PHÁT HIỆN PHỤ THUỘC HÀM VÀ PHỤ THUỘC HÀM SUY RỘNG TRONG CƠ SỞ DỮ LIỆU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

VŨ QUỐC TUẤN

PHÁT HIỆN PHỤ THUỘC HÀM VÀ PHỤ THUỘC HÀM
SUY RỘNG TRONG CƠ SỞ DỮ LIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

VŨ QUỐC TUẤN

PHÁT HIỆN PHỤ THUỘC HÀM VÀ PHỤ THUỘC HÀM
SUY RỘNG TRONG CƠ SỞ DỮ LIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Cơ sở Toán học cho Tin học
Mã số: 9 46 01 10

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Hồ Thuần
2. PGS. TS. Nguyễn Thanh Tùng

Hà Nội – 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do chính tác giả
thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Hồ Thuần và PGS. TS.
Nguyễn Thanh Tùng tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tất cả các kết quả trình bày trong luận án
là trung thực, không sao chép từ bất kỳ công trình nào khác. Nếu có điều gì
không trung thực, tác giả xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Tác giả

Vũ Quốc Tuấn

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn khoa học của
PGS. TS. Hồ Thuần và PGS. TS. Nguyễn Thanh Tùng. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy đã tận tình chỉ bảo, động viên, hướng dẫn và

tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể các Thầy Cô trong Viện Công
nghệ Thông tin đã có nhiều ý kiến đóng góp và phản biện trong suốt quá trình
tác giả nghiên cứu và hoàn chỉnh luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn các
nhà khoa học, các tác giả của các công trình đã được tham khảo và trích dẫn
trong luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo Viện Công nghệ Thông tin,
Học Viện Khoa học và Công nghệ đã tạo những điều kiện tốt nhất để tác giả
có được môi trường nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh
của mình. Xin chân thành cảm ơn các Phòng ban của Viện Công nghệ Thông
tin đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án.
Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Hải Dương, Khoa
Tự Nhiên và Khoa Điện-Cơ-Tin đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực
hiện luận án. Xin cảm ơn tất cả các bạn đồng nghiệp đã luôn chia sẻ, động
viên tác giả trong những lúc khó khăn.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với những người thân
trong gia đình, đặc biệt là mẹ và vợ, đã luôn ủng hộ và động viên cho tác giả
trong suốt thời gian hoàn thành luận án.

ii


MỤC LỤC
Danh sách hình vẽ
Danh sách bảng
Danh sách chữ viết tắt

v
v
vi

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. PHỤ THUỘC HÀM VÀ PHỤ THUỘC HÀM SUY RỘNG
TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ

6

1.1. Nhắc lại một số khái niệm cơ bản ................................................................. 6
1.1.1. Miền ...................................................................................................... 6
1.1.2. Quan hệ ................................................................................................. 6
1.1.3. Các tính chất đặc trưng của một quan hệ ............................................... 7
1.1.4. Lược đồ quan hệ .................................................................................... 7
1.2. Phụ thuộc hàm .............................................................................................. 8
1.2.1. Khái niệm phụ thuộc hàm ...................................................................... 8
1.2.2. Hệ quy tắc suy diễn Armstrong ............................................................. 9
1.2.3. Bao đóng của một tập thuộc tính ........................................................... 9
1.2.4. Khóa của lược đồ quan hệ ..................................................................... 9
1.3. Phụ thuộc hàm suy rộng ............................................................................. 10
1.3.1. Phụ thuộc hàm xấp xỉ .......................................................................... 11
1.3.2. Phụ thuộc hàm mêtric .......................................................................... 13
1.3.3. Phụ thuộc hàm điều kiện ..................................................................... 14
1.3.4. Phụ thuộc hàm mờ ............................................................................... 16
1.3.5. Phụ thuộc sai phân............................................................................... 17
1.3.6. Các loại phụ thuộc hàm suy rộng khác ................................................ 18
1.4. Phát hiện phụ thuộc hàm............................................................................. 18
1.4.1. Phương pháp top-down ....................................................................... 19
1.4.2. Phương pháp bottom-up ...................................................................... 28

1.4.3. Một số chủ đề liên quan đến phát hiện phụ thuộc hàm ......................... 32
1.5. Phát hiện phụ thuộc hàm suy rộng .............................................................. 34
1.5.1. Phát hiện phụ thuộc hàm xấp xỉ ........................................................... 34
1.5.2. Phát hiện phụ thuộc hàm điều kiện ...................................................... 36
1.6. Tổng kết chương 1...................................................................................... 39

iii


Chương 2. PHỤ THUỘC HÀM XẤP XỈ
VÀ PHỤ THUỘC HÀM ĐIỀU KIỆN
41
2.1. Về một số kết quả liên quan đến FD và AFD .............................................. 41
2.1.1. Phân hoạch .......................................................................................... 41
2.1.2. Một số kết quả ..................................................................................... 42
2.2. Phát hiện FD và AFD ................................................................................. 45
2.2.1. Ma trận tương đương ........................................................................... 45
2.2.2. Một số tính chất của ma trận thuộc tính ............................................... 48
2.2.3. Sử dụng ma trận để kiểm tra phụ thuộc hàm ........................................ 49
2.2.4. Sử dụng ma trận để tính một số độ đo xấp xỉ ....................................... 50
2.3. Phụ thuộc hàm điều kiện............................................................................. 54
2.3.1. Sự cần thiết phải mở rộng FD thành CFD ............................................ 54
2.3.2. Cú pháp và ngữ nghĩa của CFD ........................................................... 54
2.3.3. Một số kết quả quan trọng đã biết về CFD ........................................... 57
2.4. Về một thứ tự phân cấp giữa các FD, CFD và AR ...................................... 62
2.5. Kết luận chương 2 ...................................................................................... 72
Chương 3. THUẬT TOÁN TÍNH BAO ĐÓNG VÀ VẤN ĐỀ RÚT GỌN
BÀI TOÁN TÌM KHÓA CỦA LƯỢC ĐỒ QUAN HỆ
73
3.1. Thuật toán tính bao đóng ............................................................................ 73

