SKKN một số kỹ NĂNG cơ bản tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT của dãy số TRONG bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN lớp 11 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CÔNG THỨC TỔNG
QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH
GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11- THPT

Người thực hiện: Phạm Công Dũng
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019


2


MỤC LỤC
Mục lục
1.Mở đầu ……………………………………………………………….............................................
1.1 Lý do chọn đề tài ……………………………………………………………...…………
1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………………………………….………
1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………….………………………….……..……
1.4 Phương pháp nghiên cứu …………..…………………………………….……..……
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm …………………………………………..………..…
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……….…………..…………..……
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ……..….
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề …………………………..…

2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy ………………..……………
2.3.2 Kỹ năng sử dụng dãy số phụ. ………………………………………..…………
2.3.3. Kỹ năng sử dụng Quy nạp. ………………………………………………….…
2.3.4. Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác. ……………………..……………
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường …………………………………………...…
3. Kết luận, kiến nghị
……………………………………………………………………….….
3.1 Kết luận …………………………………………………………………………………...
3.2 Kiến nghị …………………………………………………………………………………..
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………………………
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá
xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp loại
từ C trở lên …………………………………………………………………………………………

Trang
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
5
14
16

19
20
20
20
21
21

1


1.Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài.
Ông cha ta đã đúc kết: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia”. Bồi dưỡng học
sinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước, là nhiệm vụ quan
trọng của mỗi nhà trường. Do đó hằng năm mỗi nhà trường đều có đội ngũ thầy
cô giáo tham gia làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chất lượng mũi nhọn của
mỗi nhà trường là tiêu chí quan trọng trong công tác thi đua giữa các trường
THPT trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa.
Đối học sinh giỏi nói chung và học sinh giỏi môn toán nói riêng thì cần
người học sinh phải có tố chất, tư duy lôgic và sáng tạo, có những kỹ năng cần
thiết để xử lý những vấn đề về toán học . Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi cũng được nhà trường hết sức quan tâm. Trong quá trình bồi dưỡng học
sinh giỏi tại trường, gặp không ít khó khăn, đó là chất lượng đầu vào thấp, tỷ lệ
học sinh đạt giải môn toán ở cấp hai hầu như không có. Trong kỳ thi học sinh
giỏi lớp 11 của tỉnh Thanh Hóa cũng như các tỉnh khác có sự xuất hiện của bài
toán dãy số với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khiến cho học sinh
lúng túng, chưa có kỹ năng giải toán. Mặt khác chuyên đề dãy số được trình bày
rất hạn chế trong sách giáo khoa, với thời lượng ít, gây khó khăn cho học sinh
khi tiếp cận vấn đề. Mặt khác tài liệu tham khảo về dãy số còn hạn chế, chỉ chú
trọng về mặt phương pháp, chưa chỉ rõ bản chất thật sự của vấn đề, chưa chú

trọng rèn luyện kỹ năng để tìm ra công thức tổng quát của dãy số. Do đó dẫn
đến học sinh không nắm vũng các kỹ năng đó, dẫn đến không giải quyết bài toán
được. Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ
năng cơ bản tìm công thức tổng quát của dãy số trong bồi dưỡng học sinh
giỏi môn toán lớp 11 - THPT”
1.2 Mục đích nghiên cứu :
Mục đích nghiên cứu của đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy, nhất là
chất lượng học sinh giỏi. Giúp các em học sinh có thể làm tốt bài toán tìm số
hạng tổng quát của dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kỳ thi
THPT quốc gia sau này. Góp phần làm cho các em thấy cái hay, cái đẹp của môn
toán, tạo động lực giúp các em học tốt hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu .
Đề tài nghiên cứu một số bài toán về dãy số, từ đó trang bị cho các em học
sinh khá giỏi lớp 11 một số kỹ năng giải cơ bản khi tìm công thức tổng quát của
dãy số trong chương trình môn toán bậc THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
- Phương pháp điều tra tham dò khả năng làm bài tập của học sinh
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Thống kê, tổng hợp, phân tích các dạng toán
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Để thực hiện đề tài tác giả đã dựa trên những cơ sở lý thuyết cơ bản sau :
a) Phương pháp quy nạp toán học.
2


b) Cấp số cộng
- Dãy số un là cấp số cộng u n 1 u n d với n * , trong đó d là số không đổi gọi
là công sai của cấp số cộng.

- Nếu dãy số un là cấp số cộng thì u n u1 n 1 d
n u1 un
- Nếu dãy số un là cấp số cộng thì tổng S n u1 u 2 ... u n
c) Cấp số nhân

2

- Dãy số un là cấp số nhân u n 1 u n .q với n * , trong đó q là số không đổi gọi là
công bội của cấp số nhân.
- Nếu dãy số un là cấp số nhân thì u n u1 .qn 1
- Nếu dãy số un là cấp số nhân với q 1 thì tổng
Sn u u

n

u . 1 qn
1
2
1 1 q
d) Các công thức lượng giác và đẳng thức lượng giác
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn 6 xã vùng đồi phía tây bắc có
huyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn và trình độ dân trí còn thấp, chất lượng
đầu vào thấp nhất huyện, tỷ lệ học sinh khá giỏi ít. Thực trạng trong năm học
2017- 2018 bắt đầu thi học sinh giỏi khối 11 và trong đề thi thử THPT quốc gia
xuất hiện một số bài toán về dãy số, khiến các em học lúng túng và không biết
phải xử lý như thế nào. Nhất là những dãy số cho bởi công thức truy hồi, không
thể tìm ra số hạng tổng quát được, những bài này thậm trí máy tính cầm tay
cũng khó giải quyết. Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy đây là phần
mà các em sợ nhất, mà nó lại xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi của tỉnh Thanh

