Dai so tuyen tinh nguyen huu viet hung (1)

MU
. C LU
.C
Mu.c lu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
`au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
L`o.i n´oi d¯ˆ
Chu.o.ng 0: Kiˆe´n th´
u.c chuˆa’n bi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§1. Tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
´
§2. Quan hˆe. v`a Anh
xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§3. Lu..c lu.o..ng cu’a tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4. Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§5. Tru.`o.ng sˆo´ thu..c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§6. Tru.`o.ng sˆo´ ph´
- a th´
§7. D
u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chu.o.ng I: Khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§2. D
`eu cu’a khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§3. Co. so’. v`a sˆo´ chiˆ
§4. Khˆong gian con - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe. v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru..c tiˆe´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§6. Khˆong gian thu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

´
Chu.o.ng II: Ma trˆa.n v`a Anh
xa. tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§1. Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
´
§2. Anh
xa. tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
`ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§3. Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆ
§4. Khˆong gian v´ecto. d¯ˆo´i ngˆa˜u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1




ToanDHSP.COM

- i.nh th´
u.c v`a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Chu.o.ng III: D
§1. C´ac ph´ep thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
- .inh th´
§2. D
u.c cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
´
§3. Anh
xa. d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
- i.nh th´
`ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

§4. D
u.c cu’a tu.. d¯ˆ
u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§5. C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´
- i.nh th´
§6. D
u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§7. Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§8. Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu’. Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139
§9. Cˆa´u tr´
uc nghiˆe.m cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
`ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
uc cu’a tu.. d¯ˆ
Chu.o.ng IV: Cˆa´u tr´
§1. V´ecto. riˆeng v`a gi´a tri. riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
`ong cˆa´u thu..c v`a ph´
§2. Khˆong gian con ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu.. d¯ˆ
u.c . . . . . . . . . . . 161
`ong cˆa´u ch´eo ho´a d¯u.o..c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§3. Tu.. d¯ˆ
`ong cˆa´u lu˜
§4. Tu.. d¯ˆ
y linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
`ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§5. Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu.. d¯ˆ
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Chu.o.ng V: Khˆong gian v´ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§1. Khˆong gian v´ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
´

§2. Anh
xa. tru..c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
u.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
§3. Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho..p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´
`e khˆong gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
§4. V`ai n´et vˆ
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§1. Kh´ai niˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 234
- u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆ
`e da.ng ch´ınh t˘a´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
§2. D
2




§3. Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
§4. Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§5. Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
- a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Chu.o.ng VII: D
§1. T´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
§2. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a t´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
- a.i sˆo´ tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§3. D
- a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´
§4. D
u.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

- a.i sˆo´ ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§5. D
B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
T`ai liˆe.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

3




ToanDHSP.COM

`.I NOI
´ D
ˆU
-`
LO
A

`au v´o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n
Theo d`ong li.ch su’., mˆon -Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh kho’.i d¯ˆ
`e sau, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao cˆa´u tr´
uc cu’a tˆa.p
c´ac hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh. Vˆ
`eu kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆay
nghiˆe.m v`a d¯iˆ
u.u tu.o..ng ho.n nhu. khˆong gian v´ecto. v`a ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh.
du..ng nh˜
u.ng kh´ai niˆe.m tr`
`au kha’o s´at c´ac khˆong gian v´o.i nhiˆ

`eu thuˆo.c t´ınh h`ınh ho.c
Ngu.`o.i ta c˜
ung c´o nhu cˆ
ho.n, trong d¯´o c´o thˆe’ d¯o d¯ˆo. d`ai cu’a v´ecto. v`a g´oc gi˜
u.a hai v´ecto.. Xa ho.n, hu.´o.ng
nghiˆen c´
u.u n`ay dˆa˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.n
phˆan loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´
uc n`ao d¯´o.
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o..c u
Ng`ay nay, D
´.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu..c kh´ac nhau,
y thuyˆe´t biˆe’u diˆ˜en nh´om, t`
u. Co. ho.c, Vˆa.t l´
y
t`
u. Gia’i t´ıch t´o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´
t´o.i K˜
y thuˆa.t... V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro’. th`anh mˆo.t mˆon ho.c co. so’. cho viˆe.c d¯`ao ta.o c´ac
gi´ao viˆen trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆen
ng`anh khoa ho.c co. ba’n v`a cˆong nghˆe. trong tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c.
- ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆ
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o..c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´
`e D
D
gi´o.i. Ch´
ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u trong viˆe.c tr`ınh b`ay mˆon
ho.c n`ay.
`au v´o.i c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´
u. nhˆa´t b˘a´t d¯ˆ

u.c v`a hˆe.
Khuynh hu.´o.ng th´
`oi d¯i t´o.i c´ac kh´ai niˆe.m tr`
phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, rˆ
u.u tu.o..ng ho.n nhu. khˆong gian
v´ecto. v`a ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh. Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆ˜e tiˆe´p thu. Nhu.ng n´o khˆong cho
`e d¯i.nh th´
ph´ep tr`ınh b`ay l´
y thuyˆe´t vˆ
u.c v`a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘`a ng mˆo.t
ngˆon ng˜
u. cˆo d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e.
u. hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto. v`a ´anh xa.
Khuynh hu.´o.ng th´
`oi ´ap du.ng v`ao kha’o s´at d¯i.nh th´
tuyˆe´n t´ınh tru.´o.c, rˆ
u.c v`a hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n
.
`e cˆa´u
t´ınh. U u d¯iˆe’m cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay l`a d¯`ˆe cao ve’ d¯e.p trong t´ınh nhˆa´t qu´
an vˆ
tr´
uc cu’a c´ac d¯ˆo´i tu.o..ng d¯u.o..c kha’o s´at. Nhu.o..c d¯iˆe’m cu’a n´o l`a khi x´et t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p
4




tuyˆe´n t´ınh v`a phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ra ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’i
hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh.

C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜
ung c´o c´ai l´
y cu’a n´o. Theo kinh nghiˆe.m cu’a ch´
ung tˆoi th`ı
u.u tu.o..ng
nˆen cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´
u. hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu. duy tr`
`e to´an.
u.c cao ho.n vˆ
tˆo´t ho.n v`a c´o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘`a ng kiˆe´n th´
ung tˆoi biˆen soa.n nh˘`a m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´
ach
Cuˆo´n s´ach n`ay d¯u.o..c ch´
tham kha’ o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´
u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.c
tu.. nhiˆen v`a cˆong nghˆe. cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu.. nhiˆen, d¯a.i ho.c su. pha.m
- a.i sˆo´ tuyˆe´n
`e D
v`a d¯a.i ho.c k˜
y thuˆa.t. Cuˆo´n s´ach d¯u.o..c viˆe´t trˆen co. so’. c´ac b`ai gia’ng vˆ
- a.i ho.c Tˆo’ng
`eu n˘am cho sinh viˆen mˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D
t´ınh cu’a tˆoi trong nhiˆ
- a.i ho.c khoa ho.c Tu.. nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su.
ho..p (nay l`a D
- ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999,
pha.m. D
- i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o..ng
y, Ho´a, Sinh, D
1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co., L´

- a.i ho.c khoa
thuy’ v˘an... cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’. nhˆan khoa ho.c t`ai n˘ang, D
ho.c Tu.. nhiˆen H`a Nˆo.i.
u. hai trong hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜a
Ch´
ung tˆoi cho.n khuynh hu.´o.ng th´
n´oi o’. trˆen. Tˆa´t nhiˆen, v´o.i d¯ˆoi ch´
ut thay d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ay c´o thˆe’ d`
ung d¯ˆe’ gia’ng
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´
D
u. nhˆa´t.
uc d¯u.o..c ch´
ung tˆoi nhˆa´n ma.nh nhu. mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´n
Tu. tu.o’.ng cˆa´u tr´
`eu d¯u.o..c nghiˆen c´
s´ach. Mˆo˜i d¯ˆo´i tu.o..ng d¯ˆ
u.u trong mˆo´i tu.o.ng quan v´o.i nh´om c´ac
ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`an cˆa´u tr´
uc cu’a d¯ˆo´i tu.o..ng d¯´o: Kha’o s´at khˆong gian v´ecto. g˘a´n
`en v´o.i nh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto. Euclid v`a khˆong
liˆ
`en v´o.i nh´om tru..c giao O(n) v`a nh´om tru..c giao
gian v´ecto. Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆ
`en v´o.i nh´om unita U (n)... Kˆe´t qua’ phˆan
d¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆ
loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu. thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o..c
tiˆe´n h`anh du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru..c giao...).
Theo kinh nghiˆe.m, ch´
ung tˆoi khˆong thˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`ay

- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru.`o.ng d¯a.i
`e D
trong mˆo.t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa’n vˆ
5




ToanDHSP.COM

`e vˆ
`e da.ng chuˆa’n t˘
a´c
ho.c, ngay ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an. C´ac chu’ d¯ˆ
Jordan cu’ a tu.. d¯`ˆong cˆa´u, da.ng ch´ınh t˘
a´c cu’ a tu.. d¯`oˆng cˆa´u tru..c giao, viˆe.c d¯u.a d¯`ˆong
`e da.ng ch´ınh t˘
a´c, d¯a.i sˆ
o´ tenxo., d¯a.i sˆ
o´ d¯ˆo´i x´
u.ng v`a d¯a.i
th`o.i hai da.ng to`an phu.o.ng vˆ
sˆ
o´ ngo`ai... nˆen d`
ung d¯ˆe’ gia’ng chi tiˆe´t cho c´ac sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´
u.u sinh
c´ac ng`anh To´an, Co. ho.c v`a Vˆa.t l´
y.
Ch´
ung tˆoi cˆo´ g˘a´ng b`ınh luˆa.n y

´ ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’m
`eu c´o phˆ
`an b`ai tˆa.p,
cu’a c´ac phu.o.ng ph´ap d¯u.o..c tr`ınh b`ay. Cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng d¯ˆ
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a
d¯u.o..c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t`
u. cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D
- ˆe’ n˘a´m v˜
`an l´
u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜
y phˆ
y thuyˆe´t
I. V. Proskuryakov. D
u.ng kiˆe´n th´
`eu c`ang tˆo´t c´ac b`ai tˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng.
tru.´o.c khi l`am c`ang nhiˆ
`an
Viˆe.c su’. du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo..i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆ
`an hai cu’a n´o l`a cuˆo´n -Da.i sˆ
ung t´ac
mˆo.t cu’a mˆo.t bˆo. s´ach m`a phˆ
o´ d¯a.i cu.o.ng cu’a c`
gia’, do Nh`a xuˆa´t ba’n Gi´ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999.
`eu h`anh Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’. nhˆan khoa
T´ac gia’ chˆan th`anh ca’m o.n Ban d¯iˆ
- `am Trung
- a.i ho.c Khoa ho.c tu.. nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su. D
ho.c t`ai n˘ang, D
- `ˆon v`a Gi´ao su. Nguyˆ˜en Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆ
`eu kiˆe.n thuˆa.n lo..i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ng

D
da.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh trong ba n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆen
co. so’. nh˜
u.ng b`ai gia’ng d¯´o.
`ong nghiˆe.p vˆ
`e nh˜
u.ng
T´ac gia’ mong nhˆa.n d¯u.o..c su.. chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆ
thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach.

H`a Nˆo.i, 12/1999

6




Chu.o.ng 0
ˆ´N THU
´.C CHUA
ˆ’ N BI.
KIE
Nhiˆe.m vu. cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o..c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n
`an c`on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho..p, quan hˆe., ´anh xa., nh´om,
th´
u.c chuˆa’n bi. cho phˆ
v`anh, tru.`o.ng, d¯a th´
u.c... Tru.`o.ng sˆo´ thu..c s˜e d¯u.o..c xˆay du..ng ch˘a.t ch˜e o’. §5. Nhu.ng
u.ng ai d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trung
v`ı c´ac t´ınh chˆa´t cu’a n´o rˆa´t quen thuˆo.c v´o.i nh˜

ho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´
ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay trong c´ac v´ı du. o’. c´ac tiˆe´t
§1 - §4.

1

Tˆ
a.p ho..p

`e tˆa.p ho..p theo quan d¯iˆe’m cu’a “L´y thuyˆe´t tˆa.p
ung ta tr`ınh b`ay vˆ
Trong tiˆe´t n`ay, ch´
ho..p ngˆay tho.”.
Cu. thˆe’, tˆa.p ho..p l`a mˆo.t kh´ai niˆe.m “nguyˆen thuy’”, khˆong d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa, m`a
`an tu. c´ac d¯ˆo´i
d¯u.o..c hiˆe’u mˆo.t c´ach tru..c gi´ac nhu. sau: Mˆo.t tˆ
a.p ho..p l`a mˆo.t su.. quˆ
`an
tu.o..ng c´o c`
ung mˆo.t thuˆo.c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜
u.ng d¯ˆo´i tu.o..ng n`ay d¯u.o..c go.i l`a c´ac phˆ
tu’. cu’a tˆa.p ho..p d¯´o. (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a
`an g˜
tˆa.p ho..p, n´o chı’ diˆ˜en d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho..p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆ
ui ho.n
`an tu.”. Tuy vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆ
`an tu. la.i chu.a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa.)
l`a “quˆ
ung thu.`o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho..p l`a “tˆa.p”.
Ngu.`o.i ta c˜

- ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´
D
ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho..p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ng
d¯a.i ho.c, tˆa.p ho..p c´ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ nguyˆen tˆo´ ...
y hiˆe.u bo’.i c´ac ch˜
u. in hoa: A, B, C, ..., X, Y, Z...
C´ac tˆa.p ho..p thu.`o.ng d¯u.o..c k´
`an tu’. cu’a mˆo.t tˆa.p ho..p thu.`o.ng d¯u.o..c k´
C´ac phˆ
y hi.ˆeu bo’.i c´ac ch˜
u. in thu.`o.ng:
- ˆe’ n´oi x l`a mˆo.t phˆ
`an tu’. cu’a tˆa.p ho..p X, ta viˆe´t x ∈ X v`a d¯o.c l`a
a, b, c, ..., x, y, z... D

7




ToanDHSP.COM

`an tu’. cu’a X, ta viˆe´t y ∈ X, v`a d¯o.c l`a
“x thuˆo.c X”. Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆ
“y khˆong thuˆo.c X”.
- ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho..p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆ
`an tu’. cu’a n´o.
D
Ch˘a’ng ha.n,
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

ung c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho..p bo’.i mˆo.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao
Ngu.`o.i ta c˜
`an tu’. cu’a n´o. Tˆa.p ho..p X c´ac phˆ
`an tu’. x c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o..c k´
d¯´o cu’a c´ac phˆ
y
hiˆe.u l`a
X = {x| P(x)},
ho˘a.c l`a
X = {x : P(x)}.
V´ı du.:
N = {x| x l`a sˆo´ tu.. nhiˆen},
Z = {x| x l`a sˆo´ nguyˆen },
Q = {x| x l`a sˆo´ h˜
u.u ty’},
R = {x| x l`a sˆo´ thu..c}.
`an tu’. cu’a tˆa.p ho..p A c˜
`an tu’. cu’a tˆa.p ho..p X th`ı ta n´oi
Nˆe´u mo.i phˆ
ung l`a mˆo.t phˆ
`om c´ac phˆ
`an tu’. x cu’a X
A l`a mˆo.t tˆa.p ho..p con cu’a X, v`a viˆe´t A ⊂ X. Tˆa.p con A gˆ
c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o..c k´
y hiˆe.u l`a
A = {x ∈ X| P(x)}.
`a ng nhau nˆe´u mˆo˜i phˆ
`an tu’. cu’a tˆa.p ho..p n`ay
Hai tˆa.p ho..p X v`a Y d¯u.o..c go.i l`a b˘
`an tu’. cu’a tˆa.p ho..p kia v`a ngu.o..c la.i, t´

c˜
ung l`a mˆo.t phˆ
u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X. Khi
d¯´o ta viˆe´t X = Y .
`an tu’. n`ao ca’ d¯u.o..c k´
Tˆa.p ho..p khˆong ch´
u.a mˆo.t phˆ
y hiˆe.u bo’.i ∅, v`a d¯u.o..c go.i l`a
tˆ
a.p rˆ
o˜ng. Ta quy u.´o.c r˘`a ng ∅ l`a tˆa.p con cu’a mo.i tˆa.p ho..p. Tˆa.p ho..p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.n
lo..i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu. sˆo´ khˆong trong khi l`am to´an v´o.i c´ac tˆa.p ho..p.
8




