bai giang casio 580 VN x unicode

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC

LÊ TRUNG HIẾU

BÀI TẬP GIẢI TOÁN
TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
(Dành cho Ngành Sư phạm toán học liên thông)

ĐỒNG THÁP, THÁNG 11 NĂM 2018


Mục lục
§1

§2

§3

Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570VN Plus và Casio fx 580 VN X . .

4

1.1

Chương trình giả lập máy tính cầm tay trên máy vi tính . . . . . . . . . . .

4

1.2

Máy Casio fx 570VN Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Máy Casio fx 580VN X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Đại số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1

Tính giá trị biểu thức không chứa biến và chứa biến . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến f(x)=0 .

11

2.3

Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4

Đa thức, sơ đồ Hoocne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5

Các lập trình tính giá trị hàm số tích tại x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.6

Cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 biến . . . . . . . . . . . . .

16

Số học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1

Số nguyên tố và các thuật toán kiểm tra nguyên tố . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2

Tìm số dư khi chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b (a>b) . . . .

18

3.3

Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.4

Đồng dư số học, ứng dụng của hàm Ơle trong đồng dư số học . . . . . . .

21

3.5

Số thập phân vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.6

Tìm chữ số thập phân thứ k sau dấu phẩy trong phép chia ba và trong căn
√ √
thức a, 3 a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.7

Tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.8

Tìm 1,2,3,4 chữ số cuối của một lũy thừa mα , m, α ∈ N∗ bằng đồng dư và
bằng dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Tìm số nguyên theo điều kiện ban đầu bằng suy luận và bằng thuật toán lập
trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Tính chính xác các chữ số của kết quả phép toán với số lớn, bài toán dự
đoán kết quả của phép toán có quy luật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Tìm số các ước thỏa điều kiện ban đầu của một số nguyên dương, tìm tổng
các ước của số nguyên dương (tham khảo thêm) . . . . . . . . . . . . . . .

30

Một số bài toán số học khác (tham khảo thêm) . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.9
3.10
3.11
3.12

2


§4

Hình học trung học cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.1

Nhắc lại một số công thức về tam giác, đa giác và đường tròn . . . . . . . .

32

4.2

Giải tam giác, diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3

Đa giác, đa giác đều, diện tích đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.4

Các bài toán về đường tròn và diện tích hình tròn . . . . . . . . . . . . . .

35

4.5

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn (tham khảo thêm) . . . . . . . . .

36

4.6

Các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về mặt hình học (tham
khảo thêm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Một số bài toán hình học véctơ, hình học giải tích (tham khảo thêm) . . . .

37

Cấp số, dãy số và giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.1

Một số công thức quen thuộc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.2

Các bài toán về cấp số (tham khảo thêm) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.3

Tìm số hạng thứ n và tính tổng, tích n số hạng đầu tiên của dãy số dạng truy
hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.4

Tính các tổng đặc biệt (tham khảo thêm)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5.5

*Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách giải phương trình (tham khảo
thêm) sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Một số bài toán khác về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Toán phần trăm, toán kỹ thuật, tính thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

6.1

Lãi đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

6.2

Lãi kép (lãi gộp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

6.3

Gửi một số tiền như nhau là a hàng kỳ vào ngân hàng . . . . . . . . . . . .

45

6.4

Rút một số tiền như nhau là a hàng kỳ từ ngân hàng . . . . . . . . . . . . .

46

6.5

Các bài toán phần trăm khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

6.6

Tính thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.7
§5

5.6
§6

§7

Một số dạng toán đại học

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

7.1

Xác suất, thống kê, hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

7.2

Tích phân, tích phân suy rộng, số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

7.3

Véc tơ, Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

7.4

Hệ đếm và ứng dụng, các phép toán lôgic (tham khảo thêm) . . . . . . . .

51

Các phụ lục

54

A Trích Tập san Toán học (2009): Giải toán trên máy tính bỏ túi, bạn cần gì? . . . . .

54

B Trích Tập san Toán học (2009): Xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy bằng MT Casio
fx570MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3


C Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

D Dùng máy tính cầm tay (Casio fx 570MS, 570VN Plus) hỗ trợ xử lý số liệu thống kê 65
E Cách đổi năm dương lịch ra năm âm lịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Học viên chuẩn bị ít nhất một trong các loại máy sau để tham gia học tập: Casio fx 570VN
Plus, Casio fx 580VN X.
Môn học thiên về giải toán bằng các giải thuật lập trình mới nên các dòng máy cũ trước đó
không dùng được cho môn học này. Các mục ghi "tham khảo thêm" sẽ không được hướng dẫn

trên lớp, học viên tự nghiên cứu thêm.
Mong góp ý của các anh chị học viên để quyển bản thảo này hoàn chỉnh hơn cho các khóa
dạy sau. Thông tin liên lạc với giảng viên: Thầy Lê Trung Hiếu, Bộ môn Giải tích-Toán ứng
dụng, Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp.
Điện thoại: 0985572881. Email:

Những chiếc máy tính nhanh, chính xác, và ngốc nghếch không thể tin nổi còn con người
thì quá chậm chạp, sai lầm, và rất thông minh. Nếu máy tính kết hợp với con người, chúng ta sẽ
có sức mạnh vô song. (“Computers are incredibly fast, accurate, and stupid. Human beings are
incredibly slow, inaccurate, and brilliant. Together they are powerful beyond imagination’’).
Albert Einstein.

