DSVecto 2

0.1. KHÁI NIỆM VÉCTƠ

0.1
0.1.1

1

Khái niệm véctơ
Đại lượng vô hướng và đại lượng có hướng

Một đại lượng vô hướng là những đại lượng có thể biểu diễn bởi chỉ những
số (vô hướng). Ví dụ như độ dài, khối lượng, nhiệt lượng, v.v.
Một đại lượng có hướng là những đại lượng xác định khi biết cả về độ
lớn, phương và chiều. Ví dụ như vận tốc, gia tốc, lực, v.v.

0.1.2

Định nghĩa véctơ

Véctơ là một đại lượng có hướng.
Định nghĩa 1. Một véctơ (hình học), hay đoạn thẳng có hướng, là một đoạn
thẳng có quy định thứ tự của hai đầu mút. Điểm mút thứ nhất gọi là điểm
gốc (điểm đầu) và điểm mút thứ hai gọi là điểm ngọn (điểm đầu).
−−→
Ta ký hiệu một véctơ có điểm gốc A và điểm ngọn B là AB. Đường thẳng
−→
đi qua A và B được gọi là giá của véctơ AB.
Một véctơ có điểm gốc trùng với điểm ngọn được gọi là véctơ không và
−→ −−→ →
→
−

−
ký hiệu là 0 . Ví dụ AA = BB = 0 .
−→
Độ dài của đoạn thẳng AB được gọi là môđun hay độ dài của véctơ AB
−→
và được ký hiệu là |AB|. Véctơ có đọ dài bằng 1 được gọi là véctơ đơn vị .
Hai véctơ được gọi là cộng tuyến hay cùng phương nếu giá của chúng song
song hay trùng nhau. Hai véctơ cùng phương có thể cùng chiều (hướng) hay
−→
−−→
ngược chiều. Ta nói rằng hai véctơ AB và CD là cùng hướng nếu tịnh tiến
−−→
véctơ CD sao cho C trùng với A thì B và D ở cùng vế một phía đối với A.
−→
−−→
Ngượi lại ta nói hai véctơ AB và CD ngược hướng.
→
−
Quy ước. i) Ta quy ước véctơ 0 cùng hướng với mọi véctơ. Hiển nhiên
→
−
| 0 | = 0.
ii) Từ đây về sau, khi ta nói hai véctơ cùng hướng hay ngược hướng thì
hiển nhiên chúng phải cùng phương.
−→
−−→
Hai véctơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài.
−→
−→

Ví dụ 1. Trong Hình ??, hai véctơ AB và AC là không bằng nhau vì chúng
−→ −−→
không cùng phương tuy cùng độ lơn, hai véctơ AB, AD cũng không bằng
nhau vì không cùng độ lớn mặc dù chúng cùng hướng.


2
Khái niệm hai véctơ bằng nhau cho ta khái niệm véctơ tự do như sau.
Một véctơ tự do là véctơ chỉ cần xác định bởi hướng và độ lớn trong khi điểm
đặt là tùy ý. Thực chất véctơ tự do là một “lớp tương đương” các véctơ có
→
−
−
cùng hướng và độ lớn. Người ta thường dùng các ký hiệu →
a , b , . . . để chỉ
−→
−
các véctơ tự do. Nếu cho trước một véctơ tự do →
a thì véctơ AB nào đó thỏa
−→ →
−
→
−
mãn AB = −
a thì AB được gọi là véctơ buộc hay véctơ đại diện của véctơ →
a.

0.2
0.2.1

Các phép toán trên véctơ
Phép cộng và trừ hai véctơ

→
−
−
Định nghĩa 2. Cho hai véctơ (tự do) →
a , b trong không gian. Tổng của hai
→
−
−
véctơ →
a và b là một véctơ có véctơ đại diện xác định như sau: chọn O, A
−
→
−
−→ − −→ →
−−→
−
và B sao cho OA = →
a , AB = b . Khi đó ta định nghĩa →
a + b = OB.
−−→
−−→
→
−
−
Định nghĩa trên đây là đúng đắn: nếu O A = →
a và A B = b thì
−−→ −−→

