Chuyên đề số học ở tiểu học

Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

1. Phơng pháp xét chữ số tận cùng
Ví dụ 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 9 lần chữ
số hàng đơn vị.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : ab = b x
9.
Cách 1. Vì a 0 nên b 0. Vì b x 9 có tận cùng là b (khác 0) nên b = 5.
Do đó : ab = 5 x 9 = 45.
Cách 2. Vì ab = b x 9.
nên ab = b x (10 1) (một số nhân với một hiệu). Suy ra : ab + b = b0 (tìm
số bị trừ).
Vì b + b có tận cùng là 0 mà b 0 nên b = 5.
Do đó : ab = b0 - b = 50 5 = 45.
Cách 3. Vì ab = b x 9 nên ab = b x (8 + 1).
Hay : ab = b x 8 + b (một số nhân với một tổng). Suy ra : ab - b = b x 8
(tìm một số hạng của tổng). a 0 = b x 8. Vì a 0 là số tròn chục nên b x 8
cũng phải là số tròn chục mà b 0 nên b = 5.
Do đó : a 0 = 5 x 8 = 40. Số phải tìm là 45.
Ví dụ 2. Cho số có ba chữ số. Nếu xoá chữ số hàng trăm thì
số đã cho bị giảm đi 7 lần. Tìm số đã cho.
Giải : Gọi số phải tìm là abc (a 0 ; a, b, c < 10). Khi xoá chữ số hàng trăm
thì còn lại hai chữ số là bc . Theo đầu bài ta có : abc = bc x 7. Vì a 0 nên
bc 0, do đó b 0. Vì c x 7 có tận cùng là c nên c = 0 hoặc c = 5.
a) Xét trờng hợp c = 0. Khi đó ta có :
ab0 = b0 x 7. Suy ra : ab = b x 7 (cùng chia cho 10). Vì b 0 mà 7 x b có
tận cùng là b nên b = 5. Do đó : ab = 5 x 7 = 35. Số phải tìm là : 350.
b) Xét trờng hợp c = 5. Khi đó ta có :

ab5 = b5 x 7. Vì 5 x 7 = 35 nên b x 7 + 3 = ab .
+) Nếu b là số chẵn thì ab là số chẵn, nhng b x 7 là số chẵn nên b x 7 +
3 là số lẻ, có nghĩa là số ab là số lẻ. Số ab không thể vừa là số chẵn vừa là
số lẻ đợc.
+) Nếu b là số lẻ thì ab là số lẻ, nhng b x 7 là số lẻ nên b x 7 + 3 là số chẵn,
có nghĩa là ab là số chẵn. Số ab không thể vừa là số chẵn vừa là số lẻ đợc.
Nh vậy với c = 5 thì không tìm đợc ab .
Ví dụ 3. Tìm abc , biết abc = ac x 9.
Giải : Theo bài ra ta có :
a x 100 + b x 10 + c = (a x 10 + c ) x 9 (cấu tạo số).
a x 100 + b x 10 + c = a x 90 + c x 9.
a x (90 + 10) + b x 10 + c = a x 90 + c x (1 + 8).
a x 90 + a x 10 + b x 10 + c = a x 90 + c + c x 8.
(một số nhân với một tổng).
a x 10 + b x 10 = c x 8 (cùng trừ đi a x 90 và c).
(a + b) x 10 = c x 8 (một tổng nhân một số).
Vì a 0 nên (a + b) x 10 là số tròn chục, nên c x 8 cũng phải là số tròn chục.
Do đó c = 5.
Khi đó : a + b = 40 : 10 = 4.

Trang 1


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

Ta xét các trờng hợp sau :
- Nếu a = 1 thì b = 3. Ta có abc = 135.

Thử : 15 x 9 = 135. Đúng với đầu bài.
- Nếu a = 3 thì b = 1. Ta có : abc = 315.
Thử : 35 x 9 = 315. Đúng với đầu bài.
- Nếu a = 4 thì b = 0. Ta có : abc = 405.
Thử : 45 x 9 = 405. Đúng với đầu bài.
- Nếu a = b = 2 thì abc = 225.
Thử : 25 x 9 = 225. Đúng với đầu bài.
Vậy các số phải tìm là 135, 315, 405 và 225.
Ví dụ 4. Tìm số abcd biết rằng :
abcd + bcd + cd + d = 4574
Giải : Viết lại nh sau:
1000 x a + 200 x b + 30 x c + 4 x d = 4574 (1)
Xét hàng đơn vị thấy tích 4 x d có tận cùng là 4, suy ra d = 1 hoặc 6.
- Nếu d = 1, thay vào (1) ta có:
100 x a + 20 x b + 3 x c = 457 (2)
Xét hàng đơn vị ta thấy 3 x c có tận cùng là 7, suy ra c = 9. Thay vào (2) ta
đợc :
10 x a + 2 x b = 43 (3). Vế trái của (3) là một số chẵn còn vế phải của (3)
là một số lẻ nên không tìm đợc a và b.
- Nếu d = 6, thay vào (1) ta đợc :
100 x a + 20 x b + 3 x c = 455 (4)
Tích 3 x c có tận cùng là 5 nên c = 5, thay vào (4) ta đợc : 10 x a + 2 x b =
44 (5).
Tích 2 x b có tận cùng là 4 nên b = 2 hoặc b = 7. Thay vào (5) ta tìm đợc
abcd là 4256 và 3756.
Ví dụ 5. Xét hai số ab và ba (a > b). Biết tổng của hai số đó
là một số có chữ số tận cùng là 3 và hiệu của chúng là một số có
chữ số tận cùng là 7. Tìm a và b.
Giải : Xét :
ab + ba = * 3 (1)

ab - ba = * 7 (2)
Từ (2) ta có : ab - ba = (a b) x 9 = * 7 .
(a b) là một số bé hơn 10 và khi nhân với 9 đợc số có tận cùng là 7, do đó
a b = 3 (để 3 x 9 = 27).
- Từ (1) ta có b + a = 3 hoặc b + a = 13 (xét hàng đơn vị của phép cộng).
* Nếu b + a = 3 và a b = 3 thì b = 0.
Điều này vô lý vì b > 0.
* Nếu b + a = 13 và a b = 3 thì a = (13 + 3) : 2 = 8 ; b = 8 3 = 5.
Thử lại : 85 + 58 = 143 ; 85 58 = 27. Đúng với đề bài. Vậy a = 8, b = 5.
2. Phơng pháp sử dụng tính chẵn - lẻ
Ví dụ 1. Thay mỗi dấu chấm hỏi (?) và chữ x bằng một chữ
số, trong đó các chữ số x biểu thị cùng một chữ số:
(

Trang 2

?? x ? + x ) x x = 1977.


