Tóm tắt luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục: Phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

1

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Phát triển năng lực tư duy toán học là một trong những yêu cầu cần thiết trong dạy
học toán ở trường trung học phổ thông (THPT): Giáo dục theo định hướng phát triển năng lực
(NL) người học với “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiế n thức sang phát
triển toàn diện NL và phẩm chất người học” đã trở thành mục tiêu thiết yếu nhằm đổi mới căn
bản, toàn diện giáo dục và đào tạo hiện nay. Trong đó, NL giải quyết vấn đề (GQVĐ) toán học
và NL sáng tạo là những NL đặc thù cần hình thành cho học sinh (HS) qua dạy học môn toán ở
trường THPT. Trong dạy học, giáo viên (GV) cần thông qua dạy tri thức để dạy cho người học
cách phát hiện và GQVĐ, dạy cách suy nghĩ, khả năng giải quyết các tình huống của đời sống
thực tiễn. Tác giả Trần Kiều nhấn mạnh “cần lưu ý đến NL tư duy logic trong suy diễn, lập luận;
đồng thời coi trọng tư duy phê phán, sáng tạo, cũng như các yếu tố dự đoán, tìm tòi, trực giác
toán học, tưởng tượng không gian”. Vì thế phát triển NL tư duy toán học là một trong những yêu
cầu cần quan tâm và chú trọng cho HS trong dạy học môn Toán ở trường THPT.
1.2. Nhận định về vai trò của trực giác và tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực liên quan
đến trực giác: Trực giác (TG) đã được nghiên cứu nhiều trên thế giới, hầu hết các tài liệu về
TG đều liên quan đến ý nghĩa, vai trò đa dạng và những biểu hiện đặc trưng cơ bản của nó. Một
số tác giả xem TG là nguồn gốc của đổi mới sáng tạo, là bước đầu tiên và cần thiết cho giáo
dục; có thể thấy qua các công trình của các tác giả: Wild (1938), Henri Poincaré (1958), Bunge
(1962), Bruner (1965), Descartes và Spinoza (1967), Westcott (1968), Andrea DiSessa (1982).
Một số tác giả cho rằng TG có thể đào tạo được và đã vận dụng TG vào quá trình giáo dục như
Tall và Vinner (1980), Fischbein (1987), Tieszen (1989), Jagla (1994), Hogarth (2001),
Giardino (2010), Young Hoan Cho và Seo Yon Hong (2015). Mặc dù trên thế giới đã có nhiều
công trình nghiên cứu về TG và trực giác toán học (TGTH), thế nhưng ở Việt Nam vấn đề này
chỉ trình bày về khái niệm TG trong phát triển tư duy toán học cho HS. Cho đến nay vẫn chưa
có công trình nào nghiên cứu đầy đủ và hệ thống về TGTH, chưa làm sáng tỏ lí luận và bước
đầu vận dụng vào thực tiễn dạy học ở Việt Nam.
1.3. Thực trạng dạy học toán ở trường THPT chú trọng suy diễn, lập luận chặt chẽ và
mang tính hình thức, chưa quan tâm việc phát triển NL TGTH cho HS: Trong dạy học Toán ở

trường THPT, khi HS phải đối mặt với những tình huống không quen thuộc, GV thường dành
nhiều thời gian để trang bị cho HS những kiến thức mang tính quy trình, phần lớn các em có ít
cơ hội được nỗ lực tư duy, khám phá để tự tìm tòi con đường GQVĐ. Điều này dẫn đến nhiều
HS chủ yếu sử dụng kiến thức rập khuôn đó mà không biết hoặc ít vận dụng được kiến thức
toán học vào GQVĐ trong cuộc sống thực tiễn. Mặt khác, hầu hết cách dạy của GV và cách
trình bày của phần lớn nội dung trong sách giáo khoa, các định lí, quy tắc và chứng minh của
chúng thường được trình bày như là sản phẩm có sẵn. Trong khi đó, TG đóng vai trò đặc biệt
trong quá trình phát triển nhận thức của HS, TG giúp người học tích cực và sáng tạo hơn trong
việc đưa ra các phán đoán, tự tìm kiếm, khám phá kiến thức mới, hình dung trước được đường
lối, chiến lược GQVĐ, đưa ra quyết định trước khi bắt tay vào chi tiết cụ thể. Do đó, nếu có NL
TGTH sẽ giúp HS có thói quen tò mò, thích tìm hiểu khám phá, suy ngẫm và phát hiện cách
thức giải quyết, kết nối được trực quan với trừu tượng, từ đó có thể vận dụng cách thức nhận
thức đó vào trong tình huống khác nhau hay trong bối cảnh mới không quen thuộc. Vì vậy, NL


2
TGTH là một trong những NL quan trọng cần rèn luyện cho HS tạo tiền đề cho họ biết cách
nắm bắt được tri thức, nhận thấy trước định hướng GQVĐ, giúp phát triển các NL tư duy toán
học. Chính những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài là “Phát triển năng lực trực giác toán học
cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề xuất quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS và cách
thức tổ chức các HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán ở
trường THPT, góp phần nâng cao hiệu quả trong dạy và học môn Toán.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Đề tài có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi sau:
3.1. Thế nào là NL TGTH của HS? NL TGTH của HS có những đặc trưng gì trong
học tập môn Toán? Phát hiện những NL nào là NL thành tố của NL TGTH trong dạy học
Toán? Quy trình tổ chức HĐNT cho HS trong dạy học Toán nói chung và việc dạy học Toán
theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở trường THPT ra sao? Những cơ hội nào để phát
triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT?

3.2. Tình hình dạy học môn Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở trường
THPT hiện nay như thế nào?
3.3. Quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học
Toán ở trường THPT gồm các bước như thế nào? Cách thức tác động nhằm phát triển từng
NL thành tố cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT ra sao?
3.4. Quy trình đã đề xuất và các cách thức phát triển từng NL thành tố của NL TGTH
có tính khả thi và hiệu quả trong quá trình thực nghiệm sư phạm hay không?
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
4.1. Đối tượng nghiên cứu: quá trình tổ chức dạy học theo hướng phát triển NL TGTH
cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT.
4.2. Phạm vi nghiên cứu: các nội dung dạy học trong chương trình Toán lớp 10, 11 ở
trường THPT và quá trình tổ chức các HĐNT các nội dung đó cho HS trong dạy học Toán.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: Nếu đề xuất được quy trình tổ chức HĐNT và cách
thức phát triển từng NL thành tố của NL TGTH cho HS phù hợp với thực tiễn dạy học Toán ở
trường THPT thì giúp HS vừa lĩnh hội được những tri thức toán học một cách tích cực và sáng
tạo hơn, vừa góp phần phát triển NL TGTH cho HS, đáp ứng yêu cầu đổi mới theo định hướng
phát triển NL người học trong giai đoạn hiện nay.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu lí luận, Phương pháp quan sát, điều tra, Phương pháp chuyên gia,
Phương pháp thực nghiệm sư phạm và phương pháp nghiên cứu trường hợp
7. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
7.1. Về mặt lí luận
- Làm sáng tỏ được các đặc trưng và các NL thành tố của NL TGTH của HS trong quá
trình dạy học Toán ở trường THPT.
- Đề xuất được quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua
dạy học Toán ở trường THPT.
- Đề xuất được các cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL
TGTH trong dạy học Toán ở trường THPT.

3
7.2. Về mặt thực tiễn
- Đưa ra được quy trình để GV tiến hành tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL
TGTH cho HS qua dạy học một số nội dung Toán ở trường THPT.
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng chú trọng phát triển
NL TGTH cho HS.
8. NHỮNG VẤN ĐỀ CẦN ĐƯA RA BẢO VỆ
- Những đặc trưng của NL TGTH của HS và các NL thành tố của NL TGTH của HS
trong học tập môn Toán ở trường THPT.
- Quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong quá trình
dạy học Toán ở trường THPT.
- Cách thức tổ chức HĐNT theo hướng phát triển các NL thành tố của NL TGTH trong
dạy học Toán ở trường THPT.
9. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Chương 1. Cơ sở lí luận.
Chương 2. Thực trạng dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học
Toán ở trường THPT.
Chương 3. Tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học
Toán ở trường THPT.
Chương 4. Thực nghiệm sư phạm.
Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề về trực giác, trực giác toán học
1.1.1.1. Vấn đề trực giác, trực giác toán học trên thế giới
Trên thế giới, vấn đề về TG đã được nghiên cứu qua những công trình trong nhiều
lĩnh vực: triết học, toán học, tâm lí học, giáo dục học,... Một số thuyết trực giác trên lĩnh vực
triết học có các đại diện như Kant, Hilbert và Bernays, Husserl, Godel, Parsons, Brouwer,
Bergson. Trong tâm lí học nhận thức, các nhà tâm lí đã cống hiến cho việc nghiên cứu tiến trình

nhìn thấu được bên trong sự vật, sự hiểu biết ngay lập tức được sự vật, kinh nghiệm “à há” sau
khoảng thời gian giải quyết vấn đề không thành công. Quan niệm về TG của các nhà toán học
như Poincaré, Descartes, Hadamard, Koliagin, Kônmôgôrôp... và trong lĩnh vực giáo dục học
với công trình vận dụng TG và TGTH vào quá trình dạy học của các tác giả như Tall và
Vinner, Fischbein, Tieszen, Jagla, Hogarth, Giardino, Young Hoan Cho và Seo Yon Hong.
1.1.1.2. Vấn đề trực giác, trực giác toán học trong nước
Tại Việt Nam, một số tác giả cũng đề cập đến khái niệm TG và TGTH trong các tài
liệu về phát triển tư duy toán học, NL toán học như tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Văn
Lộc, Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang, Trần Luận, Nguyễn Phú Lộc, Chu Cẩm Thơ.
1.1.1.3. Một số nhận định rút ra từ các kết quả nghiên cứu về TGTH trong và ngoài
nước: Từ các tác phẩm và công trình nghiên cứu trên thế giới, chúng tôi nhận thấy vấn đề về TG
và TGTH được nghiên cứu khá sâu sắc dưới góc độ khác nhau và đã có những vận dụng rộng rãi
trên nhiều lĩnh vực của Toán học và giáo dục Toán. Thế nhưng vai trò to lớn của TGTH, đặc
trưng của TGTH trong dạy học Toán ở Việt Nam vẫn chưa được khai thác và chưa có những


4
công trình nghiên cứu hướng tới việc vận dụng TGTH vào trong thực tiễn dạy học.
1.1.2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề về tổ chức hoạt động nhận thức
Vấn đề về dạy học một số nội dung toán ở trường THPT theo hướng tích cực hóa HĐ
nhận thức đã được nghiên cứu qua các luận án tiến sĩ của các tác giả Phạm Minh Tiến, Nguyễn
Mạnh Chung, Trần Trung; nghiên cứu về quy trình tổ chức HĐ nhận thức cho HS cũng được
quan tâm trong dạy học toán qua tài liệu của tác giả Đào Tam và Trần Trung, tuy nhiên vẫn
chưa có tài liệu nào nghiên cứu cụ thể về tổ chức HĐ nhận thức nhằm phát triển TGTH cho HS
qua dạy học môn Toán ở trường THPT.
1.1.3. Các kết quả tiếp thu từ việc nghiên cứu tổng quan vấn đề
Tóm lại, vấn đề phát triển TGTH trong dạy học toán ở Việt Nam còn chưa được khai
thác, do đó chúng tôi tiếp thu các kết quả như sau:
- Nghiên cứu về khái niệm TGTH, các yếu tố ảnh hưởng và liên quan đến sự hình
thành, phát triển TGTH.

