SKKN một số phương pháp giúp học sinh lớp 12 vận dụng hình học vào bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (459.77 KB, 31 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12 VẬN DỤNG
HÌNH HỌC VÀO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC
Người thực hiện: Hồ Thanh Quý
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….1
1.1. Lí do chọn đề tài …………………………………………………………....1
1.2. Mục đích nghiên cứu .……………………………………………………....1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...………………………………………………….1
1.5. Nhứng điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm................................................................. 2
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......…………………. ..2
2.1.Cơ sở lí luận ……..…………………………………………………………..2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.......................4
2.3. Các giải pháp thực hiện……………..………………....................................5
2.3.1. Dạng 1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số
phức khi Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.............................................. 7
2.3.2. Dạng 2. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số
phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một đường tròn........................................................ 10
2.3.3.Dạng 3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số
phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một Elip...................................................................... 14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường……………………………………….............16
2.4.1.Đối với hoạt động giáo dục………………………………………............16
2.4.2. Đối với bản thân…………………………................................……........17
2.4.3. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn…………...................…...…17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………. . ………………. .........17
3.1. Kết luận…………………………………………........................................17
3.2. Kiến nghị…………………………..............................................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................... 19
2
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số phức
là dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông và trong
các kỳ thi THPT Quốc Gia cũng như các kỳ thi học sinh giỏi. Có nhi ều ph ương
pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng phương pháp hàm
số, bất đẳng thức. Nhưng vấn đề đó là đối với học sinh phổ thông hi ện nay
là khó, học sinh lung túng khi nhận dạng và chọn được ph ương pháp thích
hợp để giải.
Với mục đích là hình thành và phát triển tư duy toán học cho học sinh,
giúp cho học sinh yêu thích và đam mê môn toán, hình thành cho học sinh
vốn kiến thức, kỹ năng làm bài, khả nhận dạng và tự v ận d ụng ki ến th ức
vào các bài toán cụ thể, và vận dụng vào thực tiễn. Vì vậy c ần thi ết ph ải tìm
ra phương pháp xây dựng các dạng toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu để
truyền đạt cho học sinh là rất cần thiết trong dạy học.
Việc dùng công cụ hình học vào giải quyết các bài toán đại số là một
cách nhìn rất mới mẻ với học sinh THPT. Mối quan h ệ giữa đ ại s ố và hình
học là một vấn đề rất thú vị. Nếu biết chọn một phương pháp phù hợp ta
có thể chuyển một bài toán đại số sang hình học một cách đ ơn gi ản, làm
cho việc giải bài toán đại số trở nên nhanh gọn và dễ hiểu hơn. Với những lí
do trên, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp
giúp học sinh lớp 12 vận dụng hình học vào bài toán tìm giá trị l ớn
nhất, nhỏ nhất của Môđun số phức”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học t ập, phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình gi ải bài toán tìm giá tr ị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số phức bằng ph ương pháp hình
học, giúp các em đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước những bài toán này.
Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi
THPT quốc gia, và các kì thi học sinh giỏi, góp phần nâng cao chất l ượng
dạy và học trong các trường THPT hiện nay.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chính của đề tài là phân dạng và chuyển bài toán đại số
theo quan điểm hình học. Từ đó hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần
nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp hình vào xác đ ịnh
tọa độ điểm và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số phức,
qua đó phát huy tính tư duy sáng tạo, tự học cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Qua sách giáo khoa, sách tham khảo, một số tài
liệu liên quan khác…
3
- Phương pháp quan sát: Khảo sát quá trình dạy và học tại trường
THPT Tĩnh Gia 4.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho
kiểm tra thử với lớp đối chứng.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Theo tôi được biết, cũng đã có những đề tài sáng kiến kinh nghiệm
viết về các bài toán liên quan đến số phức. Nhưng theo quan đi ểm c ủa cá
nhân tôi trong quá trình đổi mới hình thức thi THPT Qu ốc gia đ ối v ới môn
toán thì đề tài của tôi là một quan điểm mới về cách thức làm bài c ụ th ể,
sáng kiến kinh nghiệm này cũng đã trình bày m ột cách có h ệ th ống, phân
dạng và có phương pháp làm cụ thể đối với từng dạng. Nó cũng sẽ giúp học
sinh có cách nhìn bài toán bằng phương pháp mới so với phương pháp t ự
luận để có thể làm bài nhanh hơn.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Môđun của số phức.
