Trắc nghiệm nâng cao đạo hàm đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 0


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số

y  f  x  xác định trên khoảng  a ; b  và x0   a ; b  , đạo hàm của hàm số

f '  x0   lim

tại điểm x0 là :

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0

.

1.2. Chú ý :

Nếu kí hiệu x  x  x0 ; y  f  x0  x   f  x0  thì :

f '  x0   lim

x  x0

f  x0  x   f  x0 
y
 lim
.


x
0
x  x0
x

Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số

y  f  x  có đồ thị  C 

f '  x0  là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị  C  của hàm số y  f  x  tại M 0  x0 , y0    C  .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M 0  x0 , y0    C  là :

y  f '  x0    x  x0   y0 .

2.2. Ý nghĩa vật lí :

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s  s  t  tại thời điểm t0 là

v  t0   s '  t0  .
Cường độ tức thời của điện lượng Q  Q  t  tại thời điểm t0 là : I  t0   Q '  t0  .

3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
Cho u  u  x  ; v  v  x  ; C : là hằng số .

3.1. Các quy tắc :

 u  v  '  u ' v '
  C.u   C.u 

 u.v  '  u '.v  v '.u

C.u 
 u  u '.v  v '.u
 C 
, v  0      2
 
2
v
u
v
u
Nếu y  f  u  , u  u  x 

 yx  yu .u x .

3.2. Các công thức :

 C   0

;

 x   n.x
n

 x   1

n 1

  u n   n.u n 1 .u  ,  n   , n  2 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x   2 1 x

,  x  0 

 u   2uu

, u  0

 sin x   cos x

  sin u   u. cos u

 cos x    sin x

  cos u   u.sin u

 tan x  

1
cos2 x

 cot x   

  tan u  

Đạo Hàm Nâng Cao

u
cos2 u

u
  cot u    2 .
sin u

1
sin 2 x

4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số y  f  x  tại điểm x0 là :

df  x0   f   x0  .x .
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  thì tích f   x  .x được gọi là vi phân của hàm số

y  f  x  . Kí hiệu : df  x   f   x  .x  f   x  .dx hay dy  y.dx .
4.2. Công thức tính gần đúng :

f  x0  x   f  x0   f   x0  .x .
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :

Định nghĩa : f   x    f   x  
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s  f  t  tại thời điểm t0 là a  t0   f   t0  .
5.2. Đạo hàm cấp cao : f

 n

 x    f  n 1  x  ,  n   , n  2 

.

B. BÀI TẬP
TÍNH ĐẠO HÀM

Câu 1:

 x2  1
khi x  0

Tìm a, b để hàm số f  x    x  1
có đạo hàm tại điểm x  0 .
 ax  b khi x  0


a  11
A. 
.
b  11
Câu 2:

a  10
B. 
.
b  10

a  12
C. 
.
b  12

khi x  0
 ax 2  bx  1
Tìm a, b để hàm số f ( x )  
 a s in x  b cos x khi x  0

a  1

D. 
.
b  1

có đạo hàm tại điểm x0  0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 3:

Câu 4:

A. a  1; b  1 .

B. a  1; b  1 .

C. a  1; b  1 .
Cho hàm số f ( x )  x ( x  1)( x  2)...( x  1000) . Tính f (0) .

D. a  0; b  1 .

A. 10000! .

B. 1000! .

D. 1110! .

C. 1100! .

 3 4 x 2  8  8 x2  4
khi x  0

Cho hàm số f ( x)  
x
0
khi x  0


5
B.  .
3


khi x  0
 x sin
Với hàm số f ( x )  
x
0
khi x  0
qua các bước như sau:

A.

Câu 5:

Đạo Hàm Nâng Cao

1
.
3

1. f ( x )  x . sin

C.

.Giá trị của f (0) bằng:

4
.
3

D. Không tồn tại.

.Để tìm đạo hàm f '( x )  0 một học sinh lập luận


 x.
x

2.Khi x  0 thì x  0 nên f ( x)  0  f ( x)  0 .
3.Do lim f ( x)  lim f ( x )  f (0)  0 nên hàm số liên tục tại x  0 .
x 0

Câu 6:

Câu 7:

4.Từ f ( x) liên tục tại x  0  f ( x ) có đạo hàm tại x  0 .
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3.
1

 x sin 2 khi x  0
Cho hàm số f ( x)  
.
x
0
khi x  0

D. Bước 4.

(1) Hàm số f ( x) liên tục tại điểm x  0 .
(2) Hàm số f ( x) không có đạo hàm tại điểm x  0 .
Trong các mệnh đề trên:
B. Chỉ (2) đúng.
C. Cả (1), (2) đều đúng. D. Cả (1), (2)
A. Chỉ (1) đúng.
sai.
 ax 2  bx khi x  1
Cho hàm số f ( x)  
.Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x  1
khi x  1
2 x  1

A. a  1, b  0 .

Câu 8:

x 0

B. a  1, b  1 .

C. a  1, b  0 .

đều

D. a  1, b  1 .

 x 2  x  1 khi x  1
Đạo hàm của hàm số f  x   
là:
x

1

3
khi
x

1

khi x  1
2 x


A. f   x    1
.
khi
x

1
 2 x 1


2 x  1 khi x  1

B. f   x    1
.
khi
x

1
 x 1


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2 x  1 khi x  1

C. f   x    1
.

 2 x  1 khi x  1


Câu 9:

Đạo Hàm Nâng Cao

2 x  1 khi x  1

D. f   x    1
.
 2 x  1 khi x  1


 x2  x 1
khi x  0

Cho hàm số f  x    x  1
. Tìm a , b để hàm số f  x  có đạo hàm trên  .
 x 2  ax  b khi x  0


A. a  0 , b  11 .
Câu 10: Đạo

hàm

8

6

của

B. a  10 , b  11 .
hàm

5

y  ( x 2  1)( x 3  2)( x 4  3)

số

4

3

C. a  20 , b  21 .
bằng

D. a  0 , b  1 .
biểu

thức

có

dạng

2

ax  bx  cx  15 x  dx  ex  gx . Khi đó a  b  c  d  e  g bằng:
A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 5.
4

ax  bx3  cx2  dx  e
x  2x  3
bằng
biểu
thức
có
dạng
. Khi
( x3  2)2
x3  2
2

Câu 11: Đạo hàm của hàm số y 
đó a  b  c  d  e bằng:
A. 12 .

