Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân cấp ba với điều kiện biên dạng ba điểm và dạng tích phân (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

P❍❸▼ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❘❆◆●

❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱■ P❍❹◆
❈❻P ❇❆ ❱❰■ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❇■➊◆ ❉❸◆● ❇❆ ✣■➎▼ ❱⑨
❉❸◆● ❚➑❈❍ P❍❹◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

P❍❸▼ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❘❆◆●
❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱■ P❍❹◆
❈❻P ❇❆ ❱❰■ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❇■➊◆ ❉❸◆● ❇❆ ✣■➎▼ ❱⑨
❉❸◆● ❚➑❈❍ P❍❹◆
◆❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ sè✿ ✽✳✹✻✳✵✶✳✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❚❘❺◆ ✣➐◆❍ ❍Ò◆●
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔
tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥
r➡♥❣ ♠å✐ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ ✈➔
❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾

❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥
P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉ ❚r❛♥❣
❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ ❦❤♦❛ ❚♦→♥

❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❚r➛♥ ✣➻♥❤ ❍ò♥❣

✐


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r÷î❝ ❦❤✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣
❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❚❙✳ ❚r➛♥ ✣➻♥❤ ❍ò♥❣✱ ♥❣÷í✐ t❤➛② t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥
tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥
♥➔②✳
❚æ✐ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸
❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣❍❙P ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ tr✉②➲♥ t❤ö ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣
❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✈➔ ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣
❣â♣ q✉þ ❜→✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠ ❦❤✉②➳t ✈➻
✈➟② r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝
❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝↔♠
ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ tæ✐ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✱
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❚→❝ ❣✐↔

P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉ ❚r❛♥❣
✐✐


ử ử
r ử
ớ
ớ ỡ
ử ử

ởt số tự ỡ s









ởt số ỵ t ở

tỷ r







r





ỹ tỗ t ừ ữỡ tr ợ
t



ỹ tỗ t ừ ữỡ tr ợ

ỹ tỗ t ừ ữỡ tr ợ
t

t
t








▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t

R

t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝

∅

t➟♣ ré♥❣

A⊂B

A

A∪B

❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣

A

✈➔

B

A∩B

❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣

A

✈➔

B

A×B

t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣

ker(f )

❤↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛

Coker(f )

✤è✐ ❤↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛

✷

❦➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛

✐✈

B

f
f

A

✈➔

B



Pữỡ tr õ ự ử tr
ỹ t ỵ tt ữ t t ở ó ừ ởt
ợ ữủ t t ợ s s t
t ự ỏ ừ ởt ọ t ọ ợt
tr t r ởt ữ ố ởt t t
ữợ t ự s ữ ừ sự t ỹ
ụ ữ ở ợt ữỡ tr ừ ở ụ ữủ

ữ ữỡ tr r t õ
ữủ õ t t
t
ự sỹ tỗ t t ừ ữỡ tr
ừ ợ t út ữủ
sỹ q t ừ t ồ tt ờ ữủ sỷ ử
ự ữỡ tr ữỡ
tr ữợ ữỡ tử ỹ tr
t ừ ởt ồ t ợ ởt t số t
s õ sỷ ử ỵ t ở
ú tổ ồ ỹ tỗ t ừ ữỡ tr
ợ t ử
ừ tr ởt số t q ừ r r
sỹ tỗ t ừ ữỡ tr ừ

y (t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),



0 < t < 1,


tr trữớ ủ rt
t
ỗ ữỡ ở t
t t
ữỡ tr ởt số tự ỡ s ởt số t
ở t tỷ r r
ữỡ tr ởt số ừ t ữủ t
ừ ởt ồ t ữỡ tr ừ

tr trữớ ủ
t õ sỷ ử ỵ t ở ự ởt
số t q sỹ tỗ t




ữỡ
ởt số tự ỡ s
ữỡ tr ởt số tự ỡ s tt ữỡ s
ữủ t tứ t

ởt số ỵ t ở


T : A A

ộ

ồ ởt t ở ừ

x

ừ ữỡ tr

x = Tx

ữủ

T

ởt số ỵ t ở s ỵ t ỡ
ữủ sỷ ử ờ tr ự sỹ tỗ t t ừ
ữỡ tr
ỵ t ở t tỷ ợ số

k

ỵ t ở rr t tỷ tử tr ổ
ỳ
ỵ t ở r t tỷ t tử
tr ởt t ỗ rộ t tr ổ ổ
ởt tờ qt õ ừ ỵ t ở rr
ỵ t ở r t tỷ tử t
tr ổ
r ởt số ỵ t ở q trồ ữủ sỷ ử
tr ự sỹ tỗ t ừ ữỡ tr