Số phức z = a + b i
(a,b)
được biểu diễn bởi điểm
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
OM
M(a,b)
trên mặt
được gọi là môđun của số phức z.
a 2 b2
Kí hiệu | z | | a bi |
Tính chất.
| z | 0, z ,| z | 0 z 0.
|
z
z| ,z 0.
z
z
z
z'
+) Chú ý:
z z'
z2
z
| z | a 2 b 2z
zz |z||z|.
| kz | | k | | z |,k.
4a 2b 2 a 2 b 2 | z |2 | z |2 z . z
z' .
a 2 b 2 2abi a 2
2
b2
+) Điểm M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
z1 z 2 MN mz1
mz1 nz 2 2
+)
Suy ra hệ quả.
z z 2 z2
+) 1 2
1
nz 2
2
z
2
2
m2
z
mz1 nz2
z
1
z
.
2
z
1
2
1
z
2
4
z |OM |.
n2
z
2
z ,z
1
2
thì khi đó
mn z1
z2
z
2
z
1
z1 z 2 2
2
z1
2
z2
z1
+)
z
z2
2
+) z z
1
2
1
2
z z1
2
z z
2
z
2
2z
1
2
z z2
2
2z
2
z1
2
2
z z
z z
2
1
2
+)
2
2
1
2
Lưu ý:
+) z1 z 2
z1
+) z1 z 2
z
z2 dấu bằng xảy
ra
z dấu bằng xảy
1
2
+)
z
z1 z 2
1
z
z1 z 2
+)
z1 z 2
1
| | z2
ra
dấu bằng xảy
ra
z1 z 2
2
2
2 z
2
z
1
| z | 2 |z || z | | z |2
1
( k 0).
2
z kz
1
( k 0).
2
( k 0).
z kz
1
| | z2
dấu bằng xảy
ra
2
z kz
2
( k 0).
z kz
1
2
.
2
z .
Một số quỹ tích.
Biểu thức liên hệ x , y
ax by c 0 (1)
Quỹ tích điểm M
: ax by c 0
(1) Đường thẳng
| z a bi | | z c di | (2)
(2) Đường trung trực đoạn AB với
( A( a , b ), B ( c, d))
(x a)2(y b)2
R2
hoặc
Đường tròn tâm I (a , b), bán kính R
R2
hoặc
Hình tròn tâm I (a , b), bán kính R
| z a bi | R
(x a)2(y b)2
| z a bi | R
(x a)
2
b2
z a1 b1i
( y c)
d2
2
(1) Elip
1 (1)
hoặc
z a 2 b2 i 2a (2)
(2) Elip
nếu
2 a AB , A a1 , b1 , B a 2 ,b2
Đoạn thẳng AB nếu
2a AB
5
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là m ột vấn đ ề khó khăn
với nhiều học sinh.Nhưng nếu chúng ta biết nhìn bài toán dưới góc độ hình
học thì việc giải sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên trên thực tế, học sinh còn nh ững
hạn chế và thường gặp những khó khăn sau:
+ Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại
học phần này.
+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt.
+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên h ệ gi ữa
các dạng toán chưa tốt.
Kết quả khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4
cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một b ộ ph ận h ọc sinh làm
nhưng không đúng và thường bị mất điểm ở những bài tập này.
Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy
và từng bước thu được kết quả tốt trong năm qua.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
Với các dạng bài tập này chỉ cần gắn được điểm biểu di ễn hình h ọc
của số phức với một đường thẳng, đường tròn, hoặc elip, có ph ương trình
phù hợp là bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Sau đây là một s ố bài
tập minh họa cho phương pháp này. Hi vọng thông qua các bài t ập này các
em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự.
Vận dụng kết quả của một số bài toán sau.
I
Bài toán 1.
Trong mặt phăng 0xy cho điểm I, đường thẳng d, điểm
M thay đổi trên d. Khi đó giá trị nhỏ nhất của IM là?
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng
H
M
d, khi đó giá trị nhỏ nhất của IM là IH. Bài toán 2.
Trong mặt phăng 0xy cho đoạn thẳng AB, và điểm I
không nằm trên AB. Điểm M thay đổi trên AB. Giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MI là?
Khi đó:
+) Nếu tam giác ABI có IAB tù hoặc ABI tù thì.
