CHUYEN DE SO HOC

Phần I: SỐ HỌC
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1/ nếu a
1 ,
a
2
, a
3
... đều chia hết cho b
Thì : a/ a
1
+

a
2
+ a
3
+… chia hết cho b
b/ a
1
n + a
2
.n + a
3
.n … chia hết cho b
* HỆ QUẢ : a
1
M

b
a

1
+ a
2

M

b
2/ b
1
\ a
1
, b
2
\ a
2
, b
3
\ a
3
thì b
1
.b
2
.b
3
\ a
1
.a
2
.a

3

* HỆ QUẢ: b\ a thì b
n

\ a
n

và b.c \ a.c ( với mọi n
∈
N, c
≠
0 , c
∈
Z )
3/ bc\ ac
⇒
b \ a ( c
≠
0)
4/ Nếu a
M
b
a
M
c
( b,c) = 1
5/ Nhò thức Niu-Tơn:
a/ a
n

- b
n
= ( a-b)(a
n-1
b
0
+ a
n-2
b + a
n-3
b
2
+…+a
0
b
n-1
) với n
∈
N, và a
≠
b
b/ a
n

+ b
n
= ( a+ b)(a
n-1
b

0
- a
n-2
b + a
n-3
b
2
– a
n-4
b
3
+…-ab
n-2
+ a
0
b
n-1
) với n
∈
N, n lẻ
và a
≠
-b
c/ ( a+ b+ c)
2
=
2 2 2
2 2 2a b c ab ac bc+ + + + +
d/
2 2 2

( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ − = + + + − −
6/ Đònh lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức )
Nếu f(x) có

nghiệm là x
0
thì f(x) = ( x-x
0
)g(x) họăc f(x)
M

( x-x
0
).
Nói cách khác f(x)
M
(x- a) khi f(a) = 0
• CHÚ Y Ù:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có
nghiệm bằng 1 . Hay f(x)
M
(x-1)
1
Thì a
2

M
b
⇒
a
M

b.c
b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì
f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x)
M
(x+1)
7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ :
• Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều
kiện sau:
+ Mọi số chẵn đều chia hết cho 2
+ ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số
có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25).
+ ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một
số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc
125)
+ Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
+ Với a,b
∈
Z ; b
≠
0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho
.a b q r= +

(0 r≤
<
b
). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho
b
+ Đònh lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho
nhò thức

g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trò của f(a)
+ Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia
Đa thức f(x) =
1 2
1 2 1 0
...
n n n
n n n
a x a x a x a x a
− −
− −
+ + + + +
cho nhò thức
x
α
−
a
n
a
n-1
a
n-2
… a
1
a
0
α
b
n
=a

n
1 1
.
n n n
b b a
α
− −
= +
2 1 2
.
n n n
b b a
α
− − −
= +
…
1 2 1
.b b a
α
= +
1 0
.r b a
α
= +
( Dòng thứ 2 : giá trò ở ô cuối cùng là số dư, giá trò ở mỗi ô còn lại là hệ số
của đa thức thương)
+ Tam giác PASSCAN:
2
1
1 2 1

1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy
thừa của một tổng 2 số hạng)
8/ NGHI Ệ M C Ủ A Đ A TH Ứ C V Ớ I H Ệ S Ố NGUN :
f(x) =
1 2
0 1 2 1 0
...
n n n n
n
a x a x a x a x a
− −
−
+ + + + +
• Nếu có nghiệm hữu tỷ
p
q
thì : p là ước của a
n
(
n
a pM
)

và q là ước của a

0
(
0
a qM
)
• Nếu có nghiệm ngun x = a thì a là ước của a
n

• Nếu f(x) có nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x)
* VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x
3
– x
2
+4 thành nhân tử ( CMR : x
3
– x
2
+4 chia
hết cho x
2
+x+2)
+nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x =
{ }
1;1; 2;2− −
+ Thử lại ta có x = 2 là nghiệm .
Vậy
2
( ) ( 2)( 2)f x x x x= − + +
(
2

