Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học lớp 7 tại trường THCS điện biên, thành phố thanh hoá

I. MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học nói chung và trong hình học lớp 7
nói riêng là một chuyên đề giáo viên cần khai thác sâu. Toán hình học là kiến thức tổng
hợp, để có được phương pháp chứng minh nhiều điểm thẳng hàng đòi hỏi học sinh phải
có kỹ năng định hướng tốt, chắc kiến thức cơ bản và tông hợp tốt. Tôi lựa chọn đề tài
“Chứng minh ba điểm thẳng hàng trong Hình học 7” nhằm cung cấp ngay từ đầu một số
dạng toán và phương pháp chứng minh cho học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp học sinh có được một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và
tránh những sai lầm thường gặp, có kỹ năng tốt để giải các bài toán hình học và giúp học
sinh yêu thích hơn môn Toán Hình. Qua đó nâng cao thành tích học tập của các em.
Tích luỹ cho bản thân và đồng nghiệp một vài kiến thức của chuyên đề “Chứng
minh nhiều điểm thẳng hàng”
Nâng cao chất lượng nhà trường trong những năm học tiếp theo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 7 trường THCS Điện Biên các năm học 2016 – 2017 đến 2019 – 2020.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, thống kê và xử lý số
liệu.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận.
Hình học là môn học kiến thức tổng hợp, để làm bài toán Hình, học sinh phải vững
kiến thức cơ bản. Khi thực hiện phải có những lập luận logic, các kết quả suy ra có căn
cứ cụ thể. Chứng minh ba điểm thẳng hàng học sinh thường hay mắc sai lầm cơ bản đó
là sử dụng kết quả chưa có (thẳng hàng) để chứng minh chính điều đó. Trong đề tài lựa
chọn của tôi, ngoài cung cấp một số các phương pháp chứng minh tích luỹ được trong
quá trình giảng dạy tôi còn chỉ ra những sai lầm thường gặp của các em qua các ví dụ cụ
thể. Sau đây là một số phương pháp thường được sử dụng “Chứng minh ba điểm thẳng hàng”
Chứng minh ba điểm thẳng hàng có các phương pháp giải như sau (6 phương pháp)

1.Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
2. Vận dụng tiên đề Ơclit chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và
cùng song song với một đường thẳng cho trước.
3. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng.
Chứng minh đoạn thẳng chỉ có một trung điểm (điểm trùng nhau)
4. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một
đường thẳng cho trước.
1

1


5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc. Chứng minh ba điểm
cùng thuộc một tia của một góc.
6. Áp dụng tính chất các đường trung tuyến, trung trực, phân giác, đường cao của
tam giác.
2.2. Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua quá trình giảng dạy trong nhiều năm và kết hợp tham khảo các ý kiến của đồng
nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán “Chứng minh ba điểm
thẳng hàng” thì phần lớn học sinh còn khó khăn trong định hướng tìm lời giải, cách giải,
cách trình bày bài. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học
sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến không làm được bài
hoặc giải sai.
Khảo sát thực tế bằng các bài kiểm tra có lồng ghép câu hỏi liên quan đến “Chứng
minh ba điểm thẳng hàng”. Năm học 2016-2017 kết quả như sau
Năm học
Thời
Sĩ số
Làm
Tỉ lệ Làm sai Tỉ lệ

Không Tỉ lệ
điểm
đúng
(%)
(%)
làm
(%)
2016-2017
12/2016
76
6
7,9
33
43,4
37
48,7
4/2017
76
25
32,9
30
39,5
21
27,6
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1.Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng
= 1800

Ba điểm A, B, C thẳng hàng

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A có
= 600. Vẽ tia Cx BC (tia Cx và
điểm A ở cùng nửa mặt phẳng có bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên
tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
*Gợi ý: Muốn chứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng ta cần chứng minh
1800 hay
+
Hướng dẫn:

+

=

= 1800

∆ABC vuông tại A, có

= 600 nên

= 300.