MImin Min {IA;IB}
M
I
MImax Max {IA;IB}
B
M
+ Nếu tam giác ABI có IAB và IBA đều không tù:
MI d(I;AB)
MI
B
A
A
min
max
Max {IA; IB }
Bài toán 3.
Cho đường tròn (C) tâm (O, R),
và điểm I.
I
M2
M2
O
O I
M2
M1
6 M1
O
I≡M1
I
Điểm M thay đổi trên (C).
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MI là?
MImin
| OI R | .
MI max OI R.
Bài toán 4.
Cho hai điểm A, B. Gọi O là trung điểm AB.
Một điểm M thay đổi trên elip (E) cố định có tiêu điểm
là A và B.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn
thẳng OM? Khi đó (E) có trục lớn 2a, trục nhỏ là
2b.
Nên giá trị lớn nhất của OM bằng a, giá trị nhỏ nất của OM b ằng b.
Bài toán 5.
Cho đường thẳng d, và 2 điểm A, B không nằm trên d. Một điểm M thay đổi
trên d. Tìm giá trị nhỏ nhất của P, biết
nhau bờ là d.
P ( MA MB).
thuộc
+ TH1: Nếu A,
hai nửa mặt phẳng khác
B
Khi đó giá trị nhỏ nhất của P là độ
B
dài đoạn thẳng AB khi M = AB d.
A
H
+ TH2: A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là
M'
M
d
đường thẳng
d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d,
khi đó giá trị nhỏ nhất của P là độ dài đoạn thẳng
A’B khi M là giao điểm của AB' với d.
Bài toán 6.
Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. Một điểm M
thay đổi trên (C), và một điểm N thay đổi trên d.
Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN ?
A'
d
M
L
d'
I
MNmin | R d ( I ; d ) | khi (M K, N H ).
Bài toán 7.
Cho hai đường tròn (
C
N
H
K
C
1
) và (
C
C
2
). điểm M chạy
trên ( 1 ) điểm N chạy trên ( 2 ).
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
đoạn thẳng MN ?
M
A
D
C
I
1
I2
B
7
+ TH1 (
MN
Min
Max
MN
Max
1
) và (
C
1
=
=
C
2
MN
= 0,
+ TH2 (
MN
C
Max
)và (
=
C
2
R
R
1
II
2
1 2
) ngoài nhau:
N
M
II
1
) cắt nhau:
R
2
R
1
R
C
C
R .
1
A
B
D
2
I1
II .
2
I2
1 2
M
C
+ TH3: ( 1 ) và (
MN min R1 R2 ,
2
N
) đựng nhau:
I
1
I
2
A
B
C
MN max R 1 R 2 I1I2.
Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nh ỏ nh ất của
Môđun số phưc bằng hình học.
Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa ra biểu diễn hình học của số
phức z.
Bước 2: Chuyển yêu cầu dạng đại số sang tìm cực trị hình học của điểm
biểu diễn hình học của z .
Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán (các bổ đề trên)
2.3.1. Dang 1: Bài toán tìm giá trị l ớn nh ất, giá trị nh ỏ nh ất c ủa
môđun số phức khi Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường
thẳng
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn
|z
i 1| | z
2i |
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z .
1
1
A. 10 .
B.
10
.
Hướng dẫn :
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
C.
10
M ( x; y)
.
1
D. 5 .
là điểm biểu diễn hình học của
số
O
phức z x yi (x,y ) , khi đó | z | OM .
Ta có
| z i 1| | z 2i |
| x 1 ( y 1)i | | x (y 2)i |
( x 1) 2
( y 1) 2
x 3y 1 0
x2
(y 2)2
H
M
d
8
x 3y 1
0
Vậy điểm M thuộc đường thẳng (d):
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng d.
z
Giá trị nhỏ nhất của bằng độ dài OH.
OH d (O; d )
1
10 .
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn
| z 2 3i | | z 1 2i |
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của z 3 i .
34
3 34
A. 17 .
B.
34
C.
.
Hướng dẫn :
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
M ( x; y)
3
17 .
D. 17 .
là điểm biểu diễn hình học
của số phức z x yi (x,y ) , khi đó | z | OM .
Ta có: | z 2 3i | | z 1 2i | | x 2 (y 3)i | | x 1 (2
( x 2) 2
( y 3) 2
( x 1) 2 (2 y ) 2
3 x 5 y 8 0.
