Bài tập phương pháp lũy thừa giải hệ phương trình có lời giải chi tiết

1.PHƯƠNG PHÁP LŨY THỪA

 x  y  x  y  2 (1)

Bài toán 1. 
 x2  y  x2  y  4  2

Giải:
 x  y  0
. Nhận xét : Vế trái của phương trình (1) không âm.
 x  y

Điều kiện : 

Bình phương 2 vế từng phương trình ta được
 x2  y  x  2
 x  x 2  y  2


 2
4
2
 x  x  y  8
 x 4  y 2  8  x 2

 3
 4

Điều kiện : 0  x  2 2
Phương trình  3  x 2  y  4  4 x  x 2  y  4 x  4
Phương trình  4   x 4  y 2  64  16 x 2  x 4

2

 x 4   4 x  4   64  16 x 2  x 4

 32 x  80  0  x 

5

5
 y6
2



Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là  ; 6 
2 
5

 x  1  y  2
Bài toán 3. 
 y  2  x  3 x  1   3

4

Giải:
 x  1
 y  1

Điều kiện : 

(1)

 2


Phương trình  2   2 x  2 x 2  4 y 2  4

 x 2  4 y 2  2  x  3

Điều kiện tương đương : x  2 . Phương trình  3  x 2  4 y 2  4  4 x  x 2 .
 y 2  x  1  x  y 2  1, x  1

 4

Thế (4) vào phương trình (3) ta được :

y

2

3

 1  2 y 3   y 2  1 y  y 2  y  1  0

 y 6  y 5  2 y 4  4 y3  2 y 2  y  1  0

  y  1

2

y

4

 y  1  x  2
 4
3
2
 y  y  3y  y 1  0

 y 3  3 y 2  y  1  0

Xét phương trình : y 4  y 3  3 y 2  y  1  0  
Nếu y  0  x  1 , không thỏa hệ.
Xét y  0 : phương trình    y 2 

1 
1
 y  3 0
2
y 
y

1
y

Đặt t  y  , t  2. Phương trình trên trở thành : t 2  t  1  0 , vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là  1; 2 

 x  y  x  y  0

(1)

 x  y  3 x  2 y  1

 2

Bài toán 5. 

Giải:
x   y
. Phương trình  2  x  y  1  3x  2 y .
3 x  2 y  0

Điều kiện : 

 2 x  y  2 x  y  1 3 .Điều kiện : 2 x  y  1 .

Thế (3) vào phương trình (1) ta được :


4 x  y  1  0  y  4 x  1 4 

Thế (4) vào phương trình (3) ta được :

2 5x  1  6 x  2

1

x 


3
5 x  1  9 x 2  6 x  1


1
2


x  , loai
x 



3
9

2
9 x  11x  2  0
x  1  y  3


Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1;3
5

x

1

y



2
Bài toán 6. 
 y  2  x  3 x  1   3

4

(1)

 2

Giải:
 y  1
. Phương trình 1  2 x  2 1  y  5 .
 x  1

Điều kiện : 

 2 1  y  2x  5

5

x 
2

4  y  1  4 x 2  20 x  25  3


Phương trình  2  4 y  4  8  x  3 1  x  1 4 

Thế (3) vào phương trình (4) ta được :
4 x2  20 x  24  8  x  3 x  1  0





 4  x  3 x  2  2 x  1  0

 4  x  3 x  2   8  x  3 x  1  0
3

x  3  y   4

 2 x  1  2  x, loai vi x  5

2



3

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là  3;  
4



 x 3 - y3 = 9
2
2

 x + 2y = x - 4y

Bài toán 50 . 

 x 3 = 9 + y3
Giải: Hệ phương trình   2
2
 3x - 3x = -6y - 12y

1
2

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta được :
3

x 3  3x 2  3 x  y 3  6 y 2  12 y  9   x  1   y  2 
 x 1  y  2

 y  x 3

3

 3

Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta được
 x  1  y  2
3
x3  9   x  3  9 x 2  27 x  18  0  
 x  2  y  1

