CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất. pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.89 KB, 7 trang )
CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.
Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.
CMR: ab + bc + ca
a
2
+b
2
+c
2
< 2.(ab + bc + ca).
Giải:
Ta có:
a
2
+b
2
+c
2
- ab + bc + ca
.0)()()(.
2
1
222
accbba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy: ab + bc + ca
a
2
+b
2
+c
2
.
Lại có:
a < b + c
a
2
< a.(b + c) (1)
Tương tự: b
2
< b.(a + c) (2) ,c
2
< c.(b + a) (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được:
a
2
+b
2
+c
2
< a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca).
Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: xyzyzzxz ).().( (1).
Giải:
Đặt:
nzy
mzx
(m,n,z > 0).
Khi đó (1) trở thành: )).(( nzmzznzm
zn
z
m
nm
.1
(2).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2
2
1 .( ) . 1 .( ) .
m m m
n z n z n m n z n m
z z z
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm).
Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR:
.5
1
.8
44
xy
yx
Giải:
Từ giả thiết
.0,
01
0
yx
yx
xy
Ta có:
).1(4
1
4
1
.21
xy
xyxyyx
Lại có:
2
2
2
4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2
8. 4.(1 1 ).( ) 4.( ) (1 1 ).( ) 1.
x y x y x y x y x y
Suy ra: 8.(x
4
+ y
4
)
1
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
.541
1
.8
44
xy
yx
Ta có đpcm.
Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số
dương:
x = (a + b + c)
2
- 9ab ; y = (a + b + c)
2
- 9cb ; z = (a + b + c)
2
- 9ac.
Giải:
Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)
2
- 9.(ab + bc + ca) = 3.(a
2
+ b
2
+c
2
- ab - bc - ca) =
=
.0)()()(.
2
3
222
accbba (Do a
b
c
a).
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương.
Bài 5: Nếu
0
1
ab
ba
thì
8
1
44
ba .
Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3.
Bài 6:CMR:
4488221010
yxyxyxyx .
Giải:
Ta có:
4488221010
yxyxyxyx
4444121288221212
yxyxyxyxyxyx
44448822
yxyxyxyx
0.
62268822
yxyxyxyx
2
2 2 2 2 6 6 2 2 2 2 4 2 2 4
. . 0 . . 0
x y x y x y x y x y x x y y
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.
Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :
P = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc < 0.
Giải:
Có:P = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = (a + b + c).(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - bc - ca) < 0.
Bài 8:CMR:
4
1
)12(
1
25
1
9
1
2
n
A với .1,
nn
Giải:
Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:
)22).(12(
1
)12.(2
1
.
2
1
)12(
1
2
nnnn
n
Áp dụng ta có:
.
4
1
22
1
2
1
.
2
1
22
1
12
1
4
1
3
1
3
1
2
1
.
2
1
)22).(12(
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
.
2
1
nnn
nn
A
Ta có đpcm.
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq
qp
qp
22
.
Giải:
Có:
.0
.
2
22
qp
qpqpqp
pq
qp
qp
Ta có đpcm.
Bài 10:CMR:
k
k
k
1
1
11
2
với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:
n
n
1
2
1
3
1
2
1
1
222
với n >1.
Giải:
Ta có:
kkkk
k
1
1
1
).1(
11
2
.
Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được:
.
1
2
1
1
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
1
3
1
2
1
1
222
nnn
n
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR: .022
22
yx
yx
Giải:
Ta có:
.022
2
).(.2
2
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Ta có đpcm.
Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn:
.cba
CMR:
.9
2
bccba
Giải:
Từ giả thiết bài ra ta có:
)1(9254
0)4).((042
2
22
bccbbccb
cbcbcbcabb
Mà: (a + b + c)
2
(2b + c)
2
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)
2
(2b + c)
2
9bc.
Ta có đpcm.
Bài 13:
Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1.
Giải:
Ta có:
.1
2
2
.
2
2
.
2
2
)2().2.().2.()2().2().2.(
222
ccbbaa
ccbbaaaccbba
Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1.
Ta có đpcm.
Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR:
caca
c
baba
b
.
Giải:
Ta có:
caca
c
baba
b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2. 2 2.
a b a b a c a c
a b a b a c a c
a a b a a c a b a c b c
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy ta có đpcm.
Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: .1
222
zyx CMR: .1
333
x
z
z
y
y
x
Giải:
Áp dụng BĐT Cô Si:
2
33
2.2 xxy
y
x
xy
y
x
(1).
Tương tự:
2
3
2yyz
z
y
(2) và
2
3
2zxz
x
z
(3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có:
).(2
222
333
zyxzx
x
z
yz
z
y
xy
y
x
Suy ra:
.1)()().(2
222222
333
zyxzxyzxyzyx
x
z
z
y
y
x
Vậy ta có đpcm.
