SKKN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải các dạng bài tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

KINH NGHIÊM HƯỚNG DẪN HOC SINH LỚP 7
VẬN DUNG TÍNH CHẤT TỈ LÊ THỨC VA DÃY TỈ SÔ
BẰNG NHAU VAO GIẢI CAC DANG BAI TẬP

Người thực hiện: Đỗ Thị Cảnh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vịị̣ công tác: Trường THCS Lê Thanh Tông
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toan học

THANH HOÁ NĂM 2017
1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọị̣n đề tài
Như chúng ta đã biết, môn toán học là môn khoa học tự nhiên đóng vai trò
quan trọng. Để học sinh có kiến thức môn toán được vững vàng thì các em phải
chăm chỉ học tập, có phương pháp học tập đúng đắn và phải nắm kiến thức một
cách có hệ thống. Trong khi đó nhiều học sinh hiện nay chưa có phương pháp
học hiệu quả, chưa biết cách hệ thống các kiến thức mà mình đã được học trong
sách giáo khoa. Các em chỉ trông chờ vào các thầy cô giáo, thầy cô dạy bài nào
thì biết bài đó, dạy dạng nào thì biết dạng đó.
Nếu như học sinh lớp 6, các em mới được chuyển đổi môi trường học tập (từ
bậc tiểu học lên bậc trung học cơ sở) nên có một bộ phận không nhỏ học sinh bỡ

ngỡ trước cách tổ chức Dạy - Học rất khẩn trương và khoa học của bộ môn
Toán, đã làm cho học sinh khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức - kĩ năng thì
sang lớp 7 tuy các em không còn bỡ ngỡ lúng túng về phương pháp như ở lớp 6
nhưng các em lại phải tiếp cận đồng thời với rất nhiều luồng kiến thức mới,
mang tính chất bản lề, khó hơn và dàn trải hơn, các bài tập mang tính tư duy cao
hơn, số liệu khô khan, những con số cồng kềnh hơn.Do đó việc tiếp thu và lĩnh
hội kiến thức của các em học sinh lớp 7 (đặc biệt là học sinh trung bình, yếu)
gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng trong việc tìm lời giải và dẫn tới mất tự tin khi
học môn toán.
Với chút kinh nghiệm của bản thân (sau 11 năm giảng dạy) tôi đã, đang trăn trở
trong từng bài giảng nhằm tìm ra các giải pháp hiệu quả nhất, tạo cho các em có
niềm tin, sự hứng thú trong học tập, cho các em thấy rằng toán học là một bộ
môn rất thú vị và bổ ích
Trong chương I Đại số 7: Số hữu tỉ.số thực, qua nhiều năm giảng dạy và bồi
dưỡng học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy có một đơn vị kiến thức rất quan trọng,
kích thích sự tìm tòi khám phá của học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi đó là:
Tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, với dung lượng kiến thức này khi
nhìn qua công thức và áp dụng trực tiếp công thức (SGK) một số học sinh (Hs
khá, giỏi) cho rằng dễ chứ không khó, nhưng thực sự khi bắt tay vào giải quyết
2


các bài tập ta mới thấy phải có “Kỹ thuật” mới biết sử dụng tính năng của tính
chất này.
Đó cũng chính là lí do mà tôi chọn tên đề tài SKKN là: “Kinh nghiệm
hướng dẫn họị̣c sinh lơp 7 vận dụng tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng
nhau vào giảả̉i các dạng bài tập”
Trong quá trình giảng dạy trên lớp, các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, các
buổi học thêm với sự tìm tòi góp nhặt từ những bài toán cơ bản đến những bài
toán hay và khó hay những sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi

giải bài tập bản thân tôi đã đúc rút được cho mình những kinh nghiệm nhỏ trong
quá trình giảng dạy và mạnh dạn trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm này.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn họị̣c sinh lớp 7
vận dụng tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giảả̉i các dạng bài
tập” tôi mong muốn:
- Tìm cách dạy - học môn toán trong việc áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau một cách có hiệu cao nhất, từ đó tiết kiệm được thời gian của thầy và trò
khi dạy va học.
- Tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tòi, khám phá kiến thức, từ
những bài tập cơ bản áp dụng công thức ban đầu đến giải quyết những bài tập có
tính tư duy cao hơn.
- Thông qua đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn họị̣c sinh lớp 7 vận dụng
tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giảả̉i các dạng bài tập” nhằm
giúp các em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức đúng lúc vào giải quyết
những dạng bài tập như thế nào? Làm cho các em không còn phải lo lắng, lúng
túng và mắc phải những sai lầm khi bắt gặp dạng toán này. Bên cạnh đó học sinh
còn được rèn luyện:
+ Kỹ năng phân tích một bài tập toán dạng này, biết “Quy lạ về quen”.
+ Kỹ năng vận dụng kiến thức và biến đổi các bài tập từ chỗ chưa có thể
áp dụng được công thức về dạng dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng được công
thức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này chủ yếu là học sinh lớp 7 mà chú
trọng là học sinh khá, giỏi. Ngoài ra còn vận dụng sáng kiến này cho công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 7,
sách bài tập toán 7, sách giáo viên, tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, các
sách tham khảo. Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi học sinh