- Nghiên cứu sự vận dụng TGTH trong quá trình dạy học.
- Nghiên cứu quy trình tổ chức HĐ nhận thức cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT.
Từ các kết quả đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu nhằm đề xuất khái niệm NL TGTH của HS
và đưa ra một số biểu hiện của NL TGTH của HS trong học tập môn Toán, xác định một số
NL thành tố của NL TGTH, từ đó hướng tới xây dựng quy trình tổ chức HĐ nhận thức cho
HS nhằm phát triển NL TGTH qua dạy học Toán ở trường THPT.
1.2. Năng lực trực giác toán học của HS trong học tập Toán ở trường THPT
1.2.1. Trực giác, trực giác toán học
1.2.1.1. Quan niệm về trực giác: Tuy có nhiều quan niệm theo những phạm trù khác
nhau, nhưng hầu hết khái niệm TG đều liên quan đến “nhận thức”, có hai đặc trưng “trực tiếp
nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng” và “không cần đòi hỏi sự giải thích, lập luận rõ ràng”.
Trong quá trình tìm hiểu và phân tích, chúng tôi lựa chọn cách tiếp cận khái niệm TG theo
phạm trù nhận thức. Bởi vì, giữa nhận thức và tư duy có mối quan hệ hết sức chặt chẽ, nhận
thức cũng gắn liền với HĐ nhằm đạt được hiệu quả trong việc giải quyết vấn đề tạo những tác
động tích cực đến quá trình nhận thức của người học hướng tới việc tổ chức HĐNT phát triển
NL cho HS trong quá trình dạy học ở phổ thông. Do đó, chúng tôi đã thừa nhận theo hướng tiếp
cận xem TG như là nhận thức của con người và mang hai đặc trưng trên. Vì vậy, kế thừa theo
quan niệm của tác giả Piaget, cách hiểu TG của chúng tôi là: “Trực giác là nhận thức trực tiếp
nắm bắt sự vật, đối tượng một cách nhanh chóng mà không cần dựa trên phân tích và lập luận
chứng minh rõ ràng”.
1.2.1.2. Phân loại trực giác
+ Theo Fischbein, căn cứ trên nguồn gốc xuất hiện TG phân thành: TG sơ cấp và TG
nhị cấp. Còn căn cứ theo vai trò TG: TG khẳng định, TG suy đoán, TG lường trước và TG kết
luận. Dựa trên mối quan hệ với các loại nhận thức: TG hoạt động và TG định hướng nội dung.
+ Theo Piaget, TG gồm TG kinh nghiệm và TG hoạt động.
+ Theo Bahm, TG chia thành TG khách quan, TG chủ quan và TG tổ chức.
+ Theo Baylor, phân loại TG gồm TG chưa chín muồi và TG chín muồi.
1.2.1.2. Trực giác toán học: Nếu hiểu TG, TGTH diễn ra trong tiềm thức, vô thức theo
quan niệm của một số nhà toán học, nhà tâm lí học thì việc nghiên cứu rèn luyện cho HS khả

5
năng TGTH thật sự gặp nhiều khó khăn và không khả thi trong quá trình dạy học Toán. Hơn nữa,
TGTH có những đặc trưng của TG và cũng chứa những đặc thù của Toán học. Do đó, chúng tôi
thừa nhận tính chất “nhận thức trực tiếp” của TGTH được thực hiện qua “NL tư duy bằng các
cấu trúc rút gọn”, không làm chi tiết hoặc bỏ qua một số khâu trung gian, gần như đưa ra được
sản phẩm hay kết quả nhận thức dựa trên cơ sở “NL KQH các đối tượng, các quan hệ, các phép
toán học”, đó là “quá trình quy nạp và hoàn toàn có ý thức” giống theo quan niệm của tác giả
Krutexki. Với quan niệm này, TGTH hoàn toàn có thể nghiên cứu vào trong lĩnh vực giáo dục,
hay nói cách khác hoàn toàn có thể đào tạo khả năng TGTH được cho HS trong quá trình dạy
học Toán. Trên cơ sở phân tích đó, chúng tôi hiểu rằng “TGTH là nhận thức trực tiếp các đối
tượng, các quan hệ toán học một cách nhanh chóng do có sự rút gọn quá trình lập luận hoặc
không dựa trên sự phân tích, chứng minh đúng đắn rõ ràng”.
1.2.2. Tư duy trực giác trong dạy học Toán
Theo tác giả Koliagin, TDTG là một trong những thành phần cơ bản của tư duy toán
học trong đó “TDTG là phương pháp đặc biệt của nhận thức, đặc trưng bởi việc tìm ra chân
lý một cách trực tiếp, liên quan đến TG đó là những hiện tượng như việc giải quyết vấn đề
một cách bất ngờ, chớp nhoáng, không tuân thủ theo các yêu cầu logic, kết quả tìm được bằng
phương pháp này rất nhanh chóng”. Nguyễn Văn Lộc cho rằng “TGTH là một yếu tố của một
phương thức tư duy được gọi là TDTG, đó là tư duy dựa trên sự tri giác toàn bộ vấn đề ngay
lập tức, có khả năng thực hiện dưới dạng biến đổi đột ngột, chuyển hóa nhanh, lược bỏ các
khâu bộ phận”. Do đó, TDTG đặc trưng bởi sự thiếu vắng các bước lập luận rõ ràng, loại tư
duy này đặc trưng bởi tri giác thu gọn một cách nhanh chóng, ngay lập tức, giúp cho chủ thể
nhận thức có được kết luận trực tiếp về vấn đề, hoàn toàn bỏ qua khâu trung gian, đó là quá
trình tư duy nhảy vọt, người có TDTG lập tức trả lời ngay cho câu hỏi, khả năng hình dung
ra kết quả của một vấn đề hoàn toàn không có quá trình lập luận dài dòng.
1.2.3. Năng lực trực giác toán học của học sinh
1.2.3.1. Năng lực và năng lực của học sinh trong học tập môn Toán
Chúng tôi thừa nhận rằng “NL là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân, bao
gồm kiến thức, kĩ năng và thái độ, phù hợp với yêu cầu của một HĐ nhất định, đảm bảo cho

HĐ đó có hiệu quả”. Từ đó chúng tôi cho rằng “NL của HS trong học tập môn Toán là khả
năng huy động các kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và thái độ như sự hứng thú, niềm tin, ý
chí, … của người học để thực hiện hiệu quả các HĐ trong quá trình học tập môn Toán”.
1.2.3.2. Năng lực tư duy và NL toán học của HS trong học tập Toán ở trường THPT
Trước hết, “NL tư duy được xem là trình độ vận dụng HĐ trí tuệ, nó rất đa dạng trong
việc sử dụng thông tin để đạt kết quả. NL tư duy bao gồm các yếu tố như GQVĐ, ra những
quyết định, tư duy phê phán, phát triển lập luận và sử dụng các chứng cớ chứng minh cho lập
luận của mình. NL tư duy là cốt lõi của nhiều HĐ trí tuệ”.
Theo tác giả Krutexki “những NLTH được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước
hết là những đặc điểm HĐ trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học, và
trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm
vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh,
dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học”.
1.2.3.3. Năng lực trực giác toán học của HS trong học tập Toán ở trường THPT


6
Cho đến nay, trên thế giới và Việt Nam vẫn chưa có tài liệu nào đề cập đến khái niệm
NL TGTH. Trên cơ sở phân tích về quan niệm TGTH và NLTH, NL TGTH của HS trong học
tập môn Toán hiển nhiên cũng là một trong những thành phần của NLTH của HS, trong đó
chứa đựng các yếu tố, đặc điểm tâm lí, khả năng TGTH của người học, gắn cụ thể hơn với
việc dạy học môn toán, do đó chúng tôi quy NL TGTH của HS về NL tư duy của HS.
“NL TGTH của HS là NL tư duy của chủ thể người học vận dụng được các HĐ trí tuệ
nhằm nhận thức nhanh chóng những đặc điểm, thuộc tính bên trong của các đối tượng, quan
hệ và vấn đề toán học mà chưa cần thực hiện quá trình phân tích, chứng minh rõ ràng trong
những tình huống nhận thức cụ thể của quá trình học tập Toán”.
NL TGTH xem như là sự kết hợp của nhiều NL tư duy toán học, là kết quả của quá
trình HĐ trí tuệ một cách nhuần nhuyễn mà chưa cần dựa vào những lý giải rõ ràng hay trình
tự nghiêm ngặt của quá trình suy diễn. Hơn nữa, NL TGTH cũng phụ thuộc vào quá trình tích
lũy về hệ thống kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng cùng với thái độ, tình cảm và tố chất của

mỗi cá nhân HS. Khi đối mặt cùng một vấn đề, đối với HS này khả năng TGTH có thể xảy ra
một cách nhanh chóng nhưng HS khác lại diễn ra chậm hơn.
Trong thực tiễn, chúng tôi nhận thấy khả năng TGTH của HS là tồn tại, hiển nhiên ở
mức độ ít nhiều khác nhau tùy vào trình độ tích lũy kiến thức của mỗi cá nhân (đối với HS có
trình độ, năng khiếu toán, HS chuyên, HS giỏi toán là thấy rõ ràng nhất, đối với HS trung
bình, yếu thì trực giác ở mức độ trực quan, đơn giản hơn), kết quả trực giác của HS đôi khi là
tốt hoặc chưa tốt, có khi lại là trực giác sai lầm. Do đó, trong quá trình dạy học, trên cơ sở
phát hiện và khai thác những yếu tố liên quan đến trực giác cũng như các đặc trưng của NL
TGTH thì thông qua quá trình rèn luyện cho HS trong dạy học Toán hoàn toàn có thể bồi
dưỡng và phát triển NL TGTH cho các đối tượng HS.
NL TGTH của HS có mối liên hệ chặt chẽ với các NL tư duy như suy đoán và tưởng
tượng, liên tưởng, phán đoán và KQH như sau:
a) Suy đoán và tưởng tượng: Theo Nguyễn Văn Lộc, “trong nghiên cứu hình học, TG
hình học được hiểu là NL tưởng tượng như nhìn thấy các hình và những biến đổi của chúng”.
NL TGTH được thể hiện qua NL tưởng tượng như nhìn thấy các hình và các tính chất
của chúng, nhìn thấy được những biến đổi, quan hệ của giữa các đối tượng, NL hình dung ra
được đường lối giải quyết vấn đề hay NL thấy được kết quả của bài toán. Trong dạy học toán,
TGTH được thể hiện ở khả năng hình dung ra được kết quả biến đổi của các biểu thức trong trí
óc bằng việc rút gọn một số bước biến đổi nào đó mà không cần thực hiện đầy đủ, chi tiết các
bước biến đổi đó, khả năng hình dung ra được tri thức toán học đang xét với mô hình thực tế,
khả năng hình dung ra được đường lối giải quyết trước khi tiến hành thực hiện.
b) Liên tưởng: Liên tưởng có vai trò đặc biệt trong quá trình phát triển NL TGTH của HS
do sự phát triển nhận thức của người học tùy thuộc vào sự tích lũy các mối liên tưởng và trình độ
nhận thức phụ thuộc vào số lượng các mối liên tưởng và tốc độ hoạt hóa các liên tưởng đó. Vì
vậy, liên tưởng là nền tảng để HS thực hiện được khả năng TGTH, nếu không có năng lực liên
tưởng tốt thì sẽ không có TG, khả năng GQVĐ cũng hạn chế. Trong học tập Toán của HS, để
việc huy động kiến thức có hiệu quả cũng như có cơ sở để tiến hành TGTH tốt thì phải có sự sàng
lọc liên tưởng. Khi đó, HS cần có NL liên tưởng nhanh chóng với tốc độ và chất lượng của các
liên tưởng ở mức độ nhuần nhuyễn, thành thạo mới tạo điều kiện cho TG tốt và chính xác. Việc

