de-d.an HSg toan 9(T.Hoa)

đề thi học sinh giỏi lớp 9- Bảng B
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức:
96xx
3)2)(x(4x9x
A
2
2
+

=
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị của A khi
206416x
+=
c) Tìm x để
2A
=
Câu 2 (3 điểm): Cho phơng trình (x
2
+4x-5)(x
2
-9)=m
a) Giải phơng trình với m=45
b) Tìm m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3 (2,5 điểm) Cho parabol (P) có phơng trình: y=a.x
2
a) Tìm a biết (P) đi qua A(2;4), khi đó hãy vẽ (P).
b) Chứng minh rằng đờng thẳng qua A(2,4) và B(1,2) vuông góc với đờng thẳng
x+2y-3=0

Câu 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
22
)2006x()2005x(A
+=
Câu 5 (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x
3
y+xy
3
-3x-3y=17
Câu 6 (1,5 điểm) Cho ABC, đờng phân giác AE (EBC). Chứng minh rằng:
EC
BE
AC
AB
=
Câu 7 (2,5 điểm): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O, R). M là điểm di chuyển
trên cung bé BC không chứa điểm A. D thuộc tia đối của MB sao cho MD=MC.
a) Chứng minh rằng tam giác MCD là tam giác đều.
b) Tìm vị trí điểm M để MA+MB+MC lớn nhất.
Câu 8 (2 điểm): Cho ABC đều cạnh a. G là trọng tâm. Đờng thẳng (d)mp(ABC) tại G.
S(d) sao cho SG=2a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9-bảng B
M«n To¸n
C©u ý Néi dung Thang ®iÓm
C©u 1
a
§iÒu kiÖn: x≠3
3x
x35

)3x(
)3x)(x35(
A
2
−
−
=
−
−−
=
0,5®iÓm
1 ®iÓm
b
Ta cã:
210)15(416206416x
−=+−=+−=
3210
231035
3210
)210(35
A
−−
−−
=
−−
−−
=⇒
1 ®iÓm
0,5 ®iÓm
c

2
3x
x35
2A
=
−
−
⇔=
(*)
§iÒu kiÖn:






∈⇔≥
−
−
3;
3
5
x0
3x
x35
7
17
x)3x(4x35(*)
=⇔−=−⇔
KÕt luËn:

7
17
x
=
th×
2A
=
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
C©u 2
a
Ph¬ng tr×nh ⇔ (x-1)(x+3)(x-3)(x+5)=m
⇔ (x
2
+2x+3)(x
2
+2x-15)=m
§Æt x
2
+2x+1=t ⇒ ®iÒu kiÖn t≥0
Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (t-4)(t-16)=m ⇔ t
2
-20t+64-m=0 (2)
Víi m=45. Ta cã ph¬ng tr×nh:



=
=

⇔=+
19t
1t
01920t-t
2
Víi t=1. Ta cã ph¬ng tr×nh:



−=
=
⇔



−=+
=+
⇔=+
2x
0x
11x
11x
1)1x(
2
Víi t=19. Ta cã ph¬ng tr×nh:




−−=

−=
⇔




−=+
=+
⇔=+
119x
119x
191x
191x
19)1x(
2
KÕt luËn: Ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm:
x
1
=0, x
2
=-2, x
3
=
119
−
, x
4
=
119
−−

0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
b
Ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ ph¬ng tr×nh (2) cã 2
nghiÖm d¬ng ph©n biÖt.
64m36
64m
036m
0m64
020
036m
0P
0S
0'
<<−⇔



<
>−>
⇔





>−
>

>+
⇔





>
>
>∆
⇔
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
C©u 3
a Parabol (P) ®i qua A(2;4) ta cã:
4=a.2
2
⇔a=1
VËy (P) cã ph¬ng tr×nh: y=x
2

1 ®iÓm
b Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua AB cã d¹ng: y=ax+b (d)
Do (d) ®i qua A(2;4) vµ B(1;2) ta cã:
0,5 ®iÓm



=
=

=+
=+
0b
2a
2ba
4ba2
Phơng trình đờng thẳng là y=2x có hệ số góc a=2
Đờng thẳng 2y=-x+3
2
3
2
x
y
+=
có hệ số góc a=
2
1

Ta thấy a.a=-1. (đpcm)
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 4
A=|x-2005|+|x-2006|
- Nếu x<2005 ta có: A=2005-x+2006-x=4011-2x>4011-2.2005=1
- Nếu x>2006, ta có: A=x-2005+x-2006=2x-4011>2.2006-4011=1
- Nếu 2005x2006, ta có: A=x-2005+2006-x=1

Vậy ta có A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 2005x2006
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 5
Phơng trình: x
3
y+xy
3
-3x-3y=17
(x
2
+y
2
)(xy-3)=17=17.1
Do x,y nguyên dơng nên x
2
+y
2
>1



=
=+

=
=+




=
==

4xy
25)yx(
4xy
17xy2)yx(
13xy
17yx
2222
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm











=
=



−=
−=



=
=



=
=
⇔










=
−=+




=
=+
⇔
-4y
-1x
hoÆc
4y
1x
hoÆc
1
4
1
4
4
5
4
5
y
x
y
x
xy
yx
xy
yx
KÕt luËn:




=
=
4y
1x
hoÆc



−=
−=
1y
4x
hoÆc



=
=
1y
4x
hoÆc



−=
−=
4y
1x

C©u 6
KÎ Cx//AB. AE c¾t Cx t¹i D.
∆ABE~∆DCE⇒
EC
BE
CD
AB
=
MÆt kh¸c ∆ACD c©n t¹i C ⇒ AC=CD
VËy
EC
BE
AC
AB
=
(®pcm)
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm