(Luận văn thạc sĩ) Định lý Fourier, định lý Sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM
VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM
VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng

THÁI NGUYÊN - 2019

i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Sơ lược về không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ước chung lớn nhất của hai đa thức . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4
6

2 Một số định lý về nghiệm thực và áp dụng
2.1 Quy tắc Fourier và De Gua về số nghiệm thực của đa thức . .
2.2 Định lý Budan-Fourier về số nghiệm của đa thức trong khoảng
2.3 Một số ví dụ áp dụng định lý Fourier . . . . . . . . . . . . .
2.4 Quy tắc Budan và định lý của Fourier cho hàm khả vi k lần .
2.5 Định lý Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Cô lập nghiệm dựa vào dãy Sturm . . . . . . . . . . . . . . .

8
8
16

21
24
33
36

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


1

Mở đầu
Trong chương trình ở bậc phổ thông, học sinh tiếp cận với đa thức từ bậc
THCS, đến THPT chuyên. Bài toán đếm số nghiệm của đa thức với hệ số
thực và khoanh vùng nghiệm của đa thức một ẩn hệ số thực xuất hiện hầu
hết ở trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế. Hiện nay các
tài liệu về đa thức cũng khá đa dạng và phong phú. Tuy nhiên, đa số đều khó
đối với học sinh mới bắt đầu tiếp cận. Vì vậy tôi lựa chọn "Định lý Fourier,
Định lý Sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng" để nghiên cứu và phục
vụ cho học sinh các lớp chuyên toán phổ thông. Để khảo sát số nghiệm của
đa thức với các hệ số thực luận văn đã sử dụng quy tắc Fourier và quy tắc
De Gua đếm số lần đổi dấu và số lần ổn định dấu của các dấu trong đa thức
để xác định số nghiệm thực và số nghiệm ảo của đã thức đã cho. Tiếp theo
luận văn sẽ trình bày định lý Budan-Fourier để khảo sát về số nghiệm của
đa thức trong một khoảng cho trước. Và sau đó luận văn sẽ xét các hàm mở

rộng hơn sử dụng quy tắc Budan, định lý của Fourier để khảo sát số nghiệm
cho hàm khả vi k lần. Cuối cùng trong luận văn định lý Hurwitz và định lý
Sturm xác định số nghiệm của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu
của dãy các hệ số thực của đa thức đã cho.
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Trình bày một số kiến thức liên quan để chứng minh cho các định
lý ở chương 2.
Chương 2. Trình bày một số quy tắc, định lý về nghiệm thực của đa thức và
một số ví dụ áp dụng các quy tắc để xác định số nghiệm của đa thức.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét
quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới các thầy cô, những người đã tận tâm giảng dạy và chỉ


2

bảo tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng tôi
xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ
và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Thị Tuyết Mai


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm nhắc lại một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong
luận văn, kiến thức này tham khảo ở một số tài liệu [7], [?].

1.1

Sơ lược về không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho X là một tập hợp. Một ánh xạ khoảng cách d
xác định trên X là một ánh xạ d : X × X → [0, ∞), (x, y) → d(x, y) thỏa
mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X : (1) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu
x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
(ii) Một không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là tập hợp và d là
một ánh xạ khoảng cách xác định trên X .
Ví dụ 1.1.2. +) Tập số thực R với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = |x − y| là
một không gian metric.
+) Tập R = R ∪ {−∞, ∞} cùng với ánh xạ khoảng cách

d(x, y) = | arctan x − arctan y|
cũng là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric (X, d).
(i) Cho điểm x ∈ X và số thực ε > 0. Một hình cầu mở B(x, ε) được xác
định bởi
B(x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) < ε}.
(ii) Một tập con U của X được gọi là tập mở nếu mọi x ∈ U đều tồn tại
ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊆ U . Một tập con V của X được gọi là tập đóng nếu
X \ V là tập mở.

4

(iii) Một lân cận của điểm x ∈ X là bất kì tập con A nào của X thỏa mãn
hai điều kiện: (a) x ∈ A; (b) A chứa một cầu mở B(x, ε) (với số thực ε > 0
nào đó).
(iv) Một dãy (xn ) trong không gian metric (X, d) gọi là hội tụ về a ∈ X nếu
với mọi > 0 tồn tại n0 ∈ N để d(xn , a) < với mọi n > n0 .
(v) Không gian metric (X, d) gọi là compact nếu mọi dãy trong X đều có
một dãy con hội tụ trong X .
Ví dụ 1.1.4. Tập R cùng với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = | arctan x −
arctan y| là một không gian metric compact.
Định nghĩa 1.1.5 (Điểm giới hạn). Cho tập hợp A trong không gian metric
(X, d) và x ∈ X . Ta nói x là điểm giới hạn (hoặc điểm dính) của A nếu mọi
lân cận U của x đều có giao với A tại một ít nhất một điểm khác x.
Định nghĩa 1.1.6 (Điểm cô lập). Cho tập hợp A trong không gian metric
(X, d) và x ∈ A. Ta nói x là điểm cô lập của A nếu tồn tại lân cận U của x
mà U không giao với A tại bất kì điểm nào khác x.

1.2

Hàm liên tục, hàm khả vi

Tiếp theo ta nhắc lại một số khái niệm của hàm liên tục đối với hàm số
biến số thực.
Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊆ R, hàm số f : X → R và điểm x0 ∈ X . Nếu
với mọi ε > 0 bao giờ cũng tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ {x ∈ X :
|x − x0 | < δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε thì ta nói hàm f liên tục tại x0 . Nếu
f liên tục tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói f liên tục trên X .
Như vậy, một cách phát biểu tương đương, ta thấy f là hàm số liên tục
tại điểm x0 nếu và chỉ nếu lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Định nghĩa 1.2.2. Cho A ⊆ R, hàm số f : A → R gọi là liên tục bên
phải tại điểm x0 ∈ A nếu mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈
{x ∈ A : x0 ≤ x < x0 + δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε. Tương tự ta nói
f liên tục bên trái tại x0 ∈ A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
x ∈ {x ∈ A : x0 − δ ≤ x < x0 } ta có |f (x) − f (x0 )| < ε.