3.1.1. Khái niệm bao đóng ............................................................................ 73
3.1.2. Một số thuật toán tính bao đóng .......................................................... 74
3.2. Vấn đề rút gọn bài toán xác định khóa của lược đồ quan hệ........................ 87
3.2.1. Một số kết quả đã biết ......................................................................... 87
3.2.2. Một dạng cải tiến cho điều kiện cần đã được công bố năm 1985.......... 89
3.2.3. So sánh các điều kiện cần .................................................................... 91
3.2.4. Một bài toán quyết định....................................................................... 95
3.3. Kết luận chương 3 ...................................................................................... 96
Chương 4. VỀ MỘT PHÉP BIẾN ĐỔI TIỀN XỬ LÝ HIỆU QUẢ
CÁC TẬP PHỤ THUỘC HÀM
97
4.1. Giới thiệu ................................................................................................... 97
4.2. Sự dư thừa trong tập phụ thuộc hàm ......................................................... 100
4.3. Một phép biến đổi tiền xử lý hiệu quả các tập FD ..................................... 101
4.3.1. Logic Paredaens ................................................................................ 102
4.3.2. Một chứng minh mới cho định lý 4.1................................................. 107
4.4. Tổng kết chương 4.................................................................................... 113

KẾT LUẬN
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
iv

114
116
117


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Minh họa dàn thuộc tính........................................................... 20

Hình 2.1. Các luật suy diễn đối với CFD ................................................. 60

DANH SÁCH BẢNG BIỂU
Bảng 1.1. Quan hệ Nhân viên ................................................................... 11
Bảng 1.2. Quan hệ Phim .......................................................................... 13
Bảng 1.3. Quan hệ Qh1............................................................................. 14
Bảng 1.4. Quan hệ Cust ........................................................................... 15
Bảng 1.5. Quan hệ Qh2............................................................................. 17
Bảng 1.6. Quan hệ Qh3............................................................................. 19
Bảng 1.7. Minh họa phụ thuộc hàm điều kiện .......................................... 38
Bảng 2.1. Một quan hệ minh họa ............................................................. 47
Bảng 2 .2. Quan hệ r ................................................................................ 67
Bảng 2.3. Quan hệ r1 ................................................................................ 68
Bảng 2.4. Quan hệ r2 ................................................................................ 68
Bảng 2.5. Quan hệ r3 ................................................................................ 68
Bảng 2.6. Quan hệ r4 ................................................................................ 68
Bảng 3.1. Minh họa cho ví dụ 3.3 ............................................................ 80
Bảng 3.2. Kết quả thử nghiệm .................................................................. 82
Bảng 3.3. Minh họa thuật toán 3.7 ........................................................... 84
Bảng 4.1. Quan hệ phân công .................................................................. 98
Bảng 4.2. Minh họa cho ví dụ 4.6 .......................................................... 111
Bảng 4.3. Minh họa cho ví dụ 4.7 .......................................................... 112

v


DANH SÁCH CHỮ VIẾT TẮT
Từ

Tiếng Anh

viết tắt
FD

Tiếng Việt

Functional dependency

Phụ thuộc hàm

RFD

Relaxed functional dependencies

Phụ thuộc hàm suy rộng

AFD

Approximate functional dependency

Phụ thuộc hàm xấp xỉ

MFD

Metric functional dependency

Phụ thuộc hàm mêtric

FFD

Fuzzy functional dependency

Phụ thuộc hàm mờ

DD

Differential dependencies

Phụ thuộc sai phân

CFD

Conditional Functional dependency

Phụ thuộc hàm điều kiện

AR

Association Rule

Luật kết hợp

Extended Conditional Functional

Phụ thuộc hàm điều kiện

dependency

mở rộng

eCFD

CIND

Conditional Inclusion Dependency

vi

Phụ thuộc bao hàm điều
kiện


MỞ ĐẦU
Các phụ thuộc dữ liệu có vai trò quan trọng trong thiết kế cơ sở dữ liệu,
quản lý chất lượng dữ liệu và biểu diễn tri thức. Việc sử dụng các phụ thuộc
trong thiết kế cơ sở dữ liệu và quản lý chất lượng dữ liệu được giới thiệu
trong phần lớn các sách về cơ sở dữ liệu. Các phụ thuộc trong trường hợp này
được trích xuất từ các yêu cầu về ứng dụng, được sử dụng trong việc chuẩn
hóa cơ sở dữ liệu và được cài đặt trong cơ sở dữ liệu đã được thiết kế để đảm
bảo chất lượng dữ liệu. Ngược lại, các phụ thuộc trong phát hiện tri thức được
trích xuất từ dữ liệu hiện có của cơ sở dữ liệu. Quá trình trích xuất này được
gọi là phát hiện phụ thuộc với mục đích tìm tất cả các phụ thuộc được thỏa
mãn (đúng) trên dữ liệu hiện có.
Mục đích của việc phát hiện phụ thuộc là tìm các phụ thuộc quan trọng
đúng (thỏa mãn) trên dữ liệu của cơ sở dữ liệu. Các phụ thuộc (được phát
hiện) biểu diễn tri thức (thuộc lĩnh vực hoạt động nào đó) và có thể được sử
dụng để kiểm tra thiết kế cơ sở dữ liệu cũng như đánh giá chất lượng dữ liệu.
Ví dụ. Bằng việc kiểm tra dữ liệu của một cơ sở dữ liệu y học có hai
thuộc tính Bệnh và Triệu chứng, nếu viêm phổi là một giá trị của Bệnh và sốt
là một giá trị của Triệu chứng, đồng thời nếu mỗi bệnh nhân viêm phổi đều bị

sốt thì sốt được cho là có liên quan đến viêm phổi. Nếu điều này xảy ra (đúng)
đối với mọi cặp giá trị Triệu chứng và Bệnh thì Bệnh xác định hàm Triệu
chứng và đây là một phụ thuộc hàm. Nếu phụ thuộc hàm này là một tri thức
mới, nó sẽ giúp cho việc chẩn đoán bệnh hiệu quả hơn. Trong lĩnh vực khoa
học sức khỏe hiện đại, việc tìm các mối liên hệ và các phụ thuộc như vậy
(giữa các đoạn DNA và Bệnh) trở nên rất quan trọng đối với sự phát triển của
y học.
Bên cạnh việc phát hiện tri thức, các phụ thuộc được phát hiện từ dữ
liệu có thể được sử dụng để kiểm tra xem các phụ thuộc đã được định nghĩa
trước đây trên cơ sở dữ liệu có đúng (thỏa mãn) và đầy đủ hay không, đồng
thời có thể dùng để kiểm tra ngữ nghĩa của dữ liệu trong cơ sở dữ liệu.
1


