SKKN một số DẠNG TOÁN về CÁCH dọc các yếu tố của đồ THỊ hàm số f’(x) CHO học SINH ôn THI THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁCH DỌC CÁC YẾU TỐ CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ F’(X) CHO HỌC SINH ÔN THI THPT QUỐC GIA

Họ và tên : Nguyễn Thị Mai
Chức vụ chuyên môn: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Từ năm học 2016-2017 cho đến nay Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi
mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn
toán được đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc
thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học
sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số
cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Nó đòi hỏi học sinh
không những phải có vốn kiến thức chắc chắn mà còn phải có một lượng kiến
thức rộng và đặc biệt phải linh hoạt trong cách tiếp cận các dạng toán. Chẳng
hạn như khi học về hàm số và đồ thị nếu như hình thức thi tự luận thì cách đặt
câu hỏi và cách tiếp cận bài toán hoàn toàn khác so với cách tiếp cận của bài
toán trắc nghiệm vì thế ta cần phải biết phân tích bài toán , loại bỏ các phương
án gây nhiễu để có được kết quả chính xác nhất. Có những bài học sinh dễ

dàng đưa ra đáp án nhưng có những bài việc lựa chọn lại vô cùng khó khăn và
phức tạp như bài toán sau: Nếu cho đồ thị của hàm số y = f '( x) thì có thể
y = f ( x)
kết luận về tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số
g x 2f

A. g 3

y f x . Đồ thị của hàm số y f x

x
g

không? Ta xét ví dụ sau:

x 1
3

2

như hình bên. Đặt

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

g1.

B. g

3

g3

y

g1.

4

C. g 1 g 3 g 3 . D. g 1 g 3 g 3 .
3

Khi gặp bài toán này học sinh sẽ gặp phải một số khó khăn :

2
O 1 3 x
2

- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số y f x .
- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số y f ' x .

Đứng trước các vấn đề trên tôi thấy trong quá trình giảng dạy cần phải tổng
quát hóa để phân dạng và đưa ra phương pháp giải cho học sinh dễ dàng nhận
biết và từ đó biết cách đọc các yếu tố trên đò thị f’(x). Vì thế mà tôi chọ đề tài
“ Một số dạng toán về cách đọc các yếu tố của đồ thị hàm số f’(x) cho
học sinh ôn thi THPTQuốc gia”
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y = f '( x) với các
vấn đề của hàm số y = f ( x) . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại

kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2018 – 2019 và
các năm tiếp theo
III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
2


Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong
chương trình SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của
hàm số y = f '( x) .
IV. CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận và phương pháp
giảng dạy môn toán đã học tôi tập trung vào các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra quan sát thực tiễn
- Thực nghiệm sư phạm

3


PHẦN II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số

y = f ( x) với trục hoành là nghiệm của phương
y

trình hoành độ giao điểm f ( x) = 0.
Ví dụ minh hoạ:

a

b

O

c

x

Hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên.
Suy ra phương trình f ( x) = 0 có 3 nghiệm ( x = a; x = b; x = c)
2. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến
thiên.
Bảng 1:

Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại điểm x = x0 .
Bảng 2:

Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = x0 .
3. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng
biến thiên.
Bảng 3:

Ta có:

min y = f x
( 0).
[]
a ;b

4


Bảng 4:

Ta có:

max y = f x
( 0).
[]
a ;b

Bảng 5:

Bảng 6:

Ta có: min y = f ( a ; max y = f ( b )
) [a ; b

[a ;b]

]

.

Ta có: min y = f ( b ; max y = f ( a )
) [a ;b]

[a ;b]

.

4. Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số dưới dấu tích phân, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b ( a
b

ò f ( x ) dx > 0.
a

b

ò f ( x ) dx <0.
a

5


b

f( x

ò

dx S S
)

b

S.
=1- 2+

ég ( x )

3

-

òë

a

f(

a

x ùdx 0
)

û

b

<

f

(

( )

é
òë

x

- g

ù
x

)û

dx > 0

a

b

5. ò f ' ( x ) dx = f (b ) - f ( a) .
a

6. Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số y = f ( x)

có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:

1) Hàm số y = f ( x ) +a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên

trên a đơn vị.
2) Hàm số y = f ( x ) - a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống
dưới a đơn vị.
3) Hàm số y = f ( x +a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua
trái a đơn vị.
4) Hàm số y = f ( x - a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua
phải a đơn vị.
5) Hàm số y = f ( x

ì
ï f ( x ) khi x > 0 có đồ thị (C’) bằng cách:

) =í f (- x )
ïï

î

khi x £

0

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần (C) nằm bên trái Oy

.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy .
6) Hàm số y = f ( x) ïì f ( x ) khi f ( x) > 0 có đồ thị (C’) bằng cách:
=í - f ( x ) khi f ( x) £
ï
î
ï

0

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm
dưới trục Ox
6


II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
- Trong chương trình toán học phổ thông ở SGK; SBT thậm chí một số sách
đọc thêm cũng chỉ nói rất sơ sài về phần này nếu có chỉ một vài ví dụ và nó
không mang tính tổng quát.
- Nhiều học sinh tuy rằng nắm rất vững kiến thức toán học về mặt lý thuyết
nhưng khi gặp những dạng toán này cũng rất lúng túng không biết vận dụng
như thế nào.
- Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán đồ thị
đạo hàm là những bài toán vận dụng cao là nhiều gặp những bài toán đó thì
đòi hỏi học sinh ngoài việc thành thạo các công thức toán học mà phải hiểu
biết và làm nhiều để có kinh nghiệm có thể suy luận giải quyết các bài đã ra
một cách đầy đủ và chính xác.
Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào
để giúp học sinh khi đứng trước những bài toán có đồ thị đạo hàm như thế.
III. GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
y = f ( x ) ; y = f ( x ± a ) ; y = f ( x ±ax)

Bài 1: Hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số
y = f '( x) trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x) trên

K.
y
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y = f '( x) cắt trục
Ox tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị
y = f '( x) tiếp xúc với trục Ox . Ta chọn đáp án B.
Nhận xét: xét một thực a dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại
là: Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x +a) hoặc y = f ( x - a)
trên K , thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý số cực trị của các hàm số
y = f ( x) , y = f ( x +a) và y = f ( x - a) là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt
cực trị tại các giá trị x0 khác nhau!
Giả thiết ở bài 1 và các bài sau có thể thay đổi theo

1
x

hướng như sau:
Hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K và có đồ thị
như hình vẽ. Biết y = g ( x) là một nguyên hàm của
hàm số y = f ( x) . Tìm số cực trị của hàm số y = g ( x)
trên K .
7


Bài 2: Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó
trên K , hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Bài 3: Cho hàm số f x xác định trên R và có đồ thị của
hàm số f x như hình vẽ bên. Hàm số f x 2018 có mấy
điểm cực trị?
A. 1.
B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Hướng dẫn:

f x

y

O

đồ thị hàm số f ' ( x +2018) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm

x

số f x theo

phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x +2018) vẫn cắt trục hoành tại 3
điểm.Ta chọn đáp án C.
Bài 4: Cho hàm số f x xác định trên R và có đồ thị

của hàm số f x như hình vẽ . Hàm số
y = g ( x ) = f ( x ) +4x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Hướng dẫn: y ' = g ' ( x ) = f ' ( x) +4 có đồ thị là phép
tịnh tiến đồ thị hàm số f '( x) theo phương Oy lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số g ' ( x) cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.
Bài 5: Cho hàm số f x xác định trên R và có đồ thị
của hàm số f x như hình vẽ . Hàm số
y = g ( x ) = f ( x ) - 3x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Hướng dẫn:

8

y ' = g ' ( x ) = f ' ( x) - 3 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số f x theo

phương Oy xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g ' ( x) cắt trục hoành
tại 3 điểm, ta chọn đáp án C.
Bài 6: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡
. Hàm số y = f '( x) có đồ thị như
y

2017 - 2018x

hình vẽ. Hàm số
y = g ( x ) = f ( x) +

có bao nhiêu
5

2017

cực trị?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

2
1

Hướng
dẫn:

x1

x2 x

x
3

y
5
2

1

x

x2
x

x3

1

Ta có y ' = g ' ( x ) = f '( x) - 2017

2018

. Suy ra đồ thị của hàm số g ' ( x) là phép

tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo phương Oy xuống dưới 2017

2018

Ta có 1 < 2017

2018

đơn vị.

