Sử dụng tiếng anh cho vật lí trong phân dạng bài tập phần động lực học chất điểm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
---------------------

NGUYỄN THÙY LINH

SỬ DỤNG TIẾNG ANH CHO VẬT LÝ
TRONG PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN
ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
---------------------

NGUYỄN THÙY LINH

SỬ DỤNG TIẾNG ANH CHO VẬT LÝ
TRONG PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN
ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GV. ThS HOÀNG VĂN QUYẾT

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới GV.ThS. Hoàng Văn Quyết người đã định hướng chọn đề tài và
tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý đại cương trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thùy Linh


LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của ThS. Hoàng Văn Quyết khóa luận tốt nghiệp đại
học chuyên ngành Vật lí đại cương với đề tài “Sử dụng tiếng anh cho vật lí
trong phân dạng bài tập phần động lực học chất điểm” được hoàn thành bởi
chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác.
Trong khi nghiên cứu khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thùy Linh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài ..................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 2
6. Đóng góp của đề tài ................................................................................. 2
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................. 3
1.1. Ba định luật Newton’s .......................................................................... 3
1.1.1. Định luật Newton’s thứ nhất. ......................................................... 3
1.1.2. Định luật Newton thứ hai. .............................................................. 4
1.1.3. Định luật Newton’s thứ ba. ............................................................ 5
1.2. Các loại lực cơ ...................................................................................... 6
1.2.1. Lực hấp dẫn .................................................................................... 6
1.2.2. Lực đàn hồi..................................................................................... 7
1.2.3. Lực ma sát ...................................................................................... 8
CHƯƠNG 2. PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC ............... 11
CHẤT ĐIỂM. .................................................................................................. 11
2.1. Exercise balance force ....................................................................... 11
2.2. Exercise of friction force.................................................................... 17
2.3. Gravitational force ............................................................................. 22
2.4. Elastic force ........................................................................................ 24

2.5. Pulley.................................................................................................. 29
2.6.Moment of inertia ................................................................................ 34
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 41


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tiếng Anh được hơn 400 triệu người trên toàn thế giới dùng làm tiếng
mẹ đẻ,hơn 1 tỉ người dùng Tiếng Anh là ngôn ngữ thứ hai(theo
Wikipedia), những quốc gia phát triển có thu nhập đầu người cao nhất
trên thế giới đều sử dụng thành thạo Tiếng Anh, hoặc được sử dụng phổ
biến, được dạy là một môn học trong trường…
Đối với Việt Nam, một nước đang đứng trước thời đại phát triển, mở
rộng ra với cánh cổng toàn cầu hóa, chúng ta đã thấy tầm quan trọng
trong việc học Tiếng Anh. Với các bạn học sinh, những thế hệ tương lai
của đất nước, việc học Tiếng Anh lại càng trở nên cần thiết hơn bao giờ
hết. Tiếng Anh và mức độ quan trọng đối với cuộc sống của học sinh
Việt Nam. Trên thực tế giảng dạy ở trường phổ thông, ta thấy rằng việc
lồng ghép Tiếng Anh vào các môn khách nói chung và Vật Lý nói riêng
là điều cần thiết. Không những bổ sung kiến thức chuyên môn mà còn
nâng cao khả năng ngoại ngữ, hướng đến đọc được sách và tài liệu nước
ngoài, tăng khả năng giao tiếp bằng Tiếng Anh cho học sinh.
Xuất phát từ những nhu cầu thực tế đó của xã hội , tôi quyết định chọn “
Sử dụng Tiếng Anh cho Vật lý trong phân dạng bài tập phần Động lực
học chất điểm” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Phân dạng bài tập phần động lực học chất điểm bằng Tiếng Anh

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Các kiến thức phần Động lực học chất điểm và Tiếng Anh
cho chuyên ngành Vật lý
-

Phạm vi: Xét trong Vật lý cổ điển

1


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống từ vựng phần Động lực học chất điểm.
- Trình bày logic, khoa học lý thuyết phần động lực học chất điểm.
- Phân dạng các bài toán bằng Tiếng Anh.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc, tra cứu và tổng hợp tài liệu
6. Đóng góp của đề tài
- Làm tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông và sinh viên.

