BẤT ĐẲNG THỨC Olympic 30-4 Toán 10

Nguyễn Minh Đức-10A

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh

Tuyển tập BĐT - Cực Trị trong các Đề Thi chính thức và đề nghị
OLYMPIC Toán Học 10
Bài 1: ( THPT Quốc Học Huế).Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện ax  by  3 . Tìm giá trị nhỏ
F  a 2  b 2  x 2  y 2  bx  ay.
Giải:
2
2
� b� � a� 3
Ta có: F  �x  � �y  � (a 2  b 2 ) .
� 2� � 2� 4
�b a �
, () : ax  by  3. Ta có:
Đặt: M  ( x; y ), A  � ; �
�2 2 �
nhất của biểu thức:

2

2

� b� � a�
MA2  �x  � �y  �.
� 2� � 2�
3
a  b2
Dấu ‘=’ xảy ra khi M là hình chiếu của A trên () .
2

Mà M �( ) nên MA � d ( A; )  
2

2

3
3
3
3
Suy ra F � 2
 ( a 2  b 2 ) �2 2
. (a 2  b2 )  3
2
2
a b
4
a b 4
�
6 2�
Vây MinF  3 đạt được chẳng hạn khi (a; b; x; y )  �
� 2;0; 2 ; 2 �
�.
�
�
x
,
y
,
z
Bài 2: (THPT Chu Văn An-Ninh Thuận).Cho

dương.Chứng minh rằng:
x
25 y
4z


 2.
y z z x x y
Giải:
b

c

a
�
�x 
2
a  yz
�
�
a

cb
�
�
b  z  x  �y 
Đặt: �
.
2
�

�
c  x y
�
� abc
�z 
2
�
�a, b, c  0
�
bc  a
�
x
,
y
,
z
Do
dương  �
(1)
�a  c  b
�
�a  b  c
Khi đó ta có:
x
25 y
4z
b  c  a 25(a  c  b) 4(a  b  c )






y z z x x y
2a
2b
2c
5
�b 25a � �c 2a � �25c 2b �
� 
(AM-GM)
� �  � �  � 15 �2.  2.1  2.5  15
c �
2
�2a 2b � �2a c � �2b
�b 25a
�2a  2b
b  5a
�
�
a b c a  2c
�c 2a
�
 �
c  2a    
Đẳng thức xảy ra khi � 
1 5 2
5
�2a c
�
5c  2b

�
�25c 2b
�b  c
�
 b  a  2c  a  c mâu thuẫn với (1).
1


Nguyễn Minh Đức-10A
K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
 Dấu ‘=’ không xảy ra.
x
25 y
4z


 2. (Dpcm)
Vậy
yz zx x y
Bài 3: (THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang).Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn :
4 �a �b �c  0
�
�
3abc �min{6 a  8 b  12 c;72} .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a 2  b 2  c 2  a  b  c.
�
�
2 ab �min{3a  4 b; 24}
�
Giải:
4

�4 3 2 �
�4 3 �
4  3  2  c �   � (b  c ) �  � (a  b)
a
�a b c �
�a b �
Ta có:

�c.3 3

24
12
 (b  c).2
 (a  b) �3c  2(b  c)  (a  b)  a  b  c
abc
ab

� a  b  c �9
(1)
a

4;
b

3; c  2 .
Dấu ‘=’ xảy ra khi
�42 32 22 �
�42 32 � 2
42
42  32  2 2  c 2 � 2  2  2 � (b 2  c 2 ) � 2  2 �

 (a  b 2 ) 2
c �
a
�a b
�a b �
42 32 2 2 4 3 3 2 4 2 12c  6a  8b
Ta lại có: 2  2  2 � .  .  . 
�3
a b
c
a b b c a c
abc
2

2

42 32 1 �4 3 � 1 �4b  3a �
 � �  � �
��2
a 2 b 2 2 �a b � 2 � ab �
Suy ra: 42  32  22 �3c 2  2(b2  c 2 )  ( a 2  b2 )  a 2  b2  c 2
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: P �38 .Dấu ‘=’ xảy ra  a  4, b  3, c  2
Vậy MaxP  38 .Đạt khi a  4, b  3, c  2 .
�x  1; y  2; z  3
�
Bài 4: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Khánh Hòa) .Cho �1 2 3
.Chứng minh rằng:
�x  y  z  2
�

x  y  z � x  1  y  2  z  3.
Giải:
x 1
y2
z 3
 y.
 z.
Ta có: x  1  y  2  z  3  x .
x
y
z
Theo BĐT BCS suy ra:
x 1 y  2 z  3
x 1  y  2  z  3 � x  y  z .