5

Như vậy hàm số f : A → R liên tục tại x0 ∈ A khi và chỉ khi f liên tục
bên phải và liên tục bên trái tại x0 .
Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm số f : [a, b] → R. Nếu f liên tục trên (a, b),
liên tục bên phải tại điểm a và liên tục bên trái tại điểm b thì ta nói f liên
tục trên đoạn [a, b].
Tiếp theo nhắc lại các khái niệm về hàm khả vi. Xét hàm số y = f (x)
xác định trong một lân cận của điểm x0 ∈ R. Cho x0 một số gia ∆x khá bé
sao cho x0 + ∆x ∈ U . Khi đó ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia
đối số ∆x tại điểm x0 .
(x0 )
∆y
= f (x0 +∆x)−f
có giới hạn hữu hạn khi
Định nghĩa 1.2.4. Nếu tỉ số ∆x
∆x
∆x → 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f đối với x tại x0 và
được kí hiệu là f (x0 ); ta cũng nói rằng hàm f khả vi tại x0 . Như vậy, ta có

f (x0 + ∆x) − f (x0 )

.
∆x→0
∆x

f (x0 ) = lim

Định nghĩa 1.2.5. Cho U là tập hợp mở trong R, f : U → R là một hàm
xác định trên U . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm
của U . Khi đó ta cũng nói hàm số f có đạo hàm f trên U .
Tiếp theo ta nhắc lại định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi.
Định lý 1.2.6 (Định lí Lagrange). Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a, b]
và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b). Khi đó tồn tại ít nhất một
điểm c ∈ (a, b), sao cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
Định lý 1.2.7 (Định lí Cauchy). Giả sử f và g là hai hàm số liên tục trên
đoạn [a, b] và có các đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b), ngoài ra
g (x) = 0 với mọi x ∈ [a, b]. Khi đó tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a) f (c)
=
.
g(b) − g(a)
g (c)
Định lí Lagrange là trường hợp riêng của Định lý Cauchy với g(x) = x.
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
∆x→0−

Định nghĩa 1.2.8. Nếu giới hạn lim

tồn tại và hữu hạn thì

giới hạn đó gọi là đạo hàm bên trái của f (x) tại x0 , ký hiệu là f− (x0 ). Nếu
∆y
giới hạn lim + ∆x
tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải
∆x→0

của f (x) tại x0 , ký hiệu f+ (x0 ).


6

Quy tắc 1.2.9. Quy tắc L’Hospital (đọc là Lô-pi-tan) là một quy tắc trong
toán học dùng để khử các dạng vô định 00 và ∞
∞ khi tính giới hạn và nhiều
(x)
có
ứng dụng khác. Quy tắc L’Hospital được phát biểu như sau: Nếu lim fg(x)
x→a

dạng

0
0

thì nó có giới hạn bằng giới hạn của

f (x)
g (x)

nếu

(x)
lim fg (x)
x→a

tồn tại.

Định lý 1.2.10. Giả sử f và g là các hàm liên tục trong tập [a, b] và khả vi
trong (a, b). Giả sử g (x) khác 0 trong (a, b), và limx→a+ f (x)/g (x) là tồn
tại, và limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0. Khi đó

lim+

x→a

1.3

f (x)
f (x)
= lim+
.
g(x) x→a g (x)

Ước chung lớn nhất của hai đa thức

Mục này ta xét k là một trường và xét các đa thức trong vành k[x].
Định lý 1.3.1 (Định lý phép chia và dư). Cho các đa thức f (x), g(x) ∈ k[x]
với g(x) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp q(x), r(x) ∈ k[x] sao cho

f (x) = q(x)g(x) + r(x),
trong đó nếu r(x) = 0 thì deg(r(x)) < deg(g(x)). Ta gọi q(x) là thương và
gọi r(x) là phần dư của phép chia f (x) cho g(x).
Định nghĩa 1.3.2 (Ước của đa thức). Trong phép chia p(x) cho q(x), nếu
phần dư r(x) đồng nhất bằng 0 thì ta nói rằng đa thức p(x) chia hết cho đa
thức q(x). Như vậy, p(x) chia hết cho q(x) nếu tồn tại đa thức s(x) sao cho
p(x) = q(x).s(x). Trong trường hợp này ta cũng nói q(x) chia hết p(x), hoặc
q(x) là một ước của p(x).
Định nghĩa 1.3.3 (Ước chung của hai đa thức). Nếu g(x) chia hết p(x) và
g(x) chia hết q(x) thì ta nói g(x) là một ước chung của p(x) và q(x).
Định nghĩa 1.3.4 (Ước chung lớn nhất). Cho p(x) và q(x) là các đa thức
không đồng thời là 0. Ước chung lớn nhất của p(x) và q(x) là đa thức d(x)
thoả mãn đồng thời các hai điều kiện: (1) d(x) là một ước chung của p(x)
và q(x); (2) Nếu d (x) là một ước chung của p(x) và q(x) thì d (x) cũng là
ước của d(x).


7

Chú ý 1.3.5 (Thuật toán Euclide). Cho các đa thức f0 , f1 ∈ k[x] với f1 = 0.
Đặt f2 là phần dư khi chia f0 cho f1 , và tiếp tục bằng quy nạp, ta đặt fi+1
là phần dư khi chia fi−1 cho fi (nếu fi = 0).
Rõ ràng là dãy f0 , f1 , . . . , fi , . . . (dãy này gọi là dãy các phần dư đa thức
của f0 , f1 ) là hữu hạn, vì nếu trái lại thì mọi fi = 0 nên ta có dãy giảm vô
hạn các số tự nhiên

deg(f1 ) > deg(f2 ) > . . . > deg(fi ) > . . .
điều này là không xảy ra. Lấy d(x) là phần dư fr cuối cùng khác không, và
chú ý rằng r ≤ min{deg(f0 ), deg(f1 )}. Khi đó d(x) chính là ước chung lớn
nhất của f0 và f1 .