Một ứng dụng nữa của các phụ thuộc (được phát hiện) là để đánh giá
chất lượng của dữ liệu. Vai trò chính của việc cài đặt các phụ thuộc trong một
cơ sở dữ liệu là để đảm bảo chất lượng dữ liệu của cơ sở dữ liệu. Do đó, trên
cơ sở phân tích các phụ thuộc được phát hiện và các phụ thuộc phải có giữa
các thuộc tính của dữ liệu, ta có thể tìm và xác định được sự không nhất quán
giữa các thuộc tính và các lỗi sai trên dữ liệu; từ đó, đánh giá được chất lượng
dữ liệu.
Từ những năm đầu thập kỷ 80 của thế kỷ 20, bài toán phát hiện phụ
thuộc đã thu hút được sự quan tâm của đông đảo các nhà khoa học thuộc
nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau như thiết kế cơ sở dữ liệu, học máy và
phát hiện tri thức ([3], [10], [12], [18], [21], [26], [32], [33], [34], [37], [42],
[45], [57], [65], [72], [75],...). Và cho đến thời điểm hiện tại, vấn đề phát hiện
phụ thuộc từ các tập dữ liệu lớn (big data) càng trở nên quan trọng vì trong
các tập dữ liệu lớn này chứa rất nhiều tri thức quý giá.
Hiện nay, với sự phát triển của toàn xã hội và các thiết bị số, đặc biệt là
các ứng dụng mạng xã hội và điện thoại thông minh (smartphone), lượng dữ

liệu trong các ứng dụng tăng rất nhanh làm nảy sinh vấn đề lưu trữ, quản lý
dữ liệu và đặc biệt là vấn đề phát hiện tri thức từ các tập dữ liệu lớn đó. Bài
toán phát hiện phụ thuộc hàm và phụ thuộc hàm suy rộng trong cơ sở dữ liệu
là một trong những vấn đề quan trọng của phát hiện tri thức (dưới dạng các
phụ thuộc). Ba loại phụ thuộc điển hình được chú ý phát hiện là phụ thuộc
hàm (FD: Functional Dependency), phụ thuộc hàm xấp xỉ (AFD:
Approximate Functional Dependency) và phụ thuộc hàm điều kiện (CFD:
Conditional Functional Dependency). AFD là sự mở rộng của FD, tính chất
xấp xỉ dựa trên độ thỏa hoặc độ đo lỗi; CFD là sự mở rộng của FD, nhằm nắm
bắt những yếu tố không nhất quán trong dữ liệu.
Các hướng nghiên cứu giải quyết bài toán phát hiện FD suy rộng trong
cơ sở dữ liệu, trước hết tập trung vào vấn đề phát hiện FD do loại phụ thuộc
này là trường hợp riêng của tất cả các loại FD suy rộng, các kết quả về phát
hiện FD có thể được thích nghi để phát hiện các loại phụ thuộc khác (chẳng
2


hạn AFD). Mô hình chung của bài toán phát hiện FD là xây dựng không gian
tìm kiếm các FD, kiểm tra sự thỏa mãn của từng FD, tỉa không gian tìm kiếm,
xuất ra tập FD đã phát hiện được và làm gọn tập FD này (giảm bớt sự dư
thừa). Trong bài toán phát hiện FD, phát hiện khóa là trường hợp đặc biệt và
cũng là bài toán rất đáng quan tâm do khóa đóng vai trò quan trọng trong
chuẩn hóa cơ sở dữ liệu quan hệ.
Độ phức tạp thời gian tổng quát của bài toán phát hiện FD là đa thức
theo số bản ghi trong cơ sở dữ liệu nhưng là hàm mũ theo số thuộc tính của cơ
sở dữ liệu đó. Do đó, để giảm thời gian xử lý, cần xây dựng các luật tỉa hiệu
quả. Trong số các luật tỉa đã được đề xuất, tỉa khóa là rất quan trọng, khi phát
hiện được khóa thì có thể tỉa (xóa) mọi nút chứa khóa trong không gian tìm
kiếm. Tuy nhiên, các luật tỉa khóa hiện có vẫn còn nhược điểm là tìm khóa
trên toàn bộ tập thuộc tính  của cơ sở dữ liệu (đây thực sự là vấn đề rất khó

vì độ phức tạp thời gian có thể là hàm mũ theo số thuộc tính của ), vậy có
cách nào phát hiện được khóa trong một tập con thực sự của  hay không?
Câu hỏi trên chính là một trong những động lực cơ bản của luận án này.
Sau khi đã phát hiện được tập các phụ thuộc, tập này có thể rất lớn và
gây khó khăn cho việc sử dụng vì chứa những dư thừa không cần thiết. Vấn
đề quan trọng đặt ra là làm thế nào để loại bỏ được (càng nhiều càng tốt) sự
dư thừa trong tập phụ thuộc đã được phát hiện. Đây cũng là bài toán được
quan tâm trong luận án.
Một hướng nghiên cứu nữa trong luận án là tập trung nghiên cứu, phát
hiện hai loại FD suy rộng điển hình, đó là AFD và CFD. Cả AFD và CFD đều
có nhiều ứng dụng và xuất hiện nhiều trong các cơ sở dữ liệu quan hệ, đặc
biệt CFD còn là công cụ mạnh trong giải quyết bài toán làm sạch dữ liệu
([12]). Với AFD, vấn đề quan trọng nhất là cải tiến và phát triển các kỹ thuật
tính toán các độ thỏa hoặc độ đo lỗi ([34], [72]); với CFD, ngoài việc phát
hiện, thì việc tìm hiểu về một thứ tự phân cấp giữa CFD và một số loại phụ
thuộc khác cũng là vấn đề rất đáng quan tâm.
3