B. 10 .

C. 8.

D. 5.
2

Câu 12: Đạo hàm của hàm số y  ( x  2) x 2  1 biểu thức có dạng

ax  bx  c
x2  1

. Khi đó a.b.c bằng:

A. 2 .

B. 4 .
C. 6 .
D. 8 .
x 1
ax  b
Câu 13: Đạo hàm của hàm số y 
biểu thức có dạng
. Khi đó P  a.b bằng:
x2  1
( x 2  1) 3
A. P  1 .

B. P  1 .
C. P  2 .
x
thì f   0 
Câu 14: Cho f  x  
 x  1 x  2 x  2017 

A.

1
.
2017!

Câu 15: Cho hàm số f  x  

B. 2017! .
1 x  1 x
1 x  1 x

C. 

1
.
2017!

D. P  2 .

D. 2017! .

. Đạo hàm f   x  là biểu thức nào sau đây?

 1
  2 khi x  1, x  1
A.  x
.
1
khi  1  x  1

2
khi x  1, x  1

B.  x 2
.
1
khi  1  x  1

1
khi x  1, x  1

C.  x 2
.
 1
khi  1  x  1

 3
  2 khi x  1, x  1
D.  x
.
 2
khi  1  x  1

Câu 16: Cho hàm số y  sin  cos 2 x  .cos  sin 2 x  . Đạo hàm y  a.sin 2 x.cos  cos 2 x  . Giá trị của a
là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?
A.  0; 2  .

B.  1;5  .

C.  3; 2  .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.  4;7  .

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 17: Cho hàm số y 

Đạo Hàm Nâng Cao

1 1 1 1 1 1


 cos x với x   0;   có y  là biểu thức có dạng
2 2 2 2 2 2

x
a.sin . Khi đó a nhận giá trị nào sau đây:
8
A.

1
.
4

1
B.  .
4

x

Câu 18: Đạo hàm của hàm số y 

a2

A. 

a

2

x

2 3

.

C.

2

a  x2



a

2

1
D.  .
8

( a là hằng số) là:

a2

B.

1
.
8

x

2 3

.



2a 2

C.

a

2

x

2 3

.

a2

D.



a

2

x

2 3

.



Câu 19: Cho hàm số y  2 x  x 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. y 3 . y   1  0 .

Câu 20: Cho hàm số y 

B. y 2 . y   1  0 .

C. 3 y 2 . y   1  0. .

D. 2 y 3. y  3  0.

sin 3 x  cos3 x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
1  sin x cos x

A. 2 y   y  0.

B. y  y  0.

C. y  y  0.

D. 2 y   3 y  0.

Câu 21: Cho f ( x)  sin 6 x  cos6 x và g ( x)  3sin 2 x.cos2 x . Tổng f ( x)  g ( x) bằng biểu thức nào
sau đây?
A. 6(sin 5 x  cos5 x  sin x.cos x ) .
C. 6.
D. 0.

B. 6(sin 5 x  cos5 x  sin x.cos x ) .

x2
30

Câu 22: Cho hàm số f  x  
. Tìm f    x  :
x 1
A. f  30   x   30!1  x 

30

C. f  30  x   30!1  x 

B. f  30   x   30!1  x 

.

30

.

31

D. f  30  x   30!1  x 

.

31

.

Câu 23: Cho hàm số y  cos x . Khi đó y (2016) ( x) bằng
A.  cos x .

B. sin x .

C.  sin x .

D. cos x .

Câu 24: Cho hàm số y  cos2 2 x . Giá trị của biểu thức y   y  16 y   16 y  8 là kết quả nào sau
đây?
A. 0 .

x

B. 8 .

C.  cos x 

1
.
2

D.


 k 2 , k   .
3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao



4
Câu 25: Cho hàm số y  f  x   cos  2 x   . Phương trình f    x   8 có các nghiệm thuộc
3

 
đoạn  0;  là:
 2
A. x  0 , x 


.
3

B. x 


.
2

C. x  0 , x 


.

2

D. x  0 , x 


.
6

Câu 26: Cho hàm số f  x   5 x 2  14 x  9. Tập hợp các giá trị của x để f '  x  0  là

7 9
A.  ;  .
5 5

7

B.  ;  .
5


 7
C.  1;  .
 5

7

D.  ;   .
5


Câu 27: Cho hàm số f  x   x  x 2  1 . Tập các giá trị của x để 2 x. f   x   f  x   0 là:

 1

A.  ;   .
 3


 1

B. 
;   .
 3


1 

C.  ;
.
3


 2

D.  ;   .
 3


Câu 28: Cho hàm số f  x   x 2  x . Tập nghiệm S của bất phương trình f '  x   f  x  là:
2  2


;   .
A. S   ; 0   

 2


B. S   ;0   1;   .



2  2  2  2
C. S   ;
;   .


2   2




2 2
D. S   ;
  1;  
2 


Câu 29: Cho

các

hàm

số

f  x   sin 4 x  cos 4 x, g  x   sin 6 x  cos2 x .

Tính

biểu

thức

3 f ' x   2g ' x   2
A. 0 .