∆BAF cân tại B, có

= 1200 nên

=

∆ACE cân tại C, có

= 900 – 300 = 600 nên

= 300
=

= 600

Suy ra
=
+
+
= 1800
Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng
*Sau khi chứng minh xong, giáo viên đặt câu hỏi. Có thể chứng minh bài toán trên
như sau được không?
2

2


Ta có ∆CEF vuông tại C nên
= 900.

+

Mà ∆BAF cân tại B (vì BA = BF)
=
∆CAE cân tại C (vì CA = CE)
=
Suy ra
=

+

+

+ 900 + = 1800 (tổng ba góc trong tam giác CEF).
Vậy ba điểm E, A, F thẳng hàng
* GV. Cho HS nhận xét và tự tìm ra sai lầm của cách chứng minh này là đã thừa
nhận góc BFA của ∆ABF bằng góc CFE của ∆CEF trong khi 3 điểm E, A, F chưa
thẳng hàng
Ví dụ 2. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn.
Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D
là trung điểm AN. Chứng minh 3 điểm M, C, N thẳng hàng
Hướng dẫn.
=

Chứng minh
+
+
= 1800 suy ra 3 điểm M, C, N thẳng hàng
Giáo viên để học sinh thực hiện, tôn trọng suy nghĩ, định hướng của học sinh.
Dự kiến học sinh có thể giải theo các hướng như sau
Lời giải 1.
Dễ dàng chứng minh ∆AOD = ∆COB (c.g.c)
BC // AD suy ra

=

∆AOB = ∆COD (c.g.c)
Mà

DC // AB suy ra

=

(đồng vị)

=
+

3

(đồng vị)

+

+
+

=
= 1800 .

Vậy ba điểm M, C, N thẳng hàng

3


Lời giải 2. Chứng minh ∆DAB = ∆CBM (c.g.c). Suy ra
MN. Suy ra

=

,

=

=

. Do đó BD //

(so le trong)

Nên
+
+
=
+
+
= 1800 . Vậy ba điểm M, C, N
thẳng hàng
Giáo viên cho học sinh nhận xét.
*Cả hai cách giải trên đều sai
Cách 1. Sai lầm là đã vô tình thừa nhận 3 điểm M, C, N thẳng hàng nên mới có
BC // AD suy ra

=

(đồng vị) và DC // AB suy ra

=

(đồng vị)

Cách 2. Sai lầm là
=
chỉ suy ra được BD // MC, chưa suy ra được BD //
MN vì 3 điểm M, C, N chưa thẳng hàng
Qua đây giáo viên cần chú ý cho học sinh khi làm dạng toán này phải suy nghĩ 3
điểm đó (E, A, F hoặc M, C, N) chưa thẳng hàng, có những trường hợp cần vẽ hình trên
nháp 3 điểm đó không thẳng hàng để chứng minh không ngộ nhận các yếu tố chỉ có khi
ba điểm đó thẳng hàng
Bài giải đúng.
∆AOD = ∆COB (c.g.c)

=

(hai góc tương ứng)

Mà BO// MC do B, O là trung điểm AM, AC suy ra
; Chứng minh tương tự ta cũng có

=
Mà

=

(So le trong)

=

=

Suy ra
+
+
=
+
+
= 1800
Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng
Ngoài cách giải trên ta có thể sử dụng tiên đề Ơ clit
2.3.2 Sử dụng tiên đề Ơ clit để chứng minh ba điểm thẳng hàng
(Tiếp VD 2) Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
Lời giải.
Xét ∆AOD và ∆COB có
OA = OC (vì O là trung điểm AC)
=

(hai góc đối đỉnh)

OD = OB (vì O là trung điểm BD)
4

4


Vậy ∆AOD = ∆COB (c.g.c). Suy ra:
trong nên AD // BC
Suy ra

=

=

mà hai góc này ở vị trí so le

(đồng vị)

Xét ∆DAB và ∆CBM có: AD = BC (do ∆AOD = ∆COB),
= BM (B là trung điểm AM)

=

(cmt) và AB

Vậy ∆DAB = ∆CBM (c.g.c). Suy ra
=
mà hai góc này ở vị trí đồng vị
nên BD // CM (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB.
Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm
BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Ta chứng minh AD // BC và AE // BC suy ra 3 điểm E, A, D thẳng
hàng
Bài giải.
∆BMC
và ∆DMA có
MC = MA (do M là trung điểm AC)

