SKKN một số KINH NGHIỆM GIÚP học SINH TRÁNH SAI lầm KHI GIẢI TOÁN về tìm GIÁ TRỊ của BIẾN để BIỂU đạt GIÁ TRỊ NGUYÊN TRONG PHÂN môn đại số 9

Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

Năm học: 2014-2015

PHẦN I: PHẦN LÍ LỊCH
- Họ và tên: Trần Đăng Tiền.
- Chức vụ: Giáo viên – Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên.
- Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao.
- Tên sáng kiến kinh nghiệm:

“MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TRÁNH SAI
LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU
ĐẠT GIÁ TRỊ NGUYÊN TRONG PHÂN MÔN ĐẠI SỐ 9”

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 1


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

Năm học: 2014-2015

PHẦN 2: NỘI DUNG
A. MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
a, Thực trạng của vấn đề:

Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà người
thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi hỏi phải có thời gian,
kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn. Người học sinh
với sự nỗ lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm
độc lập công tác. Nhưng nếu Học sinh đứng một mình trước một bài toán mà không
có giúp đỡ nào, hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì được. Mặt khác
nếu thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải làm. Thầy giáo phải giúp
đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng không ít quá và như vậy để học sinh có một
công việc hợp lý.Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung
học cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thường gặp bài toán rút gọn biểu thức và tìm
giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, chúng thường được thiết kế dưới ý
tưởng của một bài toán phức tạp.
Dạng toán tìm giá trị nguyên của biểu thức là sự phối hợp nhiều luồng kiến
thức, kĩ năng giải toán. Bài toán đòi hỏi người làm toán phải hiểu biết sâu sắc, linh
hoạt trong sử dụng. Người làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến
thức, đồng thời tập cho chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp Toán
học.
Là giáo viên dạy Toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp lại thành
một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một cách có hệ thống nhằm
cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy
tính tích cực, chủ động, tự giác học tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải
một số bài toán nhanh, gọn và tiết kiệm được thời gian .
Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi và đặc
biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong hoạt động
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 2


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

Năm học: 2014-2015
học tập. Với các lý do nêu trên tôi có ý tưởng xây dựng đề tài: “Một số kinh
nghiệm giúp học sinh tránh sai lầm khi giải Toán về tìm giá trị của biến để biểu
thức đạt giá trị nguyên trong phân môn Đại số 9”.
b, Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
Theo đề tài này khi đưa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau:
Nhằm nâng cao chất lượng “Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt
giá trị nguyên”. Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết
quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ
túi khối THCS, học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng toán
“Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên ”. Góp phần nâng
cao chất lượng dạy học toán và các bộ môn khác ngày càng cao hơn.
Thực tế qua theo dõi chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở khối 9 có áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm trên thì tôi thấy rằng đa số các em tích cực tư duy, hứng thú với
bài tập mới, kiến thức mới hơn so với các lớp còn lại. Đặc biệt là trong lớp luôn có
sự thi đua tìm ra cách giải hay nhất, nhanh nhất. Không khí lớp học luôn sôi nổi,
không gò bó, học sinh được độc lập tư duy. Điều hứng thú hơn là phát huy được trí
lực của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học hứng thú
trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới.
c, Phạm vi nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 9A ở trường THCS Đình cao – huyện Phù Cừ - Tỉnh Hưng Yên.
2. Phương pháp tiến hành
a, Cơ sở lý luận và thực tiễn
Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính
nghệ thuật. Do đó đòi hỏi người giáo viên cần có năng lực sư phạm vững vàng,
phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích cực giúp học sinh chủ động trong
việc chiếm lĩnh kiến thức. Việc tạo cho học sinh niềm hứng thú trong học tập “Tìm
giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên ” hoàn toàn phụ thuộc vào
năng lực sư phạm của giáo viên . Ngoài việc lên lớp người giáo viên phải không
ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để làm sao có thể truyền thụ cho học

sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả năng tiếp thu
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 3


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
của từng đối tượng học sinh.