( )
2
2
f x
x x
x
= + +
−
)
+ x
2
+x+2 có
∆
= -7 < 0 ( VN)
* VD2 phân tích f(x) = 3x
3
+ 7x
2
+ 17x -5 thành nhân tử
Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x
{ }
1; 1; 5; 5∈ − + − +

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì x
1 1 5 5
; ; ;
3 3 3 3
 
∈ − + − +
 

 
Thử lại ta có
1
3
là nghiệm .
2
1
( ) 3( )( 2 5)
3
f x x x x⇒ = − − +
do x
2
-2x +5 VN
9/ Phương trình bậc hai :
Có biệt thức :
( )
2
2
0 0
4
ax bx c a
b ac
+ + = ≠
∆ = −
*
∆
< 0 phương trình vơ nghiệm.
3
*
∆

= 0 tphương trình có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
*
∆
> 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
VD- 3x
2
– 8x + 4 = 0

10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a
* CM f(x) đúng với x = 1
* Giả sử f(x) đúng với x = n
* Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1
VD
I-PHÉP CHIA HẾT
BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A =
5

2n
−
−
a, Tìm các số ngun n để biểu thức A là phân số.
b, Tìm các số ngun n để biểu thức A là số ngun.
2, Tìm x biết:
a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500
b, (3x – 2
4
). 7
3
= 2. 7
4
c,
5 16 2.( 3)x − = + −
3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi
bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì có
bao nhiêu chữ số 0 ?
BÀI 2: 1, Cho S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . . + 5
96

a, Chứng minh: S
M
126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
2, Chứng minh A = n(5n + 3)

M
n với mọi n
∈
Z
3,Tìm a, b
∈
N, biết: a + 2b = 48
ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14
BÀI 2 :a. Chứng minh:
12 1
30 2
n
n
+
+
(n
∈
Z) tối giản
b.Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn.
c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đó ?
d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ?
e, Tính:
2 2 2 2
.....
1.3 3.5 5.7 99.101
+ + + +
BÀI 3: 1) Rót gän
108.6381.4227.21
36.2127.149.7
++

++
=
A
2) Cho
*
)3(
3
10.7
3
7.4
3
4.1
3
Nn
nn
S
∈
+
++++=

Chøng minh: S < 1

4
3) So sánh:
2004.2003
12004.2003

và
2005.2004
12005.2004

4) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P +10 là số nguyên tố
5) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21
6 )Cho phân số:
)1;(
1
5

+

=
nZn
n
n
A
a) Tìm n để A nguyên.
b) Tìm n để A tối giản .
BI 4
1) Tìm các giá trị của a để số
5123a
a) Chia hết cho 15
b) Chia hết cho 45
2/ Chứng minh rằng:
11810
+=
nA
n
chia hết cho 27 (n là số tự nhiên).
3/ Cho

nnnA 23
23
++=
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.
b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho 15.
4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi
chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm
9
1
, đạt điểm khá chiếm
3
1
, đạt điểm
yếu chiếm
14
1
tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình.
Tính số học sinh mỗi loại.
BI 5:
1/ Cho
200432
3....333
++++=
A
a) Tính tổng A.
b) Chứng minh rằng
130MA
.
c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ?
2) Tìm n Z để

31313
2
++
nnn M
CHUYấN TNH TNG HU HN
Bi 1:
a. Cho n l mt s nguyờn dng. Hóy so sỏnh:
2
1 1
1 + -
n n+1

ữ

v
( )
2
2
1 1
1 + -
n
n+1
b. Tớnh:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 + + + 1 + + + 1 + + + ... + 1 + +
2 3 3 4 4 5 2005 2006
Bi 2:
Chng minh rng:
5

n
n 1 1 1
1 + + + ... + n
2 2 3 2 -1

vi
n N
v
Ví dụ1(SGK-T8.Tr25)
Chứng minh rằng: n

3
n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Giải:
Ta có n

3
n =n.(n-1).(n+1). Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 luôn
cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó n

