giáo án dạy thêm toán 9

Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Ngày soạn : 28/8/2009
Buổi 1: Ôn tập các dạng phơng trình
và bất phơng trình bậc nhất một ẩn
A. Mục tiêu :
Ôn luyện lại các dạng PT bậc nhất đã học ở lớp 8 : PT bậc nhất 1 ẩn ; PT chứa ẩn ở mẩu ;
PT chứa dấu GTTĐ
- Ôn luyện và rèn luyện kĩ năng giải các bất PT bậc nhất 1 ẩn .
B. Nội dung :
1, PT bậc nhất một ẩn
Là PT có dạng ax +b = 0 (a 0)
ax = -b x = -
a
b

Bài tập : Giải các PT sau :
a, 2x +5 = 28 - 3 (5x +7 ) b, 4x +
6
43

x
= 8 -
5
97
+
x
2x + 15x = 28 -21 -5 4x .30 + 5 (3x -4) =8 .30 - 6(7x +9)
17 x = 2 120x +15 x -20 = 240 - 42x -54
x =
17
2

93x = 206
x =
93
206
2, PT dạng tích :
A
(x)
.B
(x)
... =0 A
(x)
=0
Hoặc B
(x)
= 0 ....
Bài tập : Giải các PT sau
a, 3x ( 5 - 7x ) = 0
x = 0 ; x =
7
5
b, 4x
2
-9 + 2x +3 = 0 ( 2x +3 )(2x -3 ) + 2x +3 =0
(2x +3 ) ( 2x - 2 ) = 0



=
=+
022

032
x
x




=
=
1
2/3
x
x
3. PT chứa ẩn ở mấu
B1: Đặt ĐK của ẩn ; Qui đồng khữ mẩu
B2: Biến đổi PT đa về dạng ax +b = 0 rồi giải
B3: Đối chiếu ĐK và trả lời nghiệm
Bài tập :
Giải các Pt sau :
a,
2
73
4
2
52
+

=+

+

x
x
x
x
b,
)3)(1(
2
22)3(2
+
=
+
+

xx
x
x
x
x
x
Đk: x -1 ; x 3
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
1
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
x( x+1) + x( x -3 ) = 4x
2x
2
- 6x = 0
2x ( x -3 ) =0 x =0 ( tm)
x =3 ( loại )
4. PT chứa dấu GTTĐ

Giải PT :
09372
=++
xx
(1)
GV hớng dẫn HS giải theo hai cách
C1: Mở dấu GTTĐ
C2: Chuyển vế rồi đặt ĐK ở vế phải rồi giải
5. Bất ph ơng trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: BPT bậc nhất một ẩn là BPT có dạng a.x+b>0 hoặc a.x+b<0
VD: a, 2x-5< 0
b; 27-3x> 0
Cách giải:
Bài 1: Giải BPTsau:
a; , 2x-5< 0


2x<5

x<
2
5
b, 27-3x> 0

-3x>-27

x<
3
27

x<9
Bài 2; Giải BPT sau:

3
52
5
2
4
6
53 x
x
x
+
>+



Giải:
3
52
5
2
4
6
53 x
x
x
+
>+

5(3x-5) - 4x.5.6 + 2.6 >(2+5x). 10


15x-25-120x+12 >20+50x


15x-120x-50x>20+25-12


-155x > 33


x<
155
33

C. H ớng dẫn về nhà :
- Xem kĩ lại các bài tập đã giải ở lớp
- Làm thêm bài tập sau : Giải PT và BPT
a, 3x- 8 +
12
413 x

=
9
75

x

b,
12
7
56
)45(
2
1
+

>+
x
x
Ngày soan:2-10-2007
Buổi 1: Ôn tập Căn bậc hai - Điều kiện tồn tại và hằng đẳng thức
AA
=
2
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
2
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Liên hệ giữa phép nhân ; phép chia và phép khai phơng
A- Lí thuyết :
1- Định nghĩa:
CBH của một số không âm a là
a
và -
a
CBHSH của một số không âm a là
a
(x=

a



=


ax
x
2
0
( Với a
0

)
2- Điều kiện tồn tại :
A
có nghĩa khi A
0

3- Hằng đẳng thức :
AA
=
2
=




A

A
4- Liên hệ giữa phép nhân ; phép chia và phép khai phơng .
+ Với A
0;0

B
ta có
BAAB .
=

+Với A
0;0
>
B
ta có
B
A
B
A
=
B- Bài tập áp dụng :
Bài 1- Tính CBH và CBHSH của 16 ; 0,81 ;
25
4

Giải: CBH của 16 là
16
=4 và -
16
=-4 ; Còn CBHSH của 16 là

16
=4
CBHcủa 0,81 là
9,0

; CBHSH của 0,81là 0,9
CBH của
25
4
là
5
2

; CBHSH của
25
4
là
5
2
Bài 2- Tìm x để biểu thức sau có nghĩa :
a;
12
+
x
b;
x

2
1
c;