-

Năm học: 2014-2015

Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay ở trường THCS là tích
cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,
nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn:
tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt
hiện nay toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc vận động “Xây dựng
trường học thân thiện, học sinh tích cực ” thì việc tạo hứng thú học tập cho học
sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin trong học tập, khơi dậy trong các em
ý thức “mỗi ngày đến trường là một ngày vui”
Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi có nhiều
năm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, Toán trên máy tính
tại trường THCS Đình Cao tôi thấy rằng:
+) Với học sinh :
Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, các em thường gặp bài toán “ Giá trị
nguyên của biểu thức”. Đối với những bài toán này, các em thường tỏ ra lúng
túng và hay mắc phải sai lầm. Chẳng hạn bài toán : “ Tìm giá trị nguyên của biến
để biểu thức nhận giá trị nguyên” khác với bài toán : “Tìm giá trị của biến để

biểu thức nhận giá trị nguyên”. Bên cạnh đó, các em còn lúng túng không biết bắt
đầu từ đâu khi găp dạng toán này. Điều này khiến các em rất ngại khi phải tiếp
xúc với những bài toán về “Giá trị nguyên của biểu thức” - ngay với cả các em
học sinh khá và giỏi cũng vậy !
+) Với giáo viên :
Là một giáo viên dạy Toán, tôi nhận thấy dạng toán về “Giá trị nguyên của
biểu thức” rất hay và quan trọng đối với các em học sinh trung học cơ sở . Đây là
dạng toán rất phổ biến trong các kì thi - đặc biệt là các kì thi học sinh giỏi môn
toán từ lớp 6 đến lớp 9. Mà với các em học sinh, phương pháp để giải loại toán
này còn nhiều hạn chế. Tôi muốn cùng các em học sinh của mình “tháo gỡ” vấn
đề này.

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 4


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Năm học: 2014-2015
- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời
giải cho
- Các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ
này chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng được”.
Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần
học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình.
Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên
song không vận dụng được vào cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương
pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung
sách giáo khoa hiện hành.
b, Các bước tiến hành

*Nghiên cứu tài liệu : SGK - Sách tham khảo; tạp trí toán học Tuổi trẻ.
*Sử dụng phương pháp phân tích đi lên (xuống), tổng hợp của dạy học
* So sánh, tổng kết.
*Kết hợp với hội đồng sư phạm nhà trường cùng nghiên cứu vận dụng kiến thức
hợp lý không quá sức học sinh trong khuôn khổ chương trình học .
- Tổng kết kinh nghiệm bằng thực tế giảng dạy (đặc biệt là bồi dưỡng học
sinh giỏi) của bản thân và đồng nghiệp. Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nói chung
và giải toán trên máy tính nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm được những công
việc sau:
- Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn những em học khá Toán trở
lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán.
- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán.
- Soạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dưỡng học sinh
giỏi phải hệ thống, phân loại được từng dạng Toán ở khối được phân công bồi
dưỡng
- Lên kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi theo từng tuần .
- Thường xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quan trên
mạng internet.
* Thời gian tạo giải pháp:
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 5


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Năm học: 2014-2015
Từ đầu năm học 2014 – 2015 đến 15 tháng 3 năm 2015.
B. NỘI DUNG
1. Mục tiêu
Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng trong học sinh khối 9, mà khả năng

nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học sinh còn thiếu động cơ học tập,
lười học, không tích cực học tập vì cho rằng đây là chuyên đề khó không quan
trọng, không thiết thực vậy việc phát huy tính tích cực của một số học sinh đó rất
hạn chế. Hơn nữa những học sinh trên ít được sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi
hỏi sự cố gắng tận tâm của người thầy dần giúp các em hòa nhập với khả năng
nhận thức chung cuả môn học.
Rèn luyện “Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên ” là
một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năng mới cho học sinh phương
pháp luyện tập thông qua bài tập là quan trọng để nâng cao chất lượng dạy và học
bộ môn. Với học sinh họat động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu được qua bài
giảng thành kiến thức của mình, kiến thức được nhớ lâu khi được vận dụng thường
xuyên.
- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong phú, hấp
dẫn.
- Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt nhất kiến
thức đã học.
- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh.
* KHẢO SÁT ĐÁNH GIÁ :
Ngay từ đầu năm học 2014-2015 khi được phân công giảng dạy lớp 9A với
sĩ số 42 HS tôi đã tiến hành khảo sát thực tế như sau:
Cho HS làm bài kiểm tra 15 phút
Đề bài: Cho biểu thức M =

