳng và đặt
a và z là các tọa độ phức của chúng.
−−→ −→
Ta gọi điểm Z sao cho ZZ = OA là ảnh của Z trong phép tịnh tiến theo vectơ
−→
OA. Khi đó, nếu đặt z là tọa độ phức của Z thì ta có phương trình của phép
tịnh tiến là
z = z + a.


9

y
Z
Z
A

O

x
Hình 1.4: Phép tịnh tiến.

1.2.2

Phép quay

Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức là a, và đặt α là một số thực
cho trước (dương, bằng 0, hoặc âm). Phép quay quanh A một góc có giá trị đại
−−→ −→
số α biến mỗi điểm Z trong mặt phẳng thành điểm Z . Các vectơ AZ , AZ biểu
−−→
−→
thị các số phức z − a, z − a. Khi đó AZ thu được từ AZ bằng phép quay đỉnh
A với góc α (xem Hình (1.5)), nhờ hệ thức ba điểm (1.2) ta có
z − a = (z − a)eiα .

Khi đó, phương trình của phép quay góc α quanh điểm có tọa độ phức a là
z = zeiα + a(1 − eiα ).

y
Z

α

Z

A
O

x
Hình 1.5: Phép quay.

Nhận xét 1.2.1. Với phép quay một góc α = π (hoặc α = −π ) quanh A thì ta


10

có phép đối xứng tâm A, khi đó
eiπ = cos π + i sin π = −1

và
e−iπ = cos(−π) + i sin(−π) = −1.

Nên phương trình của phép đối xứng tâm là z = −z + 2a.
1.2.3

Phép vị tự

Cho trước một điểm A có tọa độ phức a và một số thực k = 0, âm hoặc dương.
Đặt một trục tùy ý trên đường thẳng chứa điểm A và một điểm Z bất kì. Lấy
AZ

= k (xem Hình 1.6) thì Z gọi là ảnh của Z qua
AZ
phép vị tự tâm A tỉ số k . Gọi z và z lần lượt là tọa độ phức của Z và Z , khi đó

điểm Z trên trục sao cho

phương trình của phép vị tự tâm A tỉ số k là
z = kz + a(1 − k).

y
Z
Z

A
O

x
Hình 1.6: Phép vị tự.

1.2.4

Phép đối xứng trục

Trên một đường thẳng d cho trước lấy hai điểm A, B gọi điểm Z là điểm đối
xứng với điểm Z qua đường thẳng d trong mặt phẳng tọa độ. Gọi d1 , d2 là các
đường thẳng qua A, Z và B, Z , còn d1 , d2 là các đường thẳng qua A, Z và B, Z .
Khi đó, d1 , d2 được gọi là ảnh của d1 , d2 qua phép đối xứng trục d (xem Hình


11

y

d2

d1
d

Z

A

d1

Z

B

d2

O

x

Hình 1.7: Phép đối xứng trục.

1.7). Gọi a, b, z, z lần lượt là tọa độ phức của A, B, Z, Z , khi đó ta có phương
trình của phép đối xứng có dạng
a−z
a−z

=
,
b−z
b−z

hoặc
z =

1.2.5

a−b
ab − ab
.z −
.
a−b
a−b

Phép nghịch đảo
y
Z

d

M
Z

O

x

Hình 1.8: Phép nghịch đảo.

Đặt p là phương tích của phép nghịch đảo cực M có tọa độ phức m, gọi d là
một trục được đặt một cách tùy ý trên đường thẳng chứa điểm M và một điểm
Z tùy ý trong mặt phẳng, khi đó Z là ảnh của phép nghịch đảo cực M phương
tích p của Z nếu
M Z. M Z = p,


12

và phương trình của phép nghịch đảo cực M phương tích p là
(z − m)(z − m) = p,

hoặc
z =

mz + p − mm
.
z−m

Nhận xét 1.2.2. Khi M trùng O và p = 1, phương trình của phép nghịch đảo
là
1
z = .
z

1.2.6

Tích của các phép biến hình

Xét phép biến hình ω1 biến điểm Z thành điểm Z1 , ta viết Z1 = ω1 [Z], phép
biến hình ω2 biến điểm Z1 thành một điểm Z2 ta viết Z2 = ω2 [Z1 ]. Khi đó ta có
Z2 = ω2 ω1 [Z].