1
3
2

x
d;

d;
32
2
+
x
e;
2
5
2

x

Giải: a;
12
+
x
có nghĩa khi 2x+1
2
1
0 x
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
3
Giáo án dạy thêm môn Toán 9

b;
x

2
1
có nghĩa khi











4
0
02
0
x
x
x
x
c;
1
3
2

x
có nghĩa khi x
2
-1>0










<



>+
>
>+
01
01
01
0)1)(1(
x
x
x
xx

<
>

1
1
x
x

d;
32
2
+
x
có nghỉa khi 2x
2
+3
0

Điều này đúng với mọi x.Vậy biểu thức này có nghĩa với
mọi x
e;
2
5
2

x
có nghĩa khi -x
2

-2>0. Điều này vô lí với mọi xVậy biểu thức này vô nghĩa với
mọi x
Bài 3- Tính (Rút gọn ):
a;
2
)21(

b;
22
)32()23(
+
c;
324625
++
d;
1
12
2

+
x
xx
e;
12
+
xx
Giải:
a;
2
)21(

=
1221
=
b;
22
)32()23(
+
=
32432323223
=+=+
c;
324625
++
=
12321323)13()23(
22
+=++=++
d;
1
1
1
1
)1(
2
=


=

x
x
x
x
e;
12
+
xx
=
11)11(
2
+=+
xx
Bài 4- Giải PT:
a; 3+2
5
=
x
b;
32510
2
+=+
xxx
c;
155
=+
xx
Giải:
a; 3+2

5
=
x
(Điều kiện x
)0

2
235
==
x

1
=
x
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
4
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
x=1(thoả mãn )
b;
32510
2
+=+
xxx
35
=
xx
(1)
Điều kiện : x

-3

(1)



=
=

xx
xx
35
35
1
=
x
thoả mãn
c;
155
=+
xx
ĐK: x-5

0
5-x

0 Nên x=5
Với x=5 thì VT=0 vậy nên PT vô nghiệm
Bài 5- Tính:
a;
80.45
+

4,14.5,2
b;
52.13455

c;
144
25
150
6
23.2300
+
Giải: a;
80.45
+
4,14.5,2
=
662,1.520.3
44,1.25400944,1.25400.9
=+=
+=+
b;
52.13455

=
1126152.13225
22
==
c;
144
25

150
6
23.2300
+
=
60
13
230
12
5
5
1
230
144
25
150
6
230
2
=+=+
Bài 6- Rút gọn :
a;
22
)1(
+
aa
với a >0 b;
66
64
128

16
ba
ba
(Vớia<0 ; b
0

)
Giải: a;
22
)1(
+
aa
với a >0
=
)1(1
+=+
aaaa
vì a>0
b;
66
64
128
16
ba
ba
(Vớia<0 ; b
0

)
=

22
1
8
1
128
16
266
64
a
aba
ba
==
Vì a <0
Bài 7: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x= 0,5:
3
1
)3(
)2(
2
2
4


+


x
x
x
x

( với x<3) Tại x=0,5
Giải:=
3
54
3
144
3
1
3
)2(
2222


=

++
=


+


x
x
x
xxx
x
x
x
x

(Vì x<3)
Thay x=0,5 ta có giá trị của biểu thức =
2,1
35,0
55,0.4
=


H ớng dẫn về nhà : Xem lại các dạng bài đã giải ở lớp.
Làm thêm bài tập 41- 42b-43 (Trg9;10-SB

Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
5
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Ngày soạn :5/10/2007
Buổi 2: Ôn tập các bài toán về hệ thức lợng trong tam giác vuông .
A Lí thuyết : Các hệ thức lợng trong tam giác vuông:
h
a
b'
b
c'
c
H
C
B
A
1) a
2
=b

2
+c
2

2) b
2
=a.b' ; c
2
=a.c'
3) h
2
= b'.c'
4)b.c=a.h
5)
222
111
cbh
+=

B- Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A ;đờng cao AH
a; Cho AH=16 cm; BH= 25 cm . Tính AB ; AC ; BC ;CH
b; Cho AB =12m ; BH =6m . Tính AH ; AC ; BC ; CH .?
Giải Sử dụng hình trên
a; áp dụng định lí Pi Ta Go trong tam giác vuông AHB ta có:
AB
2
= AH
2
+ BH

2
= 15
2
+25
2
= 850
15,29850
=
AB
Trong tam giác vuông ABC Ta có :
AH
2
= BH. CH

CH =
BH
AH
2
=
9
25
15
2
=
Vậy BC= BH + CH = 25 + 9 = 34
AC
2
= BC. CH = 34 . 9 Nên AC = 17,5 (cm)
b; Xét tam giác vuông AHB ta có :
AB

2
= AH
2
+ HB
2

39,10612
2222
==
HBABAH
(m)
Xét tam giác vuông ABC có :
AH
2
= BH .CH
99,17
6
39,10
22
==
BH
AH
HC
(m)
BC= BH +CH = 6 +17,99 =23,99 (m)
Mặt khác : AB. AC = BC . AH
77,20
12
39;10.99,23.
==

