Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 2021 các trường chuyên trên toàn quốc

Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021
TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC 2020-2021

Phần 1: Tuyển tập các đề thi trên toàn quốc (từ trang 2 đến trang 75)
Phần 2: Phân loại theo chủ đề
• Chủ đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan trang 71

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

• Chủ đề 2:Hàm số và các bài toán liên quan trang 82
• Chủ đề 3:Phương trình trang 85
• Chủ đề 4: Hệ phương trình trang 92
• Chủ đề 5: Bất đẳng thức trang 96
• Chủ đề 6: Giải bài toán bằng cách lập pt, hệ pt trang 103
• Chủ đề 7: Số học- đa thức trang 104
• Chủ đề 8:Hình học trang 113
Ngày 28/7/2020 Vũ Ngọc Thành Bản Vàng Pheo Phong Thổ Lai Châu

1


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN KHTN
Môn: Toán chung
Thời gian: 120 phút, không kể phát đề.

1. Giải hệ phương trình
x2 + y 2 + xy = 7
9x3 = xy 2 + 70(x − y)
2. Giải phương trình

√
√
11 5 − x + 8 2x − 1 = 24 + 3 (5 − x)(2x − 1)

Bài 2.
1. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn
x2 y 2 − 16xy + 99 = 9x2 + 36y 2 + 13x + 26y
2. Với a, b là các số thực dương thỏa mãn
2 ≤ 2a + 3b ≤ 5,

8a + 12b ≤ 2a2 + 3b2 + 5ab + 10.

Chứng minh rằng
3a2 + 8b2 + 10ab ≤ 21.
Bài 3. Cho tam giác ABC có BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn
(O) . Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác BAC. Lấy các điểm M, N thuộc (O) sao cho
các đường thẳng CM và BN cùng song song với đường thẳng AD .
1. Chứng minh rằng AM = AN
2. Gọi giao điểm của đường thẳng M N với các đường thẳng AC, AB lần lượt là E, F . Chứng minh
bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
3. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, AN . Chứng minh rằng các đường
thẳng EQ, EP, AD đồng quy.
Bài 4. Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a(a + bc)2
b(b + ca)2
c(c + ab)2
+
+
≥4

b (ab + 2c2 ) c (bc + 2a2 ) a (ca + 2b2 )

—HẾT—

2

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ THI CHUYÊN XH VÀ NV 2020-2021
Môn: Toán.
Thời gian: 60 phút, không kể phát đề.

 x
 7 + 12(x + y) = 31
y
1. Giải hệ phương trình
 x +x+y =3
y
√
√
2. Giải phương trình x + 3 + 2 x = 2 + x(x + 3)
3. Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình x2 − 2x − a = 0 với a là số thực dương. Chứng minh
biểu thức M = x31 + x32 + 6x1 x2 là số nguyên.
Bài 2. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). M A, M B là các tiếp tuyến của đường tròn (O)(A, B ∈
(O))

1. Chứng minh rằng tứ giác AM BO nội tiếp.
2. Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N không trùng với A, B và trung điểm của đoạn thẳng AB
NA
HA
). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng M N . Chứng minh rằng
=
NB
HB
b
a
+
≤
Bài 3. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng
2
1+a
1 + b2
1
√
1 + c2
—HẾT—

3

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021
Môn: Toán vòng II.
Thời gian: 270 phút, không kể phát đề.

1. Giải hệ phương trình

(x + y)(x + 1) = 4
(y 2 + xy + x + y + 5) (x3 + y 3 + 12y + 13) = 243

2. Giải phương trình (x − 12)7 + (2x − 12)7 + (24 − 3x)7 = 0
Bài 2.
1. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho cả ba số 4a2 + 5b, 4b2 + 5c, 4c2 + 5a đều là bình
phương của số nguyên dương.
2. Từ một bộ bốn số thực (a, b, c, d) ta xây dựng bộ số mới (a + b, b + c, c + d, d + a) và liên tiếp xây
dựng các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu
được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng (a, −a, a, −a)
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A với BAC < 90◦ . Điểm E thuộc cạnh AC sao cho AEB > 90◦
Gọi P là giao điểm của BE với trung trực BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Gọi Q
là hình chiếu vuông góc của E lên AP . Gọi giao điểm của EQ và P K là F .
1. Chứng minh rằng bốn điểm A, E, P, F cùng thuộc một đường tròn.
2. Gọi giao điểm của KQ và P E là L. Chứng minh rằng LA vuông góc với LE.
3. Gọi giao điểm của F L và AB là S. Gọi giao điểm của KE và AL là T . Lấy R là điểm đối xứng
của A qua L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp
tam giác BP R tiếp xúc với nhau.
Bài 4. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
3