3


giỏi cấp huyện, cấp tỉnh để thường xuyên cập nhật và bổ sung hệ thống bài tập
một cách đa dạng và phong phú. Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho
học sinh thì tôi luôn tự rút kinh nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghị
quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số
29-NQ/TW). Nghị quyết có nội dung về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế
thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế.
Trong nghị quyết 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao
dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục
từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất
người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường
kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội"
Với vị trí là một giáo viên trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy, để
thực hiện theo định hướng trên thì trước hết mỗi giáo viên phải luôn luôn biết tự
hoàn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có năng lực chuyên môn vững vàng,
biết làm chủ kiến thức. Giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy, tạo ra
các giờ học sinh động và hấp dẫn.
Đối với môn toán, khi giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thống
được các nội dung kiến thức theo từng chủ đề, biết vận dụng tốt các kiến thức
trong sách giáo khoa vào giải các bài tập và các bài toán thực tế. Vì vậy khi
giảng dạy chuyên đề " Tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau", bản thân tôi
luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh có thể nắm vững được hệ thống các kiến
thức và các dạng bài tập từ đơn giải đến phức tạp, từ những bài tập trong sách
giáo khoa đến những bài thi trong các kỳ thi mà các em sẽ trải qua, từ đó tạo ra

hứng thú học tập cho học sinh, hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo
và chủ động tiếp thu kiến thức. Khơi dậy cho học sinh, nhất là các em học sinh
khá giỏi lòng say mê học tập, sự khao khát khám phá những điều mới lạ. Điều
này đã được tôi thể hiện rõ nét trong sáng kiến kinh nghiệm này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình môn toán lớp 7, phần Tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau là một mắt xích đóng vai trò rất quan trọng. Vì vậy việc giúp học
sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa và biết áp dụng kiến thức vào giải
bài tập là việc làm vô cùng cần thiết. Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới giảng dạy
môn toán 7, khi dạy phần tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi còn
khá lúng túng. Các bài tập tôi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làm
nổi bật được tầm quan trọng của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
4


Vì vậy khi học sinh học phần này, các em cũng nắm kiến thức một cách dàn trải,
chưa có hệ thống. Các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được những
điều thú vị ẩn sau các công thức đơn giản trong sách giáo khoa. Sau một vài
năm, bản thân tôi cũng có kinh nghiệm hơn trong giảng dạy, tôi nghĩ rằng mình
phải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có
hệ thống, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên. Do đó tôi đã dần
dần hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm này mà hôm nay xin được chia
sẻ cùng các đồng nghiệp.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giảả̉i pháp đã sử dụng
Khi giảng dạy cho học sinh lớp 7 vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy
tỉ số bằng nhau thì đầu tiên tôi nhắc lại cho học sinh các kiến thức mà các em đã
được học trong sách giáo khoa:
a
c
Địị̣nh nghĩa tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số b

d .Ta còn viết:
a: b = c: d.Trong đó a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài) ; b và c là các trung tỉ
(số hạng trong) .
a
Tính chất của tỉ lệ thức: b
d

c

a c
Tính chất 1: Nếu b d thì a.d = b.c

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
b d ; c d ; b a ; c a.
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a

c

a c

a c

d suy ra b d b d
a c e

b d

Tính chất 1

: Từ tỉ lệ thức b

Tính chất 2

: Từ dãy tỉ số bằng nhau b

a c

e

a c e

a

c

d

, (b ≠ ± d)

f ta suy ra:

a c e

, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Chú ý: Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b, c tức là ta có: x y z . Ta cũng viết:
b

d

f

b d f

b d f

a

b

c

x: y: z = a: b: c
Khi giảng dạy cho học sinh lớp 7 vận dụng tính chất Tỉ lệ thức và dãy tỉ số
bằng nhau thì tôi đưa ra hệ thống kiến thức theo ba dang chinh sau:
DẠNG 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA TRONG TỈả̉ LỆ THỨỨ́C, DÃÃ̃Y TỈả̉ SÔỨ́
BẰẰ̀NG NHAU
Phương pháp chung:

5


+ Dạng bài tập này học sinh gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa
dạng.Bài toán thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những
mối quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài toán, nhưng cũng có thể phải
khéo léo biến đổi giả thiết thì mới có thể áp dụng được
+ Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp dữ kiện bài toán có
liên quan đến số mũ chẵn hoặc tích của hai số, để tránh tìm ra số không thỏa
mãn yêu cầu bài toán. Cũng lưu ý các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót

những giá trị cần tìm
x

Bài 1: Tìm x biết a)

2

27

41
c) 4
27
8

b) 0, 52 : x 9, 36 :16,38

3.6

x
1, 61

Hướng dẫn giải: Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

a)
b)

x.3, 6=-2.27 từ đó suy ra x = -15

x. (-9, 36) = (-0, 52) .16, 38 từ đó suy ra x = 0.91(Hoc sinh co thê giai
băng cach khac)

7
1
50
x.2 8 4 4 .1, 61 x 119

c)

Bài 2: Tìm x trong tỉ lệ thức biết
x 1
a) 7
b) x 1 x 2
x 1

9

x 2

x 3

Gi ải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
7

x 1

x 1

9

7 x 1 x 8=

=

x 1 9

1 (x 8 )

x 8

= > x-1 =7 => x =8
b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x 1 x 2 = (x 1) (x 2)
x 2 x 3
=> x 1
1
x 2

(x 2) (x 3)

1

=> x-1 = -x -2 => 2x = -1 => x =

1
2

L ưu ý:Bài này có thể giải theo cách ap dung tinh chât:
x

y

Bài 3:Tìm x, y biết: 3 5

và

x y 16

a
b

c
d

a

c

a b

c d

(Trích: BT SGK -Bài 5 - trang 30)

Giải
Cach 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
y
x y
16 2
x 3.2 6
Vậy: x=6, y=10

3

5

3 5

8

y 5.2 10

x
y
Cách 2: Đặt 3 5 k .Khi đó x = 3k; y = 5k.