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia cấp Tiểu học 1976 - 1977)

Giải : Vì tích của hai số tự nhiên
(?? x ? + x) và x là một số lẻ (1977), nên x không thể là số chẵn. Do đó x
chỉ có thể là 1, 3, 5, 7, 9. Lại vì số 1977 không chia hết cho 5, 7 và 9 nên x
không thể là 5, 7, 9.

- Nếu x = 1 thì theo bài toán ta có :
( ?? x ? + 1 ) x 1 = 1977
?? x ? + 1 = 1977
?? x ? = 1976
Nhng tích ?? x ? lớn nhất bằng 99 x 9 = 891. Do đó x không thể là 1.
- Nếu x = 3 thì theo bài toán ta có:
( ?? x ? + 3 ) x 3 = 1977
?? x ? + 3 = 1977 : 3 = 659
?? x ? = 659 - 3 = 656
?? = 656 : ?
Vì thơng trong phép chia 656 : ? là một số có 2 chữ số, nên số chia phải
là số lớn hơn 6. Lại vì số 656 không chia hết cho 7 và cho 9, nên số chia chỉ
có thể là 8. Ta có 656 : 8 = 82. Vậy, ta có kết quả đúng nh sau: ( 82 x 8 +
3 ) x 3 = 1977.
Ví dụ 2. Tìm số có 4 chữ số mà nếu ta đem số ấy nhân với 2
rồi cộng với 1003 thì kết quả nhận đợc là số có 4 chữ số viết bởi các
chữ số nh số ban đầu nhng theo thứ tự ngợc lại.
Giải : Gọi số cần tìm là abcd (a 0, d 0 ; a, b, c, d < 10). Theo bài ra ta có
:
abcd x 2 + 1003 = dcba (1)
Từ (1), ta nhận thấy rằng abcd x 2 là số chẵn nên abcd x 2 + 1003 là số lẻ
nên dcba là số lẻ. Suy ra a là số lẻ, a < 5 vì nếu a 5 thì abcd x 2 là số có 5
chữ số (vô lý). Vậy a = 1 hoặc a = 3.
* Nếu a = 1 suy ra d 3. Vì khi đó ít nhất ta có vế trái của (1) là số lớn hơn
3000. Nh vậy d x 2 + 3 = 11 hoặc d x 2 + 3 = 21.
+ d x 2 + 3 = 21 suy ra d = 9. Vế phải của (1) lớn hơn hoặc bằng 9000 mà
vế trái nhỏ hơn 6000 (vô lý).
+ d x 2 + 3 = 11 suy ra d = 4. Thay vào (1) ta có : 1bc 4 x 2 + 1003 = 4cb1 .
Tách theo cấu tạo số ta có :
2008 + 2 x bc 0 + 1003 = 4001 + cb0

2 x bc0 = 990 + cb0
2 x bc = 99 + cb (2)
19 x b 8 x c = 99. Suy ra : 19 x b 99 (3).
Từ (2) suy ra b là số lẻ. Từ (3) suy ra b > 5.
Vậy b = 7 hoặc b = 9.
+ Khi b = 7 không tìm đợc c.
+ Khi b = 9 ta tìm đợc c = 9.
Vậy số cần tìm là : abcd = 1994.
* Nếu a = 3 thì ta có: 3bcd x 2 + 1003 7000. Suy ra vế phải : dcba 7000
hay d 7. (*). Nhng ta cũng thấy khi đó d x 2 + 3 = 13 (vì d < 10 nên
không có d x 2 + 3 = 23) từ đó ta có d = 5 (**). Từ (*) và (**) ta thấy không
thể có d thoả mãn bài toán.

Trang 3


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

Ví dụ 3. Có một số gồm hai chữ số mà hai lần chữ số hàng
chục thì bằng 5 lần chữ số hàng đơn vị. Tìm số đó.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : a x 2 = b x 5.
- Vì a x 2 là số chẵn nên b x 5 cũng phải là số chẵn ; mà 5 là số lẻ nên b
phải là số chẵn.
- Vì giá trị lớn nhất của a là 9 nên a x 2 có giá trị lớn nhất là 9 x 2 = 18 ; do
đó giá trị lớn nhất của b x 5 cũng chỉ là 18. Vì thế giá trị lớn nhất của b
cũng chỉ là 3 (vì nếu b = 4 thì 4 x 5 = 20 > 18), mà b là số chẵn nên b =

2 và a x 2 = 2 x 5.
Suy ra : a = 5. Số cần tìm là 52.
Ví dụ 4. Tìm ab biết :
aaaa x 3 + b = baaaa
Giải : Theo bài ra ta có :
aaaa x 2 + aaaa + b = baaaa (một số nhân một tổng). aaaa x 2 + b = baaaa
- aaaa (tìm một số hạng của tổng).
aaaa x 2 + b = b0000 (1)
- Vì a lấy giá trị lớn nhất là 9 thì aaaa x 2 = 9999 x 2 = 19998, số 19998 +
b đạt giá trị lớn nhất cũng không bằng 30 000. Do đó b < 3.
- Vì aaaa x 2 là số chẵn ; b0000 cũng là số chẵn nên suy ra b phải là số chẵn.
Vì b 0 nên b = 2.
Thay b = 2 vào (1) ta có : aaaa x 2 + 2 = 20000.
aaaa x 2 = 20000 2 = 19998.
aaaa = 19998 : 2 = 9999. Do đó a = 9.
Thử : 9999 x 3 + 2 = 29999 (đúng với đầu bài).
Vậy số cần tìm là : ab = 92.
Ví dụ 5. Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó cộng với tổng
các chữ số của nó thì bằng 555.
Giải : Gọi số cần tìm là abc (a 0 ; a, b, c < 10).
Theo bài ra ta có : abc + a + b + c = 555.
Suy ra : a0a + bb + c x 2 = 555.
- Vì 555 là số lẻ, c x 2 là số chẵn nên a + b phải là số lẻ.
- Vì c + a + b + c < 9 x 4 = 36 nên nếu phép cộng có nhớ sang hàng chục
thì nhớ nhiều nhất là 3 ; do đó phép cộng này không nhớ sang hàng trăm.
Vậy a = 5. Khi đó để a + b là số lẻ thì b = 4 hoặc b = 2 hay ab = 54
hoặc ab = 52.
Nếu ab = 54 thì 505 + 44 + c x 2 = 555.
549 + c x 2 = 555 ; c = (555 549) : 2 = 3.
Vậy số cần tìm là : abc = 543.