§1

1.1

Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570VN Plus và Casio
fx 580 VN X
Chương trình giả lập máy tính cầm tay trên máy vi tính

Học viên có thể tải các chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính để cài đặt vào máy
vi tính.
a) Giả lập Casio fx 570 VN Plus:

4


Ngoài chức năng tương tự như một máy tính Casio fx 570 VN Plus, chương trình này cho phép
gọi ra dãy phím vừa bấm trên máy bằng chức năng "Key log" (khi nhấp chuột phải vào máy chọn
chức năng Key log). Thuận lợi của chức năng này là người báo cáo thuyết trình về máy tính cầm

tay có thể cho hiển thị các phím vừa bấm để người nghe dễ dàng thực hiện theo; hơn nữa giáo
viên có thể copy các phím này vào bài soạn máy tính cầm tay của mình.
b) Giả lập Casio fx 580 VN X:

Ngoài ra, còn có một số chương trình giả lập của một số dòng máy tính cầm tay Casio khác.
5


1.2

Máy Casio fx 570VN Plus

a) Các chức năng Mode:
MODE 1: COMP (COMPUTING) Tính toán thông thường (mặc định).
MODE 2: CMPLX (COMPLEX) Tính toán với số phức.
MODE 3: STAT (STATISTIC) Tính toán thống kê và phân phối xác suất.
MODE 4: BASE-N Tính toán trên các hệ đếm 2-8-10-16.
MODE 5: EQN (EQUATION) Giải phương trình, hệ phương trình.
MODE 6: MAT (MATRIX) Tính toán ma trận.
MODE 7: TABLE Tính toán trên bảng.
MODE 8: VCT (VECTOR) Tính toán véctơ.
b) Biến nhớ và cách sử dụng:
Các biến gồm có A, B,C, D, E, F, X,Y, M, Ans, PrAns trong đó Ans là biến nhận giá trị hiện hành
trên máy. Biến PreAns là giá nhận liền trước giá trị hiện hành trên máy. Biến M sẽ thay đổi thêm,
giảm giá trị khi bấm M+, M−.
Lưu giá trị vào biến:
Lưu 10 vào biến A, thao tác 10 Shift

Sto A, sau này ta viết tắc là 10 → A.

Lưu 20+100 vào biến D, thao tác 20+ 100 Shift

Sto D, viết tắc là 20 + 100 → D.

Ví dụ: 5 → M, sau đó ấn 7M+, khi đó biến M sẽ nhận giá trị 12.
Gọi giá trị biến ra để sử dụng:

= , kết quả: 10 (vì đã lưu 10 → A ở trên).
Bấm Alpha A + Alpha D = , kết quả: 130.
Bấm Alpha A

Đối với biến Ans: Khi kết thúc một phép toán, máy tính tự động lưu lại giá trị hiện hành vào
biến Ans.
Bấm 2+8

= , bấm tiếp Ans +5 = , kết quả: 15.

c) Ý nghĩa kí hiệu của một số phím chức năng thường dùng:
AC (CANCEL): Hủy lệnh (công thức) vừa nhập.
DEL (DELETE), INS (INSERT): Xóa, chèn ký tự.
SHIFT: Gọi chức năng các phím màu vàng.
ALPHA (ALPHABET): Gọi chức năng các phím màu đỏ.
CLR (CLEAR): Xóa cài đặt các Mode để trở về trạng thái mặc định ban đầu của máy.
CALC (CALCULATE): Tính giá trị biểu thức chứa biến (một hoặc nhiều biến).
SOLVE: Giải gần đúng phương trình dạng tổng quát f (x) = 0.
Dấu

"=" màu đỏ, dấu ":" màu đỏ: Dùng vào lập trình.
6

Chú ý, sau này khi viết giải thuật lập trình ta quy ước nếu viết = thì hiểu dấu bằng màu đỏ lập
trình, nếu viết
thì hiểu dấu bằng màu trắng.

=

CONV (CONVERT) Đổi các đơn vị vật lý (Yard ↔m, mile ↔ km,hp ↔ KW ...) Xem thông số
chuyển đổi ở nắp máy.
CONST (CONSTANT) Hằng số vật lý quốc tế (Xem ở nắp máy).
ab/c, d/c: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số.
DEC (DECIMAL) Hệ thập phân, HEX (HEXADECIMAL) Hệ thập lục phân, BIN (BINARY)
Hệ nhị phân, OCT (OCTAL) Hệ bát phân.
Hyp (Hyperpolic):

ex − e−x
sinh x =
,
2

sin−1 : arcsin Hàm ngược của hàm sin

ex + e−x
cosh x =
2
(VD: sin π4 =

√
2
2

ở Mode COMP.

⇒ arcsin(

√
2
π
2 ) = 4)

ENG (ENGINE) Hiển thị kiểu số kỹ thuật a.10x .
i màu xanh (Imaginary): Đơn vị ảo i của số phức.
Abs (Absolute) Trị tuyệt đối, môđun số phức.
Pol( (Polarity) Chuyển đổi dạng cực của số phức.
Rec( (Rectangle) Chuyển đổi dạng đại số của số phức z = a + bi.
Re↔Im (Real, Image): Gọi ra phần thực, phần ảo.
Rnd (Round): Làm tròn số trong tính toán.
Ran # (Random): Gọi ra một số ngẫu nhiên từ máy.
DRG (Degree, Radian, Grade): Tính toán một biểu thức có nhiều chế độ tính, ví dụ tính giá trị
π
biểu thức A = sin 300 + cos( ) − tan 26g
7r
MATRIX: Tính toán với ma trận (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Det (định thức), Trn (vết),...)
VECTOR: Tính toán với vectơ (Dim (chiều), Edit (sửa), Dot (tích vô hướng),...).
STAT/DIST (Statistic, Distribution) Tính thống kê, tính giá trị phân phối xác suất.
n!
nPr: Chỉnh hợp Arn =
.
(n − r)!
n!

nCr: Tổ hợp Cnr =
.
r!(n − r)!
S↔D: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số.
SETUP: Cài đặt các hiển thị.
d) Cài đặt một số tính năng quan trọng:
Bấm Shift SETUP để chọn các chức năng cài đặt theo ý riêng như sau:
1: MthIO Chọn hiển thị phân số dạng sách giáo khoa (dạng ab ).
2: LineIO Chọn hiển thị phân số trên 1 dòng (dạng a b).
3→5: (Deg, Rad, Gra) Cài đặt chế độ góc, cung. Ta có 900 = 100Gra.
Ấn tiếp dấu mũi tên , chọn các chức năng sau:
7


1, 2: ab/c, d/c Hiển thị phân số dạng

a
b

hay hổn số a bc khi tử số lớn hơn mẫu số.