Thay vào biểu thức x + y = 16 ta có : 3k + 5k = 16 => 8k = 16 => k = 2
6


=> x = 6; y= 10
Bài 4: Tìm x, y, z biết:
Giải

x

y

z

3

2

5

và x

;

y z 20

Cach 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2
5
325
10
x2.3
6
a) 3
Vậy: x=6, y=2, z= 10.
x

y

z

xyz

20

2

y2.2

2
z

2.5

10

Vậy: x=-42, y=-9, z= -33
Cách 2: Học sinh vận dụng tương tự cách đặt ẩn phụ trong cách 2 bài 3
Nhận xét: Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng
trong quá trình làm bài tập tôi nhận thấy các em vẫn mắc phải sai lầm như sau:
Chẳng hạn ở Bài tập 3a học sinh trình bày: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số
x y
16 2 ! Sai lầm là học dùng dấu “=>” thay cho
bằng nhau ta có x y
3

3 5

5

8

dấu “=”. Qua hai bai tâp 3,4 tôi nhân manh cho hoc sinh co hai cach giai ‘đăc
trưng’:
Cach 1: Ap dung tinh chât cua day ti sô băng nhau
Cach 2: Đăt ẩn phu

Tiếp theo, ta sẽ xét đến các bài toán vận dụng cao hơn tính chất của tỉ lệ thức
và dãy tỉ số bằng nhau trong bài toán tìm x, y, z...
Bài 5: Tìm x, y, z biết x y và x 2y 39 ;
3

5

Giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y 2y x 2y 39 3x 3.3 9
3 5 103 10 13y 5.3 15

Vậy: x=9, y=15

Nhận xét: Từ bài 5, tôi có thể khai thác thêm một số bài toán khác bằng
x

y

cách thay điều kiện 3 5 bởi 5x=3y; hoặc x: y = 3: 5; cũng có thể thay đổi điều
kiện x + 2y = 39 bởi 2y = 39 – x...
z và 2 x 3 y z 186
Bài 6: Tìm x, y, z biết: x y
x

y

z

Giải

15

2
x

20

28
3y
z

: Từ 15 20 28 hay 30 60 28 .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2
3y
z
2x 3y z
186 3 Suy ra 2x = 3.30 = 90 x=90: 2=45
x
30

60

28 30 60 28

62

3y= 3.60 = 180 y=180: 3=60, Khi đó z = 3.28 = 84

Vậy: x=45, y=60, z =84
Tổng quát hóa bài toán 6 ta có bài toán tông quat sau:
7


Tìm x, y, z biết a

x

z
c và

y

b

mx ny pz d

Với a, b, c, d là các số cho trước và m, n, p là số khác 0

x

y
y
4 và 5

Bài 7: Tìm x, y, z cho: 3
Hương dân giải:
x y
x

Ta có:
3y 4z

15 y

y

z
7 và 2 x 3 y z 372

(chia cả hai vế cho 5)

20 z

5 7 20 28 (chia cả hai vế cho 4)
x
y
z
15 20 28 .Giai tương tư bai tâp 6

Bài 8: Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y -z = 95
Hương dân giai:
x y
y z
Cách 1: Từ 2x = 3y 3 2 ; 3y = 5z 5 3
Đưa về cách giải giống các bài trên.
x

Cách 2:

yz

+ Nghĩ cách làm xuất hiện dạng a b c ? +
Chia các vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30
2x = 3y = 5z 2

3
y

x
30

5
z
30

30

x

y

15

10

z

x y z

615106

95

5

19

=> x = 75, y = 50, z = 30
x

y

z

x y z

Cách 3: Từ 2x = 3y = 5z => 1

1

1

1

1

1

19

3

5

2

3

5

30

2

Giáo viên phân tích kĩ: 2x = x:

1
2

, 3y =

95

3 : 1;5z 5 :
y

1

=150

và nhấn mạnh phép nhân

z

là phép chia cho số nghịch đảo của nó =>x = 75, y = 50, z = 30
Bài 9 : Tìm x, y biết x y và x2+y2 = 29
2

5

Giải: Cách 1 . Ta có: x y
2

5

x2

y2

4

25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
2

x

2

2

y

4

2

xy

25

x 2 4 x2
1
y2 25y5

29

42529

Kết hợp với đề bài nên x và y cùng dấu
Cách 2 : Đặt
Khi đó x

2

x2

x
y =k => x=2k, y=5k

2 5
y2 19  (2k) 2 + (5k) 2=29  29k2=

Kết hợp với đề bài

x2
y5

x2

y5

hoặc

y5

29  k = 1

x2

hoặc

y5

8


Nhận xét: Bài toán này rất nhiều học sinh gặp sai lầm khi biến đổi
Chẳng hạn:

x y

(1)