x
y
z
�1 2 3 �
� x 1  y  2  z  3 � x  y  z. 3  �   �
�x y z �
� x 1  y  2  z  3 � x  y  z
(Dpcm)
�a 2  b 2  1
Bài 5: (THPT Chuyên Tiền Giang-Tiền Giang). Cho các số thực a,b,c,d thỏa: �
.
cd 3
�
96 2

Chứng minh rằng:
ac  bd  cd �
.
4
Giải:
Goi M (a; b), N (c, d ) .
2


Nguyễn Minh Đức-10A
K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
2
2
2
2
Vì a  b  1 nên điểm M nằm trên đường tròn (C ) : x  y  1.
Vì c  d  3 nên N nằm trên đường thẳng  : x  y  3  0
Ta có: MN 2  (c  a ) 2  (d  b) 2  a 2  b 2  c 2  d 2  2ac  2bd
 a 2  b 2  (c  d )2  2cd  2ac  2bd  10  2(ac  bd  cd )
MN 2
Suy ra: ac  bd  cd  5 
.
2
Kẻ OH  , OH �(C )  K .
Ta thấy MN �HK � ac  bd  cd �5 

HK 2
2

� 2 2 � �3 3 �

, H � ; �nên HK 2  11  6 2
Do K �
�2 ; 2 �
�
2
�
� �2 2 �
11  6 2 9  6 2
Suy ra ac  bd  cd �5 
(Dpcm)

.
4
4
Bài 6: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP>Hồ Chí Minh).Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa
mãn: a 2  b 2  c 2  1  2(ab  bc  ca ) .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  9(a 2  b 2  c 2 )  2ab  2bc  14ca.
Giải:
x

b

c

a
�
yz
zx
x y
�

;b 
;c 
.
Đặt: �y  c  a  b  x, y , z  0; a 
2
2
2
�z  a  b  c
�
Ta có:
a 2  b2  c2  1  2(ab  bc  ca)
2

2

2

�y  z � �z  x � �x  y �
�y  z z  x z  x x  y x  y y  z �
��
.

.

.
� �
� �
� 1  2 �
�
2

2
2
2
2 �
�2 � �2 � �2 �
�2
� xy  yz  zx  1.
2
2
2
�
zx yz
x y yz
�y  z � �z  x � �x  y �� y  z z  x
P  9�
.
2
.
 14
.
 4( x 2  z 2 )  y 2
�
� �
� �
�� 2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
�
� �
� �
��
�
Với mọi   0 ta có:
y2

y2

 2 2

2
2
x 
�2
xy;  z  2
zy và
( x  z ) �2
xz
2
2
2
2
2
2

�
�2 2


 �


( x  z )  y 2 �2
 xy  yz  zx   2
(1)
�
�
�
2�
2
2
�
 0
�
 0
�
�

33  1
17  33
2
�
� ��  � 
�


� 
Ta đi tìm  thỏa mãn: �

2
4
4
2�

4
�
�
� �
� 2  4  0
2
�
�� 2 �
�x, y, z  0
1
�xy  yz  zx  1 �x  z 
�
�
2 2  1
� 2
�
33  1
2 x  y 2
��
Suy ra (1) trở thành: P �
.Dấu ‘=’ xảy ra khi �
2

2
�
�y 
2 z 2  y 2
�
�
2 2  1
�
�
�x  z

Vậy MinP 

33  1
.
2
3


Nguyễn Minh Đức-10A
K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
2
2
Bài 7: (THPT Chuyên Bến Tre-Bến Tre).Cho x  y  xy  1 . Tìm Min và Max của biểu thức:
M  x4  y 4  x2 y 2.
Giải:
2
2
�
1  x  y  xy �2 xy  xy  xy

1
�
2
y2 
xy 1 �
xy 1
Ta có: x ��
2
3
1  ( x  y )  3 xy �3 xy
�
Mặt khác,từ x 2  y 2  xy  1 � x 2  y 2  1  xy nên:
M  ( x 2  y 2 )  3x 2 y 2  2 x 2 y 2  2 xy  1
Đặt t  xy  M  2t 2  2t  1 .
1 �
�
Vậy cần tìm Min và Max của tam thức bậc hai: f (t )  2t 2  2t  1 trên đoạn � ;1�.
�3 �
�
�
3
�
�x 
� 3
�
�
�
�y   3
2
2

�x  y  xy  1 �
�
3
�
1 1
�
�
�
Min

f
(
)

.
Ta có:
Đạt được khi �
.
1
M
�
3
9
�
�
3
�xy 
�
3
�

�
�x  
�
�
�
3
�
�
�
�
�y  3
�
�
� 3
�
�
�
�
�
3 5
�x 2  y 2  xy  1 �x 
1
3
�
�
2
��
Ta có: MaxM  f ( )  .Đạt được khi: �
1
2