a +6
. Tìm các số nguyên a để M là số nguyên
a +1

Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải là:
35/42 chiếm tỉ lệ: 83,3 %

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 6


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Năm học: 2014-2015
Trong bài kiểm tra chương I - Đại số 9 của năm học 2014-2015 của 42 học sinh
lớp 9A thì số học sinh không giải được và mắc sai lầm khi giải câu 5 bài toán về
tìm giá trị nguyên là 34/42 chiếm 81 %
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về tìm giá trị
nguyên là tương đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh được
khi làm bài tập trong năm học 2014-2015 này là một công việc vô cùng quan trọng
và cấp thiết trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS
Đình Cao.
2. Giải pháp của đề tài
Trong quá trình giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi luôn bám sát
kiến thức cơ bản , trọng tâm và lưu ý học sinh :
- Nắm vững cách rút gọn phân thức .
- Nắm vững phép cộng , trừ phân thức .
- Có kĩ năng thực hiện phép chia đa thức .
- Tìm đúng đủ ước nguyên của một số nguyên.
- Có kĩ năng tách ( thêm , bớt ) số .
-Nắm vững các tính chất chia hết của một tổng ( lớp 6 ) .
- Quan sát biểu thức một cách linh hoạt .
2.1: VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC
NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN:
Ta có thể giải như sau:
Dạng 1/ Tách phần nguyên:

A
k
=C +
B
B

Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó

A
nhận giá
B

trị nguyên ⇔ B nhận giá trị là ước nguyên của k. Vì vậy ta cần tìm các ước k i của k
và giải các phương trình B = ki rồi tìm các giá trị nguyên của biến.
* Gặp trường hợp này học sinh hay mắc phải sai lầm là không táh được tử và
mẫu để rút gọn, không tìm đủ các ước nguyên của hằng số.
Tôi đã đưa ra ví dụ mẫu cho học sinh nhận thức đầy đủ hơn khi làm bài

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 7


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
Giải:

Ta có A =

2x − 5
3
=2 −
x −1
x −1

Năm học: 2014-2015

2x − 5
nhận giá trị nguyên?
x −1

Điều kiện xác định của A: x ≠ 1

Khi x ∈ Z ta có x -1 ∈ Z, vậy A ∈ Z ⇔

3
nhận giá trị nguyên
x −1

⇔ x -1 nhận giá trị là ước nguyên của 3

x − 1 = 1
x = 2
x − 1 = −1 x = 0
⇔
⇔
(thoả mãn x ∈ Z)

x − 1 = 3
x = 4


x − 1 = −3 x = −2

Và thỏa mãn Điều kiện xác định
Vậy với x ∈ { 2;0; 4; −2} thì biểu thức nhận giá trị nguyên.

x2 − 3x + 2
Ví dụ 2:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 2
nhận giá trị nguyên ?
x − 6x + 5
Giải :

x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2)
Ta có B = 2
=
x − 6x + 5 (x − 1)(x − 5)
Điều kiện xác định của A: x ≠ 1 ; 5 thì B =
Khi x ∈ Z ta có x -5 ∈ Z , vậy A ∈ Z ⇔

x −2
3
=1+
x −5
x −5

3
∈Z

x −5

⇔ x-5 nhận giá trị là ước nguyên của 3
 x −5=1
 x =6
 x −5=−1  x =4
⇔
⇔
(T / M x∈Z )
 x −5=3
 x =8


 x −5=−3  x =2

Và thỏa mãn Điều kiện xác định
Vậy với x ∈ { 6; 4; 8; 2 } thì biểu thức nhận giá trị nguyên .
* Một vấn đề đặt ra : khi phần dư không chỉ là một hằng số, mà phần dư là một
biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B?
Khi đó ta viết