8

Chương 2
Một số định lý về nghiệm thực và áp
dụng
Phương trình đa thức được sử dụng thường xuyên trong toán học. Khi
giải phương trình đa thức có nhiều câu hỏi phát sinh như: "Có nghiệm thực
nào không? Nếu có, đa thức có bao nhiêu nghiệm? Vị trí của chúng ở đâu
trên trục tọa độ? Các nghiệm đó là dương hay âm?". Phụ thuộc vào vấn đề
cần được giải quyết, đôi khi chỉ cần một ước lượng thô về xác định khoảng
nào đó trên trục số mà nó chứa nghiệm là đủ. Có nhiều cách để trả lời cho
các câu hỏi này. Trong chương này sẽ trình bày Quy tắc Fourier và định lý
Fourier. Định lý Fourier sử dụng các đạo hàm của đa thức để xác định số
lượng có thể của nghiệm.

2.1

Quy tắc Fourier và De Gua về số nghiệm thực
của đa thức

Mục này tham khảo ở tài liệu [5].
Kí hiệu 2.1.1. (i) Cho đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
hệ số thực, trong đó các hệ số ai có thể bằng không.
- Nếu hai hệ số liên tiếp ai+1 và ai cùng dương hoặc cùng âm, thì cặp (ai+1 , ai )
cho ta 1 lần ổn định dấu và 0 lần đổi dấu của các hệ số.
- Nếu một trong hai hệ số ai+1 và ai là dương và hệ số còn lại là âm, thì cặp
(ai+1 , ai ) cho ta 1 lần đổi dấu và 0 lần ổn định dấu.
- Nếu đa thức có một hoặc nhiều hệ số bằng “0”, thì trong tiến trình đếm

số lần đổi dấu của P các hệ số ai = 0 được xem như cùng dấu với dấu của


9

ai+1 . Ví dụ, với đa thức P (x) = 3.x5 − 1.x2 + 3, ta gán dấu cho các hệ số “bị
khuyết” như sau
P (x) = 3.x5 + 0.x4 + 0.x3 − 1.x2 − 0.x + 3.
Trong cách làm này, đó là điều tương tự việc ta bỏ qua các hệ số bị khuyết
khi đếm số lần đổi dấu của đa thức P . Theo đó đa thức P (x) = 3x5 − x2 + 3
có số lần đổi dấu là 2.
(ii) Khi xem xét theo nghĩa đối ngẫu, trong tình huống đếm số lần ổn định
của các dấu của P , ta xét dấu của một hệ số ai = 0 là dấu đối với dấu
của ai+1 . Vì vậy, các dấu của dãy gồm nhiều hệ số “0” liên tiếp là đan dấu,
bắt đầu từ hệ số đầu tiên khác “0” phía trái của dãy. Ví dụ, đối với đa thức
P (x) = 3.x5 − 1.x2 + 3 đã xét ở trên, khi đó dấu của P được thể hiện bởi

P (x) = 3.x5 − 0.x4 + 0.x3 − 1.x2 + 0.x + 3.
Điều quan trọng là chú ý rằng theo cách biểu diễn này thì số lần đổi dấu ở
đó sẽ là 4 và nó khác số lần đổi dấu là 2 của P sau khi bỏ qua các hệ số
“0” như đã thấy ở trên. Trong thực tế, ta kiểm tra thấy “quy luật” sau đây
là đúng: một dãy các hệ số có dạng ai , 0, 0, . . . , 0, aj (với ai aj = 0) sẽ cho
ta 1 lần ổn định dấu nếu ai aj < 0 và số các số “0” ở giữa là số lẻ; hoặc nếu
ai aj > 0 và số các số “0” ở giữa là số chẵn. Các trường hợp khác nó cho ta 0
lần ổn định dấu.
Dường như là một chiến thuật khi sử dụng hai phương pháp để đếm số
lần đổi dấu và đếm số lần ổn định dấu, nhưng có hai điều thuận tiện của
cách này như sau: Thứ nhất, với quy ước này, số các lần đổi dấu và số lần
ổn định dấu luôn là tối thiểu trong các đa thức khuyết thiếu, vì ta có thể dễ
kiểm chứng. Thứ hai, hai cách này là đối ngẫu nhau theo nghĩa rằng số lần

ổn định dấu của P (x) bằng với số lần đổi dấu của P (−x). Ví dụ xét đa thức

P (x) = 3.x5 − 1.x3 + 1.x + 3,
ta có

P (−x) = −3.x5 + 1.x3 − 1.x + 3.
Suy ra số lần ổn định dấu của

P (x) = 3.x5 − 0.x4 − 1.x3 + 0.x2 + 1.x + 3


10

là 3; và vì P (−x) = −3.x5 − 0.x4 + 1.x3 + 0.x2 − 1.x + 3, nên số lần đổi dấu
của P (−x) là 3.
(iii) Cho đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 hệ số thực. Ta kí
hiệu z + (P ) là số các nghiệm dương của P ; kí hiệu z − (P ) là số nghiệm âm
của P ; kí hiệu z 0 (P ) là số các nghiệm 0 của P (ở đây các nghiệm luôn được
tính cả số bội). Ta kí hiệu v(P ) là số lần đổi dấu của P ; kí hiệu c(P ) là số
lần ổn định dấu của P (khi đó c(P (x)) = v(P (−x))); n được gọi là bậc của
đa thức và ký kiệu là n = deg(P ) . Ta nói rằng hệ số ai là hệ số có đuôi nếu
ai = ai−1 = . . . = a0 = 0.
(iv) Ta chú ý rằng nếu đa thức P không bị khuyết thiếu (ngoại trừ trường
hợp đa thức có hệ số có đuôi, nó sẽ có hệ số khuyết thiếu ở đuôi), thì ta có

v(P ) + c(P ) = deg(P ) − z 0 (P ).
(Ví dụ cho đa thức P (x) = 2x5 − 3x4 − 5x3 + 2x2 , khi đó ta có v(P ) =
2, c(P ) = 1, z 0 (P ) = 2. Do đó v(P ) + c(P ) = 2 + 1 = 3 = 5 − 2 =
deg(P ) − z 0 (P )). Giải thích cho trường hợp tổng quát. Thật vậy, một cặp
hệ số liên tiếp hoặc là đổi dấu hoặc ổn định dấu. Mặt khác, nếu P là khuyết

thiếu, thì theo kí hiệu của ta như đã giới thiệu vắn tắt ở trên, thì một khối
các hệ số liên tiếp có dạng ai , 0, 0, . . . , 0, aj (với ai aj = 0) sẽ cho ta nhiều
nhất 1 lần đổi dấu và 1 lần ổn định dấu. Vì bất kì khối nào như vậy đều chứa
ít nhất là 3 hệ số (và do đó có ít nhất 2 cặp hệ số liên tiếp), nên tổng của số
lần đổi dấu và số lần ổn định dấu của P không lớn hơn số tất cả các cặp hệ
số liên tiếp (và không là hệ số có đuôi) của P . Nói cách khác, nó không lớn
hơn deg(P ) − z 0 (P ), tức là

v(P ) + c(P ) ≤ deg(P ) − z 0 (P ).

