Về tính ổn định và đồng bộ hóa của hệ nơ ron phân thứ hopfield (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

PHÙNG VĂN THÀNH

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA
CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

PHÙNG VĂN THÀNH

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA
CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Mai Viết Thuận

THÁI NGUYÊN - 2019


Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Tính ổn định và đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17
2.1. Tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ . . . . . . . . . . 17
2.2. Tính đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ . . . . . . . 27

1

LỜI NÓI ĐẦU
Mô hình mạng nơ ron Hopfield mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo
hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi Chua và Yang vào năm 1988
(xem [5]). Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong
xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 6, 14]. Năm
2008, trong một nghiên cứu của mình, Boroomand và Menhaj [3] lần đầu tiên
mô hình hóa mạng nơ ron Hopfield bởi hệ phương trình vi phân phân thứ
(Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron Hopfield mô tả bởi hệ
phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron Hopfield mô tả
bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có
thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn
[3, 14]. Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản
và quan trọng của mọi hệ động lực và mạng nơ ron phân phân thứ Hopfield
cũng không là ngoại lệ. Do đó bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron
Hopfield phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa
học và nhiều kết quả thú vị và sâu sắc đã được công bố trên các tạp chí quốc
tế có uy tín trong những năm gần đây (xem [15, 17, 18, 20, 21, 22]).
Như chúng ta đã biết phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp
hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield với bậc nguyên.
Năm 2010, Li [12] cùng các cộng sự đưa ra phương pháp hàm Lyapunov hay
còn gọi là phương pháp trực tiếp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của
hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến. Tuy nhiên khó khăn trong việc
áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ
là xây dựng hàm Lyapunov thích hợp và tính đạo hàm phân thứ của hàm
2

3

Lyapunov này. Năm 2015, Duarte-Mermoud [8] cùng các cộng sự đưa ra một
công thức để ước lượng đạo hàm phân thứ cấp α ∈ (0, 1) của hàm Lyapunov
dạng V (x(t)) = xT (t)P x(t), x(t) ∈ Rn , trong đó P ∈ Rn×n là một ma trận đối
xứng, xác định dương. Dựa trên kết quả này và bất đẳng thức ma trận tuyến
tính, các tác giả trong [22] nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield
phân thứ. Gần đây, bằng cách tiếp cận sử dụng bổ đề S và bất đẳng thức ma
trận tuyến tính, các tác giả trong [18] đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính ổn
định của một lớp hệ nơ ron Hopfield phân thứ với hàm kích hoạt mở rộng.
Tuy nhiên, hàm Lyapunov được chọn để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ
ron Hopfield phân thứ trong các công trình [18, 22] còn đơn giản. Gần đây,
Wang cùng các cộng sự [16] đã đưa ra cách chọn hàm Lyapunov hữu hiệu hơn
để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ. Ngoài ra, tác giả
còn đưa ra một số tiêu chuẩn cho tính đồng bộ hóa của mạng nơ ron phân thứ.
Luận văn tập trung trình bày tính ổn định và đồng bộ hóa cho hệ nơ ron
Hopfield phân thứ trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các kết quả trong bài báo
[16] của Wang cùng các cộng sự được công bố năm 2019. Luận văn gồm có 2
chương gồm những nội dung sau đây:
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân
thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo
hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và
duy nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội
dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 10, 11].
Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ
cho tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ bằng cách xây dựng hàm
Lyapunov lồi và cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Ngoài ra, bài toán đồng bộ hóa cho mạng nơ ron phân thứ cũng được chúng
tôi trình bày trong chương này. Nội dung của chương này được chúng tôi tham
khảo trong tài liệu [16]. Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 03 ví

dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết trong chương này. Đây có thể coi là
đóng góp mới của luận văn.
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái


4

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,
tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin cùng các giảng viên đã tham
gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực
hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin
chân thành cảm ơn.


Danh mục ký hiệu

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax (A A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

x

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn

Rn×r

không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn )

không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

AC m [a, b]

không gian các hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b]

α
t0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

α

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α


l1 0 0 


L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  0 l2 0 


0 0 l3
5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường. Chúng tôi
cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các
kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương
này được tham khảo ở [7, 8, 10, 11].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([11]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds,

t ∈ (a, b],

t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α
t0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lý sau:
Định lý 1.1. ([11]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi
6


7

đó, tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là

một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([11])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

−α

=λ

j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([11]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL α
t0 Dt x(t)

dn
:= n
dt

n−α
x(t)
t0 It

1
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,
t0

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0,
f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)


8

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

d

}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([11]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t) =

1
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f (n) (s),

ck =

f (k) (t0 )
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
k!