1 1 1
+ + −1
a b c

2

+1≥

4
+3
abc

a
b
c
+
+
bc ca ab

.

—HẾT—

4

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021

Môn: Toán chung
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. 2x − 6 = 0
2. x2 − 4x + 3 = 0
x + y = 10
x−y =4

3.
Bài 2.

1. Thực hiện phép tính:

√
√
√
64 + 25 − 9

2. Cho biểu thức: Q = √

1
2
6
với x ≥ 0; x = 9
+√
−
x−3
x+3 x−9

(a) Rút gọn biểu thức Q

(b) Tính giá trị của Q biết x = 4
Bài 3.
1. Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 (P)
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d): y = −x + 3
Bài 4. Một ô tô khách dự tính đi từ thành phố Lai Châu đến huyện Nậm Nhùn trong một thời gian
đã định. Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô này dừng lại nghỉ 10 phút. Do đó để đến Nậm Nhùn đúng hạn
xe phải tăng tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết rằng quãng đường từ thành phố Lai
Châu đi huyện Nậm Nhùn dài 120 km.
Bài 5. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE
không đi qua tâm tới đường tròn đó (B,C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm
của AO và BC.
1. Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh AH.AO = AD.AE
3. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường
thẳng vuông góc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q. Chứng minh rằng: IP + KQ ≥ P Q
Bài 6. Cho a, b là các số không âm thỏa mãn a2 + b2 ≤ 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = a 3b(a + 2b) + b 3a(b + 2a).

—HẾT—
5

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. Không sử dụng máy tính, giải các phương trình và hệ phương trình sau:


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN HƯNG YÊN 2020-2021
Môn: Toán chuyên

Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.
2x + 1
1
√
−√
3
x−1
x −1

:

1−

x+4
√
x+ x+1

với x ≥ 0, x = 1; x = 9.

1. Rút gọn biểu thức M .
2. Tìm giá trị của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên dương.
Bài 2.
1. Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng với hệ số góc dương đi qua điểm A(2; 1) và tạo
1
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng .
2
2. Tìm các giá trị của m để phương trình 2x2 − (m + 5)x + m + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm
17
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = .
4

Bài 3.
√
1. Giải phương trình 5x2 − 2x − 3 − (2x − 1) 5x2 + 2x − 1 = 0
2. Giải hệ phương trình

x x2 − 2 + x2 y + 4 = 2 x 2 + y
x2 − y + 2 = 0

Bài 4.
1. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a . M là điểm di động trên đoạn OB (M khác O và B ).
Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp
xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N .
(a) Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
(b) Chứng minh 3 điểm C, M, N thẳng hàng.
2. Cho tam giác M N P vuông cân tại M , M N = a. Lấy điểm D thuộc cạnh M N ; điểm E thuộc
cạnh N P sao cho chu vi tam giác N DE bằng 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
N DE
Bài 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12. Chứng minh rằng
1
1
+
+ 2020ab ≤ 2021.
1+a 1+b

—HẾT—

6

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. M =


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

thức
P =

b
c
a
+
+
= 2020. Tính giá trị của biểu
b+c c+a a+b

a2
b2
e2
+
+
b+c c+a a+b

: (a + b + c).

Bài 2.

