Luận Văn Ứng dụng của sai phân

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn
Văn Hùng, người đã tận tình chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong
suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán, các thầy
cô giáo trong tổ giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện
giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
Hà Nội, ngày

tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Đỗ Ngọc Phượng

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-1-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

Lời cam đoan
Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô

giáo hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em
dưới sự giúp đỡ, chỉ bảo của thầy cô hướng dẫn, không trùng khớp với bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào.
Hà Nội, ngày

tháng 5 năm 2012

Sinh viên
Đỗ Ngọc Phượng

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-2-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng
Mục lục
Trang

Lời cảm ơn .................................................................................................... 1
Lời cam đoan ................................................................................................. 2
Mục lục .......................................................................................................... 3
Lời mở đầu .................................................................................................... 4
Chƣơng 1. Một số kiến thức mở đầu ......................................................... 5
1.1 Sai phân ................................................................................................. 5

1.1.1 Khái niệm sai phân ............................................................................... 5
1.1.2 Một số tính chất của sai phân .............................................................. 5
1.2 Phương trình sai phân ........................................................................... 8
1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính ....................................................... 8
1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 ............................................... 9
1.2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 ............................................. 13
1.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 .............................................. 18
1.3 Tuyến tính hóa ...................................................................................... 20
Chƣơng 2. Một số bài toán ứng dụng tính chất của sai phân .............. 23
2.1 Bài toán tính tổng ................................................................................. 23
2.2 Bài toán tìm giới hạn của dãy số .......................................................... 31
Chƣơng 3. ứng dụng của phƣơng trình sai phân ................................... 37
3.1 Một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số ................................ 37
3.2 Một số ứng dụng khác của sai phân ...................................................... 48
Kết luận ...................................................................................................... 61
Tài liệu tham khảo .................................................................................... 62

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-3-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

Lời mở đầu
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong

nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Sai phân có thể ứng dụng vào giải gần đúng
phương trình các toán tử, đặc biệt được sử dụng để giải phương trình vi phân
và phương trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó lí thuyết sai phân còn có nhiều
ứng dụng khác trong giải tích chẳng hạn như: tìm số hạng tổng quát của dãy
số, tìm giới hạn của dãy số, bài toán tính tổng, ...
Một trong các dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thông
trung học là toán về dãy số, trong đó Sai phân và ứng dụng của sai phân là
phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán về dãy
số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất
đẳng thức... Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã
cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên
tiếp của dãy số khác. Trong sách giáo khoa gần như không đề cập vấn đề này,
nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì vấn đề này thường hay được
đề cập đến. Các sách tham khảo hiện có một số bài toán có sử dụng phương
pháp sai phân nhưng không phân tách chặt chẽ, không có hệ thống lý thuyết
làm người đọc khó vận dụng.
Dưới góc độ một sinh viên chuyên ngành toán, em xin trình bày một số
phương pháp giải bài toán liên quan đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu
bồi dưỡng giáo viên, bồi dưỡng sinh viên, học sinh giỏi và cũng là bồi dưỡng
kiến thức cho chính mình với đề tài: ''ứng dụng của sai phân".

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-4-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

Chƣơng 1. một số kiến thức mở đầu
1.1. Sai phân.
1.1.1. Khái niệm sai phân.
Giả sử f :    là một hàm số cho trước và h  const .
Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lượng

f ( x)  f  x  h   f  x 
Một cách tổng quát sai phân cấp n của f(x) là đại lượng

n f ( x)   n1 f  x 

 n  1

và  0 f ( x)  f  x 
1.1.2. Một số tính chất của sai phân.
 Tính chất 1:  là toán tử tuyến tính, nghĩa là  ,    ; f , g thì
  f   g   f  g

Chứng minh:

 ,    ; f , g
  f   g    f  x  h    . g  x  h    f  x    g  x 
   f  x  h   f  x      g  x  h   g  x  
 f  g

Vậy:   f   g   f  g
 Tính chất 2: Nếu c  const thì c  0
Chứng minh:

c  const
c  c  c  0

 Tính chất 3:

n  x n   n!hn
m  x n   0  m  n 

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-5-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

Chứng minh:
  x n    x  h   x n  nh.x n1  ...
n

 2 ( x n )  (nx n1h)  ...

 n.h( x n1 )  ...

 n(n  1)h2 x n2  ...

