Sáng kiến kinh nghiệm VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT
CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP 6
NHẬN XÉT CHUNG:
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số: ………………………………………………
Bằng chữ:………………………………………………
Giám khảo số 1: ……………………………………….
Giám khảo số 2: ……………………………………….
NĂM HỌC 2012-2013
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ

KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT
CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN
MÔN: TOÁN
TÊN TÁC GIẢ:VŨ THÀNH KHỞI
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG
(Ký, đóng dấu)
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

…………………………………….
2
Phần ghi phách
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ
KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT
CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP 6
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP HUYỆN
(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………
Tên tác giả :
Trường :
3
PHẦN GHI SỐ PHÁCH
(
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I: Cơ sở lý luận.
Một trong những mục tiêu cơ bản của trường THCS là đào tạo và xây
dựng một thế hệ học sinh phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ
nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển của thời đại.
Muốn giải quyết bài toán khó khăn đó, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề
vững chắc lâu bền từ ngay trong phương pháp dạy học, đặc biệt là phương pháp
dạy học phát huy tính tích cực của học sinh.

Toán học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là môn khoa học thể
hiện rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh. Để giúp học sinh học tập môn
Toán có hiệu quả, người giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập
mà điều cần thiết nhất là phải có phương pháp truyền đạt thích hợp, giúp học
sinh một mặt tự tìm ra hướng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức
để giải quyết các vấn đề được đặt ra.
II. Cơ sở thực tế.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán nhiều năm ở cấp THCS
và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi thường xuyên. Bản thân tôi thấy nhiệm vụ
của người giáo viên không chỉ truyền thụ tất cả kiến thức cơ bản của Toán học,
các kiến thức phổ thông mà còn khai thác và giảng dạy cho các em nhiều kiến
thức mở rộng, nâng cao khác của toán, nhằm phát triển một thế hệ toàn diện và
tri thức, thẩm mỹ và trí tuệ.
Qua nhiều năm trực tiếp xây dựng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi
các khối lớp. Tôi cảm thấy lý thuyết về lũy thừa, về số chính phương, về tính
chia hết của một số…là rất rõ ràng, tuy nhiên quá trình vận dụng và kết hợp
các kiến thức đó vào giải toán nâng cao là rất khó khăn đối với học sinh đầu cấp
và còn rất mơ hồ đối với học sinh giỏi ở các khối lớp. Để học sinh có thể nắm
vững và vận dụng một cách có hiệu quả tất cả các dạng toán đó, không chỉ cần
4
đến sự lỗ lực của các em mà mỗi giáo viên phải có một kiến thức về số học vững
vàng, sâu, rộng. Bản thân mỗi người giáo viên chúng ta ngoài việc dạy học trên
lớp còn phải cùng các em tham gia giải quyết các vấn đề khó phát sinh trong
quá trình bồi dưỡng. Chính vì lý do đó, việc tự trau dồi kiến thức thường xuyên,
tự học để nâng cao trình độ là nhiệm vụ của từng thầy, từng cô. Từ những đề
tài, sáng kiến kinh nghiệm hàng năm sẽ giúp củng cố và bổ sung những kiến
thức sâu, rộng đó.
Với đề tài “ Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” đã
được bản thân tôi đi sâu nghiên cứu trong nhiều năm giảng dạy đội tuyển học
sinh giỏi khối 6 sẽ phần nào giải quyết một số khó khăn trong quá trình tìm