< 2 và dựa vào đồ thị của hàm số y = f '( x) , ta suy ra

đồ thị của hàm số g ' ( x) cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
Bài 7: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị của hàm
số y = f '( x) như hình vẽ sau. Đặt g ( x ) = f ( x ) + x . Tìm
số cực trị của hàm số g ( x) ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng
dẫn:
Ta có g ' ( x ) = f ' ( x) +1. Đồ thị của hàm số g ' ( x) là
phép tịnh tiến đồ thị của hàm số y = f '( x) theo

9

phương Oy lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số g ' ( x) cắt trục hoành tại
hai điểm phân biệt, ta chọn đáp án B.
Bài 8: Cho hàm số y = f ( x) . Biết f ( x) có đạo hàm f '( x) và hàm số
y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt g ( x ) = f ( x +1) . Kết luận nào sau đây
đúng?
A. Hàm số g ( x) có hai điểm cực trị.
B. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (1;3) .
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( 2; 4) .
D. Hàm số g ( x) có hai điểm cực đại và một điểm cực
tiểu.
Hướng dẫn:
éx

( )

(

x=f'

Cách 1 : g '

)

x +1 = 0 Û

ê
ê

ê
x

é = 0
x

1 1
+=

+1 = 3 Û

(

f 'x

)=

1

0
>

( - )

é1
ê

<

Ûê

y,

0

x

ë

0

-

=2

x

x

x +1 > 5

ë
x

ê

ê

ê +1= 5
ê =4
ë
ë

x 1 3 é0 < x < 2
+< Ûê
ê >4
x

g' x

ê

2
+

0

4
-

0

+

y

Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Đồ thị hàm số g 'x ) = f ' x +1

f '(x)

g'(x)

là phép
tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo phương
trục hoành sang trái 1 đơn vị.
(

(

)

10


g'(x)

f '(x)

Ta thấy trên khoảng ( 2; 4 ) đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x +1
hoành nên hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( 2; 4) , ta chọn đáp án C.
) nằm bên dưới trục

Bài 9: Cho hàm số y f ( x ) . Đồ thị của hàm số

y f , ( x ) như hình bên. Đặt

g ( x ) 2 f ( x ) ( x 1)2 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g (1) g (3) g( 3) .

B. g (1) g ( 3) g(3) .

C. g (3) g ( 3) g(1) .

D. g (3) g ( 3) g(1) .

Hướng dẫn:
Ta có:
g'

x

2f' x 2

x 1 2 f' x

x 1g '

x

2 x 1

f'

x Ta vẽ đường thẳng

y =- ( x +1) .

S1
S2

3

g 1

3

g ' x dx 2

g 3
1

x 1

3

g 3

g

f ' x dx 0

g 3

g 1.

1

3

1

g' x
3

dx 2

1

3

x 1

f ' x dx 2

3

x 1f'

x dx 2 S

2

2S 0

1

g 3 g3

Như vậy ta có: g (1) g (3) g( 3) Ta chọn đáp án A.

11


Dạng 2 ; Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất hoặc so sánh các giá trị
của hàm số y f x
y

Bài 1: Cho hàm số y f x
xác định và liên tục trên
y f x
2; 2 , có đồ thị của hàm số
như hình bên.
Tìm giá trị x0 để hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất

x
21O1

trên 2; 2 .
A. x0 2 . B. x0

1. C. x0

2.

D . x0

2

1.

Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
x

-1

-2

y,

+

1

0

2

+0

-

f( 1

)

y

Ta chọn đáp án D.
Bài 2: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x được cho như
hình vẽ bên. Biết rằng

f 0 f 3 f 2 f 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của
f x trên đoạn 0;5 ?
A. m f 0 , M f 5 . B. m f 2 , M f 0 .
C. m f 1 , M f 5 . D. m f 2 , M f 5 .

