Một số dạng và phương pháp giúp học sinh lớp 11 nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán giới hạn hàm số

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học là bộ môn khoa học cơ bản, là xương sống của các bộ môn khoa
học tự nhiên, là công cụ hỗ trợ đắc lực cho nhiều môn học khác. Ngoài việc
cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán
còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn
thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm
mỹ.
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy dạy học
giúp học sinh phát triển tư duy vẫn là một trong những yêu cầu quan trọng hàng
đầu đối với dạy học bộ môn Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói
riêng. Dạy học giúp phát triển tư duy cho học sinh ngoài việc đòi hỏi ở giáo viên
năng lực chuyên môn, năng lực sư phạm ra còn đòi hỏi nhiều về thời gian và sự
tâm huyết ở mỗi người giáo viên.
Cũng qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở lớp 11 tôi thấy học sinh khối
11 khi học chương giới hạn, đặc biệt là phần giới hạn của hàm số thì các em rất
khó tiếp thu kiến thức và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả. Ngoài ra
do không nắm vững kiến thức nên học sinh còn mắc phải một số sai lầm khi giải
bài toán giới hạn của hàm số. Băn khoăn trước những khó khăn đó của học trò,
tôi đã quyết định lựa chọn nội dung giới hạn hàm số để tìm tòi nghiên cứu và
đưa ra những giải pháp nhằm giúp các em có được cách phân tích và lựa chọn
kiến thức phù hợp, hiệu quả hơn trong việc giải bài toán giới hạn hàm số.
Từ những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số
dạng và phương pháp giải giúp học sinh lớp 11 nâng cao kỹ năng giải quyết
bài toán giới hạn hàm số” tạo cơ hội cho học sinh củng cố các phương pháp
khi giải các bài toán phần này, giúp học sinh tránh mắc những sai lầm không
đáng có, đồng thời thực hiện ý tưởng góp phần bồi dưỡng năng lực tư duy, nhìn
nhận chính xác vấn đề đưa ra, giúp hiệu quả dạy học phần này cho học sinh lớp
11 được cải thiện và nâng cao.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu đề tài giúp học sinh củng cố kiến thức của phần giới hạn hàm

số, phát triển kỹ năng giải bài toán giới hạn hàm số nhanh và chính xác.
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập
cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới
hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
Ngoài ra đề tài cũng là tài liệu hữu ích cho giáo viên tham khảo trong quá
trình dạy học phần này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải các bài toán giới
hạn của hàm số nhanh và chính xác. Ngoài ra cũng tìm hiểu những khó khăn và
sai lầm của học sinh trong việc học tập giải toán giới hạn hàm số lớp 11, từng
bước tìm ra những biện pháp giúp học sinh khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm
trong thực hành giải toán góp phần nâng cao chất lượng, nâng cao kết quả trong
dạy và học giới hạn của hàm số.

1


1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu
tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
- Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu
Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinh
trong học tập môn toán ở lớp 11 cấp THPT, trong đó chú trọng sách giáo khoa,
sách giáo viên, chương trình giảm tải toán lớp 11 để nắm chuẩn kiến thức, kỹ
năng trong dạy học môn toán ở khối lớp này.
- Phương pháp phỏng vấn
Nhằm phỏng vấn các giáo viên đang dạy lớp 11 để đưa ra những giải pháp
tối ưu khi giải toán giới hạn hàm số và phỏng vấn những học sinh lớp 11 để nắm
được mức độ học toán cũng như kỹ năng giải toán giới hạn hàm số của các em.
- Phương pháp thực nghiệm

Nhằm khẳng định các biện pháp giúp đỡ học sinh khi thực hành giải toán
đặc biệt là giải toán giới hạn hàm số.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Các vấn đề về tâm sinh lý đã được Bộ GD-ĐT nghiên cứu và cụ thể hóa
bằng khung phân phối chương trình cho chương IV – Đại số & giải tích 11.
- Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung giới hạn hàm số sách giáo khoa Đại
Số và Giải tích 11.
- Dựa vào các định nghĩa và các định lí cơ bản về giới hạn hàm số làm
công cụ cho việc giải bài toán giới hạn hàm số.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy đa số học sinh đều ngại học phần giới
hạn hàm số. Mặt khác chất lượng đầu vào của học sinh ở trường THPT mà tôi
đang công tác thấp nên kết quả học tập của các em ở phần này còn yếu.
Nguyên nhân chính của vấn đề là: kiến thức ở các lớp dưới bị hổng;
không có phương pháp học tập, tự ti, rụt rè, thiếu hứng thú trong học tập.
Ở mỗi học sinh yếu bộ môn toán đều có nguyên nhân riêng, rất đa dạng.
Có thể chia ra một số loại thường gặp là:
+ Do quên kiến thức cơ bản, kỹ năng tính toán yếu.
+ Do chưa nắm được phương pháp học môn toán, năng lực tư duy bị hạn chế.
+ Do lười học.
+ Do thiếu điều kiện học tập hoặc do điều kiện khách quan tác động, học sinh có
hoàn cảnh đặc biệt.
Cụ thể hơn ở phần giới hạn hàm số do học sinh không nắm vững phương
pháp tìm giới hạn hàm số nên nhầm lẫn giữa các dạng toán và thực hiện các
phép toán tùy tiện. Do hiểu không đầy đủ chính xác khái niệm giới hạn dẫn đến
làm bài viết sai kí hiệu, không có kí hiệu lim, không có kí hiệu: x → a; x → ±∞
dưới kí hiệu lim.
Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh là
điều quan trọng. Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xoá bỏ dần các

nguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối
với việc học môn Toán.
2


Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có
biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần
giúp đỡ học sinh yếu kém.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp
đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của
tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
2.3. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các định nghĩa giới hạn của hàm số:
Định nghĩa 1: Cho khoảng K chứa điểm x 0 và hàm số y = f (x) xác định
trên K hoặc trên K \ { x 0} . Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x

{ }

dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n ∈ K \ x 0 và x n → x 0 , ta có
f ( x ) = L hay f (x) → L khi x → x .
f (x n ) → L . Kí hiệu: xlim
0
→x0

Định nghĩa 2:
- Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (x 0 ;b) . Số L được gọi
là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x) khi x → x 0 nếu với dãy số (x n )
lim f (x) = L
bất kì, x 0 < x n < b và x n → x 0 , ta có f (x n ) → L . Kí hiệu: x→x +

.
0

- Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a ; x 0 ) . Số L được gọi
là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x) khi x → x 0 nếu với dãy số (x n )
lim f (x) = L
bất kì, a < x n < x 0 và x n → x 0 , ta có f (x n ) → L . Kí hiệu: x→x −
.
0

Định nghĩa 3:
a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a ; + ∞) . Ta nói hàm số
y = f (x) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n > a
và x n → +∞ , ta có f (x n ) → L .
f (x) = L hay f (x) → L khi x → +∞ .
Kí hiệu: xlim
→+∞
b) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (−∞ ;a) . Ta nói hàm số
y = f (x) có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n < a
và x n → −∞ , ta có f (x n ) → L .
f (x) = L hay f (x) → L khi x → −∞ .
Kí hiệu: xlim
→−∞

Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a ; + ∞) . Ta nói
hàm số y = f (x) có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x n ) bất kì,
x n > a và x n → +∞ , ta có f (x n ) → −∞ .
f (x) = −∞ hay f (x) → −∞ khi x → +∞ .
Kí hiệu: xlim
→+∞

3


2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
Định lý 1:
f ( x ) = L và lim g ( x ) = M . Khi đó:
a) Giả sử xlim
→x 0
x →x 0
lim f ( x ) ± g ( x )  = L ± M .

x →x 0

lim f ( x ) .g ( x )  = L.M .

x →x 0

f ( x) L
=
x →x 0 g ( x )
M
lim

( M ≠ 0) .

f ( x ) = L thì L ≥ 0 và lim
b) Nếu f ( x ) ≥ 0 và xlim
→x 0
x →x

0

f ( x) = L .

( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x ≠ x0 .)
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Nhằm giúp đỡ học sinh học tốt phần giới hạn hàm số trong chương trình.
Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến
thức phần bài tập giới hạn hàm số trong các kỳ thi học kì, thi đại học và cao
đẳng. Trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi về bài tập giới hạn của hàm số tôi
nhận thấy có ba loại giới hạn cơ bản đó là:
f ( x )  ; lim f ( x )  .
LOẠI I: Giới hạn tại vô cực của hàm số: xlim
→+∞
x →−∞
f ( x )  .
LOẠI II: Giới hạn của hàm số tại một điểm: xlim
→x
0

lim f ( x )  ;
LOẠI III: Giới hạn một bên của hàm số: x→
x +
0

lim f ( x )  .
−

x →x 0

Lý do tôi chia giới hạn của hàm số thành 3 loại cơ bản như vậy vì:
Thứ nhất: Nếu chia ra nhiều loại, nhiều trường hợp học sinh sẽ khó tiếp thu,
khó nhớ để vận dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.
Thứ hai: Tôi không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp
bằng cách nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực,
hay giới hạn trái, giới hạn phải).
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.
Sau đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số. Giới hạn hàm
số tại vô cực được trình bày trước tiên vì nó tiếp nối kiến thức giới hạn dãy
số và có nhiều dạng bài dạng bài tập giống giới hạn dãy số.
Dạng 1:

LOẠI I: Giới hạn tại vô cực của hàm số:
1)lim x k = +∞
2)lim x 2k = +∞
x →+∞ Giới hạn tại vô
x →−∞
cực

→

1
=0
x →±∞ x k

3)lim x 2k +1 =Dạng
−∞ 2: 4) lim
x →−∞

→

Dạng 3:

()

4


f ( x ) → ( L ×∞ ) .
Dạng 1: xlim
→± ∞
Phương pháp:
- Đặt x k làm thừa số chung với x k là lũy thừa có số mũ cao nhất của
f (x) . Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như x > 0 , nếu x → −∞ thì coi như
x < 0 khi đưa x ra hoặc vào căn bậc chẵn.
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
1) lim (3x 5 − 13x 3 − 6x + 7)
x→−∞

