SKKN ứng dụng tích phân vào bài toán diện tích trong thực tế

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
2. NỘI DUNG
2.1. Công thức tính diện tích của các hình bằng tích phân.

2.2. Các ví dụ điển hình .
3. Kết luận và kiến nghị.

4.TÀI LIỆU THAM KHẢO


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
- Ở các lớp THCS chúng ta đã biết cách tính diện tích của hình tam giác, hình thang, hình
chữ nhật và các hình đa giác có thể đưa về các hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật để
tính diện tích. Nhưng trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật, chúng ta cần
phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp như: ta phải tính diện tích của một cánh
rừng, diện tích các thửa ruộng (như hình ảnh sau).


Nhưng không phải lúc nào chúng ta cũng có thể chia các hình chúng ta cần tính diện tích về
các hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật. Vậy thì ta có thể tính được diện tích các
hình phức tạp đó không. Nếu có thể tính được thì chúng ta tính diện tích đó như thế nào?

- Ta đã biết nội dung chương trình môn Toán ở chương trình phổ thông mới sẽ
tinh giản nhiều so với chương trình hiện hành, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn

với đời sống thực tế .
- Theo Ban Phát triển các chương trình môn học (Bộ GD-ĐT), ở chương trình
phổ thông mới, môn Toán là môn học bắt buộc và được phân chia theo hai giai đoạn:
Giai đoạn giáo dục cơ bản: giúp học sinh nắm được một cách có hệ thống các khái
niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết nhất cho tất cả mọi người, làm nền tảng
cho việc học tập ở các trình độ học tập tiếp theo hoặc có thể sử dụng trong đời sống
hàng ngày.
Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng
quát về Toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của Toán học trong đời sống
thực tế...
Nói tóm lại: Toán học sẽ rất gần gũi với cuộc sống hàng ngày và sử dụng Toán học để
giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, đó cũng là mục tiêu cơ bản.
Chính vì vậy sự xuất hiện những bài toán thực tiễn trong các đề thi THPTQG cũng không
thể thiếu những nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ về học Toán.

Vì lẽ đó tác giả chọn đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TOÁN DIỆN
TÍCH TRONG THỰC TẾ” nhằm giúp học sinh có cái nhìn mới trong đổi mới cách
tiếp cận kiến thức Toán học .
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực trong giờ dạy học.
- Giúp học sinh tiếp cận dần các bài toán tìm diện tích bằng Tích phân .


- Thiết kế giáo án thực nghiệm.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Khai thác một số ví dụ về bài toán tìm diện tích hình phẳng bằng tích phân
trong thực tiễn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: các tài liệu tham khảo, giáo trình có nội
dung liên quan.

- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự giờ
đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến chuyên gia…
- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Thống kê, phân tích, tổng hợp…
1.5. Những điểm mới của SKKN
Người viết lựa chọn đề tài về một mảng kiến thức còn mới mà sách giáo khoa
hiện hành chưa đề cập nhiều.
2. NỘI DUNG
2.1. Công thức tính diện tích của các hình bằng tích phân.
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số
y = f(x) liên tục trên

a; b

, trục hoành và các đường thẳng x = a; x = b.


-Cho hàm số y = f(x) liên tục trên

a;b

thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a ; x = b được tính theo công thức:
b

S=∫|f ( x)|dx
a

.

- Nhận xét: Để tính diện tích hình phẳng ta cần phải tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt
đối. Vì vậy mà ta phải tìm cách phá dấu giá trị tuyệt đối đó .

b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
liên tục trên đoạn

a; b

và hai đường thẳng
S

b

x

a,x b

y

f ( x ), y g ( x)

là:

f (x ) g (x ) dx

a

* Đối với những hình không thuộc dạng cơ bản trên ta sẽ tìm cách quy về bằng các chọn hệ trục
tọa độ thích hợp đồng thời tìm hàm biểu diễn và sau đó ứng dụng tích phân.

2.2. Một số bài toán điển hình.
Bài toán 1. Thầy An làm một cái cửa nhà hình Parabol có chiều cao từ mặt đất đến
đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là
1500000 đồng. Vậy số tiềnThầy Tâm phải trả là
A.12750000 đồng.
B.3750000 đồng. C.6750000 đồng. D.33750000 đồng.
Lời giải
Chọn C


y ax

2 c
Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó Parabol là đồ thị của hàm có dạng
. Vì chiều cao bằng
c 2, 25 9
4
2,25m nên
, lại có chiều rộng biên giáp với mặt đất bằng 3m nên Parabol đi qua điểm
9
3

A

2

;0a 1

. Do vậy phương trình Parabol là
3

2
2
3

S

9

x

4

2

9

Số tiền cần trả:

yx2

dx

. Dẫn đến mái vòm có diện tích bằng

9
2m

.1500000 6750000

2

4
2

.

