Góc tạo bởi hai đường thẳng

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
(Xét trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy)
LTS. Theo quan sát, tôi nhận thấy nhiều bạn học sinh còn lúng túng trong cách giải quyết
các bài toán về góc trong hình học giải tích phẳng. Bài viết này hỗ trợ một phần nhỏ về mặt
kỹ thuật, giúp các bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán loại này.
(Nguyễn Thành Bửu – trường THPT Tây Ninh)
1. Nhắc lại một số kiến thức trọng tâm.
a) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
r
r
r r r r
Cho a  (a1;a 2 ), b  (b1;b 2 ) với a �0, b �0 thì:
rr
r r
a.b
a1b1  a 2 b 2
cos(a ; b)  r r 
a b
a12  a 2 2 . b12  b 2 2
b) Góc giữa hai vectơ
uuur r
r
r
r
uuur r
�
 Cho hai vectơ a và b khác 0 . Từ một điểm O, vẽ OA  a và OB  b . Góc AOB
r r
r
r
được gọi là góc giữa hai vectơ a và b , ký hiệu là ( a , b) .

r
r
 Nếu gọi  là số đo của góc giữa hai vectơ a và b thì 00 � �1800 .
c) Góc giữa hai đường thẳng
 Hai đường thẳng 1 và  2 cắt nhau tạo thành bốn góc. Góc nhỏ nhất trong bốn góc
đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 , ký hiệu là (1,  2 ) .
 Gọi  là số đo của góc (1,  2 ) thì 0   �900 (Khi 1 / /  2 hay 1 � 2 thì qui
ước   00 ).
d) Kết quả

r r
 Cho hai đường thẳng 1 và  2 có VTPT lần lượt là n1, n 2 . Gọi  số đo của góc
r r
(1,  2 ) thì: cos   cos(n1, n 2 )
r r
 Cho hai đường thẳng 1 và  2 có VTCP lần lượt là u1, u 2 . Gọi  số đo của góc
r r
(1,  2 ) thì: cos   cos(u1, u 2 )
2. Một số ví dụ.
a) Bài toán 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có A(2; 1) và phương trình đường
thẳng BC là x  3y  1  0 . Viết phương trình các đường thẳng AB và AC.
Các bạn hãy quan sát ba cách giải sau:
A(2; 1)

450
B

450
C
trang 1

Cách 1:
- Do  đi qua A(2; 1) nên phương trình đường thẳng  có dạng: ax  by  2a  b  0
r
r
(với a 2  b 2  0 ). Suy ra n1  (a; b) là VTPT của  . Mặt khác n 2  (1; 3) là VTPT của
BC.
r r
0
- Từ giả thiết  tạo với BC một góc 450 , ta có: cos  , BC   cos(n1, n 2 )  cos 45
a  3b

Do đó:

a 2  b 2 . 10



2
� 2(a  3b)2  10(a 2  b 2 ) � 2a 2  3ab  2b 2  0
2

2
a
a
1
�a � �a �
� 2 � � 3 � � 2  0 (vì b �0) �  2 �   .
b

b
2
�b � �b �

a
 2 : cho a  2 thì b  1 , khi đó phương trình đường thẳng  là 2x  y  5  0
b
a
1
Với   : cho a  1 thì b  2 , khi đó phương trình đường thẳng  là x  2y  0
b
2
- Không mất tính tổng quát, nếu chọn phương trình đường thẳng AB là 2x  y  5  0 thì
phương trình đường thẳng AC là x  2y  0 và ngược lại.
Với

Cách 2:
- Đường thẳng  đi qua A và có hệ số góc k là: y  1  k(x  2) � kx  y  1  2k  0 .
r
r
Suy ra n1  (k; 1) là VTPT của  . Mặt khác n 2  (1; 3) là VTPT của BC.
r r
0
- Từ giả thiết  tạo với BC một góc 450 , ta có: cos  , BC   cos(n1, n 2 )  cos 45 .
k 3

2
1
2
2

2
� k  2 �k  .
�
2(k

3)

10(k

1)
�
2k

3k

2

0
2
2
k 2  1. 10
Với k  2 : phương trình đường thẳng  là 2x  y  5  0 .
1
Với k  : phương trình đường thẳng  là x  2y  0 .
2
- Không mất tính tổng quát, nếu chọn phương trình đường thẳng AB là 2x  y  5  0 thì
phương trình đường thẳng AC là x  2y  0 và ngược lại.
Do đó:



Cách 3:
- Phương trình đường thẳng (D) đi qua A và vuông góc BC là 3x  y  5  0 .
- Gọi I là hình chiếu của A trên BC. Từ phương trình của (D) và BC ta tìm được
�8 1 �
I � ;  �.
�5 5 �
B �BC
�
- Đỉnh B của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: �
IB  IA  d(I, BC)
�
Từ B �BC , ta có B(1  3b; b) . Thay vào hệ thức còn lại và bình phương hai vế, ta được
2
2
2
2
� 3� � 1� 8
� 1� 8
� 1 � 4 � b  1 �b   3
3b  � �
b  �  � 10 �
b  � � �
b  �
�
5
5
� 5� � 5� 5
� 5� 5
� 5 � 25

1
�2 1 �
Với b  thì B � ; �, khi đó phương trình đường thẳng AB là x  2y  0 .
5
�5 5 �

trang 2


14 3 �
3
�
thì B � ;  �, khi đó phương trình đường thẳng AB là 2x  y  5  0 .
5�
5
�5
Do vai trò của B và C như nhau nên nếu chọn phương trình đường thẳng AB là
2x  y  5  0 thì phương trình đường thẳng AC là x  2y  0 và ngược lại.