2
�xy 
�
3 5
3
�
�y 
�
2
Bài 8:(THPT Lê Quý Đôn-Quảng Trị).Cho hai số dương a và b.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: A  x a  y  y a  x .Với x, y là các số thực không âm và x  y  b .
Giải:
Áp dụng BĐT BCS ta có:
2
2
�x  y � b
2
2
2
A  ( x . ax  xy  y . ay  xy ) �( x  y)( ax  ay  2 xy )  b( ab  2 xy) �ab  2b �

(2a  b)
�
�2 � 2
b
b 4a  2b
 A
. Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  .
2
2

b 4a  2b
.
2
A  x a  y  y a  x  ( x  y ) a  b a  x ( a  y  a )  y ( a  x  a )  b a �b a (Do x, y là các
số thực không âm).
�
�x  0
�
�
�y  b
�
Dấu ‘=’ xảy ra khi �
�x  b
�
�
�
�y  0
�
Vậy MinA  b a .
Vậy Max A 

Bài 9:(THPT Chuyên Lý Tự Trọng-Cần Thơ).Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : a 2  b 2  c 2 �0.
abc
.
Tìm Max của biểu thức: P 
2a  b  c  a  3b  c  a  b  4c
4


Nguyễn Minh Đức-10A

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh

Giải:
Không mất tính tổng quát,chuẩn hóa a  b  c  1 .Khi đó ta có:
1
P
.
a  1  2b  1  3c  1
Đặt: m  a  1  2b  1  3c  1, c  a  1, y  2b  1, z  3c  1.
Suy ra: m 2  4  2( xy  yz  zx)  b  2c �4  2( xy  yz  zx)  2( xy  yz  zx) �m 2  4
(1)
Ta có: 2  ( x  1)( y  1)  (y 1)(z  1)  (z  1)(x  1)  �0
� 2( xy  yz  zx)  4m  6 �0
� 2( xy  yz  zx) �4m  6
(2)
1
Từ (1) và (2) suy ra: m 2 4�
.Dấu ‘=’ xảy ra khi a  1; b  c  0.
m2 0 m 2
2  P
2 2
1
.
Vậy MaxP 
2 2
Bài 10: (THPT Chuyên Thăng Long- Đà Lạt_Lâm Đồng).Xét các số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện
2
2
3

xyz  x  z  y .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2
 2
 2 .
x 1 y 1 z 1
Giải:
x z
Ta có: xyz  x  z  y � xz    1 .
y y
A 1
B
C
Vì x, y , z  0 nên tồn tại các góc A, B, C �(0;  ) sao cho A  B  C   và x  tan ,  tan , z  tan .
2 y
2
2
Từ đó ta có:
B
2 tan 2
2
3
2 
P

A
B
C
tan 2  1 tan 2  1 tan 2  1
2
2
2

A
B
C
 2 cos 2  2sin 2  3cos 2
2
2
2
C
 cos A  cos B  3sin 2  3
2
2

A B � 1
� C 1
2 A B
 3 �
sin  cos
3
� cos
2 � 3
2
� 2 3
1
A B
10
�
P
cos 2
3
.

3
2
3
�� �
�A  B
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi � C 1
�
sin 
� 2 3
10
Vậy MaxP  .
3
Bài 11: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Dương).Chứng minh rằng nếu a, b, c �N * thỏa mãn phương
trình: a n  b n  c n với n �N * thì min(a, b) �n .
Giải:
Có thể giả sử a �b nên min  a, b   a .Suy ra c  b .
Vậy c �b  1  c n �(b  1) n  b n  nb n 1  ...  1  c n �b n  nb n 1
 a n.
Bài toán được chứng minh.
5


Nguyễn Minh Đức-10A
K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
2
Bài 12: (THPT Bạc Liêu-Bạc Liêu).Cho hai số dương a, b thỏa a  b 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của
P  b(a  b).
Giải:
a  sin 
�

��
0; �sao cho �
Do a  0, b  0, a 2  b 2  1 nên tồn tại  ��
.Suy ra:
b  cos 
� 2�
�
1
1 1
�
�
(sin 2  cos 2  1)  
2 sin �
2  �.
2
2 2
4�
�
�
 5
��
�
0; �nên 0  2  � suy ra 0  sin �
2  ��1.
Vì  ��
4�
4
4
� 2�
�

 

1
2
Do đó: P � 
.Dấu ‘=’ xảy ra khi 2   �   .
4 2
8
2 2
P  cos  (sin   cos  )  sin  .cos   cos 2  

1
2

.
2 2
Bài 13: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định).Cho hai số thực dương a, b có a �3 và 2a  3b �12.
Tìm Min của biểu thức:
A  a a  b b.
Giải:
Vậy MaxP 

2

3
Do a �
A

2

2

�a�
�a � �b�
1
2
a

3
b
�
12
�
;
�
�
�
�3�
�3�
� �
�2�
��2
� �
� � � �

 a  b
3

3

3

3

�a�
�b�
 3 3�

2
2
�
�
�3�
�2�
�
� �
� �
3
3
3
�
� a � � b ��
�a�
�
2 2�
�
�3�
� �
�2�
�� (3 3  2 2) �

�3�
�
�
� � � ��
� �
�
3

2
2 �
� �
� a � � b ���
�1�
�
�2 2.2 � �
�3�
� �
�2�
��� (3 3  2 2).1
2
�
� � � ���
� �
�

�4 2

 1

3

 (3 3  2 2)  3 3  2 2.