O B = OB.
Chú ý 1. i) Véctơ tổng là véctơ đường chéo của hình bình hành có hai kích
thươt dựng trên hai véctơ ban đầu. Do đó ta có thể nói phép cộng hai véctơ
dưa trên quy tắc hình bình hành. Định nghĩa phép cộng hai véctơ phù hợp
với quy tắc hợp lực của hai lực đồng quy trong cơ học.
ii) Theo định nghĩa phép cộng hai véctơ và quy tắc hình bình hành, ta
thấy rằng với hai điểm A, B tùy ý ta có
−→ −−→ −−→
AB = AM + M B,
với mọi điểm M.
−
−
iii) Ta có thể định nghĩa phép cộng của n véctơ →
a1 , . . . , →
an như sau: chọn
−−→ →
−
−
−
−
−
→
−
→
−
các điểm O, A1 , . . . , An sao cho OA1 = a1 , . . . , An−1 An = an , khi đó
−−→
→
−
−

a1 + . . . + →
an = OAn .
Phép cộng các véctơ có các tính chất sau đây.
Mệnh đề 1. Phép cộng các véctơ có các tính chất:
→
−
→
− −
−
i) giao hoán: →
a + b = b +→
a;


0.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ

3

→
−
→
− −
−
−c = →
−
ii) kết hợp: (→
a + b )+→
a +( b +→
c );
→

−
−
−
iii) có phần tử trung hòa là véctơ không, tức là →
a + 0 =→
a , với mọi véctơ
→
−
a;
→
−
−
−
−
−
iv) mọi véctơ →
a đều có véctơ đối −→
a , tức là →
a + (−→
a)= 0.
Chứng minh. i) Ta có thể chọn các điểm O, A, B, B thỏa mãn (xem hình vẽ)
−
−→ −−→ →
−→ −−→ →
OA = B B = −
a , AB = OB = b .
Khi đó

→
−

− −
−→ −→ −−→ −−→ −−→ →
→
−
a + b = OA + AB = OB = OB + B B = b + →
a.

ii) Ta có thể chọn các điểm O, A, B, C sao cho
− −−→ −
−→ →
−→ →
OA = −
a , AB = b , BC = →
c.
Khi đó (xem hình vẽ)
→
−
→ −→
−−→ −−→ −−→ −→
−
−c = (−
(→
a + b )+→
OA + AB) + BC = OB + BC = OC.
Hơn nữa,
→
− −
−→
−→ −−→
−→ −→ −→

→
−
a +( b +→
c ) = OA + (AB + BC) = OA + AC = OC.
iii) Hiển nhiên.
−→
−→
−
−
iv) Nếu →
a = AB thì ta đặt −→
a = BA. Khi đó
−→ −→ −→ →
−
→
−
−
a + (−→
a ) = AB + BA = AA = 0 .
−
Từ mệnh đề ngay trên đây ta có thể định nghĩa hiệu của hai véctơ →
a và
→
−
b bởi
→
−
→
−
→

−
→
−
a − b
a + (− b ).
Phép cộng và trừ hai véctơ còn có tính chất sau đây.

Mệnh đề 2. Với hai véctơ tùy ý, ta có
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
a|−| b |
|→
a + b | ≤ |→
a | + | b | và |→
a − b | ≥ |→

→
−
−
Trong hai bất đẳng thức trên, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi →

a và b cùng
hướng.


4
→
−
−
Chứng minh. Dễ thấy rằng các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi →
a và b cùng
−
−
phương. Hơn nữa, rõ ràng |→
a +→
a | là độ dài của đường chéo hình bình hành
→
−
→
−
có hai kích thước là a và b . Do đó theo bất đẳng thức tam giác ta có được
bất đẳng thức thứ nhất. Để chứng minh bất đẳng thức còn lại, ta biểu diễn
→
−
→
−
→
−
→
−
−

−
−
|→
a | = |(→
a − b ) + b | ≤ |→
a − b | + | b |.
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
Suy ra |→
a | − | b | ≤ |→
a − b |. Tương tự, | b | − |→
a | ≤ |→
a − b |. Mệnh đề
được chứng minh xong.

0.2.2

Phép nhân một véctơ với vô hướng

−

Định nghĩa 3. Tích của một véctơ →
a với một số thực α là một véctơ, ký
→
−
→
−
−
hiệu α a , có môđun bằng |α|.| a | và cùng hướng với →
a nếu α > 0, ngược
−
hướng với →
a nếu α < 0.
Phép nhân véctơ với vô hướng có các tính chất sau đây.
→
−
−
Mệnh đề 3. Với mọi véctơ →
a , b và mọi α, β ∈ K, ta có
−
−
i) 1.→
a =→
a;

−
−
ii) (−1).→
a = −→
a;

