Phép biến hình và ứng dụng giải toán dựng hình trong e2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG E2
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG E2
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Thị Trà

HÀ NỘI – 2018

Mục lục

Lời cảm ơn

iv

Lời cam đoan

v

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức tổng quan về các phép biến hình

4

1.1

1.2

1.3

1.4

Phép biến hình - Phép afin . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.3
1.5

1.6

1.7

1.8

Phạm Thị Tuyết Chinh

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.8.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.8.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.8.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 Ứng dụng phép biến hình vào giải một số bài toán dựng
hình trong E2

26

2.1

Phép tịnh tiến với bài toán dựng hình . . . . . . . . . .

26

2.2

Phép quay với bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . .

30

2.3

Phép đối xứng trục với bài toán dựng hình . . . . . . .

32

2.4

Phép đối xứng tâm với bài toán dựng hình . . . . . . .

35

2.5

Phép vị tự với bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . .

37

2.6

Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình . . . . . . . .

39

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ
lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà

Nội 2, các thầy cô trong tổ bộ môn Hình học cũng như các thầy cô
tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và
tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và
khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới
ThS. Nguyễn Thị Trà, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản
khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong
nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Phạm Thị Tuyết Chinh

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Lời cam đoan
Em xin cam đoan đề tài này là do em thực hiện, đó là kết quả quá
trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Thị Trà
và đề tài này không trùng với các khóa luận khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Phạm Thị Tuyết Chinh

v


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong hình học phẳng, phép biến hình luôn giữ một vai trò vô cùng
quan trọng không chỉ bởi nét đẹp riêng mà còn về ứng dụng rộng rãi
của nó. Có thể nói với phép biến hình các bài toán hình học phẳng
thường có lời giải rất độc đáo, sáng tạo và đôi khi ngắn gọn ngoài sức
tưởng tượng. Bởi vậy mà ngay từ lớp 11 học sinh đã được học về các
phép biến hình như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục,
phép đối xứng tâm, phép vị tự. Ở Đại học sinh viên được nghiên cứu
sâu hơn các phép biến hình và đặc biệt còn được giới thiệu thêm một
phép biến hình nữa là phép nghịch đảo. Nội dung của phép biến hình
đưa vào chương trình không chỉ là công cụ để giải toán mà còn giúp
các em làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn
sự vật hiện tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi, góp
phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo trong học tập .
Hình học phẳng có nhiều dạng toán khó, một trong số đó là bài
toán dựng hình. Phần lớn những bài toán dựng hình học phẳng chỉ
dành cho học sinh khá, giỏi và dùng trong các kì thi Olympic hoặc thi
học sinh giỏi Toán. Đối với dạng toán này, quá trình đi từ bước "Phân
tích" đến "Dựng hình" thường không đơn giản và dễ gây nhầm lẫn.
Lời giải của các bài toán dựng hình học phẳng thường dài và phức

tạp, tuy nhiên khi biết cách áp dụng phép biến hình một cách linh
hoạt vào trong những lời giải đó thì chúng trở nên ngắn gọn và dễ hiểu

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

hơn rất nhiều. Bên cạnh đó, việc sử dụng công cụ phép biến hình vào
bài toán dựng hình cũng cho thấy một cách giải độc đáo mà nhiều đối
tượng học sinh có thể tư duy và tiếp cận được.
Với những nét đẹp trên của phép biến hình cùng sự hướng dẫn của
ThS. Nguyễn Thị Trà, em đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Phép biến
hình và ứng dụng giải toán dựng hình trong E2 " . Trong khóa luận
này, em đã nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày những kiến thức cơ bản
về các phép biến hình. Bên cạnh đó, em cũng đưa ra một số ví dụ, bài
tập liên quan đến các bài toán dựng hình mà có thể ứng dụng phép
biến hình để giải. Thông qua bài toán dựng hình, ta có thể thấy được
sự vạn năng của phép biến hình. Từ đó, em mong muốn người đọc,
các bạn sinh viên, học sinh yêu thích môn Toán và có thêm sự hứng
thú với các bài toán hình học.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các phép biến hình và ứng dụng phép biến hình vào
giải một số bài toán dựng hình trong mặt phẳng.
3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phép biến hình và ứng dụng giải toán dựng
hình trong E2 .
Phạm vi nghiên cứu: Trong E2 .