Vậy điểm M thuộc đường thẳng (d):
Gọi I(3; 1) thì | z 3 i |
|z 3 i |
Khi đó
3x 5y 8
0
.
( x 3) 2 ( y 1) 2 IM .
nhỏ nhất IM nhỏ nhất
d ( I ; d ) 3 1734 .
IM
z 3 i
Vậy giá trị nhỏ nhất
của
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Xét số phức
z 2 3i
và z 1 i
P
A.
y )i |
z x yi ( x , y )
252
50 .
Hướng dẫn:
3 34
17 .
bằng
B.
z
thỏa mãn điều kiện
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị
P
41
P 61
5.
C
.
10 .
P x 2y
là:
P
18
D.
5.
z
4 3i
9
Trong mặt phẳng Oxy, điểm
phức
z x
yi (x,y
z
M ( x; y)
là điểm biểu diễn hình học của số
) , khi đó | z | OM .
B
z 4 3i
A
Ta có:
x2
y2
x 42
y 32
H
M'
M
d
8 x 6 y 25 0
Vậy điểm M thuộc đường thẳng
A'
(d): 8 x 6 y 25 0 .
Đặt
z 1 i
2 3i Px 1 2
z
y 1 2x 2 2
y 32
P
th z 2 3i
ì
Gọi A 2; 3
B 1;1
Khi đó P
thì z 1 i
( x 2) 2 ( y 3) 2 MA.
( x 1) 2 ( y 1) 2
MB.
MA MB .
Như vậy ta cần tìm
Đặt f ( x , y)
M d
sao cho P MA MB nhỏ nhất.
8 x 6 y 25
f ( 1;1) f (2; 3)
Ta có
.
> 0 nên A và B nằm về một phía với đường thẳng d.
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d, ta có MA MB MA ' MB A ' B
MA MB nhỏ nhất là A ' B khi M A ' B d .
Ta có
AA ' d
6 x 8 y 36
Gọi I AA'
và đi qua
A 2; 3
nên đường thẳng AA' có phương trình là:
0.
ta có tọa độ của I là nghiệm của hệ:
x
4
25
8 x 6 y 25 0
219
6 x 8 y 36 0
y
d
50
4 ; 219
50
hay 25
I
I là trung điểm của AA' nên tọa độ điểm A' là:
10
.
x A ' 2x I
y
xA
2 yI
A'
x
A'
yA
yA'
42
25
A'
144
42
144
;
25 hay 25
25
.
1 17;169
A'B
;
25 25
25
. Phương trình A ' B :169 x 17 y 186 0
.
67
169 x 17 y 186 0
x
50
25 0
119
8x 6y
y
Tọa độ của M là nghiệm của
50 .
hệ:
P x 2y
61
V ậy
10 .
Chọn đáp án C.
Bài tập vận dụng.
17
169
Bài 1: Nếu z là số phức
thỏa
là
A. 2.
3
B. .
z 2i
z
thì giá trị nhỏ nhất z i
của
C. 4.
Chọn đáp án D.
z 4
5
D. .
| z 1 i | | z 3 2i |
5
M,m
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi
lần lượt
M m
z
là giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất
, tính
.
của
2.
2.
5.
13 2 5.
B. 5
C 13
D.
A. 13
.
x; y
Chọn đáp án
5
3i
M
. Tìm điểm
A.
z 1 3i , z
biểu diễn số
Bài 3: Cho các số phức 1
2
phức
z
3
, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng
x 2y 1 0
A.
M
w 3z
và môđun số phức
3; 1
3;
5
5
. B.
M
5
Chọn đáp án D.
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn:
z
3
2z
1.
5
z2
4
C.
đạt giá trị nhỏ nhất là.
3 ;1
3; 1
1
2
M
5
5
| z ( z 2i ) |
.
D
.
M
5 5
.
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của | z i |.
11
A.1.
B. 2.
C. 4 .
D. 3.
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:
z
u ( z 3 i )( z 1 3i ) là một số thực. Tìm
giá trị nhỏ nhất của .
2
C.4.
D.2 2.
A.3.
B.
.
Chọn đáp án D.
2.3.2. Dạng 2: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất c ủa
môdun số phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một đường tròn
3 4i | 4
|z
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
.Tìm giá trị nhỏ nhất
z
m, giá trị lớn nhất M của .