..............................................................

 n  x n   n!hn  n!hn
Từ tính chất (2) suy ra  m  x n   0 m  n
 Tính chất 4: Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor ta
có:
hi  i 
P  P( x  h)  P  x    . p  x 
i 1 i !
n

n

 Tính chất 5: f  x  n h    Cni i f ( x)
i 0

Chứng minh:

f  x  n.h   1    f  x   f  x   f  x 
áp dụng nhiều lần ta được

f  x  n.h   1    f  x   n  1 h 
 1    f  x   n  2  h 
2

 ..........................
 1    f  x 
n

n

  Cni  i f ( x)
i 0

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-6-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

 Tính chất 6: Mọi sai phân đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số:
n

 f  x     1 Cni f  x   n  i  h 
i

n

i 0

Chứng minh:
 n f ( x)  (1  )  1 f ( x)
n

n

   1 Cni 1   
i

n i

f  x

i 0
n

   1 Cni f  x   n  i  h 
i

i 0

n
 Tính chất 7: Giả sử f  C  a, b  và  x, x  nh    a, b 

n f  x 
n
Khi đó:
 f    x   nh  ;    0,1
n
h
Chứng minh:
Với n =1 ta có công thức số gia hữu hạn
f  x  h  f  x
 f '  x   h
n
h

Giả sử công thức đúng với mọi k  n
Ta chứng minh cho k  n  1 . Thật vậy
n
 n1 f  x     n f  x    hn f    x   'nh 

Trong đó  '  (0,1) .
áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f  n  x   ' nh 

 n1 f ( x)  hn f ( n ) ( x   'nh)

 h n  f 

n

 h n1. f 

 x   nh  h   f    x   nh 

 x   nh   h ;  ,   0,1

n 1

n

'

'

''

'

'

"

 n      0,1. Ta được :
Đặt  
'

"

n 1

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-7-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

 n1 f  x   f 

n 1

 x    n  1 h 

Hệ quả: Nếu f  C n  a, b  thì khi h đủ nhỏ ta có:

f

n

n f  x 
 x  n
h

Nhận xét: Với hàm f  x  , xác định trên tập số nguyên  và coi h= 1;
kí hiệu: yk  f  k  ; k  0,1,2...
n

Ta có:

 y   y
i 1

i

2

 y1    y3  y2   ...   yn1  yn   yn1  y1

với

yi  yi1  yi  f i  1  f i 

n

Vậy:

 y
i 1

i

 yn1  y1

1.2. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN.
1.2.1. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH.
* Định nghĩa:
Phương trình sai phân tuyến tính cấp k là một hệ thức tuyến tính giữa
sai phân các cấp
F ( xn , xn , 2 xn ,..., k xn )  0

(1.1)

Trong đó xn là sai phân cấp 0 của hàm xn . Vì sai phân các cấp đều có
thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số nên (1) có dạng:

an xnk  an1 xnk 1  ...  a1 xn1  a0 xn  f n

(1.2)

Trong đó ai , i  0,1, 2...n với an  0, a0  0 là các hằng số hoặc các hàm số
của n; f n là hàm số của n; xn là giá trị cần tìm.
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n.

Nếu f n  0 thì phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất cấp n, có dạng:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-8-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

an xn k  an 1 xn  k 1  ...  a1 xn1  a0 xn  0

(1.3)

Để giải phương trình (1.2) người ta thường cho trước n giá trị ban đầu

x0 , x1 ,..., xn 1 và tìm được xk  f (k ) với k = 0,1,2,... được gọi là nghiệm của
phương trình sai phân (1.2).
Phương trình an n  an1 n1  ...  a1  a0  0

(1.4)

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.3).
Nhận xét: Nếu xn là nghiệm của phương trình (1.3) và xn là một
nghiệm của phương trình (1.3) thì  xn   xn với  ,  là các hằng số tùy ý
cũng là nghiệm của phương trình (1.3).