Hệ phương trìnhcó 2 nghiệm 1; 2  ,  2; 1
 x 2  xy  y 2  x 2  y 2  185 1

Bài toán 66. 
 x 2  xy  y 2  x 2  y 2  65  2 

Giải: Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) ta được :
2  x 2  y 2  x 2  y 2  250





x2  y 2

3

  125 

x2  y2  5

Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta được
5  25  xy  = 185  xy = 12 . Khi đó ta có hệ phương trình :
2

 12 
2

x


  5
 x 2  y 2  5

 x 



12
 xy  12
 y  x

 3


  x 2  16
x  4  y  3
 2
x  3  y  4

  x  9  
 x  4  y   3

12

y


 x  3  y   4
x

 x 4  25 x 2  144  0


12
y  x


Hệ phương trình có 4 nghiệm  4;3 ,  3; 4  ,  3; 4  ,  4; 3
 x y  x y  2

Bài toán 67. 
 y  x  y  x  1

1
2

x  0
y  0

Giải: Điều kiện : 
x  y
y  x


Vì :



 



x  x 0 y x  y x 0

Suy ra, vế trái của (2) dương.Bình phương 2 vế 2 phương trình của hệ ta được :
 x 2  y  2  x  3
2 x  2 x 2  y  4



2y+ y 2  x  1
2 y 2  x  1  2 y  4 
0  x  2

0  x  2

 y  4  4x
x  y  4  4x  x

 3  

2

2

1

1

0  y  2

0  y 

2
 4  
2
2
2
4  y  x   1  4 y  y
3 y  4 x  4 y  1  0


1

1
0 y


2
0  y 



, loai
2

3

69
2
3 y  3 y  5  0

y 


6

Hệ phương trìnhvô nghiệm


 x  y  x  y = 1

Bài toán 76. 

2
2
2
2
 x  y  x  y  1

1
 2

Giải:
Do phương trình(1)  x  y  x  y  y   y  y  0
Điều kiện : x  y  0
Bình phương 2 vế từng phương trình ta được
2 x 2  y 2  1  2 x
2 x  2 x 2  y 2  1


 2

4
4
2 x  2 x  y  1
2 x 4  y 4  1  2 x 2

 3

1
2

Điều kiện : 0  x  . Phương trình  2   4  x 2  y 2   1  4 x  4 x 2

 4 y2  4x 1  y2 

4x 1
4

 4

Thế (4) vào phương trình(3) ta được :
2

 4x 1 
2
2 x 
  1 2x
4


4


16 x 2  8 x  1 
2
4
 4  x4 
  1  4x  4x
16



3
8

Suy ra y 2   y 

 8x  5  0  x 

5
8

3
2 2
5

3 

8 2 2 

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là  ;

 x 2 1  y 2   2

Bài toán 82(THTT).. 

2 2
2
 x y + xy = 3x - 1

Giải: Phương trình 1  x 2 y 2  2  x  3 

1
 2


Thế (3) vào (phương trình(2) ta được :
2  x 2  xy  3 x 2  1  4 x 2  xy  3  0 . Ta có x = 0, loại.

Xét x  0 : y 

4x2  3
4x2  3
. Thế y 
vào (1) ta được :
x
x

  4 x2  3 2 
2
2

2
4
2
x 1  
   2  x   4 x  3  2  16 x  23 x  7  0
  x  
2

x  1 y  1
 x  1  y  1

2
x 1

7
  2 7  x 
 y
x 
4


16

x   7  y 

4

5
7
5

7

 7
5  
7 5 
;
;
 ,  

4
4
7
7 

 

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm 1;1 ,  1; 1 , 

2 x3  9 y 3   x  y  2 xy  3
Bài toán 83(THTT)..  2
2
 x - xy + y = 3

Giải: Thế phương trình(2) vàophương trình (1) ta được :
2 x3  9 y 3   x  y   2 xy  x 2  xy  y 2 
 2 x 3  9 y 3   x  y   x 2  xy  y 2   x 3  y 3  x 3  8 y 3

 3

Ta có y = 0 thì x = 0, không thỏa (2), loại

x

3

x

Xét y  0 : phương trình  3     8   2  x  2 y .
y
 y
Thế x  2 y vào phương trình(2) ta được :

2y

2

 2 y2  y2  3

 y  1 x  2
 y2  1  
 y  1  x  2

1
 2


Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 1; 2  ,  1; 2  .