2


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1.

Ba định luật Newton’s

1.1.1. Định luật Newton’s thứ nhất.
Ba định luật Newton và định luật vạn vật hấp dẫn là cơ sở của cơ học cổ
điển. Về thực chất ba định luật Newton là những tiêu đề, là những khẳng

định tổng quát nhất không thể chứng minh được, không thể suy ra từ
những khẳng định khác. Khi thừa nhận những tiêu đề này người ta đã
xây dựng được cơ sở học cổ điển, với những định luật áp dụng đúng
không những trên Trái Đất mà cả trong miền vũ trụ lân cận Trái Đất nữa.
Định luật Newton thứ nhất được phát biểu như sau:
Nếu không có lực ngoài tác dụng vào vật thì nó giữ nguyên trạng thái
đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
Theo định luật Newton thứ nhất, đứng yên và chuyển động thẳng đều là
cùng một trạng thái cơ học như sau: trạng thái chuyển động với vận tốc
không đổi. Đứng yên là chuyển động với vận tốc không đổi bằng không.
Cả hai trạng thái đã nêu đều có đặc điểm là gia tốc của vật bằng không.
Do đó có thể diễn tả định luật thứ nhất dưới dạng sau đây:
Vận tốc của một vật bất kì vẫn còn không đổi (trong trường hợp riêng,
bằng không) cho đến lúc sự tác động từ các phía các vật khác lên vật
này gây ra sự biến đổi vận tốc đó.
Định luật Newton thứ nhất chưa bao giờ được nghiệm đúng hoàn toàn,
vì trong thực tế không thể nào tạo ra được trạng thái một vật hoàn toàn
không chịu tác dụng của một lực nào.

3


Chuyển động với vận tốc giữ nguyên không đổi gọi là chuyển động theo
quán tính(hay chuyển động quán tính). Do vậy, định luật Newton thứ
nhất còn được gọi là định luật quán tính.
Quán tính là tính chất của các vật giữ nguyên trong trạng thái chuyển
động của mình khi không có lực ngoài tác dụng lên chúng, hoặc khi các
lực ngoài tác dụng lên chúng cân bằng lẫn nhau.
1.1.2. Định luật Newton thứ hai.
Theo định luật Newton thứ nhất, một vật không chịu tác dụng của lực

ngoài sẽ giữ nguyên chuyển động quán tính của nó. Vậy khi vật chịu tác
dụng của lực ngoài thì chuyển động của vật sẽ biến đổi như thế nào?
Định luật thứ hai của Newton sẽ trả lời câu hỏi đó.
Nội dung định luật Newton thứ hai được phát biểu như sau:
Gia tốc mà một vật thu được dưới tác dụng của một lực tỉ lệ thuận với
lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. Phương và chiều của gia tốc
trùng với phương và chiều của lực tác dụng.
a=

Trong đó:

F
m

(1.1)

F là lực tác dụng lên vật ,
a là gia tốc của vật nhận được khi chịu tác dụng của lực F

,
M là khối lượng của vật.
Từ (1.1) ta có thể viết:

4


F = ma

(1.2)

Ta cũng có thể phát biểu định luật Newton thứ hai dưới dạng: Tích khối
lượng của vật với gia tốc của nó bằng lực tác dụng vào vật.
Định luật Newton thứ 2 được nghiệm đúng trong những hệ quy chiếu
quán tính.
Công thức F = ma cũng được sử dụng làm công thức định nghĩa lực.
Dựa vào công thức này người ta đưa ra định nghĩa định lượng chính xác
của lực: Lực là tích khối lượng của vật với gia tốc của nó.
Thứ nguyên của lực là:

 F  =  m. a  = MLT
Đơn vị đo lực(trong hệ đơn vị SI) là Newton. Kí hiệu là: N.
1N = 1kg.1m / s 2 = 1kg.m / s 2

1.1.3. Định luật Newton’s thứ ba.
Chúng ta biết rằng tác dụng giữa các vật với nhau bao giờ cũng là tương
tác. Định luật Newton thứ ba xét đến tương tác giữa các vật với nhau.
Nó được phát biểu như sau:
Tác dụng bao giờ cũng bằng và ngược chiều với phản tác dụng.
Nói cách khác: lực mà các vật có tương tác, tác dụng lẫn nhau bằng
nhau về độ lớn và ngược chiều nhau.
Nếu gọi:

F12 là lực đo vật thứ nhất tác dụng lên vật thứ hai.
F21 là lực do vật thứ hai tác dụng lên vật thứ nhất.