1.2.2. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP 1.
* Định nghĩa:
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng

a xn1  b xn  f n

(2.1)

(a, b - hằng số khác 0, fn - biểu thức của n)
* Nghiệm:
*
Nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng xn  xn  xn ; trong đó:

 là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần
x
n
n
nhất axn1  bxn  0 và có dạng: xn  C.q , với C  0 và q =

a
;
b



x là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình (2.1).
n

* Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Là phương trình có dạng: axn 1  bxn  0;  a  0 

(2.2)

b
Phương trình đặc trưng: a  b  0     .
a

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-9-

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

n
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) có dạng xn  q. (q là hằng

số).
 Ví dụ 1: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:
 xn 1  3.xn  0
n   *

 x1  2

Giải:
Xét phương trình: xn1  3.xn  0 là phương trình tuyến tính thuần nhất

cấp 1, có phương trình đặc trưng dạng:   3  0    3
n
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng xn  q.3

2
Với n  1 ta có: x1  3.q  2  q  .
3
n 1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: xn  2.3

n   .
*

* Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
cấp một.
 Dạng 1

axn1  bxn  f n

(2.3)

Nghiệm tổng quát: xn  xn  xn*
Với: xn là nghiệm tổng quát của phương trình (2.2)

xn* là nghiệm riêng của phương trình (2.3)
Tìm xn* như sau:
Nếu   1 thì xn*  g n là đa thức cùng bậc với f n .
Nếu   1 thì xn*  n.gn ; gn là đa thức cùng bậc với f n .
 Ví dụ 2: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 10 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

n   

 xn1  2 xn  3n

 x1  2

*

Giải:
Xét phương trình không thuần nhất xn1  2 xn  3n
Phương trình đặc trưng   2  0    2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: xn  q.2n (q là hằng
số)
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng xn*  an  b
Thay xn* vào phương trình đã cho ta được:

a  n  1  b  2  an  b   3n

 an  a  b  3n

a  3
a  3
Đồng nhất các hệ số ta được 

a  b  0 b  3
Do đó: xn*  3n  3
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

xn  xn  xn*  q.2n  3n  3
Với n  1 ta có 2q  6  2  q  4
Vậy: xn  2n2  3n  3

 n  
*

 Dạng 2: Phương trình dạng: a.xn1  bxn   n .Pm  n  .  0  (2.4)
Nghiệm tổng quát xn  xn  xn*
Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phương trình (2.2)

xn* là nghiệm riêng của phương trình (2.4)
và xn* được xác định như sau:
xn*  Qm  n  n nếu   

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 11 -

LớpK34D_SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

xn*  n.Qm  n  . n nếu   

Trong đó  là nghiệm của phương trình đặc trưng và Pm  n  ; Qm  n  các
đa thức bậc m của n.
 Ví dụ 3: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:

 xn1  3xn  2n

 x1  1

n   

Giải:
Xét phương trình: xn1  3xn  2
Phương trình đặc trưng   3  0
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng xn  q.3n (q là
hằng số).
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: xn*  a.2n (a là hằng số)
Thay xn* vào phương trình đã cho ta được: a.2n1  3.a.2n  2n 

a  1.
Do đó:

xn*  2n

xn  xn  xn*  q.3n  2n

Với n  1 ta có: x 1  3q  2  1  q  1
Vậy xn  3n  2n .
 Dạng 3: Phương trình axn1  bxn  f n1  f n2  ...  f nk

(2.5)

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.5) có dạng
xn  xn  xn*1  xn*2  ...  xn*k

Trong đó xn*k tương ứng là nghiệm riêng của phương trình
axn1  bxn  fnk (k= 1, 2, ...).