3: CMPLX Hiển thị một số phức ở dạng đại số hay dạng lượng giác.
4: STAT Bật hay tắt cột tần số trên màn hình nhập dữ liệu thống kê, hồi quy.
5: TABLE Cài đặt chế độ bảng gồm có 1 hàm f (x) hay 2 hàm f (x) và g(x).
7: Disp Cài đặt hiển thị dấu phẩy của số thập phân là dấu "," (comma) hay "." (Dot).

1.3

Máy Casio fx 580VN X

Máy tính Casio fx 580 VN X được Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép thí sinh sử dụng trong
phòng thi. Tổng số tính năng của máy là 521 tính năng. Sau đây là một số điểm mới về hình thức
và chức năng của máy Casio fx 580 VN X không có trên máy Casio fx 570 VN Plus (xem thêm chi
tiết ở [2], [7]1 ):
Ngôn ngữ tiếng Việt và tiếng Anh.
Giao diện menu với các biểu tượng trực quan, dễ nhìn và sử dụng. Độ phân giải của các hình
ảnh, công thức là tốt.
Thao tác lưu giá trị vào biến nhanh (chỉ cần ấn phím STO không thông qua SHIFT), có phím
RECALL gọi lại giá trị các biến nhớ.
Biến x được thiết kế dạng phím nổi ưu tiên. Có phím OPTN (Option) chứa các tùy chọn của
mỗi chế độ tính toán, tạo sự thuận lợi trong tính toán.
Tốc độ xử lí vượt trội, nhanh gấp 4 lần máy Casio fx 570VN Plus.
Cực trị của hàm số bậc ba.
Giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn, giải phương trình bậc 4.
Tính được nguyên hàm, đạo hàm (nhớ trong máy khi tính toán, không tính ra được đạo hàm,
nguyên hàm cụ thể).
45 dòng giá trị cho table (chế độ 1 hàm f (x)), 30 dòng giá trị cho table (chế độ 2 hàm
f (x), g(x)). Đưa được đạo hàm, nguyên hàm vào bảng. Chỉnh sửa trực tiếp giá trị x trong bảng
giá trị TABLE.
Tính góc giữa hai vectơ.
Tính phần thực và phần ảo của số phức.
Kiểm tra số nguyên tố có 4 chữ số.
Báo vô nghiệm trong giải phương trình bậc 2.
Lưu thương và dư trong phép chia lần lượt vào biến E và F.
Kiểm tra đúng/sai của biểu thức lôgic.
1 />
8


Thống kê dễ sử dụng khi hiện được một danh sách các số đặc trưng mà không cần gọi ra từng

giá trị như máy cũ. Tính số trung vị, phương sai, ...
Có thêm một số tính năng về phân phối xác suất và hồi quy hai biến x, y.
47 hằng số khoa học.
Các tính năng quan trọng còn lại của máy Casio fx 570VN Plus được duy trì trên máy Casio fx
580VN X.

Chiếc máy tính bỏ túi EL-801 (ELSI MINI) do hãng Sharp của Nhật Bản chế tạo năm
1972. Sharp được coi là khai sinh ra loại máy tính bỏ túi (calculator).

Nguồn: vintagecalculators.com.

9


§2
2.1

Đại số sơ cấp
Tính giá trị biểu thức không chứa biến và chứa biến

Giải theo nhiều cách: Dùng các biến A, B,C, ..., Ans, PreAns, dùng phím Calc , dùng Table.
Chú ý, thiết lập chế độ tính toán phù hợp (rad, độ) đối với bài toán có yếu tố lượng giác.
Bài tập

1

√
√
5
tan sinh( 2) log √

5
3
3
√
Cho biểu biểu thức A =
, trong đó sinh x, cosh x lần lượt là sinhypercot cosh( 2)
polic và coshyperpolic của x.
a) Tính A ở chế độ radian.

b) Tính A ở chế độ độ.

ĐS:
2

3a2 b

Tính giá trị biểu thức I =
√
a) a = π + 1, b = e, c = 5 2;

√
2 − 2ac3 + 5bc 32

tại
6ab2 + ac
b) a = π5 , b = log e, c = C74 .

ĐS:
3

sin x cos x2
tại x = 10, x = −1, 572, x = π 2 .
ex
√
√
2 sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + ( 3 − 1) cos2 x
b) Tính gần đúng giá trị của hàm số f (x) =
tại
5 tan x − 2 cot x + sin2 2x + cos 2x
π
3π
x = −2;
; 1, 25;
.
6
5
Chế độ tính đối với câu a) và b) là radian.

a) Tính giá trị hàm số f (x) =

ĐS:
4

√
1 + cos α
7, tính I =
.
1 − sin α
b) Biết cos 2x = 35 , tính J = sin3 x + cos3 x.
a) Cho biết tan α2 =

ĐS:
5

4x3 − x4
Cho hàm số y = f (x) =
2 , tính các giá trị của y khi x nhận giá trị từ 2 đến 5 với bước
5e−x
nhảy 0,5. Nêu thêm một số quy trình bấm phím khác (không dùng TABLE).
ĐS:

6

sin x + 1
, hãy tính tổng sau ở chế độ radian và đặt ra một số bài toán mở
x2
rộng khác (nếu có thể)?
* Cho hàm số f (x) =

a) A = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (40).
π
π
π
π
b) B = f ( ) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ).
1
2
3
20
10

c) C = f (1) − f (2) + f (3) − f (4) + ... − f (40).
π
1
π
1
π
π
1
d) D = f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ) + f ( ).
1
2
3
4
5
19
20
HD: Dùng phím ∑ hoặc dùng lập trình với các biến.
ĐS:
4x
* Cho hàm số f (x) = x
, tính
4 +2

7

2009

S1 =

∑

i=1

f(

2009

i
);
2010

S2 =

∑

i=1

f sin(

iπ
)
2010

HD: Không thể dùng phím ∑ (sẽ bị "treo máy"). Chứng minh được: x + y = 1 ⇒ f (x) + f (y) =
1, tách tổng thành nhiều cặp (x, y) có tổng 1.
ĐS:

2.2

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến f(x)=0

Dùng phím Solve .
Phương pháp lặp đơn (có thể áp dụng chung cho các máy cũ có biến ANS).
Phương pháp Newton (pp tiếp tuyến) (có thể áp dụng chung cho các máy cũ có biến ANS).
Chú ý, không phải mọi phương trình đều có thể giải được bằng cách dùng phím Solve .
Bài tập
1

Tìm nghiệm của phương trình:

√
2x − 3 = x − 3.