2) lim (x − x 2 + x + 1)
x→−∞

BÀI GIẢI:
13 6
7
− 4 + 5 ) = −∞
2
x→−∞
x→−∞

x
x
x

1 1 
1 1
2) lim (x − x 2 + x + 1) = lim  x − x 2 (1 + + 2 )  = lim (x − x 1 + + 2 )
x→−∞
x→−∞
x x  x→−∞
x x


1) lim (3x 5 − 13x 3 − 6x + 7) = lim x 5 (3 −

= lim (x + x 1 +
x→−∞

1 1
1 1
+ 2 ) = lim x(1 + 1 + + 2 ) = −∞
x→−∞
x x
x x

Lưu ý:
- Ở bài 1 nhiều học sinh không chú ý đến việc x → −∞ thì x 5 → −∞ sẽ
mắc sai lầm khi giải bài 1 như sau:
13 6
7

1) lim (3x 5 − 13x 3 − 6x + 7) = lim x 5 (3 − 2 − 4 + 5 ) = +∞ .
x→−∞
x→−∞
x
x
x
- Ở bài 2 nhiều học sinh không chú ý đến việc x → −∞ thì x = − x sẽ
mắc sai lầm khi giải bài 2 như sau:


1 1 
1 1 
2) lim (x − x 2 + x + 1) = lim  x − x 2 (1 + + 2 )  = lim  x − x 1 + + 2 ÷
x→−∞
x→−∞
x x  x→−∞ 
x x 


1 1 
= lim x 1 − 1 + + 2 ÷→ (0. ∞)
x→−∞
x x 

- Ngoài ra học sinh còn nhầm lẫn bài tập này là bài toán tính giới hạn
dạng ( ∞ −∞ ) mà ta sẽ làm ở dạng 3.
Bài tập tương tự

5

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau
1) lim (5x 5 − 23x 3 + 2x + 7)
x→−∞

2) lim (2 x − 7 x 4 + 11x 2 )
x→+∞

3) lim ( x 2 + 4x − 5 − x)

u( x)
∞
→  ÷.
x →± ∞ v ( x )
∞

x→−∞

Dạng 2: lim
Phương pháp:

- Chia cả tử và mẫu cho x k với x k là lũy thừa có số mũ cao nhất của tử
hoặc mẫu. Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như x > 0 , nếu x → −∞ thì coi như
x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
7x − 1
1) lim 2
x →+∞ x − x + 1
1 − 2x 2
3) lim

x →+∞ x + 1

2) lim

x →−∞

4x 2 − 11
x +3

4) lim ( x + 1)
x→- ∞

1 + 2x
.
8x + 3x + 2
3

BÀI GIẢI:
7 1 
7 1
x2  − 2 ÷
− 2
7x − 1
x x 

x
x = 0 =0 .
1) lim 2
= lim
= lim

1 1
1 1  x→+∞
x →+∞ x − x + 1 x →+∞ 2 
1− + 2 1
x 1 − + 2 ÷
x x
 x x 
2

2) lim

x →−∞

= lim

x →−∞

4x − 11
= lim
x →−∞
x +3

11 

11
x2  4 − 2 ÷
x 4− 2
x 

x

= lim
x →−∞
x +1
 3
x 1 + ÷
 x

11
11
−
4
−
x 2 = Lim
x 2 = −2 = −2
3
x →−∞
 3
1
1+
x 1 + ÷
x
 x

−x 4 −

Lưu ý: - Ở bài 2 nhiều học sinh không chú ý đến việc x → −∞ thì coi
như x < 0 sẽ mắc sai lầm khi giải bài 2 như sau:

lim

x →−∞

4x 2 − 11
= lim
x →−∞
x +3

11 

11
11
x2  4 − 2 ÷
x 4− 2
4− 2
x 

x = lim
x = 2 = 2.
= lim
3
3  x→−∞
x →−∞ 
x +1
1
1+
x 1 + ÷
x
 x

6

 1

1
x2  2 − 2 ÷
−2
2
1 − 2x
x


x
3) lim
= lim
= lim
= −∞
1  x→+∞ 1 1
x →+∞ x + 1
x →+∞ 2  1
+ 2
x  + 2÷
x
x
x
x



 1


lim
 x→+∞  x 2 − 2 ÷ = −2 < 0




1 1 
vì  lim  + 2 ÷ = 0
 x→+∞  x x 
1 1
 + 2 > 0 khi x → +∞
x x
u( x)
∞
→  ÷ và giải:
Bài tập 4 ta biến đổi đưa về dạng lim
x →± ∞ v ( x )
∞
2

4) lim ( x + 1)
x→−∞

= − lim

x→−∞


1 + 2x

= lim  −
3
8x + 3x + 2 x→−∞ 


( x + 1) 2 ( 1 + 2x )
8x 3 + 3x + 2

x→−∞

8x 3 + 3x + 2 

2

2

1 1

x 1 + ÷ x  + 2 ÷
 x x

3
2
x 3 (8 + 2 + 3 )
x
x

= − lim

x→−∞

2

3

= − lim

( x + 1) 2 ( 1 + 2x ) 