 Ví dụ 4: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 12 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

 xn1  2 xn  n  3n

 x1  3

(n   )

Giải:
Xét phương trình:

xn1  2 xn  n  3n
Phương trình đặc trưng:
 2  0  2

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

xn  xn  xn*1  xn*2
Trong đó: xn  q.2n (q là hằng số)

xn*1  an  b (a, b là hằng số)
xn*2  c.3n (c là hằng số)

Thay

xn*  xn*1  xn*2  an  b  c.3n

vào

phương

trình

xn1  2 xn  n  3n ,ta được:
a  n  1  b  c.3n1  2  an  b  c.3n   n  3n
an   a  b   c3n  n  3n

Đồng nhất các hệ số:
a  1
a  1


a  b  0  b  1
c  1
c  1



Do đó:

xn*  n  1  3n

xn  q.2n  n  1  3n
Với n  1 ta có: x1  2q  2  3  3  q  1
Vậy: xn  2n  3n  n  1

SV:Đỗ Ngọc Phượng

n    .
- 13 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

1.2.3. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP HAI.
* Định nghĩa:
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng:

axn2  bxn1  cxn  fn

(3.1)

a, b, c là hằng số; f n là hàm số của n.
Nếu f n  0 ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai

axn  2  bxn 1  cxn  0

(3.2)

* Nghiệm:
Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) có dạng xn  xn  xn*
Trong đó: xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
(3.2); xn* là một nghiệm riêng tùy ý của (3.1).
* Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai.
Có dạng: a xn2  b xn1  c xn  0;

 3.2 

(a  0)

2
Phương trình đặc trưng: a   b   c  0

Nếu 1 , 2 là 2 nghiệm thực phân biệt thì

xn  A.1n  B.2n (A, B là các hằng số)
Nếu 1  2   (nghiệm thực kép) thì:

xn  ( A  B.n) n (A, B là các hằng số)
Nếu   x  iy  r (cos  i sin  )
Với: i 2  1; r  x 2  y 2 ;  arctg

y
thì:   x  iy  r (cos  i sin  )
x

cũng là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Khi đó: xn  r n ( A cos n  B sin n ) (A, B là hằng số).
 Ví dụ 5: Giải phương trình sai phân:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 14 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

xn2  5xn1  6 xn  0 ( n )

x0  2; x1  3
Giải:
Phương trình đặc trưng:  2  5  6  0

  2
  3

Nghiệm tổng quát của phương trình: xn  A.2n  B.3n . Theo giả thiết:

x0  2; x1  3 . Ta có hệ:
A  B  2
A  3



2 A  3B  3  B  1
Vậy xn  3.2n  3n ( n ).
* Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
cấp hai.
 Dạng 1. axn2  bxn1  cxn  Pk (n)

(3.3)

Với: a, b, c là các hằng số; a  0

Pk (n) là đa thức bậc k của n
Nghiệm tổng quát của phương trình (3.3) có dạng: xn  xn  xn*
Với: xn là nghiệm tổng quát của phương trình (3.2)

xn* là một nghiệm riêng của phương trình (3.3)

Cách tìm xn* :
Phương trình đặc trưng: a 2  b  c  0
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm   1 thì: xn*  Qk (n)
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn   1 thì: xn*  nQk (n)
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép   1 thì: xn*  n2 Qk (n)

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 15 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

 Ví dụ 6: Giải phương trình sai phân sau:

xn2  7 xn1  12 xn  n  1 ( n )
x0 

11
19
; x1 
36
36

Giải:
Xét phương trình:

xn2  7 xn1  12 xn  n  1
Phương trình đặc trưng:
  3
 2  7  12  0  
  4

Nghiệm tổng quát của phương trình là: xn  xn  xn* .
Với: xn  A.3n  B.4n

xn*  a.n  b

( A , B là hằng số)
(a, b là hằng số)