=

(hai góc đối đỉnh)

MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy ∆BMC = ∆DMA (c.g.c)
Suy ra:
=
, hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự: BC // AE (2)
Điểm A không thuộc BC có một và chỉ một đường thẳng song song với BC nên từ
(1) và (2) và theo tiên đề Ơ Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
GV hướng dẫn học sinh có thể làm bài này theo phương pháp 1
Chứng minh
= 1800
Bài tập luyện tập. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M
là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh A là trung điểm của DE.
Với yêu cầu của bài toán này, nhiều bạn sai lầm sẽ không chứng minh ba điểm D, A,
E thẳng hàng mà chỉ chứng minh AD = AE rồi kết luận A là trung điểm của DE.
5

5


Để chứng minh A là trung điểm của DE ta cần chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng
hàng và AD = AE.

2.3.3. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng. Đoạn
thẳng chỉ có một trung điểm (điểm trùng nhau)

*Dùng tính chất đường trung trực
A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN
C thuộc đường trung trực của MN
A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh
rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
∆ABC cân tại A suy ra AB = AC
A thuộc đường trung trực của BC (1)
∆DBC cân tại D suy ra DB = DC
D thuộc đường trung trực của BC (2)
∆EBC cân tại E suy ra EB = EC
E thuộc đường trung trực của BC (3)
Bài làm
Từ (1); (2); (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng
*Bài tập dùng để củng cố tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng từ đó
chứng minh ba điểm thẳng hàng.
*Dùng tính chất đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K ’ là trung điểm BD
thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
6

6


Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA
lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C
thẳng hàng.
Lời giải
Cách 1.

Kẻ ME

BC; NF

BC (E; F

BC)

∆BME và ∆CNF vuông tại E và F có
BM = CN (gt);
=

(cùng bằng

)

Do đó ∆BME = ∆CNF (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ME = NF. Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
∆MEK’ và ∆NFK’ vuông tại E và F có: ME = NF (cmt);
=
(so le trong
’
’
’
’
của ME // FN). Vậy ∆MEK = ∆NFK (g.c.g). Do đó: MK = NK
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’. Do đó ba điểm B,
K, C thẳng hàng.
- Lưu ý. Nhiều học sinh dễ nhầm lẫn sử dụng
∆MEK = ∆NFK suy ra

hàng.

=

= 900 để chứng minh

=

, hai góc ở vị trí đối đỉnh nên 3 điểm B, K, C thẳng

Sai lầm là ba điểm B, K, C chưa thẳng hàng nên
định.
Cách 2. Kẻ ME // AC (E thuộc BC)

=

=

= 900 là chưa khẳng

(hai góc đồng vị)

Mà
=
nên
=
. Vậy ∆MBE cân ở M
Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME = CN
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN
’

’
∆MEK và ∆NCK có

=

(so le trong của ME // AC)

ME = CN (cmt)
7

7

=

(so le trong của ME // AC)


Do đó ∆MEK’ = ∆NCK’ (g.c.g)

MK’ = NK’

Do đó ∆MEK’ = ∆NCK’ (g.c.g)
MK’ = NK’
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K ’
K, C thẳng hàng.

K. Do đó ba điểm B.

Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm không sử dụng điểm K’ mà sử dụng
=

(so
le trong của ME // AC) để chứng minh ∆MEK = ∆NCK, vô tình thừa nhận B, K, C
thẳng hàng. Dẫn đến lời giải sai.
- Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp 1, khắc phục sai lầm ở
trên, kẻ hình tương tự cách 2
- Kẻ ME // AC (E thuộc BC)
=
Mà

(hai góc đồng vị)
=

nên

=

.

