Đáp án HSG Toán 9 Tỉnh Nghệ An năm 2008

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức
Môn: toán lớp 9 - bảng A
Nội dung Điểm
Bài 1 4,0
a,
2.0
Gọi số cần tìm là
abc
(a, b, c N; a, b, c 9, a 0) (1)
Theo bài ra ta có:
+ +


+ +



M
M
100a 10b c 11 (2)
a b c 11 (3)
c chẵn (4)
0,5
Từ (2) , (3) 101a + 11b + 2c
M
11 2(a + c)
M
11
mà 1 a+ c 18 và (2; 11) = 1 a + c = 11 (5)

0,5
Từ (3) , (5) b = 0 0,5
do c chẵn và a + c = 11 (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8)
Vậy các số cần tìm là 902; 704; 506; 308
0,5
b 2,0
Đặt X =
3 3
7 50 7 50 + +
X
3
= 14 3X
0.5
X
3
+ 3X 14 = 0 (X-2)(X
2
+ 2X + 7) = 0 0.5
Do: X
2
+ 2X + 7 >0 X-2 = 0 X=2 0.5
Nên:
3 3
7 50 7 50 + +
=2 hay
3 3
7 50 7 50 + +
là số tự nhiên
0.5
Bài 2:

4.0
a
2.0
Điều kiện xác định: {x -1 hoặc
1
x
4

}
Đặt
2
2
4x 5x 1 a, (a 0)
2 x x 1 b, (b 0)

+ + =

+ =


2 2
2 2
4x 5x 1 a
4x 4x 4 b
+ + =


+ =

0.5

a
2
b
2
= a - b (a-b)(a+b-1) =0 Do b =
2
4x 4x 4 +
b
3

a + b 1 > 0 a b =0
0.5
Từ a b =0 9x 3 = 0
1
x
3
=

0.5
Với
1
x
3
=
thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là:
1
x
3
=

0.5
b
2.0
Từ phơng trình xy 2x 3y = -6 (x - 3)(y 2) =0
do y > 2 x 3 =0 x= 3
0.5
1
Thay x = 3 vào các phơng trình đầu và phơng trình thứ 2 của hệ ta đợc
{
2 2
y z 20
yz 8
+ =
=

{
2
(y z) 4
yz 8
+ =
=

{
y z 2
yz 8
+ =
=

0.5
Với y + z =-2 mà yz = -8 y=2 hoặc y =-4 (loại)

Với y + z =2 mà yz = -8
{
y 4
z 2
=
=
do đó x = 3
0.5
Vậy nghiệm của hệ phuơng trình là: (x,y,z) = (3, 4, -2) 0.5
Bài 3
4.0
a
2.0
Với x, y là 2 số bất kỳ ta luôn có (x + y)
2
2(x
2
+ y
2
) 0.5
Nên a, b 0 và a
2
+ b
2
=1 (a+b)
2
2 a+b
2
(dấu = khi a=b=
1

2
)
0.5
Mặt khác (a+b)
2
= a
2
+ b
2
+2ab = 1+ 2ab a + b 1 0.5
Vậy ta luôn có 1 a+b
2
0.5
b
2.0
Xét P
2
= 2 + 2(a +b) +2
1 2(a b) 4ab+ + +

do a+b
2
, ab
1
2
(a
2
+ b
2
) ab

1
2

0.5
Nên P
2
2+ 2
2
+2
1 2 2 2+ +
P
2
2+ 2
2
+2
2
(1 2)+

P
2
4 + 4
2

0.5
P 2
1 2+
dấu = xẩy ra khi a =b =
1
2

Vậy giá trị lớn nhất của P là 2
1 2+
0.5
Mặt khác ta cũng có a + b 1 và ab 0 nên P
2
2 + 2 + 2
1 2+

P
2
4 + 2
3
P 1 +
3
, dấu = xảy ra khi ( a = 0, b = 1) hoặc ( a = 1, b = 0). Vậy giá trị
nhỏ nhất của P là 1 +
3
0,5
Bài 4
3,0
Xét tích
(x 1) (y - 1)(z 1) = xyz xy yz zx + x + y + z 1
= x + y + z -
1 1 1
x y z

0,5
mà x + y + z >
1 1 1
x y z

+ +
(x 1)(y 1)(z 1) >0
0.5
2
nếu cả 3 thừa số (x 1), (y 1), (z 1) đều dơng xyz > 1 (loại)
0.5
nếu cả 3 thừa số (x 1), (y 1), (z 1) đều âm (x 1)(y 1)(z 1)<0
Nếu 2 thừa số dơng, 1 thừa số âm (x 1)(y 1)(z 1)<0 (loại)
0.5
Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dơng trong 3 số x, y, z có hai số bé hơn 1.
Còn một số lớn hơn 1.
0.5
Vậy trong 3 số x, y, z luôn có duy nhất một số lớn hơn 1.
0.5
Bài 5
5.0
0.5
a
Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm của tam giác PAB PN AB
0.5
Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại D với PN là M . Do góc PDM = góc ABD (1/2 số đo cung
AD)

ã
ã
PDM' DPM'=
Tam giác MPD cân tại M
0.5
MP = MD M là trung điểm đoạn PN
0.5

Tơng tự tiếp tuyến tại C cũng cắt PN tại M
0.5
Do đó M trùng M MN AB
0.5
b.
Trên tia đối của tia DB lấy điểm Q sao cho DQ=DB QA//NO QA NE A là trực tâm tam giác
QEN
0.5
NA QE (tại H)
0.5
HNQ = CNB NH = NC
0.5
HNE = CNF NE=NF
0.5
Chú ý:
- Tổng điểm toàn bài là: 20,0 điểm.
- Các cách giải khác cũng đợc cho điểm tơng đơng
- Bài 5 mà không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm.
3