B. 2 .

C. 1.

D. 3

Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  như hình vẽ. Tính A  f ' 1  f '  2   f '  3

A. A  6
Câu 31: Cho hàm số f  x  

B. A  6

C. A  0

D. A  12

mx 3
 mx 2   3m  1 x  1 . Tập các giá trị của tham số m để y   0 với
3

x   là:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A



B.  ; 2 .

A. ; 2  .

Đạo Hàm Nâng Cao

C.  ;0 .

D.  ;0  .

Câu 32: Cho hàm số y   m  1 x3  3  m  2  x 2  6  m  2  x  1 . Tập giá trị của m để y   0
x   là

A.  3;   .

B. 1;   .



D.  4 2;  .

C.  .

Câu 33: Cho hàm số f  x   sin 2 x  sin 2 x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của

f   x  trên  .
A. m   2 , M  2 . B. m  1 , M  1 .

C. m  2 , M  2 .

m 5,

D.

M  5.
cos3 x
 sin 3 x  2cos x  3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình
3
lượng giác f   x  trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?

Câu 34: Cho hàm số f  x   2

A. 1 điểm.

B. 2 điểm.

C. 4 điểm.

D. 6 điểm.

Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn  n.2n 1 , n  N .
B. Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn   n  1 .2n , n  N .
C. Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn   n  1 .2n1 , n N .
D. Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn   n  1 .2n1 , n N .
Câu 36: Tính tổng với n  N , n  2 :

S  1.2.Cn2  2.3.Cn3  ...  (n  2).(n  1).Cnn1  (n  1).n.Cnn
A. (n  1).(n  2).2n 2 .

B. n.(n  1).2n 2 .

C. n.(n  1).2n 1 .

D. (n  1).(n  2).2n .

Câu 37: Tính tổng S  Cn0  2Cn1  3Cn2  ...  (n  1)Cnn bằng
B. (n  1).2n1 .

A. n.2n1 .

99

0
100

Câu 38: Tính tổng: S  100.C
A. 10 .

C. (n  2).2n 1 .
100

1
1 1
   101.C100  
2
2

B. 0 .

D. (n  1).2n .
198

0
100

 ...  199.C

1
 
2

199

100
100

 200.C

C. 1.

1
 
2

D. 100 .

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 39: Biết tiếp tuyến  d  của hàm số y  x 3  2 x  2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư
thứ nhất. Phương trình  d  là:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. y   x 

Đạo Hàm Nâng Cao

1 18  5 3

1 18  5 3

, y  x 

.
9
9
3
3

B. y  x, y  x  4.
C. y   x 

1 18  5 3
1 18  5 3

, y  x 

.
9
9
3
3

D. y  x  2, y  x  4.
x 1
x 1
song song với nhau:

(C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc  C  mà tiếp tuyến tại đó

A. 0 .

B. 2 .

Câu 40: Cho hàm số y 

C. 1 .

D. Vô số.

1 3
x  3x 2  x  1 có đồ thị  C  . Trong các tiếp tuyến với đồ thị  C  , hãy
3
tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Câu 41: Cho hàm số y 

A. y  8 x  19 .

B. y  x  19 .

C. y  8 x  10 .

D. y   x  19 .

Câu 42: Cho hàm số y  x 3  2 x 2  2 x có đồ thị (C). Gọi x1 , x2 là hoành độ các điểm M , N trên

C  ,

mà tại đó tiếp tuyến của  C  vuông góc với đường thẳng y   x  2017 . Khi đó

x1  x2 bằng:
A.

4
.
3

B.

4
.
3

C.

1
.
3

Câu 43: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 4  4 x 2  2017 và đường thẳng d : y 

D. 1 .

1
x  1. Có bao nhiêu tiếp
4

tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?

A. 2 tiếp tuyến.

B. 1 tiếp tuyến.

C. Không có tiếp tuyến nào.

D. 3 tiếp tuyến.

1
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa
x 1
độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

Câu 44: Trên đồ thị của hàm số y 

A.  2;1 .

 1
B.  4;  .
 3

 3 4
C.   ;   .
 4 7

3

D.  ; 4  .
4


Câu 45: Tiếp tuyến của parabol y  4  x 2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là:
A.

25
.
2

B.

5
.
4

C.

5
.
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

25
.
4

Trang 8

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

1
Câu 46: Cho đồ thị hàm số  C  : y  ; điểm M có hoành độ xM  2  3 thuộc (C). Biết tiếp tuyến
x
của (C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A ,. B . Tính diện tích tam giác OAB .
A. S OAB  1 .

B. S OAB  4 .

C. S OAB  2 .

D. S OAB  2  3 .

x 2  3x  3
Câu 47: Biết với một điểm M tùy ý thuộc  C  : y 
, tiếp tuyến tại M cắt  C  tại hai
x2
điểm A,B tạo với I  2; 1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là?
A. 2 (đvdt ).

B. 4 (đvdt ).

C. 5 (đvdt ).

D. 7 (đvdt ).

Câu 48: Cho hàm số y   x 3  3 x  2 có đồ thị là  C  . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ
đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với
nhau.

 8 
A. M   ;0  .
 27 

 28 
B. M   ;0  .
 7 

 8 
C. M   ;0  .
 7 

 28 
D. M   ;0  .
 27 

2x 1
có đồ thị là  C  . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  sao cho
x 1
tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A , B thoả mãn OA  4OB.

Câu 49: Cho hàm số y 

1
5


y   4 x 4
A. 
.
 y   1 x  13

4
4

Câu 50: Cho hàm số

1
5

y   4 x 4
B. 
.
 y   1 x  13

4
4

1
5

y   4 x 4
C. 
.
 y   1 x  13


4
4

1
y  x 3  2 x 2  3x có đồ thị là
3

1
5

y   4 x 4
D. 
.
 y   1 x  13

4
4

4 4
A  ;  . Có bao nhiêu giá trị
9 3



 : y  x
 : y  3 x


4
 : y  4 x

để tiếp tuyến của   : y  x  1
tại giao điểm của nó với trục tung


3
3


5
8
5
128
 : y   x 
 : y   x 
9
81
9
81


tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 .

A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

x 1
.Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M 
2x 1
 C  mà tiếp tuyến của  C  tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm

Câu 51: Cho hàm số y 

trên đường thẳng d : y  2m  1 .
A.

1
.
3

B.