Vậy MinA  3 3  2 2 đạt được khi a  3;

a3
�
a
b

; 2a  3b  12 � �
b2
3
2
�

Bài 14: (THPT TX Sa Đéc-Đồng Tháp).Cho a  0; b  0; c  0 .Chứng minh

a
9b
16c


 6.
bc ca ab

Giải:
Có thể giải tương tự như Bài 2.Các bạn cũng có thể giải theo cách sau:
a b c 3
10

Bài 15:Cho a, b, c  0, a  b  c  1 .Chứng minh:    abc � 2
c a b
9(a  b 2  c 2 )
Giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
a a c
a2
3a
3
(1)`
  �3
 3
c c b
bc
abc
Tương tự:
c c b
3c
  �3
(2)
b b a
abc

6


Nguyễn Minh Đức-10A
b b a
3b
  �3

a a c
abc

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
(3)

a b c
1
Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta có:   �3
c a b
abc
a b c 3
1
8
1
8
2 10
 3 abc  3
 3
 3 abc �
 
Suy ra:    abc �3
(*)
c a b
3(a  b  c ) 3 3
abc
9 abc 9 abc
10
10
10

� 2
Mặt khác: 
(**)
2
3 3(a  b  c )
9( a  b 2  c 2 )
Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh.
1
Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c  .
3
Bài 16: (THPT Quốc Học Huế-Thừa Thiên Huế).Xét a, b, c  0 tùy ý.Tìm giá trị lớn nhất của:
abc
(1  a)(1  a  b)(1  a  b  c)
Giải:
a
b
c
1
;v 
;w 
;s 
Đặt: u 
.
1 a
(1  a)(1  a  b)
(1  a  b)(1  a  b  c)
1 a  b  c
Khi đó ta có: u  v  w  s  1 và T 2  uvws .
T

4

�u  v  w  s � 1
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có : T 2 �
�
�
4
�
� 256
Dấu ‘=’ xảy ra khi :

1
.
16

T

� 1
a
�
3
�
a
b
c
1
1
� 2




 ��
b .
1  a (1  a)(1  a  b) (1  a  b)(1  a  b  c) 1  a  b  c 4
� 3
c2
�
�
�
1
Vậy MaxT  .
16
Bài 17 : (THPT Chuyên Bến Tre-Bến Tre).Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
nhỏ nhất của biểu thức :

T  a  b  c.
Giải :

3 2 1
   1 nên :
a b c
T  abc
3 2 1
 (a  b  c)(   )
a b c
3b 2a 3c a b 2c
 
    6
a
b

a c c b

3 2 1
   1. Tìm giá trị
a b c

Vì

�2 6  2 3  2 2  6  3  2( 2  1)  ( 2  1) 2 





3  2 1

2

Dấu ‘=’ xảy ra khi :

7


Nguyễn Minh Đức-10A
�3b 2a
�a  b
�
�
�
�

ac 3
a  3 3  6
�3c  a
�
�
�a c
�
�
��
bc 2
��
b  2 2  6
�
�b  2c
�3
�
2
1
c  1 2  3
�c b
� 
 1 �
�3 2 1
�c 3 c 2 c
�   1
�a b c
Vậy MaxT 





3  2 1

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh

2

Bài 18 : (THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng).Cho a, b, c  0 : abc  1 .Tìm GTLN của :
1
1
1
P 3 3 3
 3
 3 3
.
3
3
2a  b  c  2 a  2b  c  2 a  b  2c3  2
Giải :
1
1 �1 1 �
� �  �,ta có :
Áp dụng BĐT quen thuộc sau :
a  b 4 �a b �
1
1
1� 1
1
�

 3 3
� �3 3
 3 3 �
3
3
3
3
3
2a  b  c  2 a  b  1  a  c  1 4 �a  b  1 a  c  1 �
1
1� 1
1
�
� �3 3
 3 3 �
(1)
3
3
3
2a  b  c  2 4 �a  b  1 a  c  1 �
Tương tự:
1
1� 1
1
�
� �3 3
 3 3 �
(2)
3
3