Hóa nói riêng và các kỳ thi học sinh giỏi các cấp lớp 11 nói chung . Hầu như qua
các bài kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát của dãy thì các em bỏ
trống, hoặc nếu làm được chỉ những bài hết sức cơ bản. Những bài đòi hỏi tư
duy và kỹ năng thì các em không xử lý được. Do đó cần tìm ra những biện pháp
để giúp đỡ các em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải về dãy số, làm tròn trách nhiệm
của mỗi người thầy cô giáo. Giúp các em tự tin hơn trong giải toán, làm cho các
em đam mê học tập đạt hiệu quả cao.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 về chuyên đề
dãy số, tác giả đã tổng hợp được 4 kỹ năng cơ bản để giải bài toán tìm số hạng
tổng quát của dãy số
2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy
u1 2
Ví dụ 1.

... u

Cho dãy số un xác định

u

n1

un

*

n, n

.

Tìm số hạng tổng quát un . [1]
Định hướng .
3


Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường. Ta thấy
hệ số của các số hạng của un và un 1 đều bằng nhau nên ta liên tưởng đến việc
cộng dồn vế để triệt tiêu còn u1 và un .
*
Lời giải. Từ giả thiết u n 1 u n n đúng với mọi n
nên ta có
u 2 u1 1
u3 u 2 2
................
un un1 n 1
Cộng vế với vế ta được
u n u1 (1 2 3 ... n 1)

2

n ( n 1)
. Vậy un
2

2

n ( n 1)
.
2

Nhận xét. Nhờ cộng dồn vế mà ta đã xác định được số hạng tổng quát của dãy
số một cách nhanh chóng.

Ví dụ 2. Cho dãy số un

xác định

u1 1
u

un 3

n1

n

*

4 n 1, n

.

Tìm số hạng tổng quát un .[1]
Định hướng .
Ta thấy hệ số của các số hạng của un và un 1 đều bằng nhau nên ta liên tưởng
đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu còn u1 và un .
Lời giải. Từ giả thiết u n 1 u n 3n 4 n 1 đúng với mọi n * nên ta có
u 2 u1 3 4.1 1
u u 2

32 4.2 1
................
u n u n 1 3n 1 4( n 1) 1
Cộng vế với vế ta được
33 ... 3n 1) 4(1 2 3 .... n 1) n 1
u n u (3 32
3

1

1 (3 32 33 ... 3 n 1) 4(1 2 3 .... n 1) n 1
1 3

Vậy u n

3n 1 1 4n ( n 1) n 1
3 1
2
n
3 1 ( n 1)(2 n 1) .
2

Ví dụ 3. Cho dãy số un

3n 1 ( n 1)(2 n 1).
2

u1
xác định

un1

9
n

u nn 3.2 n 2.3n , n

*

.

Tìm u2018 .[3]
Định hướng .
bằng nhau nhưng vai trò chưa như
Ta thấy hệ số của các số hạng của un ,un 1
nhau do đó ta cần phải đưa về vai trò bình đẳng của un ,un 1 nên ta mũ n và
4


dùng kỹ năng cộng dồn vế thì bài toán được giải quyết.
Lời giải . Ta có u n 1 n u nn 3.2n 2.3n
u nn 1 u nn 3.2n 2.3n
u 2 u 3.21
2.31
2

1

u 3 u 2 3.22 2.32
...................................

u nn u nn 11 3.2n 1 2.3n 1 . Suy ra:
u n u 3.(21 2 2 ... 2 n 1 ) 2.(31 32 ... 3 n 1)
3

n

2

1

1 2n 1 2.3. 1 3n 1 3.2n 3n . Vậy u2018 2018 3.22018 32018 .
1 3
1 2
2.3.2 Kỹ năng sử dụng dãy số phụ.
Lựa chọn một dãy số phụ sao cho dãy đó là một cấp số cộng hoặc một cấp
số nhân. Để thực hiện điều này tác giả đã trang bị cho học sinh một số kỹ năng
cơ bản để xây dựng một dãy số phụ như sau :
- Đồng nhất hệ số.
- Nâng lên lũy thừa, chia vế…..
u1 1
Ví dụ 1. Cho dãy số un xác định
* .
u
3u n 4,
n1
n
9 3.2.

Tìm số hạng tổng quát un .[1]
Định hướng

Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường. Ta thấy
hệ số của các số hạng của un và u n 1 khác nhau nên dùng kỹ năng cộng dồn vế
thì không thể triệt tiêu các số hạng của dãy. Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ
để đưa về một cấp số nhân. Vậy làm sao để thiết kế một dãy số phụ ?
Từ hệ thức truy hồi u n 1 3u n 4 ta cần tìm số a sao cho u n 1 a 3(u n a) .
Thật vậy u n 1 a 3(u n a ) u n 1 3u n 2a , đồng nhất ta có 2 a 4
a 2.
Vậy ta có u n 1 2 3(un 2) nên chỉ cần đặt vn u n 2 , suy ra vn 1 3vn . Ta có
vn là một cấp số nhân cơ bản. Bài toán được giải quyết.
(1)
Lời giải. Ta có u n 1 3u n 4 u n 1 2 3(u n 2)
Đặt vn u n 2 thì (1) trở thành vn 1 3vn . Nên vn là một cấp số nhân với công bội q 3
và số hạng đầu v1 3. Ta có số hạng tổng quát vn 3 .3n 1 3n .
*
Do đó u n vn 2 3n 2. Vậy un 3n 2 với n
.
Nhận xét. Nhờ thiết kế dãy số phụ mà bài toán được giải quyết nhanh chóng,
cho lời giải đẹp. Ta có thể tổng quát hóa dãy số un xác định
(2.1)
u1 a
u n 1 bu n c

5


Ví dụ 2.

u1
Cho dãy số un xác định

u

2
un

n1

2 n 1,

*

n

.