−
−
iii) α(β →
a ) = (αβ)→
a;
−
−
−
iv) (α + β)→
a = α→
a + β→
a;
→
−
→
−
−
−
v) α(→
a + b ) = α→
a +α b
Chứng minh. Tính chất i) và ii) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa phép
nhân véctơ với vô hướng.
−
−
−
−
−
iii) Ta có |α(β →
a )| = |α|.|β →

a | = |α|.|β|.|→
a | = |αβ|.|→
a | = |(αβ)→
a |. Hơn
→
−
→
−
→
−
nữa, nếu αβ > 0 thì hai véctơ (αβ) a và α(β a ) cùng hướng với a , còn nếu
−
αβ < 0 thì cả hai véctơ trên đều ngược hướng với →
a . Do đó chúng bằng
nhau.
iv) Đẳng thức hiển nhiên đúng nếu
→
−
→
−
a = 0 hoặc α + β = 0.

XXXXXXXXXXX


0.3. HỆ VÉCTƠ ĐỘC LẬP, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

0.3
0.3.1

5

Hệ véctơ độc lập, phụ thuộc tuyến tính
Các định nghĩa

−
−
−
Định nghĩa 4. Cho k véctơ {→
a1 , . . . , →
ak }. Ta nói véctơ →
a là biểu thị tuyến
→
−
→
−
tính được qua hệ véctơ { a1 , . . . , ak } nếu có k số thực α1 , . . . , αk sao cho
→
−
−
−
−
a = α1 →
a1 + . . . + α k →
ak . Khi đó ta cũng nói →
a là một tổ hợp tuyến tính của
−
−
các véctơ {→
a1 , . . . , →

ak }.
−
−
Hệ véctơ {→
a1 , . . . , →
ak } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có k số thực
α1 , . . . , αk không đồng thời bằng 0 sao cho
→
−
−
−
α1 →
a1 + . . . + αk →
ak = 0 .
Một hệ véctơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến
−
−
tính. Nói cách khác, hệ véctơ {→
a1 , . . . , →
ak } là độc lập tuyến tính khi và chỉ
khi nếu có
→
−
−
−
α1 →
a1 + . . . + α k →
ak = 0
thì α1 = . . . = αk = 0.

0.3.2

Các tính chất

−
−
Mệnh đề 4. Hệ véctơ {→
a1 , . . . , →
ak } là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có
một véctơ của hệ biểu diễn tuyến tính được qua các véctơ còn lại.
Chứng minh. Hệ véctơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có các
số α1 , . . . , αn không đồng thời bằng 0 sao cho tổ hợp tuyến tính của hệ đã
→
−
cho ứng với bộ k số thực này bằng 0 . Điều này tương đương với việc véctơ
→
−
ai , i = 1, . . . , n, với αi = 0, là tổ hợp của các véctơ còn lại của hệ.
Mệnh đề sau đây nói lên ý nghĩa hình học của hai véctơ phụ thuộc tuyến
tính.
Mệnh đề 5. Điều kiện cần và đủ để hai véctơ phụ thuộc tuyến tính là chúng
cùng phương. Một cách tương đương, hệ hai véctơ là độc lập tuyến tính khi
và chỉ khi chúng không cùng phương.
→
−
−
−
Chứng minh. Hai véctơ →
a , b là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi α→
a +

→
−
→
−
2
2
β b = 0 trong đó α + β = 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử β = 0.
→
−
−
Từ đó b = − αβ →
a.


6
Định nghĩa 5. Ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng
song song với một mặt phẳng.
−
−
−
Mệnh đề 6. Cho hai véctơ không cùng phương →
e1 , →
e2 . Khi đó véctơ →
a đồng
→
−
→
−
phẳng với hai véctơ e1 , e2 khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một cặp số thực
−

−
−
(α1 , α2 ) sao cho →
a = α→
e1 + α2 →
e2 .
−
−
−
Chứng minh. Giả sử ta có biểu diễn →
a = α1 →
e 1 + α2 →
e2 . Khi đó ta có thể chọn
−−→ →
−−→ −
−
các điểm O, E1 , E2 , M sao cho OEi = ei , i = 1, 2 và OM = →
a . Rõ ràng bốn
−
−
−
điểm O, E1 , E2 , M cùng nằm trện cùng một mặt phẳng. Vậy →
a ,→
e1 , →
e2 đồng
phẳng.
Ngược lại, nếu ba véctơ trên là đồng phẳng. Ta cũng chọn các điểm
O, E1 , E2 , M như trên. Khi đó, ta dựng lần lượt hai đường thẳng qua M
−
a =

và song song với OE1 , OE2 cắt OE2 , OE1 lầt lượt tại E2 , E1 . Khi đó, →
−−→
−−→
−−→ −−→ −−→
OM = OE1 + OE2 và OEi cùng phương với OEi , i = 1, 2. Theo Mệnh đề 5,
−−→ −−→ −−→
→
−
−
−
a = OM = OE1 + OE2 = α1 →
e1 + α2 →
e2 .
Bây giờ, nếu