3
a  2b  c  2 4 �a  b  1 b  c  1 �
1
1� 1
1
�
� �3 3
 3 3 �
(3)
3
3
3
a  b  2c  2 4 �a  b  1 a  c  1 �
Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta suy ra:
1� 1
1
1
�
P� �3 3
 3 3
 3 3 �
(*)
2 �a  b  1 b  c  1 a  c  1 �
Mặt khác:
Ta có:
a 3  b3 �ab(a  b) � a3  b3  1 �ab( a  b)  abc � a 3  b3  1 �ab(a  b  c)
1
1
3
3

a  b  1 ab(a  b  c )
1
c
3
3
a  b 1 a  b  c
Tương tự:
1
a
1
b
�
; 3
�
3
3
3
b  c 1 a  b  c c  a 1 a  b  c
1
1
1
 3 3
 3 3
�1.
Suy ra: 3 3
(**)
a  b 1 b  c 1 a  c 1
1
Từ (*) và (**) ta suy ra: P � . Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c  1.
2

1
Vậy MaxP  .
2
8


Nguyễn Minh Đức-10A

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
1
2007
c 1

�
Bài 19:(THPT Chuyên Lý Tự Trọng-Cần Thơ).Cho 3số thực dương a, b, c thỏa:
.
a  2 2008  b 2007  c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  (a  1)(b  1)(c  1).
Giải:
Đăt: x  a  1; y  b  1; z  c 1 .Khi đó:
1
2007
c 1
1
2007
z
1
2007
2006


�
�

�
�


�1 (1)
a  2 2008  b 2007  c
x  1 2007  y 2006  z
x  1 2007  y 2006  z
Từ (1) và áp đụng BĐT AM-GM ta có:
x
1
2007
2006
2007
2006
 1
�

�2
.
x 1
x  1 2007  y 2006  z
2007  y 2006  z
x
2007
2006
2

.
x 1
2007  y 2006  z
Tương tự:
y
1
2006
�2
.
2007  y
x  1 2006  z


(2)

(3)

z
2007
1
�2
.
2006  z
2007  y x  1
Nhân vế theo vế (1),(2) và (3) ta có:
xyz �8.2006.2007  32208336

(4)

a 1

�x  2
�
1
2007
2006
1
�
�


 � �y  4014 � �
b  4013
Dấu ‘=’ xảy ra khi:
x  1 2007  y 2006  z 3
�z  4012 �
c  4011
�
�
Vây MinP  32208336
Bài 20: (THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi).Chứng minh rằng: a, b thỏa mãn a  b  0, a �b ta có:
22007 (a 2008  b 2008 )  ( a  b) 2008 . (1)
Giải:
2008
2008
2008
a b
�a  b �
Ta có: (1) �
�
� .

2
�2 �
n

a n  b n �a  b �
Xét BĐT tổng quát sau:
��
� (*) n �2 .
2
�2 �
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.Thật vậy:
Với n  2 ,(*) luôn đúng.Dấu ‘=’ không xảy ra do a  b  0, a �b .
k

k
k
�a  b � a  b
Giả sử BĐT đúng với n  k tức là �
�
2
�2 �
Ta đi chứng minh BĐT đúng với n  k  1 .
k 1

k 1
k 1
�a  b � a  b
Tức là chứng minh: �
.Thật vậy:


�
2
�2 �
k 1

k

k
k
�a  b � �a  b � a  b a  b a  b
.

.
�
� �
�.
2
2
�2 � �2 � 2
Ta chỉ cần chứng minh:

9


Nguyễn Minh Đức-10A
a k  b k a  b a k 1  b k 1
.

2
2

2
k
k
� a  b (a  b)  2a k 1  2b k 1



K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh



� a k 1  a k b  b k 1  b k a  0
� (a  b)(a k  b k )  0
(2)
(2) đúng do a �b , a  b và a k  b k cùng dấu.
Bài toán được chứng minh.
Bài 20: (THPT Chuyên Trà Vinh-Trà Vinh).Cho 3 số thực dương thay đổi x, y , z thỏa mãn điều kiện:
�1
�1 1 1 �
1
1�
24 � 2  2  2 ��1  2 �   � (*)
y
z �
�x
�x y z �
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
1
1

P


30 x  4 y  2008 z 30 y  4 z  2008 x 30 z  4 x  2008 y
Giải:
2
1
1
1
�1 1 �
Ta có: � �۳
(1)
� 0
2
x
3x 36
�x 6 �
Dấu ‘=’ xảy ra khi x  6 .
Tương tự:
1
1
1
� 
(2)
2
y
3 y 36
Dấu ‘=’ xảy ra khi y  6 .
1
1