Thay xn* vào phương trình xn2  7 xn1  12 xn  n  1 ta được:

a  n  2   b  7  a  n  1  b   12  an  b   n  1
 6an   6b  5a   n  1

Đồng nhất các hệ số ta được:
1

a


6 a  1

6



6b  5a  1 b  11

36

1
11
 xn*  n 
6
36
1
11
 xn  A.3n  B.4n  n 
6
36

Theo giả thiết x0 

SV:Đỗ Ngọc Phượng

11
19
; x1 
ta có hệ sau:
36
36

- 16 -

LớpK34D_SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

11 11

A

B



A 1

36 36


 B  1
3 A  4 B  17  19

36 36


1
11
Do đó: xn  3n  4n  n 
6
36

 Dạng 2: a xn2  b xn1  c xn   n Pk  n 
Trong đó:

(3.4)

a, b, c là các hằng số a  0;  0

Pk (n) là đa thức bậc k của n.
Và nghiệm tổng quát của phương trình (3.4) có dạng xn  xn  xn*
Trong đó:

xn là nghiệm tổng quát của phương trình (3.2)

xn* là một nghiệm riêng của phương trình (3.4)
Cách tìm: xn*
Phương trình đặc trưng a 2  b   c  0
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm    thì xn*  Qk  n  . n
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn    thì xn*  n.Qk  n  . n
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép    thì xn*  n 2 .Qk  n  . n
 Ví dụ 7: Giải phương trình sai phân sau:
xn2  2 xn1  xn  3.2n

 n  2

x1  0; x2  0

Giải:
Xét phương trình: xn2  2 xn1  xn  3.2n
Phương trình đặc trưng:  2  2  1  0 có nghiệm kép   1

Nên nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xn  xn  xn*
Trong đó: xn   A  Bn 1n  A  Bn ( A, B là hằng số)

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 17 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

xn*  C 2n (C là hằng số).

Thay xn* vào phương trình đã cho ta được
C.2n2  2C.2n1  C.2n  3.2n  C  3

Do đó:

xn*  3.2n
xn  A  B.n  3.2n

Theo giả thiết x1  0; x2  0 nên ta có hệ:

A  B  6  0
A  0



 A  2 B  12  0  B  6
Vậy: xn  6n  3.2n

 n  
*

1.2.4 PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP 3.
* Định nghĩa:
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 là phương trình có dạng

a.xn3  bxn2  c.xn1  d .xn  f n.

(4.1)

Trong đó: a, b, c, d là các hằng số a  0

f n là hàm số của n.
* Nghiệm:
Nghiệm tổng quát của phương trình (4.1) có dạng xn  xn + xn*
Trong đó: xn là nghiệm của phương trình

a.xn3  b.xn2  c.xn1  d .xn  0

(4.2)

xn* là một nghiệm riêng của phương trình (4.1)
* Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 3.
Phương trình có dạng a xn3  b xn 2  c xn1  d  0

(a  0)

(4.2)

Phương trình đặc trưng a  3  b  2  c   d  0
Nếu phương trình đặc trưng có 3 nghiệm thực phân biệt: 1,  2 , 3 thì:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 18 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

xn  A.1n  B.2n  C.3n ( A, B, C là các hằng số)
Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm
đơn thì: xn  ( A  Bn)1n  C. n2

(A, B, C là các hằng số)

Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm thực bội 3 thì:

xn  ( A  Bn  C n2 ) n
 Ví dụ 8: Giải phương trình sai phân sau:

xn3  6 xn2  11xn1  6 xn  0

x0  3, x1  6, x2  14
Giải:
Xét phương trình: xn3  6 xn2  11xn1  6 xn  0
Phương trình đặc trưng: 3  6 2  11  6  0
có nghiệm 1  1, 2  2, 3  3
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xn  A.1n  B.2n  C.3n
Theo giả thiết x0  3 ; x1  6 ; x2  14
Ta có hệ sau:

A  B  C  3
A 1


 A  2 B  3C  6   B  1
 A  4 B  9C  14
C  1



Vậy xn  3n  2n  1 ( n ).
* Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
cấp 3.
 Dạng 1. Phương trình dạng:

a.xn3  bxn2  c.xn1  dxn  n .Pk (n)

(4.3)