Nếu ab = 52 thì 505 + 22 + c x 2 = 555.
527 + c x 2 = 555 ; c = (555 527) : 2 = 14.
Loại vì c > 10 là trái với điều kiện bài toán.
3. Phơng pháp thử - chọn

Trang 4


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

Ví dụ 1. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau abc sao cho :
a+b+c=axbxc
Giải : Giả sử a < b < c. Suy ra : a + b + c < c + c + c. Hay : a x b x c < c
x3
nên : a x b < 3 (cùng giảm đi c lần).
Vì vậy a x b = 1 hoặc a x b = 2.
Nếu a x b = 1 thì a = b = 1 (loại vì a, b, c khác nhau).
Nếu a x b = 2 thì a = 1, b = 2.
Khi đó ta có : 1 + 2 + c = 1 x 2 x c, suy ra c = 3.
Vậy a = 1, b = 2, c = 3. Nhng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải
tìm là :
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau abc sao
cho:
1
1
1

+
+
=1
a
b
c
1
1
1
Giải : Giả sử a < b < c, suy ra
<
< .
c
b
a
1
1
1
1
1
1
Do đó ta có :
+
+
<
+
+ .
a
b
c

a
a
a
1
1
Hay : 1 <
x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2. Với a = 2 thì
a
2
1
1
1
1
1
+
+
= 1. Suy ra :
+
= . Suy ra b và c phải lớn hơn 2.
b
c
b
c
2
1
1
1
1
1
1

Hơn nữa :
=
+
<
+
=
x 2. Suy ra b < 4. Vậy b = 3. Khi đó ta
2
b
c
b
b
b
1
1
1
có :
+
= . Suy ra : c = 6. Nhng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số
3
c
2
phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623.
Ví dụ 3. Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tích của
hai mẫu số gấp hai lần tổng của hai mẫu số đó.
Giải : Gọi hai mẫu số phải tìm là a, b. Theo bài ra ta có : (a + b) x 2 = a x
b (1).
Giả sử a b thì a + b b + b (cùng cộng b)
a+bbx2
Do đó : (a + b) x 2 b x 2 x 2 (cùng nhân 2).

(a + b) x 2 b x 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có : a x b b x 4
Vì b 0 nên a 4 (cùng chia cho b).
Thay mỗi giá trị của a 4 vào (1).
- Nếu a = 1 thì (1 + b) x 2 = 1 x b.
Suy ra 2 + b x 2 = b (loại vì 2 + 2 x b > b)
- Nếu a = 2 thì (2 + b) x 2 = 2 x b.
Suy ra 2 + b = b (loại vì 2 + b > b).
- Nếu a = 3 thì (3 + b) x 2 = 3 x b
Suy ra 6 + 2 x b = 3 x b. Vậy b = 6.
Thử : (3 + 6) x 2 = 3 x 6 (đúng với đầu bài).

Trang 5


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

- Nếu a = 4 thì (4 + b) x 2 = 4 x b.
Suy ra : 4 + b = 2 x b. Vậy b = 4.
Thử : (4 + 4) x 2 = 4 x 4 (đúng với đầu bài).
Vậy các cặp phân số phải tìm là :
1
1 1
1
và
;
và .

3
6 4
4
Ví dụ 4. Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tổng
1
của hai phân số đó cộng với tích của chúng thì bằng .
2
1
1
Giải : Gọi hai phân số phải tìm là
và (giả sử a b). Theo bài ra ta
a
b
có :
1
1
1
1
1
+
+
x
=
(*)
a
b
a
b
2
1

1
1
1
1
1
Hay :
+
+
= . Ta có :
< .
a
b
axb
2
a
2
nên a > 2. Giả sử a = b = 5 thì ta có :
1
1
1
1
11
+
+
x
=
.
5
5
5

5
25
11
11
1
11
1
Vì
<
=
nên
< . Nếu lấy những giá trị a 5 (mà a b) thì
25
22
2
25
2
1
1
1
1
giá trị của tổng
+
+
bị giảm dần và đều bé hơn .
a
b
axb
2
Do đó 2 < a < 5. Thay mỗi giá trị của a vào (*) ta có :

1
1
1
1
1
- Nếu a = 3 thì
+
+
x
= .
3
b
3
b
2
Ta đợc b = 8.
1
1
1
1
1
- Nếu a = 4 thì
+
+
x
= .
4
b
4
b

2
1
1 1
1
Ta tìm đợc b = 5. Vậy các cặp phân số phải tìm là:
và
;
và .
4
5 3
8
Ví dụ 5. Cho ba chữ số khác nhau và khác 0. Từ ba chữ số
này lập tất cả các số gồm ba chữ số, trong mỗi số đó phải có đủ ba
chữ số khác nhau đã cho. Biết rằng tổng các số vừa lập đợc thì
bằng 2664, hiệu của số lớn nhất và số bé nhất thì bằng 198. Tìm
ba chữ số đó.
Giải : Gọi ba chữ số phải tìm là a, b, c khác nhau và khác 0. Theo bài ra,
lập đợc sáu số là :
abc , acb , bca , bac , cab , cba .
Tổng của sáu số này là :
abc + acb + bca + bac + cab + cba = 2664.
Ta thấy rằng mỗi chữ a, b, c đều xuất hiện hai lần ở hàng trăm, hàng chục,
hàng đơn vị của sáu số trên, nên ta có thể viết nh sau :
aaa + aaa + bbb + bbb + ccc + ccc = 2664.
( aaa + bbb + ccc ) x 2 = 2664.