5


Theo định luật Newton’s thứ ba ta có:
F12 = − F21

(1.3)

Từ định luật Newton thứ ba t thấy các lực bao giờ cũng xuất hiện theo
từng cặp: lực và phân lực. Việc gọi lực nào là lực, lực nào là phân lực
hoàn toàn do qui ước. Lực và phân lực là những lực trực đối và có độ lớn
bằng nhau. Tuy vậy, chúng không có hợp lực và không cân bằng nhau
được vì chúng có điểm đặt trên hai vật khác nhau.
1.2.

Các loại lực cơ

1.2.1. Lực hấp dẫn
Trong cơ học cổ điển, lực hấp dẫn xuất hiện như một ngoại lực tác động
lên vật thể. Trong thuyết tương đối rộng, lực hấp dẫn là bản chất
của không thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng, và
không phải là một ngoại lực. Trong thuyết hấp dẫn lượng tử,
hạt graviton được cho là hạt mang lực hấp dẫn
Định luật vạn vật hấp dẫn: vật có khối lượng m sẽ bị kéo về gần vật
có khối lượng M với gia tốc g:

g=

GM
r2

(1.4)

Theo định luật 2 Newton, vật có khối lượng m chịu lực hấp dẫn có độ
lớn:

F = mg

Fg = G

m1m2
r2

(1.5)

Fg là lực hấp dẫn
m1 và m2 là khối lượng của hai vật
6


r là khoảng cách giữa hai vật
G là hằng số vạn vật hấp dẫn; G = 6.67 x 10−11 N.m²/kg²
Lực hấp dẫn là lực hút giữa mọi vật chất và có độ lớn tỷ lệ thuận với khối
lượng của chúng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách của hai
vật.
1.2.2. Lực đàn hồi
Xét một lò xo có độ dài l0 ở trạng thái không biến dạng và đặt ở đầu lò
xo những lực F1 và F2 bằng nhau về độ lớn và ngược chiều nhau (hình
1.2.1). Dưới tác dụng của các lực này, lò xo bị kéo căng ra một lượng

l nào đó, trong lò xo xuất hiện lực biến dạng đàn hồi Fel chống lại tác
dụng của các ngoại lực F1 và F2 . Khi trạng thái cân bằng được thiết lập
các ngoại lực F1 và F2 sẽ được cân bằng bởi các lực đàn hồi sinh ra
trong lò xo biến dạng ( Fel = F1 = F2 ). Thực nghiệm cho thấy, khi độ biến
dạng của lò xo không lớn (nhỏ hơn giới hạn đàn hồi), độ biến dạng của
lò xo l tỷ lệ thuận với độ lớn của ngoại lực tác dụng. Một cách tương

ứng, lực đàn hồi tỷ lệ với độ biến dạng của lò xo:
Fel = k l

(1.6)

Trong đó, k được gọi là hệ số cứng (hay độ cứng) của lò xo, nó phụ thuộc
hình dạng, kích thước, và bản chất vật liệu làm lò xo. Do vậy, k thường
được xác định bằng thực nghiệm.
Khi lò xo bị dẫn, một phần bất kì của lò xo tác dụng lên một phần khác
một lực xác định bởi công thức (1.6) . Do đó nếu cắt lò xo làm đôi thì sẽ
xuất hiện một lực đàn hồi có cùng độ lớn trong mỗi nửa với độ biến dạng
7


nhỏ hơn hai lần. Từ đó ta thấy rằng với mỗi lò xo xác định (được chế tạo
từ vật liệu xác định, có kích thước đã cho của vòng xoán), độ lớn của lực
đàn hồi được xác định không phải bằng độ đàn hồi tuyệt đối l của lò
xo mà bằng độ dãn tỷ đối