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

f (k) (t0 )
1

(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


9

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2.
Hệ quả 1.1. ([11]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

1
f (t0 )
+
Γ(1 − α) (t − t0 )α

=

t
t0

f (s)ds

.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

dn
1
=
Γ(n − α) dtn
λ
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds
t0
t

(t − s)

n−α−1

t0

µ
dn
f (s)ds +
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. ([10]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α
C α

t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân
thứ cấp α.


10

Định lý 1.3. ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.

(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

1
=
Γ(1 − α)

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lý 1.4. ([11]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).

11

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây
Định lý 1.5. ([11]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau
Định lý 1.6. [11] Cho α > 0 và đặt n = α . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α

t0 Dt x(t)

=RL
t0

Dtα

x(t) −
j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].

1.2.

Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x

∞

∞

được định nghĩa như sau

:= max x(t) ,
t∈[0,T ]

(trong đó . là chuẩn Euclide trong không gian Rn ).
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
C α
0 Dt x(t)

= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(1.1)


12

với điều kiện ban đầu
x(0) = x0 ∈ Rn ,

(1.2)

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn .
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]
nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và

(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [7] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy
ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
1
ϕ(t, x0 ) = x0 +
Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

0

Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời
điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được
ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại
tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời
điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản
giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của Hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lý sau đây:
Định lý 1.7. ([7] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn
và K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn

điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ G.


13

Đặt M = sup

f (t, x) và

(t,x)∈G

T∗ =



 T, nếu M = 0,

 min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại.

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của Bài toán (1.1)
với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).
Định lý 1.8. ([2] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét Bài toán
(1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y ,
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý
x0 ∈ Rn , Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).

1.3.

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
Định nghĩa 1.4. [10] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk

= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. [10] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)


14

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
+∞

Eα,β (A) =
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [11].

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ
phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu
phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,
t0 t

(1.4)


 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
T

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là
thời điểm ban đầu và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
Định nghĩa 1.6. ([22]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của Hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi
điểm cân bằng của Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể
chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x = 0 là một điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ
(1.4) trở thành
C α
t0 Dt y(t)

=

C α

t0 Dt (x(t)

− x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),

(1.5)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định
tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0.


15

Định nghĩa 1.7. ([22]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)
có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler
nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn
b

x(t) ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 .
Nhận xét 1.3. ([22]) Nếu Hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là lim

t−→+∞

x(t) = 0.

Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny
đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ.
Định lý 1.9. ([12]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số
dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều
kiện:
(i)

α1 x(t)

(ii)

C α
t0 Dt V

a

≤ V (t, x(t)) ≤ α2 x(t)

(t, x(t)) ≤ −α3 x(t)

ab

ab

,

,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa
mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0
trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)
là Mittag–Leffler ổn định toàn cục.

1.4.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.


16

Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu



T
X Z
 < 0.

Z −Y

Bổ đề 1.3. [8] Cho Ω ⊂ Rn . Cho V (.) : Ω −→ R và x(.) : [0, ∞) −→ R là các
hàm khả vi liên tục và V (.) là một hàm lồi trên Ω. Khi đó
C α
t0 Dt V

(x(t)) ≤

∂V (x(t))
∂x

T
C α
t0 Dt x(t), ∀α

∈ (0, 1), ∀t ≥ 0.


Chương 2

Tính ổn định và đồng bộ hóa của
hệ nơ ron Hopfield phân thứ
2.1.

Tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ

Xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ dưới đây


 C Dα y(t) = Ay(t) + Bg(y(t)) + J(t), t ≥ 0,

t
0

(2.1)


 y(0) = y0 ∈ Rn ,
ở đó α ∈ (0, 1), y(t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của
hệ nơ ron Hopfield phân thứ, g(y(t)) = (g1 (y1 (t)), . . . , gn (yn (t))) là hàm kích
hoạt của mạng nơ ron Hopfield, A = diag{a1 , . . . , an }, ai < 0 (i = 1, 2, . . . , n)
và B ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước. Để nghiên cứu tính ổn định
của hệ (2.1) ta cần giả thiết dưới đây
Giả thiết 1: Các hàm gi (.), gi (0) = 0(i = 1, 2, . . . , n) là hàm liên tục, bị chặn
và thỏa mãn bất đẳng thức dưới đây.
ki− ≤

gi (y1 ) − gi (y2 )
≤ ki+ , ∀y1 , y2 ∈ R, y1 = y2 ,
y1 − y2

(2.2)