Trang 6


Các bài toán về số và chữ số lớp 5

Phan Long

Gv: Nguyễn

Hay : aaa + bbb + ccc = 2664 : 2 = 1332.
Vì a, b, c đều khác 0 và ở hàng trăm có a + b + c 13 nên ở hàng đơn
vị ta có a + b + c = 12.
Giả sử a > b > c thì theo đầu bài ta có :
abc - cba = 198.
Vì c < a nên đây là phép trừ có nhớ sang hàng chục và hàng trăm. Do đó
ở hàng trăm ta có :
(a 1) c = 1, suy ra a c = 2.
Vì a + b + c = 12 và a = c + 2 nên có thể viết :
c + 2 + b + c = 12 hay c x 2 = 10 b. Vì c x 2 và 10 là số chẵn nên b là số
chẵn khác 0.
- Với b = 2 thì c = (10 2) : 2 = 4 (loại vì b < c).
- Với b = 4 thì c = (10 4) : 2 = 3.
Khi đó a = 12 4 3 = 5.
Thử : 543 + 534 + 435 + 453 + 354 + 345 = 2664 (đúng với yêu cầu bài
toán).
- Với b = 6 thì c = (10 6) : 2 = 2.
Khi đó a = 12 6 2 = 4 (loại vì a < b).
- Với b = 8 thì c = (10 8) : 2 = 1.
Khi đó a = 12 8 1 = 3 (loại vì a < b).
Vậy các chữ số phải tìm là 5, 4, 3.
4. Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết
Ví dụ 1. Tìm số abc biết rằng :
ac
2
=

b7
3
Giải : Ta có : b7 < 100 và b7 chia hết cho 3.
Do đó b = 2 ; 5 ; 8.
- Với b = 2 thì 27 : 3 = 9. Suy ra ac = 2 x 9 = 18.
Vậy abc = 128.
- Với b = 5 thì 57 : 3 = 19. Suy ra ac = 2 x 19 = 38. Vậy abc = 358.
- Với b = 8 thì 87 : 3 = 29. Suy ra ac = 2 x 29 = 58. Vậy abc = 588. Vậy có
ba số thoả mãn điều kiện bài toán là abc = 128 ; 358 ; 588.
Ví dụ 2. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích
các chữ số của nó.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : ab = a x b x 3. Nhận xét : vì a 0 nên b 0. ab chia hết
cho a, b và 3.
Vì ab chia hết cho a nên b chia hết cho a, do đó a < 5 để b là số có một
chữ số.
Xét các trờng hợp a = 1, a = 2, a = 3, a = 4.
*) Với a = 1 thì 1b = 1 x b x 3 = b x 3. Vì b x 3 có ttận cùng là b (b 0) nên
b = 5.
Thử : 1 x 5 x 3 = 15 (đúng với yêu cầu của bài).

Trang 7


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

*) Với a = 2 thì 2b = 2 x b x 3 = b x 6. Vì b x 6 có tận cùng là b nên b = 2 ;

4 ; 6 ; 8. Nhng b x 6 = 2b nên b = 4 để 4 x 6 = 24.
Thử : 2 x 4 x 3 = 24 (đúng với yêu cầu của bài).
*) Với a = 3 thì 3b = 3 x b x 3 = b x 9. Vì b x 9 có tận cùng là b nên b = 5.
Thử : 3 x 5 x 3 = 45 > 35 (loại).
*) Với a = 4 thì 4b = 4 x b x 3 = b x 12. Nếu 4b = b x 12 thì 4b chia hết
cho 12. Do đó b = 8, hay số phải tìm là 48. Khi đó ta có : b x 12 = 8 x 12
= 96. Vì 96 48 nên loại trờng hợp này.
Vậy các số phải tìm là 15 và 24.
Ví dụ 3. Thay a, b trong số 2007 ab bởi chữ số thích hợp để số
này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.
Giải: Số 2007 ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số
2007 ab ta đợc 2007a 0 . Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó
chia hết cho 9. Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia
hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9.
Vậy ta tìm đợc 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790.
Ví dụ 4. Một số nhân với 9 thì đợc kết quả là 18064807 ? . Hãy
tìm số đó.
Giải: Một số nhân với 9 thì đợc kết quả là 18064807 ? nên số 18064807 ? chia
hết cho 9. Vì số 18064807 ? chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 +
7 + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ra ? = 2. Thay ? = 2
vào số 18064807 ? ta đợc 180 648 072. Số cần tìm là:
180 648 072 : 9 = 20072008.
Ví dụ 5. Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau đợc
thay bởi các chữ số khác nhau)
HALONG + HALONG + HALONG = TTT 2006
Giải: Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG . Nh vậy
vế trái là một số chia hết cho 3. Vế phải TTT 2006 có: (T + T + T + 2 + 0 + 0
+ 6) = 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra TTT 2006
không chia hết cho 3. Điều này chứng tỏ không thể tìm đợc các chữ số
thoả mãn bài toán.

5. Phơng pháp sử dụng chặn trên, chặn dới
Ví dụ 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho
chữ số hàng đơn vị của nó thì đợc thơng là 6 và d 5.
Giải: Gọi số phải tìm là ab (a 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : ab = b x 6
+ 5. Vì số d bé hơn số chia nên 5 < b. Nếu lấy giá trị nhỏ nhất của b là 6
(trong trờng hợp này) thì giá trị nhỏ nhất của ab sẽ là 6 x 6 + 5 = 41. Do đó
a 4.
Nếu lấy giá trị lớn nhất của b là 9 thì giá trị lớn nhất của ab sẽ là 9 x 6 + 5 =
59. Do đó a 5.
Vì thế 4 a 5 nghĩa là giá trị nhỏ nhất của a là 4 và lớn nhất của a là 5.
- Nếu a = 4 thì 4b = b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 41 đến
49 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 6 hoặc 7. Vì b x 6 là số chẵn nên b x 6 +
5 là số lẻ. Do đó b là số lẻ. Vậy ta chọn b = 7.

Trang 8


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

Thử : 47 : 7 = 6 (d 5) (đúng với yêu cầu bài ra).
- Nếu a = 5 thì 5b = b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 51 đến
59 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 8 hoặc 9.
Vì b x 6 + 5 là số lẻ nên ta chọn b = 9.
Thử : 59 : 9 = 6 (d 5) (đúng với yêu cầu bài ra).
Vậy số phải tìm là 47 và 59.
Ví dụ 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
4

b
5
+
=
a
3
6
4
b
5
5
b
4
Giải: Vì
+
=
mà
< 1 nên
< 1 (vì
0). Do đó : b < 3. Vì
a
3
6
6
3
a
4
b
5
4

5
b
4
5
+
=
nên
=
- . Nếu b = 0 thì
= . Không có giá trị tự
a
3
6
a
6
3
a
6
4
5
nhiên nào của a để có
= .
a
6
4
5 1
Nếu b = 1 thì
=
- . Ta tìm đợc a = 8.
a