7
bồi dưỡng NL này góp phần phát triển, mở rộng kiến thức và bồi dưỡng phương thức khám phá
cho HS, cần luyện tập cho HS HĐ chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng
khác có tác dụng xuất hiện các ý tưởng, TG phát hiện tri thức mới.
c) Phán đoán và khái quát hóa: TGTH là nhận thức trực tiếp đối tượng, quan hệ toán
học trong quá trình nhận thức mà không cần thông qua những bước lập luận chi tiết rõ ràng,
HS có thể đưa ra được những phán đoán về đối tượng, quan hệ toán học đó thông qua các NL
tư duy như khái quát hóa (KQH), suy luận quy nạp mà chưa tiến hành các thao tác phân tích
theo trình tự nghiêm ngặt của quá trình suy diễn, trong một số trường hợp chủ thể đưa ra được
dự đoán về bản chất của đối tượng, phỏng đoán được kết quả của vấn đề. từ đó có thể đưa ra
được chiến lược giải quyết để thực hiện nhiệm vụ học tập môn Toán.
1.2.4. Vai trò của trực giác toán học trong dạy học Toán
TG đóng vai trò quyết định trong việc thực hiện những khám phá trong HĐ khoa học và
trong giáo dục học. Khẳng định vai trò của TG trong dạy học, Wilder nhấn mạnh “TG đóng một
vai trò nền tảng và không thể thiếu được trong nghiên cứu toán cũng như trong PPDH hiện đại”
và cho rằng TG cung cấp nền tảng nhận thức định hướng cho những nghiên cứu mới và công cụ
toán học của HS. Tác giả Burton nhận định “Nghiên cứu của nhà toán học đã cung cấp cho chúng
ta những chỉ dẫn rõ ràng để định hướng tới một phương pháp sư phạm toán học một cách thú vị
và bổ ích cho người học cũng như HĐ thực tiễn của học. Những chỉ dẫn này trước hết hướng tới
giá trị và bồi dưỡng TG, và công nhận tầm quan trọng của việc kết nối, liên kết trong xây dựng ý
nghĩa toán học”. Theo chúng tôi, vai trò của TGTH đối với việc tiếp cận hiện đại trong dạy học
Toán gồm: Sử dụng TGTH như là cách thức để đưa ra các dự đoán hay phán đoán giả thuyết cho
việc phát hiện vấn đề toán học; sử dụng TGTH để định hướng đường lối GQVĐ và sử dụng
TGTH để làm rõ ý nghĩa của tri thức toán học.
1.2.5. Một số đặc trưng của năng lực trực giác toán học của học sinh trong quá trình
học tập Toán ở trường trung học phổ thông
1.2.5.1. Đặc trưng 1: Đặc trưng của sự nhanh chóng nhận thức trực tiếp các đối tượng,
quan hệ, vấn đề toán học: NL TGTH là NL tư duy đặc trưng bởi sự nhận thức trực tiếp các
vấn đề toán học, giúp HS biết suy nghĩ nhanh về cách thức giải quyết vấn đề trong quá trình

họ tiếp xúc với vấn đề. Do đó, HS có NL TGTH được biểu hiện ở chỗ người học có sự bừng
sáng trong việc nhận thức ngay vấn đề hay GQVĐ ngay lập tức, có khả năng nhìn thấy ngay
kết quả của vấn đề toán học dù khi mới đối diện với vấn đề. Biểu hiện NL TGTH này của HS
được thể hiện nhờ người học có khả năng tưởng tượng, hình dung được vấn đề toán học, khả
năng sử dụng liên tưởng một cách nhanh chóng từ đó đưa ra những phán đoán về chiến lược
GVQĐ.
1.2.5.2. Đặc trưng 2: Đặc trưng bởi việc rút gọn quá trình lập luận hoặc không cần sử
dụng các bước lập luận logic đầy đủ, rõ ràng: NL TGTH cho HS có thể thấy ngay kết luận trực
tiếp, không cần thông qua lập luận dài dòng hoặc chỉ cần tiến hành vài bước suy luận ngắn gọn.
Đó là biểu hiện của quá trình “tư duy rút gọn” giúp HS đưa ra định hướng giải quyết được vấn
đề toán học, giúp họ hình dung ra kết quả của một vấn đề hoàn toàn ngắn gọn mà không cần
thông qua các bước nghiêm ngặt của quá trình suy diễn, nhờ các bước trung gian trong quá trình
lập luận đã được lược bỏ, rút gọn. Trong một số trường hợp việc nhìn thấy được kết quả của
vấn đề có thể HS không giải thích được. Do đó, kết quả của TG của HS đưa ra có thể là đúng


8
hoặc sai, nên cần phải sử dụng suy diễn để kiểm nghiệm lại.
1.2.5.3. Đặc trưng 3: Đặc trưng của khả năng hoạt hóa các liên tưởng và huy động
kiến thức linh hoạt nhờ quá trình tích lũy, suy ngẫm trong quan sát, GQVĐ đã có trước đó:
NL TGTH của HS biểu hiện qua khả năng liên tưởng, KQH nhanh chóng các đối tượng, quan
hệ toán học, khả năng HS nắm bắt ngay được vấn đề là do trình độ tích lũy và huy động kiến
thức ở mức cao, nhuần nhuyễn và sâu sắc với việc hiểu được ý nghĩa bản chất của tri thức
trong quá trình nhận thức toán học. Biểu hiện này của HS còn thể hiện ở sự tư duy linh hoạt, tốc
độ hoạt hóa các liên tưởng có thể nhanh chóng chuyển hướng tư duy này sang hướng tư duy khác
trong quá trình GQVĐ không hiệu quả, biểu hiện tính ứng biến cao khi biết tìm cách giải quyết
vấn đề một cách linh hoạt trong bối cảnh mới của vấn đề.
1.2.5.4. Đặc trưng 4: Đặc trưng của sự sáng tạo, đột phá trong việc đưa ra ý tưởng,
chiến lược giải quyết vấn đề: NL TGTH cũng được đặc trưng bởi tính chất của tư duy sáng tạo,
đó là sự lóe sáng những ý tưởng mới mang tính đột phá trong điều kiện tình huống mới không

quen thuộc đang đối mặt với HS, khả năng người học có thể đưa ra những giải pháp mới vượt
qua những quy trình khuôn khổ đã biết trong quá trình học tập môn toán. Cụ thể, đó là khả năng
người học thấy được việc chuyển các kiến thức và phương pháp đã biết vào tình huống mới, khả
năng nhìn thấy được ngay vấn đề toán học trong tình huống không quen thuộc.
1.2.6. Các thành tố của năng lực trực giác toán học của học sinh trong dạy học
Toán ở trường trung học phổ thông
1.2.6.1. Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề: Trong dạy học môn Toán, khi
tiếp xúc với vấn đề phức tạp, trừu tượng, quá trình nhận thức của HS diễn ra dễ dàng hơn nếu họ
có thể liên tưởng đến những vấn đề đã biết (vấn đề tương tự hay đối lập, quan hệ nhân quả) có
liên quan đến nó và hình dung ra được việc sử dụng hình ảnh trực quan để thấu hiểu vấn đề phức
tạp hay thấy được mô hình cụ thể biểu diễn làm cho vấn đề đó trở nên đơn giản, gần gũi hơn để
có thể nắm bắt được vấn đề hay cách thức giải quyết của vấn đề. Do đó, NL liên tưởng và hình
dung được vấn đề được hiểu như là chủ thể HS có khả năng liên hệ những kiến thức quen thuộc
liên quan đến vấn đề, kết nối được các đối tượng, quan hệ toán học với nhau trong những tình
huống nhận thức cụ thể, đồng thời có khả năng hình dung được trong đầu về không gian vấn đề,
để chủ thể có thể nắm bắt hay giải quyết được vấn đề toán học đang xem xét.
1.2.6.2. Năng lực khái quát hóa nhanh chóng: TGTH là nhận thức trực tiếp các yếu tố,
đối tượng toán học, xem như là sự bừng sáng đột ngột, có thể là kết quả của sự vận động các
cách thức hành động khái quát và các cấu trúc rút gọn. Theo V. A. Krutexki “Trong nhiều
trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của HS có NL có thể được giải thích bởi sự ảnh hưởng vô
thức của kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng là NL KQH các đối tượng, các quan hệ,
các phép toán học và NL tư duy bằng các cấu trúc rút gọn”. Bởi TGTH là sự nhận thức nắm
bắt các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học một cách nhanh chóng do xảy ra sự giản lược, rút
gọn các bước lập luận phân tích trong quá trình lĩnh hội của chủ thể nhận thức trên cơ sở NL
KQH các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học đó. Do đó muốn hình thành NL TGTH cho HS
cần luyện tập NL KQH một cách nhanh chóng để có thể giúp họ thấy được bản chất, quy luật của
vấn đề toán học hay thấy được ngay chiến lược giải một bài toán.
1.2.6.3. Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định: Trong dạy học Toán, NL phán đoán
và đưa ra quyết định có liên quan trực tiếp tới khả năng TGTH của HS. Việc HS có thể nắm

9
bắt ngay được chiến lược, giải pháp giải quyết của vấn đề, hay nhận thức nhanh chóng các
đối tượng, quan hệ toán học thể hiện qua việc HS có khả năng đưa ra những phán đoán cho
vấn đề đang xem xét (có thể cảm nhận ngay ban đầu khi mới tiếp cận vấn đề, hoặc đưa ra
phán đoán sau khi thực hiện các liên tưởng, suy luận nhanh chóng). Dựa trên những dự đoán
đó, HS hình dung và lựa chọn phán đoán thích hợp từ đó có những quyết định cho việc GQVĐ.
Việc đề xuất ngay những phán đoán khi cảm nhận ngay về vấn đề là cách thức cần thiết và
quan trọng đối với người học để tiến hành TGTH trong giải quyết các vấn đề không quen
thuộc mà HS chưa biết phương pháp giải trước đó. Vì vậy, GV cần hướng dẫn cho HS cách
suy đoán, tiến hành dự đoán, suy luận nhanh cách biến đổi bài toán, thấy trước con đường đi và
các bước biến đổi của các biểu thức, trước khi bắt tay vào thực hiện chi tiết.
1.2.6.4. Năng lực rút gọn quá trình lập luận: Theo Krutexki, “trong một số trường hợp đơn
giản cấu trúc lập luận ở HS có năng khiếu về toán được rút gọn tới mức hầu như hình thành mối
liên hệ trực tiếp giữa việc tri giác bài toán và kết quả”. Bên ngoài hiện tượng này có vẻ như là “thiếu
lập luận”, “thiếu tư duy” song ngược lại đó chính là mức độ cao của quá trình tư duy, trong lập luận
rút gọn các khâu cần thiết là không thiếu chỉ là được rút gọn mà thôi. NL rút gọn quá trình lập luận
giúp HS hình dung ra được đường lối GQVĐ mới hay thấy được kết quả bài toán bằng suy diễn
rút ngắn sau khi nhận thức nhanh chóng các khâu liên tiếp của quá trình lập luận.
1.3. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học Toán
1.3.1. Hoạt động nhận thức toán học: Theo Đào Tam và Trần Trung, “HĐNT toán học
là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó:
Xác định được mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được
nghiên cứu (khái niệm; quan hệ; quy luật toán học;...); từ đó vận dụng được tri thức toán học giải
quyết các vấn đề thực tiễn”.
1.3.2. Đặc trưng của hoạt động nhận thức toán học
- Tư duy điều khiển HĐNT toán học của HS.
- Các loại hình logic điều chỉnh HĐNT.
- Sử dụng các dạng suy luận trong HĐNT toán học.
- Quan tâm tới đặc thù của HĐNT toán học trong dạy học Toán.