Tìm số hạng tổng quát un .[1]
Định hướng
Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường. Do đo
cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số cộng.
Từ hệ thức truy hồi u n 1 u n 2 n 1 u n 1 a ( n 1) 2 b ( n 1) u n an 2 bn .
Ta cần tìm số a , b sao cho u n 1 a ( n 1) 2 b ( n 1) u n an 2 bn .
a ( n 1) 2 b ( n 1) u n an 2 bn u n 1 u n
2a 2
a 1
Đồng nhất hệ số ta có
1
a b
b 2
2
2

n1
n
Ta có u
( n 1)
2( n 1) u
n
2n nên chỉ cần đặt

Thật vậy u n 1

suy ra vn 1

vn . Ta có vn

2an a b

v u
n

n

n2

2n ,

là một cấp số cộng cơ bản. Bài toán được giải quyết.

(1)
Lời giải. Ta có u n 1 u n 2 n 1 u n 1 ( n 1) 2 2( n 1) u n n 2 2n
Đặt vn u n n 2 2n thì (1) trở thành vn 1 vn . Nên vn là một cấp số cộng với

2.1 3.
công sai d 0 và số hạng đầu v u 12
1
1
Ta có số hạng tổng quát v 3 . Do đó u n v n 2 2 n n 2 2 n 3
n

2

n

*

Vậy u n n
2 n 3 với n
.
của dãy số un có dạng tổng quát
Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát un
(2.2).
u1 a
xác định

un1 un f(n)
Trong đó f ( n ) là một đa thức bậc k theo n bằng cách đặt vn u n g ( n ) , với g
( n ) là đa thức bậc k 1 theo n và có hệ số tự do bằng 0.
u1 1
Ví dụ 3. Cho dãy số un xác định

u

n1

3u n

*

6 n 1, n

. Tìm số hạng

tổng quát un .[1]
Định hướng
Hệ số của các số hạng của un và un 1 khác nhau .Do đo cần lựa chọn một dãy số
phụ để đưa về một cấp số nhân. Từ hệ thức truy hồi u n 1 3u n 6 n 1.
Ta cần tìm số a , b sao cho u n 1 a ( n 1) b 3(u n an b) .
Thật vậy u n 1 a ( n 1) b 3(u n an b ) u n 1 u n 2an a 2b
2a 6
a 3
Đồng nhất hệ số ta có

a 2b 1
b 2
Ta có u n 1 3( n 1) 2 3(u n 3n 2) nên chỉ cần đặt vn u n 3n 2 , suy ra vn 1 3vn . Ta có
vn là một cấp số nhân cơ bản. Bài toán được giải quyết.
6


Lời giải. Ta có u n 1

3u n

6 n 1 u n 1 3( n 1) 2 3(u n

(1)

3n 2)

Đặt vn u n 3n 2 thì (1) trở thành vn 1 3vn . Nên vn là một cấp số nhân với
công bội q 3 và số hạng đầu v1 1 3.1 2 6 .
Ta có số hạng tổng quát v 6.3n 1 2.3n . Do đó u n v
3n 2 2.3n 3n 2
n

n

n

*

Vậy u n 2 .3 3n 2 với n
.
của dãy số un có dạng tổng quát
Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát un
(2.3). Trong đó b 1 và f ( n ) là một đa thức bậc k
u1 a
xác định

u n 1 bu n f ( n )
theo n bằng cách đặt vn u n

g ( n ) , với g ( n ) là đa thức bậc k theo n .
u1 8
Ví dụ 4. Cho dãy số un xác định
n
* .
u 2u
n1
n
3, n

Tìm số hạng tổng quát un .[1]
Định hướng
Hệ số của các số hạng của un và un 1 khác nhau .Do đo cần lựa chọn một dãy số
phụ để đưa về một cấp số nhân.
Từ hệ thức truy hồi u n 1 2un 3n .
Ta cần tìm số a , b sao cho u n 1 a.3n 1 2(u n a.3n ) .
Thật vậy u n 1 a.3n 1 2(u n a.3n ) u n 1 2u n a.3n .
Đồng nhất hệ số ta có a
1
n1
n
Ta có u n 1 3
2(un 3 ) nên chỉ cần đặt vn u n 3n , suy ra vn 1 2vn . Ta có
vn là một cấp số nhân cơ bản. Bài toán được giải quyết.
Lời giải. Ta có u n 1 2u n 3n u n 1 3n 1 2(un 3n )
(1)
là một cấp số nhân với
Đặt vn u n 3n thì (1) trở thành vn 1 2vn . Nên vn
công bội q 2 và số hạng đầu v1 u1 3 5 . Ta có số hạng tổng quát vn 5.2n 1 .
*

Do đó u n vn 3n 5.2 n 1 3n . Vậy un 5 .2 n 1 3n với n
.
Nhận xét. Bằng cách làm hoàn toàn tương tự như trên ta có thể giải quyết nhanh
bài toán . Ta có thể tìm số hạng tổng quát un của dãy số un có dạng tổng quát
xác định u1 a
(2.4).
n , với d b .
bu n c.d
u
n1

Ví dụ 5.