(1)

Dưới đây tham khảo ở tài liệu [5, Mục 2.2].
Quy tắc 2.1.2 (Quy tắc Fourier). Đối với bất kỳ đa thức P (x) hệ số thực,
ta luôn có v(P ) và z + (P ) là có cùng tính chẵn lẻ. Điều tương tự cũng đúng
cho c(P ) và z − (P ).
Chứng minh. Ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng P (0) = 0
(vì nếu P (0) = 0, thì đa thức Q(x) thu được bằng cách chia P (x) cho một


11

lũy thừa lớn nhất có thể xk ; khi đó đa thức Q(x) thỏa mãn Q(0) = 0, có
cùng số lần đổi dấu và cùng số nghiệm dương như của P (x).
Ta có thể viết P = AP1 P2 , với P1 , P2 là hai đa thức có hệ tử cao nhất
bằng 1, A ∈ R, P1 không có nghiệm thực dương, và mọi nghiệm của P2 là số
thực dương.
Đặt deg(P2 ) = n. Vì các hệ số của P1 là các số thực, nên các nghiệm phức
của nó sẽ xuất hiện theo từng cặp liên hợp γ , γ . Do đó, đa thức P1 có thể
được viết dưới dạng

P1 (X) = (X − γ1 )(X − γ1 )(X − γ2 )(X − γ2 ) . . . (X + α1 )(X + α2 ) . . . ,
trong đó γi , γi là các nghiệm phức của P1 , và −αi là các nghiệm thực âm của
nó (tức là αi > 0). Hệ số tự do của P1 rõ ràng chính là số

P1 (0) = (−γ1 )(−γ1 )(−γ2 )(−γ2 ) . . . α1 α2 . . . = |γ1 |2 |γ2 |2 . . . α1 α2 . . . > 0.
Vì vậy, hệ số tự do của P1 là một số thực dương, tức là P1 (0) > 0. Đặt

P2 = (X − β1 )(X − β2 ) . . . ,
trong đó β1 , β2 , . . . > 0. Hệ số tự do của P là P (0) = AP1 (0)P2 (0), do đó
P (0) cùng dấu với dấu của AP2 (0) = A(−β1 )(−β2 ) . . .. Đặc biệt ta suy ra
rằng dấu của A và dấu của P (0) là bằng nhau nếu và chỉ nếu P2 (0) > 0 khi
và chỉ khi P2 có một số chẵn các nghiệm thực dương.
Do đó, ta thấy rằng định lý của ta tương đương với bài toán mới đó là
"Một đa thức chứa một số chẵn số lần đổi dấu nếu và chỉ nếu hệ số cao nhất
của nó và hệ số tự do của nó có cùng dấu". Để kết thúc chứng minh quy tắc
này, ta chỉ cần chứng tỏ điều khẳng định sau đây là đúng:
Yêu cầu: Một dãy gồm các dấu chứa một số chẵn lần đổi dấu nếu và chỉ
nếu hai đầu mút của dãy đó có dấu cùng loại.
Thật vậy, điều này là rõ ràng nếu độ dài của dãy là 2 (vì nếu dãy là +, + hoặc
−, − thì số lần đổi dấu là 0). Giả sử quy nạp rằng điều khẳng định ở “Yêu cầu”
này là đúng cho dãy có độ dài n−1, và ta xét dãy các dấu S = (s1 , s2 , . . . , sn )
có độ dài n (với si ∈ {+, −}). Đặt S = (s1 , s2 , . . . , sn−1 ). Nếu sn−1 = sn
thì số lần đổi dấu của S và S là bằng nhau và các đầu mút của S và S là
các cặp đôi cùng dấu; vì S đã đúng theo giả thuyết quy nạp, nên rõ ràng S
cũng thỏa mãn yêu cầu. Nếu sn−1 = sn , thì số lần đổi dấu của S nhiều hơn


12

số lần đổi dấu của S là 1; do đó tính chẵn lẻ của S và S là trái ngược nhau.
Nhưng các đầu mút của S hoặc là trái dấu nhau hoặc là cùng dấu nhau (phụ
thuộc vào các đầu mút của S là cùng dấu nhau hoặc trái dấu nhau, tương
ứng). Điều này kéo theo rằng từ giả thiết quy nạp suy ra S cũng thỏa mãn
khẳng định của “Yêu cầu”.
Chú ý 2.1.3. Quy tắc vừa phát biểu và chứng minh của nó là đúng nếu các
hệ số của P thuộc vào trường số thực. Tổng quát hơn, phép chứng minh ở
trên chứa đựng một mệnh đề thú vị, điều đó cũng đúng cho cả một trường
sắp thứ tự bất kì, tức là ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.4. Đối với hai đa thức P và Q thuộc F [x] (với F là trường
sắp thứ tự), khi đó ta luôn có v(P Q) ≡ v(P ) + v(Q) (mod 2).
(Ở đây khái niệm trường sắp thứ tự F là một trường F có một quan hệ thứ
tự toàn phần "≤" thỏa mãn các điều kiện sau đây với mọi a, b, c ∈ F : nếu
a ≤ b thì a + c ≤ b + c; nếu 0 < a và 0 < b thì 0 < ab).
Chứng minh. Ta kí hiệu A và a là hệ số cao nhất và hệ số tự do của P ; và ta
kí hiệu B và b là hệ số cao nhất và hệ số tự do của Q. Khi đó hệ số cao nhất
của P Q là AB và hệ số tự do của P Q là ab. Theo như khẳng định trong“Yêu
cầu” ở trong chứng minh Quy tắc Fourier, ta thấy v(P ) ≡ 0 (mod 2) nếu
và chỉ khi A, a có cùng dấu. Tương tự, v(Q) ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ khi B
và b có cùng dấu; và v(P Q) ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ khi AB và ab có cùng
dấu. Nhưng vì (AB)(ab) = (Aa)(Bb), nên rõ ràng là dấu của AB và dáu
của ab bằng nhau khi và chỉ khi Aa và Bb đều dương hoặc đều âm, nghĩa
là, nếu v(P ) và v(Q) đều chẵn hoặc đều lẻ. Vì vậy, v(P Q) là chẵn khi và chỉ
khi v(P ) + v(Q) là chẵn.
Trước khi phát biểu và chứng minh quy tắc De Gua, ta cần nhắc lại về
quy tắc Descarte về dấu ở bổ đề sau, đồng thời bổ đề đó cũng cho ta một
chặn trên cho số các nghiệm thực dương, nghiệm thực âm của đa thức:
Dưới đây tham khảo ở [5, Mục 2.1].
Bổ đề 2.1.5 (Quy tắc Descarte về dấu). Với bất kì đa thức P hệ số thực, ta
luôn có v(P ) ≥ z + (P ) và c(P ) ≥ z − (P ). Hơn nữa, nếu mọi nghiệm của P