AB
AHBC
AC
(m)
Bài 2: Cạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn cạnh góc vuông là 1cm ; tổng hai cạnh góc
vuông lớn hơn cạnh huyền 4 cm
Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này?
Giải :
Giả sử BC lớn hơn AC là 1 cm
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
6

Giáo án dạy thêm môn Toán 9
C
Ta có: BC- AC= 1
Và (AC + AB)- BC =4 Tính : AB; AC ; BC .
Từ (AC + AB)- BC =4 Suy ra AB- ( BC- AC )= 4
AB- 1 = 4 Vậy AB = 5 (cm)
Nh vậy :



=+
=
222
1
BCACAB
ACBC

+=+
+=

222
)1(5
1
ACAC
ACBC
Giải ra ta có : AC = 12( cm) Và BC = 13 (cm)
Bài3: Cho tam giác vuông - Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3: 4 ; cạnh huyền là 125 cm
Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền ?
Giải:
Ta sử dụng ngay hình trên
Theo GT ta có :
ACAB
AC
AB
4
3
4
3
==
Theo định lí Pi Ta Go ta có : AB
2
+AC
2
= BC
2
= 125

2

222
125)
4
3
(
=+
ACAC
Giải ra : AC = 138,7 cm
AB = 104 cm
Mặt khác : AB
2
= BH . BC Nên BH =
53,86
125
104
22
==
BC
AB
CH = BC -BH = 125 - 86,53 = 38,47 cm
Bài 4 : Cho tam giác vuông tại A ; Cạnh AB = 6 cm ; AC = 8 cm . Các phân giác trong và
ngoài của góc B cắt đờng AC lần lợt tại M và N
Tính các đoạn thẳng AM và AN ?
Bài giải:Theo định lí Pi Ta Go ta có : BC =
1086
2222
=+=+
ACAB

cm
Vì BM là phân giác ABC Nên ta có :
MCAM
AM
BC
BCAB
MC
AM
BC
AB
+
=
+
=

Vậy AM =
3
106
8.6
=
+
cm
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
7
A
B
H C
Giáo án dạy thêm môn Toán 9

Vì BN là phân giác ngoài của góc B ta có :
12=
+
== NA
ACNA
NA
BC
AB
NC
NA
BC
AB
cm
Cách khác:
Xét tam giác vuông NBM ( Vì hai phân giác BM và BN vuông góc )
Ta có : AB
2
=AM. AN =>AN =AB
2
: AM = 6
2
: 3 = 12 cm
Bài 5:
Cho tam giác ABC ; Trung tuyến AM ; Đờng cao AH . Cho biết H nằm giữa B và M .
AB=15 cm ; AH =12 cm; HC =16 cm
a; Tính độ dài các đoạn thẳng BH ; AC
b; Chứng tỏ tam giác ABC; Tính độ dài AM bằng cách tính sử dụng DL Pi Ta Go rồi dùng
định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông rồi so sánh kết quả
Bài giải : A
áp dụng định lí Pi Ta Go cho tam giác vuông AHB ta có:

BH
2
= AB
2
- AH
2
=15
2
- 12
2
= 9
2
Vậy BH =9 cm
Xét trong tam giác vuông AHC ta có : 15 12
AC
2
= AH
2
+HC
2
= 12
2
+16
2
=20
2
AC= 20 cm 16
b; BC= BH + HC = 9 +16 =25 B C
Vạy BC
2

= 25
2
= 625 H M
AC
2
+ AB
2
= 20
2
+ 15
2
=225
Vậy BC
2
= AC
2
+ AB
2
Vậy tam giác ABC vuông ở A
Ta có MC =BM = 12,5 cm ;Nên HM= HC -CM = 16- 12,5 = 3,5 cm
AM
2
= AH
2
+HM
2
= 12
2
+ 3,5
2

=12,5
2
Vậy AM= 12,5 cm
Thoã mãn định lí AM = BC : 2 =12,5 cm
H ớng dẫn học ở nhà
Xem kĩ các bài tập đã làm ở lớp
Làm thêm các bài tập sau đây:
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông ở A ; từ trung điểm D của của AB vẽ DE vuông góc với BC .
C/M : EC
2
- EB
2
= AC
2
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
N
A

M

B C
8
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Bài 2:
Biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5:6 ; cạnh huyền là 122
cm .
Hãy tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh lên cạnh huyền ?
Bài 3:
Biết tỉ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3 : 7 ; Đờng cao ứng với cạnh

huyền là 42 cm
Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ?