Ta có:
2

5

x

y

2

4

x y

4 25

25

29

2

2

2

x

24

x 2

y2 25

y 5

1
29

Sai lầm là dấu “=” tại (1)
Cách giải đúng: Chỉ cần thay dấu “=” bởi dấu “=>” tại (1)
Bài 10: Tìm x, y, z: x y z và x2 2 y 2 4z 2 141
Giải: Cach 1:Từ

x

3
y

3

4

4 5
z (1)

5

x2

y2

z2

9

16

25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x2

y2

z2

2x2

3z2

2 x 2y2 3 z2

x2 9

77

x 3

2

9 16

25

18

75

18 16 75

77

1

y

16

z

2

25

y 4

z 5

Kết hợp với (1) ta suy ra (x ;y ;z) = (3 ;4 ;5) hoặc (-3 ;-4 ;-5)
Cach 2 : Đăt ân phu
y
z
Bài 11 : Tìm x, y, z biết rằng: x
2
3 5 và xyz = 810
Hương dân giai:
Cách 1. Gợi ý học sinh liên hệ đến tính chất: A=B=C => ABC = A3 = B3 = C3
x
2

Ta có:

y z
x x x x y z
3 5
2 2 2 2 3 5
3
x
810
27 x3 27
2

x

3

10
3

xyz
30

8
3

8.27 2 .3

2.3

3

x 6

Tư đo tim đươc y va z
x
Cách 2 Đặt 2 3y 5z =k rồi giải
Nhận xét: Đối với dạng bài tập này học sinh thường mắc sai lầm khi áp dụng
x y z x.y.z
công thưc:
=
! Nên giáo viên cần nhắc nhở công thưc đó
2.3.5

235

Bài 12:Tìm x, y biết y

2

x2
3

x2

y2

và x

10

.y10

1024

5

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
9


ta có: y x

x2 y2
2y2 y2 (1)

3
3 5
8
5
4
y
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
x
2
y2
2x 2
x2 (2)
Mặt khác ta lại có:
3
5
3 5
2
1
10
2 5

5
y2
y10 nhân hai
Từ (1) và (2) suy ra: x 2 y2 x
hay x
có: x 10 10 y20
từ đó => x = 1
10
20
20
2

x2

2

y2

y2 x2

1

.y

4

1

1024 2 y

4

2

10

vế với y

ta

210

y 2

210

Vậy có 4 cặp (x ;y) thỏa mãn đề bài là: (1 ;2) , (-1 ;-2) , (1 ;-2) , (-1 ; 2)
Nhận xét: Các bài toán 9, 10, 11, 12 học sinh rất dễ thiếu nghiệm. Khi
chúng ta giải các bài tập lũy thừa mũ chẵn khi lấy nghiệm học sinh thường sót
nghiệm âm.Do đó các bài tập dạng này tôi cô gắng khắc sâu nhằm giúp học
sinh nắm vững bản chất của các bước biến đổi để có thể ghi nhớ và tránh sai
lầm.
Bài 13: Tìm ba số a, b, c biết 3a2b 2c 5a 5b 3c và a + b + c = -50
5

3

2

(Trích đề thi Học sinh giỏi huyện Thọ Xuân năm học 2015-2016)

Giải:
Từ giả thiết 3a2b 2c 5a 5b 3c ta suy ra 5(3a 2b) 3(2c 5a)
5
3
15a 10b 6c 15a 10b 6c
2594

2

25

9

2(5b 3c)
4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
15a 10b
25

6c 15a
9

10b 6c
4

15a 10b 6c 15a 10b 6c
0 0
2594
38

Từ đó suy ra 3a - 2b =0 ; 2c - 5a =0 ; 5b - 3c =0 => a b c
2 3
b c

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có a
2

3

5

5
a b c

50 5

2 3 5

10

 a = -10 ; b = -15 ; c = -25
Nhận xét: Bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh quan sát các hệ số của
a, b, c để từ đó có thể làm xuất hiện các cặp số đối nhau, qua đó có thể đưa ra dãy tỉ số bằng nhau trên cơ sở
rút ra từ các tử số của các tỉ số bằng 0

Bài 14 : Tìm x, y, z biết

15

20

40

x 9 y 12 z 24 và xy = 1200
Hướng dẫn giai: Điều kiện x 9, y 12, z 24
15

20

40

Từ x 9
y 12 z 24
x
9 y 12
z 24
ta suy ra
15

20

40

x 9
15

y 12 z 24
15

20 20

40

40

x 3
15

5

y 3
20

5

z 3
40

5
10


Hay 15

x
20

y

z

40

Từ đó học sinh có thể vận dụng các phương pháp đã nêu ở trên để tìm x, y, z
Đôi khi bài toán này chỉ xuất hiện một dữ kiện duy nhất, học sinh sẽ rất
lúng túng để giải quyết tình huống này, ta xét một số bài toán điển hình:
Bài 15. Tìm x; y; z biết:
a) y z 1
x z 2
x y 3
1 1
x y z
x
y
z
x
y
z
b)
x y z (2)
y z 1

x z 1

x y 2

(Trích ví dụ 10: Sách nâng cao và phát triển toán 7-Vũ Hữu Binh)
Hương dân giai:
a)Điều kiện: x 0, y 0, z 0, x y z 0
Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau từ (1) ta có

y z 1

x z 2

x

x y 3

y z 1 x z 2 x y 3

2x y z

z

x y z

x y z

y

2

Tư đo suy ra: x + y + z = 1
Dê dang tim đươc x
x

y

2
1 ; y5; z

5
6
6
2
z x y z
x y 2

b. y z 1
x z 1
Trường hợp 1: Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0
Trường hợp 2: Nếu x + y + z ≠ 0
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
y z 1

y
x z 1

z
x y 2

x y z
2( x y z)