 3  x - y  = 2 xy

Bài toán 95. 

2

2 x  y  8

1
2

Giải: Điều kiện : x  y  0
Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
2

3  x  y   4 xy  3x 2  10 xy  3 y 2  0

 3

TH 1 : y  0  x  0 : không thỏa hệphương trình.

TH 2 : y  0 : phương trình  3  3 


2

x
x
  10  3  0
y
y

x

y 3
x  3y


x 1
 y  3x
y  3


 y  4  x  12
 x = 3y : phương trình  2    y 2  6 y  8  0  
y  2  x  6
 y = 3x : phương trình  2   9 x 2  2 x  8  0 , vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 12; 4  ,  6; 2  .

2






x y -

x  y = y 1

 x 2  y 2  9

2

Bài toán 96. 

Giải: Điều kiện : x   y . Bình phương 2 vế củaphương trình (1) ta được :





4 2 x  2 x 2  y 2  y 2  3

Thế phương trình (2) vàophương trình (3) ta được : 8 x  24  y 2

4 .


Điều kiện : x  3 . Thế (4) vàophương trình (1) ta được :





 x  x 2  8 x  24  x  3

4 2 x  2 x 2  8 x  24  8 x  24

 x 2  8 x  24  3  x 2  8 x  15  0

 x  5  y  4


x  3  y  0

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm :  5; 4  ,  3;0  ,  5; 4  .
 x  y 2  x 2 = 12 - y

Bài toán 97. 
 x y 2  x 2 = 12

1
 2

Giải: Điều kiện : y 2  x2 . Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
 x y 2  x 2  72  12 y

y 2  2 x y 2  x 2  144  24 y  y 2

 3

Thế (3) vào phương trình (2) ta được : 12  72  12 y  y  5
Bình phương 2 vế của phương trình (2) ta được :
 x 2  16
 x  y  x   144  x  25  x   144   2
 x  4; x  3
x  9
2

2

2

2

2

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm :  3;5  ,  3;5  ,  4;5  ,  4;5  .
 x 2  y  1 y  x  1  =3x 2 - 4x +1
2
 xy  x  1  x

Bài toán 98. 

Giải: Điều kiện : xy  x  1  0
TH 1 : x  0 : không thỏaphương trình (2).
TH 2 : x  0 : phương trình  2   y  1 
Thế (3) vào phương trình (2) ta được :

x2 1
x

 3

1
2


 x2  1  
x2 1 
2
2
2

2
x2 
x


  3 x  4 x  1   x  1 2 x  1  3 x  4 x  1
x
x



 x  1  y  1
 x  2x  6x  4  0  
 x  2  y   5

2
3




5

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm 1; 1 ,  2;   .
2


3x  y

 x  x 2  y 2 =3


Bài toán 99. 
 y  x  3y = 0

x2  y 2

Giải: Điều kiện : x 2  y 2  0
 x  x 2  y 2   3 x  y =3  x 2  y 2 

Hệ phương trình  
2
2
 y  x  y   x  3 y = 0

1
 2

Xét x  0 :hệ phương trình trở thành :
3 y 2  y = 0
 y  0 , loại.
 3
 y  3 y = 0

Xét y  0 :hệ tphương trình rở thành :
 x3  3x  3x2 = 0
 x  0 , loại

-x = 0

Xét x, y  0 : Hệ phương trình

 xy  x 2  y 2   3 xy  y 2 =3y  x 2  y 2 


2
2
2
 xy  x  y   x  3 xy = 0

 3
 4

Cộngphương trình (3) và phương trình (4) lại với nhau ta được :
2 xy  x 2  y 2   y 2  x 2  3 y  x 2  y 2 