là thực thì v(P ) = z + (P ) và c(P ) = z − (P ).


13

Chứng minh. Khẳng định đầu tiên của định lý suy ra được khẳng định thứ
hai, vì nếu tất cả các nghiệm của P đều là nghiệm thực và thỏa mãn v(P ) >
z + (P ) hoặc c(P ) > z − (P ), thì ta có

deg(P ) − z 0 (P ) = z + (P ) + z − (P ) < v(P ) + c(P ),
điều này mẫu thẫn với (1).
Để chứng minh v(P ) ≥ z + (P ), thì ta chú ý rằng nếu α là một nghiệm
thực của P , thì P = (x − α)Q(x) với Q là đa thức bậc nhỏ hơn bậc của P .
Vì vậy theo giả thiết quy nạp đối với bậc của P , ta chỉ cần chứng minh một
bổ đề sau đây (gọi là chiến thuật của Descarte):
(Chiến thuật của Descarte): Việc nhân một đa thức Q(x) với x − α (trong
đó α > 0), sẽ gia tăng số lần đổi dấu của đa thức.
Ta thấy rằng c(P ) ≥ z − (P ) được suy ra từ v(P ) ≥ z + (P ) bởi cách đổi
P (X) thành P (−X). Ta đặt

Q(x) = an xn + . . . + ak xk và P (x) = (x − α)Q(x) = bn+1 xn+1 + . . . + bk xk ,
với k ≥ 0 và ak = 0. Bằng cách đồng nhất hệ số hai vế của P (x) ta thu được
quan hệ sau đây


ai−1
nếu i = n + 1,
bi = ai−1 − αai nếu k < i ≤ n,
(2)


−αai
nếu i = k.
Ta kí hiệu dấu của ai là si , và dấu của bi là si , như vậy ta có

si , si ∈ {+, −} .
Ta đưa các dấu của ai và bi vào một bảng có dạng sau
i
n + 1 n n − 1 ...
dấu của ai
sn sn−1 . . .
dấu của bi sn+1 sn sn−1 . . .

đây
k
sk
sk

Để đơn giản, ta thường kí hiệu một bảng như trên bởi

(sn , sn−1 , . . . , sk ; sn+1 , sn , . . . , sk )
và gọi n − k là độ lớn của bảng.
Do ta có quan hệ (2), nên bất kì bảng nào như trên để thỏa mãn ba tính
chất sau:


14

1. sn+1 = sn .
2. sk = sk .
3. Nếu si = si−1 , thì si = si−1 .

Điều quan trọng là ta chú ý rằng những tính chất 1, 2, 3 vẫn đúng thậm chí
nếu P và Q có các hệ số khuyết thiếu (do quy ước ở trên).
Để chứng minh chiến thuật của Descarte, ta chỉ cần chứng minh rằng
dòng thứ 3 trong bảng chứa nhiều số lần đổi dấu hơn ở số lần đổi dấu ở dòng
thứ 2 của bảng. Để thực hiện điều này, ta chỉ cần kiểm chứng ba tính chất
nêu trên.
Nếu độ lớn của bảng là 1, thì rõ ràng tính chất thứ nhất và thứ hai là
đúng; đối với tính chất thứ ba khi sn = sn−1 thì sn = sn−1 nên nó cũng
đúng. Ta giả sử quy nạp rằng ba tính chất 1, 2, 3 là đúng cho các bảng có
độ lớn nhiều nhất là n − k − 1. Ta đặt T = (sn , sn−1 , . . . , sk ; sn+1 , sn , . . . , sk )
là bảng có độ lớn n − k .
Trước tiên ta giả sử không có sự đổi dấu nào xảy ra trong chuỗi (sn , . . . , sk )
(tức là, nó là dãy hằng). Khi đó sn+1 , . . . , sk phải có ít nhất một lần đổi dấu
(thật vậy, theo giả thiết ta có sn+1 = sn và sk = sk , suy ra sn+1 = sk ). Do
vậy, phải tồn tại i ∈ {1, . . . , n+1} sao cho si = si−1 . Điều này cho thấy trong
trường hợp này, dãy sn+1 , . . . , sk có số lần đổi dấu nhiều hơn dãy sn , . . . , sk .
Bây giờ ta giả sử rằng có một lần đổi dấu xảy ra ở bước i nào đó với i > k
trong dãy sn , . . . , sk , tức là si = si−1 . Do tính chất thứ ba, ta có si = si−1 ,
suy ra si = si . Ta có thể thu hẹp từ bảng T thành bảng sau đây, nó có độ
lớn nhỏ hơn:
T = (sn , . . . , si ; sn+1 , . . . , si ).
Vì độ lớn của bảng này là n − i < n − k , nên áp dụng giả thiết quy nạp cho
T , ta thấy T thỏa mãn ba tính chất 1, 2, 3. Do đó, sử dụng A1 để kí hiệu
cho số lần đổi dấu trong dãy sn , . . . , si và kí hiệu A1 là số lần đổi dấu trong
dãy sn+1 , . . . , si ; ta thấy từ giả thiết quy nạp rằng A1 > A1 . Mặt khác, từ
bảng T ta có thể lập một bảng mới T khác nữa có độ lớn nhỏ hơn độ lớn
của T , cụ thể là
T = (si−1 , . . . , sk ; si , . . . , sk ).