u1
Cho dãy số un xác định

u

2

n1

tổng quát un và tính giới hạn lim 2 n 2 3n 1
un
Định hướng

4u n 3.4

n

*

, n

.Tìm số hạng

. [2]

7


Đây là đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019.
Nếu làm như ví dụ 4. :
Thật vậy u n 1 a.4n 1 4(u n a.4n ) u n 1 4un ( vô lý ) nên sẽ không tìm được giá trị
của a . Điều này khiến học sinh lúng túng, theo như nhận xét trên thì đây là
trường hợp d b nên không thể áp dụng cách làm giống ví dụ 4 được. Sử
u
u
3.
dụng kỹ năng chia hai vế từ hệ thức truy hồi cho 4n 1 ta được
n1
n
4
4
4
Ta có vn u4nn , suy ra vn 1 vn 34 . Ta có vn là một cấp số cộng cơ bản. Bài toán được giải quyết.
u
Lời giải. Ta có u n 1 4u n 3.4n
un 3
(1)

n1
3
4n3 4
n1

n

4n1

Đặt vn 1

vn

thì (1) trở thành vn 1 vn

4

41

Do đó u n

u1

3 và số hạng đầu v

với công sai d
n

4 .vn

3n 1

n

.4

4n1

4 2n
(3n 1) .Vậy u n

4
lim

n

3

1

2

2
n

Vì lim

3

Mà lim

4
3

2 n 2 3n 1
Ta có lim
u

2

2

n

1

n
0

3

2 n 2 3n 1
(3n 1)4

n1

2
lim

4

n
. Ta có 0 4 n

suy ra lim 4n 0 .
9( n 1)
4n
Vậy u n 4 n 1(3n 1) với n * và lim

là một cấp số cộng

. Nên vn
4
1 . Ta có v
n1

1 ( n 1).

4

1

n

n2

4n

n

(1 3) n

32C2

u

3n 1 .

2
4
(3n 1) với n * .

.

3 1
n

2 n 2 3n 1

3

4n
4

n

0.

2
9( n 1)

n

với n 2 .

0

n

Nhận xét. Từ hệ thức truy hồi chỉ bằng động tác chia hai vế 4n 1 ta có thể đưa
bài toán khó về bài toán cơ bản có thể giải quyết được . Ta có thể tìm số hạng
tổng quát un của dãy số un có dạng tổng quát xác định
n1
u1 a
.
n (2.5), bằng cách chia cho b
u n 1 bu n c.b
u1 2
Ví dụ 6. Cho dãy số un xác định

u

un
n1

un 3

*

.

, n

8


Tìm số hạng tổng quát un . [1]
Định hướng
Đây là một hệ thức truy hồi dạng phân số nên để đưa về bài toán cơ bản ta có
thể chọn một dãy số vn ,un nghịch đảo nhau.
Lời giải.
1 un
1
Ta có vn
vn
1
1
u
n

Khi đó

u

1

un

n1

un 3

v
n1

1

vn
1

v

v 3

1n
3( v
)
n
2
2
1
vn
thì (1) trở thành y n 1

n1

1 vn1

vn
1
vn 3

1 3vn

1

v
n1

Đặt yn 1
2
công bội q 3 và số hạng đầu y1 v1

3v n 1

(1)
3yn . Nên yn là một cấp số nhân với
1 1 1
1.
u1 2

2
Ta có số hạng tổng quát yn 3n 1 . Do đó
v y
1
1 2.3n 1 1 u
2
2
.Vậy un
với n * .
n

1
3
n
n
2
2.3 n 1 1
2.3n 1 1
2
2
n
Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát un của dãy số un có dạng tổng quát
1

u1 a
xác định u

n1

bun

(2.6), bằng cách đặt vn

cu n d

u1 1

Ví dụ 7. Cho dãy số un

.
un

xác định

u

1 4un
n1

*

, n

.

1 6un

Tìm số hạng tổng quát un .[3]
Định hướng
Để giải bài toán này ta cần định hướng để học sinh đưa về dãy số có dạng (2.6).
Đặt u n vn m thay vào hệ thức truy hồi ta được
1 4( v m )
6 m 2 5m 1 (6 m 4)v
v
n1
m
vn 1
.
n

1 6( vn

n

m)

1 6( vn

m)

1

Để đưa về dạng (2.6) ta cần chọn m sao cho 6m 2 5m 1 0 , chẳng hạn chọn m 2 .
Bài toán được giải quyết tương tự

9


Lời giải. Đặt u n vn m thay vào hệ thức truy hồi ta được
1 4( v m )
6 m 2 5m 1 (6 m 4)v
vn 1 m
vn 1
.
1
6(
v
m)
n
1 6( vn m )
Ta chọn m 1 sao cho 6m 2 5m 1 0 .

1
2
v
1
1
2
Khi đó đặt u n vn
ta được dãy số un
xác định
2
n

n

v

1

Ta có y n
vn
Khi đó

yn1

n1

6 2( yn

Đặt w n

yn

yn

y

2

n1

6
v

6)
6

n 2

1
2

6

1 với n
2

y

2 yn 6

8.2 n 1

1

2n

2

u1

.

1
2

6 1

v1

1

6 vn
*

yn1

2 yn 6

(1)
2wn . Nên wn là một cấp số nhân

w y 6

2n
n 2

n

n

1

Do đó y n w n 6 2

1

n1

thì (1) trở thành w n 1

Ta có số hạng tổng quát w n

1

yn

với công bội q 2 và số hạng đầu

Vậy un

6u

1
1

vn
2 6 vn

*

, n

1
vn

v

n 12

vn

1

un
2n

6

2

6

6 8
1

.