t ữ ỵ r r t tỷ t
tr ởt t ỗ rộ ừ ổ
ũ ợ ỵ t ở tt rr tt
số t ở ụ ỳ ổ ử q trồ ữủ ự ử
tr ự sỹ tỗ t t ở ừ tử
ụ ữ sỹ tỗ t ừ ữỡ tr t

ỵ t ở
t ữỡ tr t

x = T x.


tr

(X, d)

tỷ

ữủ ồ ợ số

k

T :M XX


tr ổ



d(T x, T y) kd(x, y)
ợ ồ

x, y M

ỵ

k

ố



0 k < 1.

ỵ t ở

sỷ r
T : M X M ởt tứ õ
t õ rộ tr ổ tr ừ (X, d)
ởt ợ số k
õ ữỡ tr



õ t x tự T õ t

ởt t ở tr
ỵ t ở õ ỵ q trồ tr t
t tr ự sỹ tỗ t t ừ
ữỡ tr t

ỵ t ở rr
ợ ỵ t ở ỵ t ở
rr ổ r t t ừ t ở t

tt ừ ỵ rr ữủ ợ ọ ỡ s ợ ỵ t
ở

ỵ

ỵ t ở rr

sỷ M t rộ ỗ t ừ Rn tr õ N 1

f : M M tử õ õ ởt t ở
ởt ừ ỵ rr ử ữủ
tử tr ổ ỳ t sỹ tỗ t
ừ ữỡ tr t t tr ổ
ổ ổ t ổ t ử
ỵ t ở rr ố ợ t tỷ tr ổ ổ
t ỵ t ở r ởt rở
ừ ỵ t ở rr t q ữủ sỷ ử
ờ ỵ s ữủ tr tr ữợ

ỵ t ở r
r s tr ởt tờ qt õ ừ ỵ t
ở rr t tỷ t tr ổ ổ
õ ỵ t ở r
tỷ t ữủ ữ s


T : D(T ) X Y

X

ởt t tỷ

t tử

T

T



Y

ổ

ữủ ồ t tỷ t

ồ t t t tữỡ

ố
t tỷ t õ trỏ q trồ tr t
t ỹ t õ t q t tỷ tử tr

Rn

ữủ

s ổ t t t tử t
t

ử

sỷ r t õ tử

K : [a, b] ì [a, b] ì [R, R] K,



tr õ

< a < b < +, 0 < R <



K = R, C



M = {x C([a, b] , K) : x R} ,
tr õ
tử

x = maxasb |x(s)|



C([a, b] , K)

ổ

x : [a, b] K.

t t tỷ t

b

(T x)(t) =

K(t, s, x(s))ds,
a

t

(Sx)(t) =

K(t, s, x(s))ds,

t [a, b] .

a
õ

S, T



ỵ

M



C([a, b] , K)

t tỷ t

ỵ t ở r



M ởt t rộ ỗ õ ừ ổ X
sỷ T : M M t tỷ t õ T õ t ở
ởt ừ ỵ t ở r ữủ t
ữ ữợ

q M ởt t rộ ỗ t ừ ổ
X sỷ T : M M t tỷ tử õ T õ
t ở
ỵ r õ ự ử q trồ tr ự sỹ
tỗ t ừ ữỡ tr t ợ t số sỹ tỗ t
ừ ữỡ tr t ữỡ tr

ỵ t ở r
ỵ r ởt t ừ ỵ r r ụ
tữớ ữủ sỷ ử ự sỹ tỗ t ừ ữỡ tr
ừ

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✽✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❤➔♠ f : X → X ❧✐➯♥ tö❝
✈➔ ❝♦♠♣❛❝t✳ ◆➳✉ t➟♣

F = {x ∈ X : x = λf (x), ∀λ ∈ [0, 1]}
❜à ❝❤➦♥ t❤➻ f ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳

✶✳✷ ❚♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠
X

❈❤♦

✈➔

Y

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑➼ ❤✐➺✉

❝→❝ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tø

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳
Im(T )

❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉

tî✐

T ∈ L(X, Y )

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

Ker(T ) ✈➔ Coker(T ) = Y \ Im(T ) ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❤ú✉

✤â♥❣ tr♦♥❣

F(X, Y )

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

Y✳

✭①❡♠ ❬✶✸❪✮ ❚♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥

t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠ ♥➳✉
❤↕♥ ✈➔

X

L(X, Y )

Y✳

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠ tø

❈❤➾ sè ❝õ❛ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠

T✱

❦➼ ❤✐➺✉

Index(T )

X

tî✐

Y✳

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

Index(T ) = dim(Ker(T )) − dim(Coker(T )).

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
X, Y, Z

❈❤♦
✐✮ ◆➳✉
✈➔

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

T1 : X → Y

T2 T1

✈➔

T2 : Y → Z

❜à ❝❤➦♥✱ ✈➔ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❜❛ t♦→♥ tû

❧➔ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠✱ t❤➻ t♦→♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠✱ ✈➔

Index(T2 ◦ T1 ) = Index(T1 ) + Index(T2 ).
✐✐✮

T1 , T2

F(X, Y )

❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣

L(X, Y )

✈➔

Index : F(X, Y ) → R
❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳

✼


✶✳✸ ❍➔♠ ●r❡❡♥
❍➔♠ ●r❡❡♥ ❝â ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà
❜✐➯♥ ✈➔ ❧➔ ❝æ♥❣ ❝ö q✉❛♥ trå♥❣ ✤➸ ❝❤➾ r❛ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t

L [y(x)] ≡ p0 (x)
n−1

Mi (y(a), y(b)) ≡

dn−1 y
dn y
+
p
(x)
+ ... + pn (x)y = 0,
1
dxn
dxn−1

k
i d y(a)
αk
k

dx

k=0
tr♦♥❣ ✤â

pi (x), i = 0, ...n

✤✐➸♠ t❤✉ë❝

+

k
i d y(b)
βk
k

dx

= 0,

❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥

i = 1, ...n,

✭✶✳✹✮

(a, b), p0 (x) = 0

✈î✐ ♠å✐

(a, b)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳

✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❍➔♠

G(x, t)

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ●r❡❡♥ ❝õ❛

❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ ✭✶✳✸✮ ✲ ✭✶✳✹✮ ♥➳✉ ①❡♠ ♥❤÷ ❤➔♠ ❝õ❛ ❜✐➳♥
♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞÷î✐ ✤➙② ✈î✐ ♠å✐
✭✐✮ ❚r➯♥

G(x, t)

(a, t)

✈➔

tù❝ ❧➔✿

♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ tr♦♥❣ ✭✶✳✹✮✱ tù❝ ❧➔

x = t, G(x, t)

i = 1, ..., n.

✈➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t❤❡♦ ❜✐➳♥

x

tî✐ ❝➜♣

❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝

∂ k G(x, t)
∂ k G(x, t)
lim
− lim−

= 0,
x→t+
x→t
∂xk
∂xk
✭✐✈✮ ✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣

x = t✱

(t, b)✱

L [G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b).

Mi (G(a, t), G(b, t)) = 0,

(n − 2)

♥â t❤ä❛

[a, t) ✈➔ (t, b]✱ G(x, t) ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tî✐ ❝➜♣

L [G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t);

✭✐✐✐✮ ❚↕✐

x✱

t ∈ (a, b)✿

♥ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✸✮ tr➯♥

✭✐✐✮

✭✶✳✸✮

(n − 1)

t❤❡♦ ❜✐➳♥

x

k = 0, ..., n − 2.