Vậy ∆MBE cân ở M.
Do đó MB = ME kết hợp với giả thiết
MB = NC ta được ME = CN
Xét ∆MEK và ∆NCK có
=

(so le trong của ME //

AC)
ME = CN (cmt)
MK = NK (K là trung điểm MN)
Do đó ∆MEK = ∆NCK (c.g.c)

=
mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh;
lại có M, K, N thẳng hàng do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
Tuy nhiên cách này không hay lắm do học sinh rất dễ kết luận luôn hai góc
=
(đối đỉnh) mà cần phải nói rõ hai góc này ở về hai nửa mặt phẳng đối
nhau có bờ là BC, hai tia KB và KC lúc này mới là hai tia đối nhau.
2.3.4. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc
với một đường thẳng cho trước.
8

8


thẳng hàng
Ví dụ 6. Cho ∆ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên
tia đối của tia AC lấy điểm F sao cho AF = AC. Vẽ AH vuông góc BC(H BC). Trên
đoạn DF lấy điểm K sao cho BH =
DK. Chứng minh ba điểm A, H, K
Xét ∆ADF và ∆ABC có
thẳng hàng.
AF = AC; AD = AB,
=
Lời giải sau đúng hay sai?
(đối đỉnh)
Nên ∆ADF = ∆ABC (c.g.c)

DF // BC

AK

BC

Xét ∆AHB và ∆AKD có
AB = AD, BH = DK,

=

= 900

Nên ∆AHB = ∆AKD (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra
=
mà ba điểm B, A, D thẳng hàng nên ba điểm H, A, K thẳng hàng
Nếu có học sinh phát hiện ra lỗi sai của lời giải, giáo viên yêu cầu chỉ rõ
Lới giải sai ở chỗ khi DF // BC
AK BC, nếu suy ra như vậy đã vô tình thừa
nhận 3 điểm H, A, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Xét ∆ADF và ∆ABC có
AF = AC; AD = AB,

=

Nên ∆ADF = ∆ABC (c.g.c)

DF // BC
Xét ∆AHB và ∆AKD có
AB = AD, BH = DK,
∆AHB = ∆AKD (c.g.c)

9

(cmt)
=

= 900
9


AK

DF, mà DF // BC

AK BC
Mặt khác AH BC suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng
*GV có thể hướng dẫn học sinh chứng minh theo phương pháp 1
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC
a. Chứng minh AM BC
b. Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau
tại hai điểm P và Q. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng
Gợi ý:
- Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC
- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC
Bài giải.
a.

Chứng minh AM

BC

∆ABM và ∆ACM có
AB = AC (gt), AM chung
Mà AMB + AMC = 1800 9hai góc kề bù nên AMB = AMC = 900
MB = MC (M là trung điểm BC)
Do đó AM BC (đpcm)
Vậy b.∆ABM
∆ACM
(c.c.c).
Chứngvàminh
ba điểm
A, P, Q thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta được ∆BPM = ∆CPM (c.c.c)
Suy ra
Suy ra: =
= (hai góc
(haitương
góc tương ứng), mà
+
= 1800
ứng)
=
= 900. Do đó PM
nên
Mà

+

= 1800 (kề bù)

=

= 900. Do đó AM

BC

b. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta được PM, QM vuông góc với BC
Từ điểm M trên BC có AM, PM, QM cùng vuông góc với BC nên ba điểm A, P,
Q thẳng hàng (đpcm)
*Qua dạng toán này củng cố cho các em cách chứng minh hai tam giác bằng
nhau, các đường thẳng vuông góc từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng.
2.3.5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc. Chứng
minh ba điểm cùng thuộc một tia của một góc
10

10


a) BA là tia phân giác
CA là tia phân giác
A, B, C thẳng hàng
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng
hàng.
Lời giải
∆ABM = ∆ACM (vì AM chung, AB = AC, MB = MC)
=

AM là tia phân giác

(1)

Tương tự ∆ABN = ∆CAN (c.c.c), AN là tia
p/giác

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, M, N thẳng
hàng
Ví dụ 9. Cho góc xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao
cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt
nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng
hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
Lời giải. ∆BOD và ∆COD có
OB = OC (gt)
OD chung
BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính)

11

11


Vậy ∆BOD = ∆COD (c.c.c)
Suy ra.