2
1 .
2

.

Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát un của dãy số un có dạng tổng quát
u1 a

xác định

u

b cun . (2.7)
n1

d eun
Bằng cách đặt u n vn m , chọn m đưa về dạng (2.6)

u1
Ví dụ 8 . Cho dãy số ( un ) xác định như sau

u

2; u2

5
*

n 2

5u n 1 6u n , n

.

10


u
Tính lim

n

. [2 ].

3n
Định hướng
Đây là dãy số mà trong hệ thức truy hồi các số hạng có hệ số khác nhau. Do đo
cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số nhân.
Giả sử u n 2 a.u n 1 b (u n 1 a.u n ) , đồng nhất hệ số ta tìm được a , b . Bài toán đến
đây được giải quyết.

Lời giải. Giả sử u n

a.u n 1 b (u n 1 a.u n )
b a 5
a 3

2

Đồng nhất hệ số ta có
Trường hợp 1. Với

un

hoặc

ab 6
b 2
a 2 ta có
3

(b a )u n 1 abun .
a 2
2

b 3

b

u n 2 2un 1 3(u n 1 2u n ), n 1. Suy ra dãy vn 1 u n 1 2un là một cấp số nhân
có công bội q 3 v
3n 1 v 3n 1 (5 2.2) 3n 1

(1)
n1

Trường hợp 2. Với

2

a 3
2

ta có

b

u n 2 3u n 1 2( u n 1 3u n ), n 1. Suy ra dãy wn 1 u n 1 3un
nhân có công bội q 2 w
(5 3.2) 2n 1
2 n 1 w2 n 1
n1

Từ (1) và (2) ta có hệ u n 1 2un
Suy ra lim un

lim 3n 12n
n

1

(2)

2

3n 1

n1
u

3

n1 n

u n 1 3un

là một cấp số

2
lim

1

1 .2

n1

2

n

1

n

3 2 3
3
Nhận xét. Nhờ đồng nhất hệ số mà ta có thể giải quyết tốt bài toán trong đề thi
học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018. Ta có thể tìm số hạng
tổng quát un của dãy số un có dạng tổng quát xác định
.
( 2.8)
u1 a ; u 2 b
3

3

*

u

n 2

cu n 1 du n ( n)

Bằng cách đồng nhất hệ số, chọn dãy số phụ.

Ví dụ 9. Cho dãy số ( un ) xác định như sau

u1 1, u2
u

3

*

n 2

4u n 1 4u n , n

.

Tìm số hạng tổng quát un .[2].
11


Định hướng
Đây là dãy số mà trong hệ thức truy hồi các số hạng có hệ số khác nhau .Do đó
cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số nhân.
Giả sử u n 2 a.u n 1 b (u n 1 a.u n ) , đồng nhất hệ số ta tìm được a , b . Bài toán đến
đây được giải quyết.
Lời giải. Giả sử u n

a.u n 1

2

b (u n 1 a.u n )

b a 4

Đồng nhất hệ số ta có

a 2

4

un

(b

2

a )u n 1

.

ab
b 2
u n 2 2u n 1 2(u n 1 2u n ), n 1. Suy ra dãy vn 1 u n 1 2un
nhân có công bội q 2 v
2 n 1 v 2 n 1 (3 2.1) 2n 1 .
Do đó u n 1

2u n

u

n1

2

n1
n1

abun .

là một cấp số

2

un

1.
4 1

(1)

n
2n1 2
Đặt yn
thì (1) trở thành y n 1 y n
. Nên yn là một cấp số cộng với
n
4
2
u1
1 .
công sai d 1 và số hạng đầu y
1
4
2 2
Ta có số hạng tổng quát y n 1 ( n 1).1 n 1 .
4
n 1

2
4

un

Do đó u n

2 n. y n

.2 n 2 n 2 ( n 1) .Vậy u n 2 n
4
u1 16

Ví dụ 10. Cho dãy số (u n ) xác định bởi:

u n 1 14

2

( n 1) với n

15( n.u n 1)
n 1

*

.
*

, ( n)

.

Tìm số hạng tổng quát un .[2].
Định hướng
Ta thấy có sự xuất hiện của un 1 tương ứng với n 1 và un tương ứng với n nên tìm
cách đưa chúng lại gần nhau, làm xuất hiện dãy số phụ.

15( n.u n 1)
Lời giải. Ta có: u n 1 14
n 1
( n 1)u n 1 15 n.u n 14 n 1

Đặt vn nu n v1 16 .
(1) trở thành: vn 1 15vn 14n 1 vn 1
Đặt wn vn n w1 15.
(2) trở thành: wn 1 15wn

Từ đó ta có un

15n

n

(u

n1

14)( n 1) 15( n.u n

n 1 15 vn

(1)

1)

(2)

n

wn là cấp số nhân có w1

15,q 15

wn

15n .

.

n

12


ïì u1 = 4

Ví dụ 11.

Cho dãy số u

xác định í

n

ïïî 9u

= u

n +1

n

+ 4 + 4 1+ 2u

n

(

,

" n Î ¥*

.