(1.3)

Phép biến hình ω cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z2 được gọi là
tích các phép biến hình ω1 , ω2 . Phương trình (1.3) trên và Z2 = ω(Z) cho phép
ta quy ước ω = ω2 ω1 .
Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ về tích của một số phép biến
hình thường gặp.
Ví dụ 1.2.3 (Tích của hai phép tịnh tiến). Đặt a1 , a2 là các số phức được biểu
−−→ −−→
thị bởi các vectơ OA1 , OA2 xác định bởi phép tịnh tiến ω1 và ω2 . Nếu điểm Z
y
Z2
Z1
A1
A2

Z
O

x

Hình 1.9: Tích của hai phép tịnh tiến.

biến thành Z1 qua ω1 và Z1 biến thành điểm Z2 qua ω2 , tức là
z1 = z + a1 ,

13

z2 = z1 + a2 .

thì phương trình của phép biến hình ω = ω2 ω1 cho phép biến trực tiếp điểm Z
thành Z2 là
z2 = z + a1 + a2 .
−−→

−−→

Điều này chứng tỏ rằng tích ω2 ω1 là một phép tịnh tiến của vectơ OA1 + OA2 .
Ví dụ 1.2.4 (Tích của hai phép quay). Gọi a1 , a2 lần lượt là tọa độ phức của
các tâm A1 và A2 của phép quay góc có giá trị đại số α1 , α2 . Nếu phép quay ω1
biến điểm Z thành Z1 và phép quay ω2 biến điểm Z1 thành điểm Z2 , tức là
z1 = zeiα1 + a1 (1 − eiα1 ),
z2 = z1 eiα2 + a2 (1 − eiα2 )

thì phương trình của phép biến hình ω = ω2 ω1 biến điểm Z thành điểm Z2 là
z2 = zei(α1 +α2 ) + a1 (1 − eiα1 )eiα2 + a2 (1 − eiα2 ).
y

(1.4)

Z1
Z

α1

A1
α2

A2

Z2
O

x

Hình 1.10: Tích của hai phép quay.

• Trường hợp các phép quay ω1 và ω2 có cùng tâm nghĩa là A1 ≡ A2 ≡ A hay

a1 ≡ a2 ≡ a (a là tọa độ phức của A) thì (1.4) biểu diễn một phép quay tâm A,

góc quay là α1 + α2 .

• Trường hợp các phép quay khác tâm:

* Nếu ei(α1 +α2 ) = 1 hay α1 + α2 = 2kπ (k ∈ Z) thì (1.4) biểu diễn một phép
tịnh tiến.


14

* Nếu α1 + α2 = 2kπ (k ∈ Z) thì (1.4) biểu diễn một phép quay tâm A, góc
quay là α = α1 + α2 , trong đó
a=

1.3
1.3.1

a1 (1 − eiα1 )eiα2 + a2 (1 − eiα2 )
.
1 − ei(α1 +α2 )

Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học
Phương trình tổng quát của đường tròn

Ta sẽ tìm hiểu điều kiện cần và đủ để 4 điểm Z0 , Z1 , Z2 , Z3 , với các tọa độ
phức lần lượt là z0 , z1 , z2 , z3 , nằm trên một đường tròn. Trước hết ta kí hiệu
V (z2 , z1 , z0 ) =

z2 − z0
z1 − z0

là tỉ số đơn của các số phức z2 , z1 , z0 theo thứ tự đó. Khi đó argument của
−−−→
−−−→
V (z2 , z1 , z0 ) chính là góc định hướng của các vectơ Z0 Z1 và Z0 Z2 . Vì vậy điều
−−−→
kiện cần và đủ để Z0 , Z1 , Z2 thẳng hàng là góc định hướng của các vectơ Z0 Z1
−−−→
và Z0 Z2 bằng 0 hoặc bằng ±π . Nghĩa là tỉ số đơn V (z2 , z1 , z0 ) là một số thực.
y

Z1
Z0

Z3

Z2

O

x

Hình 1.11: Phương trình tổng quát của đường tròn.

