Đề&HD TS ĐH Toán 2010 số 39

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT
Trường THPT Anh Sơn III Môn Toán – Khối A
http://ductam_tp.violet.vn/ Năm học 2009-2010-Thời gian 180 phút
Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1: Cho hàm số : y =
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)x mx m x m− + − − −
(1)
a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .
b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu 2: a, Giải phương trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin
2
(2x+
4
π
) = 0
b, Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :

2
2 2
2
1
x
x y x a
x y

+ = + +


+ =



Câu 3 : Tìm :
3
sin
(sin 3 cos )
xdx
x x+
∫

Câu 4 : Cho lăng trụ đứng
' ' '
.ABC A B C
có thể tích V. Các mặt phẳng (
' ' '
),( ),( )ABC AB C A BC
cắt nhau .
tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V.
Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng :
P =
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2( )
x y z
x y y z z x
y z x
+ + + + + + + +
≥
12
Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )

A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a : a, Cho đường tròn (C) có phương trình :
2 2
4 4 4 0x y x y+ − − + =
và đường thẳng
(d) có phương trình : x + y – 2 = 0
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn . . .
(C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đường thẳng có phương trình :

1
1 2
( ) :
2 2 1
x y z
d
+ −
= =
−

'
2
'
4
( ) : 2
3
x t
d y
z t


=

= −


=

Viết phương trình đường thẳng (
∆
)đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng(d
1
), (d
2
).
Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :

7
4
3
1
x
x
 
+
 ÷
 
( với x > 0 )
B . Theo chương trình nâng cao
Câu 6b : a, Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao và . .
đường phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 .

b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng (
∆
) có phương
trình :
2 1 0
2 0
x y z
x y z
− + + =


− + + =


Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng (
∆
)sao cho : MA + MB nhỏ nhất .
Câu 7b : Cho
2 12 2 24
0 1 2 24
(1 ) ...x x a a x a x a x+ + = + + +
. Tính hệ số a
4
.
------ Hết. --------
Họ và tên………………………………………….. Số báo danh…
SỞ GD-ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ANH SƠN 3
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Cõu Đáp án Điểm

Cõu 1
(2 điểm)
a. (1.0 điểm) Khảo sát…
Với m=0, ta cú: y=x
3
-3x+1
TXĐ D=R
y’=3x
2
-3; y’=0
⇔
1
1
x
x
=


= −

lim
x
y
→±∞
= ±∞
0,25
BBT
x
−∞
-1 1

+∞
y’ + 0 - 0 +
y 3
+∞
-1
−∞
0,25
Hs đồng biến trên khoảng (
−∞
;-1) và (1;
+∞
), nghịch biến trờn (-1;1)
Hs đạt cực đại tại x=-1 và y
cđ
=3, Hs đạt cực tiểu tại x=1 và y
ct
=-1
0,25
Đồ thị : cắt Oy tại điểm A(0;1)
và đi qua các điểm B(-2;-1), C(2;3)
Đồ thị nhận điểm A(0;1) làm tâm đối xứng
0,25
b. (1.0 điểm) Tỡm m để …
Ta cú y’= 3x
2
-6mx+3(m
2
-1)
0,25
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM
2010
Mụn: TOÁN; Khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 07 trang)
y
-2
1
-1
-1
1
2
3
x
0
y’=0
⇔
1
1
x m
x m
= −


= +

Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thỡ ta
phải cú:
'
2 2 2
' 0

. 0
( 1)( 3)( 2 1) 0
0 1 0
1 0
0
( 1) 0
(0) 0
y
CD CT
CD
CT
m R
f f
m m m m
x m
m
x
m
f
>
∀ ∈




<
− − − − <


 

> ⇔ − >
 
 
+ >
>
 
− − <
 
<


V
0,25
Vậy giỏ trị m cần tỡm là:
( 3;1 2)m∈ +
0,25
Cõu 2 a. (1.0 điểm) Giải phương trỡnh
Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x +
4
π
)=0
⇔
sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +
2
π
)
0,25
⇔
sinx + sin4x = 1+ sin4x 0,25
⇔

sinx = 1 0,25
⇔
x =
2
π
+ k2
π
, k
∈
Z
0,25
b. (1.0 điểm)
Nhận xột: Nếu (x;y) là nghiệm thỡ (-x;y) cũng là nghiệm của hệ
Suy ra, hệ cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x =0
+ Với x = 0 ta cú a =0 hoặc a = 2
0,25
-Với a = 0, hệ trở thành:
2 2
2 2 2 2
2 2 (1)
(I)
1 1 (2)
x x
x y x x x y
x y x y
 