1
� 
(3)
2
z
6 z 36
Dấu ‘=’ xảy ra khi z  6 .
Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta được:
1
1 1 1 �1 1 1 � 1
 2  2 � �   �
2
x
y
z
3 �x y z � 12
�1
1
1 � �1 1 1 �
� 24 � 2  2  2 ��8 �   � 2 (4)
y
z � �x y z �
�x
Từ (*) và (4) ta suy ra:
�1 1 1 �
�1 1 1 � 1 1 1 1
8 �   � 2 �1  2 �   ��   � .
�x y z �
�x y z � x y z 2
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2042 số dương ta có:

(5)
30 x  4 y  2008 z �2042 2042 x 30 y 4 z 2008
30 4 2008
1
 
�20422042 30 4 2008
(6)
x y
z
x y z
Nhân vế theo vế (5) và (6) ta được:
�30 4 2008 �
2
 30 x  4 y  2008 z  �  
��2042
x
y
z
�
�
1
1 �30 4 2008 �
�  
� (7)
30 x  4 y  2008 z 20422 �x y
z �
Tương tự:
1
1 �30 4 2008 �
�

(8)
�  
�
30 y  4 z  2008 x 2042 2 �y z
x �

ۣ

10


Nguyễn Minh Đức-10A
K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
1
1 �30 4 2008 �
�
(9)
�  
�
30 z  4 x  2008 y 2042 2 �z x
y �
Cộng vế theo vế (7),(8) và (9) ta suy ra:
1 �1 1 1 � 1
P�
�   ��
2042 �x y z � 4084
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  6.
1
Vậy MaxP 
.

4084
Bài 21: (THPT Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk).Cho a, b, c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:
a3
b3
c3


�1.
3
3
a 3  (b  c)3
b3   c  a 
c3   a  b 
Giải:

Theo AM-GM với x �0 ta có:
x2
.
2

1  x 3  (1  x)(1  x  x 2 ) �1 
Áp dụng:
a3

a 3  (b  c )3
Tương tự:
b3
b3   c  a 

3

c3
c3   a  b 

3

1
a2
�

2
2
2
3
a2  b2  c2
�b  c � 1  1 �b  c � 1  b 2 c
1 �
�
�
�
a
2�a �
�a �
1

b2
�2
a  b2  c 2
c2
�2

a  b2  c 2

1

�

(1)

(2)
(3)

Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta suy ra:
a3
b3
c3


�1. (Dpcm)
3
3
a 3  (b  c)3
b3   c  a 
c3   a  b 
Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c.
Bài 22: (THPT Chuyên Thăng Long_Đà Lạt-Lâm Đồng).Cho số thực a �0. Chứng minh:
1 1
a 2  a 2  ...  a 2  
1  16a 2  9  16a 2 (n dấu căn).
2 8
Giải:





Đăt: x  a 2 , x  a 2  a 2 ,...., x  a 2  a 2  ...  a 2 (với x  a 2  a 2  ...  a 2 thì i là số dấu
1
2
n
i
căn)
(1)
Do a  0 nên ta có: xn  xn 1 . Từ (1) suy ra:
1  1  4a 2
(1)
2
( a1  a2 ) 2  (b1  b2 ) 2 � a12  b12  a22  b22 với a1 , a2 , b1 , b2 �R.,ta có:

xn2  a 2  xn 1 � xn2  a 2  xn � xn2  xn  a 2  0 � xn 
Áp dụng BĐT

2

1
9
1
�1 3 �
1  4a  �  � ( a  a) 2 �
 a2 
 a2 

16
16
4
�4 4 �
Từ (1) và (2) ta suy ra:
2





1  16a 2  9  16a 2 .

(2)

11


Nguyễn Minh Đức-10A
K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
1
1
1  16a 2  9  16a 2
4
xn 
2
Hay
1 1
a 2  a 2  ...  a 2  
1  16a 2  9  16a 2 (Dpcm)

2 8
Bài 23: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước).Cho các số x, y , z là các số thực dương thỏa mãn:
3
x 2  xy  y 2
y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2 3 3
x  y  z  . Chứng minh rằng:


�
.
2
4 yz  1
4 xz  1
4 xy  1
4
Giải:
1
3
3
*)Với a, b dương ta có: a 2  ab  b 2 
(a  b)2  (a  b)2 � (a  b). Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b .
4
4
3
2
*) Ta có BĐT quen thuộc: 4ab �(a  b) .
Áp dụng:







x 2  xy  y 2

4 yz  1



y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2

4 xz  1
4 xy  1

�

3 �x  y
yz
zx �


�
�
2 �4 yz  1 4 xz  1 4 xy  1 �

�

3 � x y
yz
zx �


�
�
2
2
2 �
( y  z)  1  z  x   1  x  y  2  1�
�
�

y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2
3 � x y
yz
zx �

� �


� (1)
2
2
4 xz  1
4 xy  1
2 �
( y  z)  1  z  x   1  x  y  2  1�

�
�
Đặt a  x  y, b  y  z , c  z  x ta có: a, b, c  0 và a  b  c  3 .
Khi đó (1) trở thành:
�

x 2  xy  y 2

4 yz  1

x 2  xy  y 2
y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2
3�a
b
c �


� �2
 2
 2 � (2)
4 yz  1
4 xz  1
4 xy  1
2 �
b 1 c 1 a 1�
Ta có:
�ab 2
a
b

c
bc 2
ca 2 �
1
(a  b  c) 2 3



a

b

c



�
3

(
ab

bc

ca
)
�
3

 (3)