hướng giải các bài toán về số học cho các em học sinh khối THCS. Đồng thời
giúp tôi có thêm kinh nghiệm trong việc đào tạo ra một thế hệ vừa hồng, vừa
chuyên cho thời kỳ CNH-HĐH đất nước.
Trên cơ sở thực tế từ giáo viên và học sinh, tôi cùng với các đồng chí giáo
viên dạy toán trong tổ lên kế hoạch, dự kiến đối tượng ngay từ đầu năm học để
áp dụng đề tài. Một mặt xây dựng nội dung chuyên đề ngắn gọn, cơ bản, xúc
tích, lựa chọn các dạng toán phổ thông thường gặp nhất…để dạy thực nghiệm
đội tuyển học sinh giỏi và học sinh lớp chất lượng cao.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Bài toán tìm chữ số tận cùng “CSTC” của một số tác giả viết trong hệ
thập phân thường gặp ở cuối bậc tiểu học và đầu cấp THCS, có tác dụng lớn
trong việc rèn tư duy cho học sinh. Việc lựa chọn cách giải nào là tùy thuộc vào
yêu cầu của bài toán và kiến thức từng khối lớp.
Trước khi nghiên cứu các dạng bài minh họa chúng ta cần nắm được một
số tính chất liên quan đến “CSTC”:
I: Các tính chất cơ bản :
1. Tính chất 1:
5
a. Các số có CSTC là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy thừa bất kỳ thì CSTC không
thay đổi.
b. Các số có CSTC là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì CSTC không thay đổi.
c. Các số có CSTC là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4k (
k N
∈
) thì CSTC là 1
d. Các số có CSTC là 2; 4; 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4k (
*
k N∈
) thì CSTC là 6
2. Tính chất 2:

+) Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên lũy thừa 4k+1 (
k N∈
) bất kỳ thì
CSTC vẫn không thay đổi.
3. Tính chất 3:
a. Số có CSTC là 3 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N
∈
) sẽ có CSTC là 7
b. Số có CSTC là 2 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N∈
) sẽ có CSTC là 8
c. Số có CSTC là 8 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N
∈
) sẽ có CSTC là 2
d. Các số có CSTC là 0; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 (
k N∈
) sẽ không
thay đổi CSTC
4. Tính chất 4:
Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng
đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
5. Tính chất 5:
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng
đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
6. Tính chất 6:
a. Tích của 1 chữ số chắn với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 0
b. Tích của 1 chữ số lẻ với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 5
c. Tích của các chữ số có CSTC bằng 1 là số có CSTC bằng 1

d. Tích của các chữ số có CSTC bằng 6 là số có CSTC bằng 6
7. Tính chất 7:
Một số chính phương không thể có CSTC là 2; 3; 7 hoặc 8
6
II: Các dạng bài tập liên quan đến chữ số tận cùng
Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của A
n
( n
∈
N
*
)
*Nhận xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A
n
cũng
là chữ số tận cùng của a
n
”.
Từ nhận xét suy ra:
-Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì A
n
có chữ số tận cùng tương
ứng là 0, 1, 5, 6
- Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A
2k
có chữ số tận cùng tương ứng
là 6, 1
- Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A
4k
có chữ số tận cùng tương

ứng là 6, 1, 1, 6
*Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 19
2008
; 12
100
;

12
103
Lời giải:
a) 19
2008
=19
2.1004
=(19
2
)
1004
=361
1004
361
1004
có chữ số tận cùng là 1(áp dụng tính chất 6 -c)
Vậy 19
2008
có chữ số tận cùng là 1

b) 12
100

=12
4.25
=(12
4
)
25
12
4
có tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 1-d)

⇒
(12
4
)
25
có chữ số tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 6-d)
Vậy 12
100
có chữ số tận cùng là 6

c)

12
103
=12
3
. 12
100

Theo chứng minh trên ta có

12
100
có chữ số tận cùng là 6
7
12
3
có chứ số tận cùng là 8
Suy ra 12
3
. 12
100
có chữ số tận cùng là 8(áp dụng tính chất 5)
Vậy chữ số tận cùng của 12
103
là 8
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 17
2007
, 19
21
; 13
1003
Lời giải:
Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A
2k
, A
4k
để vận
dụng các tính chất trên.
a. 17
2007

=17. 17
2006
=17. 17
4.501
=17.(17
4
)
501
17
4
có chữ số tận cùng là 1
(17
4
)
501
có chữ số tận cùng là 1
17.(17
4
)
501
có chứ số tận cùng là 7
Vậy 17
2007
có chữ số tận cùng là 7
b. 19
21
=19. 19
2.10
suy ra 19
21

có chữ số tận cùng là 9.
c. 13
1003
=13
3
. 13
4.250
suy ra 13
1001
có chữ số tận cùng là 7.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 33
66
+77
55
– 2 chia hết cho 5
Lời giải:
Ta chứng minh 33
66
+77
55
-2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu
chia hết cho 5
Thật vậy, 33
66
có cùng chữ số tận cùng với 3
66
, mà 3
66
=9
33