Trong những năm gần đây, các hướng nghiên cứu về cải tiến thuật toán
tính bao đóng của một tập thuộc tính đối với một tập FD, vấn đề rút gọn cho
bài toán xác định khóa của lược đồ quan hệ, vấn đề về các phép biến đổi tiền
xử lý hiệu quả các tập FD cho trước đã được xới lại, làm mới với hàng loạt
các công trình của các tác giả nước ngoài ([22], [23], [24], [25], [52], [53],
[54], [55]), trong khi ở trong nước, có nhiều công trình được công bố liên
quan tới các phương pháp và thuật toán xác định các tập rút gọn (reduct) của
một bảng quyết định theo nhiều tiếp cận khác nhau.
Mục tiêu của luận án là nghiên cứu nhằm thu được một số kết quả giúp
giải quyết có hiệu quả một số vấn đề như đã phân tích ở trên trong phạm vi cơ
sở dữ liệu quan hệ. Để thực hiện các mục tiêu trên, chúng tôi tập trung vào

các nội dung sau:
1) Nghiên cứu tổng quan về các loại FD suy rộng, các phương pháp
phát hiện FD và FD suy rộng trong cơ sở dữ liệu quan hệ.
2) Nghiên cứu về AFD và CFD: kỹ thuật tính độ thỏa hoặc độ đo lỗi
trong AFD, về một thứ tự phân cấp giữa CFD và một số loại phụ thuộc khác.
3) Nghiên cứu các thuật toán tính bao đóng của tập thuộc tính đối với
một tập FD. Cải tiến được các thuật toán này sẽ làm tăng hiệu năng phát hiện
khóa của lược đồ quan hệ. Nghiên cứu vấn đề rút gọn cho bài toán xác định
khóa của lược đồ quan hệ, đây là vấn đề quan trọng, là cơ sở cho các luật tỉa
khóa nhằm thu hẹp không gian tìm kiếm khi phát hiện các FD.
4) Nghiên cứu về một phép biến đổi tiền xử lý các tập FD nhằm thu
được một tập FD tương đương nhưng đơn giản hơn tập FD ban đầu.
Với các nội dung nghiên cứu trên, luận án được cấu trúc gồm phần mở
đầu, bốn chương nội dung và phần kết luận.
Chương 1. Trình bày tổng quan về mô hình dữ liệu quan hệ, các khái
niệm FD, bao đóng của một tập thuộc tính, khóa của lược đồ quan hệ,…Trong
đó tập trung trình bày về FD suy rộng và khát quát các phương pháp đã được
sử dụng để phát hiện các FD và FD suy rộng.
4


Chương 2. Trình bày về AFD và CFD (hai loại FD suy rộng điển hình)
và một số kết quả có liên quan.
Chương 3. Trình bày các thuật toán tính bao đóng của một tập thuộc
tính đối với một tập FD, vấn đề rút gọn cho bài toán xác định khóa của lược
đồ quan hệ và một số kết quả có liên quan.
Chương 4. Trình bày một phép biến đổi tiền xử lý hiệu quả các tập FD
(nhằm hạn chế sự dư thừa trong một tập FD cho trước) và một số kết quả liên
quan.
Kết luận. Tổng kết các kết quả đã đạt được, những điểm còn tồn tại và

hướng nghiên cứu tiếp theo.

5


Chương 1.
PHỤ THUỘC HÀM VÀ PHỤ THUỘC HÀM SUY RỘNG
TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ

Chương này nhắc lại các khái niệm cơ bản của mô hình dữ liệu quan
hệ, tập trung vào các khái niệm phụ thuộc hàm, phụ thuộc hàm suy rộng và
khái quát các phương pháp đã được sử dụng để phát hiện phụ thuộc hàm và
phụ thuộc hàm suy rộng.
1.1. Nhắc lại một số khái niệm cơ bản
Mô hình dữ liệu quan hệ được E.F.Codd đề xuất năm 1970 và ngay lập
tức mô hình này đã gây được sự chú ý vì có tính đơn giản và cơ sở toán học
vững chắc. Mô hình dữ liệu quan hệ biểu thị dữ liệu trong một cơ sở dữ liệu
như một tập các quan hệ. Về mặt trực quan, ta có thể hình dung một quan hệ
như là một bảng giá trị gồm các hàng và các cột. Mỗi hàng trong bảng là một
tập các giá trị có liên quan đến nhau, các giá trị này biểu thị một sự kiện
tương ứng với một thực thể hay một mối quan hệ trong thế giới thực.
Trong lý thuyết mô hình dữ liệu quan hệ, các thuật ngữ quan hệ, thuộc
tính, miền và bộ tương ứng được dùng để chỉ bảng, cột, kiểu dữ liệu của một
cột và một hàng trong bảng.
1.1.1. Miền
Một miền D là một tập các giá trị nguyên tố, hiểu theo nghĩa mỗi giá trị
trong miền là không thể phân chia được thành các thành phần nhỏ hơn trong
phạm vi mô hình quan hệ. Mỗi miền được đặc tả thông qua một tên miền và
một kiểu dữ liệu. Tương ứng với mỗi thuộc tính có một miền, các thuộc tính
khác nhau không nhất thiết phải có các miền khác nhau.

1.1.2. Quan hệ
Một quan hệ trên (hay xác định trên) tập thuộc tính Ω = {A1, A2,…,An}
là một tập con của tích Descartes
Dom(A1)  Dom(A2)  …  Dom(An),
trong đó Dom(Ai) là miền trị của thuộc tính Ai, i = 1, 2,…, n.
6


Cho quan hệ r xác định trên tập thuộc tính Ω = {A1, A2,…,An}. Theo
định nghĩa, ta có thể viết r dưới dạng sau:
r  {(a1, a2,…,an) | ai  Dom(Ai), i = 1, 2,…, n}
1.1.3. Các tính chất đặc trưng của một quan hệ
Để làm rõ hơn khái niệm quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ, ta
xem xét các tính chất đặc trưng sau đây của quan hệ:
 Mỗi quan hệ có một tên phân biệt.
 Mỗi ô trong bảng (quan hệ) chứa một giá trị nguyên tố.
 Mỗi thuộc tính có một tên phân biệt.
 Các giá trị của một thuộc tính thuộc cùng một miền.
 Thứ tự của các thuộc tính là không quan trọng.
 Không có hai bộ trùng nhau trong một quan hệ.
 Thứ tự của các bộ là không quan trọng.
Mỗi giá trị trong một bộ phải là một giá trị nguyên tố. Mô hình dữ liệu
quan hệ không cho phép có các thuộc tính phức hợp hoặc các thuộc tính đa
trị. Đặc trưng này đòi hỏi mỗi thuộc tính đa trị phải được biểu diễn bằng một
quan hệ và mỗi thuộc tính phức hợp phải được biểu diễn bằng các thành phần
đơn của nó.
Trường hợp một số ô trong bảng (quan hệ) có thể là chưa biết được giá
trị của chúng vào thời điểm đang xét hoặc không có giá trị nào thích hợp đặt
cho một ô (thuộc tính) của một bộ nào đó thì một giá trị đặc biệt, gọi là giá trị
null, được sử dụng cho các ô kiểu này.