)

Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số và tính limun . [2].
Định hướng
Để mất dấu căn bậc hai trong công thức truy hồi ta có thể đặt dãy số phụ xn

với
xn
1 2un . Bài toán chuyển về dạng cơ bản và giải quyết được.
n
Lời giải. Đặt x1 2u
,
n * x 3.
n

1

x2 1
Ta có và xn
hay un
2
2
2
Thay vào giả thiết, ta được: 9 x
9 x 1 8 8x
Suy ra: 3 xn +1 = xn + 4 " n Î ¥* ( Do xn 0 , n * )
2

= 1 + 2u n , " n Î ¥

*

n

n1

Hay 3( x n 1 2) x
n
n

n

*

1

Do đó u n

3n 1

1
3
2

n

1
) là cấp số nhân với công bội q
; y 1.
n
1
3 1
*
. Suy ra: x 2
, n *

1
, n

1

x 4

n1

. Ta có: ( y

Từ đó y y .
n

3x

n

2

n*

2

Đặt y x 2 , n

n

2

n

3n 1

4

1

n1

2n 2

3

, n, khi đó

limun

ì

3

Ví dụ 12. Cho dãy số

3n 1

*

ï

1

ïu

3
2

.

=5

1

un xác định như sau í

.
*

ï

ï

Tìm số hạng tổng quát un . [2].

îï

u u = u n - 2u n +1,(" n Î )
n +1

n

Định hướng.
Từ công thức truy hồi có thể thực hiện phép chia 2 vế cho u n 1;un .
1
2 1 ( Do u n 0, n
u n 1u n u n 2u n 1 u n 1 (2 u n ) u n

u

là dạng dãy số cơ bản.

n1

*

). Đây

u
n

Lời giải. Ta có u n 1u n u n 2u n 1
1

un

0, n

Đặt vn
un

1

*

)

1
1 2(

u
n1

u n 1 (2 u n ) u n

un

1

u
n1

2 1 ( Do
un

(1)

1)

1 thì (1) trở thành vn 1 2vn . Nên vn

là một cấp số nhân với

13


công bội q 2 và số hạng đầu v1

u

1

n

1

1

1
với n * .
n
vn 1 3.2 1
3.2n 1
Nhận xét. Chỉ cần động tác chia hai vế của công thức truy hồi cho un 1 ta có thể
thiết kế dãy số phụ một cách nhanh chóng.
2.3.3 Kỹ năng sử dụng Quy nạp.
vn 6.2

n1

1 1 6 . Ta có số hạng tổng quát

3.2 . Do đó un

.Vậy un

Tính vài số hạng đầu, phán đoán công thức tổng quát, chứng minh bằng quy nạp.

u1 2

Ví dụ 1. Cho dãy số

un xác định

u

1
n1

2

un

*

.

,( n)

Tìm số hạng tổng quát un .[1 ].
Định hướng .

Việc thiết kế dãy số phụ để tạo thành một dãy mới là một cấp số cộng hay cấp số
nhân là một việc làm khó khăn. Do đó ta cần chuyển hướng sang việc tính toán
vài số hạng đầu. Chẳng hạn
u1 2 ; u2 2 1 3 ; u3 2 2 4
2 2
3 3
Đến đây là có thể phát hiện được quy luật của dãy số. Bài toán đã được giải
quyết.
1 3 ; u3 2 2 4 ;……..……, un n 1
Lời giải. Ta có u1 2 ; u2 2
3 3
n
n 1
2 2
Ta chứng minh un
Với n 1 thì u1

n

,

2 ( đúng).

Giả sử (1) đúng với n k 1tức là uk

n* .

(1)
k 1

.

k
k 2
Ta cần chứng minh (1) đúng với n k 1tức là uk 1
.
k
1
1
k
k 2
2
Thật vậy uk 1 2
. Vậy un n 1 với
n* .
k 1 k 1
uk
n
Nhận xét. Nhờ sử dụng quy nạp mà ta đã xác định được số hạng tổng quát
của dãy số một cách nhanh chóng.
Ví dụ 2.
u1 11
. Tính u2019 .[1 ].
*
Cho dãy số un xác định
10u n 1
u
n1
9 n,( n)
Định hướng .

Bài toán này có thể sử dụng dãy số phụ để giải,nhưng chứng ta hãy tính vài số
hạng đầu xem có điều gì xảy ra không?

14


Lời giải
Cách 1 ( Sử dụng quy nạp)
Phân tích:
u1 11 10 1
u 2 10u 1 9 10.11 8 102 10 2
2
1
u
10u
1 18 10.102 17 1003 103 3
3

2

(1)
Ta dự doán u n 10n n , n *
Với n 1 thì u1 11( đúng).
Giả sử (1) đúng với n k 1tức là u k 10k k .
Ta cần chứng minh (1) đúng với n k 1tức là u k 1 10 k 1 k 1 .
Thật vậy u k 1 10u k 1 9 k 10(10 k k ) 1 9 k 10 k 1 k 1( điều phải chứng
minh ).
Vậy u n 10n n với n * . Do đó u2019 102019 2019
Cách 2 ( sử dụng dãy số phụ )
(2)

là một cấp số nhân với

u n 1 10u n 1 9 n u n 1 ( n 1) 10(u n n)
Đặt vn u n n thì (2) trở thành vn 1 10vn . Nên vn

công bội q 10 và số hạng đầu v1 u1 1 10 .
Ta có số hạng tổng quát v 10.10 n 1 10n . Do đó u

n

n

v n 10n

n

n

Vậy u n 10n n với n * . Do đó u2019 102019 2019 u n 1 10un 1
9 n u n 1 n 1 10 u n n

Nhận xét. Cả hai cách làm điều có cái hay riêng của nó, giáo viên cần trang bị
cho các em những kỹ năng cần thiết này, phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo.

Ví dụ 3 . Cho dãy số un

xác định như sau

u1 1, u2
u

3
*

n 2

4u n 1 4u n , n

. Tìm số

hạng tổng quát un .[2 ].
Định hướng.
Bài toán này giải bằng cách sử dụng dãy số phụ. Tuy nhiên bài này chúng ta cũng có thể nghĩ đến sử dụng quy
nạp.