3
n
6M
.
Qua bài toán trên ta thấy n
3
và n đồng d khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta
đề xuất một số bài toán tơng tự nh sau.
Bài1:
Chứng minh rằng :

),(66
33
Znmmnmn
++
MM
.
Giải: Tacó
)(,6)()()()(
1
3333
theoVDmmnnmnmn M
+=++
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc bài toán sau.
Bài2: Chứng minh rằng:

),1,(,6............6...........
321
33
3
3
2
3
1
niZxxxxxxxxx
inn
=++++++++
MM
Bài3: Cho A=
.9998.............321
33333

+++++
Hỏi A có chia hết cho 6 không?
Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+............+98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hết cho
6,trong đó S=
625.33.6
2
)199(99
MS
=
+
. Do đó A
6M
.
Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004).
Chứng minh rằng:
6)(
3333
Mzyxzyx
++
với mọi số nguyên x,y,z.
Giải:
[ ]
)()()()()()(
33333333
zzyyxxzyxzyxzyxzyx
++++=++
.
Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
Bài5:

Viết số
2004
2005
thành tổng của k số tự nhiên tuỳ ý
k
aaaa .,,.........,,
321
.Tìm số
d của phép chia
33
3
3
2
3
1
.......
k
aaaa
++++
cho3.

Giải: Đặt N=
33
3
3
2
3
1
.......
k

aaaa
++++
và
k
aaaa
++++=
............2005
321
2004
.
Ta có N-
=
2004
2005
3)(...........)()()(
3
3
3
32
3
21
3
1
M
kk
aaaaaaaa
++++
,(VD
1
)

Mặt khác
2004
2005
chia cho 3 d 1, do đó N chia cho 3 d 1.
Kết hợp với hằng đẳng thức đã học
1
VD
đợc phát triển thành các bài toán thú vị
sau.
Bài 6:
Cho
23232
)()13()1( baabbabaP
++++=
. Chứng minh rằng P chia hết cho 6
với mọi số nguyên a,b.
Giải:
6
Đặt
222
)(13;1 bayxabbyabax
+=++=+=
. Khi đó ta có
P=
6)()()(
3333
Myyxxyxyx
+=++
.
Bài7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì:

33)3()3(
23323
MM yxyxyxyx
++++
.
Gợi ý: Đặt
:,)(3;3
32323
yxbayxybxyxa
+=++=+=
Ta có
33)()(33
3
1
33
MMMM yxyxBTbaba
++++
(vì 3 là số nguyên tố).
Bài8: Cho các số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z=
2007
2006.3
Chứng minh rằng: M=
323232
)()()( xzyzzxzxyyyzxyx
++++++++
chia hết cho 6.
Giải:
Đặt
333222
;; cbaMxzyzzcxzxyybyzxyxa

++=++=++=++=
Ta có:
)(6)()(2
2222
gtTheozyxzxyzxyzyxcba
++=+++++=++
M
.
Do đó M
6M
(theo-BT
2
)
Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau.
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a)
333
20052)()(
+++=+++
zyxzyyx
(1)
b)
189)12()1(
3322
=+++
xyyx
(2)
Giải:
a)
[ ] [ ]