Hướng dẫn:
x

0

y

,

0
f ( 0)

y

5

3

2
0 +

+
f

3

()

f( 5

)

f ( 2)
min f x = f
é ù

ê

0;5

ë

()

2

( ) và

f 0 f 3 f 2 f

5f 0 f 5 f 2 f 3 0

ú

û

ff(0) <

(5)
12


Bài 3 : Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x
được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f 0 f1
2f 2 f
4 f 3 . Tìm giá trị
nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x
trên đoạn 0; 4 ?
A. m f 4 , M f 2 . B. m f 4 , M f 1 .
C. m f 0 , M f 2 . D. m f 1 , M f 2 .

Hướng dẫn:
x

0
y, 0

1
+

3

2
0

4

f ( 2)
y

f ( 0)

f ( 4)

Dựa vào BBT ta có M = f ( 2) , GTNN chỉ có thể là f ( 0) hoặc f ( 4)
Ta lại có:

f 1 ; f 3 < f ( 2 )Þ f 1 + f
()

(

3 < 2 f (2 ) Û 2 f ( 2 ) - f 1 - f
()

(

)

3>0
()

(
)

)

f 0 f

1 2f 2 f

4 f

3 f

0 f

4

2f 2 f

3 f

1

0 f 0 f

Ta chọn đáp án A.
Bài 4: Cho hàm số y f x

có đạo hàm f x

tục trên R và đồ thị của hàm số

f x

liên

trên đoạn

2; 6 như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong

các khẳng định sau.

A.

max f x f 2
x 2;6

.C. max f x
x

x 2;6

Hướng dẫn:
x
y,

B. max f x f 2

-2
+

2;6

f 6 .D. max f x
x

f

1.

2;6

Từ đồ thị của hàm số y = f '( x) ta có bảng biến thiên như sau:
-1
0

2
0

6
+

13

4 .


f( -1

f (6

)

y

)

Ta có:
f (6 )- f ( - 1 =
)

đáp án C.

6

ò

f ' x dx =
(

2

)

f ' x dx +

ò

-1

(

)

-1

Bài 5: Cho hàm số y f x

6

ò

f ' x )dx >0 Þ f ( 6 ) > f ( - 1
(

) .Ta chọn

2

có đạo hàm f x liên tục trên R và đồ thị của

hàm số f x như hình vẽ. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. f ( b ) > f ( c) và f ( c ) > f ( a) .
B. f ( b ) > f ( c) và f ( c ) < f ( a) .
C. f ( b ) < f ( c) và f ( c ) > f ( a) .
D. f ( b ) < f ( c) và f ( c ) < f ( a) .

Hướng

dẫn:

f(b)- f(c)
f(c)- f(a)

b

= ò f ' ( x ) dx > 0 Û f
c
c

(b ) > f ( c) .
( c ) > f ( a) .

= ò f ' ( x ) dx > 0 Û f
a

Ta chọn đáp án A.
b
d
Bài 6: Cho các số thực a , ,
c , thỏa mãn
0 a b c d và hàm số
y f x
y f x . Biết hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f x
trên 0; d . Khẳng định nào
sau đây là khẳng định đúng?
y
a

bc d

x

O

14


A.M m

f0

fc

B. M m f d

f c . C.M

f a . D. M

m fb

fa.

m f0

Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên:

x

0

y,
y

b

a

f (0

0+

0

- 0

f (b

)

+
f (d

)

f ( a)

*

d

c

)

f ( c)

So sánh f ( a ) ; f ( c)
f(c)-

c

b

c

f ( a ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx +ò f ' ( x ) dx <0
a

a

b

b

a

b

0
d

0
c

a
d

Þ f (c ) < f ( a ) Þ m = f (c).