ở đó ki− , ki+ (i = 1, 2, . . . , n) là các hằng số cho trước.
Với Giả thiết 1, người ta đã chứng minh được rằng Hệ (2.1) tồn tại và duy
nhất một điểm cân bằng (nghiệm của Hệ (2.1)). Cho y ∗ = (y1∗ , . . . , yn∗ ) là điểm
cân bằng của Hệ (2.1). Sử dụng phép đổi biến x(t) = y(t) − y ∗ , ta thu được hệ
phân thứ dưới đây
C α
0 Dt x(t)

= Ax(t) + Bf (x(t)), t ≥ 0,
17

(2.3)


18

ở đó f (x(t)) = g(x(t) + y ∗ ) − g(y ∗ ). Từ Giả thiết 1, dễ dàng kiểm tra được
hàm kích hoạt f (x) = (f1 (x1 ), . . . , fn (xn )) thỏa mãn
ki− ≤

fi (x2 ) − fi (x1 )
≤ ki+ , i = 1, 2, . . . , n, ∀x1 = x2 .
x2 − x1

(2.4)

Ngoài ra, nếu x2 = 0, ta có
ki− ≤

fi (x1 )
≤ ki+ , i = 1, 2, . . . , n, ∀x1 = 0.
x1

(2.5)

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính Mittag-Leffler ổn định của
Hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.3).
Định lý 2.1. Giả sử Giả thiết 1 đúng. Hệ (2.3) là Mittag-Leffler ổn định

nếu tồn tại các ma trận P1 , P2 ∈ Rn×n , các ma trận đường chéo chính Dj =
diag{dj1 , dj2 , . . . , djn }, Dj∗ = diag{d∗j1 , d∗j2 , . . . , d∗jn } ∈ Rn×n (j = 1, 2, 3, 4), hai
ma trận đường chéo chính, xác định dương S1 , S2 ∈ Rn×n và một ma trận
L ∈ R4n×n sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa
mãn
sym{P1 + P2 } > 0, Di + Di∗ > 0, S1 > 0, S2 > 0, Φ < 0,

(2.6)

ở đó
Φ = sym{eT1 P1 (Ae1 + Be2 ) + eT1 AT + eT2 B T P1 e1 + eT1 P2 e4 + eT4 P2 e1
+ eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 )
+ (eT1 K + − eT2 )D1∗ e4 + eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 ) + eT2 − eT1 K − D2∗ e4
+ αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 ) + αeT1 K + − eT3 D3∗ e4
+ eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 ) + eT3 − αeT1 K − D4∗ e4
+ eT2 − eT1 K − S1 K + e1 − e2 + eT3 − αeT1 K − S2 αK + e1 − e3
+ L (Ae1 + Be2 − e4)},
e1 = I 0 0 0 , e2 = 0 I 0 0 , e3 = 0 0 I 0 , e4 = 0 0 0 I ,
K + = diag{k1+ , k2+ , . . . , kn+ }, K − = diag{k1− , k2− , . . . , kn− }.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dưới đây
3

V (x(t)) =

Vi (x(t)),
i=1


19

ở đó
V1 (x(t)) = xT (t) sym{P1 + P2 }x(t),
n

ki+ s − fi (s) ds
0

i=1
n

+

xi (t)

2(d1i + d∗1i )

V2 (x(t)) =

2(d2i +

xi (t)

d∗2i )

fi (s) − ki− s ds

0

i=1
n

xi (t)

2(d3i + d∗3i )

V3 (x(t)) =

αki+ s − fi (αs) ds
0

i=1
n

2(d4i =

xi (t)

d∗4i )

fi (αs) − αki− s ds.

0

i=1

Vì chứng minh của định lý tương đối kỹ thuật nên để thuận tiện cho việc theo
dõi, ta chia chứng minh định lý ra làm 3 bước.
Bước 1: Ta chứng tỏ rằng hàm V (x(t)) xác định dương.
Rõ ràng hàm V1 (x(t)) là xác định dương vì sym{P1 + P2 } > 0. Tiếp theo, ta
chứng tỏ V2 (x(t)) và V3 (x(t)) là các hàm không âm.

Với mỗi i, ta có

xi (t)
0

ki+ s − fi (s) ds ≥ 0. Thật vậy, theo Giả thiết 1 ta có
fi (xi (t))
≤ ki+ , i = 1, 2, . . . , n.
xi (t)

(2.7)

ki+ xi (t) − fi (xi (t)) xi (t) ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n.

(2.8)

Do đó

Từ đó suy ra
xi (t)

ki+ s − fi (s) ds ≥ 0.
0

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có

xi (t)
0

fi (s) − ki− s ds ≥ 0. Từ đó suy ra

V2 (x(t)) ≥ 0.
Vì
fi (αxi (t))
≤ ki+ , i = 1, 2, . . . , n
αxi (t)

(2.9)

αki+ xi (t) − fi (αxi (t)) xi (t) ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n.