❝õ❛

G(x, t)

❧➔ ❣✐→♥ ✤♦↕♥ ❦❤✐

❝ö t❤➸

∂ n−1 G(x, t)
∂ n−1 G(x, t)
1
lim+
−
lim
=
−
.

x→t
x→t−
∂xn−1
∂xn−1
p0 (t)
✽


✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ●r❡❡♥✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✷✳

✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ✭❚ç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t✮✳

❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t tr♦♥❣

✭✶✳✸✮

✲

✭✶✳✹✮

◆➳✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà

❝❤➾ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣ t❤➻ tç♥ t↕✐

❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ●r❡❡♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥✳
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t

dn y

dn−1 y
L [y(x)] ≡ p0 (x) n + p1 (x) n−1 + ... + pn (x)y = −f (x),
dx
dx

✭✶✳✺✮

✈î✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t

n−1

Mi (y(a), y(b)) ≡

k
i d y(a)
αk
k

dx

k=0
tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ ❤➺ sè

+

k
i d y(b)
βk
k

dx

= 0,

i = 1, ...n,

✭✶✳✻✮

pj (x) ✈➔ ❝→❝ ❤➔♠ ✈➳ ♣❤↔✐ f (x) tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮

❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✱ ✈î✐

p0 (x) = 0 tr➯♥ (a, b) ✈➔ Mi

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ ❞↕♥❣ ✤ë❝

❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❝→❝ ❤➺ sè ❤➡♥❣✳
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ t❤➸ ❤✐➺♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✺✮
✲ ✭✶✳✻✮ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✸✳
✈î✐

✭✶✳✺✮

✲

✭①❡♠ ❬✶✵❪✮

✭✶✳✻✮

◆➳✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣

❝❤➾ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥

✭✶✳✺✮

✲

✭✶✳✻✮

❝â

♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞÷î✐ ❞↕♥❣
b

y(x) =

G(x, t)f (t)dt,
a

tr♦♥❣ ✤â G(x, t) ❧➔ ❤➔♠ ●r❡❡♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣✳
▼ët sè ✈➼ ❞ö ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤➾ r❛ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ●r❡❡♥ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥
❣✐→ trà ❜✐➯♥ ❝ö t❤➸✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✹✳

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥





u (x) = −ϕ(x),


u(0) = u(1) = 0.
✾

0 < x < 1,
✭✶✳✼✮


❍➔♠ ●r❡❡♥ ✤÷ñ❝ t➻♠ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ s❛✉

G(x, t) =




A1 + A2 x,

0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
✭✶✳✽✮



B1 + B2 (1 − x),
tr♦♥❣ ✤â

A1 , A2

✈➔

B1 , B2

❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝õ❛

0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
t✳

❍➔♠ ●r❡❡♥ ♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✮✳
❉♦ ❤➔♠ ●r❡❡♥

G(x, t) t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➯♥ ❜✐➯♥ t❤✉➛♥
A1 = B1 = 0✳ ❉♦ ✤â✱ ❤➔♠ ●r❡❡♥



A2 x, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
G(x, t) =


B2 (1 − x), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.

♥❤➜t ✭✐✐✮ t❛ s✉② r❛ ✤÷ñ❝

❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔

✭✶✳✾✮

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ✭✐✐✐✮ ❝❤♦ t❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

B2 (1 − t) − A2 t = 0.

✭✶✳✶✵✮

B2 + A2 = 1.

✭✶✳✶✶✮

❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✈✮ t❛ ✤÷ñ❝

❚❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ❝→❝ ❤➺ sè

A2 , B2

❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✵✮ ✈➔

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✶✮✳ ❑➳t q✉↔ t❛ ✤÷ñ❝

A2 = 1 − t, B2 = t.

❚❤❛② ❝→❝ ❤➺ sè t➻♠ ✤÷ñ❝ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✾✮ t❛ ✤÷ñ❝ ❤➔♠ ●r❡❡♥

G(x, t) =





x(1 − t),

0 ≤ x ≤ t ≤ 1,



t(1 − x),

0 ≤ t ≤ x ≤ 1.

✭✶✳✶✷✮

❉♦ ✤â✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✼✮ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣

1

u(x) =

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✺✳

G(x, t)ϕ(t)dt.
0

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥




u(4) = ϕ(x),

0 < x < 1,
✭✶✳✶✸✮



u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = 0.
✶✵


❑❤✐ ✤â ❤➔♠ ●r❡❡♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❝â ❞↕♥❣


3
2


− t + t x , 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,
6
2
G(t, s) =
3
2


− x + x t , 0 ≤ x ≤ t ≤ 1.
6
2
❉♦ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✸✮ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣

1

u(x) =

G(x, t)ϕ(t)dt.
0

✶✶

✭✶✳✶✹✮


❈❤÷ì♥❣ ✷
❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❜❛ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥
❞↕♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠ ✈➔ ❞↕♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥
✷✳✶ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣
❜❛ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❞↕♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠
◆ë✐ ❞✉♥❣ tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✸❪✳ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❜❛ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❞↕♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠✿

y (t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),
y(0) = y(a) = y(1) = 0,
❑➼ ❤✐➺✉
tö❝ tr♦♥❣
❱î✐

I

I

[0, 1]✱ C(I)

❧➔ ✤♦↕♥

k = 1, 2, ...✱

0

❦➼ ❤✐➺✉

❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tî✐ ❝➜♣

k

y
C03 (I)

y

✈î✐ ❝❤✉➞♥

✭✷✳✷✮

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❤➔♠ t❤ü❝ ❧✐➯♥

C k (I)
I✱

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✤↕♦

✈î✐ ❝❤✉➞♥

= max( y 0 , y

0 , ...,

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❤➔♠

y(a) = y(1) = 0; L1 (I)

0 < a < 1.

✭✷✳✶✮

= max {|y(t)| , t ∈ I}✳

tr♦♥❣

k

0 < t < 1,

y (k) 0 ).

y ∈ C 3 (I)

t❤ä❛ ♠➣♥

y(0) =

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr♦♥❣ ■

✶✷


ợ tổ tữớ
t ồ t ợ t số



y (t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),

0 < t < 1,



y(0) = y(a) = y(1) = 0,
ợ



0 1.

ờ ợ = 0 t



õ t t

tữớ tỗ t r G(t, s) tữỡ ự
ự

ờ tr ữủ s r trỹ t tứ t t ừ ữỡ

tr t t
t s tr ỹ

r 3)

ừ ữỡ tr

y

= 0

G(t, s)

sỷ

ur (t), (1

tọ



u1 (0) = 1,
u2 (0) = 0,
u3 (0) = 0,

u1 (a) = 0,

u1 (1) = 0,

u2 (a) = 1,
u3 (a) = 0,

u2 = 0,
u3 (1) = 1.

õ

t2 a + 1
t + 1,
u1 (t) =
a
a

t2 t
u2 (t) = 2
,
a a

t2 at
u3 (t) =
.
1a

3v
(t s)2

t õ
= 0.
t v(t, s) =
2
t3
t v1 (s) = v(0, s), v2 (s) = v(a, s) v3 (s) = v(1, s)



s2
(a s)2
(1 s)2
v1 (s) = , v2 (s) =
, v3 (s) =
.
2
2
2
t

(t, s) = u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s) + u3 (t)v3 (s)

ừ

v(a, s)



y

= 0

ợ

s

ố ỡ ỳ

(1, s) = v(1, s)


õ

(., s)



(0, s) = v(0, s), (a, s) =


❚ø t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✱
s✉② r❛

ϕ(t, s) = v(t, s)✱

tù❝ ❧➔

u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s) + u3 (t)v3 (s) =
❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠
❱î✐

G(t, s)

(t − s)2
,
2

∀(t, s) ∈ I 2 .

♥❤÷ s❛✉✿

0 ≤ s ≤ a✿

G(t, s) =




−u2 (t)v2 (s) − u3 (t)v3 (s), 0 ≤ t ≤ s,



u1 (t)v1 (s),
s≤t≤a


(t2 − t)
(t2 − at)

2

2
1 − a2 − a (a − s) − 1 − a (1 − s) , 0 ≤ t ≤ s,
=
2
2

 t − (a + 1)t + a s2 ,
s ≤ t ≤ a,
a
✈î✐

a ≤ s ≤ 1✿

G(t, s) =




−u3 (t)v3 (s),

a ≤ t ≤ s,



u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s), s ≤ t ≤ 1


(t2 − at)



−
(1 − s)2 ,
a ≤ t ≤ s,
1
1
−
a
=
2
2
2

 t − (a + 1)t + a s2 + (t − t) (a − s)2 , s ≤ t ≤ 1.
a
a2 − a
◆➳✉ ❤➔♠

f : I × R3 → R

❧✐➯♥ tö❝✱ t❤➻

t♦→♥ ✭✷✳✸✮✱ ✭✷✳✹✮ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

y ∈ C 2 (I)

y ∈ C 3 (I)

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐

✈➔ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

t➼❝❤ ♣❤➙♥

1

y(t) = λ

G(t, s)f (s, y(s), y (s), y (s))ds.
0

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤

L : C03 (I) → C(I)
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

(Ly)(t) = y (t),
✶✹

∀t ∈ I.