  2 xy  3 y  1  x 2  y 2   0

 2 xy  3 y  1  0  x 

3y 1
2y

 5

Thế (5) vào phương trình (2) ta được :
 3 y  1  2
 3y 1
2
 y 


y
 3y  0


2y
 2 y 

 4 y 3  9 y 2  6 y  1  2  3 y  1  12 y 2  0

 4 y3  3y 2 1  0  y  1  x  1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;1 .
Bài toán 104(HSGHCM 2013-2014).

16 x 2  4 xy  y 2 = 12
 2
8 x  4 xy  28 x  5 y  18

1
2

Giải: Hệ phương trình trở thành
16 x 2  4 xy  y 2 = 12
 2
16 x  8 xy  56 x  10 y  36

1
2

Cộng phương trình (1) và phương trình (2) lại với nhau ta được :

32 x 2  2  6 y  28 x  y 2  10 y  24  0

Xem x là ẩn của phương trình, y là tham số.
6 y

x

2
4   y  6  4x
   2 y  4  . Phương trình có nghiệm : 
 y  4  4x

x  4  y

4
2

 y  6  4 x : Phương trình 1  16 x 2  4 x  6  4 x    6  4 x   12  0
 16 x 2  24 x  24  0 , vô nghiệm.


2

 y  4  4 x : Phương trình 1  16 x 2  4 x  4  4 x    4  4 x   12  0

 16 x 2  16 x  4  0  x 

1
 y 2.
2

1
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; 2  .


 x 4 - x3 y + x 2 y 2 = 1


Bài toán 107. 

 x3y - x 2 + xy = -1

 x 2 y  x - y  = x 4 - 1 1

Giải : Hệ phương trình  
(I)
2
2
 xy x + 1 = x - 1  2 





Ta thấy nếu x = 0 thì không thỏa hệphương trình. Vậy x  0
4
 x  1  0
 x  1

2
 x  1  0

TH 1: y = 0 : Hệ phương trình (I)  

 y 1  y   0

TH 2: x = 1: Hệ phương trình (I)  

2 y  0

 y0

Vậy (1; 0) là một nghiệm của hệ phương trình.
 y  1  y   0

TH 3: x = -1: Hệ phương trình (I)  

2 y  0

 y0

Vậy (-1; 0) là một nghiệm của hệ phương trình.
 x  1
: Lấy phương trình (1) chia cho phương trình (2), vế theo vế, ta được :
y  0

TH 4: 

x y 

2
4
2
  x  1  xy    x  x  1 (3)
2
 x 1 

(2) x 

Thế (3) vào phương trình 2) ta được :
x 2  1    x 4  x 2  1 x 2  1  x 2  1    x 6  2 x 4  2 x 2  1






 x 6  2 x 4  3 x 2  0  x 2 x 4  2 x 2  3  0 , vô nghiệm.

Hệ phương trình đã cho có nghiệm :  1;0  , 1;0  .
7 3
 3 3
8 x y + 27 = y
Bài toán 111. 
2
4 x 2 y + 6x = y2


Giải : Dễ thấy y = 0 không thỏa hệphương trình. Vậy y  0 .
27

7
 3
8 x + y 3 = 2

Hệ phương trình   2
4 x + 6 x = 1
 y
y2

3  2 9 6 x 
7
 2 x   4 x  2   =
y 
y
y 
2


2 x  2x + 3  = 1

 y 
y


3

3
7
3
 2 x  +   =

2

 y

3
 x
 2 y  2x + y  = 1

 

1
2

Từ phương trình (2)  x  0 . Phương trình (2)  2 x 
Thế (3) vào phương trình (1) ta được :
y  2 9 6x 
7
y  2 9 6x 
7