(2.10)

nên


20
xi (t)
αki+ s − fi (αs) ds ≥ 0. Hoàn
0
− αki− s ds ≥ 0. Suy ra V3 (x(t)) ≥ 0.

Từ đó suy ra
xi (t)
0

fi (αs)

toàn tương tự, ta cũng có

Do đó V (x(t)) là hàm xác định dương.
Bước 2: Ta chứng tỏ tồn tại các số dương α1 , α2 thỏa mãn
α1 x(t)

2

≤ V (x(t)) ≤ α2 x(t) 2 .

Thật vậy, từ cách chọn hàm Lyapunov V (x(t)) ta thấy bất đẳng thức bên trên
được thỏa mãn với α1 = λmin (sym{P1 + P2 }) , α2 = λmax (sym{P1 + P2 }) +
4

max

1≤j≤4,1≤i≤n

{dji + d∗ji }. max {|ki+ |, |ki− |}.
1≤i≤n

α
2
Bước 3: Ta chỉ ra tồn tại một số dương α3 thỏa mãn C
0 Dt V (x(t)) ≤ −α3 x(t) .

Sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá dưới đây
C α
0 Dt V1 (x(t))

α
≤ 2xT (t) sym{P1 + P2 } C

0 Dt x(t)

= 2xT (t) P1 + P1T

C α
0 Dt x(t)

+ 2xT (t) P2 + P2T

C α
0 Dt x(t)

= 2xT (t) P1 + P1T (Ax(t) + Bf (x(t)))
+ 2xT (t) P2 + P2T

C α
0 Dt x(t)

= 2ξ T (t) eT1 P1 + P1T (Ae1 + Be2 ) + eT1 P2 + P2T e4 ξ(t)
= ξ T (t) sym{eT1 P1 (Ae1 + Be2 ) + eT1 AT + eT2 B T P e1
+ eT1 P e4 + eT4 P2 e1 }ξ(t),
(2.11)
T

α T
ở đó ξ(t) = xT (t) f T (x(t)) f T (αx(t)) C
0 Dt x (t) .
α
Bây giờ ta đi tính C
0 Dt V2 (x(t)). Trước hết ta chứng tỏ rằng

và

xi (t)
0

xi (t)
0

fi (s) − ki− s ds là các hàm lồi với biến xi (t). Đặt G(u) =

ki+ s − fi (s) ds
u
0

ki+ s − fi (s) ds.

Ta có
G (u) = ki+ u − fi (u).

(2.12)

Với bất kỳ u1 , u2 ∈ R, u1 > u2 , theo Giả thiết 1, ta có
G (u1 ) − G (u2 ) = ki+ (u1 − u2 ) − (fi (u1 ) − fi (u2 ))
=

ki+

fi (u1 ) − fi (u2 )
(u1 − u2 ) ≥ 0.

−
u1 − u2

(2.13)

Suy ra G (u1 ) ≥ G (u2 ). Do đó G (u) là hàm không giảm. Suy ra G(u) là hàm
lồi. Từ đó suy ra

xi (t)
0

ki+ s − fi (s) ds là một hàm lồi đối với biến xi (t). Một


21

cách hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng tỏ được

xi (t)
0

fi (s) − ki− s ds là một

hàm lồi đối với biến xi (t). Khi đó áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá
dưới đây
C α
0 Dt V2 (x(t))
α
≤ 2 xT (t)K + − f T (x(t)) [D1 + D1∗ ] C
0 Dt x(t)

α
+ 2 f T (x(t)) − xT (t)K − [D2 + D2∗ ] C
0 Dt x(t)

= 2ξ T (t) eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 ) ξ(t)
+ 2ξ T (t) eT1 K + − eT2 D1∗ e4 ξ(t)

(2.14)

+ 2ξ T (t) eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 ) ξ(t)
+ 2ξ T (t) eT2 − eT1 K − D2∗ e4 ξ(t)
= ξ T (t) sym{ eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 )
+ eT1 K + − eT2 D1∗ e4 + eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 )
+ eT2 − eT1 K − D2∗ e4 }ξ(t).