6 3
4
5
2
Nếu b = 2 thì
=
- . Ta tìm đợc a = 24.
a
6
3
Vậy ta tìm đợc a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2.
Ví dụ 3. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho 6 thì
đợc thơng là tích của chữ số hàng chục nhân với chính nó. Tìm số
đã cho.
Giải: Gọi số phải tìm là ab (a 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : ab = a
x a x 6.
Nhận xét : a > 1 vì nếu a = 1 thì a x a x 6 = 1 x 1 x 6 = 6 chỉ là số có
một chữ số. Số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6 là 96. Do đó a x a x 6
có giá trị lớn nhất là 96. Vì thế a x a có giá trị lớn nhất là 96 : 6 = 16. Vậy a
có giá trị lớn nhất là 4 (vì 4 x 4 = 16) hay a 4. Vậy 1 < a 4.
- Nếu a = 2 thì a x a x 6 = 2 x 2 x 6 = 24 = ab . Đúng với điều kiện bài toán
vì 24 : 6 = 4 ; 4 = 2 x 2.
- Nếu a = 3 thì a x a x 6 = 3 x 3 x 6 = 54. Trái với điều kiện bài toán vì 3b
54.
- Nếu a = 4 thì a x a x 6 = 4 x 4 x 6 = 96. Trái với điều kiện bài toán vì 4b
96.
Vậy số phải tìm là 24.
Ví dụ 4. Cho một số tự nhiên. Nếu viết thêm một số có hai
chữ số (khác 0) vào bên phải số đã cho thì đợc số mới lớn hơn số cũ

1994 đơn vị. Hãy tìm số đã cho và số viết thêm đó.
Giải: Gọi số đã cho là N và số viết thêm là xy thì số mới sẽ là Nxy .
Theo bài ra ta có : Nxy - N = 1994.
N x 100 + xy - N = 1994. N x 99 + xy = 1994.

Trang 9


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

*) Nếu xy đạt giá trị lớn nhất là 99 thì N sẽ đạt giá trị nhỏ nhất đợc xác
định nh sau : N x 99 + 99 = 1994. N x 99 = 1895. N = 1895 : 99 = 19,14.
Vì N là số tự nhiên nên giá trị nhỏ nhất của N đợc ghi là N > 19.
*) Nếu xy đạt giá trị nhỏ nhất là 10 thì N sẽ đạt giá trị lớn nhất đợc xác
định nh sau : N x 99 + 10 = 1994. N x 99 = 1984. N = 1984 : 99 = 20,24.
Vì N là số tự nhiên nên giá trị lớn nhất của N đợc ghi là N 20. Vậy 19 < N
20. Ta thử với N = 20.
Nxy - N = 20 xy - 20 = 1994 ; 20 xy = 1994 + 20 = 2014.
Vậy số phải tìm là 20 và số viết thêm là 14.
Ví dụ 5. Toán học và Tuổi trẻ, Toán Tuổi thơ đều sinh vào
tháng 10. Biết rằng năm 1994 thì tuổi của Toán học và Tuổi trẻ gấp
rỡi tổng các chữ số của năm sinh. Bạn có thể suy luận để biết Toán
học và tuổi trẻ ra đời vào năm nào không ?
(Những Đề toán hay của Toán Tuổi thơ 1)

Giải: Gọi năm sinh của Toán học và Tuổi trẻ là abcd . Tuổi của Toán học và
Tuổi trẻ năm 1994 là:

3
1994 - abcd =
x (a + b + c + d) (*)
2
Vì a + b + c + d 9 + 9 + 9 + 9 = 36 nên :
3
3
x (a + b + c + d)
x 36 = 54.
2
2
Từ (*) ta thấy 1994 - abcd 54
nên 1940 abcd 1994. Suy ra ab = 19 và 40 cd 94. Thay ab = 19 vào
(*) đợc :
3
94 - cd =
x ( 1 + 9 + c + d)
2
hay : 2 x (94 - cd ) = 3 x (10 + c + d).
hay : 188 2 x (c x 10 + d) = 30 + c x 3 + d x 3.
hay : c x 23 + d x 5 = 158.
Vì d x 5 45 nên suy ra 113 c x 23 158.
Do đó 5 c 6.
- Nếu c = 5 thì d x 5 = 159 115 = 43, không tìm đợc số d nguyên.
- Nếu c = 6 thì d x 5 = 158 138 = 20 nên d = 4.
3
Thử lại : 1994 1964 =
x (1 + 9 + 6 + 4).
2
Vậy báo Toán học và Tuổi trẻ sinh năm 1964.

6. Phơng pháp sử dụng
kỹ thuật thực hiện phép tính
Ví dụ 1. Tìm số có bốn chữ số, biết rằng nếu số đó nhân với 9
thì đợc một số có bốn chữ số nhng đợc viết theo thứ tự ngợc lại với
số phải tìm.
Giải: Gọi số phải tìm là abcd (a 0 ; a, b, c, d < 10), số viết theo thứ tự ngợc lại là dcba . Theo bài ra ta có :

Trang 10


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long
abcd
x 9
dcba

Vì tích là số có 4 chữ số (
dcba )
nên a = 1 và d = 9.
Khi đó ta có :

1bc9
x
9
9cb1

Khi nhân chữ số hàng trăm của
số bị nhân (b) với 9 thì phép
nhân này không nhớ sang hàng
nghìn (vì nếu có nhớ sang

hàng nghìn thì tích sẽ là số có
5 chữ số). Do đó b = 0 hoặc b
= 1.
Nếu b = 0 thì ta có

10c9
x
9
9c 01

Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 0 hay c x 9 có tận
cùng là 2. Do đó c = 8 để 8 x
9 = 72. Thử : 1089 x 9 = 9801
(đúng với đầu bài).
Nếu b = 1 thì ta có :

11c9
x
9
9c11

Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 1 hay c x 9 phải có
tận cùng là 3. Do đó c = 7 để
7 x 9 = 63.
Thử : 1179 x 9 = 10611, trái với
bài ra vì tích có 5 chữ số.
Vậy số cần tìm là 1089.

Gv: Nguyễn

Ví dụ 2. Tìm một chữ số để thay vào vị trí các dấu chấm
hỏi (?) để có kết quả đúng :
?? + ?6? + 6? + ?66 = 16??