3
.
3

C.

2
.
3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

2
.
3

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

Câu 52: Cho hàm số y  133x  508; y  8 x  8; y  5 x  4. , có đồ thị là  C  . Có bao nhiêu điểm

C 

thuộc



C 

2

sao cho tiếp tuyến tại



của

C 



cắt

Oy

tại



24  3x0  4 x0  1  4  x0   x03  2 x02  x0  4 B sao cho diện tích tam giác x0  1 bằng

1
, x0  6 là gốc tọa độ.
4
A. 1
Câu 53:

B. 2

C. 3

D. 4

x 2  2mx  2m2  1
 Cm  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với
x 1
 Cm  tại hai điểm này vuông góc với nhau.
y

A. m 

2
.
3

B. m  1 .

2
C. m  , m  1 .
3

D. m  0 .

x 2  2mx  m
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp
xm
tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là

Câu 54: Cho hàm số y 

A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 7 .

Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của  C  : y  x 3 biết nó đi qua điểm M  2; 0  là:
A. y  27 x  54 .

B. y  27 x  9; y  27 x  2 .

C. y  27 x  27 .

D. y  0; y  27 x  54 .

x2
 x  1 , có đồ thị  C  . Từ điểm M  2;  1 kẻ đến  C  hai tiếp tuyến
4
phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

Câu 56: Cho hàm số f  x  

A. y   x  1 và y  x  3 .

B. y  2 x  5 và y  2 x  3 .

C. y   x  1 và y   x  3 .

D. y  x  1 và y   x  3 .

Câu 57: Tiếp tuyến của parabol y  4  x 2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là:
A.

25
.

2

B.

5
.
4

C.

5
.
2

D.

25
.
4

x2
.
Câu 58: Cho hai hàm số f  x  
và g  x  
x 2
2
1

Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f  x  , g  x  đã cho tại giao điểm của
chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu

A. 60 .

B. 45 .

C. 30 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 90 .

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

2x  2
có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp
x 1
tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Câu 59: Cho hàm số y 

A.  : y   x  7 ;  : y   x  1 .

B.  : y  2 x  7 ;  : y   x  11 .

C.  : y   x  78 ;  : y   x  11 .

D.  : y   x  9 ;  : y   x  1 .

Câu 60: Cho hàm số y   x  1 có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x0 .
A.

   ; y  y '  x0  x  x0   y  x0    3 x0  6 x0  9   x  x0   x0  3x02  9 x0  11 .
2

3

B.

29

;184  .
 3


   ; I 

2
 29
 3
184  3x0  6 x0  9   x0   x0  3x02  9 x0  11 ;
 3




C.

 2 x03  32 x02  58 x0  260  0  x0  13 .



D. x0  5 ; x0  2. .

x 1
x 1
song song với nhau:

(C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc  C  mà tiếp tuyến tại đó

A. 0 .

B. 2 .

Câu 61: Cho hàm số y 

C. 1.

D. Vô số.

1
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa
x 1
độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

Câu 62: Trên đồ thị của hàm số y 

 1
B.  4;  .
 3

A.  2;1 .

 3 4
C.   ;   .
 4 7

3

D.  ; 4  .
4


Câu 63: Định m để đồ thị hàm số y  x 3  mx 2  1 tiếp xúc với đường thẳng d : y  5 ?
A. m  3 .

B. m  3 .

C. m  1 .

D. m  2 .

Câu 64: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d : y  mx  m  3 cắt đồ thị

(C ) : y  2 x 3  3x 2  2 tại ba điểm phân biệt A, B, I 1; 3 mà tiếp tuyến với (C ) tại A và
tại B vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A. 1.

B. 1.

C. 2 .

D. 5.

Câu 65: Cho hàm số y  x 3  2018x có đồ thị là  C  . M 1 là điểm trên  C  có hoành
độ x1  1 . Tiếp tuyến của  C  tại M 1 cắt  C  tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của  C 
tại M 2 cắt  C  tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của  C  tại điểm M n1 cắt  C  tại điểm

Mn

khác

M n1

 n  4; 5;... ,

gọi

 xn ; yn 

là tọa độ điểm

M n . Tìm n để:

2018 xn  yn  22019  0 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. n  647 .
Câu 66: Cho

B. n  675 .

hàm

số
2

y  f  x

xác

Đạo Hàm Nâng Cao

C. n  674 .
định

và

có

đạo

D. n  627 .
hàm

trên



thỏa

mãn

3

 f 1  2 x    x   f 1  x   . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại
điểm có hoành độ bằng 1.

1
6
A. y   x  .
7
7

B. y 

1
8
x .
7
7

1
8
C. y   x  .
7
7

6
D. y   x  .
7

Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số y  x3  3x  1 C  , đường thẳng

d : y  mx  m  3 giao nhau tại A  1;3 , B, C và tiếp tuyến của  C  tại B và C vuông góc
nhau.

3  2 2
m 
3
A. 

3  2 2
m 

3


2  2 2
m 
3

B. 

2  2 2
m 

3


4  2 2
m 
3
C. 

4  2 2
m 

3


5  2 2
m 
3
D. 

5  2 2
m 

3

5

x4
 3x 2  (C ) và điểm M  (C ) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a
2
2
thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.

Câu 68: Cho hàm số: y 

 a  3
A. 
a  1

 a  3
B. 
a  1

a  3
C. 
a  1

 a  7
D. 
a  2

1
Câu 69: Cho hàm số y  mx 3   m  1 x 2   4  3m  x  1 có đồ thị là  Cm  , m là tham số. Tìm các
3
giá trị của m để trên  Cm  có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của  Cm 
tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x  2 y  0 .
m  0

A. 
2
m 
3


m  0
B. 
m  1

1
C. 0  m 
3

 m  1
D. 
5
m 
3


Câu 70: Cho hàm số y  x 3  12 x  12 có đồ thị  C  và điểm A  m; 4  . Gọi S là tập hợp tất cả các
giá trị thực của m nguyên thuộc khoảng  2;5  để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị

 C  . Tổng tất cả các phần tử nguyên của
A. 7 .