Trong đó: a, b, c, d,  : hằng số; a  0,   0 ; Pk (n) : đa thức bậc k của n.
Nghiệm tổng quát của phương trình (4.3): xn  xn  xn*

Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phương trình (4.2)

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 19 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

xn* là một nghiệm riêng của phương trình (4.3)
Nếu    thì xn*  nQk (n)
Nếu    là nghiệm đơn thì xn*  n.nQk (n)
Nếu    là nghiệm bội 2 thì: xn*  n2 .nQk (n) .
Nếu    là nghiệm bội 3 thì : xn*  n3.nQk (n) .
Trong đó Qk (n) là đa thức cùng bậc với Pk (n)

1.3. TUYếN TíNH HóA.
Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta biến đổi dẫn về phương
trình sai phân tuyến tính được gọi là tuyến tính hóa.
Trong công thức lặp: xn  ( xn1, xn2 ,..., xnk ) , để giải phương trình
f ( x)  0 với các giá trị ban đầu x1  1, x2  2 ,..., xk  k thuộc đoạn ta xét.

Giả sử phương trình sai phân xn  ( xn1,..., xnk ) là tuyến tính hóa được. Khi
đó điều kiện cần là tồn tại các số a1, a2 ,..., ak để:

xn  a1xn1  a2 xn2  ...  an xnk

Để tìm ai (i  1, k ) trước hết ta theo các giá trị ban đầu: 1, 2 ,..., k để
tính xk 1, xk 2 ,..., x2k
xk 1  ( k ,  k 1 ,..., 1 )
xk 2  ( k 1 ,  k ,...,  2 )
...............
x2 k  ( 2 k 1 ,  2 k 2 ,...,  k )

Thay x1, x2 ,..., xk và các giá trị xk 1, xk 2 ,..., x2k vừa tìm được vào biểu
thức xn ta được hệ phương trình đại số tuyến tính:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 20 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

 xk 1  a1 xk  a2 xk 1  ...  ak x1
 x  a x  a x  ...  a x
 k 2 1 k 1 2 k
k 2

.............
 x2 k  a1 x2 k 1  a2 x2 k 2  ...  ak xk
Nếu hệ trên có nghiệm thì ta được: xn  a1 xn1  a2 xn2  ...  ak xnk là dạng
tuyến tính hóa của xn  ( xn1, xn2 ,..., xnk ) , ta kiểm tra điều kiện đủ bằng

phép chứng minh quy nạp.
 Ví dụ 9: Cho dãy số:


xn21  2
 xn 
xn2

 x  1; x  1
 1
2

(n  3)

Ta có thể tuyến tính hóa như sau: xn  axn1  bxn2  c
Theo công thức xác định của dãy số ta có: x3  3; x4  11; x5  41
Thay các giá trị này vào xn ta được hệ:
a  b  c  3
a  4


3a  b  c  11  b  1
11a  3b  c  41 c  0



 xn  4 xn1  xn2
Ta chứng minh quy nạp xn  4 xn1  xn2 là dạng tuyến tính của dãy số
đã cho.
Với n  3: x3  4 x2  x1  3 (đúng)

Giả sử công thức đúng với n  k (k >3) tức là: xk  4 xk 1  xk 2
Ta chứng minh công thức đúng với n = k+1

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 21 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

xk2  2 (4 xk 1  xk 2 )2  2
xk 1 

xk 1
xk 1
16 xk21  8 xk 1 xk 2  xk22  2

xk 1
Theo giả thiết quy nạp:
xk21  2
xk 
 4 xk 1  xk 2
xk 2

xk21  2  4 xk 1 xk 2  xk22



xk22  2  4 xk 1 xk 2  xk21
xk 1 



16 xk21  8 xk 1 xk 2  4 xk 1 xk 2  xk21
xk 1

 15 xk 1  4 xk 2

xk  4 xk 1  xk 2

Vì

 xk 2  4 xk 1  xk
xk 1  15 xk 1  4(4 xk 1  xk )

Nên:


xk 1  4 xk  xk 1

Vậy xn1  4 xn  xn1 (n  3)

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 22 -

(đpcm).