- Đề cao vai trò tự giác, tích cực và độc lập nhận thức của người học dưới vai trò tổ
chức, định hướng của người dạy.
1.3.3. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học Toán: Tổ chức HĐNT trong dạy
học Toán là quá trình GV tìm tòi, chọn lọc cách thức, phương pháp sư phạm hướng dẫn cho
HS tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó, từ đó
vận dụng được tri thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn.
1.4. Cơ hội phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học môn
Toán ở trường trung học phổ thông
1.4.1. Những lí thuyết chỉ đạo việc dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực
trực giác toán học của học sinh ở trường trung học phổ thông: như Thuyết Trực giác của
H. Bergson, Thuyết trực giác trong Toán học của Brouwer, Thuyết đa trí tuệ của H. Gardner
và Theo quan điểm vùng phát triển của L. Vygotsky.
1.4.2. Một số ý tưởng dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực trực giác toán
học cho học sinh ở trường trung học phổ thông


10
Để tổ chức HĐ nhằm phát huy những đặc trưng của TGTH cho HS qua dạy học Toán,
chúng tôi nhấn mạnh vai trò của GV trong việc tạo sự hứng thú, khơi gợi động cơ học tập và
khai thác các tình huống học tập. Ngoài việc lựa chọn, khai thác, thiết kế những nội dung dạy
học phù hợp với những tình huống dạy học có vấn đề, tình huống không quen thuộc để tổ chức
các HĐNT cho HS, GV cần chú trọng một số ý tưởng dạy học Toán theo hướng phát triển NL
TGTH cho HS ở THPT như sau:
(1) Tạo những tình huống học tập thích hợp cho HS thực hiện nhiệm vụ nhận thức:
Thông qua gợi động cơ HĐ, GV cần tạo ra những tình huống học tập chứa đựng khó khăn,
chướng ngại mà đối với những kiến thức, kinh nghiệm đã có của HS không còn tương thích, để
giải quyết trong hoàn cảnh mới nhằm tạo nhu cầu nhận thức cho HS. Trong quá trình dạy học,
GV thiết kế, tổ chức HĐ trong môi trường học tập hứng thú, tự do, quan hệ cởi mở giữa GV và
HS, HS có cơ hội được HĐ, thể hiện tố chất, thái độ và NL của bản thân.
(2) Tạo cơ hội cho HS hình dung, suy nghĩ nhanh, đưa ra nhiều phán đoán về vấn đề

trước khi bắt tay vào việc thực hiện: Trong quá trình dạy học, HS được tìm tòi, phát hiện vấn
đề, phán đoán về cách GQVĐ thông qua các nhiệm vụ yêu cầu HS phát biểu, mô tả về cảm
nhận ngay vấn đề, phát hiện giải pháp có thể để GQVĐ trước khi tiến hành thực hiện những
bước làm cụ thể trên giấy. GV cần khơi gợi HS đưa ra nhiều giải pháp, những khía cạnh khác
nhau của vấn đề, tìm kiếm những ý tưởng mới, đột phá và sáng tạo từ người học. Đôi khi GV
phải động viên, chấp nhận những ý tưởng ngây thơ, những giải pháp sai lầm của HS.
(3) Chú trọng phát triển cho HS các NL tư duy tiền logic trong dạy học Toán: Thông
qua các tình huống học tập, GV chú trọng sử dụng các HĐ trí tuệ, các NL tư duy như tưởng
tượng, liên tưởng, KQH, suy luận quy nạp. Các NL này tạo tiền đề cho HS biết hình dung và
đưa ra phán đoán, phát hiện vấn đề góp phần phát triển TD TGTH cho HS.
(4) Hình thành cho HS thói quen nắm bắt bản chất của vấn đề, đường lối của giải pháp,
bỏ qua những bước lập luận dài dòng, chi tiết: Trong quá trình giải toán, GV cần luyện tập cho
HS hình dung vấn đề hay giải pháp trong đầu óc, suy nghĩ, biến đổi nhanh chóng vấn đề thông
qua rút gọn quá trình lập luận, lược bỏ những khâu trung gian. Tạo thói quen cho HS trình bày
sơ đồ tư duy, biết mô tả cấu trúc để giúp HS thấy được toàn cảnh của giải pháp GQVĐ, khắc sâu
mặt ý nghĩa nắm được bản chất của vấn đề, đồng thời bỏ qua bớt những khâu tính toán chi tiết,
lập luận dài dòng hướng tới rèn luyện cho HS tư duy rút gọn.
(5) Nhấn mạnh HĐ suy đoán của trực giác cần thực hiện trước các HĐ của suy diễn
trong học tập môn Toán: GV cần nhấn mạnh các HĐ đặc trưng của TGTH được tiến hành trước
trong tiến trình GQVĐ của HS. Trong đó TGTH được xem là mục đích được tiến hành trước
để định hướng chiến lược GQVĐ, còn lập luận logic và suy diễn như là phương tiện được tiến
hành sau đó để kiểm nghiệm lại kết quả suy ra từ TG mà thôi.
1.4.3. Cơ hội phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học môn
Toán ở trường THPT: Trong học tập môn Toán, những nội dung và HĐ học tập cơ bản của
HS được liên kết với nhau cùng hướng vào hình thành các NL. NL TGTH của HS trong dạy
học Toán được thể hiện ở khả năng liên kết nội dung kiến thức môn Toán thông qua HĐ học
tập để hình dung được vấn đề, nắm bắt được vấn đề, phán đoán được cách GQVĐ, tình huống
vận dụng kiến thức toán học. Từ yêu cầu trên, chúng tôi nhận thấy các đặc điểm sau cần xem
xét để tìm kiếm những cơ hội phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán:

11
- Cơ hội phát triển NL thành tố của NL TGTH như NL KQH nhanh chóng, NL phán
đoán và đưa ra quyết định được thể hiện thông qua việc tổ chức cho HS xem xét những sự kiện
riêng lẻ, cụ thể trong những tình huống nhận thức có vấn đề, biết cách khái quát vấn đề từ các
trường hợp riêng lẻ, biết cách khái quát từ cái tổng quát đã biết đến cái tổng quát chưa biết;
có khả năng phán đoán, phát hiện các quy luật chung của các sự kiện trong học tập nội dung
toán, có khả năng đưa ra những định hướng GQVĐ, đưa ra các giả thuyết, dự đoán cho vấn
đề toán học, từ đó lựa chọn quyết định phù hợp về chiến lược GQVĐ.
- Cơ hội phát triển NL liên tưởng và hình dung được vấn đề thể hiện thông qua việc
HS có khả năng hình dung, liên hệ vấn đề toán học với những kiến thức và kinh nghiệm đã có,
biết kết nối và hình dung được hình ảnh trực quan hay phát hiện được mô hình tương thích của
vấn đề toán học trừu tượng, những tình huống mà yêu cầu người học phải phát hiện ra kiến
thức, giải pháp liên hệ với vấn đề mới, khả năng tưởng tượng thấy được các hình và các tính
chất của chúng, hình dung ra được đường lối GQVĐ khi đối mặt với các tình huống mới.
- Cơ hội phát triển NL thành tố khác của NL TGTH như NL rút gọn quá trình lập luận
thể hiện khi HS biết suy luận, ước lượng nhanh chóng, có khả năng lập luận ngắn gọn cách
biến đổi bài toán, khả năng lược bỏ, rút bớt những bước lập luận trung gian trong quá trình
GQVĐ, hình dung được sơ đồ suy luận thấy được đường lối GQVĐ.
Chương 2
THỰC TRẠNG DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Mục đích và đối tượng khảo sát
2.1.1. Mục đích khảo sát
- Tìm hiểu sự hiểu biết GV toán ở trường THPT về khái niệm và HĐ liên quan tới
TGTH, các NL thành tố của NL TGTH; mức độ quan tâm và vận dụng các HĐ liên quan TG
trong quá trình dạy học toán ở trường THPT.
- Tìm hiểu khả năng sử dụng TGTH của HS trong học tập toán ở trường THPT.
- Có thể phát hiện ra những loại HĐ hoặc NL nào khác thể hiện là NL thành tố của NL

TGTH trong quá trình dạy học toán ở trường THPT.
- Tìm hiểu và phân tích những thuận lợi và khó khăn, sai lầm của GV trong quá trình
dạy học cho HS tiếp cận kiến thức theo hướng phát triển NL TGTH.
2.1.2. Đối tượng khảo sát: 98 GV toán và 142 HS lớp 10 tại một số trường THPT.
2.2. Nội dung khảo sát và tổ chức khảo sát
2.2.1. Nội dung khảo sát
- Qua quan sát, phỏng vấn: Dự giờ GV một số tiết dạy toán ở trường THPT.
- Qua phiếu điều tra GV: thiết kế phiếu điều tra dành cho GV.
- Qua phiếu điều tra HS: thiết kế phiếu bài tập toán dành cho HS lớp 10.
2.2.2. Tổ chức khảo sát
- Thiết kế phiếu khảo sát với đối tượng là GV toán THPT.
- Thiết kế phiếu câu hỏi bài tập dành cho HS lớp 10.
- Thời gian khảo sát và dự giờ từ 10/4/2017 đến 12/5/2017.
- Tiến hành khảo sát 98 GV toán và 142 HS lớp 10 tại một số trường THPT.