(Những Đề toán hay của Toán Tuổi thơ 1)

Giải: Vì 16?? = 1600 + ?? nên ta có :
?6? + 6? + ?66 = 1600 (cùng trừ đi ??)
? 6 Đặt tính rồi tính : Tổng các
chữ số hàng chục của 3 số là
+ 6 : 6 + 6 + 6 = 18, nhng chữ
?
số hàng chục của tổng là 0
? 6 nên số nhớ ở hàng đơn vị
6
sang hàng chục phải là 2.
1 6 0
0
Do đó ở hàng đơn vị có : ? + ?+ 6 = 20 nên ? + ? = 14 hay ? = 7.
Thử lại : 77 + 767 + 67 + 766 = 1677 (đúng).
Ví dụ 3. Bạn An đã đa ra công thức sau đây :
t + TH + THâ + thân = 4321
?

Trang 11


Các bài toán về số và chữ số lớp 5

Phan Long

Gv: Nguyễn

trong đó mỗi chữ số khác nhau là một chữ số khác nhau. Em hãy
tìm xem các chữ T, H, Â, N là những chữ số nào ?
(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia cấp Tiểu học 1991 - 1992)

Giải: Ta có phép tính :
- Vì phép cộng ở cột
T
trăm chỉ có thể nhớ 1
T hoặc không nhớ nên T
H
chỉ có thể là 3 hoặc
T H 4.
Â
- Sau T không thể là 4
T H Â vì lúc
N
4 3 2
1
đó tổng sẽ lớn hơn 4400. Vậy T = 3.

Vì 4321 3333 = 988 nên ta có :
- Vì phép cộng ở cột
chục chỉ có thể nhớ 1
H hoặc không nhớ nên H
chỉ có thể là 8 hoặc
H Â 9.

H
Â
N

9 8
8
- Song H không thể là 9 vì lúc đó tổng sẽ lớn hơn 990. Vậy H = 8.

- Vì 988 888 = 100 nên ta có :

Từ đây suy ra  = 9
và do đó N = 1. Ta đ ợc số 3891.
Thử : 3 + 38 + 389 +
1 0 3891 = 4321.

Â
N

0
Vậy đáp số là : T = 3 ; H = 8 ; Â = 9 ; N = 1.
Ví dụ 4. Tìm a, b, c, d biết :
ab, cd - a, bcd = 17,865
Giải: Theo bài ra ta có :
ab,c Xét
hàng
phần
nghìn :
d0
d = 5 (vì 10 5 = 5)

a,b - Xét hàng phần trăm :
c = 8 (vì 15 1 8 = 6)
cd
17,8
65
- Xét hàng phần mời :
b = 9 (vì 18 1 9 = 8)
- Xét hàng đơn vị : a = 1 (vì 9 1 1 = 7).
Vậy a = 1 ; b = 9 ; c = 8 ; d = 5.

Trang 12


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

Thử lại : 19,85 n- 1,985 = 17,865 (đúng).
Ví dụ 5. Cho 4 chữ số khác nhau : ta lập ra số lớn nhất và số
nhỏ nhất, mỗi số đều có 4 chữ số lấy trong 4 chữ số đã cho. Biết
rằng tổng hai số này là 11220, hãy tìm tổng các chữ số đã cho.
(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia cấp Tiểu học 1992 - 1993)

Giải: Giả sử bốn chữ số đó là a, b, c, d trong đó a < b < c < d. Lúc này
theo đầu bài số có 4 chữ số nhỏ nhất là abcd (a > 0). Số có 4 chữ số lớn
nhất là dcba . Đặt phép tính ta có :
cd
ba

ab - Xét hàng đơn vị : Vì
không thể có d + a = 0
dc nên phải có : d + a = 10,
viết 0 nhớ 1.
112

20
- Xét hàng chục : Vì 0 < a < b < c nên không thể có c + b nhớ 1 bằng 2, mà
phải có c + b nhớ 1 bằng 12, viết 2 nhớ 1.
Suy ra : c + b = 11. Kết hợp với d + a = 10 ta có :
a + b + c + d = 10 + 11 = 21.
Vậy tổng các chữ số đã cho là 21.
7. Phơng pháp phối hợp nhiều cách giải
Ví dụ 1. Tìm số có 5 chữ số . Biết rằng nếu viết thêm chữ số
2 vào tận cùng bên phải thì đợc số gấp 3 lần số đợc viết thêm chữ
số 2 vào tận cùng bên trái.
Giải: Gọi số phải tìm là abcde (a 0 ; a, b, c, d, e < 10). Khi viết thêm chữ
số 2 theo bài ra ta có :
abcde2 = 2abcde . Đặt phép tính ta có :
2abc - Xét hàng đơn vị của
tích ta có : 3 x e tận
de
cùng là 2. Theo bảng
x nhân 3 ta có e = 4.
Thay vào ta có phép
3
tính :
abcd
e2
14

3

2abc - Xét hàng chục của
tích ta có : 3 x d + 1 có
tận cùng là 4. Suy ra 3 x
x d có tận cùng là 3. Vậy d
= 1. Thay vào ta có :
abcd

42
14

2abc - Tiếp tục xét các hàng
trăm, nghìn ... của

Trang 13


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long
3

Gv: Nguyễn

x tích ; lập luận tơng tự
ta có số phải tìm là :
abcde = 85714.
abc1

42

Thử lại : 285714 x 3 = 857142 (đúng).
Ví dụ 2. Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm là 1 và số đó
bằng 17 lần tổng các chữ số của nó.
Giải: Gọi số phải tìm là 1ab (a, b < 10).
Theo bài ra ta có :
(1 + a + b) x 17 = 1ab
17+ a x 17 + b x 17 = 1ab (một tổng nhân một số)
a x 17+ b x 17 = 1ab - 17(tìm 1 số hạng của tổng)
a x 17 + b x 17 = 100 + a x 10 + b 17
a x 7 + b x 16 = 83.
Vì tổng là số lẻ (83), b x 16 là số chẵn nên a x 7 phải là số lẻ, do đó a phải
là số lẻ. Xét các trờng hợp của a, ta có :
*) Nếu a = 1 thì b x 16 = 83 1 x 7 = 76.
(b = 76 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 3 thì b x 16 = 83 3 x 7 = 62.
(b = 62 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 5 thì b x 16 = 83 5 x 7 = 48.
b = 48 : 16 = 3.
Thử : (1 + 5 + 3) x 17 = 153. Đúng với yêu cầu.
*) Nếu a = 7 thì b x 16 = 83 7 x 7 = 34.
(b = 34 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 9 thì b x 16 = 83 9 x 7 = 20.
(b = 20 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
Vậy số phải tìm là 153.
Ví dụ 3. Khi thực hiện phép chia bbb cho ab thì đợc thơng
đúng là số tự nhiên. Tìm số bị chia, số chia và thơng.
Giải: Thơng của phép chia bbb cho ab có thể là số có một chữ số, có thể là
số có hai chữ số.
a) Trờng hợp thơng có hai chữ số :
Gọi thơng đó là cd . Theo bài ra ta có :