C´ac ph´ep to´an ho..p, giao v`a hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho..p d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau.
Cho c´ac tˆa.p ho..p A v`a B.
y hiˆe.u bo’.i A ∪ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
Ho..p cu’a A v`a B d¯u.o..c k´
A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a.c x ∈ B}.
Giao cu’a A v`a B d¯u.o..c k´
y hiˆe.u bo’.i A ∩ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}.
Hiˆe.u cu’a A v`a B d¯u.o..c k´
y hiˆe.u bo’.i A \ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A \ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}.
`an b`
Nˆe´u B ⊂ A th`ı A\B d¯u.o..c go.i l`a phˆ

u cu’a B trong A, v`a d¯u.o..c k´
y hiˆe.u l`a CA (B).
C´ac ph´ep to´an ho..p, giao v`a hiˆe.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so. cˆa´p sau d¯ˆay:
Kˆe´t ho..p: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A.
Phˆan phˆo´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Cˆong th´
u.c De Morgan: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B),
X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B).
Gia’ su’. Ai l`a mˆo.t tˆa.p ho..p v´o.i mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´o thˆe’ h˜
u.u ha.n hay
vˆo ha.n). Khi d¯´o, ho..p v`a giao cu’a ho. tˆa.p ho..p {Ai }i∈I d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:
Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mˆo.t i n`ao d¯´o trong I},
i∈I

Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mo.i i ∈ I}.
i∈I

Ta c´o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´
u.c De Morgan:
X \(
X \(

(X \ Ai ),

Ai ) =
i∈I

i∈I

(X \ Ai ).

Ai ) =

i∈I

i∈I

9




ToanDHSP.COM

y. Mˆo.t
Viˆe.c su’. du.ng qu´a rˆo.ng r˜ai kh´ai niˆe.m tˆa.p ho..p d¯˜a dˆa˜n t´o.i mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´
trong sˆo´ d¯´o l`a nghi.ch l´
y Cantor sau d¯ˆay.
Ta n´oi tˆa.p ho..p X l`a b`ınh thu.`o.ng nˆe´u X ∈ X. X´et tˆa.p ho..p
X = {X| X l`a tˆa.p b`ınh thu.`o.ng}.
Nˆe´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X , n´o l`a mˆo.t tˆa.p b`ınh thu.`o.ng. Do d¯´o, theo
d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p b`ınh thu.`o.ng, X ∈ X . Tr´ai la.i, nˆe´u X ∈ X , th`ı X l`a mˆo.t tˆa.p khˆong
`eu dˆa˜n t´o.i mˆau thuˆa˜n.
b`ınh thu.`o.ng, v`a do d¯´o X ∈ X . Ca’ hai tru.`o.ng ho..p d¯ˆ
- ˆe’ tr´anh nh˜
D

u.ng nghi.ch l´
y loa.i nhu. vˆa.y, ngu.`o.i ta s˜e khˆong d`
ung kh´ai niˆe.m tˆa.p
a´t ca’ c´ac tˆ
a.p ho..p”, ch´
ho..p d¯ˆe’ chı’ “nh˜
u.ng thu..c thˆe’ qu´a l´o.n”. Ta s˜e n´oi “l´o.p tˆ
u.
u.
khˆong n´oi “tˆa.p ho..p tˆ
a´t ca’ c´ac tˆ
a.p ho..p”. Theo quan niˆe.m n`ay X chı’ l`a mˆo.t l´o.p ch´
khˆong l`a mˆo.t tˆa.p ho..p. V`ı thˆe´, ta tr´anh d¯u.o..c nghi.ch l´
y n´oi trˆen.
`an c`on la.i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o..c d`anh cho viˆe.c tr`ınh b`ay so. lu.o..c vˆ
`e lu.o..ng t`
Phˆ
u. phˆo’
`on ta.i.
biˆe´n v`a lu.o..ng t`
u. tˆ
`an pha’i ph´at biˆe’u nh˜
`e c´o da.ng: “Mo.i phˆ
`an tu’. x cu’ a tˆ
u.ng mˆe.nh d¯ˆ
a.p
Ta thu.`o.ng cˆ
`e d¯´o nhu. sau:
ho..p X d¯`ˆeu c´o t´ınh chˆ
y hiˆe.u mˆe.nh d¯ˆ

a´t P(x)”. Ngu.`o.i ta quy u.´o.c k´
∀x ∈ X, P(x).
D˜ay k´
y hiˆe.u trˆen d¯u.o..c d¯o.c l`a “V´o.i mo.i x thuˆo.c X, P(x)”.
K´
y hiˆe.u ∀ d¯u.o..c go.i l`a lu.o..ng t`
o’ biˆe´n.
u. phˆ
`e c´o da.ng: “Tˆ
`on ta.i mˆ
`an tu’. x cu’ a
Tu.o.ng tu.., ta c˜
ung hay g˘a.p c´ac mˆe.nh d¯ˆ
o.t phˆ
`e n`ay d¯u.o..c quy u.´o.c k´
a´t P(x)”. Mˆe.nh d¯ˆ
y hiˆe.u nhu. sau:
X c´o t´ınh chˆ
∃x ∈ X, P(x).
`on ta.i mˆ
D˜ay k´
y hiˆe.u d¯´o d¯u.o..c d¯o.c l`a “Tˆ
o.t x thuˆ
o.c X, P(x)”.
`on ta.i.
K´
y hiˆe.u ∃ d¯u.o..c go.i l`a lu.o..ng t`
u. tˆ
`e “Tˆ
`on ta.i duy nhˆa´t mˆ

`an tu’. x cu’a X c´o t´ınh chˆ
a´t P(x)” d¯u.o..c viˆe´t
Mˆe.nh d¯ˆ
o.t phˆ
nhu. sau:
∃!x ∈ X, P(x).
10




`on ta.i c´o mˆo´i quan hˆe. quan tro.ng sau d¯ˆay.
Lu.o..ng t`
u. phˆo’ biˆe´n v`a lu.o..ng t`
u. tˆ
`e P. Ta c´o
Go.i P l`a phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆ
∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x),
∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x).
`e nghi. d¯ˆo.c gia’ tu.. ch´
Ch´
ung tˆoi d¯ˆ
u.ng kh˘a’ng d¯i.nh trˆen xem nhu. mˆo.t b`ai
u.ng minh nh˜
tˆa.p.

2

´
Quan hˆ

e. v`
a Anh
xa.

T´ıch tru..c tiˆe´p (hay t´ıch Descartes) cu’a hai tˆa.p ho..p X v`a Y l`a tˆa.p ho..p sau d¯ˆay:
X × Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }.
Tru.`o.ng ho..p d¯˘a.c biˆe.t, khi X = Y , ta c´o t´ıch tru..c tiˆe´p X × X cu’a tˆa.p X v´o.i ch´ınh
n´o.
- i.nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a tˆa.p ho..p t´ıch X × X d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe.
D
hai ngˆoi trˆen X. Nˆe´u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan hˆe. R v´
o.i y, v`a viˆe´t xRy.
Ngu.o..c la.i, nˆe´u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x khˆ
ong c´
o quan hˆe. R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy.
Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u R = {(x, y) ∈ Z × Z| x chia hˆe´t cho y}, th`ı 6R2, nhu.ng 5R3.
- .inh ngh˜ıa 2.2 Quan hˆe. hai ngˆoi R trˆen X d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng
D
nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:
(a) Pha’n xa.: xRx, ∀x ∈ X.
- ˆo´i x´
(b) D
u.ng: Nˆe´u xRy, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X.
`au: Nˆe´u xRy, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X.
(c) B˘a´c cˆ