12
- Thu thập các phiếu điều tra, tổng hợp và phân tích số liệu.
- Tiến hành đánh giá về mặt định tính và định lượng. Rút ra những kết luận ban đầu
về việc phát triển NL TGTH của GV và HS sau quá trình khảo sát.
2.3. Phân tích kết quả khảo sát
2.3.1. Kết quả khảo sát: Dự giờ GV, Phiếu điều tra GV và phiếu câu hỏi bài tập của HS.
2.3.2. Phân tích kết quả khảo sát
 Ưu điểm: Đa số GV có kinh nghiệm giảng dạy trên 10 năm, có trình độ chuyên môn
sau đại học nên việc tiếp cận các hướng nghiên cứu mới. GV có ý tưởng bài dạy khá hay, có
kĩ năng diễn đạt vấn đề, đặt câu hỏi tốt, tổ chức lớp và tương tác với HS nhiều.
 Hạn chế: GV vẫn còn nặng về lối truyền thống. GV thường trình bày kiến thức toán
học mà chưa chú trọng giải thích ý nghĩa của các kiến thức để HS hiểu rõ bản chất của kiến thức
toán học. GV chưa đòi hỏi, kích thích HS tự tìm tòi lời giải, cách thức GQVĐ mà thường cung
cấp ngay phương pháp giải, chỉ rõ quy trình từng bước áp dụng đối với các dạng toán mới. Nhiều

bài tập chỉ đòi hỏi áp dụng theo công thức, kĩ năng tính toán và vận dụng. Còn thiếu những câu
hỏi và bài tập rèn luyện quan sát trực quan, dự đoán phát hiện, kĩ năng suy luận nhanh gọn, chưa
khai thác triệt để những tình huống có thể phát triển NL TGTH cho HS.
 Nguyên nhân: Đối với GV: GV còn ảnh hưởng lối dạy học truyền thống, thường có
tâm lí dạy học trong thời gian ngắn cần truyền đạt nhiều kiến thức với khối lượng vượt hoặc
như theo qui định. Đặc biệt trong dạy học giải bài tập, GV tập trung vào cho HS giải nhiều
bài tập vận dụng quy trình Việc lựa chọn nội dung để phát triển các NL tư duy tiền logic, đặc
biệt trực giác, tưởng tượng là vấn đề khó khăn và chưa được GV quan tâm đúng mức.
- Đối với HS: Trình độ HS khảo sát ở mức trung bình khá, còn thụ động, ngại khác biệt
khi không theo khuôn khổ đã có trước, sợ mắc phải sai lầm. Thói quen học tập khi cần GQVĐ
luôn mong chờ, ỷ lại được GV cung cấp phương pháp giải khi đối mặt với bài toán mới, chưa
quen thuộc. Đa số HS còn suy nghĩ rập khuôn mà ít khi hiểu ý nghĩa của kiến thức.
- Về tài liệu dạy học: Tài liệu về TGTH và sự vận dụng vào quá trình dạy học chưa
nhiều, chưa có những công trình nghiên cứu đưa ra cách thức thực hiện cụ thể, những kỹ thuật
dạy học phát triển NL TGTH cho HS trong những tình huống dạy học ở trường THPT.
Chương 3
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
3.1. Định hướng tổ chức hoạt động nhận thức phát triển cho học sinh năng lực
trực giác toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông: định hướng nội
dung dạy học, phương pháp dạy học, định hướng đối với người dạy và người học.
3.2. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức phát triển NLTGTH cho HS trong
dạy học toán ở trường THPT
3.2.1. Cơ sở khoa học đề xuất cách thức tổ chức hoạt động nhận thức cho HS
Trên cơ sở triết học, mâu thuẫn là nguồn gốc của sự vận động và phát triển. Việc phát
hiện các mâu thuẫn là nguồn gốc của HĐNT tìm tòi tri thức mới của HS. HĐNT nói chung,
toán học nói riêng được bắt nguồn từ việc phát hiện các mâu thuẫn để từ đó tạo động lực cho
HĐ giải quyết các mâu thuẫn. Các mâu thuẫn trong dạy học Toán này làm nảy sinh các nhiệm

13
vụ nhận thức, các đối tượng của HĐ và tư duy thúc đẩy HĐNT của người học.
Trên cơ sở lý thuyết phát triển nhận thức của Piaget và Vygotxky, dạy học thông qua
việc tổ chức cho HS HĐ tự chủ chiếm lĩnh kiến thức. Vận dụng vào quá trình dạy học, việc
học tập của HS có bản chất HĐ: Bằng HĐ và thông qua HĐ của bản thân người học mà chiếm
lĩnh kiến thức, hình thành và phát triển năng lực trí tuệ cũng như đạo đức, thái độ.
Căn cứ vào những định hướng đổi mới theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán.
3.2.2. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức phát triển NLTGTH cho HS trong dạy
học toán ở trường THPT: gồm năm bước: (1) Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức
mới cần trang bị cho HS, (2) Tổ chức cho HS tiến hành HĐ trực giác hình dung được vấn đề,
phán đoán về cách GQVĐ, (3) Sử dụng suy diễn để kiểm nghiệm kết quả có được từ TG, (4)
Rút ra kết luận về tri thức mới, (5) Lựa chọn tình huống mới nhằm củng cố và vận dụng tri
thức, thể hiện qua sơ đồ sau:
HĐ tổ chức
của GV

Quy trình tổ chức
HĐNT phát triển
NL TGTH

HĐ NT
của HS

Xác định mục
tiêu, lựa chọn
tình huống, gợi
động cơ học tập

Bước 1

Tạo tình huống
nhận thức chứa
đựng tri thức cần
trang bị

Xác định không
gian vấn đề, liên
tưởng và huy
động kiến thức

Xác định khó
khăn của HS

Lựa chọn
PPDH phù hợp
Tổ chức các
HĐ trí tuệ
Hướng dẫn sử
dụng các thao
tác chứng minh
Thể chế hóa
kiến thức/
khẳng định về
tri thức mới
Đánh giá việc
vận dụng tri
thức mới của
HS

Bước 2

Tổ chức việc hình
dung vấn đề, phán
đoán về cách
GQVĐ
Bước 3
Sử dụng suy diễn
kiểm nghiệm kết
quả trực giác
Bước 4
Rút ra kết luận về
tri thức mới
Bước 5
Lựa chọn tình
huống mới củng
cố và vận dụng tri
thức

Tiến hành các
HĐ trí tuệ, HĐ
trực giác
Phát biểu vấn
đề, mô tả đường
lối giải quyết
Chứng minh,
giải thích vấn đề

Thất bại

Thực hiện
giải pháp GQVĐ

Hình thành tri
thức mới, cách
thức GQVĐ
Vận dụng tri
thức, cách thức
GQVĐ vào tình
huống mới

3.3. Một số cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển các năng lực thành tố
của năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học Toán ở trường THPT
3.3.1. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực liên tưởng và hình


14
dung được vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông
3.3.1.1. Mục đích tổ chức: Việc tổ chức các HĐ bồi dưỡng NL liên tưởng và hình dung
được vấn đề trong dạy học Toán nhằm xây dựng được nền tảng vững chắc, cách thức liên tưởng
và hình dung về một vấn đề để tạo cơ hội phát hiện nhiều ý tưởng mới giúp TG xảy ra khi người
học đối mặt với một vấn đề đang xem xét cụ thể. Việc luyện tập cho HS NL liên tưởng và hình
dung được vấn đề một cách hiệu quả giúp cho HS có thể hình dung trước sơ bộ về kết quả của
vấn đề hay cách GQVĐ nhờ tiến hành suy nghĩ nhanh chóng vấn đề đang xem xét.
3.3.1.2. Một số cách thức rèn luyện NL liên tưởng và hình dung được vấn đề cho HS trong
dạy học Toán ở trường THPT: GV cần chú trọng các HĐ chủ yếu như sau:
- Khai thác các tính chất, đối tượng tương tự giữa tri thức toán học giúp cho HS nhận
ra nhanh chóng các liên tưởng và hình dung được vấn đề.
- Luyện tập cho HS thực hiện chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối
tượng khác giúp HS xuất hiện các ý tưởng, phát hiện tri thức mới.
- Sử dụng các tình huống học tập tạo cho HS hình dung trong đầu các hình và các tính
chất của chúng, nhìn thấy được những biến đổi, những quan hệ của giữa các đối tượng toán

học, phát triển trí tưởng tượng không gian.
- Khai thác mối liên hệ nhân quả của tri thức toán học, mối liên hệ giữa các tri thức
toán học giúp HS hình dung ra được đường lối giải quyết, lược đồ giải, sơ đồ tư duy của vấn
đề hình học trước khi tiến hành thực hiện.
- Xây dựng các tình huống chứa các hình ảnh trực quan cho trước hỗ trợ HS trực giác
phát hiện bản chất vấn đề hay hình dung được cách thức giải quyết một vấn đề toán học.
- Xây dựng các tình huống giúp HS hình dung được hình ảnh trực quan, mô hình của
vấn đề từ đó phát hiện đường lối giải quyết vấn đề toán học.
3.3.1.3. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 3.4. Giải bài toán sau: “Cho các điểm A(-1; 2; 3),
B(3; 0; -1), C(1; 4; 7) và (P): x – 2y  2z  6  0 . Tìm tọa độ M thuộc (P) sao cho biểu thức
T  MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất”.
1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị cho HS:
Bài toán yêu cầu xác định tọa độ điểm trên một mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước, là bài
toán khá quen thuộc nhưng khó khăn ở chổ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khá phức tạp.
2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng,
phán đoán về cách giải quyết vấn đề
+ HS có thể hình dung được vị trí của M trên mặt phẳng (P) tương đối gần A, B, C sao
cho biểu thức T nhỏ, vì khi điểm M trên (P) dần đi ra xa các điểm A, B, C thì khoảng cách từ
M đến các điểm đó càng dài, do đó biểu thức T càng lớn.
+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC hoàn toàn xác định. Quan sát biểu thức đã cho
HS có thể liên tưởng đến MA  MB  MC  3MG , với mọi điểm M, do đó phải biến đổi biểu
thức qua trọng tâm G quy về biểu thức đơn giản hơn xác định được điểm M.
+ HS liên tưởng cách giải bài toán “Cho A không thuộc mặt phẳng (P). Tìm điểm M trên
(P) sao cho MA2 nhỏ nhất”: M trên (P) sao cho MA nhỏ nhất  M là hình chiếu của A lên (P).
+ HS trực giác phát hiện được kết quả bài toán là điểm M cần tìm là hình chiếu của
trọng tâm G của tam giác ABC lên mặt phẳng (P).


15
3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả đề ra từ trực giác

Ta có G(1;2;3) là trọng tâm ABC nên T  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2 .
Do đó T đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng (P). Xác định

được tọa độ của điểm M  0; 4;1 suy ra MG  d(G,(P ))  3 khi đó Tmin  3.32  48  75 .

4) Bước 4: Rút ra kết luận về tri thức mới và vận dụng: HS hình thành tri thức phương
pháp qua việc liên tưởng quy lạ về quen. GV tập luyện cho HS khả năng liên tưởng giúp HS
có thể nhìn bài toán dưới nhiều góc độ về hướng giải bài toán, khả năng phát triển bài toán
mới từ bài toán ban đầu bằng cách liên tưởng đối tượng này sang đối tượng khác.
3.3.2. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực phán đoán và đưa
ra quyết định cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông
3.3.2.1. Mục đích tổ chức: NL phán đoán và đưa ra quyết định là một thành tố liên quan
trực tiếp đến việc phát triển NL TGTH, bởi khi đứng trước vấn đề, HS có nắm bắt được vấn đề,
đối tượng, quan hệ toán học ngay lập tức hay không thể hiện ở HS nhanh chóng đưa ra những
phán đoán về đối tượng, quan hệ toán học. Do đó, việc tổ chức HĐNT phát triển NL này nhằm
giúp HS biết đưa ra được những dự đoán về vấn đề toán học, phán đoán được ngay được đường
lối giải quyết, kết quả của bài toán, từ đó lựa chọn những quyết định phù hợp cho việc hiểu và
nắm bắt được vấn đề, cách thức GQVĐ. Hiệu quả của việc rèn luyện NL này giúp HS biểu hiện
được sự nhanh chóng nhận thức vấn đề, khả năng liên tưởng và sáng tạo trong GQVĐ.
3.3.2.2. Một số cách thức rèn luyện NL phán đoán và đưa ra quyết định cho HS qua dạy
học Toán ở trường THPT: GV có thể chú trọng tổ chức thông qua các HĐ sau:
- Sử dụng các tình huống cho HS tiến hành các HĐ trí tuệ như so sánh, tương tự, khái
quát hóa, đặc biệt hóa để HS phán đoán giả thuyết và đưa ra quyết định cho việc phát hiện
vấn đề hay GQVĐ một cách nhanh chóng.
- Tổ chức các tình huống giúp HS sử dụng các loại suy luận như suy luận quy nạp, suy
luận có lí để phán đoán giả thuyết, cách thức GQVĐ và đưa ra quyết định phù hợp.
- Sử dụng các tình huống trực quan cho HS đưa ra phán đoán về cách thức GQVĐ nhờ
kết nối giữa hình ảnh trực quan và bản chất của vấn đề.
- Tạo cơ hội cho HS sử dụng ngắn gọn những lập luận có căn cứ nhanh chóng đưa ra
các phán đoán và lựa chọn quyết định hiệu quả.