A
K
= C + . Do hiểu sai bản chất vấn đề nên một số học sinh
B
B

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 8

Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
cho rằng :

-

Năm học: 2014-2015

A
nhận giá trị nguyên là phép chia A cho B có dư bằng 0, nên tiến
B

hành giải phương trình: K = 0 để tìm giá trị của biến, vì vậy lời giải sai bản chất
và thiếu nghiệm.
Chúng ta phải hiểu đây không phải là bài toán chia hết của đa thức mà phải
là “giá trị của biểu thức A chia hết cho biểu thức B” nên phải tìm giá trị của biến
để “giá trị của biểu thức K chia hết cho giá trị của B”.
Khi đó với các em có thể dùng tính chất chia hết của số nguyên để biến đổi
bài toán về dạng 1
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

x −1
nhận giá trị nguyên
2 x 2 +1

Điều kiện xác định của biểu thức: mọi x
Giải : Giả sử tồn tại x ∈ Z để (x -1)  (2x2+1)
⇒(x2 − 1)(2x2 + 1)

⇒ (2x2 + 1− 3)(2x2 + 1)
⇔−3(2x2 +1)

⇔2x2 +1∈{1,3}

⇔ x∈{− 1;0;1}
Thử lại: với x = -1 thì biểu thức nhận giá trị -

2
∉Z (loại )
3

với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1 ∈ Z
với x = 1 thì biểu thức nhận giá trị 0 ∈ Z
Vậy với x = 0 ; 1 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Lưu ý : Đối với cách làm này , ta nhất thiết phải có bước thử lại rồi mới kết luận
vì trong quá trình làm ta đã dùng tính chất :
a  b ⇒ a.c  b (c∈ Z ) mà a.c  b có được a  b chỉ khi (b,c) = 1.
Với học sinh lớp 9 các em có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình để
tìm miền giá trị của biểu thức

K
.
B

Trên cơ sở đó tìm các giá trị nguyên có thể có

của biểu thức.
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 9


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

Năm học: 2014-2015

x 4 + x 3 − 3x − 1
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A =
x2 + x +1
nhận giá trị nguyên.
Điều kiện xác định của biểu thức: mọi x
2
Ta có: A = x − 1 −

2x
x + x +1
2

Với x ∈ Z ta có x2 - 1 ∈ Z nên A ∈ Z ⇔ y =

2x
nhận giá trị nguyên.
x + x +1
2

Giả sử m là 1 giá trị của biểu thức. Khi đó tồn tại x để m =

2x
x + x +1
2

⇔ phương trình: 2x = m (x2+x+1) có nghiệm x.
⇔ mx2 + (m - 2)x + m = 0

(1) có nghiệm

+) Xét m = 0 phương trình có nghiệm x = 0
+) Xét m ≠ 0 phương trình có nghiệm ⇔ ∆ = (m -2)2 – 4m2 ≥ 0
⇔ - 2 ≤m≤

2
3

Do đó điều kiện để phương trình có nghiệm là - 2 ≤ m ≤

(m ≠ 0)
2
3

⇒ Những giá trị nguyên của m có thể đạt được là m ∈ { -2 ; -1 ; 0 }

+) Với m = -2 ta có phương trình : 2x2 + 4x +2 = 0 ⇔ x= -1 ∈ Z
+) Với m = -1 ta có phương trình : x2 +3x+1 = 0
∆ =9 - 4 = 5 không chính phương ⇒ phương trình có nghiệm x ∉ Z (loại)