11

ToanDHSP.COM

C´ac quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng thu.`o.ng d¯u.o..c k´
y hiˆe.u bo’.i dˆa´u ∼.
Gia’ su’. ∼ l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X. L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe.
`an tu’. x ∈ X d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:
∼ cu’a mˆo.t phˆ
[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X.
`e 2.3 Gia’ su’. ∼ l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng. Khi d¯o´, v´o.i mo.i x, y ∈ X, c´ac
Bˆ
o’ d
¯ˆ
ung nhau, ho˘
a.c r`
o.i nhau (t´
u.c l`a [x] ∩ [y] = ∅).
l´o.p [x] v`a [y] ho˘a.c tr`
Ch´
u.ng minh: Gia’ su’. [x] ∩ [y] = ∅. Ta s˜e ch´
u.ng minh r˘a` ng [x] = [y]. Lˆa´y mˆo.t
`an tu’. z ∈ [x] ∩ [y]. Ta c´o x ∼ z v`a y ∼ z.
phˆ
Do t´ınh d¯ˆo´i x´
u.ng cu’a quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng, x ∼ z k´eo theo z ∼ x. Gia’ su’.
`au, z ∼ x v`a x ∼ t k´eo theo z ∼ t. Tiˆe´p theo,
t ∈ [x], t´
u.c l`a x ∼ t. Do t´ınh b˘a´c cˆ
y ∼ z v`a z ∼ t k´eo theo y ∼ t. Ngh˜ıa l`a t ∈ [y]. Nhu. vˆa.y, [x] ⊂ [y]. Do vai tr`o
nhu. nhau cu’a c´ac l´o.p [x] v`a [y], ta c˜

ung c´o bao h`am th´
u.c ngu.o..c la.i, [y] ⊂ [x]. Vˆa.y
✷

[x] = [y].

`e n`ay, nˆe´u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] = ∅, do d¯´o [x] = [y]. V`ı thˆe´, ta
Theo bˆo’ d¯ˆ
`an tu’. n`ao
y phˆ
c´o thˆe’ d`
ung t`
u. l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯ˆe’ chı’ l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a bˆa´t k`
`an tu’. cu’a mˆo.t l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯a.i biˆe’u cu’a
trong l´o.p d¯´o. Mˆo˜i phˆ
l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng n`ay.
Dˆ˜e d`ang thˆa´y r˘`a ng X l`a ho..p r`o.i ra.c cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe. ∼.
(N´oi c´ach kh´ac, X l`a ho..p cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe. ∼, v`a c´ac l´o.p n`ay
r`o.i nhau.) Ngu.`o.i ta c˜
ung n´oi X d¯u.o..c phˆan hoa.ch bo’.i c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng.
- i.nh ngh˜ıa 2.4 Tˆa.p ho..p c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a X theo quan hˆe. ∼ d¯u.o..c go.i
D
l`a tˆa.p thu.o.ng cu’ a X theo ∼ v`a d¯u.o..c k´
y hiˆe.u l`a X/∼.
V´ı du. 2.5 Gia’ su’. n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng bˆa´t k`
y. Ta x´et trˆen tˆa.p X = Z quan
hˆe. sau d¯ˆay:
∼ = {(x, y) ∈ Z × Z| x − y chia hˆe´t cho n}.

12

u.a x ∼ y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x v`a y c´o
R˜o r`ang d¯´o l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng. Ho.n n˜
`an du. trong ph´ep chia cho n. V`ı thˆe´, Z/∼ l`a mˆo.t tˆa.p c´o d¯´
`an tu’. :
c`
ung phˆ
ung n phˆ
Z/∼ = {[0], [1], ..., [n − 1]}.
N´o d¯u.o..c go.i l`a tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen modulo n, v`a thu.`o.ng d¯u.o..c k´
y hiˆe.u l`a Z/n.
- .inh ngh˜ıa 2.6 Gia’ su’. ≤ l`a mˆo.t quan hˆe. hai ngˆoi trˆen X. N´o d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t
D
quan hˆe. th´
u. tu.. nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:
(a) Pha’n xa.: x ≤ x, ∀x ∈ X.
(b) Pha’n d¯ˆo´i x´
u.ng: Nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X.
`au: Nˆe´u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X.
(c) B˘a´c cˆ
Tˆa.p X d¯u.o..c trang bi. mˆo.t quan hˆe. th´
u. tu.. d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o..c s˘
a´p. Nˆe´u
x ≤ y, ta n´oi x d¯u
´.ng tru.´o.c y, hay x nho’ ho.n ho˘a.c b˘`a ng y.
`an (hay tuyˆe´n t´ınh) bo’.i quan hˆe. ≤ nˆe´u v´o.i mo.i
Ta n´oi X d¯u.o..c s˘a´p to`an phˆ

x, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a.c y ≤ x. Khi d¯´o ≤ d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe. th´
u. tu.. to`an
`an (hay tuyˆe´n t´ınh) trˆen X.
phˆ
`an d¯ˆo´i v´o.i quan
u.u ty’ Q l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o..c s˘a´p to`an phˆ
Ch˘a’ng ha.n, tru.`o.ng sˆo´ h˜
hˆe. th´
u. tu.. ≤ thˆong thu.`o.ng. Mˆo.t v´ı du. kh´ac: nˆe´u X l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p con
- ˆay khˆong pha’i l`a
cu’a mˆo.t tˆa.p A n`ao d¯´o, th`ı X d¯u.o..c s˘a´p theo quan hˆe. bao h`am. D
`eu ho.n mˆo.t phˆ
`an tu’..
`an nˆe´u tˆa.p A ch´
u.a nhiˆ
mˆo.t th´
u. tu.. to`an phˆ
Bˆay gi`o. ta chuyˆe’n qua x´et c´ac ´anh xa..
Ngu.`o.i ta thu.`o.ng mˆo ta’ c´ac ´anh xa. mˆo.t c´ach tru..c gi´ac nhu. sau.
Gia’ su’. X v`a Y l`a c´ac tˆa.p ho..p. Mˆo.t ´anh xa. f t`
u. X v`ao Y l`a mˆo.t quy t˘a´c d¯˘a.t
´
`an tu’. x ∈ X v´o.i mˆo.t phˆ
`an tu’. x´ac d¯i.nh y = f (x) ∈ Y . Anh
tu.o.ng u
´.ng mˆo˜i phˆ
xa.
y hiˆe.u bo’.i f : X → Y .
d¯´o d¯u.o..c k´

13




ToanDHSP.COM

Tˆa´t nhiˆen mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch˘a.t ch˜e, v`ı ta khˆong
biˆe´t thˆe´ n`ao l`a mˆo.t quy t˘a´c. N´oi c´ach kh´ac, trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a´c chı’
l`a mˆo.t tˆen go.i kh´ac cu’a ´anh xa..
`eu d¯´o b˘`a ng c´ach d¯u.a ra mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu.ng
Ta c´o thˆe’ kh˘a´c phu.c d¯iˆ
`ong kˆ
`enh vˆ
`e ´anh xa. nhu. sau.
ho.i cˆ
Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a t´ıch tru..c tiˆe´p X × Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan hˆe. gi˜
u.a X v`a Y .
Quan hˆe. R d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t ´anh xa. t`
u. X v`ao Y nˆe´u n´o c´o t´ınh chˆa´t sau: v´o.i mo.i
`an tu’. duy nhˆa´t
x ∈ X c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t y ∈ Y d¯ˆe’ cho (x, y) ∈ R. Ta k´
y hiˆe.u phˆ
d¯´o l`a y = f (x). Khi d¯´o
R = {(x, f (x))| x ∈ X}.
´
y hiˆe.u l`a f : X → Y v`a quan hˆe. R d¯u.o..c go.i l`a d¯`ˆo thi.
Anh
xa. n`ay thu.`o.ng d¯u.o..c k´
cu’a ´anh xa. f .