→
−
−
−
−
−
a = α1 →
e 1 + α2 →
e2 = α1 →
e1 + α2 →
e2

−
−
thì từ sự không cùng phương (độc lập tuyến tính) của hai véctơ →

e1 , →
e2 ta có
αi = αi , i = 1, 2.
Mệnh đề 7. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ trong không gian phụ thuộc
tuyến tính là chúng đồng phẳng.
→
− −
−
Chứng minh. Giả sử ba véctơ trong không gian →
a , b ,→
c phụ thuộc tuyến
tính. Khi đó theo Mệnh đề 4, ta có thể giả sử
→
−
→
−c = α→
−
a +β b .
→
−
→
−
−
−c cũng cùng phương với →
−
Nếu →
a và b cùng phương thì →
a , b . Ngoài ra,
theo Mệnh đề 6 ba véctơ đã cho là đồng phẳng.
→

− −
−
Ngược lại, giả →
a , b ,→
c đồng phẳng. Nếu hai trong ba véctơ này, giả sử
→
−
→
−
→
−
→
−
−
→
−
−
−
−c = →
a và b , cùng phương thì α→
a + β b = 0 . Khi đó α→
a + β b + 0→
0.
→
−
→
−
Ngoài ra, nếu hai trong ba véctơ, giả sử a , b , không cùng phương thì theo
→
−

−c biểu thị tuyến tính được qua hai véctơ →
−
Mệnh đề 6 véctơ →
a và b . Điều
này có nghĩa ba véctơ này phụ thuộc tuyến tính.


0.4. CHIẾU VÉCTƠ

7

−
−
−
Mệnh đề 8. Cho hệ ba véctơ trong không gian →
e1 , →
e2 , →
e3 không đồng phẳng.
→
−
Khi đó, bất kỳ véctơ a nào trong không gian cũng biểu diễn tuyến tính được
một cách duy nhất qua ba véctơ đó:
→
−
−
−
−
a = α1 →
e1 + α2 →
e2 + α3 →

e3 .
Chứng minh. Chọn các điểm O, E1 , E2 , E3 , M sao cho
−−→ →
OEi = −
ei , i = 1, 2, 3,

−−→ →
OM = −
a.

Qua M, dựng mặt phẳng song song với mp(OE2 E3 ) cắt đường thẳng OE1
tại M1 . Tương tự ta dựng M2 , M3 lần lượt là giao điểm của OE2 , OE3 và
các mặt phẳng qua M và song song với mp(OE1 E3 ), mp(OE1 E2 ). Khi đó ta
được một hình hợp chữ nhật xác định bởi ba kích thước OM1 , OM2 , OM3 .
−−→
−−→ −
Do OMi , i = 1, 2, 3, cùng phương với OEi = →
ei nên ta có
−−→ −−−→ −−−→ −−−→
→
−
−
−
−
a = OM = OM1 + OM2 + OM3 = α1 →
e1 + α2 →
e2 + α3 →
e3 .
Tính duy nhất của bộ ba (α1 , α2 , α3 ) được chứng minh tương tự như trong
chứng minh Mệnh đề 6.

Hệ quả 1. Trong không gian, bất kỳ hệ bốn véctơ nào cũng phụ thuộc tuyến
tính.
Chứng minh. Thật vậy, nếu trong hệ bốn véctơ có ba véctơ đồng phẳng thì
theo Mệnh 7 hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính. Ngoài ra,theo Mệnh đề 8, véctơ
còn lại của hệ biểu diễn tuyến tính được qua hệ ba véctơ không đồng phẳng.
Do đó hệ đã cho là phụ thuôc tuyến tính theo Mệnh 4.

0.4
0.4.1

Chiếu véctơ
Các định nghĩa

Một đường thẳng trên đó đã chọn một véctơ đơn vị được gọi là một trục.
Hướng của véctơ đơn vị được gọi là hướng của trục. . Nếu ta xem đường
−−→
thẳng đường thẳng ∆ như là một trục với véctơ đơn vị OE thì với bất kỳ
−−→
−−→
hai điểm M, N ∈ ∆ ta có M N = αOE. Khi đó số α (có thể âm hay dương)
−−→
−−→
được gọi là độ dài đại số của véctơ M N đối với véctơ OE và được ký hiệu
−−→
là α = A1 B1 . Nói cách khác, độ dài đại số của một véctơ M N đối với một


8
−−→
−−→

−
−
phương đơn vị →
e nào đó bằng |M N | nếu →
e và M N cùng phương và bằng
−−→
−|M N | nếu ngược lại.
−→
−
Trong không gian, cho véctơ →
a = AB, một trục ∆ và một mặt phẳng
(P ) không song song với ∆. Qua A và B lần lượt dựng các mặt phẳng song
song với (P ) và cắt ∆ tại A1 và B1 . Các điểm A1 và B1 được gọi là các điểm
−−−→
chiếu của A và B trên ∆ theo phương (P ). Véctơ A1 B1 được gọi là véctơ
−→
chiếu của AB trên ∆ theo phương (P ) và được ký hiệu là
−−−→
−→
A1 B1 = Pr∆,P (AB).
Trong trường hợp không sợ nhầm lẫn, ta nói gọn điểm chiếu và véctơ chiếu
là các hình chiếu.

Hình vẽ 12
Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P ) thì ta gọi phép chiếu trên
là phép chiếu vuông góc hay phép chiếu trực giao. Để đơn giản, ta viết Pr∆
là phép chiếu trực giao lên ∆.
Chú ý 2. Chương này ta chỉ nghiên cứu về “đại số véctơ”, các khái niệm cơ
bản trong hình học thông thường như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, . . . và
các quan hệ giữa chứng như quan hệ song song, quan hệ vuông góc giữa các

đường thẳng, mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, và góc giữa các
đường thẳng, mặt phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, véctơ, . . . , xem
như đã biết.

0.4.2

Tính chất

Các tính chất của phép chiếu véctơ được liệt kê trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 9.
i) Các véctơ bằng nhau có véctơ chiếu (trên cùng một trục,
theo cùng phương) bằng nhau.
ii) Véctơ chiếu của tổng hai véctơ bằng tổng các véctơ chiếu của các véctơ
thành phần.
−
−
iii) Pr∆,P (α→
a ) = αPr∆,P (→
a ).
Chứng minh. i) Hiển nhiên.


0.4. CHIẾU VÉCTƠ

9

→
−
−
ii) Giả sử →

a , b cho trước.

Hình vẽ 13
−
−
−→ − −−→ →
−→ − →
Chọn các điểm A, B, C sao cho AB = →
a , BC = b . Khi đó AC = →
a + b.
Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên trục ∆ theo phương
(P ). Khi đó
−−−→ −−−→ −−−→
A1 C1 = A1 B1 + B1 C1 .
Từ đó suy ra kết luận của mệnh đề.
−→ − −−→
−
iii) Lấy một điểm O trên trục ∆ và dựng OA = →
a , OB = α→
a . Chú ý
rằng α có thể dương

Hình vẽ 14a
hoặc có thể âm

Hình vẽ 14b.
Gọi A1 , B1 là hình chiếu của A, B lên trục ∆ theo một phương (P ) nào đó.
Khi đó, theo Định lý Thalet ta có
OB1
= α.

OA1
−−→
−−→
Từ đó OB1 = αOA1 và do đó mệnh đề được chứng minh xong.
Mệnh đề sau đây chỉ đúng cho phép chiếu trực giao.
Mệnh đề 10. Độ dài của hình chiếu vuông góc của một véctơ lên một trục
bằng môđun của véctơ đó nhân với cosin của góc giữa trục và véctơ.
Chứng minh.

Hình vẽ 15
−→ −
Từ một điểm O tùy ý trên trục ∆ ta dựng OA = →
a và dựng điểm A1 ∈ ∆
−−→
là hình chiếu vuông góc của A lên ∆. Khi đó OA1 là hình chiếu vuông góc
−→
của OA lên ∆. Suy ra
¤
−−→
−→
−→ −−→
|OA1 | = |OA|. cos (OA, OA1 )


10

0.5

Tích vô hướng của hai véctơ

→
−
−
Định nghĩa 6. Ta gọi tích vô hướng giữa hai véctơ →
a và b là một số thực
xác định bởi
ÿ
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
a b = |→
a |.| b |. cos (→
a , b ).

−
Ta gọi tích vô hướng của một véctơ →
a với chính nó là bình phương vô hướng
→
−
2
và viết a .
Tích vô hướng có các tính chất sau đây.
→

− −
−
Mệnh đề 11. Với mọi véctơ →
a, b, →
c và mọi số thực α, β, ta có
−
−
i) →
a 2 = |→
a |2 .

→
−
→
−
−
−
ii) Điều kiện cần và đủ để →
a ⊥ b là →
a . b = 0.

→
−
→
− −
−
iii) →
a . b = b .→
a.

→
−
→
−
→
−
−
−
−
iv) α(→
a . b ) = (α→
a ). b = →
a .(α b ).
→
− −
→
− − →
−
−
v) →
a .( b + →
c)=→
a. b +→
a .−c .
Chứng minh. i) Ta có
→
−
−
−
−

→
−
−
−
a .→
a = |→
a |.|→
a |. cos (ÿ
a ,→
a ) = |→
a |2 .

→
−
→
−
−
−
ii) Giả sử →
a ⊥ b . Khi đó góc giữa →
a và b là
→
−
−
Ngược lại, giả sử →
a . b = 0. Từ đó suy ra
→
−
−
|→

a | = 0 hoặc | b | = 0 hoặc

π
2

→
−
−
và do đó →
a . b = 0.

ÿ
→
−
−
cos (→
a , b ) = 0.

→
−
→
−
−
Từ đó, nếu →
a = 0 = b thì góc giữ chúng là π2 .
iv) Ta có
ÿ
ÿ
→
−

→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
−
α(→
a b ) = α[|→
a |.| b |. cos (→
a , b )] = sign(α)|α|[|→
a |.| b |. cos (→
a , b )].

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
− −→ −
−→ − −−→ →
v) Chọn các điểm O, A, B, C, D sao cho OA = →
a , OB = b , OC = →
c
− →
−−→ →
−
→

−
và OD = b + c . Hơn nữa, trên giá của a ta chọn O làm gốc và hướng của


0.5. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

→
−
a

11

b

c
Hình 1: Tính chất phân phối của tích vô hương đối với phép cộng.
→
−
a làm hướng của trục. Gọi B , C , D lần lượt là hình chiếu của B, C, D lên
−
giá của →
a . Khi đó
→
− −
→
− −→
−
−
→
−

−
a( b +→
c ) = |→
a |.OD = |→
a |(OB + OC ) = →
a b +→
a −c .
Mệnh đề được chứng minh xong.
Chú ý 3. Tích vô hướng của hai véctơ có ý nghĩa thiết thực trong lĩnh vực
→
−
cơ học. Ví dụ, ta có công thức tính công A của lực f khi điểm đặt của lực di
→
− −→
chuyển trên một đường thẳng từ một điểm A đến B là A = | f |.|AB|. cos ϕ.

→
−
f
ϕ
A

B

Hình 2: Công của một lực tác động lên vật di chuyển từ A đến B một lực f .
→
− − →
−
−
Ví dụ 2. i) Tính (→

a − b )(→
a + b ).


12
Giải. Ta có
→
− − →
−
→
− − →
→
− →
−
−
−
(→
a − b )(→
a + b ) = (→
a − b )→
a (−
a − b)b
→
− − →
→
−
→
− →
−
−

−
=→
a→
a + (− b )→
a +−
a b + (− b ) b
→
−
−
= |→
a |2 − | b |2 .
ii) Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng các bình phương
của hai đường chéo bằng tổng các bình phương của tất cả các cạnh.
−
−→ − −−→ →
Giải. Giả sử ta có hình bình hành ABCD. Đặt AB = →
a , DA = b . Khi
đó XXXXXXXX


0.6. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

0.6

Tích có hướng của hai véctơ

0.7

Tích hỗn tạp của ba véctơ

0.8

Tọa độ của véctơ

0.8.1

Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc

0.8.2

Tọa độ của điểm

0.8.3

Tọa độ của véctơ

0.8.4

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

0.8.5

Biểu thức tọa độ của tích có hướng

0.8.6

Biểu thức tọa độ của tích hỗn tạp

0.9
0.10

13

Đường và phương trình của đường trong
mặt phẳng
Mặt và đường trong không gian


14

Bài tập
Bài tập 0.1. Cho các véctơ a và b tạo nên một góc 60◦ . Biết rằng |a| =
5, |b| = 8. Tính |a + b| và |a − b|.
Bài tập 0.2. Cho |a| = 13, |b| = 19, |a + b| = 24. Tính |a − b|.
Bài tập 0.3. Tìm điều kiện của hai véctơ a, b để
i) |a + b| = |a − b|.
ii) a + b = k(a − b).
iii) |a + b| = |a| + |b|.
Bài tập 0.4. Chứng minh rằng tổng các véctơ có gốc là tâm của một đa giác
đều và có ngọn là đỉnh của đa giác ấy bằng véctơ không.
Bài tập 0.5. Cho tam giác ABC. Tìm điểm G trên mặt phẳng mp(ABC) sao
−→ −−→ −→
cho GA + GB + GC = 0.
“
Bài tập 0.6. Trong tam giác ABC, dựng đường phân giác AD của góc A.
−−→
Hãy biểu diễn véctơ AD dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các véctơ
−→ −→
AB, AC.

Bài tập 0.7. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của
−−→ −−→ −→
ba cạnh BC, CA, AB. Hãy biểu diễn tuyến tính các véctơ AM , BN , CP theo
−−→
−→
các véctơ BC và CA.
Bài tập 0.8. Hình thang cân ABCD có đáy dưới AB, đáy trên CD và góc
−→ −−→ −→ −−→
“ = π . Hãy biểu diễn các véctơ −
A
BC, CD, AC, BD dưới dạng một tổ hợp
3
−→
−−→
tuyến tính của AB và AD.
Bài tập 0.9. Tìm góc ở đỉnh của một tam giác cân biết rằng hai trung tuyến
xuất phát từ hai đỉnh kề đáy vuông góc với nhau.
√
Bài tập 0.10. Cho hai véctơ a, b biết |a| = 3, |b| = 1 và góc giữa a và b là
30◦ . Tìm góc giữa hai véctơ a + b và a − b.
Bài tập 0.11. Chứng minh rằng véctơ p = (bc)a − (ac)b vuông góc với c.


0.10. MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN

15

Bài tập 0.12. Cho hình chữ nhật ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh
rằng
−−→ −−→ −−→ −−→

−−→
−−→
−−→
−−→
i) M A.M C = M B.M D
ii) M A2 + M C 2 = M B 2 + M D2 .
Bài tập 0.13. Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý trong không gian. Chứng minh
−−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→
rằng BC.AD + CA.BD + AB.CD = 0. Từ đó suy ra rằng nếu một hình tứ
diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc nhau thì cặp cạnh đối diện còn lại
cũng vuông góc nhau.
Bài tập 0.14. Cho ba véctơ a, b, c không cùng phương. Chứng minh rằng
a ∧ b = b ∧ c = c ∧ a khi và chỉ khi a + b + c = 0.
Bài tập 0.15. Chứng minh rằng a ∧ (b + la) = (a + mb) ∧ b = a ∧ b, với l, m
là hai số thực tùy ý.
Bài tập 0.16. Chứng minh rằng nếu a ∧ b + b ∧ c + c ∧ a = 0 thì ba véctơ
a, b, c đồng phẳng. Điều ngược lại có đúng không?
−→
−−→
Bài tập 0.17. i) Định nghĩa (ABC) là số thực k sao cho AC = k.BC. Tính
(ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA) theo k.
ii) Cho (ABP ) = l, (ABQ) = m. Tính (P QA) và (P QB).
Bài tập 0.18. Cho ba véctơ a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng với mọi ba số thực
l, m, n, ba véctơ la − mb, nb − lc, mc − na là đồng phẳng.
Bài tập 0.19. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(−1, 2) và B(4, −3). Xác
−→
định tọa độ và độ dài của AB.
Bài tập 0.20. i) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba véctơ a = (2, 4), b =
(−3, 1), c = (5, −2). Tính tọa độ của các véctơ
2a + 3b − 5c,

a − 24b + 14c.

ii) Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ a = (5, 7, 2), b = (3, 0, 4), c =
(−6, 1, −1). Tính tọa độ của các véctơ
3a − 2b = c, 5a + 6b + 4c.
−→
−→
Bài tập 0.21. Cho hai véctơ SA = (−3, 0, 4) và SB = (5, −2, −14). Tìm
Ÿ
Ÿ
−→
−
→ −→
−
→ −→
−→ −→ −→
véctơ đơn vị SE sao cho (SA, SE) = (SE, SB) và các véctơ SA, SB, SE
đồng phẳng.