Ngày soạn : 15/10/2007
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
9
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Buổi 3 : Ôn tập về các phép biến đổi căn thức bậc hai
A- Lí thuyết cần nắm :
Các phép biến đổi căn bậc hai :
Đa thừa số ra ngoài dấu căn :
- Với A
0

, B
0

Thì
BABA
=
2

- Với A<0 , B
0

Thì
BABA
=

2
Đa thừa số vào trong dấu căn :
Với A
0

, B
0

Thì A
BAB
2
=

Với A
0

, B
0

Thì A
BAB
2
=
Khữ mẩu của biểu thức lấy căn :
Với AB
0;0

B
Thì
B

AB
B
AB
B
A
==
2

Trục căn thức ở mẫu:
Với B>0 thì
B
BA
B
A
=
Với B

0; A
2

B

thì
BA
BAC
BA
C

+
=

)(
Với A

0 ; B

0 và

A
B

THì :
BA
BAC
BA
C

+
=

)(
B- Bài tập :
Bài 1) Chứng minh :
a,
25549
=
VT=
VP
===
25255)25(

2
(ĐCC/M)
b, Chứng minh :
yx
xy
yxxyyx
=

))((
Với x>0; y>0
BĐVT=
VPyx
yx
yxyx
yx
yxyxyxyxyx
==

=
+
.
)(.
.
.
(ĐCC/m)
c; Chứng minh :
x+ 2
2
)22(42
+=

xx
Với x

2
BĐVP= 2+ x-2 + 2
42

x
= x +2
42

x
=VT (ĐCC/m)
Bài 2: Rút gọn :
a;(2
603)53
+
= 2.3+
15615215615.415
=+=
b; 2
035)628(352.3352352.4
34.5335232.40248537521240
===
=
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
10
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
c; (2
yxyx

yxyxyxyxyx
26
2346)23)(
=
+=+
d,
422422
++
xxxx
Với x

2
=
242242
242242)242()242(
442442442442
22
++=
++=++=
+++
xx
xxxx
xxxx
Với
40242

xx
ta có Biểu thức =
422242242
=++

xxx
Với
420242
<
xx
Biểu thức =
4422242
=++
xx
Bài3:Tìm x
a;
)(493525
)0:(3525
2
TMxx
xDKx
==
=
b;
)(6033
)(303
0)33(3
0333.3
)3:(0339
2
tmx
tmxx
xx
xxx
xDKxx

=++
==+
=+
=+
=
vậy x =3 hoặc x = 6
c;
242)4(
2168
2
2
+=+=
+=+
xxxx
xxx
Với x-4
40

x
Phơng trình trở thành :
x- 4 = x+2 => - 4 = 2 vô lí =>PT vô nghiệm
Với x- 4 <0 x<4 Phơng trình trở thành:
4- x = x +2 =>x =1 ( thoã mãn )
Vậy PT chỉ có một nghiệm x = 1
d;
5
4
2
4
2

22
=
+
+

xxxx
(ĐK: x
2

hoặc x<2)
2(x+
)4(5422422
)4).(4.(5)4(2)4
2222
2222
+=++
+=+
xxxxxx
xxxxxxx
4x = 20 x =5 (Thoả mãn)
Bài 4: Cho biểu thức :
A =
x
x
xx

+
+

1
22
1
22
1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức A
b; Tính giá trị của A với x =3
c; Tìm giá trị của x để
2
1
=
A
Giải: A có nghĩa Khi





1
0
x
x

Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
11
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
A =
1
1

1
1
144
4
1
)22)(22(
2222
+
=


=



=

+
+
++
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
b; Với x= 3 ( thoả mãn điều kiện ) nên ta thay vào A=

13
1
1
1
+

=
+

x
c;
2
1
=
A

1
2
1
1
1
2
1
1
1
==
+
=
+

x
xx
(loại )
Bài 5 :
9101
1
10099
...
1
32
1
21
10099
1
9998
1
...
32
1
21
1
=+=


++


+

=
+
+
+
++
+
+
+
H ớng dẫn học ở nhà : Xem kĩ các bài tập đã giải ở lớp
Làm thêm bài tập 69- 70 - 73(SBT-Tr 13-14)

Ngày soạn : 22/10/2007
Buổi 4 : Ôn tập về hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
A- Lí thuyết :
1- Định nghĩa các tỉ số l ợng giác :
SinB =
a
b
= CosC
Cos B = SinC
TgB = Cotg C

CotgB = TgC
2- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
12

A

B H C

C
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
a; b = a sinB = a cosC
c = a sin C = a cosB
b; b = c tgB = c cotg C
c = b tgC = b cotg B
B- Bài tập :
Bài 1: (Bài về nhà )
Cho ABC vuông ở A ;
6
5
=
AC
AB
; BC = 122 cm
Tính BH ; HC ?
Giải:
Cách1: Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có :
AB
2
= BC . BH
AC
2
= BC . CH
CH
BH
AC
AB
=
2

2
Mà
6
5
=
AC
AB
Suy ra
CH
BH
AC
AB
=
2
2
=
36
25
Đặt BH = 25x ; CH = 36x
Ta có : BC= BH + CH = 25x +36x = 122
Vậy x = 122 : 61 = 2
Nên BH = 25.2 =50 (cm) ; CH = 2. 36 = 72 (cm)
Cách 2:
Đặt AB= 5x ; AC =6x
Theo định lí Pi Ta Go Ta có :
BC =
1226161)6()5(
22222
===+=+
xxxxACAB

Vậy x =
61
122
Ta có : AB
2
= BH . CB
50
61
122
.
61
25
61
25
61
25
22
=====
x
x
x
BC
AB
BH
(cm)
CH= BC- BH = 122 - 50 = 72 (cm)
Bài 2 : GV nhắc lại kết quả bài tập 14 (Tg77-SGK)
Tg =