2

1 1

 1 1

x 1 + ÷  + 2 ÷
1 + ÷  + 2 ÷
 x x
 = − lim  x   x
 = − 2 = − 1.
3
2
3
2
x→−∞
8
2
x 3 (8 + 2 + 3 )
8+ 2 + 3
x

x
x
x

Lưu ý: - Ở bài 4 nhiều học sinh không chú ý đến việc x → −∞ thì coi như
x + 1 < 0 sẽ mắc sai lầm khi giải bài 4 như sau:
4) lim ( x + 1)
x→−∞

= lim

x→−∞

( x + 1) 2 ( 1 + 2x ) =
8x 3 + 3x + 2

3

= lim

x→−∞

1 + 2x
= lim
8x 3 + 3x + 2 x→−∞

2

2

lim

x→−∞

( x + 1) 2 ( 1 + 2x )
8x 3 + 3x + 2
2

1 1

x 1 + ÷ x  + 2 ÷
 x x

3
2
x 3 (8 + 2 + 3 )
x
x
2

1 1

 1 1

x 1 + ÷  + 2 ÷
1 + ÷  + 2 ÷
 x x
 = lim  x   x
 = 2 = 1.
3

2
3
2
x→−∞
8 2
x 3 (8 + 2 + 3 )
8+ 2 + 3
x
x
x
x

7


u( x)
∞
→  ÷ mà u ( x ) và v ( x ) là
x →± ∞ v ( x )
∞
đa thức chúng ta chú ý một số trường hợp sau:
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
- Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số
các hệ số của lũy thừa có số mũ cao nhất ở tử và ở mẫu.
- Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞
khi hệ số của lũy thừa có số mũ cao nhất ở tử và ở mẫu cùng dấu, kết quả là −∞
khi hệ số của lũy thừa có số mũ cao nhất ở tử và ở mẫu trái dấu.
Bài tập tương tự
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau
12x − 7

x 4 + 4x 2 − 5
x − 2x 2 + 9
1) lim
2) lim
3) lim
x →−∞
x →+∞
x →+∞ 3x 5 − 2x 2 − 11
3x 2 + 1
4x 2 − 1 − x
Nhận xét: Khi tính giới hạn ở dạng lim

(x 2 + 2) 2
4) lim
x →+∞ (x + 1)(3x + x 3 )
Dạng 3: ( ∞ − ∞ )
Phương pháp:

lim

x →∞

7x + 12x 3
5) lim x
x→−∞
3x 5 − 2x 2 + 6

6) lim ( 1 − 2x )
x→+∞

- Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa Ví dụ 3:Tính các giới hạn
f (x) − g(x) ;lim f (x) ± g(x) ;lim fsau:
(x) ± g(x)

(

)

x →∞

(

)

x →∞

(

)

về dạng:
f ( x) − g( x)
f 2 ( x) − g( x)
f ( x ) − g2 ( x )
lim
; lim
; lim
x →∞ f ( x ) + g ( x ) x →∞ f ( x ) m g ( x ) x →∞ f ( x ) mg ( x )
1) lim

x→+∞

3 + 8x
.
2x 3 + 17

(

x 2 + 4x − x 2 − 2

)

(

)

2) lim x − x 2 + 6x + 15 .
x→+∞

BÀI GIẢI
1) Lim ( x 2 + 4x − x 2 − 2 ) = Lim
x→+∞

x→+∞

x 2 + 4x − (x 2 − 2)

( x 2 + 4x − x 2 − 2 )( x 2 + 4x + x 2 − 2 )
x 2 + 4x + x 2 − 2

4x + 2
x→+∞
x 2 + 4x + x 2 − 2 x→+∞ x 2 (1 + 4 ) + x 2 (1 − 2 )
x
x2
2
2
x(4 + )
x(4 + )
x
x
= Lim
= Lim
x→+∞
x →+∞
4
2
4
2
x 1+ + x 1− 2
x 1+ + x 1− 2
x
x
x
x
= Lim

= Lim

8

2
2
x(4 + )
4+
4
x
x
= Lim
= Lim
= = 2.
x→+∞ 
2
4
2
4
2  x→+∞
1+ + 1− 2
x 1+ + 1− 2 ÷
x
x
x
x 


(

2) Lim x − x 2
x→+∞

x−
(
+ 6x + 15 ) = Lim
x→+∞

x 2 − x 2 − 6x − 15

)(

x 2 + 6x + 15 x + x 2 + 6x + 15

)

x + x 2 + 6x + 15

−(6x + 15)
−(6x + 15)
= Lim
x→+∞
x + x 2 + 6x + 15 x→+∞ x + x 2 (1 + 6 + 15 ) x→+∞ x + x 1 + 6 + 15
x x2
x x2
15 
15 