bbb : ab = cd hay ab x cd = bbb . Vì bbb = b x 111 = b x 3 x 37 nên ab x cd
= b x 3 x 37.
- Nếu ab = 37 thì a = 3 và b = 7 ; khi đó cd = b x 3 = 7 x 3 = 21.
Thử : ab x cd = 37 x 21 = 777 = bbb (đúng).
- Nếu cd = 37 thì ab = b x 3. Vì b 0 nên b = 5 để b x 3 có tận cùng là b.
Khi đó ab = 5 x 3 = 15.
Thử : ab x cd = 15 x 37 = 555 = bbb (đúng).
- Nếu b là số chẵn, giả sử b = n x 2 vì b < 10 nên n < 5. Khi đó ab x cd =
(n x 2) x 3 x 37 = n x 3 x 74.

Trang 14


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

- Nếu ab = 74 thì a = 7 và b = 4 ; khi đó cd = n x 3. Vì cd 10 và n < 5
nên lấy n = 4 thì cd = 4 x 3 = 12.
Thử : ab x cd = 74 x 12 = 888 bbb (vì bbb = 444) nên không phù hợp với
điều kiện bài toán.
- Nếu cd = 74 thì ab = n x 3. Vì ab 10 và n < 5 nên lấy n = 4 thì b = 4
x 2 = 8 ; mặt khác ab = n x 3 = 4 x 3 = 12 thì b = 2 nên không phù hợp với
điều kiện bài toán.
b) Trờng hợp thơng có một chữ số :
Gọi thơng là k. Theo đầu bài ta có :
bbb : ab = k (2 k 9) hay :
ab x k = bbb = b x 3 x 37.
- Nếu ab = 37 thì b = 7 ; khi đó k = b x 3 = 7 x 3 = 21 (loại).

- Nếu b chẵn, giả sử b = m x 2 vì b < 10 nên n < 5.
Khi đó ab x k = b x 3 x 37 = (m x 2) x 3 x 37 = m x 3 x 74.
- Nếu ab = 74 thì k = m x 3. Vì k < 10 và m < 5 nên m = 1 ; 2 ; 3.
+ Với m = 1 thì k = 3.
Khi đó ab x k = 74 x 3 = 222 (loại vì b = 4).
+ Với m = 2 thì k = 6.
Khi đó ab x k = 74 x 6 = 444.
Thử : ab x k = 74 x 6 = 444 = bbb (đúng).
+ Với m = 3 thì k = 9.
Khi đó ab x k = 74 x 9 = 666 (loại vì b = 4).
c) Kết luận :
Số bị

444

555

777

chia
Số chia
74
15
37
Thơng
6
37
21
Ví dụ 4. Tìm số có năm chữ số abcde biết rằng :
a>b+c+d+e

b>c+d+e
c>d+e
d>e
Giải: Số phải tìm là abcde với các chữ số đều là số tự nhiên có 1 chữ số.
Theo điều kiện của đầu bài :
a > b + c + d + e (1)
b>c+d+e
(2)
c>d+e
(3)
d>e
(4)
- Từ (4) ta có e = 0. Vì nếu e = 1 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số sẽ
là :
d>e
hay d > 1 ; do đó d = 2.
c>d+e
hay c > 3 ; do đó c = 4.
b>c+d+e
hay b > 7 ; do đó b = 8.
a > b + c + d + e hay a > 15 ; do đó a = 16.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (3) ta có d = 1.

Trang 15


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

Nếu d = 2 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số là :
c>d
hay c > 2 ; do đó c = 3.
b>c+d
hay b > 5 ; do đó b = 6.
a>b+c+d
hay a > 11 ; do đó a = 12
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (2) ta có c = 2.
Nếu c = 3 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số sẽ là
b>c+d
hay b > 4 ; do đó b = 5.
a>b+c+d
hay a > 9 ; do đó a = 10.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (1) ta có b = 4 hoặc b = 5.
- Nếu b = 6 thì giá trị nhỏ nhất của a sẽ là :
a>b+c+d
hay a > 9 ; do đó a = 10.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Nếu b = 5 thì ta có :
a > b + c + d hay a > 5 + 2 + 1 ; do đó a = 9
- Nếu b = 4 thì ta có : a > b + c + d
hay a > 4 + 2 + 1 ; do đó a = 8 hoặc a = 9.
- Kết luận :
Các số phải tìm là 84210 ; 94210 ; 95210.
Ví dụ 5. Cho ba chữ số khác nhau. Hãy tìm số đã cho, biết
rằng số đó bằng tổng tất cả các số gồm hai chữ số khác nhau trong

ba chữ số đã cho.
Giải: Gọi số phải tìm là abc . Từ ba chữ số a, b, c ta viết đợc sáu số gồm
hai chữ số là : ab , ba , bc , cb , ca , ac . Theo bài ra ta có :
abc = ab + ba + bc + cb + ca + ac
a x 100 + bc = ab + ba + bc + cb + ca + ac
a x 100 = ab + ba + cb + ca + ac
a x 100 = aa + aa + bb + cb + cc
a x 100 = aa x 2 + bb + cb + cc
a x100 = a x 11 x 2 + b x 11 + c x 11 + c x 10 + b
a x 78 = b x 12 + c x 21.
a x 26 = b x 4 + c x 7 (cùng chia cho 3).
Giả sử b và c lấy giá trị lớn nhất là 9 thì b x 4 + c x 7 đạt giá trị lớn nhất là
99. Khi đó a x 26 cũng đạt giá trị lớn nhất là 99, do đó a đạt giá trị lớn nhất
là 3, vì nếu a = 4 thì 4 x 26 = 104 > 99.
- Với a = 1 thì 1 x 26 = b x 4 + c x 7
26 = b x 4 + c x 7. Vì 26 và b x 4 là số chẵn nên c x 7 phải là số chẵn, do
đó c phải là số chẵn.
Trong một tổng 26 = bx 4 + c x 7 thì c x 7 < 26 nên c < 4. Vì nếu c = 4
thì 4 x 7 = 28 > 26. Vì thế c = 2. Khi đó ta có : 26 = b x 4 + 2 x 7.
Ta tìm đợc b = 3. Thử với a = 1, b = 3, c = 2, ta có : 13 + 31 + 32 + 23 +
21 + 12 = 132 (đúng).
- Với a = 2 thì 2 x 26 = b x 4 + c x 7 hay 52 = b x 4 + c x 7. Vì 52 và b x 4
là số chẵn nên c x 7 phải là số chẵn, do đó c phải là số chẵn. Vì một số
hạng không vợt quá tổng nên ở đây c x 7 < 52, do đó c < 8, vì nếu c = 8
thì 8 x 7 = 56 > 52. Bở vậy c có thể lấy giá trị 2, 4, 6. Nhng a c mà a = 2
nên chỉ xét c = 4 hoặc 6.