=9.9
2.16

suy ra 3
66
có chữ số tận cùng là 9,
77
55
có cùng chữ số tận cùng với 7
55
,
vì 7
55
=7
3
.7
4.13
nên 7
55
có tận cùng là 3.
Do đó 33
66
, 77
55
có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3
suy ra 33
66
+77
55
– 2 tận cùng là 0

Vậy 33
66
+77
55
– 2 chia hết cho 5
8

*Bài tập áp dụng: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
110
111
56
37
75
76
64
27
19
20
107
102
53
45
114
44
99
99
(234
5
)
42

(579
6
)
35
Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của A
n
( n
∈
N
*
)
*Nhận xét:
- Giả sử A có hai chữ số tận cùng là
ab
, B có hai chữ số tận cùng là
cd
Khi đó A.B và
ab
.
cd
có cùng hai chữ số tận cùng.
- Nếu hai chữ số tận cùng của A là
ab
, thì hai chữ số tận cùng của A
n
cũng
là hai chữ số tận cùng của
ab
n
Chú ý: Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0

cũng có tận cùng lần lượt bằng 01, 25, 76.
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ1: Tìm hai chữ số tận cùng của
4001
2
7
Lời giải:
Ta có
4001
2
7
=
( )
3999
2
4
7
=
3999
2
2401
có hai chữ số tận cùng là 01
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
a) 12
100
+ 19
21
chia hết cho 5
b)
4 1

2
7
n
+
+
4 1
3
4
n+
- 65 chia hết cho 100
Lời giải
a. Ta có 12
100
=12
4.25
= (12
4
)
25
12
4
có tận cùng là 6

⇒
(12
4
)
25
có tận cùng là 6

⇒
12
100
có tận cùng là 6
9
* 19
21
= 19.(19
2
)
10
19
2
có tận cùng là 1
⇒
(19
2
)
10
có tận cùng là 1
⇒
19.(19
2
)
10
có tận cùng là 9
⇒
19
21
có tận cùng là 9

* Vậy 12
100
+ 19
21
có tận cùng là 5
⇒
12
100
+ 19
21
chia hết cho 5
b. Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của
4 1
2
7
n
+
+
4 1
3
4
n+
- 65 sẽ là 00.
Thật vậy
4 1
2
7
n
+
=

4
2.2
7
n
=
( )
4
2
2
7
n
=
4.
7
k
=
2401
k
có hai chữ số tận cùng là
01
Mặt khác
4 1
3
4
n+
=
3.81
4
n
=

10 3
4
l
+
=4
3
.
10
4
l
= 64.
10
4
l
,

10
4
l
=
2
1024
l
,
2
24
l
=
576
l

, mà
76
l
có hai chữ số tận cùng là 76, do đó
4 1
3
4
n+
= 64.
10
4
l
và 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra
4 1
3
4
n+
có hai
chữ số tận cùng là 64.
Suy ra
4 1
2
7
n
+
+
4 1
3
4
n

+
- 65có hai chữ số tận cùng là 00
Vậy
4 1
2
7
n
+
+
4 1
3
4
n+
- 65 chia hết cho 100
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 5
2012
; 7
4096
Bài 2: Chứng minh rằng: a. 7
1999
- 43
M
100
b. 33
66
+77
55
- 2 chia hết cho 10
10

Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của A
n
( n
∈
N
*
)
*Nhận xét:
-Nếu 3 chữ số tận cùng của A là
abc
, thì ba chữ số tận cùng của A
n
cũng
là ba chữ số tận cùng của
abc
n
”
-Chú ý: Các số có 3 chữ số tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ
thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 001; 376; 625
*Ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 5
2008
Lời giải:
Ta có 5
2008
=5
4.502
=(5
4
)

502
Mà 5
4
=625 có 3 chữ số tận cùng là 625
Suy ra (5
4
)
502
có 3 chữ số tận cùng là 625
Vậy 5
2008
có 3 chữ số tận cùng là 625
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 5
2012
-5
1000
chia hết cho 1000
Lời giải
Ta có: 5
2012
=(5
4
)
503
=625
503
có 3 chữ số tận cùng là 625 ( theo trên)
Tương tự 5
1000
=(5