`an lu.o..t l`a tˆa.p nguˆ
`on v`a tˆa.p d¯´ıch cu’a ´anh xa. f . Tˆa.p
C´ac tˆa.p X v`a Y d¯u.o..c go.i lˆ
ho..p f (X) = {f (x)| x ∈ X} d¯u.o..c go.i l`a tˆa.p gi´a tri. cu’a f .
Gia’ su’. A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X. Khi d¯´o, f (A) = {f (x)| x ∈ A} d¯u.o..c go.i l`a a’nh
cu’a A bo’.i f . Nˆe´u B l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a Y , th`ı f −1 (B) = {x ∈ X| f (x) ∈ B} d¯u.o..c
`om mˆo.t
go.i l`a nghi.ch a’nh cu’a B bo’.i f . Tru.`o.ng ho..p d¯˘a.c biˆe.t, tˆa.p B = {y} chı’ gˆ
d¯iˆe’m y ∈ Y , ta viˆe´t d¯o.n gia’n f −1 (y) thay cho f −1 ({y}).
- i.nh ngh˜ıa 2.7
D

´
(a) Anh
xa. f : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯o.n ´
anh nˆe´u v´o.i mo.i

x = x , (x, x ∈ X) th`ı f (x) = f (x ).
´
`on ta.i (´ıt
(b) Anh
xa. f : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t to`an ´
anh nˆe´u v´o.i mo.i y ∈ Y tˆ
`an tu’. x ∈ X sao cho f (x) = y.
nhˆa´t) mˆo.t phˆ
´
(c) Anh
xa. f : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t song ´
´.ng mˆ
o.t-mˆo.t)

anh (hay mˆo.t tu.o.ng u
nˆe´u n´o v`
u.a l`a mˆo.t d¯o.n ´anh v`
u.a l`a mˆo.t to`an ´anh.
`on ta.i duy nhˆa´t phˆ
`an
Gia’ su’. f : X → Y l`a mˆo.t song ´anh. Khi d¯´o, v´o.i mˆo˜i y ∈ Y tˆ
`an tu’. x d¯´o nhu. sau: x = f −1 (y). Nhu.
tu’. x ∈ X sao cho f (x) = y. Ta k´
y hiˆe.u phˆ
14




´.ng y → x = f −1 (y) x´ac d¯i.nh mˆo.t ´anh xa., d¯u.o..c k´
thˆe´, tu.o.ng u
y hiˆe.u l`a f −1 : Y → X
v`a d¯u.o..c go.i l`a ´anh xa. ngu.o..c cu’a f . Hiˆe’n nhiˆen, f −1 c˜
ung l`a mˆo.t song ´anh, ho.n
n˜
u.a (f −1 )−1 = f .
Cho c´ac ´anh xa. f : X → Y v`a g : Y → Z. Khi d¯´o ´anh xa. h : X → Z d¯u.o..c x´ac
d¯i.nh bo’.i
h(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X,
d¯u.o..c go.i l`a ´anh xa. t´ıch (hay ´anh xa. ho..p) cu’a f v`a g, v`a d¯u.o..c k´
y hiˆe.u l`a h = gf
ho˘a.c h = g ◦ f .
`e sau d¯ˆay.
`e nghi. d¯ˆo.c gia’ tu.. ch´

u.ng minh hai mˆe.nh d¯ˆ
Ch´
ung tˆoi d¯ˆ
`e 2.8 Ho..p th`anh cu’ a hai d¯o.n ´
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
anh la.i l`
a mˆ
o.t d¯o.n ´
anh. Ho..p th`
anh cu’ a hai
anh cu’a hai song ´
anh la.i l`
a mˆ
o.t song ´
anh.
to`
an ´
anh la.i l`a mˆo.t to`an ´anh. Ho..p th`
`ong nhˆa´t trˆen X, d¯u.o..c x´ac d¯i.nh nhu. sau
Go.i idX : X → X l`a ´anh xa. d¯ˆ
idX (x) = x, ∀x ∈ X.
(i) Gia’ su’. f : X → Y v`a g : Y → Z l`
a c´
ac ´
anh xa.. Khi d¯´
o, nˆe´u
gf l`a mˆo.t d¯o.n ´anh th`ı f c˜
ung vˆ

a.y; nˆe´u gf l`
a mˆ
o.t to`
an ´
anh th`ı g c˜
ung vˆ
a.y.

`e 2.9
Mˆ
e.nh d
¯ˆ

´
`on ta.i mˆ
(ii) Anh
xa. f : X → Y l`a mˆ
o.t song ´
anh nˆe´u v`
a chı’ nˆe´u tˆ
o.t ´
anh xa.
g : Y → X sao cho gf = idX , f g = idY .

3

Lu..c lu.o..ng cu’a tˆ
a.p ho..p

- ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p ho..p h˜

`an x´et xem tˆa.p n`ao c´o nhiˆ
`eu phˆ
`an tu’. ho.n, ngu.`o.i
u.u ha.n, khi cˆ
D
`an tu’. cu’a ch´
ta d¯ˆe´m sˆo´ phˆ
ung. Nhu.ng d¯ˆo.ng t´ac d¯o.n gia’n ˆa´y khˆong thu..c hiˆe.n d¯u.o..c
- ˆe’ so s´anh “sˆo´ lu.o..ng phˆ
`an tu’.. D
`an tu’.” cu’a c´ac tˆa.p vˆo
d¯ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p c´o vˆo ha.n phˆ
ha.n, ngu.`o.i ta tro’. la.i v´o.i c´ach l`am cu’a ngu.`o.i nguyˆen thuy’ khi chu.a biˆe´t d¯ˆe´m. Cu.
thˆe’ l`a, nˆe´u muˆo´n xem sˆo´ r`ıu tay c´o d¯u’ cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c hay khˆong ngu.`o.i
15




ToanDHSP.COM

u.c l`a lˆa.p mˆo.t tu.o.ng u
´.ng gi˜
u.a tˆa.p ho..p ngu.`o.i
ta ph´at cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c r`ıu, t´
v`a tˆa.p ho..p r`ıu.
- i.nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa.p ho..p X c`
`on ta.i mˆo.t
D
ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p Y nˆe´u tˆ

song ´anh t`
u. X v`ao Y .
R˜o r`ang quan hˆe. c`
ung lu..c lu.o..ng l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng.
- iˆ
`an tu’.. D
`eu n`ay c´o ngh˜ıa l`a c´o mˆo.t tu.o.ng u
´.ng mˆo.t-mˆo.t
Gia’ su’. tˆa.p A c´o n phˆ
`an tu’. cu’a A v´o.i c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen 1, 2, 3, ..., n. N´oi c´ach kh´ac, A c´o n phˆ
`an
gi˜
u.a c´ac phˆ
tu’. nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o c`
ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p {1, 2, 3, ..., n}.
`an tu’. nhˆa´t”, d¯´o
Sau d¯ˆay ch´
ung ta s˜e kha’o s´at l´o.p c´ac tˆa.p ho..p vˆo ha.n c´o “´ıt phˆ
l`a c´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c.
- .inh ngh˜ıa 3.2 Tˆa.p X d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c nˆe´u n´o c`
D
ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p
N c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen.
Ch˘a’ng ha.n, Z l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. Thˆa.t vˆa.y, ´anh xa. f : N → Z x´ac d¯i.nh bo’.i
cˆong th´
u.c
f (2n − 1) = −n + 1,
f (2n) = n (n = 1, 2, 3, ...)
l`a mˆo.t song ´anh.
`eu l`a

Tu.o.ng tu.., tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen ch˘a˜n v`a tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen le’ d¯ˆ
c´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c.
C´ac v´ı du. trˆen cho thˆa´y mˆo.t tˆa.p vˆo ha.n c´o thˆe’ c´o c`
ung lu..c lu.o..ng v´o.i mˆo.t tˆa.p
con thˆa.t su.. cu’a n´o. Ta c´o
`e 3.3 Mˆo˜i tˆ
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
a.p con vˆo ha.n cu’ a mˆ
o.t tˆ
a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c c˜
ung l`a mˆ
o.t tˆ
a.p d¯ˆe´m
d¯u.o..c.

16




Ch´
u.ng minh: Gia’ su’. A = {a1 , a2 , a3 , ...} l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c, v`a B l`a mˆo.t tˆa.p
con vˆo ha.n cu’a A. Go.i i1 l`a sˆo´ tu.. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao cho ai1 ∈ B, i2 l`a sˆo´ tu.. nhiˆen
nho’ nhˆa´t sao cho ai2 ∈ B \ {ai1 }. Mˆo.t c´ach quy na.p, in l`a sˆo´ tu.. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao
cho ain ∈ B \ {ai1 , ai2 , ..., ain−1 }...
`an tu’. cu’a B d¯u.o..c xˆe´p th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n
B˘`a ng c´ach d¯´o, c´ac phˆ
B = {ai1 , ai2 , ..., ain , ...}.