+) Với m= 0 ⇒ x = 0∈ Z
Vậy x= 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Lưu ý: Khi giải bài tập tìm giá trị nguyên của phân thức theo phương pháp
miền giá trị thì biểu thức ở mẫu là biểu thức nguyên không đổi dấu.
2.2: KHI NÓI VỀ MIỀN GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC TA CÓ THỂ ĐỀ CẬP
ĐẾN NHỮNG BÀI TOÁN SAU:
Bài 1: Tìm x để biểu thức y =

x2 + x + 4
nhận giá trị nguyên.
x2 + x + 2

Ở bài này học sinh đọc lướt qua thấy thật là dễ ?
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 10


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

Rất nhiều học sinh đã giải: y = 1 +

Năm học: 2014-2015

2
và yêu cầu (x2 + x + 2) là ước của 2
x +x+2
2

Mà quên mất rằng x ∈ R thì biểu thức x2 + x + 2 không phải lúc nào cũng có giá

trị nguyên.
Ở đây x2 + x + 2 > 0 nên các em thử dùng miền giá trị để xét xem y có thể nhận
những giá trị nguyên nào nhé!
Giải : y =

x2 + x + 4
2
=
1
+
nhận giá trị nguyên khi
x2 + x + 2
x2 + x + 2

nhận giá trị nguyên . Mà x2 + x + 2 ≥
Vậy giá trị nguyên của

7
4

=> 0 <

2
x2 + x + 2

2
8
≤
x + x +2 7
2

2
là 1
x +x +2
2

2
=1 => x2 + x + 2 = 2
x +x +2
2

=> x1 = 0 ; x2 = - 1
Khi đó y1 = y2 = 1 + 1 = 2
Vậy giá trị cần tìm của x là : 0 , -1 khi đó giá trị nguyên của y là 2
 x
3  x +1
−
.
Bài 2: Cho biểu thức C = 
x +1 x +1
 x +1

a, Rút gọn biểu thức
b, Tìm x để C nhận giá trị nguyên.
Điều kiện xác định của biểu thức: mọi x ≥ 0
Ta dễ dàng thu được kết quả rút gọn C =
Khi đó C = 1 nên 0 <

x −3
( x ≥ 0)

x +1

4
4
nhận giá trị nguyên khi
nhận giá trị nguyên. Mà x ≥ 0
x +1
x +1

4
4
≤ 4 . vậy các giá trị nguyên có thể có của
là 1, 2, 3, 4.
x +1
x +1

*)

4
=1 ⇒ x =3 khi đó C=0
x +1

*)

4
=2 ⇒ x = 1 khi đó C = -1
x +1

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 11


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

*)

4
1
=3 ⇒ x = khi đó C = -2
x +1
3

*)

4
= 4 ⇒ x = 0 khi đó C = -3
x+1

Năm học: 2014-2015

Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tương ứng của x
là 3, 1,

1
, 0.
3

Ngoài việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị
của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức.
Bài 3: Tìm giá trị nguyên của biến x giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của
hàm số:
y=

4x
x2 +1

Giải: Giả sử y0 là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để
y0 =

4x
⇔ phương trình y0x2 - 4x +y0 = 0 có nghiệm
2
x +1

*)Xét y0=0 phương trình có nghiệm x = 0.
*)Xét y0 ≠ 0 phương trình có nghiệm ⇔ ∆' =4 -y02 ≥ 0
⇔ -2 ≤

y 0 ≤ 2 (y0 ≠ 0)

Vậy giá trị của y để phương trình có nghiệm là -2 ≤ y ≤ 2
⇒ ymin = -2 khi x = -2

ymax=2. khi x = 2
Bài 4: Cho biểu thức B =

( x 3 − 3) 2 + 12x 2

+ ( x + 2) 2 − 8x
2
x

a, Rút gọn B.
b, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
* Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định của biểu thức: x ≠ 0
x2 + 3
Học sinh sẽ phải rút gọn được P = x + x − 2

Rồi xét các điều kiện của x để rút gọn tiếp.
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 12


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Trong sáng kiến này tôi chỉ bàn đến câu b.

