Đề&HD TS ĐH Toán 2010 số 36

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN
Lần II
http://ductam_tp.violet.vn/
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN, khối A, B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 8 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ).
Cho hàm số y = x
3
+ ( 1 – 2m)x
2
+ (2 – m )x + m + 2 . (C
m
)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
Câu II : ( 2 điểm ).
1. Giải phương trình:
sin 2 2 2(sinx+cosx)=5x
−
.
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2 3 .x mx x
+ = −
Câu III : ( 2 điểm ).

1. Tính tích phân sau :
2
2
3
1
1
.
x
I dx
x x
−
=
+
∫
2. Cho hệ phương trình :
3 3
( )
1
x y m x y
x y

− = −

+ = −

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x
1
;y
1
);(x

2
;y
2
);(x
3
;y
3
) sao cho x
1
;x
2
;x
3
lập thành cấp số cộng
( )
0d
≠
.Đồng thời có hai số x
i
thỏa mãn
i
x
> 1
Câu IV : ( 2 điểm ).
Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d
1
:
1 1 2
x y z
= =

; d
2

1 2
1
x t
y t
z t
= − −


=


= +

và điểm M(1;2;3).
1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d
1
; Tìm M
’
đối xứng với M qua d
2
.
2.Tìm
1 2
;A d B d
∈ ∈
sao cho AB ngắn nhất .
B. PHẦN TỰ CHỌN: ( 2 điểm ).

( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu V
a
hoặc V
b
sau đây.)
Câu V
a
.
1. Trong mặt phẳng oxy cho
ABC
∆
có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0
.Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình
x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích
ABC
∆
.
2.Tìm hệ số x
6
trong khai triển
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
biết tổng các hệ số khai triển

bằng 1024.
Câu V
b
.
1. Giải bất phương trình :
2 2
1 1
5 5
x x+ −
−
> 24.
2.Cho lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
đáy ABC là tam giác đều cạnh a. .A
’
cách đều các điểm A,B,C. Cạnh bên AA
’

tạo với đáy góc 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
______________ Hết _______

ĐÁP ÁN
Câ
u

Ý Nội dung Điểm
I . 200
1 .Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 1,00
Với m = 2 ta được y = x
3
– 3x
2
+ 4
a ;Tập xác định : D = R.
0,25
b ; Sự biến thiên.
Tính đơn điệu ……
Nhánh vô cực……
j
o
4
+
∞
-
∞
+
+
-
0
0
2
0
+
∞
-

∞
y
y'
x
0,25
c ; Đồ thị :
+ Lấy thêm điểm .
+ Vẽ đúng hướng lõm và vẽ bằng mực cùng màu mực với phần trình bầy
0,25
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
0,25
2 . Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ
hơn 1.
1,00
Hàm số có cực trị theo yêu cầu đầu bài khi và chỉ khi thỏa mãn 2
ĐK sau :
+ y
’
=0 có 2 nghiệm pbiệt x
1

< x
2

⇔

' 2
4 5 0m m∆ = − − f
⇔
m < - 1 hoặc m >
5
4
0,25
0,25
+ x
1
< x
2
< 1 ( Vì hệ số của x
2
của y
’
mang dấu dương )
⇔
….
⇔

'
4 2m∆ −p
⇔
…..

⇔
21
15
m p
0,25
Kết hợp 2 ĐK trên ta được… Đáp số
( )
; 1m∈ −∞ −
5 7
;
4 5
 
∪
 ÷
 
0,25
II 2,00
1
1.Giải phương trình:
sin 2 2 2(sinx+cosx)=5x
−
. ( I )
1,00
Đặt sinx + cosx = t (
2t ≤
).
⇒
sin2x = t
2
- 1

⇒
( I )
0,25
⇔
2
2 2 6 0t t− − =
⇔
2t = −
)
0,25
+Giải được phương trình sinx + cosx =
2−
…
⇔

os( ) 1
4
c x
π
− = −
+ Lấy nghiệm
0,25
Kết luận :
5
2
4
x k
π
π
= +

( k
∈ Z
) hoặc dưới dạng đúng khác .
0,25
2
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2 3 .x mx x
+ = −
1,00
⇔
hệ
2 2
2x x 9 6x
3
m x
x

+ = + −

≤

có nghiệm duy nhất 0,25
⇒
x
2
+ 6x – 9 = -mx (1)
+; Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm.
0,25
+ ; Với x