´.ng v´o.i ain . Nhu. thˆe´ B d¯ˆe´m
N´oi c´ach kh´ac, c´o mˆo.t song ´anh N → B d¯˘a.t n tu.o.ng u
d¯u.o..c.
✷
`e 3.4 T´ıch tru..c tiˆe´p cu’ a hai tˆ
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c c˜
ung l`
a mˆ
o.t tˆ
a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c.
`an ch´
Ch´
u.ng minh: Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, ta chı’ cˆ
u.ng minh N × N l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c.
`an tu’. (a, b) cu’a N × N th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n b˘`a ng c´ach
Ta xˆe´p tˆa´t ca’ c´ac phˆ
sau. Tru.´o.c hˆe´t ta xˆe´p c˘a.p (a, b) v´o.i a + b = 2. Gia’ su’. d¯˜a xˆe´p xong c´ac c˘a.p (a, b)
v´o.i a + b = n − 1, ta xˆe´p tiˆe´p c´ac c˘a.p (a, b) v´o.i a + b = n, trong d¯´o c˘a.p (a, b) d¯u.o..c
xˆe´p tru.´o.c c˘a.p (a , b ) nˆe´u a + b = a + b = n v`a a < a .
Nhu. vˆa.y, N × N l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c.
✷
Hˆ
e. qua’ 3.5 Tˆa.p ho..p Q c´ac sˆ
a mˆ
o.t tˆ
a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c.
o´ h˜

u.u ty’ l`
u.u ty’ du.o.ng l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c.
Ch´
u.ng minh: Ta s˜e ch´
u.ng minh tˆa.p ho..p Q+ c´ac sˆo´ h˜
Do d¯´o Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ c`
ung lu..c lu.o..ng v´o.i Z = N− ∪ {0} ∪ N, trong d¯´o Q− l`a
tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ h˜
u.u ty’ ˆam v`a N− l`a tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ nguyˆen ˆam. V`ı thˆe´ Q l`a d¯ˆe´m
d¯u.o..c.
Mˆo˜i sˆo´ h˜
u.u ty’ du.o.ng d¯u.o..c biˆe’u thi. duy nhˆa´t du.´o.i da.ng mˆo.t phˆan sˆo´ pq , trong
´.ng pq → (p, q) l`a mˆo.t song
d¯´o p, q ∈ N v`a c˘a.p p, q nguyˆen tˆo´ c`
ung nhau. Tu.o.ng u
`e trˆen
´anh t`
u. Q+ lˆen mˆo.t tˆa.p con cu’a t´ıch tru..c tiˆe´p N × N. Do d¯´o, theo hai mˆe.nh d¯ˆ
th`ı Q+ l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c.
✷
`an mˆo.t hiˆe’u
u.ng minh n´o ta cˆ
Ch´
ung ta th`
u.a nhˆa.n kˆe´t qua’ sau d¯ˆay, v`ı muˆo´n ch´
`e c´ac sˆo´ thu..c.
biˆe´t sˆau s˘a´c ho.n vˆ
17

ToanDHSP.COM

`e 3.6 Tˆa.p ho..p R c´ac sˆo´ thu..c l`a mˆ
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
o.t tˆ
a.p khˆ
ong d¯ˆe´m d¯u.o..c.
Ngu.`o.i ta n´oi tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ thu..c c´o lu..c lu.o..ng continum.

4

Nh´
om, V`
anh v`
a Tru.`
o.ng

C´ac kh´ai niˆe.m nh´om, v`anh v`a tru.`o.ng d¯u.o..c gi´o.i thiˆe.u trong tiˆe´t n`ay chı’ d`
u.ng o’.
`an sau cu’a cuˆo´n s´ach.
ung cho c´ac diˆ˜en d¯a.t trong phˆ
m´
u.c d¯u’ d`
Gia’ su’. G l`a mˆo.t tˆa.p ho..p. Mˆo˜i ´anh xa.
◦:G×G→G
d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t ph´ep to´an hai ngˆoi (hay mˆo.t luˆ

a.t ho..p th`anh) trˆen G. A’nh cu’a c˘a.p
`an tu’. (x, y) ∈ G × G bo’.i ´anh xa. ◦ s˜e d¯u.o..c k´
phˆ
y hiˆe.u l`a x ◦ y, v`a d¯u.o..c go.i l`a t´ıch
hay ho..p th`anh cu’a x v`a y.
- .inh ngh˜ıa 4.1 Mˆo.t nh´om l`a mˆo.t tˆa.p ho..p kh´ac rˆo˜ng G d¯u.o..c trang bi. mˆo.t ph´ep
D
`eu kiˆe.n sau d¯ˆay:
to´an hai ngˆoi ◦ thoa’ m˜an ba d¯iˆ
(G1) Ph´ep to´an c´o t´ınh kˆe´t ho..p:
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), ∀x, y, z ∈ G.
`an tu’. e ∈ G, d¯u.o..c go.i l`a phˆ
`an tu’. trung lˆa.p, v´o.i t´ınh chˆa´t
(G2) C´o mˆo.t phˆ
x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G.
`on ta.i phˆ
`an tu’. x ∈ G, d¯u.o..c go.i l`a nghi.ch d¯a’o cu’a x, sao cho
(G3) V´o.i mo.i x ∈ G, tˆ
x ◦ x = x ◦ x = e.
Nhˆ
a.n x´
et:

18




`an tu’. trung lˆa.p cu’a mˆo.t nh´om l`a duy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u e v`a e d¯ˆ
`eu l`a c´ac

Phˆ
`an tu’. trung lˆa.p cu’a nh´om G th`ı
phˆ
e=e◦e =e.
`an tu’. nghi.ch d¯a’o x n´oi o’. mu.c (G3) l`a duy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y,
V´o.i mo.i x ∈ G, phˆ
`an tu’. nghi.ch d¯a’o cu’a x th`ı
nˆe´u x1 v`a x2 l`a c´ac phˆ
x1 = x1 ◦ e = x1 ◦ (x ◦ x2 ) = (x1 ◦ x) ◦ x2 = e ◦ x2 = x2 .
u.c l`a
Trong nh´om c´o luˆa.t gia’n u.´o.c, t´
x ◦ y = x ◦ z =⇒ y = z,
x ◦ z = y ◦ z =⇒ x = y.
`an nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´
Thˆa.t vˆa.y, d¯ˆe’ c´o luˆa.t gia’n u.´o.c, chı’ cˆ
u.c x ◦ y = x ◦ z v´o.i
nghi.ch d¯a’o x cu’a x t`
u. bˆen tr´ai, v`a nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´
u.c x ◦ z = y ◦ z v´o.i
u. bˆen pha’i.
nghi.ch d¯a’o z cu’a z t`
Nˆe´u ph´ep to´an ◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´
u.c l`a
x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G,
th`ı G d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t nh´om giao ho´
an (hay abel).
y hiˆe.u
Theo th´oi quen, luˆa.t ho..p th`anh ◦ trong mˆo.t nh´om abel thu.`o.ng d¯u.o..c k´
`an tu’. (x, y) d¯u.o..c k´
theo lˆo´i cˆo.ng “ + ”. Ho..p th`anh cu’a c˘a.p phˆ

y hiˆe.u l`a x + y v`a d¯u.o..c
`an tu’. trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o..c go.i l`a phˆ
`an tu’. khˆ
ong, k´
y
go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y. Phˆ
`eu kiˆe.n (G3)) d¯u.o..c go.i l`a phˆ
`an tu’. d¯ˆo´i
hiˆe.u 0. Nghi.ch d¯a’o cu’a x (x´ac d¯i.nh bo’.i d¯iˆ
cu’a x, k´
y hiˆe.u (−x).
Tru.`o.ng ho..p tˆo’ng qu´at, ph´ep to´an ◦ trong nh´om thu.`o.ng d¯u.o..c k´
y hiˆe.u theo lˆo´i
`an tu’. (x, y) d¯u.o..c k´
nhˆan “ · ”. Ho..p th`anh cu’a c˘a.p phˆ
y hiˆe.u l`a x · y, hay d¯o.n gia’n
`an tu’. trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o..c go.i l`a phˆ
`an
xy, v`a d¯u.o..c go.i l`a t´ıch cu’a x v`a y. Phˆ
`an tu’. nghi.ch d¯a’o cu’a x d¯u.o..c k´
y hiˆe.u l`a x−1 .
tu’. d¯o.n vi.. Phˆ
V´ı du.:
19