So sánh f ( 0 ) ; f ( b ) ; f ( d ) .
f(b)-

Þ f (b ) < f ( 0 ) .
<0
f ( 0 ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx + ò f ' ( x ) dx

f(d)-

Þ f ( d ) < f ( b) .

f ( b ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx + ò f ' ( x ) dx < 0
b

b

c

Þ f ( d ) < f ( b ) < f ( 0 ) Þ M = f ( 0) . Ta chọn
đáp án A.
Bài 7 : Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên
tục trên đoạn [- 1; 2], có đồ thị của hàm số
y = f '( x) như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây

đúng ?
A. max f ( x ) = f (- 1) .

f

[- 1;2]

-1

y,
y

a

f( - 1

(

)

(

)

(

[- 1;2]

Hướng dẫn :
x

B. max x = f 2 . C. max f x = f 1 . D.

0

1

+

)

()

[- 1;2]

0
f ( 1

0

max f

[- 1;2]

3
2

-

æö3
x

f

è2

.

ø

()= ç ÷

2

+
f ( 2)
15


f æö3

f ( a)

*

ç ÷

è2ø
f 1- f
()

1

-1=
(

)

ò

dx = a f ' x dx + 1 f ' x dx > 0 Þ f 1 > f

f' x
(

)

ò

-1

(

)

()

2
ò

f 2 - f 1=

(

)

ò

-1

( )

1,5
ò

f ' x dx =

1

(

)

()

-1
(

).

a

( )
f ' x dx +

1

2
ò

(

)

(

)

().

f ' x dx >0 Þ f 2 > f 1

1,5

Ta chọn đáp án B.
Dạng 3 : Nhận biết mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số y f x , y =
f '( x) , y f '' (x)
Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương
pháp.
PP1: Đồ thị hàm số f '( x) cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị
của đồ thị hàm số f ( x) .
PP2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có). Sau đó
dựa vào tính chất sau.
f ' ( x ) > 0, "x Î K Þ f ( x) tăng trên K ; f ' ( x ) <0, "x Î K Þ f ( x) giảm trên K .
Minh hoạ bằng hàm số y = sin x .

Bài

1: Cho

đồ thị của ba
hàm số
y f (x); y f '(x); y f '' (x) được vẽ mô tả ở
hình
dưới
đây.
Hỏi
đồ
thị
các
hàm số
y f (x); y f '(x); y f '' (x)
theo thứ tự, lần lượt

tương ứng với đường cong nào ?
A.C3;C2;C1.

B.C2;C1;C3.

16


C.C2;C3;C1.

D.C1;C2;C3.

Hướng dẫn:
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C2 ) cắt trục Ox tại 2
điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số
( C3 )
Đồ thị ( C1 ) cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực
trị của của đồ thị hàm số ( C2 ) Ta chọn đáp án
A. Bài 2: Cho đồ thị của ba hàm số
được vẽ mô tả ở hình dưới
đây. Hỏi đồ thị các hàm số y f (x); y f '(x); y f '' (x) theo
thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
y f (x); y f '(x); y f '' (x)

A

.C3;C2;C1

B.C2;C1;C3.
C. C2;C3;C1 . D.C1;C2;C3.

Bài 3 Cho đồ thị của ba hàm số
y f (x); y f '(x); y f '' (x) được vẽ mô tả
ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số
y f (x); y f '(x); y f '' (x) theo thứ tự,
lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. C1;C2;C3
C. C3;C2;C1

.

B. C2;C1;C3
D. C3;C1;C2.

Hướng dẫn:
Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng :

C3 ; C1 ; C2

C 2 ; C1 ; C3 . Quan sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị

hoặc

( C1 )

nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C3 ) “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các
khoảng mà đồ thị ( C2 ) nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C1 ) “đi lên” và
ngược lại. Ta chọn đáp án D .
Bài 4: Cho đồ thị của ba hàm số
y f (x); y f '(x); y f '' (x) được vẽ

mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các

17


hàm số y f (x); y f '(x); y f '' (x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong
nào ?
A. C1;C2;C3.B.C1;C3;C2
Hướng dẫn:

.C. C3;C2;C1.