=

Điểm D nằm trong góc xOy nên tia

OD nằm giữa hai tia Ox và Oy
Do đó OD là tia phân giác của góc xOy
Chứng minh tương tự ta được OA
là tia phân giác của
Góc xOy chỉ có một tia phân giác
nên hai tia OD và OA trùng nhau. Vậy
ba điểm O, D, A thẳng hàng.
*Qua dạng toán này củng cố cho học sinh kiến thức, kĩ năng chứng minh tia phân
giác của một góc từ đó suy ra 3 điểm thẳng hàng.
b) Chứng minh tia OA và OB cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, và
cùng tạo với tia Ox một góc bằng nhau.
OA, OB cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ
chứa tia Ox

O, A, B thẳng hàng.
= 1080. Gọi O là một điểm nằm trên

Ví dụ 10. Cho tam giác ABC cân ở A,

tia phân giác của góc C sao cho
= 120. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng
thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh
nhau.
Bài giải.
Tam giác ABC cân ở A nên

=

=

từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng

=

= 360

(tính chất của tam giác cân). Mà CO là tia phân giác của
Nên
12

. Do đó
12


= 600

∆BOM đều nên

= 3600 – (1500 + 600)

Vậy:

= 1500
∆BOC và ∆MOC có:
OB = OM (vì ∆BOM đều)
=

= 1500 OC chung

Do đó ∆BOC = ∆MOC (c.g.c)
Suy ra:

=

mà

=

(gt) nên

=

Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và

=

nên tia

CA
và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm)
*Qua bài toán này củng cố cho học sinh cách chứng minh hai tam giác bằng
nhau, chứng minh góc bằng nhau từ đó chứng minh ba điểm thẳng hàng.
2.3.6. Áp dụng đường trung tuyến, trung trực, phân giác, đường cao của một tam
giác
*Chứng minh đường trung tuyến đi qua trọng tâm tam giác
* G là trọng tâm tam giác ABC,
AM là trung tuyến tam giác ABC
A, G, M thẳng hàng

Ví dụ 11. Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy hai điểm P, Q sao
cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng
hàng.
Bài làm.
∆ABC có AM là trung tuyến
Mà AQ = QP = PM (gt)
13

13


AP =

AM

P là trọng tâm ∆ABC
Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung
tuyến của ∆ABC
BE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng.
Ví dụ 12. Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I. Các
đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm B, I,
K thẳng hàng.
Lời giải.
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại
A nên K cách đều hai cạnh Ax và AC (1)
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại
C nên K cách đều hai cạnh Cy và AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra K cách đều hai cạnh Ax và Cy
Hay K cách đều hai cạnh BA và BC
KB là tia phân giác góc B

Vì I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc C nên BI là tia phân giác góc B
Ba điểm B, I, K thẳng hàng.
* Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó

14

14


H là trực tâm ∆ABC;
AD là đường cao của tam giác thì A, H,
D thẳng hàng

Ví dụ 13. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi
M là trung điểm của BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
Bài giải.
Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK
nên I là trực tâm ∆ABC
∆ABC cân tại A có AM là đường trung
tuyến nên cũng là đường cao.
Đường cao AM đi qua trực tâm I
Ba điểm A, I, M thẳng hàng
* Chứng minh đường trung trực của
một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường
trung trực của hai cạnh còn lại.
O là giao điểm 2 đường trung trực
của 2 cạnh AC và BC
đường
trựcABC
của cạnh

VíEF
dụlà14.
Cho trung
tam giác
cân tại A, M
ABđiểm của BC. Đường trung trực của
trung

là

AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh A, D, M
E, F, O thẳng hàng
thẳng hàng.
Lời giải.
∆ABC cân tại A có MB = MC nên AM là
đường trung tuyến ∆ABC
15

15


AM cũng là đường trung trực của
∆ABC
Mà D là giao điểm hai đường trung trực
cạnh AB, AC nên AM đi qua D
Ba điểm A, D, M thẳng hàng.
*Sau khi học các đường (cao, phân giác, trung trực, trung tuyến) giúp học sinh
chứng minh 3 điểm thẳng hàng dễ dàng hơn khi học ở chương II, các bài chứng minh trở
nên ngắn gọn hơn.
Ví dụ 15 (đề thi HKI năm học 2019-2020)