ĐS:
2

Tìm nghiệm của phương trình sau ở radian: 3 cos 3x − 4x + 2 = 0.
ĐS:

3

Cho phương trình

√
√
3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0.

a) Tìm một nghiệm của phương trình.

b) Chứng minh nghiệm vừa tìm là duy nhất.
4

Tìm nghiệm của phương trình: (3x − 4) ln(5x + 2) + 3x2 − 7 = 0.
ĐS:

5

6

Chứng tỏ rằng phương trình 2x = 3 sin x + 4x có hai nghiệm trong khoảng (0, 4). Tính gần đúng
hai nghiệm của phương trình đã cho.
ĐS: f (0) = 1 > 0; f (1) ≈ −4.524412954 < 0; f (4) ≈ 2.270407486 > 0
x1 ≈ 0.15989212; x2 ≈ 3.728150048.
√
√
√
√
2+ 3
1− 6
3− 7
15 − 11
√ x−
√ x−
√
Tìm nghiệm của phương trình:
= √
4− 3
2 3−5
3− 5

3+ 2
ĐS:
11


x
2

e−t dt + x2 − x − 4 = 0.

Tìm x > 1 sao cho:

7

1

HD: Dùng phương pháp lặp đơn (rút x2 sẽ hội tụ nhanh).
ĐS: 2,527537474.
Tìm x ∈ Z+ , biết
√
√
√
√
a) 1 + 2 + 3 3 + 4 4 + ... + x x ≈ 142, 717.
√
√
√
√
b) 1 × 2 × 3 3 × 4 4 × ... × x x ≈ 357, 2708.
1 1

1
c) 1 + + + ... + ≈ 5.
2 3
x
1
1
1
d) 1 + + + ... + ≈ 5.
2! 3!
x!
HD: Lập trình, cho biến x chạy từ 1, quan sát giá trị của biến tổng để kết luận.

8

ĐS:

2.3

Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y

Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm nguyên của phương trình f (x, y) = 0 (1) trên máy tính
cầm tay.
Dạng đặc biệt ax + by = c :
+ Điều kiện có nghiệm nguyên: UCLN(a, b) là ước của c. Nếu phương trình có 1 cặp nghiệm
nguyên (x0 ; y0 ) thì sẽ có vô số nghiệm nguyên.
+ Công thức nghiệm nguyên: x = x0 + db t;

y = y0 − da t,

t ∈ Z, d = UCLN(a, b).

Dạng tổng quát (1) nhưng có thể rút được 1 biến biểu thị qua biến còn lại: Giả sử rút y được
y = g(x), lập trình, cho x chạy, tìm y nguyên (kết hợp điều kiện từ đề bài để dừng).
Dạng tổng quát (1) nhưng có thể đưa về phương trình bậc hai theo 1 biến: Giả sử A(x)y2 +
B(x)y +C(x) = 0, giải tìm y theo công thức nghiệm được y1 , y2 , sau đó lập trình cho x chạy tìm
y nguyên (kết hợp điều kiện ∆ > 0).
Một số dạng giải nhờ suy luận, kết hợp suy luận và lập trình.
Bài tập
1

x − x! − 5719005 = 0
Giải phương trình nghiệm nguyên 3 ≤ x < 20 thỏa A62x −C15

ĐS:
2

Tìm cặp số nguyên dương (x, y) với x nhỏ nhất thỏa
ĐS: x = 11, y = 29.

12

√
3
156x2 + 807 + (12x)2 = 20y2 + 52x + 59.


Cho đường thẳng (d) : 2x + 3y = 7. Hãy tìm tất các các cặp (x, y) thuộc (d) thỏa:

3

a) x, y đều nguyên dương.
b) x, y đều nguyên âm.
c) x, y tùy ý.
ĐS:
Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa phương trình

4

a) x2 + y2 = 2008.
b) x2 − y2 = 2008.
HD: b) Hằng đẳng thức x2 − y2 = (x + y)(x − y).
ĐS: b) (503;501), (503;-501), (-503;501), (-503;-501), (253;249), (253;-249), (-253;249), (253;-249).
Cho phương trình x3 − y2 = xy

5

(*), hãy:

a) Tìm cặp số tự nhiên (x, y) với x bé nhất có 3 chữ số và thỏa mãn (*).
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x bé hơn 100 và thỏa mãn (*).
HD: Đưa về phương trình bậc hai theo y, x chạy từ 100.
ĐS: a) (110, 1100);

2.4

b)

Đa thức, sơ đồ Hoocne

Tính giá trị đa thức.