Dựa vào phương pháp 1 có

hai khả năng :

D.C2;C3;C1.
C1 ; C3 ; C2

C 2 ; C3 ; C1 . Quan sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị

hoặc

( C3 )

nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C2 ) “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các
khoảng mà đồ thị ( C1 ) nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C3 ) “đi lên” và
ngược lại. Ta chọn đáp án D .
Bài 5 : Cho đồ thị của ba hàm số y f (x); y f '(x); y f '' (x) được vẽ mô tả ở hình dưới
đây. Hỏi đồ thị các hàm số

y f (x); y f '(x); y f '' (x) theo thứ tự, lần lượt
tương ứng với đường cong nào ?
A.C3;C2;C1.

B. C2;C1;C3

C. C2;C3;C1.D.C1;C3;C2.
Dạng 4: Đồ thị hàm số y = f’(x) và
bài toán thực tế
Bài 1: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào
thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục
đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s

24,25 (km) B. s

26,75 (km) C. s

24,75 (km) D. s

25, 25 (km)

Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường
parabol v ( t ) = at 2 + bt +c ( km / h) .
ì

ì

ï

ï

ï

ïc=6

ï
ï

Ta có: í 4 a +2b +c = 9

ï

-b
ï
ï

ï
ï

ï

î

2a

ï
ïc=6

ï
ï

ï
ï

=2

Þv(t)=

Ûíb=3
ï
ï

ïa=

ï

î

- 3

-3
4

2

t +3t +6 .

4

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
18


3
s òç

ö

t

-

0

2

æ3

=

+ 3t + 6÷dt =

è4

ø

99
4

» 24, 75. Ta chọn đáp án C.

Bài 2: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời
I 1 ;8 và trục
gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh
2

đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó
chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
A. s 4,0 (km)
B. s 2,3 (km)
Bài 3: Cho hàm số
3

C. s 4,5 (km)

D. s 5,3 (km)

v

9

2

y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b , c , d Î ¡ ; a ¹ 0) có đồ thị (C).
Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- 9 tại điểm
có hoành độ dương và đồ thị hàm số y = f '( x) cho bởi hình vẽ

bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị (C) và trục hoành?

O
234 t

A. 29.
B. 27.
C. 2.
D.
35.
Hướng dẫn: Ta có f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx +c . Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta
thấy đồ thị hàm số y = f '( x) đi qua 3 điểm (- 1;0 ) , ( 3, 0 ) , ( 1, - 4) ta tìm được:
2

1
a = 3 ;b =- 1;c =-

3 .Suy ra: f '( x ) = x - 2x - 3 Þ

1 3 2
f ( x ) = 3 x - x - 3x +C .

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y = - 9 tại điểm có hoành độ dương nên ta
có: f ' ( x ) = 0 Û x =- 1; x = 3 Þ x = 3.
Như vậy (C) đi qua điểm ( 3; - 9) ta tìm được C = 0 Þ f ( x ) = 1 x 3 - x 2 - 3x .
3

Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
1 x 3 - x 2 - 3 x = 0 Û x = 0; x =
3±3 5 .

3

2
3+3 5

S=ò

2

3- 3 5

1
3

x 3 - x 2 - 3x dx = 29,25. Ta chọn đáp

2

số A.

y

19

Bài 4: Cho hàm số
y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c ( a > 0) có đồ thị (C),

x
1

1


th hm s y = f '( x)

nh hỡnh v. Bit th hm s y = f '( x) t cc

tiu ti im ổ 3 ;- 8 3 ử . th hm s y = f ( x) tip xỳc vi trc honh ti
ỗ

3

9

ữ

ứ

ố

hai im. Tớnh din tớch S ca hỡnh phng gii hn bi th (C) v trc
honh?
A. 7.
B. 8 .
C. 14 .
D . 16 .
15

15

15

15

Hng
f '( x)
dn:
T th ca hm s y =
v a > 0 ta d dng
nh sau: Ta cú
cú c th hm s y = f '( x)
3
f ' ( x ) = 4 ax +2bx . th hm s y = f '( x) i qua
(

1;0) ,

ổ3

ỗố 3

; - 8 3ử
9

ữ ta tỡm c

ứ
a =1; b =- 2 ị f ' ( x ) = 4 x 3 - 4 x ị f ( x ) = x 4 - 2x 2 +C .