ToanDHSP.COM

(a) C´ac tˆa.p ho..p sˆo´ Z, Q, R lˆa.p th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng.
(b) C´ac tˆa.p Z∗ = {±1}, Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo´i
v´o.i ph´ep nhˆan.
(c) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng trong Z/n nhu. sau:
[x] + [y] = [x + y].
Dˆ˜e kiˆe’m tra r˘`a ng ph´ep to´an n`ay khˆong phu. thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng
ung v´o.i ph´ep cˆo.ng n´oi trˆen lˆa.p th`anh mˆo.t
d¯u.o.ng [x] v`a [y]. Ho.n n˜
u.a, Z/n c`
nh´om abel.
(d) Mˆo˜i song ´anh t`
u. tˆa.p ho..p {1, 2, ..., n} v`ao ch´ınh n´o d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´
`an tu’.. Tˆa.p ho..p Sn tˆa´t ca’ c´ac ph´ep thˆe´ trˆen n
(hay ph´ep ho´an vi.) trˆen n phˆ
`an tu’. l`am th`anh mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep ho..p th`anh c´ac ´anh xa.
phˆ
(α · β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈ Sn , 0 ≤ i ≤ n.
- ˆay l`a mˆo.t nh´om khˆong abel
`an tu’.. D
Sn d¯u.o..c go.i l`a nh´om d¯ˆo´i x´
u.ng trˆen n phˆ
khi n > 2. (Xem chi tiˆe´t o’. Chu.o.ng III.)
(e) Trong Chu.o.ng II ch´
ung ta s˜e kha’o s´at mˆo.t l´o.p nh´om khˆong abel rˆa´t quan
- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a nh´om GL(V ) c´ac biˆe´n d¯ˆo’i tuyˆe´n
tro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D
t´ınh khˆong suy biˆe´n trˆen khˆong gian v´ecto. V .
- i.nh ngh˜ıa 4.2 Gia’ su’. G v`a G l`a c´ac nh´om (v´o.i ph´ep to´an viˆe´t theo lˆo´i nhˆan).
D
´

Anh
xa. ϕ : G → G d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯`ˆong cˆa´u nh´om nˆe´u
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G.
- `ˆong cˆa´u nh´om ϕ chuyˆe’n d¯o.n vi. e cu’a G th`anh d¯o.n vi. e cu’a G :
Nhˆ
a.n x´
et: D
ϕ(e) = e .
20




`an tu’. nghi.ch d¯a’o cu’a x th`anh phˆ
`an tu’. nghi.ch d¯a’o cu’a ϕ(x):
N´o c˜
ung chuyˆe’n phˆ
ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 , ∀x ∈ G.
- .inh ngh˜ıa 4.3 (a) Mˆo.t d¯ˆ
`ong cˆa´u nh´om d¯ˆ
`ong th`o.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh d¯u.o..c go.i l`a
D
mˆo.t d¯o.n cˆa´u nh´om.
`ong cˆa´u nh´om d¯ˆ
`ong th`o.i l`a mˆo.t to`an ´anh d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t to`
(b) Mˆo.t d¯ˆ
an cˆa´u
nh´om.
`ong cˆa´u nh´om d¯ˆ
`ong th`o.i l`a mˆo.t song ´anh d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯˘

(c) Mˆo.t d¯ˆ
a’ ng cˆa´u
nh´om.
Nˆe´u c´o mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u nh´om gi˜
u.a G v`a G th`ı ta n´oi G d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i G v`a viˆe´t
G∼
=G.
V´ı du.:
u.c i(x) = x l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u
(a) Ph´ep nh´
ung i : Z → Q d¯i.nh ngh˜ıa bo’.i cˆong th´
nh´om.
(b) Ph´ep chiˆe´u pr : Z → Z/n x´ac d¯i.nh bo’.i cˆong th´
u.c pr(x) = [x] l`a mˆo.t to`an cˆa´u
nh´om.
´
(a) Anh
xa. m˜
u exp : R → R+ , exp(x) = ex l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u t`
u. nh´om cˆo.ng c´ac
sˆo´ thu..c R v`ao nh´om nhˆan c´ac sˆo´ thu..c du.o.ng R+ .
Bˆay gi`o. ta chuyˆe’n sang kha’o s´at c´ac v`anh v`a tru.`o.ng.
- i.nh ngh˜ıa 4.4 Mˆo.t v`anh l`a mˆo.t tˆa.p ho..p R = ∅ d¯u.o..c trang bi. hai ph´ep to´an hai
D
`om ph´ep cˆo.ng
ngˆoi, gˆ
+ : R × R → R, (x, y) → x + y,
v`a ph´ep nhˆan
· : R × R → R, (x, y) → xy,
`eu kiˆe.n sau d¯ˆay:

thoa’ m˜an ba d¯iˆ
21




ToanDHSP.COM

(R1) R l`a mˆo.t nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng.
(R2) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh chˆa´t kˆe´t ho..p:
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.
`e hai ph´ıa d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng:
(R3) Ph´ep nhˆan phˆan phˆo´i vˆ
(x + y)z = xz + yz,
z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
V`anh R d¯u.o..c go.i l`a giao ho´
an nˆe´u ph´ep nhˆan cu’a n´o c´o t´ınh giao ho´an:
xy = yx, ∀x, y ∈ R.
`an tu’.
V`anh R d¯u.o..c go.i l`a c´o d¯o.n vi. nˆe´u ph´ep nhˆan cu’a n´o c´o d¯o.n vi., t´
u.c l`a c´o phˆ
1 ∈ R sao cho:
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.
V´ı du.:
(a) C´ac tˆa.p ho..p sˆo´ Z, Q l`a c´ac v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi. d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an
cˆo.ng v`a nhˆan thˆong thu.`o.ng. Tˆa.p ho..p sˆo´ tu.. nhiˆen N khˆong l`a mˆo.t v`anh, v`ı
n´o khˆong l`a mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng.
(b) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep nhˆan trˆen nh´om cˆo.ng Z/n c´ac sˆo´ nguyˆen modulo n nhu.
sau:
[x][y] = [xy], ∀x, y ∈ Z/n.

Ph´ep nhˆan n`ay khˆong phu. thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p [x] v`a [y]. N´o biˆe´n nh´om
cˆo.ng Z/n th`anh mˆo.t v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi., d¯u.o..c go.i l`a v`anh c´ac sˆo´
nguyˆen modulo n.
- a.i
(c) Trong Chu.o.ng II ta s˜e x´et mˆo.t l´o.p v`anh d¯˘a.c biˆe.t quan tro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D
`an
sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a v`anh M (n × n, K) c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n v´o.i c´ac phˆ
tu’. trong tru.`o.ng K.
22




´
- .inh ngh˜ıa 4.5 Gia’ su’. R v`a R l`a c´ac v`anh. Anh
D
xa. ϕ : R → R d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t
`ong cˆa´u v`anh nˆe´u
d¯ˆ
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y),
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.
C´ac kh´ai niˆe.m d¯o.n cˆa´u v`anh, to`an cˆa´u v`anh, d¯˘a’ng cˆa´u v`anh d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa
tu.o.ng tu.. nhu. d¯ˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho..p nh´om.
Ch˘a’ng ha.n, ph´ep nh´
ung Z ⊂ Q l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u v`anh. Ph´ep chiˆe´u pr : Z → Z/n
l`a mˆo.t to`an cˆa´u v`anh.
`an tu’. x trong mˆo.t v`anh c´o d¯o.n vi. R d¯u.o..c go.i l`a kha’ nghi.ch nˆe´u tˆ
`on ta.i phˆ
`an
Phˆ