Thứ tự của các thuộc tính trong một quan hệ là không quan trọng khi
đảm bảo được sự tương ứng giữa các thuộc tính với các giá trị.
Vì các phần tử trong một tập hợp là không có thứ tự nên các bộ không
có một thứ tự bắt buộc trong một quan hệ. Định nghĩa quan hệ cũng cho thấy
rằng hai quan hệ được xem là đồng nhất nếu chúng có cùng các bộ cho dù thứ
tự các bộ trong chúng khác nhau.
1.1.4. Lược đồ quan hệ
Một lược đồ quan hệ S là một cặp có thứ tự S = <Ω, F>, trong đó Ω là
7


tập hữu hạn các thuộc tính của quan hệ, F là tập các ràng buộc giữa các thuộc
tính.
Một ràng buộc trên tập thuộc tính {A1, A2,…,An} là một tính chất trên
tập tất cả các quan hệ xác định trên tập thuộc tính này. Mỗi ràng buộc còn
được gọi là một phụ thuộc dữ liệu.
Một lược đồ quan hệ được sử dụng để mô tả về cấu trúc và các ràng
buộc của một quan hệ. Một quan hệ có thể liên tục thay đổi theo thời gian
nhưng cấu trúc và các ràng buộc của nó có thể ổn định trong một khoảng thời
gian nhất định.
Cho lược đồ quan hệ S = <Ω, F> với Ω = {A1, A2,…,An}. Nếu không
quan tâm đến tập các ràng buộc F thì ta sẽ dùng ký hiệu S(A1, A2,…,An) hoặc
S(Ω) thay cho S = <Ω, F>.
Ta dùng ký hiệu r(S) để chỉ một quan hệ r (hay một thể hiện r) của lược
đồ quan hệ S. Với một bộ t của r(S) và X  Ω, ta ký hiệu t[X] là bộ chỉ chứa
các giá trị của bộ t tại các thuộc tính trong X.
Một lược đồ cơ sở dữ liệu quan hệ là một tập các lược đồ quan hệ S’ =
{S1, S2,…,Sp}. Một thể hiện của một lược đồ cơ sở dữ liệu quan hệ S’ là một
tập các thể hiện DB = {r1(S1), r2(S2),…, rp(Sp)}. Một cơ sở dữ liệu quan hệ là
một thể hiện của một lược đồ cơ sở dữ liệu quan hệ.

Một cơ sở dữ liệu quan hệ cỡ lớn là một cơ sở dữ liệu quan hệ chứa
một lượng lớn dữ liệu (cỡ vài chục thuộc tính, hàng trăm nghìn bản ghi).
1.2. Phụ thuộc hàm
Phụ thuộc hàm là một loại phụ thuộc dữ liệu giữa hai nhóm thuộc tính
của một lược đồ quan hệ và nó thể hiện tính chất ngữ nghĩa của các thuộc
tính.
1.2.1. Khái niệm phụ thuộc hàm
Phụ thuộc hàm. Cho  là tập thuộc tính và S() là một lược đồ quan hệ
trên . Giả sử X, Y  . Khi đó Y được gọi là phụ thuộc hàm vào X trên lược
đồ S(), ký hiệu là X  Y, nếu với mọi quan hệ r trên lược đồ S(), với hai
bộ bất kỳ t1, t2  r mà t1[X] = t2[X] thì t1[Y] = t2[Y].
8


Nếu Y phụ thuộc hàm vào X thì ta cũng nói "X xác định hàm Y". Với
mỗi quan hệ r trên lược đồ S(), ta nói r thỏa mãn (hay thỏa) phụ thuộc hàm
X  Y (hay phụ thuộc hàm X  Y đúng trên r) nếu và chỉ nếu với mọi bộ t1,
t2  r, t1[X] = t2[X] kéo theo t1[Y] = t2[Y] . Trong luận án này, ta hạn chế F của
lược đồ S = <, F> chỉ gồm các phụ thuộc hàm.
1.2.2. Hệ quy tắc suy diễn Armstrong
Với lược đồ quan hệ S = <, F> và X, Y  , ta ký hiệu XY thay cho
X  Y. Với mọi X, Y, Z  , hệ quy tắc suy diễn Armstrong đối với các phụ
thuộc hàm gồm ba quy tắc sau đây:
Q1. (Phản xạ): Nếu Y  X thì X  Y.
Q2. (Gia tăng): Nếu X  Y thì XZ  YZ.
Q3. (Bắc cầu): Nếu X  Y và Y  Z thì X  Z.
Ký hiệu F+ là tập tất cả các phụ thuộc hàm được suy diễn từ F bằng
cách áp dụng một số hữu hạn lần các quy tắc của hệ quy tắc suy diễn
Armstrong.
1.2.3. Bao đóng của một tập thuộc tính

Cho tập phụ thuộc hàm F xác định trên tập thuộc tính  (phụ thuộc
hàm Y  Z xác định trên tập thuộc tính  nếu Y, Z  ) và X  . Ta gọi
bao đóng của tập thuộc tính X đối với tập phụ thuộc hàm F, ký hiệu là X F , là
tập tất cả các thuộc tính A của  sao cho X  A được suy diễn từ F nhờ hệ
quy tắc suy diễn Armstrong.

X F = {A    (X  A)  F+}
1.2.4. Khóa của lược đồ quan hệ
Một quan hệ là một tập hợp các bộ. Các phần tử trong một tập hợp là
phân biệt nên không thể có hai bộ trùng nhau trong một quan hệ. Như vậy,
với mỗi lược đồ quan hệ S = <Ω, F>, tồn tại một tập thuộc tính SK  Ω có
tính chất: với mỗi thể hiện r(S) thì t1[SK] ≠ t2[SK], với t1, t2 là hai bộ khác
nhau bất kỳ trong r.