+ = + + − =
 
⇔
 

+ = + =
 
 
Từ (2)
2
2
2
2
1
1
2 1
1
1
x
y
x
x x
y
x x
y


≤

≤
+ − ≥
  
⇒ ⇒ ⇒
  
≤

≤
≤






0,25
⇒
( I ) cú nghiệm
2 2
2
1
0
2 1
1
1
x
x y
x
x x
y
y

+ =

=



⇔ + − = ⇔
 
=


=


TM 0,25
(2.0
điểm)
-Với a=2, ta cú hệ:
2
2 2
2 2
1
x
x y x
x y

+ = + +


+ =



Dễ thấy hệ cú 2 nghiệm là: (0;-1) và (1;0) khụng TM
0,25
1 2 1

3 1
3 1 2
3 1 2
1
m
m
m
m
m


− < <



− < < −


⇔ ⇔ < < +


< < +




>


Vậy a = 0

Cõu 3
(1.0
điểm)
Ta cú
3
3
sin[(x- ) ]
sinx
6 6
(sinx+ 3 osx)
8 os ( )
6
c
c x
π π
π
+
=
−
0,25
3 1
sin( ) os(x- )
2 6 2 6
8 os(x- )
6
x c
c
π π
π
− +

=
0,25
3 2
sin( )
3 1 1
6
16 16
os ( ) os ( )
6 6
x
c x c x
π
π π
−
= +
− −
0,25
3
2
sinxdx 3 1
tan( )
16 6
(sinx+ 3 osx)
32 os ( )
6
x c
c
c x
π
π

⇒ = + − +
−
∫
0,25
Cõu 4
(1.0
điểm)
Gọi I = AC
∩
’A’C, J = A’B
∩
AB’
(BA'C) (ABC') = BI
(BA'C) (AB'C) = CJ
Goi O = BI CJ
∩


∩


∩


⇒
O là điểm cần tỡm
Ta cú O là trọng tõm tam giỏc BA’C
0,25
Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (ABC)
Do

V
ABC là hỡnh chiếu vuụng gúc của
V
BA’C trờn (ABC) nờn H là
trọng tõm
V
ABC
0,25
Gọi M là trung điểm BC. Ta có:
1
' 3
OH HM
A B AM
= =
0,25
1 1 1
. ' .
3 9 9
OABC ABC ABC
V OH S A B S V⇒ = = =
V V
0,25
J
I
O
H
M
B'
A'
C'

C
B
A
Cõu 5
(1.0
điểm)
Ta cú: 4(x
3
+y
3
)
≥
(x+y)
3
, với
∀
x,y>0
Thật vậy: 4(x
3
+y
3
)
≥
(x+y)
3

⇔
4(x
2
-xy+y

2
)
≥
(x+y)
2
(vỡ x+y>0)

⇔
3x
2
+3y
2
-6xy
≥
0
⇔
(x-y)
2
≥
0 luôn đúng
Tương tự: 4(x
3
+z
3
)
≥
(x+z)
3

4(y

3
+z
3
)
≥
(y+z)
3

3 3 3 3 3 3
3 3 3
3
4( ) 4( ) 4( ) 2( ) 6x y x z y z x y z xyz⇒ + + + + + ≥ + + ≥
0,25
Mặt khỏc:
3
2 2 2
1
2( ) 6
x y z
y z x xyz
+ + ≥
0,25
3
3
1
6( ) 12P xyz
xyz
⇒ ≥ + ≥
0,25
Dấu ‘=’ xảy ra

2 2 2
1
1
x y z
x y z
x y z
y z x
xyz
xyz


= =


⇔ = = ⇔ = = =



=


Vậy P
≥
12, dấu ‘=’ xảy ra
⇔
x = y = z =1
0,25
Cõu 6a Chương trỡnh chuẩn
a. (1.0 điểm)
(C) cú tõm I(2;2), bỏn kớnh R=2

Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:
2 2
0
2
2 0
4 4 4 0
2
0
x
y
x y
x y x y
x
y
 =



=
+ − =



⇔


+ − − + =
=





=



Hay A(2;0), B(0;2)
0,25
Hay (d) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A,B 0,25
Ta cú
1
.
2
ABC
S CH AB=
V
(H là hỡnh chiếu của C trờn AB) 0,25
H
4
A
B
I
y
x
M
2
2
O
C