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các định nghĩa, định lý, tính chất và ví dụ về các phép
biến hình trong không gian E2 .
Tìm hiểu cách giải một số bài toán dựng hình trong E2 ứng dụng
phép biến hình.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Đưa ra một số bài tập dựng hình chọn lọc có thể giải bằng cách sử
dụng phép biến hình.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
Nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên
quan đến vấn đề này.
6. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương.
Chương 1: Kiến thức tổng quan về các phép biến hình
Chương 2: Ứng dụng phép biến hình vào giải một số bài toán dựng
hình trong E2

3


Chương 1
Kiến thức tổng quan về các phép
biến hình
Trong chương này em đưa ra định nghĩa, các tính chất cơ bản và ví dụ

của các phép biến hình trong mặt phẳng. Phần chứng minh chi tiết
chúng ta có thể tham khảo ở tài liệu [1], [3], [4].

1.1
1.1.1

Phép biến hình - Phép afin
Định nghĩa

Trước khi nghiên cứu về phép biến hình chúng ta cần hiểu khái niệm
"hình" theo nghĩa toán học. Các môn toán học thường được xây dựng
dựa trên lí thuyết tập hợp nên khái niệm "hình" cũng được hiểu với
định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1. Một tập hợp điểm khác rỗng là một hình.
Định nghĩa 1.2. Giả sử cho một hình P . Một song ánh từ P vào
chính nó được gọi là một phép biến hình của P .
Như vậy cho một phép biến hình f : P → P là cho một quy tắc để với
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

bất kì điểm M thuộc P , ta tìm được một điểm M = f (M ) hoàn toàn
xác định thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) Nếu M, N lần lượt là hai điểm bất kì phân biệt của P thì f (M ),
f (N ) là hai điểm phân biệt thuộc P .
(ii) Với mỗi điểm M thuộc P luôn có một điểm M thuộc P sao cho
f (M ) = M .

Khi đó điểm f (M ) được gọi là ảnh của điểm M , điểm M được gọi là
tạo ảnh của f (M ) qua phép biến hình f .
Nếu H là một hình nào đó của P thì ta xác định tập hợp
f (H) = {f (M )/M ∈ H} gọi là ảnh của hình H và hình H gọi là tạo
ảnh của f (H) qua phép biến hình f .
Định nghĩa 1.3. Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép
biến hình liên tiếp nhau. Nếu ta dùng một phép biến hình f : P → P
để biến một điểm M bất kì của P thành một điểm M rồi lại dùng tiếp
một phép biến hình thứ hai g : P → P để biến M thành M ”. Ta có:
M = f (M ); M ” = g(M ).
Khi đó phép biến hình h biến M thành M ” gọi là tích của hai phép
biến hình f và g. Kí hiệu: h = g.f . Ta có:
h(M ) = (g.f )(M ) = M ” = g(M ) = g[f (M )].
Nói chung tích g.f và tích f.g là hai phép biến hình khác nhau.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Định nghĩa 1.4. Một phép biến hình trong không gian Ơclit En
(n = 2, 3) biến đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình
afin hay phép afin.
1.1.2

Tính chất

1. Phép afin biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không

thẳng hàng.
2. Phép afin biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành
mặt phẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng, đa giác
thành đa giác có cùng số cạnh, góc thành góc.
3. Phép afin bảo toàn tính song song của hai đường thẳng.
4. Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng.
5. Phép afin bảo toàn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
6. Phép afin bảo toàn trung điểm của đoạn thẳng và bảo toàn tỷ số
của các đoạn thẳng song song với nhau.

1.2
1.2.1

Phép dời hình
Định nghĩa

Một phép biến hình f : P → P được gọi là một phép dời hình nếu
trong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng
lần lượt là M = f (M ), N = f (N ) ta luôn có M N = M N .

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Phạm Thị Tuyết Chinh

Tính chất

1. Phép dời hình là phép afin.
2. Phép dời hình biến một hình H thành một hình H bằng H và
cùng hướng với H.
3. Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành
tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho, góc
thành góc bằng và cùng hướng góc đã cho, đường tròn thành
đường tròn cùng bán kính.

1.3
1.3.1

Phép tịnh tiến
Định nghĩa

Trong E2 cho vectơ v = 0, phép tịnh tiến biến mỗi điểm M thành
−−−→
điểm M sao cho M M = v gọi là phép tịnh tiến theo v.
Kí hiệu: Tv .

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2

Phạm Thị Tuyết Chinh

Tính chất

1. Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính
chất của một phép dời hình.
2. Qua phép tịnh tiến theo vectơ v = 0 điểm M biến thành điểm
M thì phép tịnh tiến biến điểm M thành điểm M với vectơ tịnh
tiến là −v. Khi đó ta có: Tv−1 = T−v . Suy ra Tv−1 · T−v = e (e là
phép đồng nhất).
3. Tích của hai phép tịnh tiến Tv và Tv là một phép tịnh tiến với
vectơ tịnh tiến bằng v + v .
4. Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết được vectơ
tịnh tiến v của nó.
1.3.3

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.1. Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao
BK và BH của nó. Biết rằng KH = a, BD = b. Tính khoảng cách
từ điểm B đến trực tâm của tam giác BKH.