Tìm đa thức dư trong phép chia hai đa thức.
Thao tác ấn phím nhanh đối với sơ đồ Hoocne tìm đa thức thương và dư.
Tìm đa thức thỏa điều kiện ban đầu.
Bài tập
1

Tính giá trị của đa thức
P(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + x2009 và Q(x) = x11 + x12 + x13 + ... + x2010
tại x = 0, 570038.
ĐS:

2

Tìm dư trong phép chia P(x) = x7 − 2x5 − 3x4 + x − 1 cho (x + 5).
ĐS:

3

Tìm dư khi chia đa thức P(x) = 3x40 + x11 − 2x8 − 1 cho đa thức Q(x) = 10x2 − 21x + 11.
ĐS:

4

Tìm dư khi chia đa thức P(x) = 3x2009 + x2001 − 2x1995 + 1990 cho đa thức Q(x) = x3 − x.
ĐS:
13


5

Khai triển biểu thức P(x) = (20x2013 − 3x92 + 26)3 ta được đa thức a0 + a1 x + ... + a6039 x6039 .
Hãy tính:
a)

S1 = a0 + a1 + a2 + ... + a6038 + a6039 ;

b)

S2 = a0 + a2 + a4 + ... + a6036 + a6038 ;

c)

S3 = a1 + a3 + a5 + ... + a6037 + a6039 .

HD: a) P(?);

b), c) P(?)+/- P(?) ⇒ KQ.

ĐS:
6

Khai triển biểu thức P(x) = (1 + 2x + 3x2 )15 ta được đa thức a0 + a1 x + ... + a30 x30 . Tính giá
trị biểu thức A = a0 − 2a1 + 4a2 − 8a3 + ... − 536870912a29 + 1073741824a30 .
HD: A = P(?)
ĐS:

7

Cho đa thức bậc ba, biết f (0) = 10, f (1) = 12, f (2) = 4, f (3) = 1. Tìm f (10)?
ĐS:

8

Cho f (x) là đa thức bậc 3, biết rằng khi chia f (x) cho (x − 1), (x − 2), (x − 3) đều được dư 6 và
f (−1) = −18. Tính f (2009)?
ĐS:

9

Tìm m, n để 2 đa thức sau có chung nghiệm x =
x3 + 3mx2 + 7 + n.

1
2

với P(x) = 3x2 − 4x + 5m + n;

Q(x) =

ĐS:
10

1
Tìm a, b, c để đa thức P(x) = x4 + ax3 + 2bx2 − 5x + c chia hết cho đa thức (3x + 2), (x −
2
7), (x + 1).
ĐS:

11

Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx − 2007 để sao cho P(x) chia cho
(x − 16) có số dư là 29938 và chia cho (x2 − 10x + 21) có đa thức dư là 10873
16 x − 3750.
ĐS:

12

Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 − 2x5 − 3x4 + x − 1 cho (x + 5) bằng sơ đồ Hoocne,
viết thuật toán.
ĐS:

13

Chia x8 cho (x + 0, 5) được thương q1 (x) dư r1 , chia q1 (x) cho (x + 0, 3) được thương là q2 (x)
và dư r2 . Tìm r2 bằng cách dùng sơ đồ Hoocne.
ĐS:

14

Tìm thưong và dư khi chia P(x) = 2x6 + 30x5 − x2 + 90x + 2008 cho (x + 5)(x − 3) bằng sơ đồ
Hoocne.
HD: Dùng sơ đồ Hoocne 2 lần liên tiếp tương tự như câu trên, dư cần tìm của bài toán là
r2 (x + 5) + r1 , thương là q2 (x).
ĐS:

14


Cho đa thức bậc 5, P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) =
19, P(4) = 33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7) và P(29).

15

HD:
Cách 1: Lập hpt 5 ẩn a, b, c, d, e. Khử lần lượt các biến để đưa về hpt 3 ẩn, 3 pt rồi giải.
Cách 2: Đặt Q(x) = 2x2 + 1. Khi đó P(i) = Q(i), i = 1, 2, 3, 4, 5. Suy ra P(x) = (x − 1)(x −
2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) + 2x2 + 1.
ĐS: P(6) = 193; P(7) = 819; P(29) = 11795283.

2.5

Các lập trình tính giá trị hàm số tích tại x0

Nhắc lại: fn (x0 ) = fn-1 f(x0 ) , fn gm (x0 ) = fn gm (x0 ) , n,m ∈ N∗
Dùng biến Ans (không an toàn nếu ấn dư phím hoặc thiếu phím).
Dùng lập trình trên các biến A, B,C, ...
Bài tập
1

√
Cho hàm số f (x) = 12x − 3 x + 2009, tính f 30 (2.10−11 ).
ĐS:

2

Cho hàm số f (x) =

√
7 3
x , tìm f 2009 (logπ e).

ĐS:
3

√
√
√
2009
x) + 3 7.x + 5 5 (xét ở chế độ radian).
Cho hàm số f (x) = esin(
√
a) Tính f 30 ( π).
√
√
b)* Tính max { f k ( π)}; min { f k ( π)}.
0≤k≤32

0≤k≤32

HD: b) Lập trình kết hợp công thức max{A, B} =

A+B+|A−B|
, min{A, B}
2

=

A+B−|A−B|
.
2

ĐS:
4

Cho hai hàm số f (x) = sinh(cos x), g(x) = sin 3x−1 , hãy tính a = f 15 g22 ( π3 ), b = g15 f 22 ( π3 ) (ở
chế độ radian). Trong đó sinh x là sinhyperpolic của x.
ĐS:

5

1
* Cho hàm số f (x) = x + + 1, hãy tính tổng sau:
2x
√
√
√
√
2
a) A = f ( 2) + f ( 2) + f 3 ( 2) + ... + f 43 ( 2).
√
√
√
√
√
b) B = f 5 ( 3) + f 10 ( 3) + f 15 ( 3) + f 20 ( 3) + ... + f 80 ( 3).
HD: a) Lập trình, hoặc dùng biến tổng là M+ ; b) Dùng phím M+ cho biến tổng là M (với lưu
ý là phải lưu 0 → M trước khi chạy vòng lặp).
ĐS:

15

2.6

Cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 biến

Một số phương pháp thường dùng: Tam thức bậc hai; Đặt ẩn phụ; Dùng chức năng Table;
Đạo hàm; Bất đẳng thức.
Bài tập
1

√
√
3,
1
−
2
5
x − 7, 8 + 3 2
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = −1, 32x2 + √
6, 4 − 7, 2
ĐS:

2

Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm x2 − 3x + 5 = m.
ĐS:

3

Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 4x + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số đã cho. Từ đó, tìm khoảng
cách giữa hai điểm cực trị của hàm số.