Với b  

Bình luận
1) Các bạn cần chú trọng rèn kỹ năng sử dụng kỹ thuật tìm hệ số a, b của x, y trong
phương trình đường thẳng ở cách 1, vì kỹ thuật này an toàn và được sử dụng nhiều trong
các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách.
2) So sách cách 1 và cách 2, ta thấy giải bằng cách 2 đơn giản hơn so với cách 1. Tuy
nhiên cách 2 là cách giải chưa chặt chẽ. Ở một số bài toán, khi làm các bạn sẽ bị mất
nghiệm. Nguyên do là ở ví dụ trên, cả hai đường thẳng cần viết phương trình đều có hệ số
góc, nên trong kết quả luôn xuất hiện chúng. Nếu một trong hai đường thẳng cần tìm vuông
góc với trục x’Ox (đường thẳng cần tìm này không có hệ số góc) thì trong cách giải 2, sẽ

không xuất hiện chúng. Các bạn có thể giải các bài toán sau bằng cách 2 để thấy điều đó:
a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có A(2; 1) và phương trình đường thẳng BC là
x  y  4  0 . Viết phương trình các đường thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua K(1; 0) và tiếp xúc với đường tròn (C) tâm
I(2; 3) , bán kính R  1 .
Cách khắc phục: xét đủ hai trường hợp đường thẳng cần tìm vuông góc Ox và không vuông
góc Ox.
3) Cách giải 3 là cách giải được sử dụng nhiều (tuy ở bài này có hơi rườm rà) trong các
bài toán thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng.
Các bài toán tương tự
Bài 1. Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của hình vuông ABCD biết A   4; 5  ,
BD : 7x – y  8  0 .
Bài 2. Cho tam giác đều ABC có đỉnh A  2; 1 , phương trình BC : 3x + 4y  5  0 . Viết
phương trình các đường thẳng AB, AC.
Bài 3. Cho điểm A(1; 1) và đường thẳng  : 2x  3y  4  0 . Viết phương trình đường
5
thẳng  ' đi qua A và hợp với đường thẳng một góc  sao cho cos  
.
26
�1 �
Bài 4. (Khối B/2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I � ;0 �, phương trình đường thẳng
�2 �
AB là x  2y  2  0 và AB  2AD . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có
hoành độ âm.
�  cos IBA
�  2 . Bài toán
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có tam giác IAB cân tại I và cos IAB
5
trở thành: Viết phương trình đường thẳng đi qua I và hợp với AB một góc  trong đó
2

cos  
. (Các bạn cũng có thể áp dụng cách giải 3 của bài toán 1 để giải).
5

trang 3


Bài 5. (Khối A/2012) Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm
11 1 �
�
trên cạnh CD sao cho CN  2ND . Giả sử M � ; �và đường thẳng AN có phương trình
�2 2 �
2x – y – 3  0 . Tìm toạ độ điểm A.
�
Hướng dẫn: cos MAN


AM 2  AN 2  MN 2
2
�

� MAN
 450
2AM.AN
2

Cách 1. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và hợp với AN một góc 45 0, ta được
phương trình của (D) là 3x  y  17  0 hoặc x  3y  4  0 . Kết hợp từng phương trình trên
với phương trình AN để tìm A.
Cách 2. Gọi I là hình chiếu của M trên AN thì tam giác AIM vuông cân tại I.

3 5
3 10
(*)
� AM  MI 2 
2
2
Do A �AN nên A  x; 2x  3 . Từ (*) được:
Ta có MI  d(M, AN) 

2
2
x 1
�
7 � 45
� 11 � �
2x  � 
� x 2  5x  4  0 � �
. Vậy A(1; 1) hoặc A(4; 5) .
�x  � �
x

4
2
2
2
�
� �
�
�

b) Bài toán 2. Cho tam giác ABC cân tại A có AB : x  2y  1  0 , BC : 3x  y  5  0 .
Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm M  1; 3 .
A

M  1; 3



C

B

Giải
r
Đường thẳng AB nhận n1   1; 2  làm VTPT.
r
Đường thẳng BC nhận n 2   3; 1 làm VTPT.
r
r
r
Gọi n 3   a; b  (với a 2  b 2  0 ) là VTPT của AC ( n 3 / / n1 )
Vì tam giác ABC cân tại A nên (CA, CB)  (BC, BA) � cos(CA, CB)  cos(BC, BA)
r r
r r
r r
r r
n 3.n 2
n 2 .n1
3a  b
1

� cos n 3 , n 2  cos n 2 , n1 � r r  r r �

5
n3 n2
n 2 n1
a 2  b2









2

�a �
�a �
� 5(3a  b)  a  b � 22a  15ab  2b  0 � 22 � � 15 � � 2  0 (do b �0 )
�b �
�b �
a 1 a 2
�  �  .
b 2 b 11
r
r
a 1
 Với  : chọn a  1 thì b  2 . Trường hợp này bị loại vì khi đó n 3 / /n1 .
b 2

2

2

2

2

2

trang 4


r
a 2
 : chọn a  2 thì b  11 . Suy ra n 3   2;11 và phương trình đường thẳng AC
b 11
2x

11y  31  0 .
là
 Với

Bài tập tương tự
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có AB : 4x  3y  7  0 , BC : 7x  y  44  0 . Viết
phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm M  4; 2  .
Bài 2. (Khối D/2012) Cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có
�1 �
 ;1�. Tìm
phương trình là x  3y  0 và x  y  4  0 ; đường thẳng BD đi qua điểm M �

�3 �
toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Hướng dẫn: Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì tam giác IAD cân tại I.
Áp dụng cách giải của bài toán 2, các bạn tìm được phương trình đường thẳng BD. Từ đó
suy ra toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
----------- HẾT -----------

trang 5