Lời giải.
Gọi trực tâm của

BKH là H1 . Vì HH1 ⊥ KH và HH1 ⊥ BH nên

HH1 song song AD và KH1 song song DC. Tức là tứ giác HH1 KD
là hình bình hành.
−−→
Do đó qua phép tịnh tiến theo vectơ HH1 điểm K biến thành điểm
D, điểm B biến thành một điểm P nào đó.
Do BH1 ⊥ KH nên P H ⊥ KH. Ta cũng có P H = BH1 .

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Trong tam giác vuông P KH biết KP = BD = b và KH = a. Ta suy
√
ra BH1 = P H = b2 − a2 .
Ví dụ 1.3.2. Hai làng A và B nằm ở hai bên sông. Cần phải xây cầu
M N ở chỗ nào để đường AM N B từ làng A đến làng B ngắn nhất?
(hai bờ sông được coi là hai đường thẳng song song, cầu vuông góc với
bờ).

Lời giải.
−−→
Giả sử A là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ M N . Khi đó
A N = AM , do đó độ dài đường AM N B bằng A N + N B + M N . Vì
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

M N không đổi nên ta cần tìm điểm N sao cho A N + N B nhỏ nhất.
Rõ ràng A N + N B nhỏ nhất khi N nằm trên đoạn thẳng A B”, tức
N là giao điểm của bờ sông gần làng B và đoạn thẳng A B.

1.4

Phép quay

1.4.1

Định nghĩa

Trong E2 cho điểm O và một góc định hướng ϕ. Phép biến hình của
E2 biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành điểm M
sao cho:
a, OM = OM ;
−−→ −−→
b, (OM , OM ) = ϕ.
Gọi là phép quay tâm O với góc quay ϕ.
Kí hiệu QϕO hoặc Q(O, ϕ).

1.4.2

Tính chất

1. Phép quay là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất
của một phép dời hình.
2. Phép quay Q(O, ϕ) luôn có điểm bất động chính là tâm O.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

3. Nếu phép quay tâm O với góc quay ϕ biến điểm M thành điểm
M thì phép quay tâm O với góc quay −ϕ biến điểm M thành
điểm M nghĩa là (QϕO )−1 = Q−ϕ
O .
4. Qua phép quay tâm O góc quay α nếu điểm M biến thành điểm
−−→ −−−→
M , điểm N biến thành điểm N thì (M N , M N ) = ϕ nghĩa là
góc giữa hai vectơ tương ứng bằng góc quay ϕ.
5. Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc
quay ϕ.
Định lý 1.1. Tích của hai phép quay có tâm khác nhau, nói chung là
một phép quay với góc quay bằng tổng của hai góc quay của hai phép
quay đã cho, hay đặc biệt là một phép tịnh tiến nếu hai phép quay đã
cho có các góc đối nhau.
1.4.3

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.4.1. Cho hai tam giác đều

OAB và

OA B . Gọi C và D

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA và BB . Chứng minh
OCD là tam giác đều?
Lời giải.
Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác (OA, OB) =
o

o

60
60o Ta có: Q60
O : A → B. Vì thế nên QO (AA ) = BB .

Suy ra
o

Q60
O : C → D;
Vì góc quay là 60o nên

A →B

OCD là tam giác đều.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Ví dụ 1.4.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4, 1). Hãy tìm
tọa độ điểm A là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay −90o .
Lời giải.
−−→
−→

Gọi A (a, b) ta có OA(4, 1), OA (a, b).
−→ −−→
−90o
Vì A = QO
(A) nên OA = OA và (OA, OA ) = −90o
√
√
hay 42 + 12 = a2 + b2 và 3a + 4b = 0
Suy ra A (1, −4) hoặc A (−1, 4).
−→ −−→
Thử lại điều kiện (OA, OA ) = −90o ta thấy A(1, −4) thỏa mãn.

1.5
1.5.1

Phép đối xứng trục
Định nghĩa

Trong E2 cho một đường thẳng d, nếu với mỗi điểm M ta cho tương
ứng một điểm M sao cho đoạn thẳng M M nhận d làm đường trung
trực, thì phép biến hình M = f (M ) gọi là phép đối xứng trục d.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
Kí hiệu: Đ d và ta có Đ d (M ) = M .