Cos
Sin
; Cotg
=



Sin
Cos
=

Tg
1
;
Sin
2
+ Cos
2
= 1
áp dụng :
a; Cho cos

= 0,8 Hãy tính : Sin

gTg cot;;
?
Ta có : Sin
2
+ Cos
2

= 1
Mà cos = 0,8 Nên Sin =
6,08,01
2
=

Lại có : Tg =


Cos
Sin
=
75,0
8,0
6,0
=

Cotg
=



Sin
Cos
=

Tg
1
=
...333,1

6,0
8,0
=

b; Hãy tìm Sin ; Co s Biết Tg =
3
1

Tg =
3
1
nên


Cos
Sin
=
3
1
Suy ra Sin =
3
1
Cos
Mặt khác : : Sin
2
+ Cos
2
= 1
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
13

Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Suy ra (
3
1
Cos )
2
+ Cos
2
=1 Ta sẽ tính đợc Cos = 0,9437
Từ đó suy ra Sin = 0,3162
c; Tơng tự cho Cotg = 0,75 Hãy tính Sin ; Cos ; Tg
- Cho HS tự tính GV kiểm tra kết quả ...
Bài 3 : Dựng góc biết :
a; Sin = 0,25 ; c; Tg = 1
b; Cos = 0,75 d; Cotg = 2
Giải
a; Cách dựng : Chọn đoạn thẳng đơn vị
-Dựng góc vuông xOy
- Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 1( Đơn vị)
- Vẽ (A; 4 đơn vị) cắt tia oy tại B
- Nối AB Ta sẽ có góc OBA là góc cần dựng
Chứng minh:
Trong tam giác OAB có:
Sin OBA =
25,0
4
1
==
AB
OA

Vậy góc OBA là góc cần dựng .


c; Cách dựng : - Dựng góc vuông xOy
- Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 1Đvị
- Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB= 1 Đvị
Nối AB Ta có góc OAB là góc cần dựng
C/M : Trong tam giác OAB có :
tgOAB =
1
=
OA
OB
O B
Các câu b; d; có cách làm hoàn toàn tơng tự nh câu a; c; Các em sẽ tự làm
Bài 3: Các biểu thức sau đây có giá trị âm hay dơng :
a; Sinx - 1
b; 1 - Cosx
c; Tgx - Cotgx
d; Sinx - Cosx
Giải
Vì Sinx = Đối : Huyền ; Cosx = Kề : Huyền Nên Sinx <1
Cosx <1
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
14

A
O B
X

A
A


Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Suy ra : Sinx - 1 <0 Và 1 - Cosx >0
Vì Sin 45
0
= Cos 45
0
và khi x tăng thì Sinx ; Tgx Tăng dần
Còn Cosx ; Cotgx giảm dần
+ Nếu x>45
0
thì sinx >cosx Nên Sinx - cosx >0 ; Tgx - cotgx >0
+ Nếu x <45
0
thì Sinx < Cosx Nên Sinx - cosx <0 ; Tgx - cotgx <0
Bài 4: Tính các góc của ABC . Biết AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC =5 cm
Giải
Vì AB
2
+ AC
2
= 3
2
+4
2
=25

BC
2
= 5
2
= 25 Suy ra AB
2
+ AC
2
= BC
2
Vậy ABC vuông tại A A
Suy ra <A = 90
0
3 4
Sin B = AC/ BC = 4 / 5 = 0,8 Suy ra <B = 53
0
7
'

<C= 90
0
- 53
0
7
'
= 36
0
53
'

B C
Bài 5: Cho hình vẽ : A
Hãy tính CN ; < ABN ; < CAN ; AD ; BC
Giải :
Trong vuông CAN có :
CN
2
= AC
2
- AN
2
= 6,4
2
- 3,6
2
= 5,3 cm
Trong vuông ANB có :
SinB = AN/ AB = 3,6 / 9 = 0,4 Nên góc B = 24
0

Trong vuông ANC có : CosA = AN/ AC = 3,6 / 6,4 Suy ra góc CAN = 56
0

Trong vuông AND có:
Cos A = AN/ AD suy ra AD = AN / CosA = 3,6/ Cos34
0
=
6,4 cm
Trong vuông ABN có :
SinB = AN/AB = 3,6/9 Suy ra góc B = 24

0

BN = AB. CosB = 9. Cos24
0
= 8,2 cm
Vậy BC = BN - CN = 8,2- 5,3 = 2,9 cm
Bài 6 :
Cho ABC có BC = 12 cm ; <B=60
0
; <C= 40
0

a; Tính đờng cao CH và cạnh AC
b; Tính diện tích ABC
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
15


0=

9 6,4 3,6
B C N D
A
H
B C
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Giải
a; Góc B=60
0
, góc C =40