15

Nó cũng thỏa mãn ba tính chất 1, 2, 3; do đó dãy si , . . . , sk phải có số lần
đổi dấu nhiều hơn dãy si−1 , . . . , sk , tức là A2 > A2 . Nhưng số lần đổi dấu
của dãy sn+1 , . . . , sk nhiều nhất là bằng A1 + A2 + 1, vì dãy này là kết hợp
của dãy sn , . . . , si và si−1 , . . . , sk , nên nó chỉ chứa số lần đổi dấu của dãy
này, và nếu có thể có chỉ cộng thêm 1 lần đổi dấu của si si−1 (khi si = si−1 ).
Vì A1 + A2 ≥ A1 + 1 + A2 + 1 > A1 + A2 + 1, nên dãy sn+1 , . . . , sk có số lần
đổi dấu nhiều hơn dãy sn , . . . , sk .
Bây giờ ta sẽ xét đến quy tắc De Gua (định lý về những khoảng trống của
đa thức, viết trong sách bằng tiếng Pháp). Quy tắc được phát biểu như sau:
Quy tắc 2.1.6 (Quy tắc De Gua). Nếu trong một đa thức P , một nhóm r
hệ tử liên tiếp bị bỏ trống (ở đây không tính trường hợp đa thức có hệ số có
đuôi), thì P có ít nhất r nghiệm ảo khi r chẵn, hoặc P có ít nhất r + 1 hay
r − 1 nghiệm ảo nếu r lẻ (phụ thuộc vào việc những hạng tử ngay trước và
ngay sau của nhóm đó có cùng dấu hoặc khác dấu, tương ứng).
Ta thấy rằng quy tắc De Gua là yếu hơn quy tắc sau đây (Quy tắc 2.1.7),
và nó là một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.1.5 (bởi vì số nghiệm ảo của đa
thức P bằng số bậc của P trừ đi số nghiệm thực dương của P , tiếp tục trừ
đi số nghiệm thực âm của P , và tiếp tục trừ đi số nghiệm 0 của P ).
Dưới đây tham khảo ở [5, Hệ quả 2.3.1].
Quy tắc 2.1.7. Số các nghiệm ảo của một đa thức P ít nhất là bằng với số
deg(P ) − z 0 (P ) − v(P ) − c(P ).
Vì thế tất cả những gì ta phải làm dưới đây ở mục này là ta phải chứng
tỏ rằng Quy tắc 2.1.7 suy ra cả Quy tắc De Gua.
Chứng minh Quy tắc 2.1.7 suy ra Quy tắc De Gua. Trong tiến trình đếm số
lần đổi dấu và số lần ổn định của các dấu của P , ta thấy rằng chỉ có các
cặp hệ số khác 0 liên tiếp (ai , ai−1 ) là có liên quan, hoặc là liên quan đến các
khối gồm các hệ số liên tiếp ở dạng (ai , 0, . . . , 0, aj ) với ai aj = 0, chứa đựng
một hoặc nhiều số “0”, chẳng hạn là chứa r số “0”, tức là (ai , 0, . . . , 0, aj ).

r

Bây giờ, một cặp (ai , ai−1 ) cho ta 1 lần đổi dấu hoặc 1 lần ổn định dấu
trong tổng v(P ) + c(P ).


16

Tuy nhiên, đối với khối dạng (ai , 0, . . . , 0, aj ) với ai aj = 0, thì ta thấy
rằng khối đó sẽ cho ta:
* 1 lần đổi dấu nếu ai aj < 0;
* 0 lần đổi dấu nếu ai aj > 0;
* 1 lần ổn định dấu (nếu ai aj > 0 và r chẵn) hoặc (nếu ai aj < 0 và r
lẻ);
* 0 lần ổn định dấu cho các trường hợp còn lại, tức là cho trường hợp
(ai aj > 0 và r lẻ) hoặc (ai aj < 0 và r chẵn).
Đặt q là số các cặp liên tiếp trong khối có r số "0" ở giữa, thì rõ ràng
q = r + 1.
Nếu r chẵn thì ta đã vừa thấy rằng khối đã cho ta 1 lần đổi dấu hoặc 1
lần ổn định dấu. Do đó “sự sai khác” (giữa số các cặp liên tiếp và tổng của
số lần đổi dấu và số lần ổn định dấu xảy ra trong khối) là q − 1 = r.
Tương tự, nếu r lẻ và ai aj < 0 thì khối đó cho ta 1 lần đổi dấu và 1 lần
ổn định dấu; do đó "sự sai khác" sẽ là q − 2 = r − 1.
Cuối cùng, nếu r lẻ và ai aj > 0 thì khối cho ta 0 lần đổi dấu và 0 lần ổn
định; do đó "sự sai khác" sẽ là q = r + 1.
Trong mọi trường hợp, ta thấy "sự sai khác" đều là số ≥ 0 (ở trường hợp
cặp (ai , ai−1 ) thì "sự sai khác" là 0).
Hơn nữa, rõ ràng là tiến trình tính toán các "sự sai khác" liên kết với một
khối là trùng khớp với phương pháp nêu ra ở quy tắc De Gua.
Vì deg(P ) − z 0 (P ) bằng với số các cặp liên tiếp (của các hệ số không có

đuôi), nên ta suy ra rằng deg(P ) − z 0 (P ) − v(P ) − c(P ) là tổng của các “sự
sai khác” của mỗi khối như trên.

2.2

Định lý Budan-Fourier về số nghiệm của đa thức
trong khoảng

Mục này tham khảo ở tài liệu [4, Chương 4].
Để cô lập nghiệm thực của một đa thức P ta phải tìm kiếm tập hợp các
khoảng rời nhau, mà mỗi khoảng chứa đúng một nghiệm của P , khi đó gộp
các nghiệm đó lại ta được tất cả các nghiệm thực của P .