(VNĐ).

O
Bài toán 2. Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm . Một nhóm học sinh lớp 12 được
giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol
O
O
có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn
C
4m
điểm A , B , , D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng
(như hình

S S

S

S

vẽ). Phần diện tích l , 2 dùng để trồng hoa, phần diện tích 3 , 4 dùng để trồng cỏ (Diện
tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là
150.000

100.000
đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ là

đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao

nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

A. 6.060.000 đồng.

B.5.790.000 đồng.

C.3.000.000 đồng

Lời giải
Chọn D

D.3.270.000 đồng.


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Parabol có hàm số dạng
trình

y ax 2 bx c

có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm

B 2; 2

nên có phương

y 1 x2
2

g tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính
2

S
1

Vậy diện tích phần

2

22

OB

2

nên có phương trình là

x

2

y2 8

.

8 x 2 1 x 2 dx
2
S S

2

2

2

8 x2

2

1

Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là

1 x 2 dx 15, 233...

2

15, 233 150.000

2 22

15, 233

100.000

3.274.924

Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:
đồng.
Làm tròn đến hàng chục nghìn nên ta có kết quả là

3.270.000

đồng.

Bài toán 3. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau.

Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường
cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành
Oxy 16 y 2 x 2 25 x2
từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ
là
như hình
S
vẽ bên.Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ
Oxy

tương ứng với chiều dài 1 mét.


125

2
6 m

S

B. S

125
2
4 m

C. S

250
2
3 m

D. S

125
2
3 m

A.

Lời giải
Chon D.
Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc
góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
y

1x

Oxy

.

5 x2

Từ giả thuyết bài toán, ta có
4
.
2
y 1 x 25 x ; x 0;5
Góc phần tư thứ nhất
15
S

I

Nên

4 x 25 x

4
2

125
dx

12 S

125 m

2

3

0

.

Bài toán 4. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình

MNEIF

ở
BC 6 m
chính giữa của một bức tường hình chữ nhật
có chiều cao
, chiều dài
CD 12 m
MNEF
MN 4 m
(hình vẽ bên). Cho biết
là hình chữ nhật có
; cung EIF có
hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua
C
900.000
hai điểm , D . Kinh phí làm bức tranh là
đồng/ m2 .

ABCD

Hỏi công tyX cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng.

B. 20.800.000 đồng.

Lời giải
Chọn B

C. 20.600.000 đồng.

D. 21.200.000 đồng.


- Ta chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì
1 x2 6
6

y

parabol có phương trình là

.
2

S

- Khi đó diện tích của khung tranh là

208

- Suy ra số tiền là:

2

1
6

2

208

x

6dx

9

m

2

900.000 20.800.000

đồng.

9

Bài toán 5. Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm

1

2

và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng

trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón
hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu

kg

22

221

100

kg

phân

phân hữu cơ để bón cho hoa?.
4
2

y
5

O

5

x

2

4

6

8

10

A.30 kg .

B. 40

kg

.

C.50

kg

.

D. 45 kg .

Lời giải
Chọn C
Diện tích hình phẳng giới hạn giữa elip và đường tròn chính là diện tích hình elip trừ diện tích
hình tròn.
E : x 2 y2 1
· Phương trình elip có trục lớn

2a 2 2

Áp dụng công thức diện tích
· Phương trình đường tròn

C

tâm

, trục nhỏ

S ab
elip

O 0; 0

2b 2

ta được
bán kính

R

S

2

là

eip

2.
1

2 là

2

C:x

.

1
y

2

1
2.

và

R2

S

2

hình tròn

Áp dụng công thức diện tích

SS

2

S
hình tròn

elip

* Vậy diện tích hình phẳng

.

2

2.

100

.

2

Do đó khối lượng phân cần bón

50

2 2 1

(kg).
b a2 x2,y 0

y

S

+ Chứng minh công thức diện tích elip: elip
.
S 4 b a a 2 x 2 dx

x

E:

ab

với

a

2

2

y
b

ab

2

1

2

y

a2 x2,y 0

a

Û

elip

a0

Do tính đối xứng nên

.