B. 9 .

S bằng

C. 3 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 4 .

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

Câu 71: Cho hàm số f  x   x3  6 x2  9 x  1 có đồ thị  C  . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị  C 
tại điểm thuộc đồ thị  C  có tung độ là nghiệm phương trình 2 f '  x   x. f ''  x   6  0.
A. 1.

B. 4.

C. 3.

Câu 72: Cho các hàm số y  f ( x ), y  f ( x 2 ), y 

D. 2

f ( x)
có đồ thị lần lượt là (C1 ), (C2 ), (C3 ) . Hệ số
f ( x2 )

góc các tiếp tuyến của (C1 ), (C2 ), (C3 ) tại điểm có hoành độ x0  1 lần lượt là k1 , k2 , k3 thỏa

mãn k1  2k2  3k3  0 . Tính f (1) .

1
A. f (1)   .
5

2
B. f (1)   .
5

Câu 73: Cho các hàm số y  f  x  , y  g  x  , y 

C. V  
f  x
g  x

3
5

4
D. f (1)   .
5

. Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của

các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x  0 bằng nhau và khác 0 thì:
A. f  0  

1
.

4

B. f  0  

1
.
4

C. f  0  

1
.
4

D. f  0  

1
.
4

Câu 74: Cho hàm số y  f ( x); y  g ( x ) dương có đạo hàm f '( x); g '( x ) trên  . Biết rằng tiếp tuyến
tại điểm có hoành độ xo  0 của đồ thị hàm số y  f ( x); y  g ( x ) và y 

f ( x)  1
có cùng
g ( x)  1

hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

3

3
3
3
A. f (0)   .
B. f (0)   .
C. f (0)  .
D. f (0)  .
4
4
4
4
3
2
Câu 75: Cho hàm số y  x  3x  2 x  1 có đồ thị (C ) . Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành
độ lần lượt là a và b  a  b  và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. AB  2 . Tính
S  2a  3b.

A. S  4 .

B. S  6 .

C. S  7 .

D. S  8 .

Câu 76: Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  1 có đồ thị (C ) . Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp tất cả
các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B ( B  A) thỏa
mãn ab  

1

trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và
2

B. Tính tổng tất cả các phần

tử của S.
A. S  4 .

B. S  6 .

C. S  7 .

D. S  8 .

Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số
2
5
y   x3  (m  1) x 2  (3m  2) x  tồn tại hai điểm M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) có toạ độ thoả
3
3
mãn x1.x2  0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông
góc với đường thẳng x  2 y  1  0 . Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S.
A. 1 .

B. 3 .

C. 2 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

D. 4 .
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

1 4
5
x  3 x 2  (C ) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A
2
2
cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC  3 AB (với B nằm giữa A và C).
Tính độ dài đoạn thẳng OA.

Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số y 

A. OA  2 .

B.

3
.
2

C.

14
.

2

D.

17
.
2

5
thuộc (C). Tiếp
2
tuyến của (C) tại A1 cắt (C) tại điểm thứ hai A2  A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của (C) tại

Câu 79: Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  1 có đồ thị (C ) . Xét điểm A1 có hoành độ x1 

A2 cắt (C) tại điểm thứ hai A3  A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C)
tại An1 cắt (C) tại điểm thứ hai An  An1 có hoành độ xn . Tìm x2018 .

1
A. x2018  22018  .
2

1
B. x2018  22018  .
2

1
1
C. x2018  3.2 2017  . D. x2018  3.22017  .
2

2
Câu 80: Cho hàm số y  2x 3  3x 2  1 có đồ thị  C  . Xét điểm A1 có hoành độ x1  1 thuộc  C  .
Tiếp tuyến của  C  tại A1 cắt  C  tại điểm thứ hai A2  A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của

C 

tại A2 cắt  C  tại điểm thứ hai A3  A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến

của  C  tại An1 cắt  C  tại điểm thứ hai An  An1 có hoành độ xn . Tìm giá trị nhỏ nhất
của n để xn  5100 .
A. 235

B. 234

C. 118
3

D. 117
3

3

Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x  a    x  b    x  c  có hệ số góc nhỏ nhất
tại tiếp điểm có hoành độ x  1 đồng thời a, b, c là các số thực không âm. Tìm GTLN tung
độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung?
A. 27

B. 3

C. 9

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 18

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

C. HƯỚNG DẪN GIẢI
TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 1:

 x2  1
khi x  0

Tìm a, b để hàm số f  x    x  1
có đạo hàm tại điểm x  0 .
 ax  b khi x  0


a  11
.
A. 
b  11

a  10

B. 
.
b  10

a  12
C. 
.
b  12

a  1
D. 
.
b  1

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x  0
lim f ( x )  1  f (0), lim f ( x)  b  b  1

x 0

x 0

Xét lim
x 0

lim

x 0

f ( x )  f (0)
x 1
 lim
 1
x0 x  1
x

f ( x )  f (0)
 lim a  a
x0
x

Hàm số có đạo hàm tại x  0  a  1
Câu 2:

khi x  0
 ax 2  bx  1
Tìm a, b để hàm số f ( x )  
 a s in x  b cos x khi x  0
A. a  1; b  1 .

B. a  1; b  1 .

có đạo hàm tại điểm x0  0

C. a  1; b  1 .

D. a  0; b  1 .

Hướng dẫn giải

Chọn A
Ta có: f (0)  1

lim f ( x)  lim (ax 2  bx  1)  1

x 0

x0

lim f ( x )  lim (a s in x  b cos x)  b

x 0

x0

Để hàm số liên tục thì b  1
f (0 )  lim
x0

ax 2  x  1  1
1
x

x
x
x
2a sin cos  2sin 2
a s inx  b cos x  1
2
2

2
f (0 )  lim
 lim
x 0
x 0
x
x
x
x
sin
sin
x
2 . lim  a cos   lim
2 . lim sin x  a
 lim

 

x 0
x x 0 
2  x  0 x x 0
2
2
2
Để tồn tại f (0)  f (0 )  f (0 )  a  1


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

s inx
s inf(x)
 1  lim
1
x0
f ( x ) 0 f ( x )
x

Giới hạn lượng giác lim
Câu 3:

Cho hàm số f ( x )  x ( x  1)( x  2)...( x  1000) . Tính f (0) .