Trang 16

Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

- Nếu c = 4 thì 52 = b x 4 + 4 x 7. Ta tìm đợc b = 6. Thử với a = 2, b = 6, c
= 4. Ta có : 26 + 62 + 64 + 46 + 42 + 24 = 264 (đúng).
- Nếu c = 6 thì 52 = b x 4 + 6 x 7. Ta có b = 10 : 4 là số thập phân nên loại.
- Với a = 3 thì 3 x 26 = b x 4 + c x 7 hay 78 = b x 4 + c x 7. Vì 78 và b x 4
là số chẵn nên c x 7 phải là số chẵn. Do đó c là số chẵn. Giả sử b lấy giá
trị lớn nhất là 9 thì c x 7 có giá trị nhỏ nhất là 78 9 x 4 = 42. Khi đó c đạt
giá trị nhỏ nhất là 6. Vì c là số chẵn nên c = 6 hoặc c = 8.
- Nếu c = 6 thì 78 = b x 4 + 6 x 7. Ta tìm đợc b = 9. Thử với a = 3, b = 9, c
= 6 ta có : 39 + 93 + 96 + 69 + 63 + 36 = 396 (đúng với đầu bài).
- Nếu c = 8 thì 78 = b x 4 + 8 x 7. Ta có b = (78 56) : 4 = 22 : 4 là số
thập phân nên loại.
Vậy các số phải tìm là : 132 ; 264 ; 396.
8. Một số đề tự luyện
Bài 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu lấy 8 lần chữ số hàng chục
chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì đợc thơng 5 và d 3.
Đáp số : 69
Bài 2. Tìm số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số
hàng đơn vị. Nếu lấy số đó chia cho hiệu các chữ số của nó thì đợc thơng là 26 và d 1.
Đáp số : 53
Bài 3. Cho số có hai chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số
hàng đơn vị. Tìm số đã cho biết rằng khi chia số đó cho thơng của chữ
số hàng chục và hàng đơn vị thì đợc thơng là 20 và d 2.
Đáp số : 62 và 82
Bài 4. Tìm abcd biết :
dcba + dcb + dc + d = 4321

Đáp số : 1983
Bài 5. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
a 4
1
=
3 b
5
Đáp số : a = 3 và b = 5
a
3
có giá trị bằng . Nếu giảm mẫu số đi 12 và giữ
b
4
6
a
nguyên tử số thì đợc phân số mới có giá trị bằng . Tìm phân số .
7
b
72
Đáp số :
96
Bài 7. Cho số có ba chữ số. Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đã cho,
viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đã cho đều đợc hai số có bốn chữ số mà
số này gấp 3 lần số kia. Tìm số đã cho.
Đáp số : 857
Bài 6. Cho phân số

Bài 8. Cho số có sáu chứ số. Nếu chuyển vị trí chữ số ở hàng cao nhất
thành vị trí ở hàng thấp nhất (không thay đổi thứ tự các chữ số còn lại)
thì đợc số mới lớn gấp 3 lần số đã cho.

Trang 17


Các bài toán về số và chữ số lớp 5
Phan Long

Gv: Nguyễn

Tìm số có sáu chữ số ban đầu.
Đáp số : 142857 và 285714
Bài 9. Năm 1993 anh Toán nhẩm tính rằng số tuổi của mình đúng bằng
tổng các chữ số chỉ năm sinh của mình. Em tìm xem anh Toán sinh năm
nào và năm 1993 anh Toán bao nhiêu tuổi ?
Đáp số : sinh năm 1973 ; 20 tuổi
Bài 10. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất N gồm chín chữ số là N = abc deg hik ,
biết rằng : ab chia hết cho 2 ; abc chia hết cho 3 ; abcd chia hết cho 4 ;
abcde chia hết cho 5 ; abc deg chia hết cho 6 ; abc deg h chia hết cho 7 ;
abc deg hi chia hết cho 8 và abc deg hik chia hết cho 9.
Đáp số : 102000564
Bài 11. Tìm số abc , biết rằng số đó bằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ
1 đến bc .
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + bc = abc
Đáp số : 325
Bài 12. Tìm các chữ số a, b, c, d, p khác nhau và p 2 sao cho :
a, bc + a, bc + a, bc = p 2, bd
Đáp số : a = 4, b = 0, c = 3, d = 9, p = 1
Bài 13. Cho số thập phân A có 4 chữ số, trong đó phần thập phân có hai
chữ số. Khi ta dịch dấu phẩy của số thập phân A sang trái một chữ số ta
đợc số thập phân B. Hãy tìm A, biết rằng :

A B = 17,973
Đáp số : 19,77
Bài 14. Hình chữ nhật ABCD có số đo chiều dài và chiều rộng là a, b và
b, a (cm). Hình chữ nhật MNPQ có số đo chiều dài và chiều rộng là aa, bb
và bb, aa (cm). Tìm chu vi của mỗi hình chữ nhật đó, biết tổng chu vi của
hai hình chữ nhật là 146,52 cm.
Đáp số : Chu vi ABCD là 13,2cm ;
Chu vi MNPQ là 133,32cm
Bài 15. Một hình vuông có số đo diện tích (theo mét vuông) là số thập
phân gồm 4 chữ số 0, 2, 3, 5 nhng thứ tự cha biết, trong đó phần nguyên
có 2 chữ số, phần thập phân có 2 chữ số.
Tìm cạnh hình vuông đó.
Đáp số : 5,5m

Trang 18