-

Năm học: 2014-2015

Đa số học sinh đều mắc phải sai lầm là dựa vào các kết quả câu a để tìm giá trị
nguyên. Như vậy sẽ rất phức tạp mà có khi rơi vào bế tắc.
Tôi hướng dẫn học sinh nhìn vào kết quả rút gọn tổng quát để giải câu b.
• Nếu x nguyên thì x − 2 nguyên
2
2

Do vậy để P nguyên thì x + 3Mx . Mà x Mx nên 3Mx . Vậy x ∈ { ±1; ±3 }

Bài 5( Bài thi trong vòng 17 Violympíc Toán 9 năm học 2013 – 2014)
Cho phương trình

x 2 − px − 288 p = 0

Trong đó p là số nguyên tố. Tìm giá trị của p để phương trình có 2 nghiệm nguyên.
Đa số học sinh khi gặp bài tập này đều rơi vào bế tắc. Không tìm ra được lối thoát.
Hoặc có biết hướng giải nhưng không nắm được dấu hiệu chia hết, không hiểu rõ
về số chính phương. Tôi đã hướng dẫn học sinh như sau:
• Hướng dẫn giải.
Phương trình có nghiệm khi ∆ = p 2 + 912 p = p( p + 912) ≥ 0
Vì p là số nguyên tố nên ∆ > 0 .
Để phương trình có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là ∆ là số chính phương.
⇒ p + 912Mp ⇒ 912Mp

Vì 912= 24.3.19 nên p ∈ { 2;3;19}
Với p = 2 thì ∆ = 1828 không là số chính phương.
Với p = 3 thì ∆ = 2745 không là số chính phương.
Với p = 19 thì ∆ = 17689 = 1332 suy ra

∆ = 133 .

Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên là 76 và -57.
Trước khi kết thúc bài viết tôi đưa ra một số bài tập để các em luyện tập:
Bài 1: Tìm x ∈ Z để biểu thức nhận giá trị nguyên.
2
x+2
2x + 1

x3 + 4
2x − 1
2
x
+
5
x
+
4
A=
;B= 2
; C=
;D =
; E= 2
x−3
x −x +1
x+3
x +3
x+ 2

Bài 2: Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:

1− 2 x
x 2 − x +1
3x 2 − x + 1
a) y=
b) y = 2
c) y =
d) y = 2
2x + x + 1

x + x +1
2 x +3
x +3
x −1

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 13


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
a) y=

2 x2 −1
1− x2

b) y =

Năm học: 2014-2015

x −1
x2

3: Khả năng thực hiện, lợi ích của sáng kiến và những kết quả đạt được ban
đầu:
a, Khả năng ứng dụng của đề tài:
Đây là một đề tài có khả năng ứng dụng trong chương trình giảng dạy Toán 9
một cách dễ dàng. Đề tài không chỉ dùng cho giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán 9 và Ôn thi vào lớp 10 THPT mà còn là tài liệu tham khảo cho các giáo

viên dạy Toán ở những khối lớp khác. Đay cũng là tài liệu tham khảo cho học sinh
tự tìm tòi học hỏi khi học về dạng Toán này.
b, Lợi ích kinh tế, xã hội của đề tài:
Dạng Toán “Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên ”
được ghép vào những bài Toán khó. Để khắc phục được những sai lầm cho học
sinh khi học dạng Toán này thì Giáo viên phải biết tổng hợp kiến thức, nhìn nhận
vấn đề có chiều sâu. Hướng dẫn học sinh nắm được và biết giải loại Toán này sẽ
giúp các em nhìn nhận mọi vấn đề khi học Toán rộng hơn, giải quyết tình huống
trong học tập cũng như trong cuộc sống tốt hơn góp phần hoàn thiện nhân cách,
xây dựng những con người mới năng động, sáng tạo. Đây cũng là yêu cầu của Giáo
dục mà mỗi Giáo viên chúng ta phải thực hiện trong quá trình giảng dạy.
c, Kết quả thực hiện
Vận dụng phương pháp “Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị
nguyên” đã hình thành cho học sinh một số kỹ năng về dạng Toán, giúp cho học
sinh nhìn nhận một dạng toán dưới lăng kính nhiều mặt với nhiều màu sắc khác
nhau trong quá trình vận dụng linh hoạt các kĩ thuật giải.
- Ôn tập, củng cố và đào sâu các kiến thức về số học, đại số có liên quan
đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định hướng tìm tòi lời
giải trước một bài toán. Từ đó giúp học sinh có thói quen giải toán theo một trình
tự khoa học.