−x  6 + ÷
− 6 + ÷
−(6x + 15)

x
x


= Lim
= Lim
= Lim
= −3
x→+∞
6 15 x→+∞ 
6 15
6 15  x→+∞
x + x 1+ + 2
1+ 1+ + 2
x 1 + 1 + + 2 ÷
x x
x x
x
x


= Lim

= Lim

Lưu ý: - Không thể giải các bài này theo cách đặt x k làm thừa số chung với x k
là lũy thừa có số mũ cao nhất của f (x) vì sẽ dẫn tới dạng vô định (0 ×∞) gây
khó khăn rất nhiều cho học sinh. Nếu ta giải bài tập 1 theo cách đó thì kết quả là:

2 

 4

1. lim ( x 2 + 4x − x 2 − 2 ) = lim  x 2 1 + ÷ − x 2 1 − 2 ÷
x→+∞
x→+∞ 
 x
 x  



4
2 
4
2 
= lim  x 1 + − x 1 − 2 ÷ = lim x  1 + − 1 − 2 ÷ → ( 0 ×∞ ) .
x →+∞
x
x
x  x→+∞ 
x 

- Tuy nhiên chúng ta cũng cần xem kỹ đề bài để đưa ra cách giải ngắn gọn
và chính xác nhất chứ không thể áp dụng một cách máy móc. Chẳng hạn đối với
ví dụ sau ta không giải bằng phương pháp nhân chia lượng liên hợp:


1 
1 
lim 2x − x 2 + 1 = lim  2x − x 1 + 2 ÷ = lim x  2 − 1 + 2 ÷ = +∞ .
x →+∞

x →+∞
x  x →+∞ 
x 

Bài tập tương tự
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:

)

(

( x + 4x + 5 − x )
3) Lim ( x + 11 + x − 2 )
4) Lim ( 3x + 9x + 3x + 10 )
5) Lim ( x + 2x + 5 − x − 4x + 1 )
6) Lim ( x + 3 − x + 5 ) .

1) Lim

x→+∞

(

2x + 5 − x + 1

)

2) Lim

x→+∞

2

2

x→−∞

x→−∞

2

x→+∞

2

2

2

x→+∞

Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả hoặc làm bài trắc
nghiệm giới hạn hàm số.
Tính giới hạn khi x → ±∞ ta có thể kiểm tra kết quả hoặc làm bài trắc
nghiệm bằng cách sử dụng máy tính cầm tay như sau:

9


f ( x )  ta nhập f (x) , sau đó bấm CALC

Tính: xlim
→±∞

±1020 =
Cần chú ý các trường hợp sau để lấy kết quả chính xác
- Nếu máy tính hiển thị kết quả: C ×1010 ; C ×1012 ... ( C là hằng số; số mũ có thể
lớn hơn 10 ) thì kết quả của giới hạn là ±∞
C là số dương kết quả là +∞ .
C là số âm kết quả là −∞ .
−10
- Nếu máy tính hiển thị kết quả: C ×10 ; C ×10−13 ... ( C là hằng số; số mũ
có thể nhỏ hơn -10 ) thì kết quả của giới hạn là 0.
1 + 2x
Ví dụ ta kiểm tra kết quả của bài 4 ví dụ 2 là: Lim ( x + 1)
thì ta
3
x→−∞
8x + 3x + 2
nhập hàm số bằng cách thực hiện quy trình bấm máy tính như sau:
( ALPHA ) + 1 )

1 + 2 ALPHA ) ▼ 8 ALPHA ) SHIFT

x2 + 3 ALPHA ) + 2 khi đó màn hình máy tính cầm tay hiển thị:

1
= được kết quả là: − .
2
∞
−

∞
Tuy nhiên ở dạng
thì ta cần chú ý nhân chia lượng liên hợp rút
gọn trước khi áp dụng bấm máy tính.
sau đó ta bấm: CALC −1020

)

(

2
Ví dụ ta kiểm tra kết quả bài 2 ví dụ 3 là: lim x − x + 6x + 15 thì
x→+∞

phải nhân chia lượng liên hợp đưa về xlim
→+∞
−6x − 15
x + x 2 + 6x + 15
−

−6x − 15

x + x 2 + 6x + 15

rồi nhập hàm số

bằng cách thực hiện quy trình bấm máy tính như sau:

6 ALPHA ) − 1 5 ▼ ALPHA ) +

ALPHA ) x2 +

6 ALPHA ) + 1 5 máy tính hiển thị:

Dạng 1:

sau đó ta bấm:

CALC 1020 = được kết quả là: −3 .
Giới hạn tại một điểm

Dạng 2:

LOẠI II: Giới hạn của hàm số tại một điểm:
Dạng 3:
10


Dạng 1:

lim f ( x ) = f (x 0 ) .

x→ x0

Phương pháp:

f ( x ) = f (x 0 ) .
Thay x 0 trực tiếp vào biểu thức f (x) . Kết luận: xlim
→x 0

Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau
2

1) Lim ( 2 x − 2 + 1)
x →−3

x2 + x+ 1
2) Lim
. .
x →2 3 − x

.