3.3.2.3. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 3.7. GV tổ chức HĐNT phát triển NL phán đoán và
đưa ra quyết định cho HS qua: Giải phương trình: x  2  4  x  x  6x  11 .
1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị: Rõ ràng
không thể dùng các phép biến đổi tương đương để giải phương trình trên vì sẽ làm tăng bậc
một cách đáng kể, khi đó vấn đề trở nên phức tạp hơn.
2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng,
phán đoán về cách giải quyết vấn đề
2

- HS phán đoán và đưa ra quyết định cho việc lựa chọn cách thức GQVĐ.
+ Phán đoán 1: HS có nhận xét vế phải luôn lớn hơn hoặc bằng 2. Từ đó HS đưa ra
phán đoán cần đánh giá được hai vế của phương trình.
Khả năng tìm

x  2  4  x  k , với k 

bằng sử dụng BĐT Bunhiacôpxki.


16
+ Phán đoán 2: Quan sát các biểu thức trong căn thức trong vế trái ta nhận thấy tích
của chúng có liên quan đến biểu thức của vế phải. Do đó, HS có thể đưa ra phán đoán sử dụng
phương pháp đặt ẩn phụ. Khả năng đặt ẩn phụ đưa việc giải phương trình ẩn cũ về giải hệ
phương trình mới dạng đối xứng có thể giải quyết được.
- HS trực giác phát hiện đường lối giải quyết vấn đề:
+ Đối với phán đoán 1: Nhận thấy VP  x 2  6x  11  (x  3)2  2  2 .
HS có thể trực giác phát hiện vế trái là tổng của hai căn thức có hai biểu thức chứa

x  2  4  x làm HS có thể liên tưởng đến BĐT Bunhiacôpxki.
Do đó vế trái của phương trình luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2.

+ Đối với phán đoán 2: Trực giác đặt ẩn phụ
Đặt u  x  2, v 

4  x , u, v  0 . Khi đó giải hệ phương trình ẩn u, v .

3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả đề ra từ trực giác
+ Đối với phán đoán 1: Điều kiện của phương trình 2  x  4 .
Ta có VP  (x  3)2  2  2 (1). Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:



1. x  2  1. 4  x

  1  1  x  2  4  x   4  VT 
2

2

2

x  2  4  x  2 (2).


x  3
Từ (1) và (2) dấu “=” xảy ra khi 
 x  3.
x

2


4

x



+ Đối với phán đoán 2: Đặt u  x  2, v 

4  x , u, v  0 . Khi đó phương trình

u 2  v 2  2
tương đương với hệ sau 
(I) với u  0, v  0 . Đặt S  u  v, P  uv
2 2
u

v


u
v

3

Được hệ phương trình mới theo S , P . Ta có (P  1)(P 3  P 2  5P  7)  0 .
Hệ (I) có nghiệm u  1, v  1 . Vậy phương trình có nghiệm x  3.
4) Bước 4: Rút ra kết luận về tri thức và vận dụng vào tình huống mới
HS hình thành tri thức phương pháp đánh giá hai vế của phương trình

f (x )  g(x ) .

3.3.3. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực khái quát hóa
nhanh chóng cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông
3.3.3.1. Mục đích tổ chức: Tổ chức các HĐNT phát triển NL KQH một cách nhanh
chóng giúp HS thấy được bản chất vấn đề toán học, giải thích được vấn đề dưới ngôn ngữ khác,
thể hiện được khả năng hiểu biết sâu sắc vấn đề, phát hiện cái mới, cái tổng quát với ý tưởng
mới cho vấn đề cũng như phát hiện đường lối GQVĐ tổng quát trong những tình huống riêng
lẻ khác nhau. Tổ chức HĐNT phát triển NL KQH hướng tới việc HS đạt được sự nhanh chóng
nhận thức vấn đề, khả năng liên tưởng và khả năng sáng tạo trong GQVĐ.
3.3.3.2. Một số cách thức rèn luyện NL KQH nhanh chóng cho HS trong dạy học Toán ở
trường THPT: GV quan tâm sử dụng những tình huống như sau:
- Tạo các tình huống xuất phát từ các trường hợp cụ thể, các sự kiện riêng lẻ của đối
tượng toán học để HS nhanh chóng tiến hành KQH vấn đề.


17
- Xây dựng các tình huống sử dụng suy luận quy nạp để HS phát hiện quy luật, bản
chất toán học của vấn đề.
- Chú trọng việc nắm bắt được bản chất của vấn đề, hình dung được yếu tố cốt lõi
trong các vấn đề thông qua HS hiểu sâu sắc kiến thức, nắm được ý nghĩa của vấn đề tạo nền
tảng cho tiến hành HĐ KQH được nhanh chóng, hiệu quả.
- Tổ chức các tình huống giúp HS phát hiện được nội dung, ý nghĩa của tri thức phù
hợp với hình thức đã cho, nhằm tạo cân đối hài hòa giữa cú pháp và ngữ nghĩa của tri thức
toán học trong dạy học Toán.
3.3.3.3. Ví dụ minh họa: Ví dụ 3.9. Giải bài tập “Về phía ngoài tam giác nhọn ABC dựng
các tam giác vuông cân ABM , BCN ,CAP sao cho AB  AM , NB  NC , AC  AP . Chứng minh

AN , BP,CM bằng nhau”, nhận xét đưa ra bài toán mới.
1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị: bài toán
gây khó khăn cho HS khi không biết lựa chọn phép biến hình thích hợp để giải.

2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng,
phán đoán về cách giải quyết vấn đề
- Xác định yếu tố đặc trưng của bài toán để có thể sử dụng phép dời hình vào giải bài
toán: việc dựng các tam giác vuông cân giúp liên hệ đến phép dời hình thích hợp nào?
- Hoạt động giải bài toán trên: HĐ nắm bắt được bản chất của vấn đề, hình dung
được yếu tố cốt lõi trong các vấn đề nhờ sử dụng suy luận quy nạp một cách nhanh chóng.
GV có thể tổ chức HĐ thông qua các HĐ thành phần sau:
+ Yêu cầu nào của bài toán có thể sử dụng công cụ của phép quay vào giải quyết ?
+ Có thể sử dụng phép quay để giải khi thay đổi điều kiện của bài toán như thế nào?
- HĐ sử dụng suy luận quy nạp nhanh chóng để phát hiện quy luật, bản chất toán học
của vấn đề: thay thế việc dựng phía ngoài tam giác đã cho tam giác vuông cân thành hình nào
để được kết quả không thay đổi?
- HS trực giác phát hiện bản chất của phép quay từ đó suy ra thay thế hình dựng thỏa
mãn yêu cầu: xét tam giác đều và tam giác cân.
3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả đề ra từ trực giác
Giải hai bài toán mới bằng phương pháp giải tương tự.
3.3.4. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực rút gọn quá trình
lập luận cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông
3.3.4.1. Mục đích tổ chức: Việc tổ chức cho HS phát triển NL rút gọn quá trình lập
luận giúp HS biết hình dung ra được lược đồ tư duy, đường lối giải quyết cho vấn đề mới,
nhanh chóng hình dung được vấn đề toán học đang xem xét nhờ làm ngắn gọn các bước biến
đổi, lập luận. Do đó, HS cần có khuynh hướng suy nghĩ nhanh chóng, ngắn gọn về đường lối
chứng minh hay có khuynh hướng bỏ qua các bước phân tích lập luận logic, HS có khả năng
giản lược những giai đoạn lập luận trung gian, không chú trọng đến những biến đổi hình thức
dài dòng, từ đó dễ dàng hình dung ra được kết quả hay đường lối chiến lược GQVĐ trước khi
bắt tay vào thực hiện chương trình giải cụ thể, rõ ràng.
3.3.4.2. Một số cách thức rèn luyện NL rút gọn quá trình lập luận cho HS trong dạy học
Toán ở trường THPT: Một số HĐ cụ thể, GV rèn luyện NL này cho HS như sau:
- Trong quá trình GQVĐ toán quen thuộc, rèn luyện cho HS biến đổi nhanh, ngắn

18
gọn, lược bỏ các bước lập luận trung gian.
- Tổ chức cho HS biết hình dung được sơ đồ suy luận tổng quát hoặc hình dung kết
quả của vấn đề nhờ rút gọn các phân tích lập luận.
- Xây dựng các tình huống giúp HS nhanh chóng biến đổi hình thức của tri thức toán
học sang hình thức khác nhau để nhận ra được nội dung của vấn đề toán học.
3.3.4.3. Ví dụ minh họa: Ví dụ 3.13. GV cho HS giải bài toán: “Cho các số dương a, b, c



thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P   1 



1  1
1
  1    1   ”.
a  b  c 

1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức khá phức tạp đã cho gây khó khăn cho HS
ở chỗ cần phải sử dụng công cụ thích hợp nào để có thể ước lượng được biểu thức.
2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng,
phán đoán về cách giải quyết vấn đề
- Trực giác ban đầu về biểu thức và hình dung ra kết quả có thể của bài toán: a, b, c
1
thì
3
P  64 . Xét vài trường hợp khác nhận thấy có thể P  64 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

có vai trò như nhau và a  b  c  1 , phán đoán nhanh trường hợp khi a  b  c 

1
giúp HS phát hiện ý tưởng sử dụng BĐT Cauchy.
3
- HĐ biến đổi nhanh gọn vấn đề toán học nhờ gạt bỏ những bước lập luận, phân tích
trung gian có thể xảy ra trong suy nghĩ của HS như sau:

- Khi a  b  c 

+ Biến đổi nhanh biểu thức P  1 

1 1 1 1
1
1
1
  
 

.
a b c ab bc ca abc

+ Có thể áp dụng BĐT Cauchy cho các số

1 1 1
1 1 1
, , và
, , .
ab bc ca

a b c

1
và Pmin  64 .
3
3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả suy ra từ trực giác
Giải chi tiết các bước lập luận và phân tích.
4) Bước 4: Rút ra kết luận về tri thức mới và vận dụng: KQH phát hiện bài toán tổng quát.
Chương 4
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
4.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm
4.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra giả thuyết khoa học đã
đề ra, từ đó bước đầu khẳng định tính khả thi và tính hiệu quả của quy trình tổ chức HĐNT
phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT và cách thức rèn luyện từng
NL thành tố của NL TGTH với một số HĐ tương ứng. Cụ thể:
- Kiểm nghiệm tính hợp lí của quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL
TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT.