l
l0

Khi nén lò xo, cũng xuất hiện các lực căng đàn hồi nhưng có chiều ngược
lại. Ta hãy tổng quát hóa công thức (1.6) bằng cách sau: Cố định một
đầu lò xo, chọn trục tọa độ Ox dọc theo trục lò xo và có góc tọa độ tại vị
trí đầu tự do của lò xo khi không biến dạng (hình 1.2.2). Khi đó, độ dãn
của lò xo trùng với trị tuyệt đối tọa độ x đầu tự do của lò xo. Ngoài ra ta
hiểu Fel là hình chiếu của lực đàn hồi trên trục x. Khi đó có thể viết:
Fel = −kx

(1.7)

Như vậy, hình chiếu của lực đàn hồi trên trục x và tọa độ x luôn có dấu
khác nhau. Công thức (1.7) chính là biểu thức của định luật Huc.
Định luật Huc: Nếu có biến dạng là nhỏ (trong phạm vi giới hạn đàn hồi)
thì lực đàn hồi tỷ lệ với độ biến dạng và hướng theo chiều chống lại biến
dạng.
1.2.3. Lực ma sát
Lực ma sát xuất hiện khi có xu hướng dịch chuyển hoặc dịch chuyển
giữa các vật tiếp xúc với nhau cũng như giữa các phần của chúng đối với
nhau. Lực ma sát sinh ra trong sự dịch chuyển tương đối giữa hai vật tiếp
xúc với nhau được gọi là lực ma sát ngoài; lực ma sát giwuax các phần
của cùng một vật liện tục (chẳng hạn, của chất lỏng hoặc của chất khí)
được gọi là lực ma sát trong hay lực nội ma sát.
1.2.3.1. Lực ma sát nghỉ
8


Ma sát nghỉ (hay còn được gọi là ma sát tĩnh) là lực xuất hiện giữa hai
vật tiếp xúc mà vật này có xu hướng chuyển động so với vật còn lại
nhưng vị trí tương đối của chúng chưa thay đổi. Ví dụ như, lực ma sát
nghỉ ngăn cản một vật định trượt (chuẩn bị trượt nhưng vị trí tương đối
vẫn chưa thay đổi nhiều - thay đổi ít) trên bề mặt nghiêng. Hệ số của
ma sát nghỉ, thường được ký hiệu là  , thường lớn hơn so với hệ số
của ma sát động. Lực ban đầu làm cho vật chuyển động thường bị cản
trở bởi ma sát nghỉ
Một ví dụ quan trọng khác về lực ma sát nghỉ là: lực ma sát nghỉ ngăn
cản khiến cho bánh xe khi mới khởi động lăn không được nhanh như
khi nó đang chạy. Mặc dù vậy khi bánh xe đang chuyển động, bánh xe
vẫn chịu tác dụng của lực ma sát động. Cho nên lực ma sát nghỉ lớn

hơn lực ma sát động.
Lực ma sát nghỉ giúp cho vật không bị tác dụng bởi lực khác.
Giá trị lớn nhất của lực ma sát nghỉ, khi vật bắt đầu chuyển động, hay
ma sát nghỉ cực đại, được tính bằng công thức:
F0 =  N

(1.8)

Trong đó:

 là hệ số ma sát tĩnh.
N là áp lực vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc.
1.2.3.2. Lực ma sát trượt
Lực ma sát trượt là lực ma sát sinh ra khi một vật chuyển động trượt trên
một bề mặt, thì bề mặt tác dụng lên vật tại chỗ tiếp xúc một lực ma
sát trượt, cản trở chuyển động của vật trên bề mặt đó.

9


Ffr =  k FN

Trong đó:
Ffr : độ lớn của lực ma sát trượt (N)

k : hệ số ma sát trượt
FN : Độ lớn áp lực (phản lực) (N)

10

(1.9)


CHƯƠNG 2. PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
CHẤT ĐIỂM.