BÀI GIẢI
1) Lim ( 2 x 2 − 2 + 1) = 2(−3) 2 − 2 + 1 = 5 .
x →−3

x 2 + x + 1 22 + 2 + 1
2) Lim
=
= 7.
x →2 3 − x
3−2
Bài tập tương tự
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau
1) Lim(x 3 − 2 x 2 + 8x − 3)
x →2

5x + 2
x →−2 1 − 2x

4) Lim

u( x)
x→ x0 v ( x )

2) Lim(5 x + 2 x 2 − 7)
x →4

5) Lim
x →1

4x 2 − x + 9
x2 + 2

3) Lim(1 − 4 x) 2
x →−1

6) Lim
x →3

x 2 + 5x − 6
.
2x + 3

0
→  ÷. Tính nhẩm dạng bằng cách thay x 0 vào
0
u( x)
0

u(x) và v(x) . Ta thấy u(x 0 ) = v(x 0 ) = 0 , nên lim
lúc này có dạng  ÷.
x →x 0 v ( x )
0
Phương pháp:
Dạng 2: lim

- Phân tích u(x) , v(x) xuất hiện nhân tử chung dạng (x − x 0 ) k để giản
ước.
- Có thể sử dụng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu u(x) , v(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu với các
biểu thức liên hợp

11


Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau
x 2 + 3x + 2
x+2−2
1) Lim
2) Lim
x →−2
x →2 x + 7 − 3
x+2
BÀI GIẢI
x 2 + 3x + 2
(x + 1)(x + 2)
= Lim
= Lim (x + 1) = −1
x →−2

x →−2
x →−2
x+2
x+2

1) Lim

x+2−2
( x + 2 − 2)( x + 2 + 2)( x + 7 + 3)
= Lim
x + 7 − 3 x→2 ( x + 7 − 3)( x + 7 + 3)( x + 2 + 2)

2) Lim
x →2

(x + 2 − 4)( x + 7 + 3)
(x − 2)( x + 7 + 3)
x+7 +3 3
= Lim
= Lim
=
x →2 (x + 7 − 9)( x + 2 + 2)
x →2 (x − 2)( x + 2 + 2)
x →2 x + 2 + 2
2
Bài tập tương tự

= Lim

Bài tập 5: Tính các giới hạn sau

x 2 − 4x + 3
1) Lim
x →3
x2 − 9
2x − 2
4) Lim
x →2 x − 2

x5 + x3 − 2
2) Lim
x →1
x2 −1
4x 5 − 5x 4 + 1
5) Lim
x →1 (x − 1)(x 3 + x − 2)

3
1+ x) −1
(
3) Lim

x

x →0

x + 2 − 2x
.
x −1 − 3 − x

6) Lim

x →2

u( x)
L
→  ÷. (với L ≠ 0 ). Tính nhẩm thay x 0 vào u(x) và
x→ x0 v ( x )
0
u( x)
L
v(x) . Ta thấy u(x 0 ) = L, v(x 0 ) = 0 , nên lim
lúc này có dạng  ÷.
x→ x0 v ( x )
0
Phương pháp:
Dạng 3: lim

u(x) = L (với L ≠ 0 ).
Bước 1: Tính xlim
→ x0
v(x) = 0 và xét dấu biểu thức v(x) với x ≠ x .
Bước 2: : Tính xlim
0
→ x0
u( x)
.
x→ x0 v ( x )

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
lim v(x) = 0

u( x)
x→ x0 v ( x )

L>0

v(x) > 0

+∞

L>0

v(x) < 0

−∞

L<0

v(x) > 0

−∞

L<0

v(x) < 0

+∞

lim u(x) = L

x→ x0

x→ x0

lim

12


Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau
1) Lim

x →−1

2 − 5x

2) Lim

( x + 1) 2

x →1

2x + 11

( 1 − x ) ( x 3 − 1) .

BÀI GIẢI
 Lim ( 2 − 5x ) = 7 > 0
 x→−1
2 − 5x


2
= +∞ .
1. Ta có:  Lim ( x + 1) = 0
vậy Lim
x →−1 ( x + 1) 2
x →−1

( x + 1) 2 > 0 (∀x ≠ −1)

2.
Lim
x →1

2x + 11

( 1 − x ) ( x 3 − 1)

= Lim
x →1

2x + 11

( 1 − x ) ( x − 1) ( x 2 + x + 1)

= Lim
x →1

2x + 11
− ( x − 1)

2

(x

2

)

+ x +1

Lim ( 2x + 11) = 13 > 0
 x →1

2x + 11

2
2
Lim
= −∞


Lim
−
x
−
1
x
+
x
+

1
=
0
(
)
Ta có: 
vậy x →1 − ( x − 1) x 3 − 1
.


 x →1

− ( x − 1) 2 x 2 + x + 1 < 0 (∀x ≠ 1)

Bài tập tương tự
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau
2 − 7x
− x 3 + 4x + 1
2x + 1
1)Lim
2)Lim
3) Lim
.
4
2
2
x →−3 ( x + 3 ) x + 4x + 3
x →2 ( x − 2 )
x →−2
( x + 2)