9


Siêu khóa của một lược đồ quan hệ S là một tập gồm một hay nhiều
thuộc tính của lược đồ S có tính chất xác định duy nhất một bộ trong mỗi thể
hiện của S.
Cho lược đồ quan hệ S = <Ω, F>. Nếu SK là siêu khóa của S thì mọi tập
con của Ω mà chứa SK cũng là siêu khóa của S. Một siêu khóa "nhỏ nhất"
được gọi là một khóa.
Khóa của một lược đồ quan hệ S là một siêu khóa của S sao cho mọi tập
con thực sự của siêu khóa này đều không phải là siêu khóa của S.
Mỗi lược đồ quan hệ luôn có ít nhất một khóa và có thể có nhiều khóa.
Một thuộc tính xuất hiện trong một khóa nào đó được gọi là thuộc tính khóa.
Ngược lại, một thuộc tính không xuất hiện trong bất kỳ khóa nào được gọi là
thuộc tính không khóa.
Sử dụng khái niệm phụ thuộc hàm, khái niệm khóa và siêu khóa của

lược đồ quan hệ được định nghĩa lại như sau:
Cho lược đồ quan hệ S = <, F> và K  . Ta nói K là một khóa của
S nếu hai điều kiện sau đây đồng thời được thỏa mãn:
(i). (K  )  F+
(ii). Nếu K'  K thì (K'  )  F+
Nếu K   thỏa mãn điền kiện (i) thì K được gọi là một siêu khóa của
S. Như vậy, mọi khóa của S đồng thời cũng là siêu khóa của S.
1.3. Phụ thuộc hàm suy rộng
Cho r là một quan hệ xác định trên tập thuộc tính Ω = {A1, A2,…,An} và
X, Y  . Từ định nghĩa phụ thuộc hàm ở trên, ta nhận thấy: nếu tồn tại t1, t2
 r sao cho t1[X] = t2[X] và t1[Y]  t2[Y] thì ta kết luận được rằng r không thỏa
phụ thuộc hàm X  Y (hay phụ thuộc hàm X  Y không đúng trên r). Điều
này tỏ ra quá chặt chẽ và cứng nhắc khi ta hình dung quan hệ r có hàng nghìn
bộ, trong đó chỉ có một vài bộ vi phạm phụ thuộc hàm X  Y do có một số dữ
liệu bị sai lệch hoặc một số ngoại lệ. Do đó, việc mở rộng khái niệm phụ
thuộc hàm thành phụ thuộc hàm suy rộng theo một cách thức, một nghĩa nào
10


đó là nhu cầu tất yếu và tự nhiên. Tùy theo cách thức và ý nghĩa của sự mở
rộng, các phụ thuộc hàm suy rộng có thể được đặt tên khác nhau như phụ
thuộc hàm xấp xỉ, phụ thuộc hàm điều kiện, phụ thuộc hàm metric,...
1.3.1. Phụ thuộc hàm xấp xỉ
Phụ thuộc hàm xấp xỉ [41] là các phụ thuộc hàm được thỏa mãn với
phần lớn các bộ trong quan hệ. Để định nghĩa thuật ngữ "xấp xỉ" một cách
chính xác hơn, một độ đo được sử dụng để đo mức độ thỏa mãn (độ thỏa) hay
mức độ vi phạm (độ đo lỗi) của mỗi phụ thuộc hàm.
Để xác định mức độ vi phạm của X  Y trên quan hệ r, một độ đo lỗi
nào đó, ký hiệu là e( X  Y , r ) , sẽ được sử dụng. Cho trước một ngưỡng lỗi

, 0    1. Ta nói X  Y là phụ thuộc hàm xấp xỉ nếu và chỉ nếu
e( X  Y , r )   .
Một độ đo lỗi được sử dụng phổ biến là g3 [41], dựa trên số bộ tối thiểu
cần phải loại bỏ khỏi r để X  Y đúng.

g3 ( X  Y , r ) 

min| r1 |: r1  r , X  Y ®óng trªn r \ r1
|r|

Ví dụ 1.1. Với quan hệ cho trong bảng 1.1, ta thấy Tên xác định xấp xỉ
Giới tính, để phụ thuộc hàm Tên  Giới tính đúng ta chỉ cần loại bỏ một bộ
có mã số 003. Ta có:
g3(Tên  Giới tính, Nhân viên) = 1/8 = 0.125
Mã số

Họ đệm

Tên

Giới tính

Chức vụ

t1

001

Vũ Văn

Tuấn

Nam

t2

002

Nguyễn Thị

Mai

Nữ

Phó trưởng phòng

t3

003

Phạm Thị

Hải

Nữ

Nhân viên

t4

004

Trần Văn

Hải

Nam

Nhân viên

t5

005

Nguyễn Minh

Tuấn

Nam

Nhân viên

t6

006

Vũ Thị

Linh

Nữ

Nhân viên

t7

007

Lê Văn

Hải

Nam

Nhân viên

t8

008

Nguyễn Văn

Thắng

Nam

Nhân viên

Bảng 1.1. Quan hệ Nhân viên
11

Trưởng phòng


Có nhiều phương pháp đã được đề xuất để tính độ thỏa hoặc độ đo lỗi.
Các phương pháp này được tóm tắt và so sánh trong [34]. Chẳng hạn, trong
[72], độ thỏa của X  Y trên quan hệ r được xác định như sau:
TRUTHr(X  Y ) =

tti ,tt j R TRUTH ( t i , t j ) ( X  Y )
i

j

NTP

trong đó, nếu ti[X] = tj[X] và ti[Y]  tj[Y] thì TRUTH ( ti ,t j ) ( X  Y )  0 , ngược
lại TRUTH (ti ,t j ) ( X  Y )  1 ; NTP là tổng số cặp bộ trong r và bằng
|r|(|r| - 1)/2.
Ví dụ 1.2. Với quan hệ cho trong bảng 1.1, ta có độ thỏa của phụ thuộc hàm
Tên Giới tính là
TRUTHNhân viên(Tên Giới tính) = 26/28  93%
Một cách khác để tính độ thỏa của X  Y trên quan hệ r được giới thiệu
trong [56, 57], cụ thể: xây dựng quan hệ tương đương E(X) trên r như sau:
(t1, t2)  E(X)  t1[X] = t2[X],  t1, t2  r
Quan hệ E(X) phân hoạch r thành các lớp tương đương. Mỗi lớp tương
đương là một tập con của r chứa các bộ giống nhau trên X. Ký hiệu phân
hoạch đó là  X .
Với u   X , nếu t1[X] = t2[X]  t1[Y] = t2[Y],  t1, t2  u, thì ta nói
rằng u thỏa X  Y. Ngược lại, u không thỏa X  Y. Thực hiện đoạn chương