0
Nên góc A = 80
0

vuông BHC có :
CH = BC . SinB = 12.Sin 60
0
= 10,39 cm
vuông AHC có :
Sin A = CH / AC Suy ra AC = CH / SinA = 10,39 / Sin80
0
= 10,55 cm
b; Trong AHC có :
AH = CH . CotgA = 10,39. cotg80
0
= 1,83 cm
Trong BHC có : BH= BC. CosB = 12.Cos60
0
= 6 cm
Vậy AB = AH +HB = 1,83 + 6 = 7,83 cm
S

ABC
=
=
ABCH.
2
1
40,68 cm
2

C - H ớng dẫn học ở nhà :
- Xem kĩ các bài tập đã giải ở lớp
- Làm thêm bài tập sau đây :
Bài 1: Cho ABC đều ; cạnh AB =5 cm . D thuộc tia CB Sao cho góc ADC = 40
0
Hãy
tính :
a; Đoạn thẳng AD
b; Đoạn thẳng BD


Ngày soạn : 26/10/2007
Buổi 5 : Ôn tập Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Căn bậc ba
A - Lí thuyết :
1 - Yêu cầu học sinh nắm vững các phép biến đổi về căn thức bậc hai
-2 - Nhắc lại các kiến thức về căn bậc ba :
Định nghĩa : Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
Tính chất a<b
33
ba
<

)0(
.
3
3

3
333
=
=
b
b
a
b
a
baab
B - Bài tập :
Bài 1: Rút gọn :
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
16
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
a; (2-
2
)523()25).(2

= 10
33240
2523018102
=
++
b; 2
3
300
5
2
2

5,13
753 a
a
aaa
+
Với a>0
aa
aaa
a
a
aa
aa
a
a
aaa
3)
2
3
4(
310.
5
2
3
2
3.
3532
3.100
5
2
)2(

27
.3.2532
2
2
+=
+=
+=
c;
ba
ba
ba
ba





33
Với a
bab

,0;0
ba
ab
ba
bababa
baba
bababa
ba
baba

+
=
+
+
=
+
++


+
=
2)(
))((
))((
)()(
2
Bài 2: a; Chứng minh :
X
2
+x
=+
13
(x+
4
1
)
2
3
2
+

Giải: Biến đổi vế trái = x
2
+2 x.
4
1
)
2
3
(
2
3
2
++
= (x+
4
1
)
2
3
2
+
= vế phải ( Đẳng thức đợc
c/m )
b; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A= x
2
+x
13
+
Theo câu a ta có : X

2
+x
=+
13
(x+
4
1
)
2
3
2
+
Vì (x+
0)
2
3
2

Vậy nên A nhỏ nhất =
4
1
khi x+
2
3
0
2
3
==
suyrax

Bài 3
Cho biểu thức :
P =
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ rồi Rút gọn
b; Tìm x để P =2
c; Tính giá trị của P khi x = 3-2
2
Giải :
a; Biểu thức có nghĩa khi x
4;0

x
Vậy TXĐ: x
4;0

x
P =
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
52
2
2
2
1
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
17
Giáo án dạy thêm môn Toán 9

4

52
2
2
2
1

+

+
+

+
x
x
x
x
x
x
=
2
3
)2)(2(
)2(3
)2)(2(
63
)2)(2(
52)2(2)2)(1(
+
=
+

=
+

=
+
+++
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxx
b; P= 2





=
+


2
2
3
4;0
x

x
xx
TXDx
xx
x
x
=
+==
+
16
4232
2
3
c; x = 3-2
2
thuộc TXĐ Nên ta thay x = 3-2
2
vào ta đợc :
P =
12
)12(3
212
)12(3
2223
2233
+

=
+

=
+

Bài 4 : Giải phơng trình biết :
a;
1
2
3
6
9
1
2
15
2525
+=


x
x
x
(ĐK : x
)0

3713661
61)5,15,25(
615,115,215
1
2
3
61

3.2
15
)1(25
=+==
=
=
+=
xx
x
xxx
xxx
(Thoã mãn )
b;
253
9
5
2204
3
2
2
2
2
=

+
x
x
x

5;55:
2

xxxDK
5
6
5
25)3
3
2
3
4
(
2535
3
2
52.
3
2
2
2
222

=
=+
=+
x
x
xxx
Vì VT Không âm ; còn VP <0 Vậy PT đã cho vô nghiệm .

c; (5
45)1)(2
+=+
xxx
(ĐK: x
)0

)(4263
452255
tmxxx
xxxx
===
+=+
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
18
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Bài 5 : So sánh
a; 15 và
3
2744
Cách 1: 15=
3
3375
Vì 3375 > 2744 Nên
3
3375
>
3
2744
Hay 15 >

3
2744
Cách 2 :
3
2744
= 14 <15 Vậy 15 >
3
2744

b; -
2
1
và -
3
9
1


-
2
1
=
3
8
1

; -
3
9
1

=
3
9
1

Vì
9
1
8
1

<

Nên
3
8
1

<
3
9
1

Hay -
2
1
<-
3
9
1

Bài 6 : Rút gọn biểu thức :
aaaa
aaaaaa
117.5.33
7.1253277125327
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
=+=
+=+
b;
3
3
3
3
3
3
3
3
)1(27)1(2)1(8)1(2 aaaa
+
Hớng dẫn Học sinh giải
KQuả = a(3+