+ Hình dung kết quả: dấu bằng xảy ra khi a  b  c 


19
- Kiểm nghiệm sự tiến bộ của HS trong việc sử dụng một số HĐ tương ứng với từng
NL thành tố của NL TGTH qua dạy học Toán ở trường THPT.
4.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
- Thiết kế giáo án dạy học nhằm phát triển NL TGTH trong các tiết dạy.
- Tổ chức HĐ dạy học theo giáo án dạy học đã thiết kế.
- Quan sát quá trình HĐ trên lớp của HS khi thực hiện các nhiệm vụ HĐ.
- Thiết kế bài thực nghiệm vòng 1, vòng 2.

- Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm bài thực nghiệm vòng 1 và 2.
- Nhận xét và đánh giá kết quả bài làm thực nghiệm của HS, xử lý số liệu.
- Đánh giá định tính và định lượng kết quả quá trình thực nghiệm.
4.2. Thời gian và đối tượng thực nghiệm
4.2.1. Thời gian thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành qua 2 vòng:
Vòng 1 từ ngày 15/11/2017 đến ngày 28/12/2017 trong học kỳ 1, năm học 2017 –
2018. Vòng 2 từ ngày 14/3/2018 đến ngày 28/4/2018 trong học kỳ 2, năm học 2017 – 2018.
4.2.2. Đối tượng thực nghiệm
- Lớp dạy thực nghiệm: lớp 11CB8, Trường THPT Thống Linh, huyện Cao Lãnh và
lớp 11CB3, Trường THPT Thiên Hộ Dương, Thành phố Cao Lãnh.
- Giáo viên giảng dạy thực nghiệm: GV Nguyễn Văn Đớp, Trường THPT Thống Linh,
và GV Nguyễn Thị Minh Tâm, Trường THPT Thiên Hộ Dương.
4.3. Tiến trình thực nghiệm
Gồm 3 bước: Bước chuẩn bị, bước tổ chức thực nghiệm và bước đánh giá thực nghiệm.
4.4. Nội dung thực nghiệm: Nội dung thực nghiệm được thiết kế nhằm thể hiện một số
HĐ theo cách thức tổ chức từng NL thành tố của NL TGTH đã đề xuất, được tiến hành dạy học
theo quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH với các giáo án dạy học và nội dung
bài làm thực nghiệm của HS lớp 11 qua hai vòng như sau:
4.4.1. Thực nghiệm vòng 1
4.4.1.1. Về tiết dạy thực nghiệm trong giáo án dạy học
+ Hình học 11: “Ôn tập phép dời hình” (2 tiết)
+ Đại số và Giải tích 11: Dạy bài mới và giải bài tập “Dãy số” (2 tiết)
+ Chuyên đề: Sử dụng trực quan hỗ trợ giải toán (2 tiết) sau khi học xong “Cấp số nhân”.
4.4.1.2. Về các hoạt động tương thích với NL thành tố của NL TGTH được thực nghiệm
qua các tiết dạy: Trong giáo án dạy học thực nghiệm vòng 1, chúng tôi hướng tới kiểm nghiệm
việc tổ chức các HĐ nhận thức phát triển các NL thành tố của NL TGTH cho HS như: NL
KQH, NL liên tưởng và hình dung được vấn đề, và NL phán đoán và đưa ra quyết định theo
quy trình tổ chức HĐ nhận thức phát triển NL TGTH cho HS.
4.4.1.3. Nội dung bài thực nghiệm vòng 1: gồm 3 bài tập.
Câu 1. Không cần vẽ hình, các em hãy hình dung thiết diện của một hình tứ diện khi

cắt bởi một mặt phẳng bất kì có thể là đa giác nào?
Câu 2. Về phía ngoài tam giác nhọn ABC dựng các tam giác vuông cân
ABM , BCN ,CAP sao cho AB  AM , NB  NC , AC  AP . Chứng minh AN , BP,CM bằng
nhau. Giải bài toán, thay việc dựng tam giác vuông cân bởi tam giác nào thì kết quả không đổi.
Câu 3. Xét hình vuông có cạnh 1 và diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích). Đoạn thẳng


20
nối trung điểm của hai cạnh đối diện chia hình vuông thành hai phần, tô màu một phần, phần
còn lại tiếp tục chia đôi bởi đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện, tô màu một
phần, phần còn lại tiếp tục chia đôi và tô một phần… cứ tiếp tục quá trình như thế.
a) Nhận xét về tổng diện tích các phần được tô màu khi quá trình diễn ra đến vô cùng?
b) Nhận xét mỗi phần được tô màu của hình vuông trong mỗi bước có thể được biểu
diễn bởi một cấp số nhân nào? Chỉ ra u1, q ?
c) Dùng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để kiểm tra kết quả đã nhận xét?
 Phân tích dụng ý sử dụng các HĐ tương thích với NL thành tố của NL TGTH
- Trong Câu 1, chúng tôi hướng tới xem xét khả năng sử dụng HĐ hình dung được
hình ảnh trực quan của vấn đề toán học (NL liên tưởng và hình dung được vấn đề) và HĐ đưa
ra các phán đoán cho tình huống quen thuộc (NL phán đoán và đưa ra quyết định), cụ thể HS
phải hình dung hay tưởng tượng nhận ra được mô hình tương ứng của vấn đề từ đó suy ra các
trường hợp có thể có của thiết diện của một tứ diện với một mặt phẳng bất kì là những đa giác
nào mà chưa cần phải tiến hành vẽ hình.
- Trong Câu 2, chúng tôi hướng tới xem xét khả năng sử dụng HĐ phát hiện các yếu
tố chung, tổng quát của đối tượng từ việc xem xét trường hợp riêng (NL KQH nhanh chóng).
Khi đó, HS phải nhận ra và phát hiện yếu tố 2 cạnh bằng nhau và góc xen giữa không đổi suy
ra dựng tam giác cân và sử dụng phép quay.
- Trong Câu 3, chúng tôi hướng tới xem xét khả năng tiến hành HĐ sử dụng trực quan
kết nối vấn đề toán học để phát hiện và giải quyết vấn đề (NL liên tưởng và hình dung được
vấn đề). Qua bài toán này, HS phải biết sử dụng hình ảnh trực quan đã cho để thấy ngay kết
quả của bài toán mà chưa qua các bước tính toán và lập luận, HS có cơ hội được thể hiện sự

hiểu biết về bản chất của các vấn đề toán học thông qua hình ảnh tiếp nhận được khi quan sát
và sau đó tự kiểm nghiệm lại kết quả qua vận dụng công thức sau đó.
 Phân tích tiên nghiệm bài thực nghiệm vòng 1: Chúng tôi dự kiến kết quả bài làm
của HS trước khi tổ chức thực nghiệm như sau: Các câu hỏi ở phần thực nghiệm không tập
trung vào việc phân tích dài dòng, lập luận chặt chẽ, đây là những câu hỏi dưới dạng trả lời
nhanh, do đó trong khoảng thời gian ngắn, HS cần có ngay những nhận xét, hình dung ngay
vấn đề đang đặt ra để giải quyết. Thông qua các câu hỏi nhanh với dụng ý sư phạm hướng
vào các HĐNT được tổ chức nhằm phát triển một số NL thành tố của NL TGTH, HS phải
tiến hành suy ngẫm, hình dung và phán đoán để trực giác phát hiện vấn đề, đưa ra nhận xét
về quá trình và sau đó là thể hiện kết quả sau quá trình hình dung vấn đề.
4.4.1.4. Kết quả bài thực nghiệm vòng 1
 Đánh giá kết quả qua bài làm của HS
 Đánh giá qua quan sát trong lớp học: Qua quan sát, HS có dành thời gian suy
ngẫm cho vấn đề và biết hình dung kết quả trước khi ghi thực hiện lời giải rõ ràng hay đáp án
vào phiếu trả lời. Một số em có khả năng sử dụng hình ảnh minh họa, một vài hình vẽ sơ sài
ngoài giấy nháp. Hầu như trong thời gian được yêu cầu, các em đều đưa ra được vài kết quả
cho các câu hỏi thông qua việc phát biểu những nhận xét ban đầu về bài toán và kết quả.
 Đánh giá qua phỏng vấn HS: Để làm sáng tỏ một số thông tin khó xác định được
việc kết nối giữa trực quan và trừu tượng, khả năng đưa ra phán đoán trong bài làm của HS,


21
chúng tôi nghiên cứu tiến hành phỏng vấn, trao đổi cùng với các HS Trâm, Ân, Thạnh.
 Phân tích hậu nghiệm bài thực nghiệm vòng 1: Một số HĐ của HS được biểu hiện
trong bài thực nghiệm vòng 1 gồm:
- HĐ hình dung được hình ảnh trực quan của vấn đề toán học, HĐ liên tưởng và chuyển
hóa các liên tưởng, HĐ sử dụng trực quan kết nối vấn đề toán học để phát hiện và GQVĐ, HĐ
hình dung trực quan, mô hình, nhìn thấy được các hình và tính chất của chúng (NL liên tưởng
và hình dung được vấn đề). HĐ đưa ra các phán đoán cho tình huống quen thuộc nhờ sử dụng
các HĐ trí tuệ (NL phán đoán và đưa ra quyết định). HĐ phát hiện các yếu tố chung, tổng quát

của đối tượng từ việc xem xét trường hợp riêng (NL KQH nhanh chóng).
Do đó chúng tôi tiếp tục tiến hành tổ chức thực nghiệm vòng 2, với các HĐ khác của
các NL thành tố của NL TGTH ở HS.
4.4.2. Thực nghiệm vòng 2
4.4.2.1. Về tiết dạy thực nghiệm trong giáo án dạy học
+ Hình học 11: Bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” (2 tiết)
+ Hình học 11: Bài “Khoảng cách” (3 tiết)
+ Đại số và Giải tích 11: Bài “Khái niệm đạo hàm” (3 tiết)
4.4.2.2. Về các hoạt động tương thích với NL thành tố của NL TGTH được thực
nghiệm qua các tiết dạy: Trong giáo án dạy học thực nghiệm vòng 2, chúng tôi tiếp tục tập
trung một số HĐ kiểm nghiệm việc tổ chức các HĐNT phát triển các NL thành tố của NL
TGTH cho HS như: NL KQH nhanh chóng, NL rút gọn quá trình lập luận, NL liên tưởng và
hình dung được vấn đề, và NL phán đoán và đưa ra quyết định theo quy trình.
4.4.2.3. Nội dung bài thực nghiệm vòng 2: gồm 4 bài tập.
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' . Tính khoảng cách giữa A ' B ', AC ' .
Câu 2. Hãy biểu diễn khái niệm “trọng tâm của tứ diện ABCD ” bằng nhiều biểu thức
khác nhau (biểu diễn càng nhiều càng tốt).
Câu 3. Sử dụng hình ảnh trực quan để biểu diễn cho cấp số nhân sau:

1 1 1
1
, , ,..., n ,...
2 4 8
2

Nhận xét về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó.
Câu 4. Hãy biểu diễn ý nghĩa hình học của định lí: “Cho hàm số
trên a;b  và có đạo hàm trên

y  f (x ) liên tục

(a;b) . Khi đó tồn tại c  (a;b) sao cho f '(c)  f (b)  f (a ) ”.
b a

 Phân tích dụng ý sử dụng các hoạt động
- Trong Câu 1, chúng tôi hướng tới nhận xét khả năng lược bỏ bớt những bước lập luận
trung gian trong quá trình giải quyết vấn đề quen thuộc (NL rút gọn quá trình lập luận) hoặc sử
dụng liên tưởng để đưa ra một vài phán đoán và lựa chọn quyết định về cách thức giải quyết vấn
đề đã biết (NL phán đoán và đưa ra quyết định) của HS qua việc tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau trong không gian khi HS đã biết được một số phương pháp giải.
- Trong Câu 2, chúng tôi hướng tới xem xét biểu hiện của HĐ biến đổi hình thức của tri
thức toán học sang hình thức khác (NL rút gọn quá trình lập luận) của HS để nhận ra được nội
dung một cách nhanh chóng và khắc sâu ý nghĩa kiến thức cho HS.