Nếu Z0 , Z1 , Z2 , Z3 nằm trên một đường tròn thì hiệu giữa góc định hướng
Z0 Z2 Z1 và Z0 Z3 Z1 là 0 hoặc ±π . Suy ra tỉ số
V(z0 ,z1 ,z2 )
z0 − z2 z0 − z3
=
:
V(z0 ,z1 ,z3 )
z1 − z2 z1 − z3

là một số thực. Ngược lại nếu tỉ số

V(z0 ,z1 ,z2 )
là một số thực thì Z0 , Z1 , Z2 , Z3 là
V(z0 ,z1 ,z3 )

những điểm trên đường tròn hoặc đường thẳng.


15

V(z0 ,z1 ,z2 )
là tỉ số kép của 4 điểm z0 , z1 , z3
V(z0 ,z1 ,z3 )
theo thứ tự này. Như vậy điều kiện cần và đủ cho 4 điểm Z0 , Z1 , Z2 , Z3 nằm trên

Ta cũng ký hiệu W (z0 , z1 , z2 , z3 ) =

đường thẳng hoặc đường tròn là tỉ số kép W (z0 , z1 , z2 , z3 ) của các tọa độ phức
z0 , z1 , z2 , z3
W (z0 , z1 , z2 , z3 ) =

V(z0 ,z1 ,z2 )
z0 − z2 z0 − z3
=
:
V(z0 ,z1 ,z3 )
z1 − z2 z1 − z3

là một số thực, hoặc là
z0 − z2 z0 − z3
z0 − z2 z0 − z3
:
=
:
.
z1 − z2 z1 − z3
z1 − z2 z1 − z3

Từ phương trình trên để một điểm Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
Z1 Z2 Z3 là phương trình sau thỏa mãn

z − z2 z − z3
z − z2 z − z3
:
=
:
.
z1 − z2 z1 − z3
z1 − z2 z1 − z3

Ta có thể gọi đây là phương trình đường tròn xác định bởi 3 điểm Z1 , Z2 , Z3 .
Khử mẫu số ta nhận được
(z − z2 )(z − z 3 )(z1 − z3 )(z 1 − z 2 ) − (z − z3 )(z − z 2 )(z1 − z2 )(z 1 − z 3 ) = 0,

hoặc αzz + βz − βz + γ = 0. Ở đây ta đặt
α = (z1 − z3 )(z 1 − z 2 ) − (z1 − z2 )(z 1 − z 3 )
β = −z 3 (z1 − z3 )(z 1 − z 2 ) + z 2 (z1 − z2 )(z 1 − z 3 )
γ = z2 z 3 (z1 − z3 )(z 1 − z 2 ) − z3 z 2 (z1 − z2 )(z 1 − z 3 ).

Rõ ràng α = −α và γ = −γ .
Như vậy mọi đường tròn có phương trình dạng
αzz + βz − βz + γ = 0,

trong đó, α, γ là số ảo.
Phương trình đường tròn là phương trình đường thẳng khi và chỉ khi α = 0.
Điều này cũng phù hợp với điều kiện ba điểm Z1 , Z2 , Z3 thẳng hàng.
Nếu α = 0, ta đặt
α=−

β
γ

và b =
α
α

thì phương trình đường tròn có dạng
zz − az − az + b = 0.


16

Từ đó suy ra
|z − a|2 = |a|2 − b.