Lời giải. Ta có u 1 (1 1).2 1
; u 2
3 (2 1).20
1
u 4u 2
4u 4.3 4.1 8 (3 1).21
3
1
u 4 4u 4u 2
4.8 4.3 20 (4 1).22
3

Ta dự doán u n ( n 1)2n 2 , n *
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với n 1 thì u1 1( đúng).

Giả sử (1) đúng với n k 1tức là u k
( k 1).2k 2 .
Ta cần chứng minh (1) đúng với
n k 1tức là u k 1 ( k 2).2k

(1)

1

.
1
5


Thật vậy u k

1

4u k 4u k 1 4( k 1).2 k

2

4 k .2k

3

( k 1).2k k.2k

1

2 k 1 (2k 2 k ) 2 k 1 (k 2) .Vậy u n ( n 1)2n 2 , n
*
Nhận xét. Ta thấy nếu sử dụng quy nạp ngắn hơn nhưng lại khó khăn trong cách
phán đoán công thức tổng quát, thậm chí không tìm ra.Còn sử dụng dãy số phụ
tuy dài hơn nhưng sẽ thực hiện một cách trôi chảy
2.3.4. Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác.
Những dãy số có công thức truy hồi có dạng giống hoặc gần giống với công
thức lượng giác thì ta liên tưởng đến kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác để
tìm ra số hạng tổng quát của dãy số.
u
3
Ví dụ 1. Cho dãy số u xác định
2
. Tìm số hạng tổng
1

n

2

u

*

2u

n1

1,( n)

n

quát un .[1 ].
Định hướng .
Từ công thức truy hồi ta thấy nó giống công thức nhân đôi của hàm số côsin cos
2 a 2cos 2 a 1, chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
2
u
3 cos
1 cos
2 cos
1 cos
2
; u2 2cos
; u3 2cos
1

2

6

6

6

3

Ta dự đoán và chứng minh bằng quy nạp un

Với n 1thì u1

cos

2n 2
3

*

,n

3

(1)

( đúng)

cos
6

Giả sử (1) đúng với n

3

k

1 tức là uk

cos

2k

2

.

3

Ta cần chứng minh (1) đúng với n

k 1 tức là uk

cos

1

2k

1

.

3

cos 2n 2 , n * .
3
3
Nhận xét. Nhờ phép thế lượng giác mà ta đã xác định được số hạng tổng quát
của dãy số một cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp. Bài toán này nếu không
dùng phép thế lượng giác thì rất khó khăn, thậm chí không giải được.

u
2
Ví dụ 2. Cho dãy số un xác định
2
. Tìm số hạng

Thật vậy u k

1

2u k2 1 2cos 2

2 k 2 1 cos

2k 1 . Vậy un
3

1

3

u

n1

3u n 4u n

*

,( n)

tổng quát un .[1 ].
Định hướng .
Từ công thức truy hồi ta thấy nó giống công thức nhân ba của hàm số sin sin 3a
3sin a 4sin3 a , chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác.
16


Lời giải. Ta có u

2

1

u 3sin
3

; u2 3sin

2 sin

4

4

3 4sin 3

3 sin

4

4

3

4sin

3 ;

sin

4

n
32 ….Ta dự đoán u sin

4

4

*

,n

3n 1

(1)

4

Sử dụng quy nạp chứng minh.

Giả sử (1) đúng với n

k 1 tức là uk

sin

3k

1

.

4
k 1 tức là uk

Ta cần chứng minh (1) đúng với n

sin

1

3k

.

4

Thật vậy u k

3u k 4u k

1

3

3sin

3

4sin 3k 1
4

3k 1

4

Vậy un

k

sin 3n 1 , n .
4

sin 3
4

.

*

1
u

1

2

Ví dụ 3. Cho dãy số un xác định

. Tìm số

2 2 1 un2
u

n1

*

,( n)

2

hạng tổng quát un .[3 ].
Định hướng .
Từ công thức truy hồi ta thấy xuất hiện biểu thức 1 un2 ta có thể nghĩ đến công
thức 1 sin 2 cos2 a , chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác.
1

Lời giải. u1

2 2
6 ; u2

2 sin

Ta dự đoán un sin

2

,n

n1

sin

n

,n

2 .3
Ví dụ 4. Cho dãy số un

*

.

2

6

2(1 cos 6 ) sin

2
*

2

2.6

.

.6
Chứng minh bằng quy nạp ta được un

Hay un

1 sin

sin

2 .6
Vậy un sin n , n
2 .3
u2

xác định

,n

n1

*

*

.

1

u n 12 u n ,( n)

*

. Tìm số hạng tổng

quát un .[1 ].
Định hướng .

17


Xuất phát từ

u2 2.

2 2cos

1

un

và công thức

truy hồi có thể đặt

2
4
a
2 u n2 2cos a 2cos2 . Bài toán đến đây sẽ được giải
2

2cos a thì

quyết.
Lời giải. Ta có u1

2 2.
u22 2cos

Ta dự đoán un

2
,n
n1

2cos

2 2cos

2cos
24
22
2(1 cos
) 2cos
2

2

3

2

2

*

2
Chứng minh bằng quy nạp ta được un
2
Vậy un 2cos
, n *.

2cos

n1

,n

*

n1

2

Nhận xét. Nhờ sử dụng lượng giác mà ta giải quyết tốt bài toán, cho lời giải
ngắn gọn và súc tích.
u3
un
2 1
.
Ví dụ 5. Cho dãy số un xác định 1
*
un 1

,( n)

1 (1 2)un

Tính u2003 .[4 ].