2.1. Exercise balance force
Exercise 2.1.1: A traffic light is suspended with three ropes as shown in the
figure(Fig 2.1). Find the tension in the three ropes.

(Pig 2.1.a)

(Fig2.1.b)

Solution
The traffic light does not move, so the net force mustbe zero. ⇒Static
equilibrium Need twofree-body diagrams: one for the light and the other for the
knot.
Light:

F

y

= 0 ; T3 − mg = 0

 T3 = mg

Knot:

F

x

= 0 ; −T1 cos37o + T2 cos53o = 0

 T1 = 0.754T2

11


F

y

= 0 ; T1 sin 37o + T2 sin 53o − T3 = 0

 T2 = 0.798mg

 T1 = 0.602mg
Exercise 2.1.2: (Fig.2.2)A car is at rest on top of a hill. Find the car’s velocity
at the bottom of the 30.0 m hill with an incline angle of 30.0o .

(Fig 2.2)
Solution
Apply Newton’s 2nd Law in component form:

F

= mg sin 30o = max

F

= n − mg cos30o = 0

x

y

Solve for the unknown ax:

ax = g sin 30o = 4.90m / s 2
The velocity at the bottom of the slope is obtained from

12


vxf2 = vxi2 + 2ax x
So, vxf = 0 + 2(4.90m / s 2 )30.0m = 17.1m / s .
Exercise 2.1.3: A car with a weight of 15,000 N is being towed up a 20° slope
at constant velocity. Friction is negligible. The tow rope is rated at 6000 N.
Will it break?(Fig 2.3)
Solution

(Fig 2.3)
Apply Newton’s 2nd Law (a = 0)

F = 0
(1)
From (1) we have

F

= T − w sin  = 0

F

= n − w cos = 0

x

y

From the x equation,

T = w sin  = (15000 N )sin 20o
Since T < 6000 N, the rope won’t break.
13


Note that y equation is not needed. Check solution at θ = 0° and 90°.
Exercise 2.1.4: Three blocks on a frictionless horizontal surface are in contact
with each other, as shown in Fig. 2.4. A force F is applied to block 1 (mass

m1 ). ( a) Draw a free-body diagram for each block. Determine ( b) the
acceleration of the system (in terms of m1 , m 2 , m3 ), ( c) the net force on each
block, and ( d) the force of contact that each block exerts on its neighbor. ( e)
If m1 = m 2 = m3 = 12.0kg and F = 96.0 N give numerical answers to ( b), ( c),
and ( d).

(Fig. 2.4)
Solution
a) In the free-body diagrams below,

F12 = force on block 1 exerted by block 2,
F21 = force on block 2 exerted by block 1,
F23 = force on block 2 exerted by block 3, and
F32 = force on block 3 exerted by block 2.
By Newton’s 3rd law:
The magnitudes of F21 and F12 are equal and they point in opposite
directions. The magnitudes of F23 and F32 are equal and they point in
opposite directions.

14


b) All of the vertical forces on each block add up to zero, since there is no
acceleration in the vertical direction. Thus for each block,

FN = mg
For the horizontal direction, we have

F = F − F

12

→a=

+ F21 − F23 + F32 = F = (m1 + m 2 + m3 )a

F
m1 + m 2 + m3

c) For each block, the net force must be F = ma by Newton’s 2nd Law. Each
block has the same acceleration since they are in contact with each other

F1net =

m1F
m1 + m 2 + m3

F2 net =

m2 F
m1 + m 2 + m3

F3net =

m3 F
m1 + m 2 + m3

d) From the free-body diagram, we see that for m3

F32 = F3net =

m3 F
m1 + m 2 + m3

And by Newton’s 3rd Law

F32 = F23 = F3net =

m3 F
m1 + m 2 + m3

Of course, F32 and F23 are in opposite directions.