4
)
250
=625
250
có 3 chữ số tận cùng là 625
Suy ra 5
2012
-5
1000
có 3 chữ số tận cùng là 000
Vậy 5
2012
-5
1000
chia hết cho 1000.
Dang 4: Tìm chữ số tận cùng của một tổng, một tích
* Nhận xét:
Để giải các bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một tích giáo viên
cần hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt tính chất 4- tính chất 5.
Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
11
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau ?
a. S
1
=9783+1789+8075+301+2779
b. S
2
=1+3

2
+3
3
+3
4
+… +3
30
Lời giải
a. Theo tính chất 4, (số tận cùng của một tổng)
Ta có chữ số tận cùng của S
1
là chữ số tận cùng của tổng:
3+9+5+1+9 =27 là 7
Vậy chữ số tận cùng của S
1
là 7
b. Ta có tổng của 31, nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm có 4 số
hạng và còn thừa 3 số hạng cuối
S
2
=(1+3
2
+3
3
+3
4
)+(3
5
+3
6

+3
7
+3
8
) +… +(3
28
+3
29
+3
30
)
Ta thấy mỗi nhóm có chữ số tận cùng bằng 0
Suy ra chữ số tận cùng của S
2
là chữ số tận cùng của : 3
28
+3
29
+3
30
Mà : 3
28
=(3
4
)
7
=(
** 1
)
7

=
** 1
3
29
= 3
28
.3 =(
** 1
) .3 =
** 3
3
30
=3
29
.3 =(
** 3
).3 =
** 9
Suy ra chữ số tận cùng của 3
28
+3
29
+3
30
là chữ số tận cùng của tổng 1+3+9
Vậy chữ số tận cùng của S
2
là 3
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của tích sau ?
a. 1.3.5.7……57.59

b. 2.12.22……82.92
c. 39.49.59.69….1979.1989
Lời giải:
a. Ta thấy trong phép nhân 1.3.5.7……57.59 có chứa thừa số 5 nên tích của
phép toán là một số chia hết cho 5.
Suy ra số tận cùng của phép tính là 0 hoặc 5.
12
Vì phép toán là tích các số lẻ nên kết quả phải là số lẻ
Vậy số tận cùng của kết quả: 1.3.5.7……57.59 là 5
b. Đặt S = 2.12.22……82.92 =(2.12.22.32).(42.52.62.72).(82.92)
=
** 6
x
** 6
x
** 6
x
** 4
=
** 6
x
** 4
=
** 4
Vậy S có chữ số tận cùng là : 4
c. Đặt S=39.49.59.69….1979.1989
Ta thấy các thừa số trong tích cách nhau 10 đơn vị
Và số lượng các thừa số của tích là: (1989-39):10+1 =196
Do tích của hai số có số tận cùng là 9 thì bằng 1 và có 196 :2 =98 nhóm
Khi đó S=(39.49).(59.69)….(1979.1989)

=
** 1
.
** 1
……
** 1
có 98 số
=
** 1

Vậy S có chữ số tận cùng là :1
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a. 942
60
-351
37
chia hết cho 5
b. 99
5
-98
4
+97
3
+96
2
chia hết cho cả 2 và 5
Lời giải
a. Ta có 942
60
-351

37
= (942
4
)
15
–351
37
=(
** 6
)
15
-
** 1

=
** 6 ** 1 ** 5− =
chia hết cho 5
Vậy 942
60
-351
37
chia hết cho 5
b. Áp dụng các tính chất về chữ số tận cùng ta có:
99
5
-98
4
+97
3
+96

2
=
** 9
-
** 6
+
** 3
-
** 6
=
** 0
chia hết cho 2 và 5
Vậy 99
5
-98
4
+97
3
+96
2
chia hết cho cả 2 và 5
13
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho biết chữ số tận cùng của phép toán sau:
A= 81.82.83.84+85.86+87.88.89.90+91.92.93
B= 81.63.45.27-37.29.51.12
C= 24.34.44.54….114.124
D= 17.37.57.77…157.177
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
M=8