1. Giải phương trình:

√

2x2 + x + 9 +

2. Giải hệ phương trình:

√

2x2 − x + 1 = x + 4

y 2 − 2xy = 8x2 − 6x + 1
y 2 = x2 + 8x2 − x + 1

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < CA ) nội tiếp đường tròn (O). Từ A kẻ đường thẳng
song song với BC cắt (O) tại A1 . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại B1 . Từ C kẻ
đường thẳng song song với AB cắt (O) tại C1 . Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1 , B1 , C1 lần
lượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy.
Bài 4.
1. Cho 2 số thực a, b. Chứng minh rằng:

a2 + b 2
(a − b)2
≥ ab + 2
2
a + b2 + 2

2. Cho hai số dương a, b thoả mãn điều kiện a + 8 ≤ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
20 7

b−a+
+
a
b
Bài 5. Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F .
Kẻ đường kính EJ của đường tròn (I). Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC. Đường thẳng
JD cắt d, BC lần lượt tại L, H.
1. Chứng minh: E, F, L thẳng hàng.
2. JA, JP cắt BC lần lượt tại M, K, Chứng minh: M B = M K.
Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 3x − y 3 = 1
—HẾT—

7

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

:

√
x− x
2

√
.
+√
x− x−2
x−2

1. Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để P = 1.
Bài 2.
1. Cho Parabal có phương trình: y = 3x2 (P) và đường thẳng có phương trình y = 6x + 2m − 1 (d).
Tìm m để parabal (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt.
2. Cho phương trình: x2 − 6x + 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
thỏa mãn x31 + x32 < 72
Bài 3. Cho (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường
tròn (B, C là hai tiếp điểm). I là một điểm thuộc đoạn BC(IB < IC). Kẻ đường thẳng d vuông góc
với OI tại I. Đường thẳng d cắt đường thẳng AB, AC lần lượt E và F .
1. Chứng minh tứ giác OIBE và tứ giác OIF C là các tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh I là trung điểm của EF .
3. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Tìm vị
trí của A để diện tích tam giác AP Q nhỏ nhất.
√
√
√
√
Bài 4. Giải phương trình: 2x2 − 1 + x2 − 3x − 2 = 2x2 + 2x + 3 + x2 − x + 2.
Bài 5. Cho a, b, c là ba số dương biết a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh
1
1
1
+ 2 + 2 ≥ 3.

2
a
b
c

—HẾT—

8

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. Cho biểu thức P =

√
√
x+2 x− x−3
√
√
−
x+1 x− x−2


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

TUYỂN SINH CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021
Môn: chuyên toán
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Cho biểu thức P =

(x − 2)2
√
. Tìm số tự nhiên x lớn nhất có hai chữ số để P có giá trị là số
x+2 x−1

chính phương.
2. Cho P (x) là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên thoả mãn P (0) = 21; P (1) = 7.
Chứng minh rằng P (x) không có nghiệm nguyên.
Bài 2.
1. Giải phương trình: √

√
√
x
+ x + 1 = 3x + 1
x+2

2. Giải hệ phương trình:

x2 + xy + x − 12y = 12
xy + 3y 2 − x + 6y = −3

Bài 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), giả sử B, C cố định và A di động
trên đường tròn sao cho AB < AC và AC < BC. Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AC và BC
lần lượt tại P và Q. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N .
1. Chứng minh rằng OM.ON = R2
2. Chứng minhrằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
3. Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N và CP Q cắt nhau tại S và T , gọi H là hình
chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ST . Chứng minh rằng H chạy trên một đường tròn cố
định khi A đi động.

Bài 4. Giả sử phương trình 2x2 + 2ax + 1 − b = 0 có hai nghiệm nguyên (với a, b lần lượt là tham số).
Chứng minh rằng a2 − b2 + 2 là số nguyên và không chia hết cho 3 .
Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
bc
ac
1
ab
+
+
−
.
T =
3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b
ab(a + 2c)(b + 2c)
—HẾT—

9

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021
Môn: chuyên Toán- tin
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Thu gọn biểu thức: A = (4 +

√

√
√
√
15)( 5 − 3) 4 − 15.

2. Cho phương trình: 2019x2 − (m − 2020)x − 2021 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có
2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x21 + 2020 − x22 + 2020.
Bài 2.
√
1. Giải phương trình: 5 1 + x3 = 2 (x2 + 2)
2. Giải hệ phương trình:

x3 − x2 y + xy 2 − y 3 = 0
√
xy + 3y − x + 3 − 2 = 0

Bài 3. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20202000 + 1) chia hết cho (n3 + 2018n)
Bài 4.
1. Cho hình thoi ABCD có ABC = 60◦ . Gọi M là điểm bất kỳ trên đường chéo BD. Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AD và N là trung điểm của đoạn HK. Trên nửa
mặt phẳng có bờ là đường thẳng BD chứa điểm A dựng tam giác đều BED. Chứng minh 3 điểm
M, N, E thẳng hàng.
2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác
trong của BAC cắt đường tròn (O) tại D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối
xứng với D qua tâm O. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đường thẳng AC tại điểm F
khác A.