✭✷✳✺✮


õ
tử

L

t tỷ r ợ số õ ữủ t

L1

ữủ ổ tự

1
1

(L h)(t) =

t I.

G(t, s)h(s)ds,
0

t tỷ ts

F

ừ

f

ữ s

F : C 2 (I) C(I),
t I.

(F y)(t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),

õ ữỡ tr t tữỡ ữỡ ợ ữỡ tr

y = (L1 F j)(y),
tr õ

j : C03 (I) C 2 (I)

ú



jy(t) = y(t).

ờ y C01(I) tỗ t m1 > 0 s |y (t)| m1
ợ ồ t I t |y(t)|
ự

õ

m1
2

y(t) =

ợ ồ t I
t
0 y

(s)ds

t

2 |y(t)|
2 |y(t)| m1 ,

1
t y
1

y(t) =

1

|y (s)| ds +
0

õ



|y (s)| ds =

(s)ds

r

|y (s)| ds.

t

0

t I

ờ ú t s t trữớ ủ

0 < 1

ỵ sỷ f : I ì R3 R tử 0 < 1
tỗ t m > 0 ổ ử tở s y

y ừ



ự
ỗ ừ

t

t t



U = y C03 (I); y

(3)

(3)

m ợ ồ

tỗ t t t ởt


õ

U

t

C03 (I) H : [0, 1] ì U C03 (I) H(, y) =

L1 F j(y) ởt ỗ t t ở ừ õ
ừ ỹ ồ ữ tr
õ t ở tr
ữủ õ


H(1, .)

U

H(0, .) 0

ừ õ

t

U

ổ

H(, .) ởt ỗ



õ ởt t ở tr

H(, .)

H(1, .) = L1 F j



ừ


t t s tr ừ

f

t ữủ

t ừ t

f : I ì R3 R tử tọ
tỗ t r1 > 0 s pf (t, y, p, 0) > 0 ợ ồ |p| > r1 ồ y

R õ ừ



tọ |y (t)| r1 |y(t)|

r1
2

t I
ự

|y (t)| r1
r1

y = 0

sỷ

ợ ồ

õ

ừ ự

t I sỷ ữủ tỗ t t1 I

y (t1 ) > r1

y (t1 ) < r1

trữớ ủ ỏ tữỡ tỹ s r

y

t2 I

tử tỗ t

t2 (0, 1)

t

tọ

y (t2 ) > r1 , y (t2 ) = 0



s

t trữớ ủ

|y (t1 )| >

y (t1 ) > r1

max {|y (t)| ; t I} > r1

y (t2 ) = max {|y (t)| ; t I}
y (t2 )y (t2 ) 0







t õ

y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), y (t2 )) = y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), 0) > 0.


0<1

s r

0 y (t2 )y (t2 ) > 0.
t ợ tt


t2 = 0

tự

y

t tr ợ t t

t = 0

õ

y (0) 0



y (0) > r1


y (0) = 0

tứ t õ

y (0)y (0) = y (0)f (0, 0, y (0), 0) > 0,
s r

y (0) > 0

õ

y

ỡ t ợ



y (t) > y (0) = 0

ữỡ tỹ ữ tr

t > 0

ổ t tr ợ t ừ



y (0)

y

t

0



t > 0

ỡ t ợ

|y (t)|

t

s r

0



t

ợ tt

tt

y (0) < 0

t

y

ó t

0

r

y (0) > r1 > 0


y (0) 0

t ợ

t2 = 1

t tữỡ tỹ t ụ ữủ sỹ t ữ tr

õ

y (t) r1 0,

t I.