1
2

Từ đó suy ra : x + y + z = 1
Tương tự tìm được x

2
1 ; y 1; z

1

2

2

2

Nhận xét: Ở câu a ta chỉ có một trường hợp vì đã có điều kiện x + y + z ≠ 0

Ở câu b ta phải xét hai trường hợp.Thông thường học sinh hay xét thiếu trường
hợp 1.Vận dụng tương tự học sinh có thể thực hành thông qua bài tập sau: Tìm
x, y biết:
2x

1
5

3y

2
7

2x

3y
6x

1 (1)

11


(Trích tại chuyên mục “sai ở đâu sửa cho đúng” - Báo toán học tuổi thơ 2)
Hương dân giai:
Tư (1) ap dung tinh chât cua day ti sô băng nhau ta co:
2 x 1 3 y 2 2 x 3 y 1 2 x 3 y 1 (2)
5

7

12

6x

Tư đo hoc sinh xet hai trương hơp :
TH1 : 2 x 3 y 1 0
Khi đo x 1 ; y 2
3
2
TH2 : 2 x 3 y 1 0

(2) => 6x = 12 tư đo tim đươc x = 2 va y = 3
Nhận xét: Thông qua bài tập trên tôi muốn lưu ý đến học sinh khi hai tỉ
số bằng nhau, tử số bằng nhau các em cần xét hai trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: Tử số bằng nhau và bằng 0
Trường hợp 2: Tử số khác nhau dẫn đến mẫu số bằng nhau

Một số bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) x y z và 5x y 2z 28
b) x y , y z và 2x 3y z 124
10
c) 2x
3
e) x
5

6
21
3y
4z
4
5
y và x 2

và x

y z

2

4

y

49

d)

3
x
2

4
y
3

5

7

và xy

g) x 1 y 2

3

2

3

54

z 3 và 2x + 3y - z = 14
4

Bài 2: Tìm x, y, z biết :

1 1 1
a) x y z 3 và 2x 3y 4z
b) 3x 2y
37

c) x 3

y3

8

64

5y 3z

2z5x và 10x 3y 2z 4
2
15
2
2
z 2 14
z3 và x y
216

DẠNG 2: CHỨỨ́NG MINH TỈả̉ LỆ THỨỨ́C
Để chứng minh tỉ lệ thức

ta thường dùng một số phương pháp sau:

•) Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C

•) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số

có cùng giá trị

•) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức
12


* Một số kiến thức cần chú ý
•)

(n

•)

0)

=>

=

(n

N*)

Sau đây là một số bài tập minh họa (giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)
c
c chứng minh rằng. a
Bài 1: Cho a
b

a b

d

c d

Giải: Cách 1: a

c

a

b

a b

a

c

b

d

c

d

c d

a b

c d

(đpcm)
a

Chú ý: Nhắc nhở học sinh tránh mắc sai lầm khi biến đổi: b
Cách 2: a c

b d

b
1

b

d
1

d
Cách 3: Đặt a

a c
a
c
c k suy ra a bk ; c dk

Ta có: b

d

bk

bk

bk b

b ( k 1)

a
a b

Từ (1) và (2) suy ra

a b

c d

a

c

a

c

a b

c d

k
k 1 (1) ;
a
c

d

c

dk

c d

dk d

c

a
b
c d !

(đpcm)

dk

k

d ( k 1)

k 1

(2)

a b
c d
Cach 4: Chưng to a ( c d ) c ( a b) xuât phat tư a.d = bc

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu a

c

b

d

1 thì

a b

c d

a b

c d

với a, b, c, d ≠ 0

Giải:Cách 1: (Cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

a c

a b a b a b

a b c d

Ta có: b d c d c d
c d
Cách giải khác:
Cách 2 : Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: a
abb
dd
a c
b

d

b

(đpcm)

c d

c

a1

c

d

b

d

1 a b
b

c d
d

(1) c
a b

c d

b

a b b

d
c d
a
b
a
b
Từ (1) và (2) =>
c d

Cách 3: Đặt a

b

a b

c k

(2)
d
a b c d

c d
a b
suy ra a bk ; c dk

(đpcm)

c d

d

13


a b bk b b.( k 1)

k 1

Ta có a b

(1)

bk b
b.( k 1) k 1
c d dk d d .( k 1)
k 1

Và c d

dk d

(2)

d .( k 1) k 1
a b c d

Từ (1) và (2) suy ra a b c d .
Tổng quát hóa bài toán 2 ta có bài toán sau:
Cho tỉ lệ thức: a c . Chứng minh rằng: pa
b

d

(trong đó m, n, p, q

qb

pc qd

ma nb

mc nd

R và các tỉ số có nghĩa)

Từ bài toán trên ta chỉ việc thay những giá trị bất kì của m, n, p, q ta sẽ có
a c

những tỉ lệ thức bất kì cần chứng minh chẳng hạn như từ tỉ lệ thức b d chứng
minh rằng 7 a 3b 7 c 3d
7 a 3b