(

(

)

(

)

)

(

)

Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả hoặc làm bài trắc
nghiệm giới hạn hàm số.
f ( x ) = f (x 0 ) ta nhập hàm số f (x) sau đó bấm: CALC x0 =
Ở dạng 1: xlim
→x
0

Ở dạng 2 và 3: Sau khi nhập hàm số cần tính giới hạn ta bấm CALC và nhập
một giá trị gần bằng x0 rồi bấm dấu bằng.
4x
4x
Bài 3 ví dụ 5 lim
ta nhập hàm số

máy tính hiển thị:
x→ 0 9 + x − 3
9+ x −3

tiếp theo bấm CALC 0.0000000001 = thì được kết quả 24.00960384 làm
tròn lấy kết quả là 24.
2 − 5x
2 − 5x
Bài 1 ví dụ 6: xlim
nhập
hàm
số
máy tính hiển thị:
2
→−1 ( x + 1)
( x + 1) 2

13


tiếp theo bấm CALC −1.0000000001 , thì máy tính hiện 7.000000001 × 1020 ta
lấy kết quả +∞ .
Loại III: Giới hạn một bên của hàm số: lim − f ( x )  ; lim + f ( x ) 
x→ x0

x→ x0

Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc biệt của giới hạn tại một
điểm, lúc này x tiến đến điểm x0 từ bên trái ( x → x 0− ), hoặc tiến đến điểm x0 từ
bên phải ( x → x 0+ ). Bài tập giới hạn một bên của hàm số chủ yếu rơi vào dạng

u( x)
L
→  ÷. (với L ≠ 0 ).
3 của trường hợp giới hạn tại một điểm là lim±
0
x →x 0 v ( x )
Phương pháp:
lim u(x) = L
Bước 1: Tính x→ x ±
(với L ≠ 0 )
0

lim v(x) = 0
Bước 2: Tính x→ x ±
và xét dấu biểu thức g(x) với x > x 0 hoặc x < x 0
0

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận lim±
x →x 0

u( x)
(bảng xét dấu đã nêu ở
v( x)

dạng 3- trường hợp Giới hạn tại một điểm)
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau
1 − 7x
x −3
1) Lim
2) Lim

2 − 3x + 2
x →2 + x − 2
x →−

3

BÀI GIẢI
 Lim ( 1 − 7x ) = −13 < 0
 x →2 +
1 − 7x

= −∞
1.Ta có:  Lim+ ( x − 2 ) = 0
Vậy Lim+
x
−
2
x
→
2
x
→
2

 x − 2 > 0 ∀x > 2

11
 Lim ( x − 3) = −
3
 x→ − 2 −

3

x −3

Lim
= +∞
2.Ta có:  Lim − ( 3x + 2 ) = 0 Vậy
2 − 3x + 2
x→ −
 x→ − 2
3
3


2
 3x + 2 < 0 ∀x < − 3
Bài tập tương tự
Bài tập 7: Tính các giới hạn sau
14


 5x − 3 
1) Lim 
÷
x →1−  1 − x 

 5x − 3 
2) Lim 
÷
x →1+  1 − x 

 1 + 4x 
3) Lim 
÷
−
 5   2x − 5 
x→

 1 + 4x 
4) Lim 
÷
+
 5   2x − 5 
x→

 11 − 2x + x 2 
5) Lim 
÷
2x + 6 
x →−3− 

 11 − 2x + x 2 
6) Lim 
÷
2x + 6  .
x →−3− 

 ÷
2

 ÷
2

Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả hoặc làm bài trắc
nghiệm giới hạn hàm số.
Khi x → x0+ thì ta nhập hàm số, CALC, x0 + 0.0000000001, =
Khi x → x0− thì ta nhập hàm số, CALC, x0 − 0.0000000001, =

1 − 7x
1 − 7x
ta nhập hàm số
rồi bấm: CALC 2 +
x−2
x →2 x − 2
0.0000000001 = máy tính cho kết quả là −1.3 × 1011 vậy đáp số là −∞ .
Bài 1 ví dụ 7 Lim+

Như vậy ta có thể khái quát cách giải bài toán giới hạn hàm số thông
qua sơ đồ tư duy sau
Dạng 1:

→

Giới hạn tại vô cực

Dạng 2:

Dạng 3:

()

Dạng 1:Tính trực tiếp

ĐỀ BÀI

Giới hạn tại mộtđiểm:

Dạng2

Dạng3:

Giới hạn một bên

Dạng:

15


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phân loại và giải bài
tập giới hạn hàm số. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách
phân tích một bài toán để nhận dạng bài toán và lựa chọn phương pháp giải phù
hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải rồi
từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập giới hạn hàm số thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải
và đã giải được phần lớn bài tập đó.
Để hiểu rõ hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm tôi tiến hành thực nghiệm
sử dụng phương pháp trong sáng kiến kinh nghiệm dạy ở lớp 11A4 và dạy theo
giáo án bình thường ở lớp đối chứng 11A5 sau đó tôi cho học sinh thực hiện bài

kiểm tra 45 phút kết quả như sau:
TB trở
Giỏi
Khá
T . Bình
Yếu
Kém
SĨ
lên
STT
LỚP
SỐ
SL % SL % SL % SL % SL % SL %
Lớp
thực
30.
41.
17.
11A4 39 30 76.9 2 5.1 12
16
7
2 5.1
nghiệ
8
0
9
m
Lớp
đối
chứng