I

x a sin u

Đặt x a sin u Þ dx a cos u du ; đổi cận

I

2

x 0 sin u 0 u 0

a 2 a 2 sin 2 u .a cos u du a 2

0

2

1 u

.
2

1 sin 2 u .cos udu a 2 cos 2 udu

0

a2

2

0

a 2 12 cos 2u du
20

a2

1
2

2

u

2

sin 2u
0

4

S ab
.
elip

. Vậy

4
2

y
1

5

O

2

2

x

5

2

4

6

8

.

Bài toán 6. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài

50m

và chiều
30m
rộng là
người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền
ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là
2m
500.000
. Kinh phí để làm mỗi m2 làm đường
đồng. Tính tổng số tiền làm con
đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)


A.119000000 .

B.152000000 .

C.119320000 .

D.125520000 .

Lời giải
Chọn C

E : x 2 y2 1
Gọi

S

a2

là diện tích của elip
a

S
Chứng minh

b 1

x2
a2

1

b2
x2
a2

ta có

S

ab .

ab

a

Oxy
Xét hệ trục tọa độ
sao cho trục hoành và trục tung lần lượt là các trục đối xứng của hình chữ

nhật trong đó trục hoành dọc theo chiều dài của hình chữ nhật.
Gọi

E1

là elip lớn,

E : x2

y2

2

152

E : x2

y2

1

2

25

2

23

E2

là elip nhỏ ta có:

1

S1

.25.15 375 .

S2

.23.13 299 .

Diện tích của nó là

1

132

Diện tích của nó là

Diện tích con đường là

375

299

76 .

Do đó số tiền đầu tư là 76 *500.000 119320000 .

O
6m
. Người ta cần trồng cây trên
Bài toán 7. Một mảnh vườn hình tròn tâm bán kính
dải đất rộng

6m

nhận

O

làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là

70000

đồng


m

/ 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến
hàng đơn vị)

x

3; x 3

1 m2

700.000


6m

O

A. 8412322 đồng.
4821232 C.

B. 8142232 đồng.
D. 4821322 đồng.

đồng.

Lời giải
Chọn D
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là

x 2 y 2 36

. Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình

y

36 x

2

f (x)

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị
y f (x)
và hai đường thẳng
S 23

36 x 2 dx
3

Đặt x 6 sin t dx 6 costdt . Đổi cận:

3

x 3 t
6

6

6

Do đó số tiền cần dùng là

6

70000.S

t

6

6

6

36cos 2 tdt 36 (c os2t+1) dt 18 (sin 2 t 2 t)

S 2

;x
18

3 12

6

4821322

đồng

Bài toán 8. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ
bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá

của rào sắt là

đồng.

Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng
nghìn).

A. 6.520.000 đồng.

B. 6.320.000 đồng. C. 6.417.000 đồng.

D. 6.620.000 đồng.

Lời giai
Chon C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó A 2,5;1,5 , B 2, 5;1, 5 , C 0; 2 .

Giả sử đường cong phía trên là một Parabol có dạng
Do Parabol đi qua các điểm

A 2,5;1,5

a 2,5 2 b 2,5 c 1, 5
a 2,5

2

,

B 2, 5;1, 5 C 0; 2
,

2

a

25

b 2,5 c 1, 5b 0

c 2

c 2
.
y

Khi đó phương trình Parabol là

2x
25

2

y ax 2 bx c

2

.

, với

a ; b; c

.

nên ta có hệ phương trình


Diện tích

y

S

của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x 2, 5 x 2, 5
trục hoành và hai đường thẳng
,
.
2,5

2

2,5

25

S

Ta có

2

x

2,5

2 x3
2dx

25 3

2x
2,5

2 x2
25

2

,

55
6 .

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là
S 700000

55
6 700000 6.417.000 (đồng).

Bài toán 9. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người

ta định xây cầu có 10nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên
đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày và bề rộng của

nhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp cầu được mô phỏng như hình vẽ).
Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 40m3

B. 50m3

C. 20m3

D. 100m3 .

Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Gọi parabol đi qua điểm I là (P1) và có phương
trình: y ax 2 bx x. Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên

(P ) : y ax 2 bx
1

(P):y

Sử dụng tiếp dữ kiện (P1 ) đi qua I và A ta suy ra

1

(P):y

Do đó parabol phía dưới có phương trình là

2

2 x 2 4x
625
25

2x2
625

4x
25

1 .
5


Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là là
parabol

(P )
1

và

(P )
2

0,2

Suy ra:

S 2

S 2S1

với

S
1

phần diện tích giới hạn bởi các

trong khoảng (0;25).
2

2
625

x

4
25

25

x dx
0,2

0

1

5

2

dx

9, 9( m ).