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 14


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Năm học: 2014-2015
- Xây dựng được một hệ thống phương pháp và kỹ năng Giúp cho học sinh
và giáo viên có một tư liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán học với việc bồi

dưỡng học sinh khá, giỏi trong nhà trường phổ thông hiện nay.
- Hình thành ở học sinh thói quen khai thác kiến thức cơ bản trong chương
trình theo chiều sâu. Giúp cho các em có được tư duy sâu sắc linh hoạt, độc lập
sáng tạo trong quá trình giải toán.
- Giúp cho học sinh phân loại được các dạng bài tập và phương pháp, kỹ
năng giải cho từng loại tạo điều kiện cho các em nhìn nhận một vấn đề toán học
(phương trình và hệ phương trình) dưới con mắt hoàn thiện hơn.
- Hình thành ở học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải cho
một bài toán …phát huy được tích cực suy nghĩ trong quá trình giải toán.
- Góp phần trau dồi cho học sinh những phẩm chất như tính độc lập kiên trì
sáng tạo tích cực tìm tòi và giúp các em hoàn thiện dần các phẩm chất đạo đức,
phẩm chất trí tuệ trong quá trình học toán ở nhà trường phổ thông.
- Phát huy được đức tính tự học, tự tìm tòi nghiên cứu góp phần tô điểm cho
việc đổi mới phương pháp giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh mà hạt
nhân là: " Lấy học sinh làm trung tâm " từ đó nâng cao từng bước chất lượng học
tập môn Toán cho các em.
Vì vậy trong các năm học vừa qua trong quá trình dạy bồi dưỡng Học sinh giỏi
năm học nào tôi cũng có học sinh giỏi cấp huyện và trong kì thi tuyển sinh vào lớp
10 tôi có học sinh đạt điểm tuyệt đối môn Toán. Đặc biệt năm học 2014 - 2015
học sinh của tôi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đỗ 4 trong số 4 em dự
thi( có 1 giải nhì, 1 giải ba và có 2 giải khuyến khích) và có 2 học sinh đạt giải ba
thi Violympic trên mạng cấp huyện.
* Kết quả đại trà sau khi thực hiện đề tài
Đề bài: Cho biểu thức M =

a +2
. Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên
a −2

Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh trình bày đúng trong khi giải là:

37/42 chiếm tỉ lệ: 88 %
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 15


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Năm học: 2014-2015
Đó là một kết quả mà bản thân tôi hoàn toàn thấy công sức của mình được bù đắp.
C. KẾT LUẬN
1.Kết luận
- Khi chưa được tiếp cận với các bài toán không chính tắc, hầu hết học sinh đều
tỏ ra lúng túng, mất phương hướng tìm ra lời giải. Khi làm quen với sự phân tích
sâu sắc, hầu hết các em đều thích thú và say mê bởi sự mới lạ, sáng tạo, không máy
móc.Với kiến thức như vậy các em nắm bài tốt hơn, liên hệ các kiến thức với nhau
mật thiết hơn, thực sự bồi bổ các “chất toán” cho các em tốt hơn trong các môn học
khác cũng như trong cuộc sống.
Nhiều học sinh của tôi khi được học, đã thành công nhiều trong kỳ thi học sinh
giỏi toán, thi vào các lớp chất lượng cao của trường THPT Phù Cừ trong những
năm gần đây.
“Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên ” không chính tắc là
một dạng toán khó, đa dạng, thường được dùng trong các kỳ thi chọn học sinh
giỏi các cấp, cũng như thi vào các lớp chất lượng cao. Các bài toán như vậy luôn là
vấn đề nan giải đối với hầu hết học sinh nói chung, học sinh khá giỏi nói riêng.
Trong một số năm qua, bằng sự trăn trở để tìm ra ý tưởng cho những bài toán hay
và khó này,tôi đã tìm tòi, phân dạng để giảng dạy nhằm mục đích truyền đạt hiệu
quả nhất đến với học sinh.
Thật bất ngờ, khi giảng dạy chuyên đề này, tôi thấy học sinh rất say mê mỗi khi
tự mình khám phá ra lời giải. Bước đầu đã làm cho học sinh khám phá, tự tìm các
kiến thức có liên quan để giải. Qua đây, tôi cũng thấy kiến thức toán học sinh được