 4x  2   =
 4x  2   =
2x 
y
y 
2
2x 
y
y 
2

7
y
2

=
9 6x
2x
4x2  2 
y
y

 7 x = 4 x2 y 


9 6x 
 7 x = y  4 x2  2  
y
y 


9
2
 6 x  4  xy   13 xy + 9 = 0
y

3 y

y 2x

 3

1

 xy  1
y  x


 xy  9
 xy  9

4

4x

y 

9
10
1
9
: Phương trình (3)  5 x  2  10 x 3  9  x  3
 y3
x
2x
10
9

y 

27
3
3 3 80
9
10
9
x 3
 y
: (3)  x  2  x 3 
4x
3
8x
80
4
80


9 3 10   3 3 3 80 
;
 ,  3 ;
.
4 
 10 9   80

Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm :  3

2 x3 - 9y3 =  x  y  2 xy  3 1
Bài toán 114. 
2
2

 2
 x + y - xy = 3

Giải : Thế phương trình (2) vàophương trình (1) ta được :
2 x3 - 9y3 =  x  y   x 2 + y 2 + xy 

 2 x3 - 9y3 = x 3 - y 3  x 3 = 8y 3

 x = 2y

Thế : x = 2y vàophương trình (2) ta được :
3 y 2  3  y  1  x  2

Hệphương trình đã cho có 2 nghiệm :  2;1 ,  2; 1 .
Bài toán 151.

 x  3 x  4   y  y  7 
 2
x 1
 y
=

2 y
 x 1

 x 1  0
x  1
Giải: Điều kiện : 

2  y  0  y  2

Phương trình (1)  y 2  7 y  x 2  x  12  0

(3)

1
 2


Xem phương trình (3) là phương trình theo ẩn y, còn x là tham số.
2

1
y  x  4

  4  x   . Nghiệm là : 
2

y  3 x

 x  4
 y = x + 4 , thế vào phương trình 2) ta được :

2

x 1

=

x 1

. ,loại
x  2

 y = 3 - x , thế vào phương trình (2) ta được :

3  x 

2

x 1

=

x 1
x 1

 x  5  y  2
 10  7 x  x 2 = 0  
x  2  y  1

 9  6 x  x2 = x - 1

Hệ phương trình có 2 nghiệm :  5; 2 ;  2;1
 x 2  y  x  y   1  0
Bài toán 181.  2
 x  1  x  y  2   y  0

1
 2

 x 2  1  y  x  y 
 x 2  y  x  y   1  0
Giải : Ta có :  2
 2
 x  1  x  y  2  y  0
 x  1  x  y  2   y  0





 y = 0 không thỏa hệ
 Xét y  0 . Chia 2 vế của phương trình (2) cho y, ta được :
 x 2  1  y  x  y 
 x 2  1  y  x  y 


2
 x  y  12  0
x

y

2
x

y

1


0






 x 2  1  yx  y   x 2  1  y


x  y  1
x  y  1
x 2  1  1  x



y  1 x

x 2  x  0



y  1 x

 x  0  x  1
y  1 x



Hệ phương trình có 2 nghiệm :  0;1 ;  1;2 

 x2  2 y  3  2 y  3  0

Bài toán 182. 
2
3
3
2  2 y  x   3 y  x  1  6 x  x  1  2  0

Giải : Điều kiện : x 2  2 y  3  0
 x2  2 y  3  2 y  3  3  2 y
Hệ phương trình  
2
3
3
 2  2 y  x   3 y  x  1  6 x  x  1  2  0

Từ phương trình (1) ta có : 3  2 y  0  y 

1
2

3
2

 y = 0 không thỏa hệ
 Xét y  0 . Chia 2 vế của phương trình (2) cho y 3 , ta được :
3