17

Định lý nguyên gốc của Fourier có hai phần. Phần thứ nhất người ta giả
thiết rằng đa thức và đạo hàm của nó không có nghiệm chung. Trong phần
thứ hai họ giả thiết giữa đa thức và đạo hàm có nghiệm chung. Ở mục này
bây giờ ta sẽ trình bày một phiên bản cải tiến một chút cho chứng minh của
Fourier nó sẽ chứa cả hai phần nêu trên.
Định lý 2.2.1 (Định lý Fourier). Ta kí hiệu N (x) là số lần đổi dấu của dãy

P (x), P (x), P (x), . . . , P (n) (x)
trong đó P (x) là đa thức bậc n với hệ số thực. Nếu a < b và P (a)P (b) = 0,
thì N (a) ≥ N (b), và số các nghiệm thực của P (kể cả số bội) nằm trong
khoảng (a, b) không vượt quá số N (a) − N (b). Hơn nữa độ sai khác giữa số
nghiệm thực của P trong khoảng (a, b) và số N (a) − N (b) là một số chẵn
(tức là tồn tại số u ∈ N để z + (P ) + z − (P ) + z 0 (P ) = N (a) − N (b) − 2u).
Chứng minh. Ta hình dung danh sách các số P (x), P (x), P (x), . . . , P (n) (x)

với x cho thay đổi từ a đến b. Khi đó số N (x) chỉ thay đổi khi x chuyển qua
một nghiệm của đạo hàm P (m) (x) (với số m < n nào đó) (thực tế, ta thấy
P (n) (x) là hằng số, vì thế m < n).
Tiếp theo ta sẽ sử dụng một nhận xét đơn giản sau đây:
Nhận xét. Dấu của bất kì đa thức p(x) và đạo hàm của nó p (x), xét trong
một lân cận của nghiệm α của p, là khác nhau khi x < α, là như nhau
khi x > α (xem Hình 2.1): Bây giờ, ta trở lại chứng minh của định lý, xét
trường hợp thứ nhất khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P (x). Trong
một lân cận của α, với x < α, ta có P (r−1) (x) phải có dấu khác với dấu
của P (r) (x) (do có Nhận xét ở trên). Theo cách tương tự, ta thấy dấu của
P (r−2) (x) phải khác dấu của P (r−1) (x), dấu của P (r−3) (x) phải khác dấu
của P (r−2) (x), và tiếp tục như vậy. Vì vậy các dấu của các số trong dãy
P (r) (x), P (r−1) (x), . . . , P (x) (với x trong lân cận của α, x < α) là đan dấu
(xem Hình 2.13).
Ta cũng biết rằng trong một lân cận của α, với x > α, thì các dấu của
các số trong dãy P (r) (x), P (r−1) (x), . . . P (x) là như nhau. Vì vậy ta thấy
rằng khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P , thì số lần đổi dấu
trong dãy P (x), P (x), . . . , P (r−1) (x), P (r) (x) là giảm bớt đi r (xem Hình
2.3). Bây giờ xét trường hợp khi x chuyển qua nghiệm α bội r của P (i) (x)


18

Hình 2.1: Minh họa dấu của p(x) và p (x) trong lân cận nghiệm của p(x)

sign(P (r−1) (x)) = −sign(P (r) (x))
sign(P (r−2) (x)) = −sign(P (r−1) (x)) = sign(P (r) (x))
..
..
.

.
sign(P (x)) = −sign(P (x)) = . . . = (−1)r sign(P (r) (x))
Hình 2.2: Dấu của P (x), P (x), . . . , P (r−1) (x) trong một lân cận của α, với x < α.
P (x)
..
.

<α
...
..
.

α
0
..
.

>α
+
..
.

P (r−2) (x)
P (r−1) (x)
P (r) (x)

+
+

0

0
+

+
+
+

r lần đổi dấu

0 lần

Hình 2.3: N (x) giảm bớt r trong một lân cận của nghiệm α bội r

sao cho P (i−1) (α) = 0, P (i) (α) = P (i+1) (α) = . . . = P (i+r−1) (α) = 0, và
P (i+r) (α) = 0. Như đã xét ở trường hợp trước, trong một lân cận của α,
với x < α, thì dấu của P (i+r−1) (x) phải khác với dấu của P (i+r) (x); dấu
của P (i+r−2) (x) phải khác với dấu của P (i+r−1) (x);. . . ; dấu của P (i) (x) phải
khác với dấu của P (i+1) (x). Vì vậy, các dấu của các số trong dãy P (i+r) (x),


19

P (i+r−1) (x),. . . ,P (i) (x) là đan dấu, với x trong lân cận của α, x < α (xem
Hình 2.4). Như trước, ta cũng biết rằng ở một lân cận của α, với x > α,
sign(P (i+r−1) (x)) = −sign(P (i+r) (x))
sign(P (i+r−2) (x)) = −sign(P (i+r−1) (x)) = sign(P (i+r) (x))
..
..
.
.

sign(P (i) (x)) = −sign(P (i+1) (x)) = . . . = (−1)r sign(P (i+r) (x)).
Hình 2.4: Dấu của P (i+r−1) (x), P (i+r−2) (x), . . . , P (i) (x) trong 1 lân cận của α, với x < α.

thì các dấu của các số trong dãy P (i+r) (x), P (i+r−1) (x), . . . , P (i) (x) là như
nhau. Có bốn trường hợp có thể xảy ra, phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của
r, và phụ thuộc vào việc có xảy ra sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i+r) (x)) hay
sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i+r) (x)).
Trong các minh họa ở Hình 2.5, 2.6, ta dễ thấy rằng, khi r chẵn, thì số
lần đổi dấu N (x) giảm bớt r.
P
(x)
(i)
P (x)
P (i+1) (x)
..
.

<α
+
+
..
.

0
+
0
0
..
.

>α
+
+
+
..
.

P (i+r−4) (x)
P (i+r−3) (x)
P (i+r−2) (x)
P (i+r−1) (x)
P (i+r) (x)

+
+
+

0
0
0
0
0

+
+
+
+
+

(i−1)

r lần đổi dấu

0 lần đổi dấu

Hình 2.5: r chẵn, sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i+r) (x)). Khi đó N (x) giảm đi r.