nâng nhiều phần khác nhau.
Sử dụng “Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên ” là một
ứng dụng lớn. Sự phân chia như trên chỉ là ý tưởng của tôi còn nhiều phần chưa
nêu hết. Đề tài này hy vọng giúp chúng ta phần nào khó khăn trong giảng dạy và
hy vọng các bạn đồng nghiệp nêu tiếp những ứng dụng mà bài viết này chưa nêu
được.
Mặc dù đã giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh nghiệm và cố
gắng để cho bản đề tài song do nhiều lí do, trong đó lí do còn hạn chế về kiến thức
Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 16


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
Năm học: 2014-2015
cũng như phương pháp nên SKKN chắc không thể tránh khỏi thiếu sót.Tôi mong
được sự đóng góp, bổ sung.
2- Kiến nghị:
- Với nhà trường: Cần khuyến khích động viên mỗi giáo viên thực hiện và áp
dụng những sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn trong nhà trường.
- Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu tư mở nhiều chuyên đề bồi
dưỡng các chuyên đề có liên quan đến môn Toán đặc biệt bồi dưỡng giáo viên ôn
học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phương pháp, năng lực sư phạm cho giáo viên
dạy học.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân tôi tự đặt nền móng và có sự tham
khảo của đồng nghiệp trong Tổ và tài liệu trên mạng. Không sao chép của người
khác.
Ngày 20 tháng 3 năm 2015
NGƯỜI VIẾT
TRẦN ĐĂNG TIỀN

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 17


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

Năm học: 2014-2015

Mục lục
Nội dung
- Phần lí lịch

Trang
2

A. Mở đầu.
1. Đặt vấn đề
- Thực trạng vấn đề

3

- Ý nghĩa và ......

3

- Phạm vi nghiên cứu

4

2. Phương pháp tiến hành
- Cơ sở lý luận và thực tiễn

4

- Các biện pháp tiến hành..........

5

B. Nội dung
1. Mục tiêu

6

2. Giải pháp

7

- Kết quả thực hiện

13

C. Kết luận
- Kết luận

14

- Đề xuất, kiến nghị

15

* Mục lục

16

* Tài liệu tham khảo

17

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 18


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Năm học: 2014-2015

1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán" của Bộ
giáo dục và Đào tạo
3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ
giáo dục và Đào tạo.
4. Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT
5. Toán nâng cao và phát triển đại số 9 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình-Nhà
xuất bản Giáo dục
6.Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9 của tác giả Bùi Văn Tuyên - Nhà

xuất bản Giáo dục.
7.Tài liệu tự chọn nâng cao toán 9 của nhóm tác giả
8.Tài liệu ôn tập thi vào lớp 10 PTTH của NXB Giáo dục

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 19


Sáng kiến kinh nghiệm Đại số 9

-

Năm học: 2014-2015

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG: THCS ĐÌNH CAO
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM. HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
HIỆU TRƯỞNG

Nguyễn Văn Hạnh

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM. HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

Người viết: Trần Đăng Tiền

THCS Đình Cao 20