A. 10000! .

B. 1000! .

C. 1100! .
Hướng dẫn giải

D. 1110! .

Chọn B.
f ( x)  f (0)

x ( x  1)( x  2)...( x  1000)  0
 lim
 lim( x  1)( x  2)...( x  1000)
x

0
x 0
x0
x
 ( 1)( 2)...( 1000)  1000!
f ( x)  lim
x 0

Câu 4:

 3 4 x 2  8  8 x2  4
khi x  0

Cho hàm số f ( x)  
x
0
khi x  0


1
.
3
Chọn B.

5

B.  .
3

A.

f  x   f  0

C.

.Giá trị của f (0) bằng:

4
.
3

D. Không tồn tại.

3
4 x 2  8  8x 2  4
4 x2  8  2  2  8x 2  4

lim
x0
x 0
x0
x
x2
x2
Ta có:



1 
4x2
8 x2
5
 1
 lim 2 

 2 

2
2
x0 x
3
 3  4 x 2  8  2 3 4 x2  8  4 2  8 x  4  3



lim

Câu 5:

3

 lim



khi x  0
 x sin

Với hàm số f ( x )  
x
0
khi x  0
qua các bước như sau:
1. f ( x )  x . sin

.Để tìm đạo hàm f '( x )  0 một học sinh lập luận


 x.
x

2.Khi x  0 thì x  0 nên f ( x)  0  f ( x)  0 .
3.Do lim f ( x)  lim f ( x )  f (0)  0 nên hàm số liên tục tại x  0 .
x 0

x 0

4.Từ f ( x) liên tục tại x  0  f ( x ) có đạo hàm tại x  0 .
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3.
Chọn D.
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa

D. Bước 4.

f  x   f  0

x0

 sin


x

không có giới hạn khi x  0
Câu 6:

1

 x sin 2 khi x  0
Cho hàm số f ( x)  
x
0
khi x  0

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

(1) Hàm số f ( x) liên tục tại điểm x  0 .

(2) Hàm số f ( x) không có đạo hàm tại điểm x  0 .
Trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (1) đúng.
B. Chỉ (2) đúng.
C. Cả (1), (2) đều đúng. D. Cả (1), (2) đều
sai.
Chọn C.
1
Ta có:  x  x.sin 2  x
x
1
1
 lim   x   lim x.sin 2  lim x  0  lim x.sin 2  0  f  0 
x 0
x0
x 0
x 0
x
x
Vậy hàm số liên tục tại x  0
f  x   f  0
1

 lim  sin 2 
Xét lim
x0
x0
x 

1

Lấy dãy (xn): xn 
có:

 2n
2
1


lim xn  lim
 0  lim f  xn   lim sin   2 n   1


n 
n
n

2

 2n
2
1
1
 , tương tự ta cũng có:
Lấy dãy xn : xn 
2

 2 n
6
f  x   f  0
1


 1
lim xn  0  lim f xn  0  lim sin   2n    lim
 limsin 2
n 
n 
n 
x 0
x 0
x 0
x
6
 2
không tồn tại

 

 

Câu 7:

 ax 2  bx khi x  1
Cho hàm số f ( x)  
.Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x  1
khi x  1
2 x  1

A. a  1, b  0 .

B. a  1, b  1 .

C. a  1, b  0 .

D. a  1, b  1 .

Chọn C.
 lim f  x   a  b  f 1

Ta có:  x 1
 a  b 1
lim
f
x

lim
2
x

1

1




 x 1
x 1

lim

x 1

lim

f  x   f 1
x 1
f  x   f 1

 lim
x 1

 lim

ax 2  bx   a  b 
x 1
2 x2  1   a  b 

x 1
x 1
x 1
a  b  1
a  1

Ta có hệ: 
 2a  b  2
b  0
x 1

 lim  a  x  1  b   2a  b
x 1

 lim
x 1

2x 11
2
x 1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 8:

Đạo Hàm Nâng Cao

 x 2  x  1 khi x  1
Đạo hàm của hàm số f  x   
là:
 x  1  3 khi x  1
khi x  1
2 x

A. f   x    1
.
 2 x  1 khi x  1


2 x  1 khi x  1

B. f   x    1
.
 x  1 khi x  1


2 x  1 khi x  1

C. f   x    1
.
 2 x  1 khi x  1


2 x  1 khi x  1

D. f   x    1
.
 2 x  1 khi x  1


Hướng dẫn giải
Chọn D.
Với x  1: f   x   2 x  1
Với x  1: f   x  

1
2 x 1

Với x  1, ta có lim

x 1

f  x   f 1
x 1
khi x  1

 lim
x 1

x 1
  nên không có đạo hàm tại x  1.
x 1

2 x  1

Vậy f   x    1
 2 x  1 khi x  1


Câu 9:

 x2  x 1
khi x  0

Cho hàm số f  x    x  1
. Tìm a , b để hàm số f  x  có đạo hàm trên  .
 x 2  ax  b khi x  0


A. a  0 , b  11 .

B. a  10 , b  11 .

C. a  20 , b  21 .

D. a  0 , b  1 .

Chọn D.
Với x  0 hàm số luôn có đạo hàm.
Để hàm số có đạo hàm trên  thì hàm số phải có đạo hàm tại x  0 .
lim f  x   1 , lim f  x   b  b  1 .

x  0

x 0

Để hàm số liên tục tại x  0  b  1 .

x2  x  1
1
f  x   f 0
f  x  f 0
x 2  ax  b  1
 lim
a.
Xét lim
 lim x  1
 0 ; lim
x 0
x 0

x 0
x 0
x 0
x
x 0
x
 a  0 . Vậy a  0 , b  1 .