trình dưới đây để nhận được quan hệ r1.
r1 : = ;
For each u   X do
if (u thỏa X  Y) then r1 : = r1  u;
Đặt k = |r1| / |r|. Khi đó, ta nói r thỏa X  Y với độ phụ thuộc k, 0  k  1.
Ví dụ 1.3. Xét phụ thuộc hàm Tên  Giới tính trên quan hệ cho trong bảng
1.1, ta có  Tên = {{t1, t5}, {t2}, {t3, t4, t7}, {t6}, {t8}}, r1 = {{t1, t5}  {t2} 
{t6}  {t8} = {t1, t5, t2, t6, t8}, k = |r1| / |r| = 5/8 = 0.625. Như vậy, r thỏa phụ
thuộc hàm Tên  Giới tính với độ phụ thuộc 0.625.

12


1.3.2. Phụ thuộc hàm mêtric
Khi tích hợp dữ liệu từ nhiều nguồn khác nhau, thường xảy ra những
sai lệch nhỏ trong định dạng dữ liệu (chẳng hạn các định dạng khác nhau đối
với địa chỉ, số điện thoại) và điều này làm cho các phụ thuộc hàm truyền
thống bị vi phạm, mà thực chất không hề có sự vi phạm về mặt ngữ nghĩa.
Khái niệm phụ thuộc hàm mêtric [42], được định nghĩa dưới đây, sẽ tổng quát
hóa khái niệm phụ thuộc hàm truyền thống.
Xét phụ thuộc hàm X  Y trên quan hệ r. Với mỗi bộ t  r, ký hiệu
[t]X = {u  r : u[X] = t[X]} và X = {[t]X : t  r}.
Với T  r, ký hiệu T[Y] = {t[Y] : t  T}. Khi đó, phụ thuộc hàm X  Y
đúng trên r nếu
maxT  X | T [Y ] |  1

Cho một mêtric d trên tập Y, d: dom(Y)  dom(Y)  R, và một tham số

  0. Một phụ thuộc hàm mêtric, ký hiệu là X 
 Y , được gọi là đúng trên

r (hay thỏa r) nếu

maxT X  d (T [Y ])   ,
trong đó  d (T [Y ])  max p ,qT [Y ]d ( p, q) .
Ta đã biết phụ thuộc hàm X  Y đúng trên quan hệ r nếu với hai bộ bất
kỳ t1, t2  r mà t1[X] = t2[X] thì t1[Y] = t2[Y]. Do đó, về mặt trực quan, ta có
thể hình dung phụ thuộc hàm mêtric là sự mở rộng của phụ thuộc hàm bằng
cách thay thế điều kiện t1[Y] = t2[Y] bằng điều kiện d(t1[Y], t2[Y]) ≤ .
Nguồn dữ liệu

Tên phim

Thời gian (phút)

t1

movies.aol.com

Aliens

110

t2

finnguide.fi

Aliens

112

t3

amazon.com

Clockwork Orange

137

t4

movie-vault.com

A Beautiful Mind

144

t5

walmart.com

A Beautiful Mind

145

t6

tesco.com

Clockwork Orange

131

Bảng 1.2. Quan hệ Phim
13


Ví dụ 1.4 [42]. Xét quan hệ Phim cho trong bảng 1.2, với X = Tên phim, Y =
Thời gian. Ta có X = {{t1, t2}, {t3, t6}, {t4, t5}}. Với T = {t1, t2}  T[Y] =
{110, 112}   d (T [Y ])  2 ; với T = {t3, t6}  T[Y] = {137, 131} 

 d (T [Y ])  6 ; với T = {t4, t5}  T[Y] = {144, 145}   d (T [Y ])  1 . Do đó
6
X 
 Y đúng với quan hệ Phim.

1.3.3. Phụ thuộc hàm điều kiện
Phụ thuộc hàm điều kiện [12, 32, 75] được sử dụng trong vấn đề làm
sạch dữ liệu. Xét quan hệ Q1 được cho trong bảng 1.3.
A

B

C

D

t1

001

124

12

34

t2

001

124

21

43

t3

002

157

34

69

t4

002

157

34

61

t5

002

158

89

62

t6

002

158

89

90

t7

003

167

78

96

Bảng 1.3. Quan hệ Qh1
Ta thấy quan hệ Qh1 không thỏa phụ thuộc hàm AB  C vì hai bộ t1, t2
có cùng giá trị trên AB nhưng không có cùng giá trị trên C. Tuy nhiên, Qh1
thỏa ràng buộc  = {A = 002 , B} {C}, nghĩa là nếu chỉ xét các bộ của Qh1
mà các bộ này có giá trị trên thuộc tính A là 002 thì phụ thuộc hàm AB  C
đúng.
Một phụ thuộc hàm điều kiện có dạng  = (X  Y, Tp), trong đó X  Y
là một phụ thuộc hàm và Tp là một bảng mẫu với các thuộc tính trong X  Y.
Bảng mẫu Tp chứa các bộ mẫu, mỗi bộ mẫu tp  Tp chứa các giá trị hằng và
biến không tên "". Biến không tên "" có thể nhận một giá trị tùy ý trong
miền thuộc tính tương ứng. Bảng mẫu xác định các bộ của quan hệ phải thỏa
phụ thuộc hàm X  Y. Một cách trực quan, bảng mẫu Tp của  làm mịn phụ
thuộc hàm X  Y được nhúng trong  bằng việc áp đặt mối liên kết của các
14


giá trị dữ liệu có liên quan về mặt ngữ nghĩa.
Theo định nghĩa phụ thuộc hàm điều kiện, ta thấy ràng buộc  là một
phụ thuộc hàm điều kiện (AB  C, Tp) với Tp là bảng mẫu chỉ gồm một bộ
mẫu như sau:
A
002

B


C


Ví dụ 1.5 [12]. Dưới đây là một số minh họa về các phụ thuộc hàm điều kiện
trên quan hệ Khách hàng (Cust) được cho trong bảng 1.4, trong đó CC
(Country Code) là mã quốc gia, AC (Area Code) là mã vùng, PN (Phone
Number) là số điện thoại, NM (Name) là tên và STR (Street), CT (City), ZIP
(Zip Code) là địa chỉ.
CC

AC

PN

NM

STR

CT

ZIP

t1

01

908

1111111

Mike

Tree Ave.