≠
0 (1)
⇔

2
6x 9x
m
x
+ −
= −
. Xét hàm số :
f(x) =
2
6x 9x
x
+ −
trên
(
]
{ }
;3 \ 0−∞
có f
’
(x) =
2
2
9x
x
+
> 0

0x∀ ≠
0,25
+ , x = 3
⇒
f(3) = 6 , có nghiệm duy nhất khi – m > 6
⇔
m < - 6 0,25
III 2,00
1
1. Tính tích phân sau :
2
2
3
1
1
.
x
I dx
x x
−
=
+
∫
1,00
2
2
3
1
1
.

x
I dx
x x
−
=
+
∫
=

2
2
1
1
1
x
1
x
d
x
x
−
+
∫
=

2
1
1
( )
1

d x
x
x
x
+
−
+
∫
= -
1
2
1
ln( )x
x
+
=
…. =
4
ln
5
( Hoặc
2
2
3
1
1
.
x
I dx
x x

−
=
+
∫
=
2
2
1
1 2x
x
1
d
x x
 
−
 ÷
+
 
∫
=……)
0,25
0,50
0,25
2
2.Cho hệ phương trình :
3 3
( )
1
x y m x y
x y


− = −

+ = −

------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x
1
;y
1
);(x
2
;y
2
);(x
3
;y
3
) sao cho x
1
;x
2
;x
3

lập thành cấp số cộng
( )
0d
≠
.Đồng thời có hai số x

i
thỏa mãn
i
x
> 1
3 3
( )
1
x y m x y
x y

− = −

+ = −


⇔
2 2
( )( ) 0
1
x y x y xy m
x y

− + + − =

+ = −

⇔

2

1
2
1
( ) 1 0
x y
y x
x x x m
ϕ

= = −


= − −




= + + − =


Trước hết
( )x
ϕ
phải có 2 nghiệm pbiệt x
1
; x
2

⇔
3

4 3 0
4
m m∆ = − ⇔f f
1,00
------
0,25
0,25
Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
+Trường hợp 1 :
1
2
−
; x
1
; x
2
+Trường hợp 2 : x
1
; x
2
;
1
2
−
+Trường hợp 3 : x
1
;
1
2
−

; x
2

0,25
Xét thấy Trường hợp 1 ;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có
1 2
1 2
1
1
x x
x x m
+ == −


= −

đúng với mọi m >
3
4
Đồng thời có hai số x
i
thỏa mãn
i
x
> 1 ta cần có thêm điều kiện sau
0,25
2
1 4 3
1 4 3 3 3
2

m
x m m
− + −
= ⇔ − ⇔f f f
Đáp số : m > 3
IV
Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d
1
:
1 1 2
x y z
= =
; d
2

1 2
1
x t
y t
z t
= − −


=


= +

và điểm M(1;2;3).
1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d

1
; Tìm M
’
đối xứng với M qua
d
2
.
.
+ Phương trình mặt phẳng chứa M và d
1
…. Là (P) x + y – z = 0
+ Mp(Q) qua M và vuông góc với d
2
có pt 2x – y - z + 3 = 0
2,00
0,25
0,25
+ Tìm được giao của d
2
với mp(Q) là H(-1 ;0 ;1)
…
⇒
Điểm đối xứng M
’
của M qua d
2
là M
’
(-3 ;-2 ;-1)
0,25

0,25
2.Tìm
1 2
;A d B d
∈ ∈
sao cho AB ngắn nhất .
Gọi A(t;t;2t) và B(-1-2t
1
;-t
1
;1+t
1
) AB ngắn nhất khi nó là đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng d
1
và d
2
.
0,50
⇒
1
2
. 0
. 0
AB v
AB v

=



=


uuur ur
uuur uur
…….
⇒
tọa độ của
3 3 6
; ;
35 35 35
A
 
 ÷
 
và
1 17 18
; ;
35 35 35
B
− −
 
 ÷
 
0,50
Va 2,00
1 1. Trong mặt phẳng oxy cho
ABC
∆
có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B

có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương
trình
x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C .
M
C
B
H
A
+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là
(3;1)n =
r
AC có
phương trình 3x + y - 7 = 0
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ
AC
CM



……
⇒
C(4;- 5)
+
2 1
;
2 2
B B
M M
x y
x y

+ +
= =
; M thuộc CM ta được
2 1
1 0
2 2
B B
x y+ +
+ + =
0,25