Đề&HD TS ĐH Toán 2010 số 47

Sở GD-ĐT phú thọ
Trờng T.H.p.t long châu sa é THI thử I HC lần ii
NM học: 2009-2010
Mụn thi : TON
làm bài:180 phútThời gian (không kể thời gian giao đề)
PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu I:(2 im) Cho hm s y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cú th l (C
m
); ( m l tham s)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2. Xỏc nh m (C
m
) ct ng thng: y = 1 ti ba im phõn bit C(0;1), D, E
sao cho cỏc tip tuyn ca (C
m
) ti D v E vuụng gúc vi nhau.
Cõu II:(2 im)
1. Giai hờ phng trinh:
2 0
1 2 1 1
x y xy
x y

=


=

2. Tìm
);0(


x
thoả mãn phơng trình: cotx 1 =
xx
x
x
2sin
2
1
sin
tan1
2cos
2
+
+
.
Cõu III: (2 im)
1. Trờn cnh AD ca hỡnh vuụng ABCD cú di l a, ly im M sao cho AM = x (0 < x a).
Trờn ng thng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ti A, ly im S sao cho SA = 2a.
a) Tớnh khong cỏch t im M n mt phng (SAC).
b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H . Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất
2. Tớnh tớch phõn: I =
2
4
0

( sin 2 )cos2x x xdx

+

.
Cõu IV: (1 im) : Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.
Chng minh rng :
2 2 2
2.
a b b c c a
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + +

PHN RIấNG (3 im) ( Chú ý!:Thí sinh chỉ đợc chọn bài làm ở một phần)
A. Theo chng trỡnh chun
Cõu Va : 1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng
3
2
và
trọng tâm thuộc đờng thẳng

: 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4)
và đờng thẳng

:
1 2
1 1 2

x y z +
= =

.Tìm toạ độ điểm M trên

sao cho:
2 2
28MA MB
+ =
Cõu VIa : Giải bất phơng trình:
32
4
)32()32(
1212
22

++
+
xxxx
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu Vb : 1. Trong mpOxy, cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
6x + 5 = 0. Tỡm M thuc trc tung sao cho qua
M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 60
0
.
2.Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2 ; 1 ; 0) v ng thng d với
d :

x 1 y 1 z
2 1 1
+
= =

.Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i qua im M,
ct v vuụng gúc vi ng thng d và tìm toạ độ của điểm M đối xứng với M qua d
Cõu VIb : Gii h phng trỡnh
3 3
log log 2
2 2
4 4 4
4 2 ( )
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
x y x x y

= +


+ + = + +


....Ht.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Híng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u
ý

Néi Dung
§iĨm
I 2
1 Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iĨm) 1
y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (C
m
)
1. m = 3 : y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 (C
3
)
+ TXĐ: D = R
+ Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
0,25
+ y’ = 3x
2
+ 6x + 3 = 3(x
2

+ 2x + 1) = 3(x + 1)
2
≥ 0; ∀x

⇒
hµm sè ®ång biÕn trªn R
0,25
• Bảng biến thiên:

0,25
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1)
y” = 0 ⇔ x = –1
⇒
tâm đối xứng U(-1;0)
* Đồ thò (C
3
):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
0,25
2 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = 1 là:
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1 ⇔ x(x
2
+ 3x + m) = 0 ⇔

=


+ + =

2
x 0
x 3x m 0 (2)
0,25
* (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm x
D
, x
E
≠ 0.
⇔
≠

∆ = − >


⇔
 
<
+ × + ≠




2
m 0
9 4m 0
4
m
0 3 0 m 0
9
(*)
0,25
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
k
D
=y’(x
D
)=
+ + = − +
2
D D D
3x 6x m (3x 2m);
0,25
k
E
=y’(x
E
)=
+ + = − +
2
E E E
3x 6x m (3x 2m).
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k

D
k
E
= –1
⇔ (3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) =-1
⇔ 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E
) + 4m
2
= –1
⇔ 9m + 6m(–3) + 4m
2
= –1 (vì x
D
+ x
E
= –3; x
D
x
E

= m theo đònh lý Vi-ét).
⇔ 4m
2
– 9m + 1 = 0 ⇔
9 65
8
9 65
8
m
m

+
=



−
=


 So s¸nhĐk (*): m =
( )
−
1
9 65
8
0,25
II 2
1 1
1. §k:

1
1
2
x
y
≥



≥


(1)

( ) 0 ( )( 2 ) 0
2 0
2
0( )
x y y xy x y x y
x y
x y
x y voly
⇔ − − + = ⇔ + − =

− =
⇔ ⇔ =


+ =


0,5
⇔ x = 4y Thay vµo (2) cã

4 1 2 1 1 4 1 2 1 1
4 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
1
( )
2 1 0
2
2
5 10
2 1 2
( )
2
y y y y
y y y y y
y tm
y
x
x
y
y tm
− − − = ⇔ − = − +
⇔ − = − + − + ⇔ − = −

=


− =
=


⇔ ⇔ ⇒



=

− =



=



0,25
V©y hƯ cã hai nghiƯm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25
2 1
®K:



−≠
≠
⇔



≠+
≠

1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
PT
xxx
xx
xx
x
xx
cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos
2
−+
+
=
−
⇔

xxxxxx
x
xx
cossinsincossincos

sin
sincos
22
−+−=
−
⇔
0,25


⇔
)2sin1(sinsincos xxxx
−=−

⇔
0)1sincos)(sinsin(cos
2
=−−−
xxxxx



0,25


⇔
0)32cos2)(sinsin(cos
=−+−
xxxx

(cos )( 2 sin(2 ) 3) 0

4
x sinx x
π
⇔ − + − =

cos 0
2 sin(2 ) 3( )
4
x sinx
x voly
π
− =


⇔

+ =


0,25

⇔
0sincos =− xx

⇔
tanx = 1
)(
4
Zkkx
∈+=⇔

π
π
(tm®k)
Do
( )
4
0;0
π
π
=⇒=⇒∈
xkx
0,25
III 2
1 1
Do
( )
( ) ( )
( )
SA ABCD
SAC ABCD
SA SAC
⊥

⇒ ⊥

⊂

Lai cã
( ) ( )
( ) ( , ) .sin 45

2
o
MH AC SAC ABCD
x
MH SAC d M SAC MH AM
⊥ = ∩
⇒ ⊥ ⇒ = = =
0,25
Ta cã

0
. 45 2
2 2
1 1
. ( 2 )
2 2
2 2
1 1
. 2 ( 2 )
3 6
2 2
MHC
SMCH MCH
x x
AH AM cos HC AC AH a
x x
S MH MC a
x x
V SA S a a
∆

∆
= = ⇒ = − = −
⇒ = = −
⇒ = = −

O,5
Tõ biÓu thøc trªn ta cã:

[ ]
3
2
2
1
2 2
3 2 6
2
2 2
SMCH
x x
a
a
V a
x x
a
x a
+ −
≤ =
⇔ = −
⇔ =

⇔
M trïng víi D
0,25
2 1

I =
4 4 4
2 2
1 2
0 0 0
( sin 2 ) 2 2 sin 2 2x x cos xdx xcos xdx xcos xdx I I
π π π
+ = + = +
∫ ∫ ∫
0,25