102
-2
102
chia hết cho 10
N= 17
5
+24
4
-13
21
chia hết cho 10
E= 98.96.94 – 91.93.95.97 chia hết cho 10
F= 999993
1999
-555557
1997
chia hết cho 5
S=1983
1983
-1917
1917
chia hết cho 10
Dạng 5: Chứng minh một số không là số chính phương
Để giải bài toán có liên quan đến số chính phương chúng ta cần lưu ý đến
tính chất 7. Ta xét ví dụ sau:
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ: Chứng minh rằng S= 1+3
2
+3
3

+3
4
+… +3
30
không phải số chính phương
Lời giải
Ta đa biết số chính phương không có số tận cùng là 2; 3; 7 hoặc 8
Để chứng minh S không phải số chính phương ta xét chữ số tận cùng của
S
Theo Ví dụ 1- b trong dạng toán 4 ta có chữ số tận cùng của S là 3
Vậy S không phải số chính phương
* Bài tập áp dụng:
Bài tập: Tổng sau S= 1
2
+2
2
+3
2
+…+30
2
không phải số chính phương
14
III. Kết quả dạy thực nghiệm
Qua nhiều năm nghiên cứu và tìm tòi, dạy thực nghiệm đề tài “ Vận dụng
tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” phần nào đã có kết quả khả quan.
Các em học sinh từ chỗ nhìn vào những bài toán có lũy thừa với số mũ cao, ban
đầu thấy khó định hướng, lúng túng trong vận dụng lý thuyết, không có hướng
giải quyết vấn đề. Nay đã biết phân tích và vận dụng tương đối thành thạo, linh
hoạt và đặc biết với các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán 6 đã tự
mình giải quyết các bài toán linh hoạt, chính xác. Không những thế các em rất

hứng thú tìm tòi, biết vận dụng sáng tạo các tính chất “về chữ số tận cùng” trong
việc khai thác và đưa ra nhiều lời giải hay, ngắn gọn, xúc tích. Từ đó mức độ
hứng thú cho phần học cũng tăng lên, góp phần tích cực trong việc nâng cao
chất lượng mũi nhọn của nhà trường vốn là mảng yếu trong nhiều năm.
Thông qua việc khảo sát và lấy ý kiến của học sinh lớp 6A(lớp chất lượng
cao) năm học 2011-2012 tôi có kết quả sau:
*) Bảng thống kê chất lượng học tập của học sinh:
Học
kỳ
Tổng
số
Giỏi Khá T.Bình Yếu
S.L % S.L % S.L % S.L %
I 34 6 17,6 18 52,9 10 29,5 0 0
II 34 14 41,1 16 47,1 4 11,8 0 0
*) Bảng điều tra mức độ hứng thú học tập của học sinh:
Học
kỳ
Tổng
số
Thích Không thích Bình thường
S.L % S.L % S.L %
I 34 17 0,5 8 23,5 9 26,5
II 34 28 82,4 2 5,9 6 17,7
IV: Bài học kinh nghiệm.
15
1.Đối với thầy:
Khi thực hiện đề tài này, một vấn đề tưởng trừng không quan trọng trong
chương trình toán phổ thông THCS, nhưng lại rất quan trọng với các em khi tiếp
cận toán số học và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi nhận thấy điều thành