333
2005)()()()()1(
=+++++
zyzyyxyx
(3)
Dễ thấy VT của (3) chia hết cho 6 (theo-VD1).Nhng
3
2005
không chia hết cho
6,do đó phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b) Đặt
222
)(12;1 yxqpxyqyxp
+=++=+=
. Khi đó phơng trình (2) trở
thành :
189
33
=+
qp
. Vì 189
3M
nên
)(33
1
33
BTtheoqpqp
++
MM
.Từ đó suy ra

p+q là số chính phơng chia hết cho 3.
Mặt khác
7.3.9))((189
2233
=++=+
qpqpqpqp
.Do đó p+q chỉ có thể bằng 9
),(39)(
2
+
=+=+
Zyxyxyx
, từ đó suy ra phơng trình có hai nghiệm
(x,y)=(1,2)hoặc (2,1). Thử lại thấy thoã mãn.
Bài 10 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng

nn
nn
++
=+
1
1
1
với n là số tự nhiên.
Chứng minh : (
nnnn
+++
1)(1
)
11

=+=
nn

nn
nn
++
=+
1
1
1
Phát biểu cách khác :
7
1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì (
)1 nn
+
và
nn
++
1(
) là hai số nghịch
đảo.
2 .
nn
nn
++=
+
1
1
1
(với n là số tự nhiên)

Bài 12: Tính
a.
99100
1
...
34
1
23
1
12
1
+
++
+
+
+
+
+

b.
1
1
...
34
1
23
1
12
1
+

++
+
+
+
+
+
nn
với n

1
Giải :
a.
99100
1
...
34
1
23
1
12
1
+
++
+
+
+
+
+
=
9110099100...342312

==++++
b.
1
1
...
34
1
23
1
12
1
+
++
+
+
+
+
+
nn
với n

1
=
11...342312
=++++
nnn

Bài 13: Tính
a. A =
200620005

1
...
43
1
32
1
21
1

++

+




b. B =
122
1
...
43
1
32
1
21
1
+
+

+

kk

Định hớng :
21
1
21
+

=
hay
1
1
1
++

=+
nn
nn
Giải :
8
a. A =
200620005
1
...
43
1
32

1
21
1

++

+




=
)20062005(...)43()32()21(
++++++
=
20062005...433221
+++

=
)20061(
+

b. B =
122
1
...
43
1
32
1

21
1
+
+

+



kk
B =
)122(...)43()32()21(
++++++++
kk

=
122...433221
++++++
kk

=
)112(
+
k
ởBài 71, thay 1 = x

N ta có bài toán 3
Bài 14 Chứng minh: Với x>0,n
0
Ta có:

nxn
x
nxn
++
=+

Bài15 Tính
a. C =
1316
3
...
710
3
47
3
14
3
+
++
+
+
+
+
+

b. D =
1212
1
...
57

1
45
1
13
1
++
++
+
+
+
+
+
kk
Với k là số tự nhiên

1
Giải
a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. (
4
)
2
-
2
1
= 3 , ở đây x = 3
Ta có:
C =
+
+
14

3
+
+
47
3
+
+
710
3
+
1316
3
+
=
1316...7104714
++++

=
314116
==
9
b. ¸p dông bµi3vµo bµi bµi 4b (
3
)
2
- (
1
)
2
= 2, ë ®©y x = 2

Do ®ã ta ®a vÒ d¹ng bµi to¸n 4a nh thÕ nµo ? ( Nh©n 2 vµo 2 vÕ )
2D =
2 2 2 2
...
3 1 5 3 7 5 2 1 2 1k k
+ + + +
+ + + + + −

2D =
1212...573513
−−+++−+−+−
kk

2D =
⇒−+
112k
D =
2
112
−+
k
Bµi 16: TÝnh
a. E =
25242425
1
...
3223
1
2112
1

+
++
+
+
+
§Þnh híng :
nnnn )1(1
1
+++
= ?

nnnn )1(1
1
+++
=
1
1
+
nn
.
1
1n n+ +
=
1.
1
+
−+
nn
nn
=

1
11
+
−
nn
E =
25
1
24
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
−++−+−
= 1-
5
4
5
1
1
25
1
=−=

3 3 3
. ...
5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006
b P = + + +
+ + +

Ta cã
3
5 2 2 5+
3(5 2 2 5)
(5 2 2 5)(5 2 2 5)
−
=
+ −
3(5 2 2 5)
30
−
=
=
5 2 2 5
10
−
=
5 2 2 5
10 10
−
=
1 1
2 5
−