ữỡ tỹ

y (t) r1 ,

t I.

|y (t)| r1 ,

t I.

r

ữ tứ ờ t õ

|y(t)| r1 /2,

t I.

f : I ì R3 R tử tọ
tỗ t q L1(I), +
: [0, +) (0, +) tử 1/ t
d
> q
()

tr


0

L1

ợ ồ R r1 tr



r1 r1
(t, y, p) I ì ,
ì [r1 , r1 ] .
2 2

|f (t, y, p, ) q(t)(||),

õ tỗ t r2 > 0 ổ ử tở s ừ
r1
t ợ |y(t)| , |y (t)| r1 t I tọ |y (t)| r2
2

ợ ồ t I
ự

r1 /2



sỷ

|y (t)| r1

y ừ t tọ |y(t)|

ợ

ứ ừ

t I



r2

t õ t

r2 > 0



0

s ự tọ r

tI


tọ

|y (t)| r2

ợ ồ

t I

d
> q
()

sỷ ữủ tỗ t

|y (t)| > r2 y(0) = y(a) = y(1) tỗ t s1 (0, a)

s2 (a, 1) s y (s1 ) = 0 = y (s2 ) r tỗ t t (s1 , +s2 ) tọ



y (t) = 0.

ữ t õ

y C 3 (I)

|y (t)| = 0



|y (t)| > r2

tỗ t

[1 , 2 ] I

tọ ởt tr ỳ

s


L1

y (1 ) = 0, y (2 ) = r2



0 < y (t) < r2 ,


t (1 , 2 ).

y (1 ) = r2 , y (2 ) = 0



t (1 , 2 ).

0 < y (t) < r2 ,



y (1 ) = 0, y (2 ) = r2



r2 < y (t) < 0,

t (1 , 2 ).



y (1 ) = r2 , y (2 ) = 0



r2 < y (t) < 0,

t (1 , 2 ).

t trữớ ủ t trữớ ủ tữỡ tỹ

ứ t õ

|y (t)| = |f (t, y(t), y (t), y (t))| q(t)(|y (t)|),
ợ

t [1 , 2 ]



0<1

t

t I.

y (t) q(t)(y (t))



y (t)
q(t),
(y (t))
õ

2
1

t [1 , 2 ] .

2

y (t)
dt
(y (t))

1

q(t)dt

q(t)dt = q
0

1

L1 .

õ t õ t tự

r2
0

d
q
()

õ t ợ ồ
ữủ

|y (t)| r2 ,

õ t

ự

t trữớ ủ ỏ t t

t I.

ỵ f


r2

L1 .



: I ì R3 R tử tọ







tỗ t t t ởt

y ởt ừ ứ
r1
t õ |y(t)|

|y (t)| r1 ợ ồ t I ứ t õ
2
|y (t)| r2 ợ ồ t I
r1
t r3 = {|f (t, y, p, w)|; t I, |y|
, |p| r1 , |w| r2 }.
2
õ y (3) r. ợ r = max(r1 , r2 , r3 )
t

sỷ

U = {y C03 (I); y

(3)

< 1 + r}

ử t õ

ự

ử

t t

y (t) = tey(t) (y (t) 1)(1 + y (t)2 ),


0 < t < 1,

y(0) = y(a) = y(1) = 0.
õ
ồ

f (t, y, p, w) = tey (p 1)(1 + w2 )

p > 1

ỡ ỳ

q(t) = t

õ

(w) = 1 + w2





pf (t, y, p, 0) > 0

ợ

tọ

ữ t ỵ t tỗ t t t ởt

t ú tổ tr r sỹ tỗ t
ừ t



ỗ t

k0 > 0 tọ f (t, k0 t, k0 , 0) > 0 f (t, k0 t, k0 , 0) < 0

t I

ợ ồ

+

c > 0, l L1 (I)

ỗ t

ợ

0
ồ

dz
= +
(z)
w R t õ

ữủ

s ợ ồ

: [0, +) (0, +)

(t, y, p) I ì [k0 , k0 ] ì [k0 , k0 ]

|f (t, y, p, w)| (l(t) + c|w|)(|w|).

ỵ f : I ì R3 R tử tọ




õ t



ự
ữợ







tỗ t t t ởt

ú t ự t ữợ ữ s



f 1 : I ì R3 R







max(f (t, k0 t, k0 , 0), f (t, y, p, w)), p > k0 ,




f1 (t, y, p, w) = f (t, y, p, w),
k0 p k0 ,






min(f (t, k0 t, k0 , 0), f (t, y, p, w)), p < k0 .
t ồ t ợ t số

y (t) = f1 (t, y(t), y (t), y (t)),
y(0) = y(a) = y(1) = 0,
ợ

0 < 1.

ữợ

t



0 < t < 1,