2

2

x
x
x
3
x2
x
2

4

3

6


6
6 3  3 0
3
2
2
2
3
y
y
y
y

y
y
y
3

2

x
x2
x 2
x
x
3
 2 3 6 3 6 3  3 3 2 6 2  2 4  0
y
y
y
y
y
y
y
2
 x3
x2
x 1   x
x
1 
 2  3  3 3  3 3  3   3 2  2 2  2   4  0
y
y

y  y
y
y 
y

3

2

 x  1
 x  1
 2
  3
  4  0
 y 
 y 



Thế vào phương trình (1), ta được :
 4 y 2  6 y  4  3  2 y 

2

x 1
 2  x  2 y  1
y
4 y2  6 y  4  3  2 y

 18 y  5  0  y 

5
14
 x   , thỏa điều kiện ban đầu.
18
9

14 5

Hệ phương trình có nghiệm :   ; 
 9 18 
 x 2  xy  y 2  7
2
2
 x  xy  2 y   x  2 y

Bài toán 188. 

1
 2


Giải : Phương trình (2)  x2  (1  y ) x  2 y 2  2 y  0
Xem đây là phương trình theo ẩn x, còn y là tham số.
x  2y
  (3 y  1)2 . Nghiệm là : 
 x   y 1
 x  2 y ,thay x  2 y vào phương trình (1) ta được :

 y  1 x  2

7 y2  7  
 y  1  x  2
 x   y  1 , thay vào phương trình (1) ta được :

2

  y  1    y  1 y  y 2  7

 y  3  x  2
 y2  y  6  0  
 y  2  x  3

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm :  2;1 ;  2; 1 ;  2; 3  ;  3; 2 
 2 x 2  xy  x  1  y 2  x  3 y  x  y  2

Bài toán 197. 

2
2
4 x  y  4 xy  6 x  3 y  2  0

2 x 2  xy  x  1  0
Giải : Điều kiện : 
2
 x  3 y  y  0

Phương trình (2)  y 2   3  4 x  y  4 x 2  6 x  2  0

(3)

Xemphương trình (3) là phương trình theo ẩn y, còn x là tham số.
4x  3 1

 2x  2
y 
2
  1 . Nghiệm là : 
 y  4x  3 1  2x 1

2

 y  2 x  2 ,t hế y = 2x -2 vào phương trình (1) ta có phương trình :
4 x 2  x  1  4 x 2  x  2  3 x (4)



3
2

4 x  x  1  4x 2  x  2

 3x

1
2




1

4x2  x 1  4x2  x  2

 4x 2  x  1  4x 2  x  2 

x0

1
(5)
x

Do 4 x 2  x  1  4 x 2  x  2, x   nên từ phương trình trên ta có : x > 0.
Cộng phương trình(4) và phương trình(5), vế theo vế, ta được :
1
2 4 x  x  1  3x 
x

1

 4  4 x  x  1   3x  
x


2

2

2

  x  1  7 x3  3 x 2  x  1  0  x  1  y  0 , thỏa phương trình

 7 x4  4 x3  2 x2  1  0

 y  2 x  1 ,thế y = 2x -1 vào phương trình (1) ta có phương trình :
4 x 2  1  4 x 2  3 x  2  3 x  1 (6)

4 x 2  3 x  2  0

Điều kiện : 

3x  1  0

 x

3  41
0
8

Vì x  1 không thỏa phương trình nên x  1 .

 4 x 2 1  4 x 2  3x  2 

3x  3
3x  1

 6 

3 x  3
4 x 2  1  4 x 2  3x  2

 4 x 2  1  4 x 2  3 x  2  1 

 3x  1

4
(7)
3x  1

Cộng phương trình(6) và phương trình(7), vế theo vế, ta được :
2 4 x2  1  3x 

4
3x  1

 16 x 2  4  9 x 2 

4 

 4  4 x  1   3 x 

3x  1 

16

 3x  1

2



 63x 4  42 x3  29 x 2  12  0

x

2

2

24 x
3x  1

2

  7 x 2  4   3 x  1  16  24 x  3 x  1

2

  x    63 x 3  84 x 2  27 x  18   0
3


2
1
 2 1
 y  , thỏa phương trình. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 1;0  ;  ; 
3
3
 3 3