Trong các Hình 2.7, 2.8, khi r lẻ thì N (x) giảm đi r+1 hoặc r−1, phụ thuộc
vào có hay không sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i−1) (x)) hoặc sign(P (i−1) (x)) =
sign(P (i−1) (x)).
Tóm lại trong các Hình 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 ta đã minh họa sự giảm bớt tổng
số các lần đổi dấu trong một lân cận của một nghiệm α, phụ thuộc vào tính


20

P
(x)
(i)
P (x)
P (i+1) (x)
..
.

<α
+
..
.

0

0
0
..
.

>α
+
+
..
.

P (i+r−4) (x)
P (i+r−3) (x)
P (i+r−2) (x)
P (i+r−1) (x)
P (i+r) (x)

+
+
+

0
0
0
0
0

+
+
+

+
+

(i−1)

r+1 lần đổi dấu

1 lần đổi dấu

Hình 2.6: r chẵn, sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i+r) (x)). Khi đó N (x) giảm đi r.

P
(x)
P (i) (x)
P (i+1) (x)
..
.

<α
+
+
..
.

0
+
0
0
..
.

>α
+
+
+
..
.

P (i+r−4) (x)
P (i+r−3) (x)
P (i+r−2) (x)
P (i+r−1) (x)
P (i+r) (x)

+
+
+

0
0
0
0
0

+
+
+
+
+

(i−1)

r+1 lần đổi dấu

0 lần đổi dấu

Hình 2.7: r lẻ, sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i+r) (x)). Khi đó N (x) giảm đi r + 1.

chẵn lẻ của r, và phụ thuộc vào sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i+r) )(x), ở các hình
này ta đã giả sử rằng P (i+r) )(x) là dương. Nếu P (i+r) )(x) là âm, thì các bảng
cần để khảo sát sẽ tương tự và ở đó các cột dấu sẽ thay đổi đối xứng với
những điều đã mô tả. Do đó trong bất kì trường hợp nào, ta đều thấy N (x)
bị giảm bớt đi bởi một số chẵn. Vì vậy ta đã chứng minh được hai kết quả
sau đây:
- khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P (x), thì N (x) giảm đi r.
- Khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P (i) (x), với i > 0, thì N (x)
giảm bớt đi bởi một số chẵn.
Do đó định lý được suy ra từ hai kết quả trên đây.


21

P
(x)
(i)
P (x)
P (i+1) (x)
..
.

<α
+
..
.

0
0
0
..
.

>α
+
+
..
.

P (i+r−4) (x)
P (i+r−3) (x)
P (i+r−2) (x)
P (i+r−1) (x)
P (i+r) (x)

+
+
+

0
0
0

0
0

+
+
+
+
+

(i−1)

r lần đổi dấu

1 lần đổi dấu

Hình 2.8: r lẻ, sign(P (i−1) (x)) = sign(P (i+r) (x)). Khi đó N (x) giảm đi r − 1.

2.3

Một số ví dụ áp dụng định lý Fourier

Mục này tham khảo một phần ở tài liệu [2].
Ví dụ 2.3.1. Xét đa thức f (x) = x3 − 3x2 − 4x + 13, ta có

f (x) = 3x2 − 6x − 4,
f (x) = 6x − 6
f (3) (x) = 6.
Do đó ta có bảng dấu sau: Trong Hình 2.9, các dòng x = −∞ và x = +∞
x
−∞

−3
−2
−1
0
1
2
3
+∞

f (x)
+
+
+
+
+
+
+

f (x) f (x)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

f (3) (x)
+
+
+
+
+
+
+
+
+

N (x)
3
3
2
2
2
2
2
0
0

Hình 2.9: Các dấu của f (x), f (x), f (x), f (3) (x)

được biểu diễn như sau: Khi x tiến đến dương vô cực, thì bất kì đa thức
khác không nào đều luôn dương hoặc luôn âm. Ta kí hiệu N (∞) cho dấu


22

này. Tương tự dấu N (−∞) được xác định tương tự. Từ Hình 2.9, và áp dụng
Định lý Fourier (Định lý 2.2.1) ta thấy

N (−∞) − N (−3) = 3 − 3 = 0, nên f vô nghiệm trong (−∞, −3);
N (−3) − N (−2) = 3 − 2 = 1, nên f có 1 nghiệm trong (−3, −2)
N (−2) − N (−1) = 2 − 2 = 0, nên f vô nghiệm trong (−2, −1)
N (−1) − N (0) = 2 − 2 = 0, nên f vô nghiệm trong (−1, 0)
N (0) − N (1) = 2 − 2 = 0, nên f vô nghiệm trong (0, 1)
N (1) − N (2) = 2 − 2 = 0, nên f vô nghiệm trong (1, 2)
N (2) − N (3) = 2 − 0 = 2, nên f có 0 hoặc 2 nghiệm trong (2, 3)
N (3) − N (∞) = 0 − 0 = 0, nên f có 0 nghiệm trong (3, +∞).
Vậy f (x) có 1 nghiệm âm trong khoảng (−3, −2), và f (x) có thể có 2 hoặc
0 có nghiệm thực dương trong (2, 3) (chú ý rằng việc xác định được con số
chính xác và vị trí của các nghiệm thực người ta cần thêm các nghiên cứu
khác nữa, chẳng hạn ở đây f (x) là đa thức bậc 3 nên ta có thể dùng cách
giải phương trình bậc 3, tuy nhiên đối với phương trình đa thức bậc ≥ 5
tổng quát ta không có công thức cụ thể mà phải dùng phương pháp xấp xỉ
nghiệm).
Ví dụ 2.3.2. Khảo sát đối với đa thức f (x) = x5 − x4 + 3x3 + 9x2 − x + 5.

f (x) = 5x4 − 4x3 + 9x2 + 18x − 1,
f (x) = 20x3 − 12x2 + 18x + 18,
f (3) (x) = 60x2 − 24x + 18,
f (4) (x) = 120x − 24,
f (5) (x) = 120.
Do đó, ta có Bảng 2.10 về các dấu của f, f , f , f (3) , f (4) , f (5) .

N (−∞) − N (−3) = 5 − 5 = 0,
N (−3) − N (−2) = 5 − 5 = 0,
N (−2) − N (−1) = 5 − 4 = 1,

N (−1) − N (0) = 4 − 4 = 0,
N (0) − N (1) = 4 − 0 = 4,
N (1) − N (∞) = 0 − 0 = 0.