Định hướng .
Nhìn vào công thức truy hồi ta thấy giống công thức cộng đối với tang
tan( a b)
tan a tan b và ta cũng có
2 1 tan
. Bài toán đến đây đã xuất
1 tan a. tan b
8
hiện hướng giải.

u n tan
8.
Lời giải. Ta có tan
2 1 nên un 1
8
1 tan .un
8
u3 tan
1

3

; u

Ta dự đoán u n tan

2

tan 3 tan 8
tan(
3
1 tan .tan
8
3
, n*
n 1

8

).

38
Bằng quy nạp ta chứng minh được u n tan

n 1
3

8

,n

*

18


Vậy u2003

2002

tan

tan

( 3

2) , n

*

.

3
8
3 4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
a) Đối với hoạt động giảng dạy của bản thân và đồng nghiệp
Đề tài được bản thân áp dụng thành công ở lớp 11C1, đặc biệt là đối với học
sinh khá giỏi tham gia đội tuyển môn toán 2017-2018 và 2018-2019, được đồng
nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao trong công tác giảng dạy và bồi
dưỡng học sinh giỏi môn toán bậc THPT. Vận dụng đề tài vào giảng dạy đã góp
phần nâng cao chất lượng giờ dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học. Đáp
ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế.
Đề tài đã được các giáo viên trong tổ toán- tin, nhất là các giáo viên ôn đội
tuyển học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng cao về dãy số áp
dụng giảng dạy ngay tại lớp mình phụ trách và đem lại kết quả tương đối khách
quan. Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp bản thân và đồng nghiệp có thể
trao dồi kiến thức và kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn nhau để cùng tiến bộ. Từ
đó ngày càng nâng cao chất lượng giáo dục và giảng dạy của nhà trường, góp
phần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục của toàn ngành.
b) Đối với học sinh :
Đề tài có tính hiệu quả và thực tiễn cao trong công tác dạy học đối với học
sinh khá giỏi và học sinh ôn thi THPT quốc gia. Trang bị cho các em những kỹ
năng cơ bản để tìm số hạng tổng quát của dãy số. Các em bây giờ không còn sợ
các bài toán về dãy số, hình thành cho các em niềm đam mê trong học tập, chủ
động tiếp thu bài và hình thành những hướng tư duy mới trong giải toán về dãy
số nói riêng và toán học nói chung. Áp dụng đề tài vào thực tiễn thu được kết
quả hoàn toàn khả quan.
Kết quả kiểm tra đội tuyển toán lớp 11C1 năm học 2018-2019

+Chưa áp dụng đề tài
Lần kiểm tra Số học sinh

Số học sinh làm được câu dãy

Tỉ lệ

số

1
7
2
7
3
6
+Áp dụng đề tài
Lần kiểm tra Số học sinh

01
02
01

14.3%
28.6%
16.7%

Số học sinh làm được câu dãy

Tỉ lệ

số

1
2
3
4
Đề thi HSG
chính thức

7
7
5
5
5

04
05
04
05
05

57.1%
71.4%
80 %
100 %
100 %

19

3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận :
Đề tài đã tổng hợp đã tổng hợp 4 kỹ năng cơ bản để tìm công thức tổng quát
của dãy số, đưa ra cách giải các dạng dãy tổng quát thông qua các ví dụ phong
phú và đa dạng, định hướng, phân tích và so sánh các cách giải. Đề tài còn có
thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khá giỏi ôn thi THPT quốc gia. Đề tài có thể
nghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và
đồng nghiệp.
3.2 Kiến nghị :
i) Đối với Sở giáo dục :
Kính mong Sở giáo dục và đào tạo tiếp tục chỉ đạo công tác nghiên cứu khoa
học, triển khai những sáng kiến có chất lượng trong toàn tỉnh đến các trường
THPT để chúng tôi học hỏi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
ii) Đối với nhà trường :
Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao
đổi về chuyên môn, xây dựng các chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để
bồi dưỡng năng lực toán cho các em học sinh. Đề tài chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu xót và để hoàn thiện hơn nữa tác giả rất mong
được sự bổ sung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Tác giả

Phạm Công Dũng

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO :
[1] : Tác giả sáng tác .
[2] : Đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa và các trường THPT trên tỉnh
Thanh Hóa.
[3] : Nguồn mạng internet.
[4] : Đề thi 30-4 lớp 11.
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Công Dũng
Chức vụ và đơn vị công tác: Chủ tịch Công đoàn, Tổ trưởng chuyên môn
Trường THPT Hậu Lộc 3

Cấp đánh giá
TT

1.
2.
3.

4.

5.

Tên đề tài SKKN

Lượng giác hóa một số bài toán
phương trình, bất đẳng thức và
tích phân
Một số phương pháp điển hình
tìm tâm và bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp- Hình học 12
Nâng cao hiệu quả giải hệ phương
trình đại số thông qua một số kỹ
năng cơ bản
Nâng cao hiệu quả giải bài toán
tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng – Hình học 11
nâng cao thông qua một số kỹ
năng cơ bản
Hướng dẫn học sinh yếu kém giải
một số bài toán trắc nghiệm khách
quan giải tích lớp 12 - THPT

xếp loại

(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Cấp Sở

C

2006-2007

Cấp Sở

C

2008-2009

Cấp Sở

C

2011-2012

Cấp Sở

B

2013-2014

Cấp Sở

C

2016-2017

21