Cho MNP có cạnh MN = MP, I là trung điểm của NP.
a) Chứng minh MNI = MPI.
b) Trên tia đối của tia IM lấy điểm H sao cho IM = IH. Chứng minh MN // HP.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ là MP không chứa điểm N, vẽ tia Mx // NP. Lấy điểm K
thuộc tia Mx sao cho MK = NP. Chứng minh 3 điểm K, P, H thẳng hàng.
Bài làm.
a) Xét

có:

AB = AC ( GT)
MB =MC (GT)
AM là cạnh chung
Do đó

(c.c.c)

b)Xét

có:

AM = MD ( GT)
=

( Hai góc đối đỉnh)

MB =MC (GT)
Do đó ABM =

=

16

DCM (c.g.c)

( Hai góc tương ứng)
16


Mà

và
AB//CD

ở vị trí so le trong

c) Vì Ax//BC (GT)
Xét ACB và CAI có
BC = AI (GT)

=

( Hai góc so le trong)

=
(Chứng minh trên)
AC là cạnh chung
Do đó ACB = CAI (c.g.c)
=

( Hai góc tương ứng)

Mà

và
ở vị trí so le trong
CI // AB
do CD // AB(Chứng minh trên)
Theo tiên đề Ơclit thì đường thẳng CD trùng với đường thẳng CI do đó 3 điểm D,
C, I thẳng hàng.
Ý kiến giáo viên. Trên đây là những định hướng ban đầu nhằm giúp cho học sinh
làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Vì đây là kiến thức mới và khó
đối với học sinh nên bước đầu tôi chỉ chọn những bài tập nhỏ, đơn giản nhằm giúp học
sinh củng cố kiến thức cơ bản và nắm được các phương pháp chứng minh điểm thẳng
hàng đồng thời chỉ ra những sai lầm học sinh thường gặp khi thực hiện những câu hỏi
liên quan đến chứng minh các điểm thẳng hàng.
Một số bài tập củng cố.
Bài 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC,
trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA
lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường
thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 3. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau
bờ AB, kẻ hai tia Ax và By sao cho BAx = ABy. Trên Ax lấy hai điểm C và E (E
nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F (F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD,
AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng, ba điểm E, O, F thẳng hàng
Bài 4. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C, bán kính AB và cung tròn tâm B bán
kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E
và F. (E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A). Chứng minh ba điểm F, A, E
thẳng hàng.

17

17


Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB.
Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm
BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp
và nhà trường.
Đề tài SKKN “Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong Hình học lớp 7” là những
kinh nghiệm được đúc rút từ các khoá dạy học và trao đổi cùng bạn bè đồng nghiệp.
Những kinh nghiệm giảng dạy môn toán là những điều tôi tâm đắc và đem lại niềm vui
trong giảng dạy, truyền thụ những kinh nghiệm, kiến thức đó cho học sinh. Mỗi khi kết
thúc một năm học, tôi lại tự nhìn nhận lại kết quả đạt được trong năm để rút kinh nghiệm
và làm tốt hơn ở các năm tiếp theo. Chính vì vậy, kết quả giảng dạy môn Toán của tôi và
của trường THCS Điện Biên luôn có sự phát triển tích cực, học sinh được đánh giá chất
lượng tốt. Tôi và đồng nghiệp xây dựng được niềm tin đối với học sinh, phụ huynh học
sinh và đồng nghiệp trong ngành giáo dục thành phố Thanh Hoá.
Kết quả học sinh giỏi môn Toán của trường THCS Điện Biên từ năm 2016-2017
đến 2018-2019 luôn nằm ở tốp đầu thành phố, đặc biệt năm học 2017-2018; 2018-2019
đội tuyển 100% học sinh đều đạt giải và xếp thứ 2/38 của Thành phố, cả hai năm đều có
học sinh được chọn vào đội tuyển đi thi Tỉnh của Thành phố, cả 5 em trong đội tuyển
Toán lớp 8 (2017-2018) đều đậu vào chuyên Toán, chuyên Tin Lam Sơn năm học 20192020. Thi vào PTTH tháng 6/2019 điểm bình quân môn Toán đạt 7,14
Trong các bài kiểm tra của các năm khi thử nghiệm ứng dụng đề tài, chúng tôi có
đưa kiến thức chứng minh ba điểm thẳng hàng vào bài kiểm tra. Đối chiếu trước và sau
khi ứng dụng đề tài kết quả như sau
Thời
Làm
Tỉ lệ