15


Also from the free-body diagram, we see that for m1

F − F12 = F1net =
→ F12 = F −
→ F12 =

m1F
m1 + m 2 + m3

m1F
m1 + m 2 + m3

(m 2 + m3 ) F
m1 + m 2 + m3

By Newton’s 3rd Law:

F12 = F21 =

(m 2 + m3 ) F

m1 + m 2 + m3

e) Using the given values:

a=

F
96.0 N
=
= 2.67m / s 2
m1 + m 2 + m3 36.0kg

Since all three masses are the same value, the net force on each mass is

Fnet = ma = (12.0kg )(2.67m / s 2 ) = 32.0 N
This is also the value of F32 and F23 . The value of F12 and F21 is

F12 = F21 = (m 2 + m3 )a = (24kg )(2.67 m / s 2 ) = 64.0 N
To summarize:

Fnet1 = Fnet 2 = Fnet 3 = 32.0 N

F12 = F21 = 64.0 N
F23 = F32 = 32.0 N
The values make sense in that in order of magnitude, we should have

F  F21  F32 , since F is the net force pushing the entire set of blocks, F12
is the net force pushing the right two blocks, and F23 is the net force pushing
the right block only.

16


Exercise 2.1.5: A 5.00-kg object placed on a frictionless, horizontal table is
connected to a cable that passes over a pulley and then is fastened to a hanging
9.00-kg object. Find the acceleration of the objects and the tension in the string
Key: 31.5N
Exercise 2.1.6: Two objects are connected by a light string that passes over a
frictionless pulley. The incline is frictionless, and m 1 = 2.00 kg, m 2= 6.00
kg, and θ = 55.0°. Draw free-body diagrams of both objects. Find (a) the
acceleration of the objects, (b) the tension in the string, and (c) the speed of
each object 2.00 s after being released from rest.
Key: 3.57m/s2 ; 26.7N; 7.14m/s
2.2. Exercise of friction force
Exercise 2.2.1: If the coefficient of kinetic friction between a 35-kg crate and
the floor is 0.30, what horizontal force is required to move the crate at a steady
speed across the floor? What horizontal force is required if k is zero?
Solution

(Fig 2.5)
A free-body diagram for the crate is shown.
The crate does not accelerate vertically, and so FN = mg

17


Also, the crate does not accelerate horizontally (steady speed), and so

FP = Ffr
Putting this together, we have

FP = Ffr = k .FN = k mg = (0.30)(35kg )(9.8m / s 2 ) = 103 = 1.0  102 N
If the coefficient of kinetic friction is zero, then the horizontal force
required is 0 N, since there is no friction to counteract. Of course, it
would take a force to START the crate moving, but once it was moving,
no further horizontal force would be necessary to maintain the motion.
Exercise 2.2.2: A 15.0-kg box is released on a 32º incline and accelerates down
the incline at 0.30m / s 2 . Find the friction force impeding its motion. What is
the coefficient of kinetic friction?
Solution
A free-body diagram for the box is shown.
Write Newton’s 2nd Law for each direction:

F

= mg sin  −Ffr = max

F

= FN − mg cos = ma y = 0

x

y

Notice that the sum in the y direction is 0, since there is no motion (and
hence no acceleration) in the y direction. Solve for the force of friction.

mg sin  − Ffr = max →

Ffr = mg sin  − max = (15.0kg ) (9.80m / s 2 )(sin 32o ) − 0.30m / s 2  = 73.40 N  73 N

18


Now solve for the coefficient of kinetic friction. Note that the expression
for the normal force comes from the y direction force equation above.

Ffr = k FN = k mg cos
→ k =

Ffr
mg cos

=

73.40 N
= 0.59
(15.0kg )(9.80m / s 2 )(cos32o )

Exercise 2.2.3: Two crates, of mass 65 kg and 125 kg, are in contact and at rest
on a horizontal surface, (Fig.2.2-3). A 650-N force is exerted on the 65kg crate.
If the coefficient of kinetic friction is 0.18. What is the acceleration of the
system?

(Fig.2.6)
Solution
The two objects will move as one body, so we can picture them as a
single composite body with mass

m = 65kg + 125kg = 190kg
There are two horizontal forces acting on the crate: the applied force F
directed in we'll say the positive direction. The retarding kinetic friction
force Ffr , directed in the negative direction because it opposes motion
The net horizontal force equation is thus:

F

x

= F −Ffr = max

The friction force is given by the equation:

Ffr = k N

19