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5.2

Phạm Thị Tuyết Chinh

Tính chất

1. Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các
tính chất của phép dời hình.
2. Qua phép đối xứng trục d nếu M là ảnh của M thì M lại là ảnh
của M qua phép đối xứng trục đó. Hay ta suy ra tích của một
phép đối xứng trục với chính nó là phép đồng nhất.
3. Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép.
4. Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành
chính nó (các điểm ngoại trừ giao điểm của a với d đều không
phải điểm kép).
5. Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu biết trục đối
xứng của nó.
1.5.3

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.5.1. Trên đường phân giác ngoài của góc C của tam giác
ABC lấy một điểm M = C. Chứng minh rằng M A + M B > CA +
CB.
Lời giải.
Kí hiệu ảnh của các điểm A và B qua phép đối xứng qua đường thẳng
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

CM là A và B .
Khi đó M A + M B = M A + M B > A B
mà A B = A C + CB = AC + CB.
Hay M A + M B > CA + CB.
Ví dụ 1.5.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác
ha không lớn hơn

ABC đường cao

p(p − a) trong đó p là nửa chu vi, các cạnh đối

diện đỉnh A, B, C lần lượt là a, b, c.
Lời giải.
Kẻ qua A đường thẳng l song song với cạnh BC. Ta gọi ảnh của các
điểm B và C qua phép đối xứng trục l là B và C tương ứng.
√
Khi đó b + c = CA + AB = CA + AB
CB = CB 2 + B B 2 .
a2 + (2ha )2 .
1
Từ đó suy ra h2a
[(b + c)2 − a2 ] = p(p − a).
4

Tức b + c

14

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6

Phạm Thị Tuyết Chinh

Phép đối xứng tâm

1.6.1

Định nghĩa

Trong E2 cho một điểm O cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M
thành một điểm M để O là trung điểm của đoạn M M gọi là phép
đối xứng tâm O. Điểm O được gọi là tâm đối xứng.
Kí hiệu: Đ O và ta có Đ O (M ) = M .

1.6.2

Tính chất

1. Phép đối xứng tâm là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các
tính chất của một phép dời hình.
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

2. Qua phép đối xứng tâm O nếu M là ảnh của M thì M lại là ảnh
của M qua phép đối xứng tâm đó. Hay ta suy ra tích của một
phép đối xứng tâm với chính nó là phép đồng nhất.
3. Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất.
4. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó,
biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song
song với đường thẳng đó, biến một vectơ thành một vectơ đối của
nó.
5. Phép đối xứng tâm hoàn toàn xác định nếu cho biết tâm đối xứng
O của nó.
1.6.3

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.6.1. Chứng minh rằng nếu trong một tam giác đường trung
tuyến cũng là đường phân giác thì tam giác đó cân.

Lời giải.
Giả sử trong

ABC đường trung tuyến BD là đường phân giác.

Xét điểm B1 là ảnh của điểm B qua phép đối xứng tâm D.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tuyết Chinh

Vì D là trung điểm đoạn thẳng AC nên tứ giác ABCB1 là hình bình
hành.
Do ABB1 = B1 BC = AB1 B nên
suy ra

B1 AB cân và AB = AB1 = BC

ABC cân tại B.

Ví dụ 1.6.2. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì
nó phải là một hình bình hành.

Lời giải.
Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là I.
Qua phép đối xứng tâm I, tứ giác ABCD biến thành chính nó nên
đỉnh A chỉ có thể biến thành A, B, C hay D.
Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì A trùng với I .
Khi đó tứ giác có hai đỉnh đối xứng qua đỉnh A. Điều đó vô lí.
Nếu A biến thành điểm B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc các cạnh
AB hoặc AD của tứ giác nên suy ra điều vô lí.
Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C.
Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến thành đỉnh D.
Khi đó tâm đối xứng I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.7

Phép vị tự

1.7.1

Định nghĩa

Phạm Thị Tuyết Chinh

Trong E2 cho một điểm O cố định và một số k = 0. Phép biến hình
−−→
−−→
biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho OM = k OM được gọi là
phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: VOk hoặc V (O, k).
Điểm O được gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự.
(i) Nếu k > 0 thì phép vị tự VOk gọi là phép vị tự thuận.
(ii) Nếu k < 0 thì phép vị tự VOk gọi là phép vị tự nghịch.

1.7.2

Tính chất

1. Phép vị tự là phép afin.
2. Nếu phép vị tự VOk biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm
−−→
−→
A , B thì A B = k AB, A B = |k|AB và hai đường thẳng AB, A B

song song hoặc trùng nhau.
3. Phép vị tự biến một góc thành một góc bằng nó.
4. Phép vị tự VOk biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường
tròn tâm I bán kính R , trong đó I = VOk (I) và R = |k|R.

18