Thể tích của mỗi nhịp cầu là: V S .0, 2 9,9.0, 2 1,98( m3 ).
1

Suy ra lượng bê tông để xây dựng các nhịp cầu là:
40m3
Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần
.

2.(1,98.10)

39, 6( m3 )

(*).

Bài toán 10. Người ta muốn làm một vườn hoa trang trí hình chữ nhật trong khuôn
viên của một ngôi nhà có thiết kế như hình vẽ bên dưới, biết chiều dài bằng 4m, đường
cong OC là nửa cung Parabol với O là đỉnh, OA=1m.Hỏi chiều rộng của vườn bằng
bao nhiêu để cung OC chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau?.
A. a 9 .

C.

B. a 4 .

a 1

D. a 3 .

2 .

Lời giải
Chọn D

H
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật có một cạnh nằm trên trục hoành, và có
A 1; 0 C a; a

hai đỉnh trên một đường chéo là
y x
H
hàm số
Gọi

ABCD

chia hình

và

, với a 0 . Biết rằng đồ thị

thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm

là hình chữ nhật với AB nằm trên trục Ox ,

A 1; 0

và

C a; a

a

.


Nhận thấy đồ thị hàm số

y x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua

C a; a

. Do

S1 S2
S1 là diện tích
ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là
,
. Gọi
S2
hình phẳng giới hạn bởi các đường y x
Ox

x
0,
x
a
và
là diện tích phần còn lại.
và trục
,
đó nó chia hình chữ nhật ABCD

Ta lần lượt tính

S1 S2
,

S1
Tính diện tích

Đặt

t

a

.
x .
dx

0

x t 2 x 2td t dx ; Khi x 0 t 0; x a t a .
a

2t 3

2

S12t dt

3

0

Do đó

a

2a a
3

0

.

Hình chữ nhật ABCD có AB a 1; AD
S 2 SABCD

S1

a

a 1 2
a

a
3

Do đồ thị hàm số

S S
1

2

2a a
3

y

a

1a a

nên

a

3

x chia hình H

thành hai phần

có diện tích bằng

nhau nên

1a a a a a 3a a 3
3

(Do

a 0

). Vậy chiều rộng cần tìm bằng 3m.


3. Kết luận và kiến nghị
Khi giảng dạy nội dung này học sinh vô cùng hào hứng, các em say mê tìm tòi lời
giải, đưa ra những cách làm sáng tạo và tư duy thông minh, hơn nữa sau mỗi buổi học ,
đặc biệt là các em được tiếp cận trực tiếp hình ảnh thật và bằng quan sát , phân tích và
đưa đến lời giải cuối cùng , tất cả rất háo hức , chính vì thế Toán học không còn xa lạ
hay khiên cưỡng với các em nữa , thay vào đó là việc tiếp thu kiến thức là rất chủ
động.
Rõ ràng đây là nội dung rất quan trọng trong nội dung chương trình Toán học phổ
thông và đặc biệt là nội dung chương trình Sách giáo khoa mới chuẩn bị đưa vào sử
dụng, với ý đồ như vậy tác giả muốn giới thiệu đến người đọc một dạng toán quan
trọng rất gần gũi với thực tiễn cuộc sống.
Vì thời gian có hạn cũng như quy định nội dung của một Sáng kiến kinh nghiệm
nên tác giả không thể truyền tải hết những ý tưởng của mình và cũng muốn rằng các

đồng nghiệp của mình tiếp tục những ý tưởng đó để ngày một càng hoàn thiện hơn.Rất
mong sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và đặc biệt là người đọc sáng kiến này. Xin
chân thành cám ơn.
Thanh hóa ngày 20 tháng 5 năm
2019

Tôi xin cam đoan SKKN là do tôi
viết, không sao chép của bất kì tác

Người viết sáng kiến kinh nghiệm

giả nào. Nếu vi phạm tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.

Nguyễn Văn Chinh

Xác nhận của cơ quan


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Một số tư liệu lấy từ mạng Internet.
2/ Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học phổ thông (Bộ Giáo dục và Đào
tạo, NXBGD, 2007).
3/ Hướng dẫn thiết kế bài giảng trên máy tính (Th.s Trương Ngọc Châu, NXBGD,
2005).
4/ SGK GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
5/ Sách Bài tập GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
6/ Tài liệu chủ đề tự chọn nâng cao (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
7/ Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, SGK THPT môn TOÁN (Bộ
Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).

SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTHANHHÓA