Đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
Khóa thi ngày 06/11/2012
Môn: TOÁN. Buổi thi thứ nhất
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao
đề)
-----------------------------------------------------------------ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Bài 1: (5 điểm)
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2.
Chứng minh rằng: 27(ab + bc + ca − abc) ≤ 28
Bài 2: (5 điểm)
Kí hiệu ¢ + là tập hợp các số nguyên dương. Xét hàm số
f : ¢ + → ¢ + thỏa mãn điều kiện:
ff (m) + f (n) = m+ n, với mọi số nguyên dương m và n. Tính f(2012)
Bài 3: (5 điểm)
·
Cho góc nhọn xAy
cố đònh và điểm B cố đònh ở trong miền nhọn
·
của góc xAy
. Đường tròn (O) di động nhưng luôn đi qua hai điểm A và B,
cắt tia Ax tại C (khác A) và cắt tia Ay tại D (khác A). Tìm tập hợp trọng
tâm G của tam giác ACD
Bài 4: (5 điểm)
Cho S là tập hợp con của tập hợp T = { 1; 2;3;...; 99;100} . Giả sử S có
ít nhất 10 phần tử. Chứng minh rằng tồn tại các tập con khác rỗng X
và Y của S sao cho X và Y không có phần tử chung và tổng các phần
tử của X bằng tổng các phần tử của Y.
--- Hết ---

Biên tập: GV Huỳnh Quốc Hào

1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN BUỔI THI THỨ NHẤT
Bài
Hướng dẫn chấm
Bài 1
(5
điểm)

 a > 0, b > 0, c > 0
Vì : 
nên trong 3 số a, b, c tồn tại ít nhất 1 số
a + b+ c = 2
bé hơn 1
Giả sử a < 1. Xét E = (1 - a)(1 - b)(1 - c) trong đó 1 - a > 0
1/ Nếu E > 0 thì 1 - b và 1 - c cùng dương (vì nếu 1 - b < 0
và 1 - c < 0 thì

Điể
m
1

1

3

 1 − a + 1 − b+ 1 − c 
1
b+ c > 2. Vô lí), khi đó: E ≤ 
÷ =
3

 27
1
2/ Nếu E ≤ 0 thì E ≤
27
Trong cả hai trường hợp ta đều có E = (1 - a)(1 - b)(1 - c)
1
≤
27
1
Suy ra: 1 − (a + b + c) + ab + bc + ca − abc ≤
27
1
⇒ ab + bc + ca − abc ≤
+1
27
⇒ 27(ab + bc + ca − abc) ≤ 28 (đfcm)
2
3
Bài 2 Từ giả thiết suy ra: f[2f(n)] =2n với mọi n nguyên dương
(5
và f[2f(1)] = 2

điểm) Ta có: f(1) = 1
Thật vậy, giả sử f(1) = 1+ k với k là số nguyên dương
thì:
2 f (k) + 2 ff(1) =  ff(2 (k)) + ff(2 (1))

1

1

1

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

= f (2k + 2) = f [2(k + 1)] = ff[2 (1)] = 2
⇒ f (k) + ff(1) = 1 ⇒ (k) = − k. Vôlý
Giả sử f(n) = n. Khi đó: f(n+1) = f[f(n)+f(1)] = n + 1

1
1

1

Theo nguyên lý quy nạp, suy ra: f(n) = n, ∀n∈ ¢ + . Vậy f(2012)
= 2012

Biên tập: GV Huỳnh Quốc Hào

1

2

1


Bài 3
(5
điểm)

·
Đặt xAy
= α . Do A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O) và A,
·
B đối diện nhau nên CBD
= 1800 − α . Mặt khác:

·
·
·
·
BCD
= BAD
; BDC
= BAC
. Vậy tam giác BCD có số đo ba góc
không đổi, do đó các tam giác BCD luôn đồng dạng nhau
·
·
Gọi M là trung điểm CD thì các góc BMC
có số đo
; BMD

không đổi.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt lại tia Ax tại K,
đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD cắt lại tia Ay tại L. Ta
·
·
có: BKA
không đổi, suy ra K cố đònh. Tương tự,
= 1800 − BMC
·
·
không đổi, suy ra L cố đònh
BLA
= 1800 − BMD

1

1
1

·
·
·
·
·
·
·
Vì KML
= KMB
+ BML
= (1800 − BCA

) + (1800 − BDL
) = 1800 − BCA
+ BCA
= 1800
Nên K, M, L thẳng hàng
·
Do B thuộc miền trong của góc xAy
nên tập hợp (l ) các
điểm M là đoạn KL trừ hai điểm K, L
Suy ra tập hợp trọng tâm G của tam giác ACD là ảnh
2
của (l ) qua phép vò tự tâm A, tỉ số
3
Bài 4 Ta chỉ xét trường hợp S có 10 phần tử (còn nếu S có
(5
hơn 10 phần tử, thì khảo sát tập con S' có 10 phần tử
điểm) của S sau khi bỏ đi một số phần tử của S)
Khi đó số tập con khác rỗng của S là 210 − 1 = 1023

1

Mỗi tập con của S có tổng các phần tử không vượt
quá tổng 10 phần tử lớn nhất trong tập hợp T, tức là
bé hơn 1000, suy ra có ít hơn 1000 tổng khác nhau.
Trong khi đó, S có 1023 tập con khác rỗng. Theo nguyên
lý Dirichlet, phải tồn tại hai tập con X, Y có tổng bằng
nhau.
Giả sử các tập hợp X, Y nói trên có các phần tử
chung, khi đó, ta xóa đi các phần tử chung đó ở trong
mỗi tập hợp. Hai tập hợp mới tạo thành cũng có hai

tổng các phần tử bằng nhau và không tập nào bằng
rỗng sau khi xóa vì X, Y là hai tập hợp khác nhau và khác
rỗng.

1

--- Hết --Biên tập: GV Huỳnh Quốc Hào

3

1

1
1

1
1