(a) Chứng minh BM.BC = BF.BD.
(b) Chứng minh EF ⊥ AC.
Bài 5. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =

x + yz y + zx z + xy
+
+
.
y+z
z+x
x+y

—HẾT—

10

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên toán
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức
√

√
√
x+1
x−3
3x + 4 x − 7
√
P =
−√
−√
x+2 x−3
x+3
x−1
nhận giá trị nguyên.
2. Cho phương trình 2x2 − 3x + 2m = 0. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
1
1
khác 0 thỏa
−
= 1.
x1 x2
Bài 2.
1
x2 − x2 + 1
= .
2
2
x + 3x − x
2
√
√

x + y − 3x + 2y = −1
2. Giải hệ phương trình
√
x+y =y−x
1. Giải phương trình

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p3 + 3pq + q 3 là một số chính phương.
Bài 4.
1. Cho tam giác ABC cân tại A ( với BAC < 60◦ ) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm bất kì
trên cung nhỏ BC . Chứng minh rằng M A > M B + M C.
2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm
cạnh BC và E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AC và AB. Đường thẳng EF cắt
các đường thẳng AO và BC theo thứ tự M và N .
(a) Chứng minh tứ giác AM DN nội tiếp.
(b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và F D, H là trung điểm của
KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . Chứng minh HI ⊥ EF .
(x + y)2 (x + y)2
Bài 5. Cho x, y là 2 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2
+
.
x + y2
xy
—HẾT—

11

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.

Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN SỞ HÀ NỘI NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

√
1. Giải phương trình x2 + 3x + 5 = (x + 3) x2 + 5.
2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b − 2c = 0 và 2ab − bc − ca = 0. Chứng minh a = b = c.
Bài 2.
1. Chứng minh với mọi số nguyên dương n, số A = 11n + 7n − 2n − 1 chia hết cho 15 .
2. Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn

√

√
√
3( 11 − 3)
m
m
> 0. Chứng minh 11 −
≥
.
11 −
n
n
mn

Bài 3.

1. Cho đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn P (1) = 3 và P (3) = 7. Tìm đa thức dư trong phép
chia đa thức P (x) cho đa thức x2 − 4x + 3.
2. Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c + abc = 4, tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P = ab + bc + ca.
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC
và K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là chân các
đường vuông góc kẻ từ điểm I đến các đường thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn ( I
) tại hai điểm phân biệt D và M . Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng
BC tại N .
1. Chứng minh tam giác M F D đồng dạng với tam giác BN K.
2. Gọi P là giao điểm của BI và F D. Chứng minh góc BM F bằng góc DM P .
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng KN .
Bài 5. Cho một bảng ô vuông kích thước 6 × 7 ( 6 hàng; 7 cột) được tạo bởi các ô vuông kích thước
1 × 1.Mỗi ô vuông kích thước 1 × 1 được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng sao cho trong mọi
bảng ô vuông kích thước 2 × 3 hoặc 3 × 2 có ít nhất hai ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đen
chung cạnh. Gọi m là số ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đen trong bảng.
1. Chỉ ra một cách tô sao cho m = 20.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của m.
—HẾT—

12

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021

Môn: Toán chuyên

Bài 1. Cho biểu thức
√
√
√
2 x+1 2 x−1
x+2
√ +
√
A= √
+
x−2
3− x
x−5 x+6

√
√
x+4
3 x− √
x−1

với x ≥ 0, x = 1, x = 4, x = 9.