A. m 1; M 9 .
Hướng dẫn:
B. m 4; M 9 .
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
C. m 1; M 5 . D. m 4; M 5
M ( x; y)
là điểm biểu diễn hình học
của số phức z x yi (x,y ) , khi đó | z | OM .
Ta có | z 3 4i | 4
( x 3) 2 ( y 4) 2 16.
Vậy điểm M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính
| z | Min OM Min | OI R | 5 4 1.
| z | Max OM Max OI R 5 4 9.
R
4.
Chọn đáp án A
log
| z 3 4i | 1
1
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
3
z
2 | z 3 4i | 8
1
. Tìm
giá
trị nhỏ nhất m , giá trị lớn nhất M của .
A. m 0; M 5 B. m 4; M 5
Hướng dẫn:
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
C. m 1; M 10
M ( x; y)
là điểm biểu diễn hình học
của số phức z x yi (x,y ) , khi đó | z | OM .
Ta có
log 1
3
| z 3 4i | 1
2 | z 3 4i | 8
1
| z 3 4i | 1
2 | z 3 4i | 8
| z 3 4i | 5.
( x 3) 2 ( y 4) 2 52
12
D. m 0; M 10 .
1
3
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm
I (3, 4)
bán kính
R 5.
(3 0) 2 ( 4
m | OI R | 5 5 0.
Ta có: OI
0) 2 5
MOIR5510. m 0, M 10.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Xét các số phức thỏa mãn
nhỏ
nhất của biểu thức
P z 1 i
. Giá trị lớn nhất và giá trị
lần lượt là.
A. 13 2 và 13 2 .
C. 6 và 4.
z 2 3i 1
D.
B.131
13 4
và
Hướng dẫn:
M ( x; y)
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là điểm biểu diễn hình học của số phức
z x
yi (x,y
) , khi đó | z | OM .
Ta có | z 2 3i | 1
( x 2) 2 ( y 3) 2 1.
R 1.
I
M thuộc đường tròn (C) tâm 1 (2; -3) bán kính
Quỹ tích điểm M là đường tròn :
x
22
y 32
1
Quỹ tích điểm biểu diễn hình học của số phức
z
là đường tròn: x 2 2
y 32 1
I 2;3
thuộc đường tròn tâm
bán kính R ' 1
P z 1 i ( x 1) 2 ( y 1)2
MA
, M là điểm biểu
A
1;1
Gọi
(2 1)2 (3 1)2
13
z
AI
Ta có:
AM2 AI R' 13 1
Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức P
bằng
AM 2 AIR 131.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
bằng
Chọn đáp án B.
13
z
Ví dụ 4: Xét các số phức z thỏa mãn
mãn
wz1i
, gọi
w
1
và
ww
lớn nhất. Khi đó
1
2
A. 2 6i .
w
2
z 2 4i 5
. Trong các số phức w thỏa
lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và môđun
bằng.
B. 2 4i .
C. 4 12i .
M ( x; y)
Hướng dẫn:
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
D. 4 8i .
là điểm biểu diễn hình học của
số
phức z x yi (x,y ) , khi đó | z | OM .
5 ( x 2) 2 ( y 4) 2 5
M thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 4)
Ta có | z 2 4i |
R
5.
bán kính
w z1 i
2z
w đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi
z cũng đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Đường thẳng OI cắt đường tròn tại hai điểm
,M
M
1
.
2
Đường thẳng OI đi qua gốc tọa độ nhận
OI (2;4)
2x y0
phương trình tổng quát là:
.
M
,M
Tọa độ hai điểm 1 2 là nghiệm của hệ phương trình:
x 1
y 2
2x y 0
( x 2) 2 ( y 4) 2
suy ra
M (1, 2)
1
x 3
0
và
y 6
M (3,6)
2
z OM
Giá trị lớn nhất của =
2
z OM
Giá trị nhỏ nhất của =
w1 1 i 1 2i , w2
w1 w2
4 12i.
1
z
3 6i.
2
z
1
1 2i
1 i 3 6i
Chọn đáp án C.
Bài tập vận dụng.
14
.
làm véctơ chỉ phương nên có
z 2 i
z1 i
2
. Tính tổng của giá trị nhỏ nhất
C. 10.
và giá trị lớn nhất của
D.