Câu 10: Đạo

hàm

của

hàm

số

y  ( x 2  1)( x 3  2)( x 4  3)

bằng

biểu

thức

có

dạng

ax8  bx6  cx5  15 x4  dx3  ex2  gx . Khi đó a  b  c  d  e  g bằng:
A. 0.
Chọn C.

B. 2.

C. 3.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 5.

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

y   2 x  x3  2  x 4  3   3x 2  x 2  1 x 4  3   4 x3  x 2  1 x3  2 
 2 x  x 7  2 x 4  3 x3  6   3 x 2  x 6  x 4  3 x 2  3   4 x3  x 5  x 3  2 x 2  2 

 9 x 8  7 x 6  12 x 5  15 x 4  8 x 3  9 x 2  12 x.
 a b  c  d  e g  3.
Câu 11: Đạo hàm của hàm số y 

ax 4  bx3  cx2  dx  e
x2  2x  3
bằng biểu thức có dạng
. Khi đó

( x3  2)2
x3  2

a  b  c  d  e bằng:

A. 12 .
Chọn A.

y 

B. 10 .

C. 8.

 2 x  2   x 3  2   3 x 2   x 2  2 x  3 

x

3

 2

2



D. 5.

x4  4 x3  9 x 2  4 x  4

x

3

 2

2

 a  b  c  d  e  12

ax2  bx  c

2

Câu 12: Đạo hàm của hàm số y  ( x  2) x  1 biểu thức có dạng
A. 2 .
Chọn B.

B. 4 .

y  x2  1   x  2 .

2x
2 x2 1
x 1

Câu 13: Đạo hàm của hàm số y 
A. P  1 .
Chọn A.

x2  1

2

x 1

. Khi đó a.b.c bằng:

C. 6 .

2x2  2x 1
x2  1

D. 8 .

.
ax  b

biểu thức có dạng

B. P  1 .

x 2  1   x  1 .
y 



x2  1

( x 2  1) 3

. Khi đó P  a.b bằng:

C. P  2 .

D. P  2 .

x
2
2
x 1  x 1 x  x 
3
 x2  1

x 1

2

x

2

 1

3

.

 P  a.b  1 .

Câu 14: Cho f  x  

1
.
2017!
Chọn C.
A.

x
thì f   0 
 x  1 x  2 x  2017 
B. 2017! .

C. 

1
.
2017!

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 2017! .

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x  1 x  2   x  2017   x  x  1 x  2  x  2017 
2

 x  1 x  2   x  2017  

Ta có: f   x  

 f 0 

Đạo Hàm Nâng Cao

 1 2   2017 
2
 1 2   2017  

Câu 15: Cho hàm số f  x  

1 x  1 x
1 x  1 x



1
.
2017!

. Đạo hàm f   x  là biểu thức nào sau đây?

 1
  2 khi x  1, x  1
A.  x
.
1

khi  1  x  1

2
khi x  1, x  1

.
B.  x 2
1
khi  1  x  1

1
khi x  1, x  1

.
C.  x 2
 1
khi  1  x  1

 3
  2 khi x  1, x  1
D.  x
.
 2
khi  1  x  1

Chọn A.
1

Lập bảng dấu ta được: f  x    x
 x

khi x  1, x  1

.

khi  1  x  1

- Với x  1 hoặc x  1  f   x   

1
.
x2

- Với 1  x  1  f   x   1 .
Ta có lim f  x   lim f  x   1 nên hàm số liên tục tại x  1 .
x 1

Xét lim
x 1

x 1

f  x   f  1
x 1

 1 , lim
x 1

f  x   f  1
x 1

 1 nên hàm số không có đạo hàm tại

x  1 .

Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được hàm số không có đạo hàm tại x  1 .
1

Vậy f  x    x
 x

khi x  1, x  1

.

khi  1  x  1

Câu 16: Cho hàm số y  sin  cos 2 x  .cos  sin 2 x  . Đạo hàm y  a.sin 2 x.cos  cos 2 x  . Giá trị của a là
số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A.  0; 2  .

B.  1;5  .

C.  3; 2  .

D.  4;7  .

Chọn C
y = −2 sin x . cos x. cos(cos x) .cos sin x − 2 sin x . cos x.sin(cos x).sin sin x

= −sin(2x).cos cos x − sin x = −sin(2x).cos(cos 2x)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao

 a  1 .

1 1 1 1 1 1


 cos x với x   0;   có y  là biểu thức có dạng
2 2 2 2 2 2

Câu 17: Cho hàm số y 

x
a.sin . Khi đó a nhận giá trị nào sau đây:
8
A.

1
.
4

1

B.  .
4

C.

1
.
8

1
D.  .
8

Chọn D.

x
x
1 1
 cos x  cos 2  cos
2 2
2
2

Ta có:

Tương tự ta có biểu thức tiếp theo: y  cos2
Câu 18: Đạo hàm của hàm số y 

a2

A. 

 a2  x 2 

3

.

x

( a là hằng số) là:

a2  x 2

a2

B.

x
x
1
x
 cos  y   sin
8
8
8
8

3

.

2a 2

C.

 a2  x2 

 a2  x2 

3

.

D.

a2

 a2  x2 

3

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

x2

a2  x 2 

y 

a2  x

a 2  x2 
2

a2

a

2

 x2 

3

Câu 19: Cho hàm số y  2 x  x 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. y 3 . y   1  0 .

B. y 2 . y   1  0 .

C. 3 y 2 . y   1  0. .

D. 2 y 3. y  3  0.

Chọn A
Hướng dẫn giải :
Ta có: y  

1 x
2x  x

2

Thay vào: y 3 . y   1 

Câu 20: Cho hàm số y 
A. 2 y   y  0.

1

, y   

2 3

2x  x 
2 3

 2x  x  .