16
Bài tập 0.22. Ba lực cùng có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương
theo thứ tự có cường độ là 1,2,3, và cùng hướng với các véctơ đường chéo
của các mặt của hình lập phương đi qua đỉnh ấy. Tính cường độ của hợp lực.
Bài tập 0.23. Tìm góc giữ hai véctơ trong các trường hợp sau:
i) a = (3, 4), b = (1, 7);
iii) a = (8, 4, 1), b = (2, −2, 1);

ii) a = (2, −6),

iv) a = (2, 5, −4),

b = (−3, 9);
b = (6, 0, 3).

−→
−→
−→
Bài tập 0.24. Cho hai véctơ SA = (8, 4, 1), SB = (2, −2, 1). Tìm véctơ SC
thỏa mãn đồng thời bốn điều kiện sau:
Ÿ
→ −→ π
−→ −→ −→
−→ −
SC ⊥ SA; |SC| = |SA|; SB, SC <
2

−→ −→ −→
và SA, SB, SC đồng phẳng.
Bài tập 0.25. Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai véctơ a, b trong
các trường hợp sau đây:
i) a = (2, 3, 1), b = (5, 6, 4);
iii) a = (8, 4, 1), b = (2, −2, 1);

ii) a = (5, −2, 1),
iv) a = (−2, 6, −4),

b = (4, 0, 6);
b = (3, −9, 6).

Bài tập 0.26. Tính diện tích tam giác ABC với A(3, 4, −1), B(2, 0, 3), C(−3, 5, 4).
Bài tập 0.27. Phép nhân có hướng hai véctơ có luật giản ước hay không?
Nghĩa là nếu a ∧ c = b ∧ c với c = 0 thì có nhất thiết a = b?
Bài tập 0.28. Người ta gọi vétơ (a ∧ b) ∧ c là tích véctơ kép của ba véctơ a, b
và c. Chứng minh rằng (a ∧ b) ∧ c = (a.c)b − (b.c)a.
Bài tập 0.29. Chứng minh rằng
(a ∧ b).(c ∧ d) =

a.c a.d
.
b.c b.d

Bài tập 0.30. Cho ba véctơ a = (3, 1, 2), b = (2, 7, 4), c = (1, 2, 1). Tính
(a, b, c);

(a ∧ b) ∧ c;

a ∧ (b ∧ c).


0.10. MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN

17

Bài tập 0.31. Gọi α, β, γ lần lượt là ba góc tạo bởi một véctơ tùy ý a với ba
véctơ cơ sở e1 , e2 , e3 . Chứng minh rằng
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Bài tập 0.32. Cho bốn đỉnh của một hình tứ diện A(2, 3, 1), B(4, 1, −2),
C(6, 3, 7), D(−5, −4, 8). Tính độ dài đường cao của hình tứ diện xuất phát
từ đỉnh D.

Bài tập 0.33. Lập phương trình quỹ tích những điểm cách đều hai điểm
A(2, 1) và B(−1, 4).
Bài tập 0.34. Lập phương trình những điểm M sao cho M A = 2M B, với
A(4, 0), B(1, 0).
Bài tập 0.35. Lập phương trình quỹ tích của tâm những đường tròn tiếp xúc
với trục Ox và đi qua điểm (3, 4).
Bài tập 0.36. Lập phương trình quỹ tích những điểm mà tổng các bình
phương các khoảng cách từ đó đến hai điểm F1 (−2, 0) và F2 (2, 0) bằng một
số không đổi k 2 .
Bài tập 0.37. Lập phương trình quỹ tích những điểm mà hiệu các bình phương
các khoảng cách từ đó đến hai điểm F1 (−2, 0) và F2 (2, 0) bằng một số không
đổi k 2 .
Bài tập 0.38. Lập phương trình quỹ tích những điểm cách đều hai điểm
A(1, 2, −3) và B(3, 2, 1).
Bài tập 0.39. Lập phương trình quỹ tích những điểm mà tổng các bình
phương các khoảng cách từ đó đến hai điểm F1 (−a, 0, 0) và F2 (a, 0, 0) bằng
một số không đổi k 2 .


Chỉ mục
độ dài đại số véctơ, 7
đại lượng có hướng, 1
đại lượng vô hướng, 1
điểm chiếu, 8
điểm gốc, 1
ba véctơ đồng phẳng, 6
biểu thị tuyến tính được, 5
giá véctơ, 1
hệ véctơ độc lập tuyến tính, 5
hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính, 5

hướng của trục, 7
môđun véctơ, 1
trục, 7
véctơ, 1
véctơ đơn vị, 1
véctơ bằng nhau, 1
véctơ buộc, 2
véctơ cùng phương, 1
véctơ chiếu, 8
vécto tự do, 2

18