�2
�
2
2
b2  1 c2  1 a2  1
2
6
2
�b  1 c  1 a  1 �
Từ (2) và (3) ta suy ra:
x 2  xy  y 2

4 yz  1

y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2 3 3

�
. (Dpcm)
4 xz  1
4 xy  1
4
x 30 y 30 z 30 t 30
Bài 24: (THPT Chuyên Bạc Liêu-Bạc Liêu).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4  4  4  4 .
y
z
t
x
x
,

y
,
z
,
t
x

y

z

t

2008.
Trong đó
là các số thực dương thỏa mãn:
Giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho 30 số dương ta có:

12


Nguyễn Minh Đức-10A
x 30
 4 y  25.502 �30 x
y 4 .50225

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh

y 30

 4 z  25.502 �30 y
z 4 .50225
z 30
 4t  25.502 �30 z
t 4 .50225
t 30
 4 x  25.502 �30t
x 4 .50225
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có:
x 30 y 30 z 30 t 30
 4  4  4 �2008.50225
4
y
z
t
x
x 30 y 30 z 30 t 30
� 4  4  4  4 �4.50226
y
z
t
x
Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  x  t  502.
Vậy giá trị Max cần tìm là 4.50226 .
Bài 25: (THPT Chuyên Huỳnh Thúc Kháng-Quảng Nam).Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác còn x, y , z
là 3 số thực thỏa mãn ax  by  cz  0. Chứng minh rằng: xy  yz  zx �0. (1)
Giải:
ax  by
Từ ax  by  cz  0 � z  
c

ax  by
(1) � xy 
( x  y ) �0 � cxy  (ax  by )( x  y ) �0 � ax 2  xy (a  b  c )  by 2 �0. (2)
c
y

0
*.Xét
thì (2)  ax 2 �0 suy ra (2) luôn đúng.
Dấu ‘=’ xảy ra khi: x  y  z  0.
2

�x �
x
*.Xét y �0 thì (2) � a � �  a  b  c   b �0
y
�y �

(3)

2

�x � �x �
x
Xét tam thức bậc hai: f � � a � �  a  b  c   b
y
�y � �y �

(a  0) .Có:

  (a  b  c) 2  4ab  a 2  b 2  c 2  (2ab  2bc  2ca ).
(4)
a
,
b
,
c
Do
là 3 cạnh của một tam giác:
�a  b  c �
a 2  2ab  b 2  c 2
�
�2
� �b  c  a � �
b  2bc  c 2  a 2 � a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca. (5)
�
�
c 2  2ca  a 2  b 2
�c  a  b �
�x �
Từ (4) và (5) suy ra:   0 � f � � 0 (do (a  0) )  (3) đúng
�y �
Vậy bài toán được chứng minh.
Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  z  0.
Bài 26: (THPT Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên).Cho x, y , z là các số thực không âm bất kì.Tìm giá trị
x2
y2
z2
P




.
lớn nhất của biểu thức:
4 x 3  3 yz  2 4 y 3  3 zx  2 4 z 3  3 xy  2
Giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
4 x3  2  2( x 3  x 3  1) �2.3 3 x 3.x 3 .1  6 x 2 .
Dấu ‘=’ xảy ra khi x  1 .
13


Nguyễn Minh Đức-10A
K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh
Tương tự:
4 y 3  2 �6 y 2 . Dấu ‘=’ xảy ra khi y  1 .
4 z 3  2 �6 z 2 . Dấu ‘=’ xảy ra khi z  1 .
Nếu cả ba số x, y , z đều bằng 0 thì P  0.
Nếu hai trong ba số x, y , z bằng 0 ,chẳng hạn y  z  0 thì
x2
1
P 3
� .
4x 1 6
Dấu ‘=’ xảy ra khi x  1; y  z  0
Nếu một trong ba số bằng 0,chẳng hạn z  0, thì
x2
y2
1
P 3

 3
� .
4x  2 4 y  2 3
Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  1; z  0 .
Nếu cả ba số đều dương ta có:
�
�
2
2
2
�
x
y
z
1
1
1
1 �
�
P� 2
 2
 2
 �


6 x  3 yz 6 y  3 zx 6 z  3 xy 3 �2  yz 2  zx 2  xy �
� x2
y2
z2 �
�

�
yz
zx
xy
Đặt: a  2 , b  2 , c  2 thì a, b, c  0 và abc  1 .Khi đó:
x
y
z
1� 1
1
1 � 1 �12  4( a  b  c)  ab  bc  ca �
P� �


(2)
�
3 �2  a 2  b 2  c � 3 �
9  4( a  b  c)  2( ab  bc  ca) �
�
�
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: ab  bc  ca �3 3 ab.bc.ca  3 (Do abc  1 )
Suy ra: 9  4(a  b  c)  2(ab  bc  ca) �12  4(a  b  c)  ab  bc  ca
(3)
1
Từ (2) và (3) suy ra: P � .Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c  1 � x  y  z  1.
3
1
Vậy MaxP  .Đạt khi trong 3 số x, y , z có hai số bằng 1 và số còn lại bằng 0,hoặc cả ba số đều bằng 1.
3
Bài 27: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh).Cho x, y , z là ba số thực không âm thỏa mãn điều

kiện: x  y  z  1. Tìm Min và Max của biểu thức: P  xy  yz  zx  2 xyz .
Giải:
x
,
y
,
z
�
0
1  z �0
�
�
Ta có: P  xy (1  z )  xz (1  y )  yz �0 .Do �
nên �
.
1  y �0
�x  y  z  1
�
Dấu ‘=’ xảy ra khi trong 3 số x, y , z có hai số bằng 0 và một số bằng 1.
Vậy MinP  0 .
Áp dụng BĐT quen thuộc sau:
( x  y  z )(y  z  x)(x  z  y) �xyz
� (1  2 x)(1  2 y )(1  2 z ) �xyz
� 1  2( x  y  z )  4( xy  yz  zx)  8 xyz �xyz
� 4( xy  yz  zx) �9 xyz  1
9 xyz 1
� xy  yz  zx �
 .
4
4

9 xyz 1
xyz 1
 P
2 xyz
(1)
4
4
4 4
Ta có:

14


Nguyễn Minh Đức-10A
x  y  z �3 3 xyz
ۣ

3

xyz

 xyz

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh

1
3
1
(2)
27

�x  y  z �0
1
7
� x yz .
Từ (1) và (2) suy ra: P � . Dấu ‘=’ xảy ra khi �
3
27
�x  y  z  1
7
Vậy MaxP 
27
Bài 28: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh).Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và
2
1
� 2n �
với mọi số thực x �(0;1) ta đều có: x 2 . n 1  x ��
. (1)
�. n
�2n  1 � 2n  1
Giải:
2n
� 2n � 1
Ta có: (1) � x 2 n (1  x) ��
�.
�2n  1 � 2n  1
x x
x
, ,..., ,1  x ta được:
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2n  1 số dương

2 n 2n
2n
x
2n
2n.  1  x
1
�x �
2n
2 n 1

� � (1  x) �
2n  1
2n  1
�2n �
2n

2n

1
(2n) 2 n
�x �
� 2n � 1
2n
� � � (1  x) �
�
x
(1

x
)

�
�
�.
2 n 1
2 n 1
(2n  1)
�2n �
�2n  1 � 2n  1
 2n  1
2n

� 2n � 1
� x (1  x) ��
�.
�2n  1 � 2n  1
2n

2

� 2n � 1
(Dpcm)
� x 2 . n 1  x ��
�.
�2n  1 � n 2n  1
Bài 29: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng).Tìm Min và Max của biểu thức A  6 xy  6 yz  zx khi ba số
thực x, y , z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  1.
Giải:
a
,
b

,
c là ba số thực dương.Chứng minh rằng:
Bài 30: (THPT Lưu Văn Việt-Vĩnh Long).Cho
a 3  abc b3  abc c3  abc
(1)


�a 3  b 3  c 3
bc
ca
a b
Giải:
Giả sử a �b �c ,ta có:
a
b
c
(1) �
(a  b)(a  c) 
(b  a)(b  c) 
(c  a)(c  b) �0 (2)
bc
ca
a b
a
b
�
Mặt khác,do
và (a  b)(a  c ) �0 ,nên:
bc ca
a

b
b
b
b
(a  b)( a  c) 
(b  a)(b  c) �
(a  b)( a  c) 
(b  a)(b  c) �
(a  b) 2 �0
bc
ca
ca
ca
ca
Mặt khác:
c
(c  a )(c  b) �0.
ab
a
b
c
(a  b)(a  c ) 
(b  a )(b  c ) 
(c  a)(c  b) �0
Vậy:
bc
ca
ab
Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c .
15

Nguyễn Minh Đức-10A
Suy ra (2) được chứng minh.
Bài toán được chứng minh

K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh

16