10
.
Bài 1: Cho số phức z thỏa
mãn
z.
A.6.
Chọn đáp án B.
B. 2
10
.
1 i z 1 5i
2
z
2
z
Bài 2: Cho số phức 1 thỏa mãn
và số phức 2 thỏa
mãn
z 1 2i
z i . Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 .
61
41
A. 2 .
61
41 .
C. 4 .
B 2 .
.
D. 4
Chọn đáp án B
z,z
Bài 3: Cho hai số phức
trị của
P
1
z
z .
1
2
B.
A.P 4 6.
z z
2
thõa mãn
P6
.
w i
thỏa mãn
P z 1 2i
Giá trị lớn nhất của biểu thức
67
thức
P
2
z 2 i
18
A. .
Chọn đáp án D.
C.
13 .
thõa mãn
z 2 3i
A. z 33.
.
z 1 i 2
D.P 6 32.
3 5
5
z 5 2i
2 53
. Tìm giá
D.
4
và 5w 2 i z 4 .
bằng.
13 .
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
.
2
10.
C.18 2
B. 16 2 10.
Bài 6: Biêt sô phưc z thoa man
Tz 22 z i2
z1 z2 2
và
C.P 2 26.
Chọn đáp án C.
Bài 4: Cho các số phức w , z
A. .
B.4 2
Chọn đáp án C.
Bài 5: Cho số phức z
8 6i
2
1
z
3 4i
đat gia tri lơn nhât. Tinh
B. z 50.
5
D.38 8 10 .
va biêu thưc
z.
C. z 10.
D. z 2 5.
Chọn đáp án D.
15
2.3.3. Dạng 3: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là
một Elip
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa
mãn
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của
M m
17
A.
2 . B. M m 8 .
z 4 10 . Gọi M , m lần lượt là giá
z 4
z
. Tính
điểm điểm biểu diễn hình học
?
C. M m 1.D. M m 4 .
Hướng dẫn:
Trong mặt phẳng Oxy, gọi
M m
M ( x; y)
là phức
của số
z x
yi (x,y
) , khi đó | z |
Ta có: z 4
z
4
OM .
10
| ( x 4) yi | | ( x 4) yi | 10
( x 4) 2
Gọi
y2
( x 4) 2
y2 10 ( )
M x; y F 4;0 F 4;0
, 1 , 2 lần lượt là các điểm biểu diễn hình học
của các số phức z , 4 , 4 .
( x 4) 2 y 2 MF1.
Suy ra
(x 4) 2
Khi đó
y2
MF2 .
(*) MF MF 10
1
25 16 6 . Mà
2
z OM
M chạy trên Elip có trục lớn 2 a 10 , trục nhỏ 2b 2
.
z M a 5 m b 3
;
Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của là
M m 8.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa
độ
0xy
sao cho
A.1.
2z z 3
, giá trị lớn nhất của |z|là.
B. 2.
C. 3.
D. 4 .
16
Hướng dẫn: Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
M ( x; y)
là điểm biểu diễn hình
học của số phức z x yi (x,y ) , khi đó | z | OM .
Ta có: 2 z z 3
2x
yi
x2
9y2 3
x2
y2
9
1
x yi
3
x 2 9 y2 9
1
.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong, và nằm trên Elip có
1
phương trình:
x2
9
y2
.
1
Elip có a 3, b 1.
Nên giá trị lớn nhất của
Chọn đáp án C.
z
a
3
z 3i z 3i 10
A, B
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
. G ọi
lần lượt là điểm
biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn điều kiện trên và có môđun lớn
M ( a; b )
nhất và nhỏ nhất. Gọi
bằng.
S 7
S
A.
2.
B.
9
2.
là trung điểm của đoạn AB. Khi đó
C.
S5
.
D.S 4.
Hướng dẫn :
Giả sử z x yi
(x , y ∈ R), Ta có: z 3i
z 3i 10
| x ( y 3)i | | x ( y 3)i | 10
( x 2 ( y 3) 2 x 2 ( y 3) 2 10 ( ) Khi đó
(*) MF MF 10
1
2
M x; y F 0; 3 F 0;3
Gọi
, 1
, 1 lần lượt là điểm biểu
3i 3i
diễn hình học của các số phức z ,
x 2 ( y 3) 2 MF1.
Suy ra
,
.
17
Sab