4

3x2 + x + 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên đoạn [0; 3].
3x + 2

5

Tìm GTNN và GTLN của hàm số f (x) =

6

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = cos3 x − 6cos2 x + 9 cos x + 5.

− x2 + 3x − 1
trên đoạn [-4,-1].
4x + 3

ĐS:
7

Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 3x + 5 cos 5x trên đoạn [0; π].
ĐS: max f (x) = 12, 5759;

8

√
Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 sin x − 2 cos x − 5 sin x cos x.
ĐS: max f (x) = 3, 9465;

9

10

min f (x) = −3, 1511.

min f (x) = −2, 0125.

1
Tính gần đúng cực đại và cực tiểu của hàm số f (x) = x4 + x3 − 3x2 − 12x + 3.
4
ĐS:
esin x + x2 cos x + 1
trên đoạn
Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) =
x2 + 1
[0; 1].

16


Vẻ đẹp của Toán học qua các con số (nguồn: diendantoanhoc.net):

§3
3.1

1x8+1=9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 +7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1x1=1

11 x 11 = 121
111 x 111 = 1231
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 1111111 = 12345654321
1111111 x 11111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 1111111111 = 12345678987654321

Số học phổ thông
Số nguyên tố và các thuật toán kiểm tra nguyên tố

Để√kiểm tra 1 số nguyên dương A có là số nguyên tố hay không ta chỉ cần kiểm tra A có ước từ
2 đến A hay không.
Thao tác 1: Dùng biến Ans. Nhập A = , nhập biểu thức

A
A
Ans

+2

, ấn = = ...

A
Thao tác 2: 1 → X, X = X + 2 :
=
= ...
X
√

X chạy đến A, nếu thấy thương đều lẻ thì kết luận A nguyên tố.
Thao tác 3: Kiểm tra A có chia hết cho 3 không, nếu không thì lập trình như sau
A
A
0 → X, X = X + 1 :
:
=
= ...
6X − 1 6X + 1
17


Bài tập
1

Kiểm tra số 647 có phải là số nguyên tố không?
ĐS:

2

Kiểm tra số 1018091 có phải là số nguyên tố không?
ĐS:

3

Phân tích thành thừa số nguyên tố các số sau: 252633033 và 8863701824.
ĐS:

3.2

Tìm số dư khi chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b (a>b)

Giả sử a chia b dư r (r < b), ta chia các trường hợp sau:
Trường hợp 1: a chia b có phần nguyên q không tràn màn hình.
Ta có a = bq + r suy ra r = a − bq với q là phần nguyên của thương.
Ví dụ:

2009
4

= 502, 25 suy ra số dư khi chia 2009 cho 4 là 2009-4.502=1.

Trường hợp 2: a chia b có phần nguyên tràn màn hình.
Giả sử
a = a1 a2 a3 ...an = a1 a2 ...ak .10n−k + ak+1 ak+2 ...an
trong đó a1 a2 a3 ...ak chia b có phần nguyên không tràn màn hình. Như vậy ta có thể tìm được dư
r1 khi chia a1 a2 a3 ...ak cho b theo trường hợp 1.
Khi đó, a chia b dư
r1 .10n−k + ak+1 ak+2 ...an = r1 ak+1 ak+2 ...an , với r1 < b

(*)

Theo (*) ta có quy tắc: Tách số bị chia a thành hai phần và lấy dư r1 của phần thứ nhất khi chia
cho b. Sau đó "gắn" số dư r1 này vào phần thứ 2 còn lại để được số bị chia mới bé hơn a, thực
hiện thao tác này một cách liên tục thì ta được số bị chia mới cũng giảm liên tục, đến một lúc
nào đó số bị chia mới đủ bé, khi đó ta tìm được dư r của bài toán theo trường hợp 1.
Câu hỏi: Giải thích (*)?
Bài tập
1

Tìm dư khi chia 123456789 cho 12345.
ĐS:

2

Tìm dư khi chia 111122223333444455556666777788889999 cho 2010.
ĐS:

3

Tìm dư khi chia 9999999998888888877777776666665555544443332210 cho 123456789012345.
ĐS:

18


4

Tìm dư khi chia -2008200920102011201220132014201520162017 cho 65432.
ĐS:
Tìm dư khi chia 987654321012345678903 + 999997777755555333333 cho 2020.

5

ĐS:

3.3

Liên phân số hữu hạn

Thuật toán tìm liên phân số hữu hạn.

Thao tác bấm máy nhanh đưa liên phân số về dạng phân số ab .
1

q0 +

a
=
b

1

q1 +

1

q2 +
q3 + ... +

ấn phím liên tục

−→

1
qn−1 +

1
qn

qn x−1 +qn−1
x−1 + qn−2
x−1 + qn−3
...
...
−1
x + q1
x−1 + q0

=
=
=
=

=

Chú ý: Một số liên phân số khi đưa về phân số thì máy không hiển thị dạng ab được trên màn
hình. Để đưa liên phân số này về dạng ab ta cần thực hiện quy trình bấm phím nhanh trên sau một
số bước rồi thực hiện thao tác thủ công trên máy.
Bài tập
1

Biểu diễn số hữu tỷ sau dạng liên phân số
275
a)
3
ĐS:

453
b) −

127

20092
c)
2007

19


2

Lập quy trình ấn phím liên tục để đưa liên phân số sau về dạng phân số tối giản ab .
1
1
a) −4 +
b) 10 +
1
1
2+
9+
1
1
3+
8+
1
1
4+
7+
1
4

6+
5
ĐS:

3

a) Biểu diễn phân số

5116
3927

dưới dạng liên phân số như sau

5116
= 1+
3927

1
1
3+
3 + ...

.

Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 3?
ĐS:
b) Biểu diễn phân số

1393
985

dưới dạng liên phân số như sau

1393
= 1+
985

1
1
2+
2 + ...

.

Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 2?
ĐS:
4

27

Cho B = 27 +

15 +

7
2009

1

, biết B = k0 +

1

k1 +

1

k2 + ... +

kn−1 +

1
kn

Tìm dãy số k0 , k1 , ..., kn .
ĐS:
5

1
Cho dãy số {un } xác định: u1 = 2 + ;
2

u2 = 2 +

1
1
2+
2

;

1

u3 = 2 +

1

2+

;

...

1
2
Hãy tính giá trị chính xác của u9 và giá trị gần đúng của u15 , u20 . Dự đoán lim un .
2+

n→∞

ĐS: u9 =
6

5741
;
2378

u15 , u20 = 2, 414213562.

Cho dãy số {un } xác định như sau:

1
1
1
u1 = 2 + ; u2 = 3 +
; u3 = 2 +
;
1
1
3
2+
3+
1
3
2+
3

1

u4 = 3 +

;

1

2+
3+

...

1

1
3
Hãy tìm ít nhất 4 giải thuật trên máy để tính gần đúng u20 , u25 và tổng S27 = u1 + u2 + u3 + ... +
u27 .
ĐS:

20

2+


3.4

Đồng dư số học, ứng dụng của hàm Ơle trong đồng dư số học

Nếu a chia b dư r (hoặc a và r chia b có cùng số dư) thì ta viết a ≡ r( mod b).
Một số tính chất của đồng dư số học:
1) Nếu a ≡ b( mod m) và c ≡ d( mod m) thì ta có
a ± c ≡ b ± d( mod m)
ac ≡ bd( mod m)
ak ≡ bk( mod mk) hoặc ak ≡ bk( mod m) ∀k ∈ Z
ak ≡ bk ( mod m),

∀k ∈ N

f (a) ≡ f (b)( mod m),

∀ f (x) ∈ Z[x] (là đa thức với hệ số nguyên)

2) Nếu ac ≡ bc( mod m) và (c, m) = 1 thì ta có a ≡ b( mod m)
3) Nếu a ≡ b( mod m) và θ là một ước chung của a, b, m thì ta có
4) Nếu a ≡ b( mod mi ),

a
θ

≡ θb ( mod m
θ)

i = 1, 2, ..., k và m = BCNN(m1 , m2 , ..., mk ) thì ta có a ≡ b( mod m)

5) Nếu a ≡ b( mod m) và θ là một ước dương của m thì ta có a ≡ b( mod θ )
Hàm Ơle số học ϕ:
1) Định nghĩa: Cho m là một số tự nhiên khác không.
Với m = 1, ta định nghĩa ϕ(1) = 1;
Với m > 1, ϕ(m) là số các số tự nhiên bé hơn m và nguyên tố cùng nhau với m.
2) Ví dụ: ϕ(4) = 2 vì có 2 số bé hơn 4 và nguyên tố cùng nhau với 4 là 1 và 3.
α

3) Công thức tính: Giả sử m có dạng phân tích tiêu chuẩn là m = pα1 1 pα2 2 ...pk k (trong đó pi là các
số nguyên tố, αi ∈ N∗ , i = 1, 2, ..., k) khi đó ta có
ϕ(m) = m 1 −

1
p1

1−

1

1
... 1 −
p2
pk

1
Vậy nếu p là số nguyên tố thì ϕ(p) = p(1 − ) = p − 1.
p
4) Định lý Ơle: Nếu (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1( mod m), a, m nguyên dương tùy ý.
5) Định lý Fecma: Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên dương tùy ý khi đó ta có
a p ≡ a( mod p)
(*)
Vậy nếu a không chia hết cho p thì a p−1 ≡ 1( mod p) (tính chất đồng dư).
Chú ý: Nếu p là số nguyên tố thì p thỏa (*), điều ngược lại là không đúng. Một hợp số n thỏa (*)
được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a. Ví dụ 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2 vì 2561 ≡ 2( mod 561).
Một số phương pháp tìm số dư khi chia aα cho m (a, m nguyên dương)
21


Thao tác "thủ công":
Dùng tính chất của đồng dư số học, nâng lũy thừa 2 vế lớn dần (bằng thao tác tùy ý). Hạn chế
của phương pháp này là đạt được kết quả rất lâu.
Dùng định lý Ơle, định lý Fecmat:
Nếu (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1( mod m).
Ví dụ: Tìm dư khi chia 20092010 cho 6.
Ta có (2009, 6) = 1 ⇒ 2009ϕ(6) ≡ 20092 ≡ 1( mod 6); Khi đó ta có 20092010 = 20091004.2+1 =
(20092 )1004 .2009 ≡ 11004 .2009 ≡ 5( mod 6).
Nếu (a, m) = r > 1 thì ta không thể áp dụng định lý Ơle một cách trực tiếp được.
Gặp trường hợp này, ta có thể làm "thủ công" bằng cách nâng dần lũy thừa 2 vế của đồng
dư thức đến lũy thừa của bài toán đã cho. Hoặc ta có thể áp dụng định lý Ơle một cách gián

tiếp (tuy nhiên cách này không phải là tối ưu).
Thao tác áp dụng định lý Ơle gián tiếp:
Giả sử a = r.q, m = r.t, ta cần biến đổi như sau
aα ≡?( mod m) ⇔ aα = rα .qα ≡?( mod r.t) ⇔ r.rα−1 .qα ≡?( mod r.t)
Tìm dư x1 , x2 trong đồng dư thức

qα ≡ x1 ( mod t)
( Áp dụng ĐL Ơle)
α−1
r
≡ x2 ( mod t)

Suy ra rα−1 qα ≡ x1 x2 ( mod t) ⇒ r.rα−1 qα ≡ rx1 x2 ( mod rt)
Vậy aα ≡ rx1 x2 ( mod m).
Ví dụ: Tìm dư khi chia 20082010 cho 6. ((2008, 6) = 2 > 1)
Dùng dấu hiệu tuần hoàn số dư của dãy lũy thừa (SV tham khảo thêm).
Bài tập
1

Tìm dư trong phép chia 22009 cho 13.
ĐS: 6

2

Tìm dư trong phép chia 222317523 cho 539.
HD: 539 = 72 × 11;

ϕ(539) = 420;

317523 = 420 × 756 + 3

ĐS: 426.
3

11

Tìm dư khi chia 122 cho 2010.
ĐS:

4

98

98

Tìm dư khi chia 719 + 92009 cho 8.
HD: 7 chia 8 dư -1; 9 chia 8 dư 1.
ĐS: 0.