1. Rút gọn A
2. Tìm x sao cho A < 2.
Bài 2.
1. Cho phương trình x4 − 2mx2 + m2 − 2m + 2 = 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x41 + x42 + x43 + x44 = 24.
√

2 x + y = y2 + y − x
2. Giải hệ phương trình
.
y − 1 = x + 3y + 1 − 4
Bài 3. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x2 + 5y 2 + 4xy + 3x + 4y = 27. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của biểu thức M = x + 2y.
Bài 4. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với
đường tròn ( B, C là các tiếp điểm, AD < AE, DB < DC ). Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc
với DE tại H, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh:
1. Tứ giác BCOH nộp tiếp.
2. KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
3. DBC = HBC
Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho

ab (a + b)
là số nguyên.
ab + 2

—HẾT—

13

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN AN GIANG NĂM 2020-2021

Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Tính giá trị biểu thức A = 2a3 − 3a2 − 3a − 1 với a = √
3
2. Giải phương trình 2 x2 +

1
x2

−7 x−

1
x

1
.
3−1

+ 2 = 0.


√
√
 2 + 2 2 |x| + y = 3 2
Bài 2. Giải hệ phương trình
.
 1 + √2 x − y = 3
√
3 − 1 x + 1 có đồ thị là đường thẳng (d).

Bài 3. Cho hàm số y =
1. Vẽ đồ thị (d) của hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ.
2. Đường thẳng (d ) song song với (d) và đi qua điểm có tọa độ (0; 3). Đường thẳng (d) và (d ) cắt
trục hoành lần lượt tại A; B, cắt trục tung lần lượt tại D; C. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 4. Trên đường tròn đường kính AD lấy hai điểm B và C khác phía với AD sao cho BAC = 60◦ .
Từ B kẻ BE vuông góc với AC (E ∈ AC).
1. Chứng minh rằng hai tam giác ABD và BEC đồng dạng.
2. Biết EC = 3cm. Tính độ dài dây BD.
Bài 5. Trên mỗi đỉnh của một đa giác có 12 cạnh người ta ghi một số, mỗi số trên một đỉnh là tổng
của hai số ở hai đỉnh liền kề. Biết hai số ở hai đỉnh A5 và A9 là 10 và 9. Tìm số ở đỉnh A1.
A8

A7

A6

A9
10

9
A10

A5
A4
A3

A11
A12

A2

A1

—HẾT—

14

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH CHUYÊN BÀ RỊA- VŨNG TÀU NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

√
x+ x+2
x−4
+ √
với 0 ≤ x = 4.
1. Rút gọn biểu thức P = √
x x − 8 ( x + 1)2 + 3
√
√
2. Giải phương trình x2 + 3 = x + 2x − 1.
3. Giải hệ phương trình

x − y + 2 = xy

(2 − x) y = x2 + y 2

.

Bài 2.
1. Cho đa thức
P (x) = (x − 2) (x + 4) x2 + ax − 8 + bx2
với a và b là các số thực thỏa mãn a + b < 1. Chứng minh rằng phương trình P (x) = 0 có bốn
nghiệm phân biệt.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x (x + y)2 − y + 1 = 0.
Bài 3. Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = (a + b)

√

a2

1
1
+√
2
2
− ab + 2b
b − ab + 2a2

.

Bài 4. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Từ điểm S thuộc tia đốicủa tia AB kẻ đến (O) hai
tiếp tuyến SC và SD( C, D là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của hai đường kính AB và dây CD.
Vẽ đường tròn (O ) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB tại S. Hai đường tròn (O) và (O ) cắt

nhau tại M khác C.
1. Chứng minh tứ giác SM HD nội tiếp.
2. Gọi K là hình chiếu vuông góc của C trên BD, I là giao điểm của BM và CK. Chứng minh HI
song song với BD.
3. Các đường thẳng SM và HM lần lượt cắt (O) tại các điểm L và T (L, T khác M ). Chứng minh
rằng tứ giác CDT L là hình vuông khi và chỉ khi M C 2 = M S.M D.
Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là chân ba đường
2
2
2
AB
BC
CA
cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC. Biết
+
+
= 36, hãy chứng minh rằng
HF
HD
HE
tam giác ABC đều.
—HẾT—
15

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Cho biểu thức

√
√
√
3x + 5 x − 1 − 14
x−1−2
x−1
√
A=
−√
−√
x−3+ x−1
x−1−1
x−1+2

với x ≥ 1, x = 2.
(a) Rút gọn biểu thức A.
(b) Tìm tất cả các giá trị x để A nhận giá trị là số nguyên.
Cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = −mx + 2 − m ( m là tham số ). Tìm m
để đường thẳng (d) cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức
1
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
T =

4 +
(x1 + 1)
(x2 + 1)4
2. Bài 2.
1. Giải phương trình (x + 1)

√
x − 1 + 5x = 13.