7 c 3d

Bài 3: CMR: Nếu a
b

c

5

a b
thì

d

a 5 b5
5

c d

c d

5

Giải:

Ta có: a c

a

b

a b

b
Từ a b
c d

c

d

c d
5
a b5

d
a5

c5

Từ (1) và (2)

b5

ab51c

a5

d

c5
2

d5
c5 d5
a b5
a 5 b5
5

(đpcm)

5

c d

c d

Tổng quát hóa va phát triển bai toan 3 ta có bài toán sau:
a b n a n b n a n bn

Chưng minh răng: Nếu a c thì a n

b d
c
c d
Phát triển bài toán ngược ta có bài toán sau:
a

n

an

Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức

a
b

d nếu n là số sè lÎ và b

d

(n N) ,

n

c d
c

c

n

n

n

c d

(n N; n 2)

bn

n

c
a

n

c d

ta có thể suy ra được

nếu n là số chẵn

(Trích BT 6 trang 57: Sách KT cơ bản và Nâng cao Toán 7 -Vũ Ngọc Đạm)
Bài 4 Cho 4 số khác 0 a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn a2 2 a1 a3 ; a3 3 a2 a4
Chứng minh rằng: a)

a3 a3 a3

1

2

3

a2 a3

3

3

a
3

a4

1

3

a4

b)

a

a
1

aa

2 3

a
2

3

a

4

a1

a4

(Trích BT 75- Các bài toán Hay và khó -Phan Văn Đức)
Giải
14


a2 2 a1 a3
a3

3

a1

a2

a2

a3

a2

a2 a4

a3

(1)

(2)

4

a

a

3

a a
Từ (1) và (2) suy ra a

a
2

1

a

2

a

3

3

a

3

a

4

3

a

1

a3

2

a

3
2

3
3

a3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có a 31

a a 2a
3

1

a

4

a 32

3

a3

a3
Từ (3) và (4) suy ra:

a3

2

1

a3

a3
3

a1

a2

a3

3

a

a

1

a

a

4

(3)

a 31 a 3 2 a33 (4)

a33
3

3

a

4

3

4

a

2

a

3

3

3

a

4

a
3

1

a3

2

2

3

2

a

a

3

a

4

4

a1 a 2 a3

b) Từ câu a ta có: a2 a3 a 4 a 2 a3 a 4 (**) Lập phương từng vế của (**) rồi
biến đổi như câu a ta có điều phải chứng minh
Tiếp tục phát triển bài toán 4 ta có bài toán sau :
a2

a3

... a 2011

CMR: Nếu a 2 a3

a4

a

a1
Bài 5:

a
1

a

a

a2

... a 2011

1

a

2012

thì ta suy ra được đẳng thức:

2012

20
11

a3

2

... a 2012

(Trích đề thi Học sinh giỏi huyện Thọ Xuân năm học 2011-2012)
a1
Giải:

Từ giả thiết : a 2

a2

a3

a3

a4

a

... a

2011

.
2012

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a2

a1

a3 a4
a
3
a2
a 3a 4

a2
a2
2
0
1
1

a

a

2011

a 1 a 2 ... a2011

2012

a 2 a 3 ... a2012

... a 2011
a

a 1 a 2 ... a2011
a 2 a 3 ... a2012

2012

2011

a1

...

a2

a
2

a1

a
2

Mặt khác

a

1

a

2

Suy ra

a

2012

1

a
2

a 2 ... a

2

a

a
3

.
3

a

a 2 ... a 2011

a1

a

.

a
1

2011 2
0
1
1

a 2 a 3 ... a2012

3

a

2
0
1
1

a

a

a 3 ...

a1

a3 ... a 2012

Một số bài tập tương tự:

a
2011

....

a

a
2012

4
2011

1

2012


15


a c

Bài 1: Cho tỉ lệ thức: b d . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả
thiết các tỉ số đều có nghĩa) .

abc

1)

(abc 0 x 2y z 2x y z 4x 4y z

3a 5b

3c 5d

3a 5b

3c

Bài 3: Cho

c d

2017 a 2018b

a b c
c

2

a 2 b2

d

b

c

2016

2017

2018

cx-az

2

ab

a b2

cd

c d

7b2 5bd

a b c

3

a

b c d

d

. Chứng minh rằng: 4(a

b)(b c) (c a)2

ay-bx 1 CMR: x

y

a
b
a

b
c
(Trích BT 74- Các bài toán Hay và khó - Phan Văn Đức)
x
y
z
Bài 5: Cho
Chứng minh rằng:
a 2b c

2a b c

2

7b2 5bd

7a 2 5ac

. Chứng minh rằng:

a

Bài 4: Cho bz-cy

c d

3)

2
5) 7a 5ac

2016c 2017d

2017 c 2018d
b

a b

2

5d

4) 2016 a 2017b
Bài 2: Cho

2)

z
c

4a 4b c

và các mẫu số khác 0)
(Trích - Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS)
DẠNG 3: TÍỨ́NH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨỨ́C
x y
z
Bài 1: Cho các số x, y , z khác 0 thỏa mãn: 2 3 4 . Tính giá trị của biểu thức
P= y z x
x y z

Giải:
Cách 1:
Đặt x y

z = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k (k

2 3 4
3k 4 k 2 k 5k 5

0)