10

1 1 1 1 1 1
...
2 5 5 8 2003 2006
1 1
2 2006
P
P
= + + +
=
Bài 17: Không dùng máy tính hãy so sánh
A =
20062007

và B =
20052006

Giải :
ap dụng bài 71
A =
20062007
1
+
B =
20052006
1
+

A < B do
20052007
>



2007 2006 2006 2005 <
Bài 18: Tổng quát từ bài 6 ta có :

11
<+
nnnn
với n

1
áp dụng bài 71 (bài tập toán 9 tập I) ta có điều phải chứng minh.
Bài 8 : Thay 1 = x ở bài 7 ta có : Với
n x
>1
A =
nxn
+

B =
xnn

ta có : A < B
từ bài toán 6 ta có bài toán sau:
Bài 19: So sánh C và D

C =
mpm
+

D =
npn
+
Với m > n > 0 ,p > 0
11
Ta có
C =
mpm
p
++

D =
npn
p
++
Vì m > n

C < D
*ap dụng bài 71 chứng minh bất đẳng thức
Bài 20 : Chứng minh
a.
nnn 211
<++
(Với n

1)

b.
nxnxn 2
<++
(với n> x

0)
Chứng minh
a.
nnn 211
<++


11
<+
nnnn
Bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài 7
b.
nxnxn 2
<++

xnnnxn
<+
Đã chứng minh ở bài 8
Bài 21 : Chứng minh :
122222
+<++
mmm
với m

-1

Chứng minh: Với n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta đợc :
122222
+<++
mmm

Bài 12:Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng tỏ
1,099101
>
Giải

99101
2
99101
+
=

Vì 0 <
100299101
<+
( Suy ra từ bài 10a )
12
⇔
1,099100
1002
2
99101
2
>−⇔>
+

Bµi 22: a. Chøng minh r»ng víi mäi n
∈
N*

nn
n
−+<
+
1
12
1
b. Chøng minh:
)1(2
1
)1(2
−−<<−+
nn
n
nn

Gi¶i
a.
nn
n
−+<
+
1
12
1
⇔

nnn
++
<
+
1
1
12
1
( Ap dông bµi 71 trang 14 )
⇔
2
1
+
n
>
1
+
n
+
n
(hiÓn nhiªn ®óng )
b.
)1(2
1
)1(2
−−<<−+
nn
n
nn

* Chøng minh : 2 (
1
+
n
-
n
) <
n
1

⇔
0 <
nn
++
1
1
<
n2
1


⇔

1
+
n
+
n
> 2
n

⇔

1
+
n
>
n

BÊt ®¼ng thøc nµy hiÓn nhiªn ®óng
* Chøng minh

n
1

2( 1)n n< − −

⇔
0 <
n2
1
<
1
1
−+
nn

⇔
2
n

>
n
+
1
−
n
⇔

n
>
1
−
n

13
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng


Bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh
Bài 23 : Cho S = 1+
+++
4
1
3
1
2
1
+
100
1

Chứng minh
18 < S < 19
Chứng minh
p dụng bài 13b ta có :
)1(2
1
)1(2
<<+
nn
n
nn
Thay n = 2,3,4,......100 ta có:
2 (
23

) <
2
1
< 2 (
12

)
2 (
34

) <
3
1
< 2 (
23

)
2 (
5 4) 2( 4 3) <
.
2(
99100(2
100
1
)100101
<<
)
Cộng vế với vế ta có
1 + 2 (
100101...3423
+++
)< S < 1 + 2(
12

+
23

+
34

+
99100

)

1+2 (
100 2
) < S < 1+2 (
1100

)


1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1)
Vậy ta có : 18 < S < 19
Chú ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này nh sau :
Cách 1: Chứng minh S không phải là số tự nhiên
14