Do đó a là tọa độ phức của điểm tâm đường tròn và bán kính R = |a2 | − b.
Trường hợp đặc biệt tâm của đường tròn trùng với điểm gốc tọa độ và bán kính
là 1 thì phương trình đường tròn có dạng zz = 1. Đường tròn này gọi là đường
tròn đơn vị.
1.3.2

Hai đoạn thẳng vuông góc và hai đoạn thẳng song song

Có rất nhiều bài toán liên quan đến đường tròn khi ta chọn tọa độ vuông góc
với gốc chính là tâm đường tròn và coi đường tròn đó là đường tròn đơn vị thì
việc tính toán trở nên đơn giản, dễ nhớ và áp dụng được trong các bài toán cụ
thể.
Như ta đã biết sự vuông góc hoặc song song của hai đoạn thẳng Z1 Z2 và U1 U2
được biểu diễn bằng công thức
(z2 − z1 )(u2 − u1 ) + (u2 − u1 )(z 2 − z 1 ) = 0.

Trong trường hợp Z1 , Z2 , U1 , U2 đều nằm trên đường tròn đơn vị thì những số

1 1 1 1
liên hợp z 1 , z 2 , u1 , u2 có thể thay bằng , , , . Khi đó
z1 z2 u1 u2

(z2 − z1 )

1
1
−
u2 u1

+ (u2 − u1 )

1
1
−
z2 z1

= 0.

Suy ra Z1 Z2 và U1 U2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi z1 z2 + u1 u2 = 0.
Tương tự, Z1 Z2 và U1 U2 song song với nhau khi và chỉ khi z1 z2 = u1 u2 .
1.3.3

Chân đường vuông góc ở dây cung

Ta đi tìm công thức cho tọa độ phức của chân đường vuông góc S hạ từ một
điểm M xuống đường AB mà hai điểm A, B nằm trên đường tròn đơn vị (xem
Hình 1.12). Ta có S thuộc đoạn AB thì
a + b = s + abs.

Mặt khác M S vuông góc với AB thì
(m − s)(a − b) + (m − s)(a − b) = 0.

Từ đó suy ra
s = m − (m − s)ab.


17

y

M
x

O
A

S

B

Hình 1.12: Chân đường vuông góc ở dây cung.

Thế s vào a + b = s + abs ta tính được tọa độ phức s của chân đường vuông góc
hạ từ M xuống dây AB
1
s = (a + b + m − abm).
2

1.3.4

Tọa độ phức của những điểm đặc biệt trong tam giác

Khi giải các bài toán nếu ta chọn hệ tọa độ vuông góc thích hợp thì công
việc giải sau đó rất đơn giản. Tất nhiên việc chọn như vậy không mất tính tổng
quát hay tính tự nhiên của bài toán. Việc nghiên cứu các tính chất hình học có
liên quan đến tam giác người ta thường lấy tọa độ vuông góc có gốc tại tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác và chính đường tròn đó làm đường tròn đơn vị.
Cho tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tâm O, tọa độ phức của tâm O là
o, tọa độ phức a, b, c của các đỉnh của tam giác ABC có tính chất
|a| = |b| = |c| = 1, aa = 1, bb = 1, cc = 1.

Bài toán đặt ra là hãy biểu diễn tọa độ phức của những điểm đặc biệt của tam
giác ABC theo a, b, c với cách chọn tọa độ trên.
Ở đây, ta tìm tọa độ phức của trọng tâm và trực tâm tam giác. Gọi B1 , B2 , B3
lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB . Ta có
b1 =

b+c
c+a
a+b
, b2 =
, b3 =
.
2
2
2

Gọi G là trọng tâm tam giác, thì tọa độ phức g của nó được xác định bởi

1
g = (a + b + c).
3

Ta lấy H3 là điểm đối xứng của tâm đường tròn qua AB , vậy OAH3 B là hình
thoi, do đó h3 = a + b. Mặt khác xét H là đỉnh hình bình hành COH3 H . Khi đó


18

h = h3 + c = a + b + c. Do CH song song với OH3 , suy ra H nằm trên đường

cao hạ từ C của tam giác ABC (xem Hình 1.13). Do tính đối xứng của h đối với
a, b, c dễ dàng thấy rằng H nằm trên đường cao hạ từ A và B . Như vậy điểm H
có tọa độ phức h = a + b + c và là trực tâm của tam giác ABC .
y
A
H3

H

C
O

x

B

Hình 1.13: Tọa độ phức của trực tâm tam giác ABC.