công trong sáng kiến chính là: Đã tạo cho các em thói quen sử dụng cái đã biết
để khai thác những vấn đề chưa biết, những vấn đề khó trong thực tế. Đặc biệt
đã tạo điều kiện cho các em rèn luyện tính sáng tạo, chủ động trong công việc.
Qua thực hiện chuyên đề, tôi rút ra một số bài học:
Một là: Muốn dạy học sinh giải toán sáng tạo thì thầy phải định hướng và chủ
động khai thác và phân dạng bài trong các loại toán cụ thể.
Hai là: Giáo viên phải có lòng tin vào chính mình, tin vào trò. Phải tự mình học
tập, tự mình tìm và nghiên cứa các vấn đề dù là nhỏ nhất trong thực tế. Phải
thường xuyên thực nghiệm những vấn đề đúc kết đó vào giảng dạy và luôn tự
hoàn thiện mình trong mọi lĩnh vực.
2. Đối với trò:
Chuyên đề “Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” là
chuyên đề hẹp, nhưng rất phong phú về bài tập, một số bài rất khó. Nhưng để
giải được thì học sinh phải tổng hợp nhiều kiến thức, phát huy hết khả năng suy
luận, tổng hợp của mình trong giải toán. Do đó học sinh phải thường xuyên ôn
tập cái cũ, tìm tòi, sáng tạo cái mới. Học trên lớp một cách tích cực, chủ động
nắm bắt các vấn đề mới, tìm hiểu sách tham khảo. Nên mạnh dạn đưa ý kiến
của mình trong mọi vấn đề để thầy và bạn cùng giải quyết.
V. Những vấn đề còn bỏ ngỏ
1. Các vấn đề còn bỏ ngỏ
16
Bàn về các dạng bài liên quan đến chữ số tần cùng thì còn nhiều vấn đề .
Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ vận dụng kiến thức ở đầu cấp THCS để giải
quyết các bài toán. Ngoài ra còn một số dạng toán đối với học sinh khối 6 không
thể giải quyết được. Việc đó được giải quyết trong chương trình toán tiếp theo.
Ngoài ra khi dạy các bài toán về chữ số tận cùng thì việc chúng ta phải
củng cố kỹ năng vận dụng tính chất lũy thừa, các khái niệm về số rất quan trọng.
Trước khi dạy, người thầy phải song song dạy chuyên đề lũy thừa với số mũ tự
nhiên, chuyên đề chia hết của một số thì học sinh mới không gặp khó khăn trong
việc giải toán.

2. Điều kiện áp dụng sáng kiến và kiến nghị.
Tuỳ theo đối tượng học sinh mà ta chọn áp dụng, theo tôi chuyên đề về
chữ số tận cùng ta nên áp dụng cho học sinh khá giỏi, dạy bồi dưỡng nâng cao,
ôn luyện thi vào các trường THPT khối chuyên. Đối với học sinh trung bình thì
giáo viên chủ yếu khai thác và cho các em làm các bài toán cơ bản, đơn giản,
thường gặp. Để thực hiện tốt đề tài trước hết giáo viên cần dạy cho học sinh một
số chuyên đề có liên quan:
- Lũy thừa của số tự nhiên
- Tính chất chia hết
- Số chính phương.
Trong thực tế giảng dạy, để một sáng kiến thành công, vận dụng có hiệu
quả không chỉ dừng ở lỗ lực cá nhân mà cần sự chung tay của cả tập thể, cả hội
đồng thẩm định. Ngoài ra thời gian đầu tư giảng dạy đề tài không phải trong thời
gian ngắn vậy tôi đề nghị tổ chuyên môn, nhóm toán tạo điều kiện mọi mặt cho
việc áp dụng thành công và hiệu quả. Đồng nghiệp góp ý bổ sung thêm, rút kinh
nghiệm sau mỗi lần thực nghiệm sao cho đề tài có thể áp dụng đại trà.
Bên cạnh đó các nhà quản lý, người viết sách cũng cần quan tâm hơn cho
mảng kiến thức mà tôi nghiên cứu.
17
C. KẾT LUẬN
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS, qua học hỏi kinh nghiệm ở các
thầy cô và các bạn đồng nghiệp, tôi đã viết đề tài này mong muốn được trao đổi
với đồng nghiệp những kinh nghiệm dạy toán. Trong phạm vi sáng kiến này, tôi
đã cố gắng hệ thống lại năm dạng toán cơ bản liên quan đến chữ số tận cùng mà
học sinh thường gặp.
Đề tài này được thực nghiệm riêng cho học sinh giỏi khối 6. Để giải đựơc
các bài toán trong đề tài thì bản thân các em phải nắm chắc các kiến thức về lũy
thừa, dấu hiệu chia hết cho một số. Phải chủ động và sáng tạo trong mọi hoạt
động, đề tài đòi hỏi các em phải có tư duy suy luận tốt, chính xác.
18