Tỉ lệ
Không Tỉ lệ
Năm học
Sĩ số
Làm sai
điểm
đúng
(%)
(%)
làm
(%)
2017-2018
11/2017 125
13
10,4
62
49,6
50
40
3/2018
125
60
48
50
40
15
12
2018-2019
11/2018 130
15

11,5
52
40
63 48,5
3/2019
130
82
63
36
27,7
12 9,3
2019-2020
11/2019 153
22
14,4
60
39.2
71 46,4
5/2020
153
115
75
33
21,6
5
3,4
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giảng dạy bộ môn Toán nói chung
và môn Hình học nói riêng là công việc người thầy giáo phải thực hiện có hiệu quả.

Để học sinh nắm vững kiến thức và hứng thú học, biết tự tìm ra hướng giải và
giải quyết được các bài toán hay, khó, chúng ta cần liên hệ những kiến thức, bài toán đã
18

18


biết để xây dựng kiến thức mới, đặt câu hỏi thêm để kích thích sự tìm kiếm kiến thức ở
học sinh. Chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải
cho học sinh nhận dạng, tìm kiếm các cách giải (nếu có thể) để học sinh có nhiều đường
lối đi đến kết quả và qua đó ôn tập được nhiều kiến thức cho một nội dung câu hỏi.
Sau mỗi dạng bài, giáo viên nên chỉ ra đặc điểm, đặc trưng của loại câu hỏi, hướng
giải quyết cho các bài tập cùng dạng
Nội dung chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một kiến thức với học sinh lớp 7 khi
chưa được hướng dẫn sẽ là một kiến thức có thể cho là khó, khó xác định cách làm và
đôi khi làm lung tung dẫn đến kết quả sai. Khi sử dụng chuyên đề này trong giảng dạy
không chỉ cho học sinh lớp 7 mà dùng cho cả việc ôn luyện học sinh khá giỏi lớp 8; 9,
tôi đều thấy đạt hiệu quả tốt. Nó chỉ cho học sinh biết cách tìm đường đi cho các dạng
bài ‘Chứng minh thẳng hàng” nói riêng mà cách tư duy Toán Hình học nói chung . Khi
được học những chuyên đề có tính chất tổng hợp, nghiên cứu sâu như vậy, học sinh thích
học và học có hiệu quả, đạt thành tích cao cho môn Toán.
3.2. Kiến nghị.
Qua đề tài này tôi xin đề xuất với các cấp quản lý giáo dục sau khi HĐKH chấm
SKKN nên tổ chức các chuyên đề để phát triển những đề tài hay, có hiệu quả áp dụng
vào giảng dạy, để các kinh nghiệm hay của đồng nghiệp được lan toả, ứng dụng, nâng
chất lượng môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung ngày càng cao hơn.
Trên đây là một kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy nhiều năm rút ra, SKKN
của tôi chắc chắn cần có sự góp ý, bổ sung của đồng nghiệp để hoàn thiện hơn. Rất mong
sự góp ý của các đồng chí.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN
Thành phố Thanh Hoá, ngày 20 tháng 5 năm 2020
CỦA HIỆU TRƯỞNG
Tôi xin cam đoan đâylà SKKN của mình tự viết
Không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT

Hoàng Thị Sơn Quyên

TÀI LIỆU THAM KHẢO
19

19


1. Toán nâng cao các chuyên đề

Vũ Dương Thụy

2. Toán nâng cao và phát triển

Vũ Hữu Bình

3. Báo Toán học tuổi thơ 2

20

20