P = 2 k 3k 4 k
Vậy P = 5

3k

3

3

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z =y z x
y z x
x y z
x y z
2 3 4
3 4 2
y z x x y z y z x 5

53x y z 3

5

2 3 4

3

5
Vậy P = 3

16


Nhận xét: Qua bài tập 1 tôi muốn học sinh bước đầu tập làm quen với
dạng toán”Tính giá trị của biểu thức”, ngoài phương pháp áp dụng tính chất
dãy tỉ số bằng nhau giáo viên cũng nên nhấn mạnh hiệu quả của phương pháp
đặt ẩẩ̉n phụ trong bài toán này
Bài 2: Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn 2x = 3y = 5z. Tính giá trị của biểu
thức: P
x2
2y 2
z2

2x 2
y2
z2

Hướng dẫn giai: Từ 2x = 3y = 5z suy ra 15
x y

Đặt 15 10
P

x 2 2y 2 z 2
2x 2 y 2 z 2

x

y
10

6

z

z
6 k => x = 15k; y = 10k; z = 6k.Thay vào biểu thức P ta có
225k 2 2.100k 2 36k 2
2.225k 2 100k 2 36k 2

419
386

Nhận xét: Thông qua bài tập 2, tôi muốn lưu ý học sinh tính hữu dụng
của phương pháp đặt ẩẩ̉n phụ trong bài toán tính giái trị của biểu thức.Học sinh
cũng có thể vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lời giải sẽ dài
hơn rất nhiều
a

Bài 3: Tìm M biết M = b c

a

b

c

c

a b

(Trích đề thi học sinh giỏi môn Toán huyện Thọ Xuân năm học 2012-2013)
Giải:
TH1: Nếu a + b + c = 0 ta suy ra b + c = -a; a + c = -b; a + b = -c.Khi đó M = -1
a
b
c
a b c
1
M
0 ta suy ra
TH2: Nếu a +b + c
b c

a c

a b

2( a b c)

2

Vậy M = -1 hoặc M = 1
2

Nhận xét: Đối với bài tập này học sinh rất dễ mắc sai lầm khi chỉ đưa ra
1
một đáp án M = 2 , vì vậy giáo viên cần lưu ý học sinh xét trường hợp a + b +
c = 0 để không bỏ sót nghiệm của bài toán.
Bài 4:
Cho a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức

P 1

a

1

b

1

c

b


ab

b

c

c

c

a

a

b

Bài giảả̉i:
Từ a b
c
a b c
c

b c
a

c a

a b

b
a b c

c
a b c

a

b

1b c
a

1c a 1
b

(*)
17


a bb ca c
+) Xét a b c 0 a b c; a c b; b c a P b
c
a
c a b
abc
1
b c a abc
+) Xét a b c 0 Từ (*) ta có:
a b

c

P

8

Nhận xét: Thông qua bài tập 4 tôi muốn chốt lại khi các tỉ số bằng
nhau, tử số bằng nhau các em phải xét hai trường hợp, trường hợp 1 tử số
bằng 0, trường hợp 2 tử số khác 0, khi đó mẫu số bằng nhau
Một số bài tập tương tự:
x y z
Bài 1: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện: y z x z x y
x

y
1

Hãy tính giá trị của biểu thức: B = 1

x
z

y

z

1

y

z

x

Bài 2: a) Cho các số a, b, c, d khác 0. Tính: T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
Biết x, y, z, t thỏa mãn:

x 2010y 2010

z

2010

t

x 2010

2010

y 2010

z 2010

t 2010

a2
a2 b2 c2 d2
b2
c2
d2
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f

a
Biết a, b, c, d, e, f thuộc tập N* và b 1422 ; dc 1311 ; ef 1713
a

b

c

c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: 2009 2010 2011 .
Tính giá trị của biểu thức: M = 4 (a - b) (b - c) - (c - a) 2
Bài 3: Cho day ti sô băng nhau :
2012 a b c d
a
a b
c d

TÝnh M

a 2012b c d
b
b c
d a

c d
a b

a b 2012c d
c

a b c 2012d d

d a
b c

Bài 4: Cho 3 số x, y, z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện:
y z t nx
x

z t x ny

t x y nz

x y z nt

y

z

t

(n là số tự nhiên)

và x + y + z + t = 2018. Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y - 3z + t
2015z 2016y
2016x 2014z
2014y 2015x và
Bài 5 : Cho x, y, z thỏa mãn
2014
x 3y z

2015

2016

2015 .

Tính giá trị của biểu thức P x 2015 2016 y 2015 2016 z 2015 2016 (Trích báo
toán học và tuổi thơ số 153 tháng 11 năm 2015)
18