NYC

07974

t2

01

908

1111111

Rich

Tree Ave.

NYC

07974

t3

01

212

2222222

Joe

Elm Str.

NYC

01202

t4

01

212

2222222

Jim

Elm Str.

NYC

01202

t5

01

215

3333333

Ben

Oak Ave.

PHI

02394

t6

44

131

4444444

Ian

High St.

EDI

EH4 1DT

Bảng 1.4. Quan hệ Cust
Xét 3 phụ thuộc hàm điều kiện sau đây:

1 = ({CC, ZIP}  {STR}, T1) với bảng mẫu T1
CC
44

ZIP


STR


2 = ({CC, AC, PN}  {STR, CT, ZIP}, T2) với bảng mẫu T2
CC

AC

PN

STR

CT

ZIP


01
01


908
212










MH
NYC





3 = ({CC, AC}  {CT}, T3) với bảng mẫu T3
CC

01
44

AC

215

141

15

CT

PHI
GLA


Ta thấy quan hệ Cust thỏa 1 và 3 nhưng không thỏa 2 vì bộ t1 vi
phạm bộ mẫu tc = (01, 098, , , MH, ) trong bảng mẫu T2 của 2 . Như vậy,
một bộ cũng có thể vi phạm phụ thuộc hàm điều kiện, trong khi sự vi phạm
của phụ thuộc hàm đòi hỏi phải xem xét hai bộ.
Phụ thuộc hàm là trường hợp đặc biệt của phụ thuộc hàm điều kiện.
Thật vậy, phụ thuộc hàm X  Y chính là phụ thuộc hàm điều kiện
(X  Y, Tp) với Tp chỉ gồm một bộ mẫu tp duy nhất và tp[A] = "" với mọi
A  X  Y.
1.3.4. Phụ thuộc hàm mờ
Khái niệm phụ thuộc hàm mờ được đề xuất trong [3] xuất phát từ dữ
liệu thực tế có bản chất mờ tự nhiên. Phụ thuộc hàm mờ trong [3] được xây
dựng bằng cách thay thế quan hệ bằng nhau trong khái niệm phụ thuộc hàm
truyền thống bằng quan hệ bằng nhau mờ. Thông thường, khi so sánh hai giá
trị dữ liệu, chỉ có thể xảy ra 2 trường hợp là bằng nhau hoặc khác nhau. Sử
dụng lý thuyết tập mờ, hai giá trị dữ liệu có thể bằng nhau với mức  nào đó
(0 ≤  ≤ 1), tham số  được cung cấp bởi người thiết kế cơ sở dữ liệu.
Cho r là một quan hệ xác định trên tập thuộc tính Ω = {A1, A2,…,An} và
X, Y  . Với mỗi thuộc tính Ai  Ω, mức độ bằng nhau của các giá trị dữ
liệu trong Dom(Ai) được xác định bởi quan hệ (hàm) Ri.
Cho trước tham số  (0 ≤  ≤ 1), ta nói 2 bộ t1[X] và t2[X] bằng nhau

với mức , kí hiệu t1[X] E() t2[X], nếu Rk(t1[Ak], t2[Ak])   với mọi Ak  X.
Khi đó, X  Y được gọi là phụ thuộc hàm mờ mức  nếu với mọi t1, t2  r,
t1[X] E() t2[X]  t1[Y] E() t2[Y].
Ví dụ 1.6 [3]. Cho Ω = {A1, A2, A3} với Dom(A1) = {a, b, c}, Dom(A2) = {p,
q} và Dom(A3) = {x, y, z}.
R1

a

b

c

a

1

0.6

0.4

b

0.6

1

0.5

c

0.4

0.5

1

16


R2
p
q
R3
x
y
z

p
1
0.7
x
1
0.8
0.7

A1
b
c
a

a
c

q
0.7
1
y
0.8
1
0.4

A2
p
q
q
q
p
Bảng 1.5. Quan hệ Qh2

z
0.7
0.4
1
A3
x
y
y
x
z

Xét quan hệ Qh2 tại bảng 1.5 và X = {A1, A2}, Y = {A3}. Ta thấy Qh2
không thỏa phụ thuộc hàm X  Y. Tuy nhiên, Qh2 thỏa phụ thuộc hàm mờ
X  Y mức  = 0.6.
1.3.5. Phụ thuộc sai phân
Khái niệm phụ thuộc sai phân [65] mở rộng quan hệ bằng nhau ở cả hai
vế (vế trái và vế phải) của phụ thuộc hàm X  Y trên quan hệ r. Điều kiện t1,
t2 bằng nhau trên X và bằng nhau trên Y tương ứng được thay thế bằng điều
kiện hai bộ này thỏa mãn hàm L và hàm R. Các hàm L, R được gọi là các
hàm sai phân, các phép toán sử dụng trong các hàm sai phân là =, <, >, , ,
ngoài ra còn có thể sử dụng thêm các toán tử  (và),  (hoặc). Thực chất, các
hàm sai phân sử dụng khoảng cách metric để mở rộng các quan hệ bằng nhau
được sử dụng (ở cả vế trái và vế phải) trong khái niệm phụ thuộc hàm.
Ví dụ 1.7 [65]. Xét ràng buộc sau trong một quan hệ lưu trữ thông tin về giá
của các chuyến bay: "sự khác nhau về giá của hai ngày bất kỳ trong khoảng
thời gian một tuần không vượt quá 100$". Ràng buộc này được thể hiện bởi
phụ thuộc sai phân:
[Date (≤ 7)]  [Price (≤ 100)]
17