Do (C) tip xỳc vi trc honh nờn f ' ( x ) = 0 x = 0; x = 1. Do (C) i

xng qua trc tung nờn (C) tip xỳc vi trc honh ti 2 im (1;0 ) , ( 1;0) . Do ú: f ( 0) =1 ị C =1 ị f ( x ) = x 4 - 2 x2 +1.
Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) vi trc honh:
1

x 4 - 2 x 2 +1 = 0 x = 1. S = ũ

4

2

16

x - 2 x +1dx = 15 . Ta chn ỏp ỏn D.

-1

IV. HIU QU CA SNG KIN KINH NGHIM I VI HOT
NG GIO DC.
1. Kt qu thc hin
õy l vn m ó c tụi ỏp dng vo ging dy cho hc sinh trng
THPT Triu Sn 2 c th l hc sinh cỏc lp 12A3, 12A4 (khoỏ hc 2014-2017),
lp 12B3 (khoỏ hc 2015- 2018) v thu c kt qu tt a s cỏc em thc hnh
thnh tho v t tin hn trong cỏc bi toỏn c th hm s liờn quan n o
hm, tớch phõn. Sỏng kin kinh nghim ny cú th ỏp dng i vi tt c hc sinh
lp 12, tu theo tng chng m ta chia nh ni dung ca SKKN ra ging dy.
Sau khi ỏp dng tụi cm thy hi lũng vi kt qu trờn, a s cỏc em hiu v gii
quyt tt c vn .Kt qu thu c nh sau
Di
Trung
Lp

trung
Khỏ
Gii
Thi gian
bỡnh
bỡnh
Ln 1
12A3
13/43
21/43
7/43
2/43
ang
chm
20


Lần 2

12A4

15/40

19/40

5/40

1/40

12B3

10/42

23/42

8/42

1/42

12A3

2/43

6/43

22/43

13/43

12A4

6/40

8/40

22/40

4/40

11/42

22/42

9/42

12B3

Đang
chậm
Đang
chậm
Nhanh
hơn nhiều
Nhanh
hơn
Nhanh rõ
rệt

PHẦN 3. KẾT LUẬN
1. Kết luận
- SKKN đã tương đối thể hiện đầy đủ các dạng toán liên quan đến đồ thị của
hàm số y = f ' (x) và phương pháp giải.
- SKKN cũng đã đưa ra mộ số bài tập liên quan đến vật lý.
- SKKN cũng đã góp phần thay đổi tư duy từ tự luận sang trắc nghiệm.
- Là một dạng toán tổng hợp nên giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa các
kiến thức đã học, từ đó giúp học sinh hình thành tư duy phân tích, tổng hợp.
- Tôi hy vọng SKKN này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài
tập liên quan đến đồ thị của hàm số y = f ' (x) từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi
sắp tới.
2.Kiến nghị

- Tạo điều kiện để tổ chuyên môn được thường xuyên trao đổi rút kinh nghiệm
để dần nâng cao trình độ
21


- Tổ chức nhiều các hoạt động ngoại khoá toán học cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Triệu Sơn, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN mình
viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

NGUYỄN THỊ MAI

22


1.
2.
3.
4.
5.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích và bài tập Giải tíchb12; tác giả Trần Văn Hạo (Tổng Chủ
biên), nhà xuất bản Giáo dục.
Đề TN THPTQG năm học 2017-2018 của bộ GDĐT.

Đề minh hoạ 001 môn toán tháng 1 năm 2018 của bộ GDĐT.
Đề thi thử của một số trường chuyên và không chuyên trong nước.
Single variable CALCULUS early transcendentals, seventh editionJames Stewart.

HS:
GV:
THPT:
SKKN:
TN:

MỘT SỐ TỪ VI ẾT TẮT
Học sinh
Giáo viên
Trung học phổ thông
Sáng kiến kinh nghiệm
Tốt nghiệp

23