2.4. Hiệu quảả̉ của sáng kiến kinh nghiệm
Trên đây là 4 dạng toán thường gặp, kể cả những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào giải toán.
Với 4 dạng bài tập toán trong chuyên đề, cùng với hệ thống bài tập khá
phong phú, sắp xếp theo trình tự từ đơn giản (dùng cho hs trung bình, yếu) đến
các bài tập nâng cao (dùng cho hs khá, giỏi) , tuy chưa thể nêu ra và giải tất cả
mọi bài toán, mọi trường hợp đặc biệt khác song sang kiên kinh nghiêm này
phần nào đã lột tả được những nét chính, những dạng bài tập căn bản nhất của
chủ đề :Tỉ lệ thức , tính chất của dãy tỉ số bằng nhau . Bên cạnh đó trong sang
kiên kinh nghiêm của tôi cũng đã mở rộng việc áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau vào giải một số bài toán của các lơp trên (lớp 8 và 9) .Bản thân tôi qua
nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện,
tôi nhận thấy việc áp dụng sang kiên kinh nghiêm này vào giảng dạy đã đem lại
những hiệu quả thiết thực: Học sinh khá giỏi mà tôi bồi dưỡng không còn bỡ
ngỡ, lúng túng mà đã thực sự làm cho các em hứng thú học tập hơn hẳn và kết
quả cũng đem lại cao hơn hẳn.
Tôi đã mạnh dạn đưa đề tài này với mức độ học sinh lớp 7 vào khảo sát và
đánh giá kết quả áp dụng với từng em học sinh, nhưng qua việc giảng dạy trên
lớp, qua học thêm và đặc biệt qua công tac bôi dương hoc sinh gioi tôi thấy đề

tài đã mang lại nhưng kết quả rất khả quan và mong đợi.
C/. KEÁT LUAÄN
3.KẾT LUẬị̣N, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn học sinh
nắm vững kiến thức thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải thực sự tâm huyết với nghề,
phải kiên trì uốn nắn cho mỗi học sinh khi các em chưa nắm vững kiến thức.
Khi củng cố một nội dung kiến thức nào thì tôi luôn tuân thủ theo nguyên tắc từ
dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập tôi đưa ra cho học sinh
luôn bám sát vào các đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh. Kiến thức tôi
truyền thụ đến học sinh luôn có hệ thống, mỗi dạng bài phải chốt được phương
pháp giải.
Để giúp học sinh có được những kĩ năng tư duy sáng tạo, nhạy bén trong
học tập và thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư
phạm, tuy nhiên không có phương pháp nào là vạn năng để đạt được một kết quả
tốt trong các kì thi mà đó là sự tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau. Khi
dạy học sinh cách vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào
giải các dạng bài tập, giáo viên cần sử dụng linh hoạt, mềm dẻo, tuỳ thuộc vào
khả năng nhận thức của học sinh.
19


Sau một thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng
dẫn họị̣c sinh vận dụng tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giảả̉i
các dạng bài tập” vào giảng dạy tôi nhận thấy rằng những kinh nghiệm này phù
hợp với nội dung chuẩn kiến thức kĩ năng và rất thiết thực khi hướng dẫn học
sinh ôn luyện học sinh giỏi lơp 7.Học sinh khi học chủ đề này tỏ ra rất hứng thú,
chủ động, tích cực trong việc lĩnh hội các kiến thức và kĩ năng. Không khí học
tập sôi nổi, học sinh yêu thích môn học hơn. Tôi hi vọng rằng với việc áp dụng
đề tài này giúp cho học sinh nắm vững các kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số

bằng nhau từ cơ bản đến nâng cao.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc rút được qua quá trình
giảng dạy từ các năm học và muốn chia sẻ với đồng nghiệp. Tuy nhiên, do thời
gian có hạn tôi không thể trình bày chi tiết các bài tập trong mỗi dạng và chắc
chắn không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự góp ý chân thành của
các đồng nghiệp để bản thân tôi được học hỏi, tiếp tục trau dồi và hoàn thiện
nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của mình.
3.2.Kiến nghịị̣.
Hàng năm, phòng giáo dục đào tạo, sở giáo dục và đào tạo tổ chức các lớp
chuyên đề về đổi mới phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy
một cách hiệu quả và thiết thực để các giáo viên có dịp cùng nhau trao đổi, học
hỏi kinh nghiệm.
Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay trong huyện, trong tỉnh cho giáo
viên để áp dụng vào quá trình giảng dạy ở các nhà trường.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày tháng 01 năm
2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Tác giả:

20


NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢả̉O:
- SGK, SBT môn Toán 7.

- Nâng cao và phát triển toán 7 - Tác giả: Vũ Hữu Bình.
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 - Tác giả: Bùi Văn Tuyên.
- Luyện giải và ôn tập toán tập 1 - Tác giả: Vũ Dương Thụy - Phạm Gia Đức.
-Bài tập nâng cao toán 7- Tác giả: Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Ngọc Đạm.
-Tuyển tập các bài toán hay và khó - Đại số 7 - Tác giả: Phan Văn Đức- Nguyễn
Hoàng Khanh.
- Kiến thức cơ bản và nâng cao toán 7 tập 1 - Tác giả: Nguyễn Quang Hanh Ngô Long Hậu.
- Báo toán học tuổi thơ 2- NXB GD.
- Đê thi hoc sinh gioi câp huyên môn Toan lơp 7 huyên Tho Xuân qua cac năm
21


Cùng một số đề thi và tài liệu tham khảo khác.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃÃ̃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤỨ́P PHÒNG GD&ĐT, CẤỨ́P SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤỨ́P CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Đô Thi Canh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giao viên trương THCS Lê Thanh Tông Tho Xuân
Cấp đánh giá
TT

Tên đề tài SKKN

1.

Kinh nghiên hương dân hoc sinh
sư dung may tinh câm tay vao giai

xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)
B

Kết quảả̉
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm họị̣c đánh
giá xếp loại
2011-2012

22