)23()2
33
+
H ớng dẫn học ở nhà :
- Xem kĩ các bài tập đã giải ở lớp
- Làm thêm các bài tập sau đây :
Bài 1 : Cho biểu thức
P= (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+


a
a
a
a
aa
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn P

b; Tìm a để P dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a= 9- 4
5
Bài 2:
a; So sánh :
-11 và
3
1975

b; Rút gọn :
6
3
3
3
3
3
3
)12(2)21(8)12(64
+
aaa
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
19
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Ngày soạn : 31/10/2007
Buổi 6 : Ôn tập chơng I hình học
A- Lí thuyết cần nhớ :
1- Các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông .
1- a
2
=b

2
+c
2

2- b
2
=a.b' ; c
2
=a.c'
3- h
2
= b'.c'
4- b.c=a.h
5-
222
111
cbh
+=

A
2- Định nghĩa các tỉ số l ợng giác :
SinB =
a
b
= CosC
Cos B = SinC
TgB = Cotg C B
CotgB = TgC
3- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
a; b = a sinB = a cosC

c = a sin C = a cosB
b; b = c tgB = c cotg C
c = b tgC = b cotg B
Suy ra: a = b/ sinB = b/ cosA
B- Bài tập vận dụng:
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
20
A

c h b
c' b'
B
H a C


H
C
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC tại A . AH là đờng cao ; BH = 4 cm ; CH = 9 cm
Tính AB ; AC ; AH ; Góc C và góc B .

Giải: BC= BH + CH = 4+9 =13 cm
AB
2
=BH.BC = 4 .13 = 52
AB =
52
(cm
AC
2

= BC
2
- AB
2
=9
2
-
2952
2
=

AC =
29
AH
2
= BH. CH = 4.9 =36 = 6
2

AH = 6 cm
Ta có : SinB = AC/BC =
29
/ 9 =0,5984
Suy ra : B = 36
0
45'
C = 90
0
- 36
0
45' = 53

0
Bài 2: a; Cho Cos = 5/12. Tính Sin ; Tg ; Cotg .?
Ta có Sin
2
+ Cos
2
=1 => Sin
2
= 1- (5/12)
2
= 144/169
Sin = 12/13
Tg = Sin /Cos =
5
12
12/5
13/12
=

Cotg =

Tg
1
=
12
5

b; Cho Tg =2 .Tính sin ; Cos ; Cotg ?
Ta có : Tg =2 =>

CosSin
Cos
Sin
.22
==

Mặt khác : Sin
2
+ Cos
2
=1 Nên (2cos )
2
+cos
2
= 1
5 cos
2
= 1
Cos =
5
5
Vậy sin = 2 cos =
5
52
Cotg =
2
11
=

tg
Bài 3: Dựng góc nhọn biết :
a; Cos =0,75
b; Cotg =3
Giải:
GV hớng dẫn HS giải qua 2 bớc : Cách dựng và chứng minh
Bài 4: Cho ABC có AB= 6 cm ; AC = 4,5 cm ; BC = 7,5 cm A
a; C/m ABC vuông ở A
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
21

A
B 4 9 C
H
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Tính B ; C ; đờng cao AH của ABC
b; Tìm tập hợp điểm M sao cho S

ABC
= S

BMC
Giải : B C
H
a; Ta có AB
2
+AC
2
= 6

2
+4,5
2
=56,25 =7,5
2
= BC
2

Vậy ABC vuông ở A ( Theo định lí đảo định lí Pi Ta Go)

8,0
5,7
6
===
BC
AC
SinB
Vậy góc B = 53
0
Suy ra góc C=90
0
- 53
0

= 27
0

vuông AHB có : AH = AB . Sin B = 4,5.Sin53
0
= 3,6 cm

b; Ta có : ABC và MBC chung đáy BC vậy để diện tích chúng = nhau thì độ dài hai
đờng cao phải bằng nhau Tức là khoảng cách từ A đến BC cũng bằng M đến BC . Suy ra M
cách BC một khoảng =AH = 3,6 cm
Vậy M thuộc hai đờng thẳng sông song với BC và cách BC một khoảng bằng 3,6 cm
Bài 4 : Cho ABC vuông ởA ; AB = 6 cm ; AC = 8 cm
a; Tính BC ; B ; C
b; Phân giác của góc A cắt BC tại D
c; Từ D kẽ DE vuông góc AB và DF vuông góc AC . Tứ giác AEDF là hình gì ?
Tính chu vi và diện tích của hình tứ giác đó ?
Giải:
a; Theo định lí Pi Ta Go cho vuông ABC ta có : A
BC
2
= AB
2
+AC
2

BC=
1086
22
=+
cm F
SinB =
8,0
10
8
==
BC
AC

E
B = 53
0
; C = 37
0

b;Theo tính chất phân giác ta có : B C
7
8
68
10.6.
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
ABAC
BCAB
BD
BC
BD
BDCD
BD
ABAC
AB