2. Giải hệ phương trình

 x3 − xy + 2x2 − 2y = 0
√
.
(x
+
y
−
2)
x+1

= y(x − 5) + 9x − 5
x−2
Bài 3.
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) để biểu thức

a2 − 3
nhận giá trị là số nguyên.
ab + 3

2. Trong mặt phẳng cho 2020 điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm
có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cm chứa
không ít hơn 1010 điểm trong 2020 điểm đã cho.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE và
CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm của
hai đường thẳng BC và EF .
1. Chứng minh rằng KB.KC = KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF .
2. Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đường
thẳng AK, AD lần lượt tại P và Q. Chứng minh F P = F Q.
3. Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM .
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a2
b2
c2
1
+
+
2
2
2 ≤
2
2
2
3
5a + (b + c)
5b + (c + a)
5c + (a + b)
—HẾT—
16

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên



ax + by = c


Bài 1. Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 sao cho hệ phương trình bx + cy = a có nghiệm (x, y).


cx + ay = b
a2
b2
c2
Chứng minh rằng
+
+
= 3.
bc ca ab
Bài 2.
1. Giải hệ phương trình

x4 − 2x2 y = 1

.
2x2 + y 2 − 2y = 2
√
2. Giải phương trình 2 (x − 2) x + 2 = −x2 + 3x + 3.
Bài 3.
1. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho 2n + 2021 và 3n + 2020 đều là các số chính phương.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho

x2 − 2
có giá trị là số nguyên.
xy + 2

Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O’ nằm khác phía
đối với đường thẳng AB. Đường thẳng d thay đổi đi qua B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại
C và D (d không trùng với đường thẳng AB).
1. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất.
2. Gọi M là điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O); N là điểm di
chuyển từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên (O’) sao cho góc ∠AOM luôn bằng góc ∠AO N .
Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2 z 2 + y 2 z 2 + 1 ≤ 3z.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =

1
8
4z 2
+
+

.
(x + 1)2 (y + 3)2 (1 + 2z)2
—HẾT—

17

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Cho biểu thức

√
√
x+4 x−4+ x−4 x−4
A=
.
16 8
− +1
x2 x
Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định. Rút gọn A.

2. Giải hệ phương trình

x2 y + 2x2 + 3y = 15
.
x4 + y 2 − 2x2 − 4y = 5

Bài 2.
1. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba
phương trình sau có nghiệm
x2 + ax + 1 = 0; x2 + bx + 1 = 0; x2 + cx + 1 = 0.
2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = (1 + 2a) (1 + 2bc).
Bài 3.
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n (2n + 7) (7n + 1) luôn chia hết cho 6.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 4a + 1 và 4b − 1
nguyên tố cùng nhau; a + b là ước của 16ab + 1.
Bài 4.
1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA. Vẽ tia Ix
vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại C. Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E = B; E = C)
nối AE cắt CI tại F .
(a) Chứng minh rằng BEF I là tứ giác nội tiếp.
(b) Gọi K là giao điểm của hai tia BE và Ix. Giả sử F là trung điểm của IC. Chứng minh rằng
hai tam giác AIF và KIB đồng dạng. Tính IK theo R .
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường
tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau.
Bài 5. Một bảng có kích thước 2n × 2n ô vuông, n là số nguyên dương. Người ta đánh dấu vào 3n ô
bất kỳ của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánh
dấu đều nằm trên n hàng và n cột này.
—HẾT—
18

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

Bài 1.
3
10
1. Rút gọn biểu thức T = √
−√ −
5−2
5

√
6+2 5

2. Cho hai đường thẳng (d1 ) : y = −2x + 3 và (d2 ) : y = (m2 − 3m) x + 5 − 2m với m là tham số.
Tìm m để (d1 ) (d2 ).
Bài 2.
1. Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình 2x2 − (m + 1) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn 2x21 + 6x1 + (1 − m)x1 + m = 12.
2. Giả sử A = 2n + 4n + 6n + 8n với n là số nguyên dương. Chứng minh với mọi n không chia hết
cho 4 thì A chia hết cho 5.