22
- Trong Câu 3, chúng tôi hướng tới xem xét biểu hiện của HĐ phát hiện quy luật, bản
chất của vấn đề và giải thích được ý nghĩa của vấn đề (NL KQH nhanh chóng) của HS, nhận
biết được dãy số đã cho có thể biểu diễn được dưới dạng khác từ đó giúp HS hiểu sâu sắc hơn
kiến thức và khả năng sử dụng hình ảnh trực quan để phát hiện vấn đề toán học của HS (NL
liên tưởng và hình dung được vấn đề).
- Trong Câu 4, chúng tôi hướng tới nhận biết mức độ HĐ hiểu biết và giải thích được
ý nghĩa của vấn đề (NL KQH nhanh chóng), hiểu được ý nghĩa hình học của định lí đã cho
và biểu diễn được dưới dạng khác từ đó giúp HS nắm bắt và hiểu sâu sắc kiến thức.
 Phân tích tiên nghiệm bài thực nghiệm vòng 2: Chúng tôi thiết kế nội dung thực
nghiệm với bài tập yêu cầu HS giải toán nhanh, rút gọn các bước lập luận dài dòng để suy ra kết
quả hoặc đường lối giải quyết bài toán, HS cần biết sử dụng những hình ảnh để liên hệ phát hiện
và biểu diễn cho vấn đề, biểu hiễn một nội dung toán dưới dạng nhiều hình thức khác nhau; hiểu
ý nghĩa của kiến thức toán dưới dạng ngôn ngữ hình ảnh, hình học.
4.4.2.4. Kết quả bài thực nghiệm vòng 2

 Đánh giá kết quả qua bài làm của HS
 Đánh giá qua quan sát trong lớp học: Quan sát các HĐ trên lớp và quan sát vở
ghi chép của HS, chúng tôi nhận thấy, HS có khả năng suy nghĩ và sử dụng hình ảnh minh
họa để đưa ra được kết quả cho các câu hỏi. Các em biết vận dụng phương pháp đã biết vào
trong tình huống cụ thể, biểu diễn được nội dung toán học dưới dạng nhiều hình thức khác
nhau. Một số HS trung bình, yếu cũng có khả năng phán đoán ban đầu với ý tưởng mới cho
vấn đề khi tham gia phát biểu.
 Phân tích hậu nghiệm bài thực nghiệm vòng 2: Một số HĐ của HS được biểu
hiện trong bài thực nghiệm này gồm:
- HĐ hình dung được hình ảnh, mô hình của vấn đề toán học, HĐ sử dụng hình ảnh
trực quan để phát hiện vấn đề toán học, HĐ tìm ra, phối hợp những liên tưởng về mối liên hệ
giữa các sự kiện để GQVĐ (NL liên tưởng và hình dung được vấn đề). HĐ phát hiện ý nghĩa
của kiến thức, HĐ nhanh chóng nhận thức được nội dung của tri thức toán học qua các hình
thức biểu diễn khác nhau (NL KQH nhanh chóng). HĐ thu gọn, bỏ bớt những bước lập luận
trung gian trong quá trình GQVĐ quen thuộc đã biết cách giải trước đó (NL rút gọn quá trình lập
luận). HĐ đưa ra phán đoán về cách giải quyết bài toán nhờ sử dụng các thao tác trí tuệ, sử dụng
các tình huống trực quan cho HS đưa ra phán đoán về vấn đề, cách thức GQVĐ (NL phán
đoán và đưa ra quyết định).
Tổng hợp mức độ trả lời qua các HĐ của từng NL thành tố của NL TGTH với 3 mức độ (chưa
tốt, trung bình, tốt) của nhóm HS trong hai vòng thực nghiệm được thể hiện qua bảng sau:
NL thành tố
Mức độ trả lời của HS
của NL
Các HĐ của NL thành tố
HS Trâm
HS Ân
HS Thạnh
TGTH
HĐ liên tưởng và chuyển hóa các liên
Chưa tốt

Trung bình
Tốt
NL liên tưởng tưởng
và hình dung HĐ hình dung được hình ảnh, mô
Tốt
Tốt
Tốt
được vấn đề hình của vấn đề toán học
HĐ hình dung trong đầu các hình và Trung bình
Tốt
Tốt


23
tính chất của chúng
HĐ phát hiện yếu tố chung, tổng quát
từ việc xem xét trường hợp riêng
HĐ phát hiện ý nghĩa của kiến thức
NL KQH
toán học
nhanh chóng
HĐ nhanh chóng nhận thức được nội
dung của tri thức qua các hình thức
biểu diễn khác nhau
HĐ sử dụng các thao tác trí tuệ để đưa
NL phán đoán ra phán đoán giả thuyết
và đưa ra
HĐ sử dụng các tình huống trực quan
cho HS đưa ra phán đoán về vấn đề,
quyết định

cách thức GQVĐ
HĐ thu gọn những bước lập luận trung
gian trong quá trình GQVĐ quen thuộc
NL rút gọn
HĐ nhìn thấy được những biến đổi,
quá trình lập quan hệ của giữa các đối tượng toán
HĐ rút gọn các bước phân tích lập
luận
luận để hình dung được sơ đồ suy luận
tổng quát, kết quả của bài toán.

Trung bình

Trung bình

Tốt

Trung bình

Trung bình

Trung bình

Trung bình

Trung bình

Tốt

Tốt

Tốt

Tốt

Tốt

Tốt

Tốt

Tốt

Tốt

Tốt

Trung bình

Trung bình

Trung bình

Trung bình

Trung bình

Tốt

4.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm

4.5.1. Đánh giá định lượng: Mức độ biểu hiện một số NL thành tố của NL TGTH
của HS qua kết quả bài làm trong hai lần thực nghiệm, chúng tôi thu được qua biểu đồ sau:

Mức độ biểu hiện các HĐ của NL TGTH của
HS qua thực nghiệm vòng 1 và vòng 2
60

40
20
0
Mức 1

Mức 2
Vòng 1

Mức 3

Mức 4

Vòng 2

4.5.2. Đánh giá định tính
4.5.2.1. Qua quan sát các hoạt động và biểu hiện, thái độ của HS: chúng tôi nhận thấy
HS được tạo cơ hội tham gia vào các HĐ như phát biểu ý kiến cá nhân, các em được mô tả và
giải thích sự hiểu biết vấn đề của mình trên lớp, thảo luận để phát hiện vấn đề cũng như “lóe
sáng” ý tưởng nào đó phát hiện đường lối GQVĐ, làm việc nhóm và trình bày sản phẩm.
4.5.2.2. Qua phỏng vấn HS, nghiên cứu trường hợp: đa số HS đều nhận định các em
có nhiều thời gian để suy nghĩ, trao đổi, thảo luận làm sáng tỏ vấn đề, tích cực hơn với nhiều
HĐ như phán đoán, KQH, tìm kiếm, khám phá và mô tả đường lối cho cách thức giải quyết
vấn đề, đặc biệt đối với các bài toán dạng không mẫu mực, tình huống chưa quen thuộc. Đôi

khi có những ý tưởng mới, sáng tạo không rập khuôn khi giải quyết vấn đề.
Mặc dù, việc đánh giá một NL nào đó là cả một quá trình lâu dài mới có thể kiểm chứng
được, nhưng qua quá trình thực nghiệm trên chúng tôi nhận thấy được các em có sự tiến bộ về
cách tiếp cận tri thức mới, cách hiểu ý nghĩa của vấn đề toán học trong học tập, nắm bắt được


24
kiến thức và biết cách tìm kiếm chiến lược giải quyết vấn đề trước khi tiến hành thực hiện các
thao tác phân tích cụ thể.
KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu, luận án đã đạt những kết quả chủ yếu sau:
1. Luận án đã làm rõ quan niệm về TG và TGTH, đưa ra khái niệm NL TGTH của HS,
xác định được bốn đặc trưng của NL TGTH của HS và phát hiện bốn NL thành tố của NL TGTH
trong quá trình học tập môn Toán ở trường THPT.
2. Luận án đã nghiên cứu thực trạng, phân tích những thuận lợi và hạn chế trong quá
trình dạy học theo hướng chú trọng phát triển NL TGTH ở trường THPT.
3. Luận án đã đề xuất quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho
HS qua dạy học Toán và xác định cách thức tổ chức HĐNT nhằm phát triển từng NL thành
tố của NL TGTH theo quy trình đề xuất thông qua các HĐ tương thích trong dạy học một số
nội dung Toán THPT.
4. Bước đầu kiểm nghiệm tính hợp lí, tính khả thi của quy trình tổ chức HĐNT theo
hướng phát triển NL TGTH đã đề xuất và sự tiến triển của HS trong việc sử dụng các HĐ
tương thích với từng NL thành tố qua hai vòng thực nghiệm sư phạm đối với HS lớp 11 tại
hai trường THPT trên địa bàn tỉnh Đồng Tháp.
5. Một số kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trên các Tạp chí chuyên
ngành uy tín và bài đăng trên Kỷ yếu Hội thảo quốc tế tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Những kết quả của luận án trên cho phép rút ra các kết luận sau:
Trong dạy học Toán, việc chú trọng phát triển NL TGTH cho HS giúp cho HS biết suy
nghĩ nhanh chóng về vấn đề toán học, có khả năng liên tưởng, hình dung được chiến lược
GQVĐ, có khả năng đưa ra những phán đoán về cách thức giải quyết, giúp HS tích cực và

sáng tạo hơn khi tiếp cận và chiếm lĩnh tri thức toán học, từ đó HS hiểu được tri thức một
cách bền vững và sâu sắc; hơn nữa có NL TGTH giúp HS phát triển trí tưởng tượng, NL tư
duy toán học và NL giải quyết vấn đề toán học. Vì vậy, TGTH có vai trò tích cực trong việc
phát triển tư duy tiền logic và trong HĐ khám phá, sáng tạo tri thức mới, góp phần nâng cao
chất lượng dạy học Toán THPT theo định hướng phát triển NL người học.
Việc tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH góp phần giúp HS thấy được hình
thái của phán đoán, suy luận TG và sáng tạo của Toán học, bên cạnh hình thái của suy diễn với
những quy tắc suy luận nghiêm ngặt, chặt chẽ. Tuy nhiên, trong dạy học Toán ở trường THPT,
chúng tôi khuyến nghị GV cần tổ chức những HĐNT cho HS nhằm phát huy vai trò bổ sung giữa
TG và suy diễn giúp HS biết sử dụng hợp lý giữa khả năng trình bày, lập luận và khả năng phán
đoán, hình dung, tưởng tượng vấn đề khi GQVĐ trong những bối cảnh mới.
Những kết quả rút ra từ nghiên cứu lí luận và thực tiễn bước đầu chứng tỏ giả thuyết khoa
học đề ra là chấp nhận được, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của luận án đã hoàn thành./