DC
BD
AC
AB

CD = 10-
7
62
7
8
=
cm
c; Ta có tứ giác AEDF là HCN ( Có ba góc vuông ở A; E ;F )
Lại có AD là phân giác của góc A nên AEDF là hình vuông
Xét tam giác BED có :
ED = BD. SinB =
35
32
53
.7
8
0
=
Sin
cm
Chu vi của AEDF = ED .4=
35
108
4.
35

32
=
cm
Diện tích của AEDF = ED
2
= (
1225
1024
)
35
32
2
=
cm
2
C- H ớng dẫn học ở nhà :
- Xem lĩ lại các bài tập đã chữa ở lớp
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
22
D
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
- Làm thêm bài tập sau:
Cho tam giác vuông tại A ; AB = a ; AC= 3a . Trên cạnh AC lấy các điểm D;E sao cho AD
= DE =EC
a; C/M
DC
DB
EB
DE
=

b; C/M BED đồng dạng CDE
c; Tính tổng < AEB+< BCD bằng hai cách .
Ngày soạn :6/11/2007
Buổi 7: Ôn tập chơng I đại số
A- Kiến thức cần nắm trong chơng :
Căn bậc hai
Căn bậc ba
+ a
0

x =



=


ax
x
a
2
0
+
A
có nghĩa khi A
0

; Với A
0

thì
A
0

+



<

==
0
0
2
AkhiA
AkhiA
AA
+
BAAB .
=
với A
0

;B
0

+
B
A
B

A
=
Với A
0

;B>0
+Với mọi a thuộc R :
x =
ã
3
a
ax
=
3
+
3
A
có nghĩa với mọi A
+Khi A >0 ta có
0
3
>
A
A =0 ta có
3
A
=0
A<0 ta có
3
A

<0
+
AA
=
3
3

33
.3 BAAB
=
+
3
3
3
B
A
B
A
=
( B
)0

Các phép biến đổi đơn giản của căn bậc hai :
Đa thừa số ra ngoài dấu căn :
- Với A
0

, B
0

Thì
BABA
=
2

- Với A<0 , B
0

Thì
BABA
=
2
Đa thừa số vào trong dấu căn :
Với A
0

, B
0

Thì A
BAB
2
=

Với A
0

, B
0

Thì A
BAB
2
=
Khữ mẩu của biểu thức lấy căn :
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
23
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
Với AB
0;0

B
Thì
B
AB
B
AB
B
A
==
2

Trục căn thức ở mẫu:
Với B>0 thì
B
BA
B
A
=
Với B

0; A
2

B

thì
BA
BAC
BA
C

+
=

)(
Với A

0 ; B

0 và

A
B

THì :
BA
BAC
BA
C

+
=

)(
B- Bài tập áp dụng :
Bài 1: a; Tìm tập xác định của các biểu thức sau :
A =
xx
+
2362
B =
3
6
52
13

+


xx
x
C = 3x-5 +
12
4
2
+
x
Giải:
A =

xx
+
2362
có nghĩa khi












2
3
02
062
x
x
x
x
Không có giá trị nào của x để A có nghĩa
B =
3
6
52
13

+


xx
x
có nghĩa khi
5
2
3
5
2
03
052
<






<





>
x
x

x
x
x
C = 3x-5 +
12
4
2
+
x
có nghĩa khi 2x
2
+1>0 điều này luôn đúng với mọi x . Vậy TXĐ:R
Bài 2: Rút gọn :
a;
153513)53()13(
2
2
=+=+
b;
1020
9
5
+
=
5)2
3
7
(52525
3
1

=+
Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
24
Giáo án dạy thêm môn Toán 9
c;
6
339
6
12312351531836
13
)13(4
39
)33(5
34
)32(3
13
4
33
5
32
3
+
=
++
=

+

+

+
=


+
+

d;
636263)362()63(612336615
2
2
=+=+=+
Bài 3:
Cho biểu thức : A=
ab
abba
ba
abba
+


+
4)(
2
a; Tìm điều kiện của a;b để A có nghĩa
b; Khi A có nghĩa chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Giải:
a; A có nghĩa khi

>>









ba
ba
ba
conghiaab
conghiaba
0;0
0
;
Vậy TXĐ: a>0 ; b>0 ; a
b

b;
A =
bbaba
ba
ba

baba
ab
baab
ba
abbaba
2
)(
2
)(
42
==


+
=
+


++
Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của a ( với a>0 ; b>0 ; a
b

)
Bài 4: Cho biểu thức :
P = x -7 +
4914
2
+
xx
a; Rút gọn P

b; Tìm x để A =4
Giải:
a; P có nghĩa với mọi x
P = x-7 +
77)7(
2
+=
xxx
+Nếu x-7

0

x
7

Khi đó P = x-7 +x-7 =2x - 14
+Nếu x -7<0

x<7 Khi đó P = x -7 +7 - x = 0
Vậy
P =



<

70
7142
neu
neuxx

Gv:Trần Hải Đoàn-Trờng THCS Trực Chính
25