Bài 3.
1. Giải phương trình

√

x−3+

√

2x − 1 =

√

−2x2 + 10x + 1

2. Giải hệ phương trình
x3 − 3y 3 + 2xy + 2x − 2y = 0
√
x3 + 2y 2 + 4 − x + 3y + 1 + x3 − 2y − 1 = 0
Bài 4.
1. Ông Việt muốn xây một bồn chứa nước hình trụ có thể tích 8m3 . Đáy và thành làm bằng bê-tông
giá 10 nghìn đồng/m2 , nắp làm bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2 . Vậy đáy của hình trụ có bán
kính bằng bao nhiêu để chia phí xây dựng là thấp nhất?
2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng
√
√
√
16a + 9 + 16b + 9 + 16c + 9 ≥ 11.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn ( B, C là hai điểm thuộc đường tròn tâm O). Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M

khác B, C ). Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại E, F . Đường thẳng BC cắt OE, OF lần lượt
tại P, Q.
1. Chứng minh rằng ABC = ADC.
2. Chứng minh rằng F P ⊥ OE.
3. Chứng minh rằng

PQ
không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R).
EF
—HẾT—
19

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

4


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH DƯƠNG NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Giải phương trình
√
√
√
( x + 2020 − x − 2019)(1 + x2 + x − 2019 · 2020) = 4039.
2. Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn

1
1
1
+ = . Chứng minh rằng phương trình
m n
2

x2 + mx + n

x2 + nx + m = 0

luôn có nghiệm.
Bài 2. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 1 ≤ x ≤ y ≤ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2 x2 + y 2 + 4 (x − y − xy) + 7

Bài 3.
1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình
x2 + xy + y 2 = x2 y 2 .
2. Với a, b là các số thực dương thỏa mãn ab + a + b = 1, chứng minh rằng:
a
b
+
=
2
1+a
1 + b2
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A BAC > 90◦

1 + ab
2 (1 + a2 ) (1 + b2 )

.

nội tiếp đường tròn (O) bán kính R, M là điểm

nằm trên cạnh BC (BM > CM ). Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn (O) ( D khác A ), điểm
H là trung điểm đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm chính giữa cung lớn BC, ED cắt BC tại N .
1. Chứng minh rằng M A.M D = M B.M C và BN.CM = BM.CN .
2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BM D. Chứng minh rằng ba điểm B, I, E thẳng
hàng.
3. Khi 2AB = R, xác định vị trí của M để 2M A + AD đạt giá trị nhỏ nhất.
—HẾT—

20

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021
Môn: chuyên Toán
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

A=

√
2 a

1−
a+1

:

√
1
2 a
√
√
− √
a+1 a a+ a+a+1

1. Rút gọn biểu thức A.
√
2. Tính giá trị của A khi a = 2021 − 2 2020.
Bài 2.
√
1. Giải phương trình 2x2 − 3x 5x − 4 + 5x − 4 = 0.
2. Giải hệ phương trình

4x2 y − xy 2 = 5
.
64x3 − y 3 = 61

Bài 3.
1. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) : y = 2x − m cắt parabol (P ) : y = x2 tại hai
điểm phân biệt có hoành độ dương.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 + mx + 8 = 0 và phương trình x2 + x + m = 0
có ít nhất một nghiệm chung.

3. Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực khác 0 thì tồn tại ít nhất một trong các phương trình
sau có nghiệm
4ax2 + 2(b + c)x + c = 0 (1); 4bx2 + 2(c + a)x + a = 0 (2); 4cx2 + 2(a + b)x + b = 0 (3) .
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC với (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF
cắt nhau tại trực tâm H.
1. Chứng minh rằng tứ giác BF HD; ABDE nội tiếp và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
DEF .
2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DF EM nội tiếp.
3. Tia M H cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng các đường thẳng AI, EF, BC đồng quy.
Bài 5.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: y 2 + 2y = 4x2 y + 8x + 7.
.
2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b) thỏa mãn b2 + 3a..a2 b.
Bài 6.
21

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. Cho biểu thức


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

1. Cho a, b là hai số dương. Chứng minh
4
1 1
+ ≥
.
a b
a+b

√
1
(b) a2 − ab + 3b2 + 1 ≥ (a + 5b + 2).
4
(a)

2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a2

1
1
1
+√
+√
2
2
2
2
− ab + 3b + 1
b − bc + 3c + 1
c − ca + 3a2 + 1

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

P =√

1 1 1
+ + ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a b c

—HẾT—

22


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021
Môn: không chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

√
√
5 + 2 6 + 5 − 2 6.
√
√
x+ x 4−5 x
√ với x ≥ 0 và x = 1.
+
2. Rút gọn biểu thứcB =
1−x
1− x
1. Tính giá trị biểu thức A =

Bài 2.
1
1. Vẽ đồ thị hàm số y = − x2 .
2
2. Giải phương trình

(x − 2) (x − 1) (x + 3) (x + 4) − 24 = 0.
Bài 3. Cho phương trình 2x2 − 4mx − 2m2 − 1 = 0 (1) ( với m là tham số).
1. Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) khi m = 3, không giải phương trình hãy tính giá
trị biểu thức
Q = 8x21 − 50x1 − 70 8x22 − 50x2 − 70 + 2094.
Bài 4. Cho đường tòn (O; R) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của Ax của (O; R) lấy điểm C khác
A. Kẻ tiếp tuyến CD với (O; R) ( D là tiếp điểm, D khác A ).
1. Chứng minh rằng tứ giác OACD nội tiếp được một đường tròn.
2. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BD tại E. Chứng minh rằng BD.BE = 2R2 .
3. Gọi F là trung điểm của OE. Chứng minh rằng ba điểm B, F, C thẳng hàng.
Bài 5. Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng sin

A
a
≤
.
2
b+c

—HẾT—

23

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021
Môn: chuyên Toán
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.
xy + x + y = 5
xy + x2 + y 2 = 7

Bài 2.
1. Cho p và p + 2 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6.
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số nguyên dương.
1 1 1
+ + = 2. Chứng minh rằng
x y z
√
√
√
x + y + z ≥ x − 1 + y − 1 + z − 1.

Bài 3. Cho các số thực x, y, z ≥ 1 thỏa mãn

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho K là một điểm tùy
ý trên cạnh BC ( K khác B, C). Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K và
đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK. Chứng minh rằng M, H, N thẳng hàng.
Bài 5. Cho 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại đường tròn chứa đúng 12
điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài.
—HẾT—

24

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. Giải hệ phương trình


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN CAO BẰNG NĂM 2020-2021
Môn: chuyên Toán

Bài 1. Cho biểu thức

√
√
x2 − x
3x + 2 x 2(x − 1)
√
√
P =
−
+ √
x+ x+1
x
x−1

với x > 0; x = 1 .
1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm tất cả các giá trị của x để

P
√ < 2.

1− x

Bài 2.
1. Giải hệ phương trình

x2 + 3y 2 − 4xy − x + 3y = 0
.
x2 − y 2 + 8x + 16 = 0

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2 (m − 1) x −
m2 + 3. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1 ; y1 ) và (x2 ; y2 )
sao cho: y1 + y2 − x1 x2 − 33 = 0.
Bài 3.
1. Tìm tất cả các số dương x để biểu thức Q =

x2

3x
nhận giá trị là những số nguyên.
−x+1

2. Tìm tất cả các số tự nhiên a có bốn chữ số thỏa mãn. Khi chia a cho 80 ta được số dư là 20 và
khi chia a cho 41 ta được số dư là 11.
Bài 4. Cho tam giác ABC có A = 60◦ . Đường tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc
với các cạnh AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F . Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K
song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N .
1. Chứng minh tứ giác IEAF nội tiếp.
2. Chứng minh hai tam giác IM N và IEF đồng dạng.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích IM N theo r.
Bài 5. Cho x, y > 0 thỏa mãn x+y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x2 +

1
y2

y2 +

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1
−
x2

17
.
16
—HẾT—

25