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

CHƢƠNG 2
MộT Số BàI TOáN ứNG DụNG TíNH CHấT CủA SAI PHÂN
2.1. BàI TOáN TíNH TổNG.
Để làm các bài toán tính tổng ta sử dụng tính chất tổng sai phân hữu
hạn:
N

 x

n

n i

 xN 1  xi .

 Dạng 1: Dạng đa thức bậc m.
n

Để tính tổng S   Pm (k ) ở đây Pm  k  là đa thức bậc m của k, ta tiến
k 1

hành theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm đa thức bậc m + 1 của k là Qm1  k  sao cho

Pm  k   Qm1  k 
+ Bước 2: áp dụng tính chất của tổng sai phân hữu hạn ta có:
n

n

k 1

k 1

S   Pm (k )   Qm1 (k )  Qm1 (n  1)  Qm1 (1).

 Ví dụ 1: Tính tổng:
n

S1  1  2  ...  n   k .
k 1

Giải:
Ta thấy Pm  k   k là đa thức bậc 1.
Ta tìm Q2  k   ak 2  bk  c sao cho: Q2  k   k

  a  k  1  b  k  1  c    ak 2  bk  c   k


 2ak  a  b  k
2

Đồng nhất các hệ số của k ta được hệ phương trình:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 23 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

1

a

a  b  0 
2


 2a  1
b   1

2
Chọn c = 0, suy ra: k= P1(k) = Q2(k)

 k2 k 
 k (k  1) 

 k =      
 .
2
2
2



áp dụng tính chất của tổng sai phân hữu hạn ta có:
n
n
 k (k  1) 
S1   k    
 2 
k 1
k 1

(n  1)(n  1  1) 1( n  1)

2
2
n( n  1)

.
2



 Ví dụ 2. Tính tổng:
n

S2  12  22  ...  n 2   k 2
k 1

Giải:
Ta thấy Pm  k   k 2 là đa thức bậc 2.
Ta tìm Q3  k   ak 3  bk 2  ck  d sao cho: Q3(k) = k2
 [ a(k + 1)3 + b(k + 1)2 + c(k + 1) + d ] – [ak3 + bk2 + ck + d ] = k2
 3ak2 + (3a + 2b)k + (a + b + c) = k2.
Đồng nhất các hệ số của k ta được hệ phương trình:

1

a



3
 3a  1

1


 3a  2b  0  b  
2
a  b  c  0 
1




 c6



Chọn d = 0, suy ra:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 24 -

LớpK34D_SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

 k3 k2 k 
 (k  1)k (2k  1) 
k2  

   
 .
2
6
6

 3

Vậy:

S2 

n

k2 
k 1

 ( k  1) k (2k  1) 

6


n

  
k 1



(n  1  1)(n  1)  2(n  1)  1 (1  1).1.(2.1  1)

6
6



n(n  1)(2n  1)
.
6

 Dạng 2: Dạng giai thừa.
n

Để tính tổng S    k ! Pm (k )  , ở đây Pm  k  là đa thức bậc m của k, ta
k 1

tiến hành theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm đa thức bậc m của k là Qm  k  sao cho:

k !Pm  k    k !Qm  k 
+ Bước 2: áp dụng tính chất của tổng sai phân hữu hạn ta có:
n

n

k 1

k 1

S   k !Pm (k )     k !Qm (k )   n  1!Qm (n  1)  Qm (1).

 Ví dụ 1. Tính tổng:
n

S1  1.1! 2.2! ...  n.n!   k .k !
k 1

Giải.
Ta thấy Pm  k   k là đa thức bậc 1.
Ta tìm Q1  k   ak  b sao cho:  k !Qm  k   k.k !

 k.k! = [(ak + b).k!]
=[a(k + 1) + b](k + 1)! – [ak + b]k!
 k = ak2 + (a + b)k + a.
Đồng nhất các hệ số của k ta được hệ phương trình:

SV:Đỗ Ngọc Phượng

- 25 -

LớpK34D_SP Toán