Tiếp theo, ta đi tính đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V3 (x(t)). Trước hết,
ta chứng tỏ

xi (t)
0

αki+ s − fi (αs) ds và

lồi theo biến xi (t). Thật vậy, đặt F (u) =

xi (t)
fi (αs) − αki− s ds là các hàm
0
u
+

0 αki s − fi (αs) ds. Ta tính được

đạo hàm cấp 1 của hàm F (u) là
F (u) = αki+ u − fi (αu).
Với bất kỳ u1 , u2 ∈ R, u1 > u2 , theo Giả thiết 1, ta có
F (u1 ) − F (u2 ) = αki+ (u1 − u2 ) − (fi (αu1 ) − fi (αu2 ))
= ki+ −

fi (αu1 ) − fi (αu2 )
(αu1 − αu2 ) ≥ 0.
αu1 − αu2

Suy ra F (u1 ) ≥ F (u2 ). Do đó F (u) là hàm không giảm. Suy ra F (u) là hàm
lồi. Suy ra F (xi (t)) =

xi (t)
0

αki+ s − fi (αs) ds là một hàm lồi đối với ẩn xi (t).

Một cách hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được

xi (t)
0

fi (αs) − αki− s ds

là hàm lồi theo biến xi (t). Bây giờ áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được ước lượng

22

dưới đây
C α
0 Dt V3 (x(t))
α
≤ 2 αxT (t)K + − f T (x(t)) [D3 + D3∗ ] C
0 Dt x(t)
α
+ 2 f T (αx(t)) − αxT (t)K − [D4 + D4∗ ] C
0 Dt x(t)

= 2ξ T (t) αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 ) ξ(t)
+ 2ξ T (t) αeT1 K + − eT3 D3∗ e4 ξ(t)
+ 2ξ T (t) eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 ) ξ(t)

(2.15)

+ 2ξ T (t) eT3 − αeT1 K − D4∗ e4 ξ(t)
= ξ T (t) sym{ αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 )
+ αeT1 K + − eT3 D3∗ e4 + eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 )
+ eT3 − αeT1 K − D4∗ e4 }ξ(t).
Ngoài ra, với bất kỳ ma trận đường chéo chính, xác định dương S1 và S2 , ta
có
2 f T (x(t)) − xT (t)K − S1 K + x(t) − f (x(t)) ≥ 0,
T

T

2 f (αx(t)) − αx (t)K

−

+

(2.16)

S2 αK x(t) − f (αx(t)) ≥ 0.

Do đó
ξ T (t) sym{ eT2 − eT1 K − S1 K + e1 − e2 }ξ(t) ≥ 0,
T

ξ (t) sym{

eT3

−

αeT1 K −

+

(2.17)

S2 αK e1 − e3 }ξ(t) ≥ 0.

Từ (2.3), ta có đẳng thức dưới đây
ξ T (t) sym{L (Ae1 + Be2 − e4 )}ξ(t) = 0.

(2.18)

Kết hợp các điều kiện (2.11), (2.14), (2.15), (2.17) và (2.18), ta thu được đánh
giá dưới đây


23

C α
0 Dt V

(x(t)) ≤ ξ T (t) sym{eT1 P1 (Ae1 + Be2 ) + eT1 AT + eT2 B T P1 e1 + eT1 P2 e4
+ eT4 P2 e1 + eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 ) + (eT1 K + − eT2 )D1∗ e4
+ eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 ) + eT2 − eT1 K − D2∗ e4
+ αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 ) + αeT1 K + − eT3 D3∗ e4
+ eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 ) + eT3 − αeT1 K − D4∗ e4
+ eT2 − eT1 K − S1 K + e1 − e2 + eT3 − αeT1 K − S2 αK + e1 − e3
+ L (Ae1 + Be2 − e4)} ξ(t)
= ξ T (t)Φξ(t)
≤ λmax (Φ) x(t) 2 .
(2.19)

Vì Φ < 0 nên điều kiện (ii) trong Định lý 1.9 được thỏa mãn. Vậy Hệ (2.3)
Mittag-Leffler ổn định.
Nhận xét 2.1. Phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp cơ bản và
hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ phi
tuyến. Tuy nhiên, việc tìm hàm Lyapunov phù hợp và tính đạo hàm phân thứ
Caputo của hàm này không đơn giản vì không giống như đạo hàm bậc nguyên,
qui tắc Leibniz và quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp của đạo hàm phân thứ
rất phức tạp. Thông thường để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình

vi phân phân thứ bằng phương pháp hàm Lyapunov, hàm Lyapunov thường
được chọn là V (x(t)) = xT (t)P x(t) ở đó P là một ma trận đối xứng, xác định
dương. Hàm Lyapunov được chọn trong chứng minh Định lý 2.1 có dạng tổng
quát hơn và do đó kết quả thu được sẽ ít bảo thủ hơn (less conservative) các
kết quả trong [18, 22].
Sau đây chúng tôi đưa ra một vài ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết
của Định lý 2.1.