5

Tìm dư của phép chia 2009601 + 2004501 + 1997401 cho 11.
ĐS:

22


3.5

Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Mọi phân số ab đều có thể biểu diễn được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Không thể
biểu điễn số vô tỷ về dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Số M = 0, aaaaaaaa... ta viết M = 0, (a), M có chu kỳ là a gồm 1 chữ số
Số M = 0, ababababababab... ta viết M = 0, (ab), M có chu kỳ là ab gồm 2 chữ số.
v.v..
VD:

152
333

= 0, 456456456... = 0, (456) có chu kỳ là 456 gồm ba chữ số.

Đưa số thập phân vô hạn tuần hoàn về dạng phân số:
a
Giả sử M = 0, (a), suy ra 10M = a, (a) = a + 0, (a) = a + M ⇔ 9M = a ⇔ M = .
9
ab
abc
Lập luận tương tự ta có 0, (ab) = ; 0, (abc) =
; ...
99
999
3 1
71
VD: 0, 33333... = = ; 0, 71717171... = .
9 3
99
a1 a2 ...ak

, k ∈ N∗ .
Tổng quát: 0, (a1 a2 ...ak ) =
99...9
k chữ số 9

Bài tập
1

Đưa các số thập phân sau về dạng phân số tối giản
a) A=2,565656...
b) B=10,4789789789...
c) C= 10,12378787878...
d) D= -3,5321321321...
ĐS: A =

2

B=

Tìm chu kỳ của
ĐS:

3

254
99 ;

4
19

4
19

6979
666 ;

C=

66817
6600 ;

D = − 5881
1665 .

khi viết dưới dạng số thập phân.

= 0, (210526315789473684).

Tìm phân số tối giản

a
b

a
= −8 +
b

1

được biểu diễn như sau

+ 14, (36) − 0, 01(234) +

1

7+

1

6+

sin π 3 + log2 3
2 x
0 xe dx

1

5+
4+

1

1
2
Trong đó: 14,(36)=14,36363636..., [x] là phần nguyên của số thực x.
3+

ĐS:
23

3.6

Tìm chữ số thập phân thứ k sau dấu phẩy trong phép chia
√ √
a, 3 a

a
b

và trong căn thức

Bài tập
1

Tìm chữ số thập phân thứ 2009 trong phép chia 28 cho 37.
ĐS: 5.

2

Tìm chữ số thập phân thứ 20092010 trong phép chia

707
3330 .

ĐS: 3.
3

4

Tìm chữ số thập phân thứ 20093 sau dấu phẩy trong phép chia 2009 cho 17.

HD: 118, (1764705882352941) (chu kỳ gồm 16 chữ số)
ĐS:

4

Tìm chữ số thứ 2009101 sau dấu phẩy trong phép chia 479 cho 16665.
ĐS:

5

Tìm số thập phân thứ 132009 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19.
ĐS: 8

6

* (Đề thi cấp khu vực dành cho sinh viên năm 2008) Tìm chữ số thập phân thứ 1000 sau dấu
phẩy của phép chia 16
49 .
HD: Chu kỳ gồm 42 chữ số.
ĐS: 8.

7

Tìm 16 chữ số sau dấu phẩy trong dạng thập phân của

√
3.

ĐS:
8

* (Đề thi Casio qua mạng tháng 07-2007) Tìm chữ số thập phân thứ 18 sau dấu phẩy của

√
3
37.

ĐS:

3.7

Tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số
Trường hợp 2 số A và B:
Nếu

A
B

hiển thị được dạng phân số trên màn hình, giả sử
UCLN(A, B) =

Nếu
sau:

A
B

A B
= ;
a

b

A
B

=

a
b

thì

BCNN(A, B) = Ab = Ba

không hiển thị được dạng phân số trên màn hình thì ta có thể áp dụng một số tính chất

UCLN(A, B) = UCLN(A − B, B) = UCLN(A, A − B).
Nếu A chia B dư r thì UCLN(A, B) = UCLN(B, r).
24


Thuật toán Euclid tìm UCLN của hai số nguyên dương a, b:

Chú ý: BCNN(A, B) =

AB
UCLN(A, B)

Trường hợp nhiều số A1 , A2 , ..., Ak :
Giả sử UCLN(A1 , A2 , ..., An ) = d, ta tiến hành tìm d theo các bước như sau

UCLN(A1 , A2 ) = d2 ;

UCLN(d2 , A3 ) = d3 ;

UCLN(d3 , A4 ) = d4 ;

...; UCLN(dn−1 , An ) = dn ;

Khi đó dn = d.
Tương tự cho việc tìm BCNN(A1 , A2 , ..., An ).
Bài tập
1

Tìm UCLN(458750, 4500).
ĐS:

2

Tìm UCLN(40096920, 9474372, 51135438)
ĐS: 678.

3

Tìm ƯCLN(a, b, c, d) với a = 40096920, b = 9474372, c = 51135438, d = 10170.
ĐS:

4

Tìm 2 số nguyên tố cùng nhau trong 3 số sau: a = 44448889; b = 19549; c = 16781.
ĐS: a, c.

5

Tìm UCLN(8191, 222099 − 1), 25.109 .
HD: Ta có (2a − 1, 2b − 1) = (a, b); 8191 = 213 − 1 ⇒ (213 − 1, 222099 − 1) = (13; 22099) = 1.
ĐS: 1

6

Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số A = 2152 + 3142 .
ĐS: 97, 1943.

25