11A5

40

22

55

0

0

6

15

16

40

14

35

4

10

Nhận xét:

* Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm.
* Tỉ lệ học sinh đạt loại khá cũng không chênh lệch so với kết quả kiểm tra
trước thực nghiệm.
* Tỉ lệ học sinh trung bình ở lớp thực nghiệm nhiều hơn so với kết quả kiểm
tra trước thực nghiệm và nhiều hơn.
* Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu đã giảm rõ ở lớp thực nghiệm khi so với kết
quả kiểm tra trước thực nghiệm và lớp đối chứng.
Qua số liệu của bảng, chứng tỏ biện pháp giúp đỡ học sinh khi giải toán giới
hạn hàm số lớp 11 đã cho kết quả đáng tin cậy. Và qua số liệu của bảng, tôi thấy
tự tin và rất mừng vì đã giúp đỡ được các em học sinh thích học toán và chất
lượng tăng lên rõ rệt, giúp các em tự tin, hào hứng hơn với việc học Toán.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
KẾT LUẬN
Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy
tôi rút được một số kết quả sau:
- Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học cho học sinh lớp 11
THPT.

16


- Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả qua việc kiểm nghiệm thực
nghiệm sư phạm.
Bên cạnh đó sáng kiến cũng giúp cho giáo viên và học sinh những yêu
cầu nhằm thúc đẩy quá trình giảng dạy và học tập chương IV – Đại số & giải
tích 11 được tốt hơn.
- Học sinh:
Học sinh khi tiếp thu cách làm này giúp các em giải nhanh và chính
xáccác bài tập giới hạn hàm số của chương IV – Đại số & giải tích 11 đem lại
hứng thú học tập và đem lại hiệu quả, đồng thời giúp các em hệ thống hóa kiến

thức.
- Giáo viên:
Có thêm phương pháp mới để giảng dạy giải toán giới hạn hàm số, hướng
giáo viên tới tư tưởng thuật giải và sự định hướng trong giải toán giúp học sinh
yếu kém tiếp thu kiến thức một cách linh hoạt hơn, sáng tạo hơn.
Tuy nhiên khi đứng trước một bài toán khó không chỉ có một phương
pháp giải duy nhất mà tùy vào trình độ của mỗi giáo viên và học sinh mà có thể
tìm ra được những cách giải phù hợp và hiệu quả nhằm giúp các học sinh thích
học toán. Rất mong với danh nghĩa là “Những kỹ sư tâm hồn” chúng ta sẽ
thường xuyên trau dồi kiến thức, luôn suy nghĩ sáng tạo để tìm ra những cách
giải hay, những phương pháp giảng dạy hiệu quả nhằm giúp các em học sinh đạt
tới phương châm “dễ hiểu – nhớ lâu – vận dụng tốt” .
KIẾN NGHỊ
Qua đề tài này tôi có một số kiến nghị sau:
+ Về phía học sinh: Cần vượt qua mọi khó khăn về hoàn cảnh, sự tự ti, mặc cảm
và cùng với sự cố gắng nổ lực không mệt mỏi của bản thân sách để đạt được
thành công trong học tập, trong các kì thi, đặc biệt là trong cuộc sống.
+ Về phía giáo viên: Khuyến khích giáo viên sáng tạo về phương pháp, phương
tiện dạy học, tránh đánh giá giáo viên là họ có thực hiện đúng những chỉ dẫn của
sách giáo viên hay không. Thường xuyên tổ chức cho giáo viên trao đổi kinh
nghiệm, thực hiện các chuyên đề, trong đó chú trọng các biện pháp giúp đỡ học
sinh trong học tập các môn học.
+ Về phía nhà trường: Thống kê và tổ chức phụ đạo cho học sinh ngay từ đầu
năm, nhưng phải đảm bảo số lượng học sinh vừa phải trên từng lớp thì mới có
chất lượng tốt.
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài
của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự góp ý của các
đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn sự đánh giá của ban giám khảo và đồng
nghiệp./.

17


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 6 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Đỗ Thành Huy

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Đại Số Và Giải Tích 11.
2.Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11.
3.Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao.
4.Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao.
5.Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích 11.
6.Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao.
7.Sổ Tay Kiến Thức Toán 11 của tác giả Dương Đức Kim và Đỗ Duy Đồng.
8.Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Đại Số Và Giải Tích 11 của tác giả Lê
Bảy và Nguyễn Văn Nho.
9.Kỹ Thuật Giải Nhanh Bài Toán Hay Và Khó Đại Số Giải Tích 11 của tác giả
Thạc sỹ: Nguyễn Duy Hiếu.

19