 1
3

 1  1  1  0.

2 x  x2 

sin 3 x  cos3 x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

1  sin x cos x
B. y  y  0.

C. y  y  0.

D. 2 y   3 y  0.

Hướng dẫn giải :
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có : y 

 sin x  cos x   sin 2 x  cos 2 x  sin x cos x 
1  sin x cos x

Đạo Hàm Nâng Cao

 sin x  cos x

 y  cos x  sin x, y   sin x  cos x
 y   y  0.
Câu 21: Cho f ( x)  sin 6 x  cos6 x và g ( x)  3sin 2 x.cos2 x . Tổng f ( x)  g ( x) bằng biểu thức nào
sau đây?
A. 6(sin 5 x  cos5 x  sin x.cos x ) .
C. 6.
D. 0.

B. 6(sin 5 x  cos5 x  sin x.cos x ) .
Hướng dẫn giải

Chọn D
Ta có:
f   x   6 sin 5 x.cos x  6 cos 5 x.   sin x   6 sin 5 x.cos x  6 cos5 x.sin x
3
 3
g   x    .sin 2 2 x   sin 2 x.2.cos 2 x
4
 2
Suy ra:

f   x   g   x   6.sin x.cos x  sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  cos2 x   6sin x.cos x.  cos2 x  sin 2 x 
 6sin x.cos x.  cos 2 x  sin 2 x   6sin x.cos x.  cos 2 x  sin 2 x   0
Câu 22: Cho hàm số f  x  

x2
 30
. Tìm f
 x :
x 1

A. f  30   x   30!1  x 

30

C. f  30  x   30!1  x 

B. f  30   x   30!1  x 

.

30

31

D. f  30  x   30!1  x 

.

.

31

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

k
Với g  x  
 ax  b 
Hàm số f  x  

n

k .  1 .a n .n !
b

b


 n


,

,

0
x
k
R
k
.
Ta
có:
g
x

, x   .
 


n 1
a
a



 ax  b 

x2
1
30!
31
   x  1 
. Nên f  30  x  
 30!  x  1 .
31
x 1
x  1
  x  1

Câu 23: Cho hàm số y  cos x . Khi đó y (2016) ( x) bằng
A.  cos x .

B. sin x .

C.  sin x .

D. cos x .

Hướng dẫn giải


y    sin x  cos( x  ) ; y    cos x  cos( x   ) ;
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dự đoán y ( n ) ( x )  cos( x 

Đạo Hàm Nâng Cao

n
).
2

Thật vậy:
Dễ thấy MĐ đúng khi n  1 . Giả sử MĐ đúng khi n  k (k  1) , tức là ta có

y ( k ) ( x )  cos( x 

k
)
2

k
k
k
(k  1)
)]=-sin(x 
)=sin(-x 
)=cos(x 
).

2
2
2
2
Vậy MĐ đúng khi n  k  1 nên nó đúng với mọi n .
y ( k 1) ( x)  [y ( k ) ( x)]  [ cos( x 

Khi đó

Do đó y (2016) ( x )  cos( x  1008 )  cos x
Chọn D.
Câu 24: Cho hàm số y  cos2 2 x . Giá trị của biểu thức y   y  16 y   16 y  8 là kết quả nào sau đây?
A. 0 .

x

C.  cos x 

B. 8 .

1
.
2

D.


 k 2 , k   .
3
Hướng dẫn giải

y   2cos 2 x.2sin 2 x  2sin 4 x , y   8cos 4 x , y   32sin 4 x .

y  y   16 y  16 y  8  32sin 4 x  8cos 4 x  32sin 4 x  16cos2 2 x  8
 16 cos 2 2 x  8cos 4 x  8  0 .
Chọn A.



4
Câu 25: Cho hàm số y  f  x   cos  2 x   . Phương trình f    x   8 có các nghiệm thuộc đoạn
3

 
 0; 2  là:
A. x  0 , x 


.
3

B. x 


.
2

C. x  0 , x 



.
2

D. x  0 , x 


.
6

Hướng dẫn giải



f   x   2sin  2 x   ,
3



f  4  x   16cos  2 x   .
3




f   x   4 cos  2 x   ,
3





x   k


1

4
2
f    x   8  cos  2 x      
3
2

 x     k

6



f   x   8sin  2 x   ,
3


k   .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo Hàm Nâng Cao


 
Vì x   0;  nên lấy được x  .
2
 2
Chọn B.
Câu 26: Cho hàm số f  x   5 x 2  14 x  9. Tập hợp các giá trị của x để f '  x  0  là

7 9
A.  ;  .
5 5

7

B.  ;  .
5


 7
C.  1;  .
 5

7

D.  ;   .
5


Câu 27: Cho hàm số f  x   x  x 2  1 . Tập các giá trị của x để 2 x. f   x   f  x   0 là:

 1

A.  ;   .
 3


1 
 1


B. 
C.  ;
;   .
.
3
 3


Hướng dẫn giải

 2

D.  ;   .
 3


Chọn A.

f  x   1

x
x2  1



f  x
x2 1

 2 x. f   x   f  x   0  2 x.

f  x
x2 1

 f x  0

x  0
1
 2 x  x 2  1 do f  x   x  x 2  x  x  0   2
x
3
3 x  1





 1


Vậy x   ;  
 3

Câu 28: Cho hàm số f  x   x 2  x . Tập nghiệm S của bất phương trình f '  x   f  x  là:
2  2

;   .
A. S   ; 0   

 2


B. S   ;0   1;   .



2  2  2  2
C. S   ;
;   .


2   2




2 2
D. S   ;
  1;  
2




Câu 29: Cho

các

hàm

số

f  x   sin 4 x  cos 4 x, g  x   sin 6 x  cos2 x .

Tính

biểu

thức

3 f ' x   2g ' x   2
A. 0 .

B. 2 .

C. 1.

D. 3

Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  như hình vẽ. Tính A  f ' 1  f '  2   f '  3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24