1.3.5

Điều kiện các tam giác đồng dạng

Điều kiện tam giác đồng dạng

Định nghĩa 1.3.1. Cho sáu điểm A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 trong mặt phẳng
phức. Ta nói rằng các tam giác A1 A2 A3 và B1 B2 B3 đồng dạng với nhau nếu góc
Ak = Bk , (k = 1, 2, 3).
Mệnh đề 1.3.2. Các tam giác A1 A2 A3 và B1 B2 B3 đồng dạng với nhau khi và
chỉ khi
a2 − a1
b2 − b1
=
,
a3 − a1
b3 − b1

trong đó, a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 là các tọa độ phức tương ứng với A1 , A2 , A3 , B1 , B2 ,
B3 .
Điều kiện tam giác đều

Mệnh đề 1.3.3. Giả sử z1 , z2 , z3 là các tọa độ phức của các đỉnh của tam giác
Z1 Z2 Z3 . Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương:
a) Z1 Z2 Z3 là tam giác đều;
b) |z1 − z2 | = |z2 − z3 | − |z3 − z1 |;
c) z12 + z22 + z32 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z4 ;


19

z3 − z2
z2 − z1
=
;
z3 − z2
z1 − z2
1
1
1
z1 + z2 + z3
e)
+
+
= 0, trong đó z =
;
z − z1 z − z2 z − z3
3
2π
2π
+ i sin
.
f) (z1 + εz2 + ε2 z3 )(z1 + ε2 z2 + εz3 ) = 0, trong đó ε = cos
3
3

d)

Mệnh đề 1.3.4. Giả sử z1 , z2 , z3 là các tọa độ phức của các đỉnh của tam giác
định hướng dương (các đỉnh theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ) Z1 Z2 Z3 . Khi

đó, các phát biểu sau đây là tương đương
a) Z1 Z2 Z3 là tam giác đều;
π
π
b) z3 − z1 = ε(z2 − z1 ), trong đó ε = cos + i sin ;

3
3
5π
5π
c) z2 − z1 = ε(z3 − z1 ), trong đó ε = cos
+ i sin ;
3
3
2π
2π
2
d) z1 + εz2 + ε z3 = 0, trong đó ε = cos
+ i sin .
3
3
1.3.6

Khoảng cách giữa hai điểm

Giả sử M1 , M2 có tọa độ phức là z1 , z2 . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm này
được xác định bởi
M1 M2 = |z1 − z2 |

Xét hai điểm phân biệt A, B và một điểm M nằm trên đường thẳng AB chia

−−→
−−→
đoạn thẳng AB theo tỉ số k ∈ R\{1}. Nếu M A = k M B , ta có được
a − z = k(b − z) ⇔ (1 − k)z = a − kb ⇔ z =

a − kb
,
1−k

trong đó, a, b, z lầm lượt là các tọa độ phức của A, B, M.
1.3.7

Công thức tính diện tích

Cho tam giác OAB định hướng dương (nghĩa là O, A, B có thứ tự ngược chiều
kim đồng hồ) với a, b là tọa độ phức của A, B . Nếu chọn hệ trục tọa độ vuông
góc có gốc tại O, thì diện tích định hướng của tam giác OAB là
1
S = Ra Rb sin (β − α)
2

với
Ra = |a|, Rb = |b| và α = arg a, β = arg b.

Ta thấy rằng
ba = Ra Rb [ cos (β − α) + i sin(β − α)].