tu’. x ∈ R sao cho
xx = x x = 1.
`an tu’. x c´o t´ınh chˆa´t nhu. vˆa.y nˆe´u tˆ
`on ta.i th`ı duy nhˆa´t. N´o
Dˆ˜e ch´
u.ng minh r˘`a ng phˆ
y hiˆe.u l`a x−1 .
d¯u.o..c k´
- i.nh ngh˜ıa 4.6 Mˆo.t v`anh giao ho´an, c´o d¯o.n vi. 1 = 0 sao cho mo.i phˆ
`an tu’. kh´ac 0
D
`eu kha’ nghi.ch d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t tru.`o.ng.
trong n´o d¯ˆ
V`anh Q l`a mˆo.t tru.`o.ng. V`anh sˆo´ nguyˆen Z khˆong l`a mˆo.t tru.`o.ng, v`ı c´ac sˆo´ kh´ac
`eu khˆong kha’ nghi.ch trong Z.
±1 d¯ˆ
- i.nh ngh˜ıa 4.7 Gia’ su’. ≤ l`a mˆo.t quan hˆe. th´
u. tu.. trˆen tru.`o.ng K. Khi d¯´o K d¯u.o..c
D
`eu kiˆe.n sau d¯ˆay d¯u.o..c thoa’
go.i l`a mˆo.t tru.`o.ng d¯u.o..c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´
u. tu.. ≤ nˆe´u c´ac d¯iˆ
m˜an:
(a) Nˆe´u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z, v´o.i mo.i z ∈ K;
(b) Nˆe´u x ≤ y v`a 0 ≤ z th`ı xz ≤ yz.
u.u ty’ Q l`a mˆo.t tru.`o.ng d¯u.o..c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´
u. tu.. thˆong thu.`o.ng.
Tru.`o.ng sˆo´ h˜
Du.´o.i d¯ˆay ta s˜e x´et xem khi n`ao th`ı v`anh Z/n l`a mˆo.t tru.`o.ng.
23

ToanDHSP.COM

- .inh ngh˜ıa 4.8 Nˆe´u v`anh R ch´
`an tu’. a = 0, b = 0 sao cho ab = 0 th`ı ta
D
u.a c´ac phˆ
n´oi R c´o u.o´.c cu’ a khˆ
ong.
Tr´ai la.i, nˆe´u t`
u. d¯˘a’ng th´
u.c ab = 0 (v´o.i a, b ∈ R) suy ra ho˘a.c a = 0 ho˘a.c b = 0,
ong.
th`ı v`anh R d¯u.o..c go.i l`a khˆ
ong c´o u.´o.c cu’ a khˆ
V`anh Z/6 c´o u.´o.c cu’a khˆong, bo’.i v`ı [2] = 0, [3] = 0 v`a
[2][3] = [6] = [0] = 0.
N´oi chung, nˆe´u n l`a mˆo.t ho..p sˆo´ th`ı Z/n c´o u.´o.c cu’a khˆong. Thˆa.t vˆa.y, v`ı n l`a
mˆo.t ho..p sˆo´ cho nˆen n = rs trong d¯´o 0 < r, s < n. Khi d¯´o, [r] = 0, [s] = 0 v`a
[r][s] = [n] = [0] = 0.
`e 4.9 Mˆo˜i tru.`o.ng d¯`ˆeu l`a mˆ
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
o.t v`anh khˆ
ong c´o u.´o.c cu’ a khˆ
ong.

`an tu’. thuˆo.c K v´o.i ab = 0.
Ch´
u.ng minh: Gia’ su’. K l`a mˆo.t tru.`o.ng, a v`a b l`a c´ac phˆ
Nˆe´u a = 0 th`ı a kha’ nghi.ch. Ta c´o
b = 1b = (a−1 a)b = a−1 (ab) = a−1 0 = 0.
Vˆa.y K khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong.

✷

`e 4.10 Z/n l`a mˆo.t tru.`o.ng nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n l`a mˆ
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
o.t sˆ
o´ nguyˆen tˆ
o´.
Ch´
u.ng minh: Nˆe´u n l`a mˆo.t ho..p sˆo´ th`ı Z/n c´o u.´o.c cu’a khˆong, do d¯´o khˆong l`a
mˆo.t tru.`o.ng.
`an tu’. kh´ac khˆong trong Z/p d¯ˆ
`eu c´o
Gia’ su’. n = p l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´. Mˆo˜i phˆ
`eu kiˆe.n 0 < q < p. Khi d¯´o p v`a q nguyˆen
da.ng [q] trong d¯´o d¯a.i biˆe’u q thoa’ m˜an d¯iˆ
tˆo´ c`
ung nhau, v`ı thˆe´ c´o c´ac sˆo´ nguyˆen k v`a

sao cho kp + q = 1. Hay l`a

[ ][q] = [1] − [kp] = [1]

- iˆ
`eu n`ay c´o ngh˜ıa l`a [q] kha’ ngi.ch, v`a [q]−1 = [ ].
trong Z/p. D
24

✷




Tru.`o.ng Z/p thu.`o.ng d¯u.o..c k´
y hiˆe.u l`a Fp .
Trong v`anh Z/n c´o hiˆe.n tu.o..ng sau d¯ˆay:
1 + 1 + · · · + 1 = 0.
n

Chuyˆe.n n`ay khˆong xa’y ra trong c´ac v`anh Z v`a Q. Ta d¯i t´o.i d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.
- .inh ngh˜ıa 4.11 Cho R l`a mˆo.t v`anh c´o d¯o.n vi.. Nˆe´u c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng n sao
D
cho 1 + 1 + · · · + 1 = 0, th`ı sˆo´ nguyˆen du.o.ng nho’ nhˆa´t c´o t´ınh chˆa´t d¯´o d¯u.o..c go.i l`a
n

d¯˘
a.c sˆ
o´ cu’a v`anh R. Ngu.o..c la.i, nˆe´u khˆong c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng n n`ao nhu. thˆe´ th`ı
- ˘a.c sˆo´ cu’a R d¯u.o..c k´
ta n´oi R c´o d¯˘a.c sˆo´ b˘`a ng 0. D
y hiˆe.u l`a Char(R).
V´ı du.: Char(Z) = Char(Q) = 0,
Char(Z/n) = n, v´o.i mo.i sˆo´ nguyˆen du.o.ng n.

`a ng 0 ho˘
`e 4.12 Nˆe´u K l`a mˆo.t tru.`o.ng th`ı Char(K) ho˘
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
a.c b˘
a.c l`
a mˆ
o.t sˆo´
nguyˆen tˆo´.
- ˘a.t m · 1 = 1 + 1 + · · · + 1 ∈ K. Gia’ su’. n = Char(K) l`a mˆo.t ho..p
Ch´
u.ng minh: D
m

sˆo´ v´o.i phˆan t´ıch n = rs (0 < r, s < n). Dˆ˜e thˆa´y r˘`a ng n · 1 = (r · 1)(s · 1) = 0. V`ı
- iˆ
`eu n`ay
tru.`o.ng K khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong, nˆen ho˘a.c (r · 1) = 0 ho˘a.c (s · 1) = 0. D
mˆau thuˆa˜n v´o.i d¯i.nh ngh˜ıa cu’a d¯˘a.c sˆo´, v`ı r v`a s l`a c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen nho’ ho.n n. ✷

5

Tru.`
o.ng sˆ
o´ thu..c

`eu d¯˜a t´ınh to´an thuˆ
`an thu.c v´o.i
Tˆa´t ca’ c´ac ho.c tr`o tˆo´t nghiˆe.p trung ho.c phˆo’ thˆong d¯ˆ

c´ac sˆo´ thu..c. Thˆe´ nhu.ng, nˆe´u ho’i ho. “Sˆo´ thu..c l`a g`ı?” th`ı ch˘a´c ch˘a´n ho. s˜e khˆong tra’
`e rˆa´t kh´o.
l`o.i d¯u.o..c. Thˆa.t ra, d¯´o l`a mˆo.t vˆa´n d¯ˆ
Trong tiˆe´t n`ay, ch´
ung ta s˜e xˆay du..ng tru.`o.ng sˆo´ thu..c R nhu. l`a mˆo.t “bˆo’ sung”
u.u ty’ Q, nh˘`a m gia’i quyˆe´t t`ınh tra.ng kh´o xu’. m`a Pythagore d¯˜a g˘a.p
cu’a tru.`o.ng sˆo´ h˜
t`
u. ho.n 2000 n˘am tru.´o.c, d¯´o l`a: Nˆe´u chı’ d`
ung c´ac sˆo´ h˜
u.u ty’ th`ı d¯u.`o.ng ch´eo cu’a
25